Bài giảng lý thuyết động học
Tính chất của chuyển động phụ thuộc vào vật chọn làm mốc để so sánh ta
gọi là hệ qui chiếu. Trong động học hệ qui chiếu đ-ợc lựa chọn tuỳ ý sao cho
việc khảo sát chuyển động của vật đ-ợc thuận tiện . Để có thể tính toán ng-ời ta
còn phải chọn hệ toạ độ gắn với hệ qui chiếu. Thông th-ờng muốn hình vẽ đ-ợc
đơn giản ta dùng ngay hệ toạ độ làm hệ quy chiếu.
-54-
PhÇn 2
§éng häc
§éng häc nghiªn cøu c¸c qui luËt chuyÓn ®éng cña vËt thÓ ®¬n thuÇn vÒ
h×nh häc, kh«ng ®Ò cËp ®Õn khèi l−îng vµ lùc. Nh÷ng kÕt qu¶ kh¶o s¸t trong
®éng häc sÏ lµm c¬ së cho viÖc nghiªn cøu toµn diÖn c¸c qui luËt chuyÓn ®éng
cña vËt thÓ trong phÇn ®éng lùc häc.
Trong ®éng häc vËt thÓ ®−îc ®−a ra d−íi hai m« h×nh: ®éng ®iÓm vµ vËt
r¾n. §éng ®iÓm lµ ®iÓm h×nh häc chuyÓn ®éng trong kh«ng gian, cßn vËt r¾n lµ
tËp hîp nhiÒu ®éng ®iÓm mµ kho¶ng c¸ch gi÷a hai ®iÓm bÊt kú trong nã lu«n
lu«n kh«ng ®æi. Khi kh¶o s¸t c¸c vËt thùc cã kÝch th−íc kh«ng ®¸ng kÓ, cã thÓ
coi nh− m« h×nh ®éng ®iÓm.
ChuyÓn ®éng lµ sù thay ®æi vÞ trÝ cña vËt trong kh«ng gian theo thêi gian.
§¬n vÞ ®o ®é dµi lµ mÐt vµ ký hiÖu m, ®¬n vÞ ®o thêi gian lµ gi©y viÕt t¾t lµ s.
TÝnh chÊt cña chuyÓn ®éng phô thuéc vµo vËt chän lµm mèc ®Ó so s¸nh ta
gäi lµ hÖ qui chiÕu. Trong ®éng häc hÖ qui chiÕu ®−îc lùa chän tuú ý sao cho
viÖc kh¶o s¸t chuyÓn ®éng cña vËt ®−îc thuËn tiÖn . §Ó cã thÓ tÝnh to¸n ng−êi ta
cßn ph¶i chän hÖ to¹ ®é g¾n víi hÖ qui chiÕu. Th«ng th−êng muèn h×nh vÏ ®−îc
®¬n gi¶n ta dïng ngay hÖ to¹ ®é lµm hÖ quy chiÕu.
TÝnh thêi gian th«ng th−êng ph¶i so s¸nh víi mèc thßi ®iÓm t0 chän tr−íc.
VÒ néi dung, ®éng häc ph¶i t×m c¸ch x¸c ®Þnh vÞ trÝ cña vËt vµ m« t¶
chuyÓn ®éng cña vËt theo thêi gian so víi hÖ quy chiÕu ®· chän.
Th«ng sè x¸c ®Þnh vÞ trÝ cña vËt so víi hÖ quy chiÕu ®· chän lµ th«ng sè
®Þnh vÞ. Th«ng sè ®Þnh vÞ cã thÓ lµ vÐc t¬, lµ to¹ ®é, lµ gãc...
Qui luËt chuyÓn ®éng ®−îc biÓu diÔn qua c¸c biÓu thøc liªn hÖ gi÷a c¸c
th«ng sè ®Þnh vÞ víi thêi gian vµ ®−îc gäi lµ ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng. Trong
ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng th× thêi gian ®−îc coi lµ ®èi sè ®éc lËp. Khi khö ®èi
sè thêi gian trong ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng ta ®−îc biÓu thøc liªn hÖ gi÷a c¸c
th«ng sè ®Þnh vÞ vµ gäi lµ ph−¬ng tr×nh qòi ®¹o.
-55-
§Ó biÓu thÞ tÝnh chÊt cña chuyÓn ®éng ta ®−a ra c¸c ®¹i l−îng vËn tèc vµ
gia tèc. VËn tèc lµ ®¹i l−îng biÓu thÞ h−íng vµ tèc ®é chuyÓn ®éng cña ®iÓm hay
vËt.Gia tèc lµ ®¹i l−îng biÓu thÞ sù thay ®æi cña vËn tèc theo thêi gian. Gia tèc
cho biÕt tÝnh chÊt chuyÓn ®éng ®Òu hay biÕn ®æi. VËn tèc vµ gia tèc lµ c¸c ®¹i
l−îng phô thuéc vµo thêi gian.
