Ma sát và bài toán cân bằng của vật khi có ma sát
Thực tiễn cho thấy bất kỳ vật nào chuyển động tr-ợt trên bề mặt không
nhẵn của vật khác đều xuất hiện một lực cản lại sự tr-ợt của vật gọi là lực ma sát
tr-ợt ký hiệu F
r
ms. Làm thí nghiệm biểu diễn trên hình 3.1. Vật A đặt trên mặt
tr-ợt nằm ngang và chịu tác dụng của lực P
r
hợp với ph-ơng thẳng đứng một góc
a. Phân tích thành hai thành phần P
r
P
r
1 và P
r
2 nh- hình vẽ. Nhận thấy rằng P
r
1
luôn luôn cân bằng với phản lực pháp...
-37-
Ch−¬ng 3
Ma s¸t vµ bµi to¸n c©n b»ng cña vËt khi cã ma s¸t
3.1. Ma s¸t tr−ît vµ bµi to¸n c©n b»ng cña vËt khi cã ma s¸t
tr−ît
3.1.1. Ma s¸t tr−ît vµ c¸c tÝnh chÊt cña ma s¸t tr−ît
Thùc tiÔn cho thÊy bÊt kú vËt nµo chuyÓn ®éng tr−ît trªn bÒ mÆt kh«ng
nh½n cña vËt kh¸c ®Òu xuÊt hiÖn mét lùc c¶n l¹i sù tr−ît cña vËt gäi lµ lùc ma s¸t
r
tr−ît ký hiÖu F ms. Lµm thÝ nghiÖm biÓu diÔn trªn h×nh 3.1. VËt A ®Æt trªn mÆt
r
tr−ît n»m ngang vµ chÞu t¸c dông cña lùc P hîp víi ph−¬ng th¼ng ®øng mét gãc
r r r r
α. Ph©n tÝch P thµnh hai thµnh phÇn P 1 vµ P 2 nh− h×nh vÏ. NhËn thÊy r»ng P 1
r r
lu«n lu«n c©n b»ng víi ph¶n lùc ph¸p tuyÕn N . Cßn lùc P 2 lµ lùc cÇn ®Ó ®Èy vËt
A tr−ît trªn mÆt.
r
Khi P kh«ng ®æi ta nhËn thÊy gãc α t¨ng th×
r
P 2 t¨ng. Trong giai ®o¹n ®Çu vËt A ®øng yªn trªn r
r r N
mÆt B. Tõ ®iÒu kiÖn c©n b»ng cña vËt A cho thÊy P 2 P
b»ng lùc ma s¸t nh−ng ng−îc chiÒu. NÕu tiÕp tôc r α P
r
r
1
P2 F ms
t¨ng gãc α ®Õn mét trÞ sè ϕ th× vËt A b¾t ®Çu tr−ît.
r
Lùc ma s¸t lóc ®ã còng tiÕn tíi giíi h¹n F n. H×nh 3.1
TrÞ sè Fn = Ntgϕ (3.1)
ë ®©y N = P1 lµ ph¶n lùc ph¸p tuyÕn cña mÆt tr−ît. Gãc ϕ gäi lµ gãc ma
s¸t; tgϕ = f gäi lµ hÖ sè ma s¸t. Tõ (3.1) cã thÓ kÕt luËn: lùc ma s¸t tr−ît lu«n
lu«n cïng ph−¬ng nh−ng ng−îc chiÒu víi chuyÓn ®éng tr−ît, cã trÞ sè tû lÖ thuËn
víi ph¶n lùc ph¸p tuyÕn (¸p lùc) cña mÆt tr−ît.
