XÁC SUẤT THỐNG KÊ " CHƯƠNG 2 ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN VÀ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT"
Khái niệm đại lượng ngẫu nhiên: Định nghĩa 1; Đại lượng ngẫu nhiên là đại lượng biến đổi biểu thị giá trị kết quả của một phép thử ngẫu nhiên. Ta dùng chữ cái hoa như X,Y, Z,... để ký hiệu đại lượng ngẫu nhiên. Ví dụ: Tung một con xúc xắc. GỌi X là số chấm xuất hiện trên mặt con xúc xắc thì X là một đại lượng ngẫu nhiên nhận các giá trị có thể là...
Chuong 2
’’
˜
¯ AI LU’ONG NGAU NHIEN VA PHAN PHOI XAC SUAT
D. .’ ˆ ˆ ` ˆ ´ ´
ˆ ´
ˆ
1. ’ .’ ˜
ˆ ˆ
¯ AI LUONG NGAU NHIEN
D.
1.1 e ¯. ’ .
. ’ ˜
Kh´i niˆm dai luong ngˆu nhiˆn
a a e
2 ¯ inh nghia 1 ¯ ai luong ngˆu nhiˆn l` dai luong biˆn dˆi biˆ’u thi gı´ tri kˆt qua
D. ˜ D. ’.’ ˜
a e a ¯. ’.’ ´ ’
e ¯o e . a . e ’ ´
’ o
. e ’’ ˆ˜
cua mˆt ph´p thu ngau nhiˆn.
e
Ta d`ng c´c chu c´i hoa nhu X, Y, Z, ... dˆ’ k´ hiˆu dai luong ngˆu nhiˆn.
u a ˜ a
’ ’ ¯e ı e ¯ . ’ .’
. ˜
a e
o. u ˘ ´ . ´ ´
a o a ´ .
• V´ du 1 Tung mˆt con x´c xac. Goi X l` sˆ chˆm xuˆt hiˆn trˆn m˘t con x´c xac
ı . a e e a
. ´
u ˘
. ˜
a e a a
. a . o e’ a
th` X l` mˆt dai luong ngˆu nhiˆn nhˆn c´c gi´ tri c´ thˆ l` 1, 2, 3, 4, 5, 6.
ı a o ¯. ’.’
1.2 D. ’ . ’ ˜
a e ` .
¯ ai luong ngˆu nhiˆn roi rac
’
D. ’ .’ ˜
a e ` .
a) ¯ ai luong ngˆu nhiˆn roi rac
’
D. ˜ D. ’.’ ˜
a ’ ´ o
e a
. . ´
2 ¯ inh nghia 2 ¯ ai luong ngˆu nhiˆn duoc goi l` roi rac nˆu n´ chi’ nhˆn mˆt sˆ
e ¯ ’.’ . a ` . o o
˜ .
’ a
. . ´ ´
huu han ho˘c mˆt sˆ vˆ han dˆm duoc c´c gi´ tri.
o o o . ¯e ¯ ’.’ a a .
Ta c´ thˆ’ liˆt kˆ c´c gi´ tri cua dai luong ngˆu nhiˆn roi rac x1 , x2 , . . . , xn .
o e e e a
. a . ’ ¯ . ’ .’ ˜
a e ` .’
Ta k´ hiˆu dai luong ngˆu nhiˆn X nhˆn gi´ tri xn l` X = xn v` x´c suˆt dˆ’ X nhˆn
ı e ¯ . ’ .’
. ˜
a e a
. a . a a a ´
a ¯e a
.
gi´ tri xn l` P (X = xn ).
a . a
´ ´
o a ´ .
a e e a
. ´ ´
u ˘ o . ´
˘
• V´ du 2 Sˆ chˆm xuˆt hiˆn trˆn m˘t con x´c xac, sˆ hoc sinh vang m˘t trong mˆt
ı . a
. o
.
’
o . a a ¯. ’.’ ˜
a e ` .
buˆi hoc...l` c´c dai luong ngˆu nhiˆn roi rac.
’
’ ´ ´
b) Bang phˆn phˆi x´c suˆt
a o a a
Bang phˆn phˆi x´c suˆt d`ng dˆ’ thiˆt lˆp luˆt phˆn phˆi x´c suˆt cua dai luong
’ a ´
o a ´
a u ¯e ´ .
e a a
. a ´
o a ´
a ’ ¯ . ’ .’
ngˆu nhiˆn roi rac, n´ gˆm 2 h`ng: h`ng thu nhˆt liˆt kˆ c´c gi´ tri c´ thˆ’ x1 , x2 , . . . , xn
˜
a e ` .’ o o ` a a ´ a e e a a . o e
’ ´ .