C¨n cø néi dung ng−êi ta chia ®éng häc thµnh hai phÇn: ®éng häc ®iÓm vµ
®éng häc vËt r¾n. Khi kh¶o s¸t ®éng häc cña vËt r¾n bao giê còng gåm hai phÇn:
§éng häc cña c¶ vËt vµ ®éng häc cña mét ®iÓm thuéc vËt.
Ch−¬ng 5
ChuyÓn ®éng cña ®iÓm
5.1. Kh¶o s¸t chuyÓn ®éng cña ®iÓm b»ng vÐc t¬
5.1.1. Th«ng sè ®Þnh vÞ vµ ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng
XÐt ®éng ®iÓm M chuyÓn ®éng trong
z
hÖ qui chiÕu oxyz (h×nh 5-1). M
(C)
VÞ trÝ ®éng ®iÓm M ®−îc x¸c ®Þnh nÕu r
r r r
biÕt vÐc t¬ r = OM . VÐc t¬ r lµ th«ng sè ®Þnh
vÞ cña ®éng ®iÓm.
y
r O
Khi ®éng ®iÓm chuyÓn ®éng vÐc t¬ r
biÕn thiªn liªn tôc theo thêi gian t do ®ã ta
viÕt ®−îc:
r r x
r = r (t) (5-1)
NÕu biÕt ®−îc qui luËt biÕn thiªn (5-1)
ta hoµn toµn x¸c ®Þnh ®−îc vÞ trÝ cña ®éng H×nh 5.1
®iÓm ë bÊt kú thêi ®iÓm nµo. BiÓu thøc (5-1) lµ ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng cña
®éng ®iÓm M viÕt d−íi d¹ng vÐc t¬.
-56-
Trong qu¸ tr×nh chuyÓn ®éng, ®éng ®iÓm v¹ch ra mét ®−êng gäi lµ quÜ ®¹o
chuyÓn ®éng cña ®éng ®iÓm. Ph−¬ng tr×nh cña ®−êng quÜ ®¹o còng chÝnh lµ
ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng (5-1) nh−ng viÕt d−íi d¹ng th«ng sè.
NÕu ®−êng quÜ ®¹o lµ th¼ng ta nãi ®éng ®iÓm chuyÓn ®éng th¼ng, nÕu
®−êng quÜ ®¹o lµ cong ta nãi chuyÓn ®éng cña ®iÓm lµ chuyÓn ®éng cong.
5.1.2. VËn tèc chuyÓn ®éng cña ®iÓm
r
Gi¶ thiÕt t¹i thêi ®iÓm t vÞ trÝ cña ®éng ®iÓm x¸c ®Þnh bëi vÐc t¬ ®Þnh vÞ r .
r
T¹i thêi ®iÓm t1 = t + ∆t ®éng ®iÓm ®Õn vÞ trÝ M1 x¸c ®Þnh bëi r 1, ta cã MM 1 =
r r r ∆r
r 1 - r = ∆r (xem h×nh 5-2). Gäi tû sè lµ vËn tèc trung b×nh cña ®éng ®iÓm
∆t
r
trong kho¶ng thêi gian ∆t vµ ký hiÖu lµ v tb . Khi ∆t cµng nhá nghÜa lµ M1 cµng
r
gÇn M th× v tb cµng gÇn ®Õn mét giíi h¹n,
giíi h¹n ®ã gäi lµ vËn tèc tøc thêi t¹i thêi v cp
z M1
®iÓm t. v
NÕu ký hiÖu vËn tèc tøc thêi cña ∆r
r r1 M
®éng ®iÓm lµ v th×:
r r
∆v d r r
v = lim = (5.3)
∆t → 0 ∆ t dt O y
VËn tèc tøc thêi cña ®éng ®iÓm b»ng
®¹o hµm bËc nhÊt theo thêi gian cña vÐc t¬ x
®Þnh vÞ t¹i thêi ®iÓm ®ã.
r H×nh 5.2
VÒ mÆt h×nh häc ta thÊy vÐc t¬ ∆ r
n»m trªn c¸t tuyÕn MM1 vµ h−íng tõ M ®Õn M1 v× vËy khi tiÕn tíi giíi h¹n vÐc t¬
r
vËn tèc v sÏ tiÕp tuyÕn víi quÜ ®¹o ë t¹i vÞ trÝ M ®ang xÐt vµ h−íng theo chiÒu
chuyÓn ®éng cña ®iÓm.