HÖ sè ma s¸t f ®−îc x¸c ®Þnh b»ng thùc nghiÖm, nã phô thuéc vµo vËt liÖu
vµ tÝnh chÊt cña bÒ mÆt tiÕp xóc. B¶ng (3-1) cho ta trÞ sè cña hÖ sè ma s¸t tr−ît
®èi víi mét vµi vËt liÖu th−êng gÆp
-38-
B¶ng 3-1
Tªn vËt liÖu HÖ sè ma s¸t
§¸ tr−ît trªn gç 0,46 ÷ 0,6
Gç tr−ît trªn gç 0,62
Kim lo¹i tr−ît trªn gç 0,62
§ång tr−ît trªn gang 0,16
§ång tr−ît trªn s¾t 0,19
ThÐp tr−ît trªn thÐp 0,15
Lùc ma s¸t xuÊt hiÖn trong giai ®o¹n vËt ë tr¹ng th¸i tÜnh gäi lµ ma s¸t
tÜnh. Lùc ma s¸t tÜnh t¨ng tõ kh«ng ®Õn trÞ sè giíi h¹n Fn = f0N. Lùc ma s¸t xuÊt
hiÖn trong giai ®o¹n vËt chuyÓn ®éng tr−ît ta gäi lµ lùc ma s¸t ®éng. Trong tr¹ng
th¸i tÜnh lùc kÐo (®Èy) vËt lu«n c©n b»ng víi lùc ma s¸t tÜnh cßn trong tr¹ng th¸i
chuyÓn ®éng lùc kÐo (®Èy) P2 võa ph¶i th¾ng ma s¸t ®éng võa ph¶i d− mét phÇn
®Ó t¹o ra chuyÓn ®éng cña vËt. NÕu gäi lùc ma s¸t ®éng cña vËt lµ Fmssd th× Fmsd =
fdN, trong ®ã fd gäi lµ hÖ sè ma s¸t ®éng. Qua nhiÒu thùc nghiÖm thÊy r»ng lùc
ma s¸t ®éng th−êng nhá h¬n mét chót so víi ma s¸t tÜnh giíi h¹n. HÖ sè ma s¸t
®éng kh«ng nh÷ng phô thuéc vµo vËt liÖu vµ tÝnh chÊt bÒ mÆt tiÕp xóc cña vËt mµ
cßn phô thuéc vµo vËn tèc tr−ît cña vËt. Trong phÇn lín c¸c tr−êng hîp cho thÊy
khi vËn tèc t¨ng th× hÖ sè ma s¸t ®éng gi¶m vµ ng−îc l¹i. ThÝ dô hÖ sè ma s¸t
®éng gi÷a b¸nh ®ai lµm b»ng gang víi d©y ®ai phanh b»ng thÐp cã thÓ x¸c ®Þnh
theo c«ng thøc:
1 + 0,0112v
fd = ft
1 + 0,006v
Trong ®ã v lµ vËn tèc tr−ît tÝnh b»ng km/h cßn ft = 0,45 khi mÆt tiÕp xóc
kh« vµ ft = 0,25 khi mÆt tiÕp xóc −ít.
Trong tÜnh häc v× chØ xÐt bµi to¸n c©n b»ng nªn ma s¸t ph¶i lµ ma s¸t tÜnh.
-39-
3.1.2. Bµi to¸n c©n b»ng cña vËt khi chÞu ma s¸t tr−ît
XÐt vËt r¾n ®Æt trªn mÆt tùa (mÆt tr−ît). Gi¶ thiÕt vËt chÞu t¸c dông cña c¸c
r r r r
lùc F 1, F2 , ... Fn . C¸c lùc liªn kÕt bao gåm ph¶n lùc ph¸p tuyÕn N j vµ lùc ma s¸t
r
F msj.
Khi vËt c©n b»ng ta cã hÖ lùc sau:
r r r r r
( F 1, F2 , ... Fn , N j, F msj) ∼ 0 j = 1 ....s lµ sè bÒ mÆt tiÕp xóc
§Ó vËt c©n b»ng ph¶i cã c¸c ph−¬ng tr×nh c©n b»ng nh− ®· xÐt ë ch−¬ng 2.