’ ¯ . ’ .’ a˜ e a a ´
’ e e a a
. a ’’ ´
´
cua dai luong ngˆu nhiˆn X v` h`ng thu hai liˆt kˆ c´c x´c suˆt tuong ung p1 , p2 , . . . , pn
’
cua c´c gi´ tri c´ thˆ’ do.
’ a a . o e ¯´
27
28 D. ’ ’ ˜
a e a a ´
o a ´
Chuong 2. ¯ ai luong ngˆu nhiˆn v` phˆn phˆi x´c suˆt
’’ a
X x1 x2 . . . xn
P p1 p2 . . . pn
Nˆu c´c gi´ tri c´ thˆ’ cua dai luong ngˆu nhiˆn X gˆm h˜u han sˆ x1 , x2 , . . . , xn th`
´
e a a . o e ’ ¯ . ’ .’ a˜ e o` u . o ´ ı
´ cˆ X = x1 , X = x2 , . . . , X = xn lˆp th`nh mˆt nh´m c´c biˆn cˆ dˆy du xung
c´c biˆn o
a e ´ a
. a o
. o a ´ o ¯a ¯ ’
e ´ `
´ ’
˘ ` ¯o
khac tung dˆi.
n
Do d´
¯o pi = 1.
i=1
ı . o
. ´ `
u ˘ ¯o ´
a . ´ ´
a o a ´ .
• V´ du 3 Tung mˆt con x´c xac dˆng chˆt. Goi X l` sˆ chˆm xuˆt hiˆn trˆn m˘t con
a e e a
.
u ˘ ´c th` X l` dai luong ngˆu nhiˆn roi rac c´ phˆn phˆi x´c suˆt cho boi:
x´c xa ı a ¯. ’.’ ˜
a e ` . o a
’ ´ a
o ´
a ’’
X 1 2 3 4 5 6
1 1 1 1 1 1
P 6 6 6 6 6 6
1.3 ’ ˜ e . a a a ¯o a
. . ´
¯ ai luong ngˆu nhiˆn liˆn tuc v` h`m mˆt dˆ x´c suˆt
D. ’ . a e a
˜
a) ¯ ai luong ngˆu nhiˆn liˆn tuc
D. ’ .’ a e e .
D. ˜ D. ’.’ ˜
a e ¯ ’.’ . a e . ´
e a a . o e’ ’
2 ¯ inh nghia 3 ¯ ai luong ngˆu nhiˆn duoc goi l` liˆn tuc nˆu c´c gi´ tri c´ thˆ cua
´ ` o
o a ¯ˆ . ’ e . o ´
n´ lˆp day mˆt khoang trˆn truc sˆ.
• V´ du 4
ı .
- Nhiˆt dˆ khˆng kh´ o mˆi thoi diˆ’m n`o d´.
e ¯o o
. . ˜
ı ’’ o ` ¯ e
’ a ¯o
´ ¯ ’`
- Sai sˆ khi khi do luong mˆt dai luong vˆt l´.
o ’ o ¯. ’.’
. a y
.
’
- Khoang thoi ’ ’ ´ ´ ’
` gian giua hai ca cˆp cuu cua mˆt bˆnh viˆn.
˜ a ’ o e
. . e
.
b) H`m mˆt dˆ x´c suˆt
a a ¯o a
. . ´
a
˜ a a ¯o a
. . ´
a ’ ¯. ’.’ ˜
2 ¯ inh nghia 4 H`m mˆt dˆ x´c suˆt cua dai luong ngˆu nhiˆn liˆn tuc X l` h`m
D. a e e . a a
o a a ¯i ´ moi x ∈ (−∞, +∞) thoa m˜n
khˆng ˆm f(x), x´c d. nh voi .
’ ’ a
P (X ∈ B) = f (x)dx
B
´ . a o .’ ´
voi moi tˆp sˆ thuc B.
’ .
ınh a ´ a a ¯o a
. . ´
a o a ınh a ´
3 T´ chˆt H`m mˆt dˆ x´c suˆt c´ c´c t´ chˆt sau
i) f (x) ≥ 0, ∀x ∈ (−∞, +∞)
+∞
ii) f (x)dx = 1
−∞
´ ˜ ’
Y nghia cua h`m mˆt dˆ
a a ¯o
. .