§¬n vÞ ®Ó tÝnh vËn tèc lµ mÐt/gi©y viÕt t¾t lµ m/s
-57-
5.1.3. Gia tèc chuyÓn ®éng cña ®iÓm
r
Gi¶ thiÕt t¹i thêi ®iÓm t ®iÓm cã vËn tèc v vµ t¹i thêi ®iÓm t1 ®iÓm cã vËn
r r r
r ∆v v 1 − v
tèc lµ v 1. Tû sè = gäi lµ gia tèc trung b×nh cña ®iÓm trong thêi gian
∆t ∆t
r
∆t. Giíi h¹n tû sè ®ã khi ∆t tiÕn tíi kh«ng gäi lµ gia tèc tøc thêi w cña ®iÓm. Ta
cã:
r r r M
z
r ∆v dv d 2 r v
w = lim = = (5-3) ∆v
∆t → 0 ∆t dt dt 2 r
ω
r M1
Nh− vËy gia tèc tøc thêi cña ®iÓm lµ ω cp v1
vÐc t¬ ®¹o hµm bËc nhÊt theo thêi gian cu¶
vÐc t¬ vËn tèc hay ®¹o hµm bËc hai theo O y
thêi gian cña vÐc t¬ ®Þnh vÞ. VÒ mÆt h×nh
r
häc vÐc t¬ ∆ v bµo giê còng h−íng vÒ phÝa x
lâm cña ®−êng cong (xem h×nh 5-3), do H×nh 5.3
r
®ã vÐc t¬ gia tèc w bao giê còng h−íng vÒ
phÝa lâm cña ®−êng cong. §¬n vÞ ®Ó ®o gia tèc lµ mÐt/gi©y2 viÕt t¾t lµ m/s2
5.1.4. TÝnh chÊt cña chuyÓn ®éng
§Ó xem xÐt chuyÓn ®éng cña ®iÓm lµ th¼ng hay cong ta c¨n cø vµo tÝch
r r r
v xw= c
r r r r
NÕu c = 0 th× v vµ w cïng ph−¬ng, nghÜa lµ vËn tèc v cã ph−¬ng kh«ng
®æi. ChuyÓn ®éng lóc ®ã lµ chuyÓn ®éng th¼ng.
r r r r
NÕu c ≠ 0 th× v vµ w hîp víi nhau mét gãc ®iÒu ®ã chøng tá vÐc t¬ v
thay ®æi ph−¬ng vµ chuyÓn ®éng sÏ lµ chuyÓn ®éng cong. §Ó xÐt chuyÓn ®éng
r r
cña ®iÓm lµ ®Òu hay biÕn ®æi ta c¨n cø vµo tÝch v« h−íng v . w = B.
r
r 2 d ( v) 2 d ( v 2 ) r r
V× v2 = ( v ) nªn = = 2v .w
dt dt
r
Cho nªn nÕu B = 0 th× chøng tá v lµ h»ng sè nghÜa lµ ®éng ®iÓm chuyÓn
®éng ®Òu.
-58-
r
NÕu B ≠ 0 th× v lµ ®¹i l−îng biÕn ®æi, chuyÓn ®éng lµ biÒn ®æi. NÕu B > 0
chuyÓn ®éng nhanh dÇn vµ B < 0 chuyÓn ®éng chËm dÇn.
5.2. Kh¶o s¸t chuyÓn ®éng cña ®iÓm b»ng to¹ ®é §Ò c¸c
5.2.1. Th«ng sè ®Þnh vÞ vµ ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng
XÐt ®éng ®iÓm M chuyÓn ®éng theo z
®−êng cong trong hÖ trôc to¹ ®é ®Ò c¸c oxyz
M
(h×nh 5-4).
ë ®©y c¸c to¹ ®é x,y,z lµ c¸c th«ng sè k r
z
®Þnh vÞ cña ®iÓm M. O J y
Khi M chuyÓn ®éng c¸c to¹ ®é nµy thay i x
®æi liªn tôc theo thêi gian do ®ã ta cã: x y
x = x(t);
H×nh 5.4
y = y(t); (5-4)
z = z(t).
C¸c ph−¬ng tr×nh (5-4) lµ ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng cña ®iÓm vµ còng lµ
ph−¬ng tr×nh quÜ ®¹o cña ®iÓm viÕt d−íi d¹ng th«ng sè trong to¹ ®é §Ò c¸c.
5.2.2. VËn tèc chuyÓn ®éng cña ®iÓm
r r r
NÕu gäi c¸c vÐc t¬ ®¬n vÞ trªn ba trôc to¹ ®é lµ i , j , k th× vÐc t¬ ®Þnh vÞ vµ
vÐc t¬ vËn tèc cã thÓ viÕt:
r r r r
r =xi+y j +z k . Suy ra
r r r r r
r dr d dx r dy dz r
v = = (x i + y j + z k ) = i+ j + k
dt dt dt dt dt
(5.5)
BiÓu thøc trªn chøng tá:
dx dy dz
vx = &
= x; vy = &
= y; vx = &
= z. (5.6)
dt dt dt
-59-
H×nh chiÕu vÐc t¬ vËn tèc lªn c¸c trôc to¹ ®é b»ng ®¹o hµm bËc nhÊt theo
thêi gian c¸c to¹ ®é t−¬ng øng.