Ngoµi c¸c ph−¬ng tr×nh c©n b»ng ra ®Ó ®¶m b¶o vËt kh«ng tr−ît ph¶i cã c¸c ®iÒu
kiÖn:
Fnj ≤ foNj. Fnj lµ lùc ®Èy tæng hîp.
Trë l¹i s¬ ®å (3.1) ta thÊy khi kh«ng cã tr−ît th×
Fms
tgα = ≤ fo = tgϕ
N
Ta cã thÓ ph¸t biÓu ®iÒu kiÖn kh«ng tr−ît nh− sau:
r
§iÒu kiÖn ®Ó vËt kh«ng tr−ît lµ hîp lùc P t¸c dông lªn vËt n»m trong mÆt
nãn cã gãc ®Ønh 2ϕ ( ta gäi nãn nµy lµ nãn ma s¸t).Khi P n»m trªn nãn ma s¸t lµ
lóc s¾p x¶y ra sù tr−ît cña vËt A.
ThÝ dô 3.1: X¸c ®Þnh ®iÒu kiÖn ®Ó
r r
cho vËt A cã träng l−îng P n»m c©n b»ng F ms N
trªn mÆt nghiªng so víi ph−¬ng ngang mét
gãc β. HÖ sè ma s¸t tÜnh lµ fo (h×nh 3.2)
β
Bµi gi¶i: XÐt vËt A n»m c©n b»ng
trªn mÆt nghiªng d−íi t¸c dông cña c¸c lùc
r r r
( P , N , F ms) V× vËt cã xu h−íng tr−ît H×nh 3.2
r
xuèng nªn lùc ma s¸t F ms lu«n lu«n h−íng
vÒ phÝa trªn nh− h×nh vÏ.
§Ó vËt c©n b»ng ph¶i cã:
-40-
r r r
( P , N , F ms) ∼ 0 vµ FN ≤ foN.
Gi¶ thiÕt r»ng vÞ trÝ ®ang xÐt lµ vÞ trÝ giíi h¹n gi÷a c©n b»ng vµ tr−ît th× lùc
ma s¸t Fms = Fn = foN. §iÒu kiÖn ®Ó hÖ lùc t¸c dông lªn hÖ vËt c©n b»ng lµ:
Fn = Ntgβ
MÆt kh¸c v× Fn ≤ Nf0. Suy ra tgβ ≤ fo.
Nh− vËy ®iÒu kiÖn ®Ó cho vËt c©n b»ng ph¶i lµ tgβ ≤ fo.
TrÞ sè cña gãc β = βo víi tagβo = fo chÝnh b»ng gãc ma s¸t ϕ.
ThÝ dô 3.2: Gi¸ treo vËt nÆng cã s¬ ®å nh− h×nh vÏ 3-3. VËt treo cã träng
l−îng P, hÖ sè ma s¸t tr−ît t¹i c¸c ®iÓm tùa A vµ B lµ fo. KÝch th−íc cho theo
h×nh vÏ. X¸c ®Þnh ®iÒu kiÖn c©n b»ng cho gi¸.
Bµi gi¶i:
Kh¶o s¸t sù c©n b»ng y r r
cña gi¸. Lùc t¸c dông lªn gi¸ F' RA
y l
r
r N' A ϕo A
ngoµi träng l−îng P cña vËt
r r
A cßn cã ph¶n lùc ph¸p h F l h RB
r
ϕo
tuyÕn vµ lùc ma s¸t ë ®iÓm
B N B
r r r r
tùa A vµ B lµ: N , N ', F , F ' x
r r
P P
NÕu kho¶ng c¸ch l lµ a) b)
kh«ng ®æi, ®iÒu kiÖn c©n
H×nh 3.3
b»ng cña gi¸ lµ:
r r r r r
( P , N , N ', F , F ') ∼ 0
vµ F ≤ foN; F' ≤ foN'
T¹i vÞ trÝ giíi h¹n nghÜa lµ lóc s¾p xÈy ra sù tr−ît cña gi¸ trªn c¸c ®iÓm tùa
ta cã ph−¬ng tr×nh c©n b»ng nh− sau:
N- N' = 0; (1) F=foN (4)
F + F' -P = 0 (2) F' = foN' (5)
-41-
N.h - F.dgh - P = 0; (3)
ë ®©y dgh lµ kho¶ng c¸ch giíi h¹n cña hai ®iÓm tùa A vµ B cho phÐp øng
víi lóc b¾t ®Çu tr−ît.
Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh trªn ta ®−îc:
N = N' F = F'; P = 2foN;
h
h = fodgh + 2fol hay dgh = - 2l
fo
Kho¶ng c¸ch d cµng lín ¸p lùc N cµng lín vµ ma s¸t cµng lín, ®iÒu kiÖn
c©n b»ng cña gi¸ viÕt ®−îc:
h
dgh ≥ - 2l
fo
ThÝ dô 3.3: T×m ®iÒu kiÖn kh«ng tr−ît cña d©y ®ai quÊn trªn b¸nh ®ai trßn
cã kÓ ®Õn ma s¸t tr−ît víi hÖ sè fo (h×nh 3-4) , bá qua tÝnh ®µn håi cña d©y ®ai.
Bµi gi¶i:
T×m ®iÒu kiÖn kh«ng tr−ît cña d©y ®ai cã nghÜa lµ t×m ®iÒu kiÖn c©n b»ng
r r
cña ®o¹n ®ai AB cña ®ai d−íi t¸c dông c¸c lùc T 1, T 2 (T2 > T1) c¸c ph¶n lùc
ph¸p tuyÕn N vµ c¸c lùc ma s¸t tr−ît F ph©n bè liªn tôc trªn cung AB.
Khi d©y ®ai s¾p tr−ît ta xÐt mét cung nhá ED trªn d©y ®ai. Bªn nh¸nh chñ
r r
®éng cã lùc t¸c dông lµ T + ∆ T cßn bªn nh¸nh r y
r dθ d N
phô ®éng lùc t¸c dông lµ T . Gäi ph¶n lùc ph¸p r r r
r ( T +d T ) D dF
tuyÕn lªn cung ®ai nµy lµ N vµ lùc ma s¸t tr−ît dθ
R dθ r
A α T
lªn cung nµy lµ F ta sÏ cã ph−¬ng tr×nh c©n b»ng: θ
r B
T2
dθ dθ r
- T cos + (T+dT)cos -F=0 T1
2 2
dθ
- N - Tsin - (T- dT) = 0
2
H×nh 3.4
Trong ®ã F = fN. Bá qua c¸c v« cïng bÐ
-42-
bËc hai trë lªn ta ®−îc: F = dT vµ N = Tdθ. Thay gi¸ trÞ trªn vµo biÓu thøc F =fN
ta cã dT = f.T.dθ. TÝch ph©n hai vÕ t−¬ng øng víi cËn tõ A ®Õn B ta ®−îc
A A T
lnT = f oθ hay ln 2 = f.α
B B T1
α lµ gãc ch¾n cung AB gäi lµ gãc bao cña ®ai.
Suy ra: T2 = T1.efα
Lùc kÐo bªn nh¸nh chñ ®éng T2 cµng lín h¬n bªn nh¸nh bÞ ®éng th× kh¶
n¨ng tr−ît cµng nhiÒu do ®ã ®iÒu kiÖn ®Ó d©y kh«ng tr−ît ph¶i lµ:
T2 ≤ T1.efα
C«ng thøc nµy ®−îc gäi lµ c«ng thøc ¬le
3.2. Ma s¸t l¨n vµ bµi to¸n c©n b»ng cña vËt r¾n khi cã ma
s¸t l¨n
Ma s¸t l¨n lµ m« men c¶n chuyÓn ®éng l¨n cña vËt thÓ nµy trªn vËt thÓ kh¸c.