` ¯i
’ ˜ ’
Tu d.nh nghia cua h`m mˆt dˆ ta c´ P (x ≤ X ≤ x + x) ∼ f (x). x
a a ¯o
. . o
Do do ta thˆy x´c suˆt dˆ’ X nhˆn gi´ tri thuˆc lˆn cˆn kh´ b´ (x, x + x) gˆn nhu
¯´ ´
a a ´
a ¯e a
. a . o a a
. . a e a` ’
e ´
ti’ lˆ voi f(x).
. ’
D. ’ ’ ˜
1. ¯ ai luong ngˆu nhiˆn
a e 29
1.4 a a ´
o a ´
H`m phˆn phˆi x´c suˆt
a
˜ a a ´
o a ´
a ’ ¯. ’.’ ˜
2 ¯ inh nghia 5 H`m phˆn phˆi x´c suˆt cua dai luong ngˆu nhiˆn X, k´ hiˆu F(x),
D. a e ı e .
l` h`m duoc x´c d. nh nhu sau
a a ¯ ’.’ a ¯i ’
F (x) = P (X < x)
* Nˆu X l` dai luong ngˆu nhiˆn roi rac nhˆn c´c gi´ tri c´ thˆ’ x1 , x2 , . . . , xn th`
´
e a ¯. ’.’ ˜
a e ` .’ a a
. a . o e ı
F (x) = P (X = xi ) = pi ´
(voi pi = P (X = xi ))
’
xi 30 D. ’ ’ ˜
a e a a ´
o a ´
Chuong 2. ¯ ai luong ngˆu nhiˆn v` phˆn phˆi x´c suˆt
’’ a
0 ; x≤1
0, 3 ; 1 1
e
a a ´
o a ´
T`m h`m phˆn phˆi x´c suˆt F(x).
ı a
’
Giai
x
Khi x < 0 th` F (x) =
ı f (t)dt = 0
−∞
x x
6 3
Khi 0 ≤ x ≤ 1 th` F (x) =
ı f (t)dt = tdt = x2 .
5 5
−∞ 0
Khi x > 1 th`
ı
x 1 x x
6 6 3 2 2
F (x) = f (t)dt = tdt + 4
dt = + − 3 =1−
5 5t 5 5t 1 5x3
−∞ 0 1
0 ; x1
2. ´ ´
ˆ D˘ ’ ’ ’ .’ ˜
ˆ
CAC THAM SO ¯ AC TRUNG CUA ¯ AI LUONG NGAU
D.
.
ˆ
NHIEN
2.1 K` vong (Expectation)
y .
˜
2 ¯ inh nghia 6
D.
* Gia su X l` dai luong ngˆu nhiˆn roi rac c´ thˆ’ nhˆn c´c gi´ tri x1 , x2 , . . . , xn
’ ’’ a ¯. ’.’ ˜
a e ` . o e a a
’ . a .
´ c´c x´x suˆt tuong ung p1 , p2 , . . . , pn . K` vong cua dai luong ngˆu nhiˆn X, k´ hiˆu
voi a a
’ ´ ’’ ´
a ’ y . ’ ¯. ’.’ ˜
a e ı e .
´
E(X) (hay M(X)), l` sˆ duoc x´c d. nh boi
a o ¯ ’.’ a ¯i ’’
´
o ¯˘ ’ ¯. ’ ’ ˜
2. C´c tham sˆ dac trung cua dai luong ngˆu nhiˆn
a ’ a e 31
n
E(X) = xi pi
i=1
’ ’ a˜ e e . o a a ¯o a
. . ´
* Gia su X l` dai luong ngˆu nhiˆn liˆn tuc c´ h`m mˆt dˆ x´c suˆt f (x). K` vong
a ¯. ’.’ a y .
’ ¯. ’.’
cua dai luong ngˆ
a˜u nhiˆn X duoc x´c d. nh boi
e ¯ ’.’ a ¯i ’’
∞
E(X) = xf (x)dx
−∞
ı . ım y . ’ ¯. ’.’ ˜
a e o ’ a ´
o a ´
• V´ du 7 T` k` vong cua dai luong ngˆu nhiˆn c´ bang phˆn phˆi x´c suˆt sau
a
X 5 6 7 8 9 10 11
1 2 3 2 2 1 1
P 12 12 12 12 12 12 12
Ta c´
o
1 2 3 2 2 1 1 93 31
E(X) = 5. 12 + 6. 12 + 7. 12 + 8. 12 + 9. 12 + 10. 12 + 11. 12 = 12
= 4
= 7, 75.
ı . a ¯. ’.’ ˜
• V´ du 8 Cho X l` dai luong ngˆu nhiˆn liˆn tuc c´ h`m mˆt dˆ
a e e . o a a ¯o
. .