Dùa vµo c¸c biÓu thøc (5.6) dÔ dµng x¸c ®Þnh ®−îc vÐc t¬ vËn tèc c¶ vÒ ®é
lín vµ ph−¬ng chiÒu.
2 2 2
⎛ dx ⎞ ⎛ dy ⎞ ⎛ dz ⎞
v= v 2
x +v 2
y +v 2
z = ⎜ ⎟ +⎜ ⎟ +⎜ ⎟
⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠
vx vy vz
cos(ox,v) = ; cos(oy,v) = ; cos(oz,v) = .
v v v
5.2.3. Gia tèc cña ®iÓm
T−¬ng tù nh− ®èi víi vËn tèc, dùa vµo biÓu thøc (5.3) ta cã thÓ t×m thÊy:
dv x d2x
wx = = 2 = && ;
x
dt dt
dv y d2y
wy = = = && ;
y (5.7)
dt dt 2
dv z d2z
wx = = 2 = && .
z
dt dt
Gia tèc chuyÓn ®éng cña ®iÓm sÏ ®−îc x¸c ®Þnh vÒ ®é lín vµ ph−¬ng
chiÒu theo c¸c biÓu thøc sau:
w = w 2 x + w 2 y + w 2 z = && 2 + && 2 + && 2
x y z
wx wy wz
cos(ox,w) = ; cos(oy,w) = ; cos(oz,w) = .
w w w
r r
Khi biÕt v vµ w ta cã thÓ xem xÐt ®−îc tÝnh chÊt chuyÓn ®éng cña ®iÓm M.
5.3. Kh¶o s¸t chuyÓn ®éng cña ®iÓm b»ng to¹ ®é tù nhiªn
5.3.1. Th«ng sè ®Þnh vÞ vµ ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng
Gi¶ thiÕt ®éng ®iÓm M chuyÓn ®éng theo mét ®−êng cong AB trong hÖ
to¹ ®é oxyz. (xem h×nh vÏ 5.5). Trªn quÜ ®¹o AB lÊy ®iÓm O lµm gèc vµ chän
-60-
chiÒu d−¬ng cho ®−êng cong. Th«ng th−êng ta chän chiÒu d−¬ng cña ®−êng
cong lµ chiÒu mµ ®éng ®iÓm chuyÓn ®éng. Râ rµng nÕu biÕt cung OM = s ta cã
thÓ biÕt vÞ trÝ cña ®iÓm M trªn quÜ ®¹o. Nãi kh¸c ®i cung OM = s lµ th«ng sè
®Þnh vÞ cña ®éng ®iÓm, cßn gäi lµ to¹ ®é cong. Khi ®iÓm M chuyÓn ®éng s sÏ
biÕn ®æi liªn tôc theo thêi gian nghÜa lµ:
s = s(t) (5.8)
BiÕt ®−îc quy luËt biÕn thiªn (5.8) ta cã thÓ x¸c ®Þnh vÞ trÝ cña ®iÓm M ë
bÊt kú thêi ®iÓm nµo. BiÓu thøc (5.8) ®−îc gäi lµ ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng cña
®iÓm. Theo ph−¬ng ph¸p nµy ®Ó x¸c ®Þnh chuyÓn ®éng cña ®iÓm ph¶i biÕt:
- QuÜ ®¹o chuyÓn ®éng AB
- ChiÒu chuyÓn ®éng trªn quÜ ®¹o
- Quy luËt chuyÓn ®éng (5.8).
5.3.2. VËn tèc chuyÓn ®éng cña ®iÓm
Gi¶ thiÕt ®éng ®iÓm chuyÓn ®éng trªn ®−êng cong AB. T¹i thêi ®iÓm t
®éng ®iÓm ë vÞ trÝ M x¸c ®Þnh b»ng to¹ ®é cong s. T¹i thêi ®iÓm t1 = t + ∆t ®iÓm
ë vÞ trÝ M1 x¸c ®Þnh b»ng to¹ ®é cong s1 = s + ∆s.
A -0+
∆s s −s
Tû sè = 1 = v tb gäi lµ tèc ®é trung
∆t ∆t s
z1 M
b×nh.
Giíi h¹n cña tû sè nµy khi ∆t tiÕn tíi O1
B
kh«ng gäi lµ tèc ®é tøc thêi cña ®iÓm t¹i thêi y1
x1
®iÓm t vµ ký hiÖu lµ v.
H×nh 5.5
∆s ds
v= lim = =s&
∆t → 0 ∆t dt -0+ M1
s v
(5.8) s1 ∆s
VËn tèc cã gi¸ trÞ b»ng ®¹o hµm bËc nhÊt
theo thêi gian cña qu·ng ®−êng s, cã ph−¬ng tiÕp
H×nh 5.6
-61-
tuyÕn víi quÜ ®¹o, h−íng theo chiÒu cña chuyÓn ®éng. ( xem h×nh 5.6).