XÐt mét con l¨n h×nh trô b¸n kÝnh R träng l−îng P l¨n trªn mét mÆt ph¼ng
r
ngang, nhê lùc Q ®Æt vµo trôc con l¨n (xem h×nh 3.5). Trong tr−êng hîp nµy con
r r r r r r
l¨n chÞu t¸c dông cña c¸c lùc: P , Q , N , F ms. Trong c¸c lùc ®ã hai lùc Q vµ F ms
t¹o thµnh mét ngÉu lùc cã t¸c dông lµm cho con l¨n chuyÓn ®éng l¨n. Cßn l¹i hai
r r
lùc P vµ N trong tr−êng hîp con l¨n vµ mÆt l¨n lµ r¾n tuyÖt ®èi th× chóng trïng
ph−¬ng.Trong thùc tÕ con l¨n vµ mÆt l¨n lµ nh÷ng vËt biÕn d¹ng hai lùc P vµ N
kh«ng trïng ph−¬ng lu«n song song vµ c¸ch nhau mét kho¶ng c¸ch k. Hai lùc
nµy t¹o thµnh mét ngÉu lùc cã t¸c dông c¶n l¹i sù l¨n cña con l¨n. M« men cña
r r
ngÉu ( P , N ) ®−îc gäi lµ m« men ma s¸t l¨n. NÕu ký hiÖu m« men ma s¸t l¨n lµ
Mms th× Mms = kN.
Gäi k lµ hÖ sè ma s¸t l¨n. Kh¸c víi hÖ sè ma s¸t tr−ît hÖ sè ma s¸t l¨n k
cã thø nguyªn lµ ®é dµi.
-43-
HÖ sè ma s¸t l¨n ®−îc x¸c ®Þnh b»ng thùc nghiÖm, nã còng phô thuéc vµo
tÝnh chÊt vËt liÖu vµ bÒ mÆt l¨n, kh«ng phô thuéc vµo lùc N. Sau ®©y lµ hÖ sè ma
s¸t l¨n cña mét vµi vËt th−êng gÆp.
VËt liÖu HÖ sè k (cm)
Gç l¨n trªn gç 0,05 ÷ 0,08
ThÐp l¨n trªn thÐp 0,005
Gç l¨n trªn thÐp 0,03 ÷ 0,04
Con l¨n thÐp trªn mÆt thÐp 0,001
r r
N r Nr
Q Q
C C
k
r r
F A F A B
r r
P P
a) b)
H×nh 3.5
Bµi to¸n c©n b»ng cña vËt khi cã ma s¸t l¨n ngoµi ®iÒu kiÖn hÖ lùc t¸c
dông lªn hÖ kÓ c¶ c¸c ph¶n lùc vµ lùc ma s¸t c©n b»ng cßn ph¶i thªm ®iÒu kiÖn
kh«ng cã l¨n biÓu diÔn bëi ph−¬ng tr×nh:
Mms ≥ Q.R r
N r
ThÝ dô 3.4: T×m ®iÒu kiÖn c©n b»ng cña con l¨n r C P1
F
träng l−îng P, b¸n kÝnh R n»m trªn mÆt ph¼ng nghiªng mét
α r
gãc α. Cho hÖ sè ma s¸t l¨n lµ k. (xem h×nh 3-6) P2
r
P
Bµi gi¶i:
r
XÐt con l¨n ë vÞ trÝ c©n b»ng. Ph©n tÝch P thµnh hai H×nh 3.6
r r
lùc P 1, P 2 nh− h×nh vÏ (3-6).