´
2.e−2x nˆu 0 < x < 2
e
f (x) = ´
0 nˆu x ∈ (0, 2)
e /
T` E(X).
ım
’
Giai
∞ 2 2
1 x3 4
E(X) = xf (x)dx = x.( x)dx = =
2 6 0
3
−∞ 0
´
3 T´ chˆt
ınh a
a ˘`
i) E(C) = C, C l` hang.
ii) E(cX) = c.E(X).
iii) E(X + Y ) = E(X) + E(Y ).
´ a ¯ . ’ .’ ˜
iv) Nˆu X v` Y l` hai dai luong ngˆu nhiˆn doc lˆp th` E(XY ) = E(X).E(Y ).
e a a e ¯ˆ a
. . ı
´ ˜ ’
Y nghia cua k` vong y .
Tiˆn h`nh n ph´p thu. Gia su X l` dai luong ngˆu nhiˆn nhˆn c´c gi´ tri c´ thˆ’
´
e a e ’’ ’ ’’ a ¯ . ’ .’ ˜
a e a a
. a . o e
´ o a
’ ´ `
x1 , x2 , . . . , xn voi sˆ lˆn nhˆn k1 , k2 , . . . , kn .
a
.
a . ınh ’ ¯ . ’ .’ ˜
a e e ’’ a
Gi´ tri trung b` cua dai luong ngˆu nhiˆn X trong n ph´p thu l`
k1 x1 + k2 x2 + . . . + kn xn k1 k2 kn
x= = x1 + x2 + . . . + xn = f1 x1 + f2 x2 + . . . + fn kn
n x n n
´
voi fi =
’ ki
n
l` tˆn suˆt dˆ’ X nhˆn gi´ tri xi .
a a ` ´
a ¯e a
. a .
32 D. ’ ’ ˜
a e a a ´
o a ´
Chuong 2. ¯ ai luong ngˆu nhiˆn v` phˆn phˆi x´c suˆt
’’ a
˜ a ´
a ´ o
o ´ e o lim ı a ´ ¯’ ´
Theo d.nh nghia x´c suˆt theo lˆi thˆng kˆ ta c´ n→∞ fi = pi . V` vˆy voi n du lon
¯i . ’ ’
ta c´
o
x ≈ p1 x1 + p2 x2 + . . . + pn xn = E(X)
´
a y . ’ ¯ . ’ .’ a˜ e a ´ ´
’ ´
Ta thˆy k` vong cua dai luong ngˆu nhiˆn xˆp xi’ voi trung b` sˆ hoc c´c gi´ tri
ınh o . a a .
a ’ ¯ . ’ .’ ˜
quan s´t cua dai luong ngˆu nhiˆn.
a e
Do do c´ thˆ’ n´i k` vong cua dai luong ngˆu nhiˆn ch´ l` gi´ tri trung b` (theo
¯´ o e o y . ’ ¯. ’.’ ˜
a e ınh a a . ınh
x´c suˆ
a ´t) cua dai luong ngˆu nhiˆn. N´ phan ´nh gi´ tri trung tˆm cua phˆn phˆi x´c
a ’ ¯. ’.’ ˜
a e o ’ a a . a ’ a ´
o a
´
suˆt
a
2.2 Phuong sai (Variance)
’’
˜
2 ¯ inh nghia 7 Phuong sai (¯ˆ lˆch b` phuong trung b`
D. ’’ do e
. . ınh ’’ ’ ¯. ’.’ ˜
ınh) cua dai luong ngˆu
a
ı e . ¯ ’.’ ¯i ` o ´
˜ bang cˆng thuc
nhiˆn X, k´ hiˆu Var(X) hay D(X), duoc d. nh nghia ˘
e ’
V ar(X) = E{[X − E(X)]2 }
* Nˆu X l` dai luong ngˆu nhiˆn roi rac nhˆn c´c gi´ tri c´ thˆ’ x1 , x2 , . . . , xn voi
e´ a ¯. ’.’ a˜ e ` . ’ a a
. a . o e ´’
a a ´t tuong ung p1 , p2 , . . . , pn th`
c´c x´c suˆ ’ ’
a ´’ ı
n
V ar(X) = [xi − E(X)]2 pi
i=1
´ ˜
a e e . o a a ¯o a
. . ´
* Nˆu X l` dai luong ngˆu nhiˆn liˆn tuc c´ h`m mˆt dˆ x´c suˆt f(x) th`
e a ¯. ’.’ a ı
+∞
V ar(X) = [x − E(X)]2 f (x)dx
−∞
´ ’` `
˘ ´
Ch´ y Trong thuc tˆ ta thuong t´ phuong sai bang cˆng thuc
u´ .’ e ’ ınh ’’ o ’
V ar(X) = E(X 2 ) − [E(X)]2
Thˆt vˆy, ta c´
a a
. . o
V ar(X) = E{X − E(X)]2 }
= E{X 2 − 2X.E(X) + [E(X)]2 }
= E(X 2 ) − 2E(X).E(X) + [E(X)]2
= E(X 2 ) − [E(X)]2
ı . ¯. ’.’ ˜
a e ` .’ o ’ a ´
o a ´
• V´ du 9 Cho dai luong ngˆu nhiˆn roi rac X c´ bang phˆn phˆi x´c suˆt sau
a
X 1 3 5
P 0,1 0,4 0,5
ı ’’ ’
T`m phuong sai cua X.