5.3.3. Gia tèc tiÕp tuyÕn vµ gia tèc ph¸p tuyÕn cña ®iÓm.
5.3.3.1. HÖ to¹ ®é tù nhiªn
Gi¶ thiÕt chÊt ®iÓm chuyÓn ®éng theo v1
n v1n B
®−êng cong AB nh− h×nh (5.7).
M1 ∆ϕ
Trªn ®−êng cong lÊy hai ®iÓm M1M1' a v1τ b
l©n cËn hai bªn ®iÓm M. VÏ mÆt ph¼ng ®i
A τ
qua ba ®iÓm ®ã. Khi hai ®iÓm M1M1' tiÕn
M1 M v
gÇn ®Õn M th× mÆt ph¼ng trªn tiÕn gÇn ®Õn
giíi h¹n cña nã lµ mÆt ph¼ng (π) gäi lµ mÆt
b
ph¼ng mËt tiÕp. Trong mÆt ph¼ng mËt tiÕp
vÏ ®−êng Mτ tiÕp tuyÕn víi quÜ ®¹o (trïng H×nh 5.7
r
víi vÐc t¬ vËn tèc ( v ). Mét trôc kh¸c vÉn
n»m trong mÆt ph¼ng mËt tiÕp vµ vu«ng gãc víi Mτ t¹i M ký hiÖu lµ Mn gäi lµ
ph¸p tuyÕn chÝnh. Trôc Mb vu«ng gãc víi hai trôc kia gäi lµ trïng ph¸p tuyÕn.
Ta chän chiÒu cña ba trôc Mτnb t¹o thµnh mét tam diÖn thuËn vµ gäi lµ hÖ to¹
®é tù nhiªn.
5.3.2. Gia tèc tiÕp tuyÕn vµ ph¸p tuyÕn cña ®iÓm
Nh− trªn ®· biÕt:
r r r
r lim ∆v lim v1 − v
w = = = ∆t 0 =
∆t 0 ∆t ∆t
ChiÕu biÓu thøc nµy lªn c¸c trôc to¹ ®é tù nhiªn ta cã:
t lim v t1 − v t
w = ∆t 0 = ;
∆t
lim vn1 − vn
wn = ∆;t 0= ;
∆t
wb = 0;
r
Trªn h×nh (5.7) gäi cung MM1 = ∆s ; gãc hîp bëi v vµ Mτ lµ ∆ϕ ta cã:
-62-
∆ϕ 1
lim =k=
∆ t → 0 ∆s ρ
Tû sè k gäi lµ ®é cong cßn ρ lµ b¸n kÝnh cong cña quü ®¹o t¹i M.
r r
MÆt kh¸c khi chiÕu vÐc t¬ v vµ v 1 lªn c¸c trôc ta ®−îc:
vt = v vt1 = v1cos∆ϕ;
vn = 0 vn1 = v1sin∆ϕ;
Thay thÕ kÕt qu¶ t×m ®−îc vµo biÓu thøc cña wt vµ wn sÏ ®−îc:
v1 cos ∆ϕ − v
wt = lim ;
∆t → 0 ∆t
wn = lim ( v1 sin ∆ϕ ) ;
∆t → 0 ∆t
Khi ∆t tiÕn tíi 0, ®iÓm M1 dÇn tíi M vµ ∆ϕ tiÕn tíi 0, ∆s tiÕn tíi 0, v1 tiÕn
tíi v; cosϕ tiÕn tíi 1. Thay c¸c gi¸ trÞ nµy vµo biÓu thøc trªn ta nhËn ®−îc:
v1 − v dv d 2 s
t
w = lim = = = && ;
s
∆t dt dt 2
sin ∆ϕ ∆ϕ ∆s v2
n
w = lim(v1 . . )= .
∆t ∆s ∆t ρ
Trong biÓu thøc (5.9) wt vµ wn lµ gia tèc tiÕp tuyÕn vµ gia tèc ph¸p tuyÕn
cña ®iÓm t¹i thêi ®iÓm t.
r
Gia tèc tiÕp tuyÕn w t cã trÞ sè b»ng ®¹o hµm bËc nhÊt theo thêi gian cña
vËn tèc hay b»ng ®¹o hµm bËc hai theo thêi gian cña qu·ng ®−êng ®i s, cã
r r
ph−¬ng tiÕp tuyÕn víi quÜ ®¹o, cïng chiÒu víi v khi wt > 0 vµ ng−îc chiÒu víi v
khi wt -63-
2
⎛ dv ⎞ ⎛ v ⎞
2 2
w= w r2
+w n2
= ⎜ ⎟ +⎜ ⎟ (5.10)
⎝ dt ⎠ ⎜ ρ ⎟
⎝ ⎠
r
Ph−¬ng cña w lu«n lu«n h−íng vÒ phÝa lâm cña ®−êng cong vµ hîp víi
ph¸p tuyÕn mét gãc µ.
wt
tgµ = ; (5.11)
wn
n
n
ω
ωn ω ωn
µ µ
τ M τ
ωτ
M -0+ ωτ
-0+ a) b)
Khi wt > 0 Khi wt < 0
H×nh 5.8
5.3.4. Mét sè tr−êng hîp chuyÓn ®éng ®Æc biÖt
5.3.4.1. ChuyÓn ®éng th¼ng
v2
Trong tr−êng hîp nµy ρ = ∞ vµ wn = = 0.