Ta cã ®iÒu kiÖn ®Ó con l¨n kh«ng l¨n lµ:P1.R = R.P.sinα ≤ P2.k = P cosα
k
Hay R.P.sinα ≤ P.cosα. tgα ≤
R
-44-
k
Nh− vËy ®iÒu kiÖn ®Ó con l¨n c©n b»ng lµ: tgα ≤
R
ThÝ dô 3.5: VËt h×nh trô cã träng l−îng P b¸n kÝnh R n»m trªn mÆt ph¼ng
nghiªng mét gãc α. Khèi trô chÞu t¸c dông lùc ®Èy Q song song víi mÆt ph¼ng
nghiªng. T×m ®iÒu kiÖn khèi trô ®øng yªn trªn mÆt ph¼ng nghiªng vµ ®iÒu kiÖn ®Ó
nã l¨n kh«ng tr−ît lªn phÝa trªn. HÖ sè ma s¸t l¨n lµ k vµ hÖ sè ma s¸t tr−ît lµ f.
y y
r r
Q Q
O r x O r x
r N r N
P r P A
F ms M
M A r
F ms
α α
a) b)
H×nh 3.7
Bµi gi¶i:
§iªï kiÖn ®Ó khèi trô c©n b»ng trªn mÆt ph¼ng nghiªng lµ :
r r r r r
( P , Q , N , F ms, M ms) ∼ 0
MÆt kh¸c ®Ó khèi trô kh«ng l¨n (h×nh3.7a ) kh«ng tr−ît xuèng ph¶i cã
thªm ®iÒu kiÖn:
Mms ≤ k.N; Fms ≤ f.N
Nh− vËy ph¶i tho¶ m·n c¸c ph−¬ng tr×nh sau:
∑Xi = Q - Psinα + Fms = 0; (1)
∑Yi = - Pcosα +N = 0; (2)
∑mA = P.R.sinα - Q.R - Mms =0 (3)
Fms ≤ f.N (4)
M ms≤ k.N (5)
-45-
Tõ ba ph−¬ng tr×nh ®Çu t×m ®−îc:
N = Pcosα ; Fms = Psinα - Q ; Mms = R(Psinα - Q)
Thay c¸c kÕt qu¶ vµo hai bÊt ph−¬ng tr×nh cuèi ®−îc:
P.sinα - Q ≤ f.Pcosα ; R(Psinα-Q) ≤ k.Pcosα
Hay: Q ≥ P(sinα - f.cosα)
k
Q ≥ P(sinα - cosα)
R
k
Th−êng th× < f do ®ã ®iÒu kiÖn tæng qu¸t lµ:
R
Q k
≥ sinα - cosα ≥ sinα - f.cosα
P R
§Ó vËt l¨n kh«ng tr−ît lªn ( h×nh3.7b ) ph¶i cã c¸c ®iÒu kiÖn:
∑xi = Q-Psinα + Fms = 0; (1')
∑yi =- Pcosα +N = 0; (2')
∑mA = P.sinα - Q.R + Mms = 0; (3')
Fms ≤ f.N (4')
M ms≥ k.N (5')
BÊt ph−¬ng tr×nh (4') ®¶m b¶o cho vËt chuyÓn ®éng cã tr−ît lªn. Cßn bÊt
ph−¬ng tr×nh (5') ®¶m b¶o cho con l¨n cã kh¶ n¨ng l¨n lªn trªn.
Tõ 3 ph−¬ng tr×nh ®Çu ta ®−îc:
N = Pcosα; Fms = Q - Psinα ; Mms = R(Q-Psinα)
Thay thÕ vµo hai ph−¬ng tr×nh cuèi ta ®−îc:
Q - Psinα ≤ f.P.cosα;
R(Q-Psinα) ≥ kPcosα.
VËy ®iÒu kiÖn ®Ó khèi trô l¨n kh«ng tr−ît lªn trªn lµ:
k Q
sinα + cosα ≤ < sinα + f cosα.
R P
k
§iÒu nµy nãi chung cã thÓ ®−îc nghiÖm v× th−êng nhá h¬n f.s
R