’
Giai
E(X)=1.0,1+3.0,4+5.0,5=3,8
E(X 2 ) = 12 .0, 1 + 32 .0, 4 + 52 .0, 5 = 16, 2
Do d´ V ar(X) = E(X 2 ) − [E(X)]2 = 16, 2 − 14, 44 = 1, 76.
¯o
´
o ¯˘ ’ ¯. ’ ’ ˜
2. C´c tham sˆ dac trung cua dai luong ngˆu nhiˆn
a ’ a e 33
ı . ¯. ’.’ ˜
• V´ du 10 Cho dai luong ngˆunhiˆn X c´ h`m mˆt dˆ
a e o a a ¯o
. .
´
cx3 voi 0 ≤ x ≤ 3
’
f (x) = ´
0 voi x ∈ [0, 3]
’
H˜y t`m
a ı
`
˘ ´
i) Hang sˆ c.
o
ii) K` vong.
y .
iii) Phuong sai
’’
’
Giai
3 3
x4 81
i) Ta c´ 1 =
o cx3 dx = c = c.
4 0
4
0
4
Suy ra c = .
81
3 3
4 3 4 x5
ii) E(X) = x x dx = = 2, 4.
81 81 5 0
0
iii) Ta c´
o
∞ 3 3
2 2 4 3 4 x6
E(X ) = x f (x)dx = x2 x dx = =6
81 81 6 0
−∞ 0
Vˆy V ar(X) = E(X ) − [E(X)] = 6 − (2, 4)2 = 0, 24.
a
.
2 2
´
3 T´ chˆt
ınh a
’
i) Var(C)=0; (C khˆng dˆi).
o ¯o
ii) V ar(cX) = c2 .V ar(X).
´ a ¯ . ’ .’ ˜
iii) Nˆu X v` Y l` hai dai luong ngˆu nhiˆn doc lˆp th`
e a a e ¯ˆ a
. . ı
* V ar(X + Y ) = V ar(X) + V ar(Y );
* Var(X-Y)=Var(X)+Var(Y);
* Var(C+X)=Var(X).
´ ˜ ’
Y nghia cua phuong sai
’’
´
Ta thˆy X − E(X) l` do lˆch khoi gi´ tri trung b` nˆn V ar(X) = E{[X − E(X)]2 }
a a ¯ˆ e
. . ’ a . ınh e
l` dˆ lˆch b` phuong trung b`
a ¯o e
. . ınh ’’ ’ a ´ ¯ˆ a a a
ınh. Do do phuong sai phan ´nh muc do phˆn t´n c´c
¯´ ’’ ’ .
gi´ tri cua ¯ . ’ .’
a . ˜
’ dai luong ngˆu nhiˆn chung quanh gi´ tri trung b`
a e a . ınh.
2.3 Do e
. . e ’
¯ ˆ lˆch tiˆu chuˆn
a
D’ . ¯ ’ `
˘ ’ ’ ¯ ’ . ¯ ’ ¯ . ’ .’ ˜
¯ on vi do cua phuong sai bang b` phuong don vi do cua dai luong ngˆu nhiˆn.
’’ ınh a e
Khi cˆn ¯´
a ´ ¯o a a a a . ’ ¯ . ’ ’
a ’ . ˜
` danh gi´ muc dˆ phˆn t´n c´c gi´ tri cua dai luong ngˆu nhiˆn theo don vi cua
a e ¯’ . ’
o `
’’ u o ¯˘
. . ’ ´ ¯o a ¯o e
’ . . e a’
n´, nguoi ta d`ng mˆt dac trung moi d´ l` dˆ lˆch tiˆu chuˆn.