ρ
r
r r t dv
Khi ®ã chØ cßn: w = w = .
dt
Gia tèc b»ng ®¹o hµm bËc nhÊt theo thêi gian cña vËn tèc, cïng chiÒu víi
r r r r
v khi w > 0 vµ ng−îc chiÒu víi v khi w -64-
Gia tèc toµn phÇn b»ng gia tèc ph¸p tuyÕn c¶ vÒ ®é lín vµ ph−¬ng chiÒu.
Trong chuyÓn ®éng cong ®Òu ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng cã thÓ thiÕt lËp nh− sau:
ds
Ta cã: = v, ds = vdt.
dt
S t
TÝch ph©n hai vÕ ta cã: ∫ ds = ∫ vdt,
S0 t
Hay s = s0 + v.t
5.3.4.3. ChuyÓn ®éng th¼ng biÕn ®æi ®Òu
Trong tr−êng hîp nµy wt = wn = 0 do ®ã w = 0. Suy ra ph−¬ng tr×nh
chuyÓn ®éng x = xo + v.t
5.3.4.4. ChuyÓn ®éng cong biÕn ®æi ®Òu
ChuyÓn ®éng cong biÕn ®æi ®Òu lµ chuyÓn ®éng cã wt = const.
dv
Ta cã: = w t ; dv= wtdt
dt
v t
LÊy tÝch ph©n hai vÕ sÏ ®−îc: ∫ dv = ∫ w t .dt , hay v = vo + wt.t
vo t
Ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng viÕt ®−îc:
ds
= v o + w t .t suy ra : ds = vodt + wt.t.dt;
dt
wtt2
Hay: s = so + vot + .
2
Sau ®©y lµ mét sè bµi to¸n thÝ dô.
y
ThÝ dô 5.1: X¸c ®Þnh quü ®¹o, vËn tèc A
vµ gia tèc cña ®iÓm M n»m gi÷a tay biªn AB
v M
cña c¬ cÊu biªn tay quay OAB, (xem h×nh ϕ w
5.9) cho biÕt OA = AB = 2a vµ thêi ®iÓm O
x
kh¶o s¸t t−¬ng øng víi gãc ϕ cña c¬ cÊu, víi B
ϕ = ωt.
H×nh 5.9
-65-
Bµi gi¶i:
Chän hÖ to¹ ®é oxy n»m trong mÆt ph¼ng c¬ cÊu.
Gäi to¹ ®é cña ®iÓm M lµ x,y ta cã:
x = 2acosϕ + a cosϕ = 3 acosϕ;
y = a sinϕ.
§©y chÝnh lµ ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng cña ®iÓm trong to¹ ®é §Ò c¸c.
§Ó x¸c ®Þnh quü ®¹o cña ®iÓm, tõ ph−¬ng tr×nh trªn rót ra:
x y
cosωt = ; sinωt = ;
3a a
x2 y2
suy ra + = 1.
9a 2 a2
§©y chÝnh lµ ph−¬ng tr×nh Enlip nhËn c¸c trôc ®èi xøng lµ ox vµ oy ( xem
h×nh vÏ 5.9).
§Ó t×m vËn tèc ta ¸p dông biÓu thøc (5.6) cã:
dx
vx = = −3a sin ωt ;
dt
dy
vy = = aω cos ωt .
dt
Cuèi cïng x¸c ®Þnh ®−îc vËn tèc cña ®iÓm M nh− sau:
vM = v 2 x + v 2 y = 9 sin 2 ωt + cos 2 ωt .a.
r
Ph−¬ng chiÒu cña v M nh− h×nh vÏ. Tõ kÕt qu¶ trªn ta thÊy vmin = aω vµ
vmax = 3aω.
Theo biÓu thøc (5.7) x¸c ®Þnh ®−îc gia tèc cña ®iÓm M:
d2x
wx = 2 = -3aω2cosωt = - ω2x;
dt
wy = -aω2sinωt = - ω2y;
-66-
Gia tèc toµn phÇn w = ω 4 ( x 2 + y 2 ) = ω 2 r.
Ph−¬ng chiÒu cña w ®−îc x¸c ®Þnh nhê c¸c gãc chØ ph−¬ng nh− sau:
wx x wy y
cos(w,ox) = = − ; cos(w,oy) = =− .
w r w r
r
Tõ kÕt qu¶ trªn cho thÊy ph−¬ng chiÒu w lu«n lu«n h−íng tõ M vÒ O.
ThÝ dô 5.2. §iÓm M chuyÓn ®éng theo ph−¬ng tr×nh:
x= a sinωt ; y = a cosωt; z=ut.