34 D. ’ ’ ˜
a e a a ´
o a ´
Chuong 2. ¯ ai luong ngˆu nhiˆn v` phˆn phˆi x´c suˆt
’’ a
˜ . . e a’ ’ ¯. ’ ’ ˜
2 ¯ inh nghia 8 ¯ ˆ lˆch tiˆu chuˆn cua dai luong ngˆu nhiˆn X, k´ hiˆu l` σ(X),
D. Do e a e ı e a
.
.
¯ ’.’ ¯i ˜ nhu sau:
duoc d. nh nghia ’
σ(X) = V ar(X)
2.4 Mode
˜ a a . ’ ¯. ’.’ ˜ o ’ a ´ .
2 ¯ inh nghia 9 Mod(X) l` gi´ tri cua dai luong ngˆu nhiˆn X c´ kha n˘ng xuˆt hiˆn
D. a e a e
´ nhˆt trong mˆt lˆn cˆn n`o d´ cua n´.
lon a
’ ´ o a a a ¯o ’
. . o
Do ´ ¯. ’.’
´ ’ ˜
a e ` .’ a a . ’ ´ ´ a a ´
´ ’
¯ ˆi voi dai luong ngˆu nhiˆn roi rac mod(X) l` gi´ tri cua X ung voi x´c suˆt lon
’ ’
´t, c`n dˆi voi dai luong ngˆu nhiˆn liˆn tuc th` mod(X) l` gi´ tri cua X tai d´ h`m
nhˆ o ¯o ’
a ´ ´ ¯. ’.’ a˜ e e . ı a a . ’ . ¯o a
mˆt dˆ dat gi´ tri cuc dai.
a ¯o ¯.
. . a . .’ ¯.
Ch´ y Mˆt dai luong ngˆu nhiˆn c´ thˆ’ c´ mˆt mode ho˘c nhiˆu mode.
u´ o ¯ . ’ .’
. ˜
a e o e o o . a
. e`
ı . ’ ’’ a ¯ e’ ı ’ e ’`
• V´ du 11 Gia su X l` diˆm trung b`nh cua sinh viˆn trong truong th` mod(X) l`
’ ı a
diˆ
¯e ’m m` nhiˆu sinh viˆn dat duoc nhˆt.
a e` e ¯. ¯ ’.’ ´
a
˜
• V´ du 12 Cho dai luong ngˆu nhiˆn liˆn
ı . ¯. ’.’ a e e ´ ´ a
tuc c´ phˆn phˆi Vˆy−bun voi h`m mˆt
. o a o a ’ a
.
dˆ
¯o
.
0 ´
nˆu x ≤ 0
e
f (x) = x − x2
e 4 ´
nˆu x > 0
e
2
H˜y x´c d. nh mod(X).
a a ¯i
’
Giai
e
. ’
mod(X) l` nghiˆm cua phuong tr`
a ’’ ınh
1 x2 x2 x2
f (x) = e− 4 − e− 4 = 0
2 4
x2
a e
. ’
Suy ra mod(X) l` nghiˆm cua phuong tr` 1 −
’’ ınh = 0. Do mod(X) > 0 nˆn
e
√ 2
mod(X) = 2 = 1, 414.
2.5 Trung vi
.
˜ . ’ ¯. ’.’ ˜ a a . ’
2 ¯ inh nghia 10 Trung vi cua dai luong ngˆu nhiˆn X l` gi´ tri cua X chia phˆn
D. a e a
´i x´c suˆt th`nh hai phˆn c´ x´c suˆt giˆng nhau. K´ hiˆu med(X).
phˆ a
o ´ a
a a` o a ´ o
a ´ ı e.
1
Ta c´ P (X < med(X)) = P (X ≥ med(X)) =
o 2
⊕ Nhˆn x´t Tu d.nh nghia ta thˆy dˆ’ t` trung vi chi’ cˆn giai phuong tr` F (x) = 1 .
a
. e ` ¯i
’ ˜ ´
a ¯e ım . a` ’ ’’ ınh 2
´ dung, trung vi l` dac trung vi tr´ tˆt nhˆt, nhiˆu khi tˆt hon ca k` vong,
Trong ung .
’ . a ¯˘
. ’ . ı o´ ´
a e` ´ ’ ’ y .
o
´ ´ . e` ’
nhˆt l` khi trong sˆ liˆu c´ nhiˆu sai s´t. Trung vi c`n duoc goi l` phˆn vi 50% cua
a a o e o o . o ¯ ’ .’ . a a .
phˆn pho
a ˆ´i.
´
o ¯˘ ’ ¯. ’ ’ ˜
2. C´c tham sˆ dac trung cua dai luong ngˆu nhiˆn
a ’ a e 35
• V´ du 13 T` med(X) trong v´ du (12).
ı . ım ı .
’
Giai
e
. ’
med(X) l` nghiˆm cua phuong tr`
a ’’ ınh
med(X)
[med(X)]2
f (x)dx = 0, 5 hay 1 − e− 4 = 0, 5
0
Suy ra med(X) = 1, 665.
´ .
o ¯˘
Ch´ y N´i chung, ba sˆ dac trung k` vong, mode v` trung vi khˆng tr`ng nhau.
u´ o ’ y . a . o u
Cha ’ ng han, tu c´c v´ du (12), (13) v` t´ thˆm k` vong ta c´ E(X) = 1, 772; mod(X) =
˘ . ` a ı .
’ a ınh e y . o
1, 414 v` med(X) = 1, 665. Tuy nhiˆn nˆu a
a e e ´ phˆn phˆi dˆi xung v` chi’ c´ mˆt mode th`
o´ ¯o ´
´ ’ a o o. ı
’ ¯˘
ca ba dac trung d´ tr`ng nhau.
. ’ ¯o u
2.6 Moment
˜
2 ¯ inh nghia 11
D.
´
a ’ ¯. ’.’ ˜
a e a o ´
* Moment cˆp k cua dai luong ngˆu nhiˆn X l` sˆ mk = E(X k ).
a ´
a ˜
a e a o´
* Moment qui tˆm cˆp k cua dai luong ngˆu nhiˆn X l` sˆ αk = E{[X − E(X)]k }.
’ ¯. ’.’
⊕ Nhˆn x´t
a
. e
´ ’ ’
i) Moment cˆp 1 cua X l` k` vong cua X (m1 = E(X)).
a a y .
a ´
ii) Moment qui tˆm cˆp hai cua X l` phuong sai cua X (α2 = m2 − m2 = V ar(X)).
a ’ a ’’ ’ 1
iii) α3 = m3 − 3m2 m1 + 2m3 .
1
2.7 H`m moment sinh
a
˜ a ’ ¯. ’.’ ˜
2 ¯ inh nghia 12 H`m moment sinh cua dai luong ngˆu nhiˆn X l` h`m x´c d. nh
D. a e a a a ¯i
’’
trong (−∞, +∞) cho boi
etx p(x) ´ ` .
nˆu X roi rac
e ’
tX x
φ(t) = E(e ) = +∞
´
etx p(x)dx nˆu X liˆn tuc
e e .
−∞
´
3 T´ chˆt
ınh a
i) φ (0) = E(X).
ii) φ (0) = E(X 2 ).
o’
iii) Tˆng qu´t: φ(n) (0) = E(X n ), ∀n ≥ 1.
a
36 D. ’ ’ ˜
a e a a ´
o a ´
Chuong 2. ¯ ai luong ngˆu nhiˆn v` phˆn phˆi x´c suˆt
’’ a
´
Chung minh.
’
d d tX
i) φ (t) = E(etX ) = E (e ) = E(XetX ).
dt dt
Suy ra φ (0) = E(X).
d d d
ii) φ (t) = φ (t) = E(XetX ) = E (XetX ) = E(X 2 etX ).
dt dt dt
Suy ra φ (0) = E(X 2 ). 2
Ch´ y
u´
’ ’’ ¯ . ’ .’ ˜
i) Gia su X v` Y l` hai dai luong ngˆu nhiˆn doc lˆp c´ h`m moment sinh tuong
a a a e ¯ˆ a o a
. . ’’
´
’ a a ¯o a ’ ’’
ung l` φX (t) v` φY (t). Khi d´ h`m moment sinh cua X + Y cho boi
φX+Y (t) = E(et(X+Y ) ) = E(etX etY ) = E(etX )E(etY ) = φX (t)φY (t)
d˘’ ´ a
’ ` ´
(¯ang thuc gˆn cuˆi c´ duoc do etX v` etY doc lˆp)
o o ¯ ’ .’ a ¯ˆ a
. .
o ’’ ´ ˜ a ´ ´
a ’ ¯.
ii) C´ tuong ung 1−1 giua h`m moment sinh v` h`m phˆn phˆi x´c suˆt cua dai
’ ’ a a a o a
luong ngˆ
’ .’ ˜u nhiˆn X.
a e
3. ˆ ´
ˆ ˆ ˆ ´
ˆ ´ ´
ˆ
MOT SO QUI LUAT PHAN PHOI XAC SUAT
. .
3.1 a ´
o . ´
Phˆn phˆi nhi thuc (Binomial Distribution)
’
˜ a˜ e ` .