Trong ®ã a, ω vµ u lµ kh«ng ®æi.
X¸c ®Þnh quü ®¹o, vËn tèc vµ gia tèc cña ®iÓm M.
Bµi gi¶i:
Tõ hai ph−¬ng tr×nh ®Çu suy ra:
sin2ωt + cos2ωt = a2 hay x2 + y2 = a2 (a)
KÕt hîp ph−¬ng tr×nh (a) víi ph−¬ng tr×nh z = ut ta thÊy ®iÓm chuyÓn
®éng trªn mÆt trô b¸n kÝnh a vµ trôc lµ oz.
Tõ z = ut suy ra t = z/u vµ thay vµo biÓu thøc cña x ta ®−îc:
ω ω
x = a sin .z; y = cos .z;
u u
Quü ®¹o cña ®iÓm M lµ mét ®−êng vÝt, cã trôc oz.
Gäi T1 lµ chu kú cña ®−êng vÝt. T1 x¸c ®Þnh tõ biÓu thøc:
2π
ωT = 2 π hay T1 =
ω
Trong thêi gian T1 ®éng ®iÓm quay quanh trôc oz ®−îc mét vßng ®ång
2uπ
thêi còng tiÕn theo däc trôc oz mét ®o¹n h =uT1 = ; h gäi lµ b−íc cña vÝt.
ω
§Ó x¸c ®Þnh vËn tèc vµ gia tèc ta ¸p dông ph−¬ng ph¸p to¹ ®é §Ò c¸c.
-67-
vx = aω cosωt;
vy = aω sinωt;
vz = u.
Tõ ®ã x¸c ®Þnh vËn tèc v cña ®iÓm.
v= v 2 x + v 2 y + v 2 z = a 2 ω 2 (cos 2 ωt + sin 2 ωt ) + u 2 ; = a 2 ω 2 + u 2
Nh− vËy vËn tèc v cña ®iÓm cã trÞ sè kh«ng ®æi vµ ph−¬ng tiÕp tuyÕn víi
quü ®¹o (xem h×nh 5.10). T−¬ng tù ta x¸c ®Þnh ®−îc:
wx = -aω2sinωt
wx = -aω2cosωt;
wz = 0. z
vµ w = w 2 x + w 2 y = aω 2 .
a
Gia tèc cña ®iÓm cã ®é lín kh«ng ®æi
cßn ph−¬ng chiÒu ®−îc x¸c ®Þnh b»ng c¸c
cosin chØ ph−¬ng.
C ω
y y
w x O
cos(w,x) = x = − sin ωt = ; x α βz
w a
x
a
wy y
cos(w,y) = = − sin ωt = ;
w a
H×nh 5.10
wz
cos(w,x) = 0.
w
MÆt kh¸c ta thÊy:
x y
= cos α ; = cos β .
a a
α vµ β biÓu diÔn trªn h×nh vÏ.
r
Nh− vËy gia tèc w lu«n lu«n h−íng theo b¸n kÝnh tõ ®éng ®iÓm vµo trôc oz.
-68-
ThÝ dô 5.3: Mét b¸nh xe b¸n kÝnh R l¨n kh«ng tr−ît trªn ®−êng th¼ng.
VËn tèc t©m b¸nh xe v = v(t).
LËp ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng cña ®iÓm M n»m trªn vµnh b¸nh xe.
Kh¶o s¸t vËn tèc vµ gia tèc cña ®iÓm M ®ã.
Kh¶o s¸t tÝnh biÕn ®æi chuyÓn ®éng cña ®iÓm M trªn quü ®¹o øng víi mét
vßng l¨n cña b¸nh xe khi V=Vo = cosnt.
Bµi gi¶i:
Chän gèc to¹ ®é lµ ®iÓm tiÕp xóc O gi÷a M vµ mÆt ®−êng (xem h×nh
5.11).
§Æt gãc PCM = ϕ. §Ó x¸c ®Þnh ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng ta t×m quan hÖ
gi÷a c¸c to¹ ®é x.y cña ®iÓm víi gãc ϕ.
y
M
C v
C0 C
E
R ϕ
O P A
x
M0 H
H×nh 5.11
-69-
Trªn h×nh cã x = OH = OP - PH = Rϕ - R sinϕ;
y = HM =R + Rsin(ϕ-900) = R - Rcosϕ = R(1 - cosϕ);
t
V× b¸nh xe l¨n kh«ng tr−ît nªn: OP = ∫ v ( t ) dt .
0
1 t
Suy ra ϕ = ϕ(t) = ∫ v ( t ) dt
R o
Ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng cña ®iÓm M cã thÓ viÕt ®−îc:
x= R(ϕ- sinϕ);
y= R(1- cosϕ);
ϕ = ϕ(t).
§©y lµ ph−¬ng tr×nh cña ®−êng Xycloit viÕt d−íi d¹ng th«ng sè.
Kh¶o s¸t chuyÓn ®éng cña ®iÓm M trªn cung OA.
VËn tèc vµ gia tèc cña ®iÓm x¸c ®Þnh nh− sau:
r v x = x = Rϕ(1 − cos ϕ);
& &
v
v y = y = Rϕ sin ϕ
& &
r w x = v x = Rϕ sin ϕ + Rϕ(1 − cos ϕ);
& &2 &&
w
w y = v y = Rϕ 2 cos ϕ + Rϕ sin ϕ.
& & &&
T¹i vÞ trÝ ch¹m ®Êt O vµ A th× ϕ =0 vµ ϕ = 2π. Khi ®ã sinϕ = 0, cosϕ =1.
vµ: vx = 0 ; v y = 0 suy ra v = 0;
wx = 0; wy = Rϕ2 > 0.
r
w lóc nµy kh¸c kh«ng, do ®ã ®iÓm chØ dùng l¹i tøc thêi ë mÆt ®Êt.
Trong tr−êng hîp ®Æc biÖt v = v0 = h»ng sè th×:
1 t vot
ϕ=
R
∫o v (o ) dt = R
;
-70-
vot vo
ϕ= ; ϕo = 0; ϕ=
& ; ϕ = 0.
&&
R R
Lóc nµy: vx = vo(1-cosϕ); vy = vosinϕ;
v2o v2o
wx = sin ϕ ; wy = cos ϕ .
R R
§Ó xÐt tÝnh chÊt chuyÓn ®éng cña ®iÓm trªn cung OA ta cã:
3
v3o
r r
v . w = vx.wx + vy.wy =
v o
[sin ϕ(1 − cos ϕ) + sin ϕ cos ϕ]; = sin ϕ.
R R
r r r r
Nh− vËy v . w > 0 trong kho¶ng 0 < ϕ < π vµ v.w < 0 trong kho¶ng π <
ϕ < 2π.
Trªn nöa cung ®Çu ®iÓm chuyÓn ®éng nhanh dÇn cßn nöa cung sau ®iÓm
chuyÓn ®éng chËm dÇn.
r
VÝ dô 5.4. Mét vËt r¾n b¾n ra theo ph−¬ng ngang víi vËn tèc ban ®Çu v o
1 2
sau ®ã r¬i xuèng theo quy luËt : x = vot; y= gt
2
T×m quü ®¹o, vËn tèc, gia tèc toµn phÇn, gia tèc tiÕp tuyÕn, gia tèc ph¸p
tuyÕn, b¸n kÝnh cong cña quü ®¹o t¹i mét thêi ®iÓm t bÊt kú.
Bµi gi¶i:
Khö thêi gian t trong ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng ta ®−îc ph−¬ng tr×nh quü
g 2
®¹o: y= x .
v2o
§©y lµ ph−¬ng tr×nh parabol. (xem h×nh
5.12). x
O
VËn tèc cña vËt x¸c ®Þnh ®−îc
M
dx ωn
vx = = vo ; ωτ
dt n
ω τ
y
H×nh 5.12
-71-
dy
vy = = gt;
dt
v= v2o + g2t 2 .
Gia tèc cña ®iÓm ®−îc x¸c ®Þnh nh− sau:
d2x d2y
wx = = 0; wy = = g.
dt 2 dt 2
Suy ra w = g . Gia tèc cña vËt b»ng gia tèc träng tr−êng.
§Ó x¸c ®Þnh gia tèc tiÕp tuyÕn ta cã:
dv g2t g2t
t
w = = = .
dt 2
vo + g2t2 v
Theo kÕt qu¶ ë trªn v2 = vo2 + g2t2 nªn suy ra:
1
t= v2 + vo .
2
g
Thay vµo biÓu thøc cña wt ta ®−îc:
2
v0
w = g 1− 2 .
t
v
Tõ kÕt qu¶ nµy ta thÊy t¹i thêi ®iÓm ban ®Çu v = vo th× wt = 0
Khi v → ∞ th× wt → g.
TiÕp theo ta x¸c ®Þnh gia tèc ph¸p tuyÕn c¨n cø vµo biÓu thøc:
w 2 = w 2τ + w 2 n
⎛ vo ⎞
2
2 vo
2
Ta cã: w n = w - w τ = g + g ⎜1 − 2 ⎟ = g 2 ;
2 2
⎜
2 2 2
⎝ v ⎟⎠ v
vo
suy ra : wn = g .
v
T¹i thêi ®iÓm ®Çu v = vo do ®ã wn = g.
-72-
Tõ biÓu thøc t×m ®−îc cña wn ta cã thÓ x¸c ®Þnh ®−îc b¸n kÝnh cong cña
quü ®¹o.
v2 v2 v3
wn = suy ra ρ = hay ρ = .
ρ wn v0g
2
vo
T¹i thêi ®iÓm ®Çu v = vo ta cã ρ = .
g
Khi v → ∞ th× ρ → ∞.