2 ¯ inh nghia 13 ¯ ai luong ngˆu nhiˆn roi rac X nhˆn mˆt trong c´c gi´ tri 0,1,2,...,n
D. D. ’.’ ’ a
. o a a .
´ c´c x´c suˆt tuong ung duoc t´nh theo cˆng thuc Bernoulli
voi a a
’ ´ ’ ’ ´ ¯ ’.’ ı
a ’ o ´
’
Px = P (X = x) = Cn px q n−x
x
(2.1)
´ . ´ ´
o ’ ’ ´ a
goi l` c´ phˆn phˆi nhi thuc voi tham sˆ n v` p. K´ hiˆu X ∈ B(n, p) (hay X ∼ B(n, p)).
. a o a o ı e .
Cˆng thuc
o ´
’
´
Voi h nguyˆn duong v` h ≤ n − x, ta c´
’ e ’’ a o
P (x ≤ X ≤ x + h) = Px + Px+1 + . . . + Px+h (2.2)
’ e e a´ ’ o ’ ’ ´ ˜ ’ ’
• V´ du 14 Ty lˆ phˆ phˆm trong lˆ san phˆm l` 3%. Lˆy ngˆu nhiˆn 100 san phˆm
ı . . a a a a e a
dˆ kiˆ’m tra. T` x´c suˆt dˆ’ trong d´
¯e’ e ım a ´
a ¯e ¯o
i) C´ 3 phˆ a
o e ’
´ phˆm.
o o a ´ ’
ii) C´ khˆng qu´ 3 phˆ phˆm.
e a
’
Giai
Ta thˆy mˆi lˆn kiˆ’m tra mˆt san phˆm l` thuc hiˆn mˆt ph´p thu. Do d´ ta c´
´
a ˜ ` e
o a o ’
. ’
a a .’ e
. o
. e ’’ ¯o o
’’
n=100 ph´p thu.
e
o o ´ a a ´
o a ´
3. Mˆt sˆ qui luˆt phˆn phˆi x´c suˆt
a 37
´ ´
a e o ’ ’ a ´ ´ a ’ ˜ ’’
Goi A l` biˆn cˆ san phˆm lˆy ra l` phˆ phˆm th` trong mˆi ph´p thu. Ta c´
. a a e ı o e o
p = p(A) = 0, 03.
D˘ ’ ´ ´ ’ ’ ’
¯ at X l` tˆng sˆ phˆ phˆm trong 100 san phˆm th` X ∈ B(100; 0, 03).
. a o o e a a ı
i) P (X = 3) = C100 (0, 03)3 .(0, 97)97 = 0, 2274.
3
ii) P (0 ≤ X ≤ 3) = P0 + P1 + P2 + P3
= C100 (0, 03)0 (0, 97)100 + C100 (0, 03)1 (0, 97)99
0 1
+C100 (0, 03)2 (0, 97)98 + C100 (0, 03)3 (0, 97)97
2 3
= 0, 647.
Ch´ y Khi n kh´ lon th` x´c suˆt p khˆng qu´ gˆn 0 v` 1. Khi do ta c´ thˆ’ ´p dung
u´ a ´
’ ı a ´
a o a a ` a ¯´ o ea .
´ xˆp xi’ sau
´
cˆng thuc a
o ’
i)
1
Px = Cn px q n−x ≈ √
x
f (u) (2.3)
npq
trong d´
¯o
x − np 1 u2
u= √ ; f (u) = √ e− 2 ;
npq 2π
¯ ’ .’ . o ´ ¯i
(2.3) duoc goi cˆng thuc d.a phuong Laplace.
’ ’’
ii)
P (x ≤ X ≤ x + h) ≈ ϕ(u2 ) − ϕ(u1 ) (2.4)
trong d´
¯o
u
1 t2
ϕ(u) = √ e− 2 dt (H`m Laplace);
a
2π 0
x − np x + h − np
u1 = √ ; u2 = √
npq npq
¯ ’ .’ . a o ´ ıch a
(2.4) duoc goi l` cˆng thuc t´ phˆn Laplace.
’
´ .
o ¯˘
C´c tham sˆ dac trung
a ’
´
Nˆu X ∈ B(n, p) th` ta c´
e ı o
i) E(X) = np.
ii) V ar(X) = npq.
iii) np − q ≤ mod(X) ≤ np + p.
´’ e ¯ . ’ .’ ˜ e o a ´ . ´ ´ a
Chung minh. X´t dai luong ngˆu nhiˆn X c´ phˆn phˆi nhi thuc voi c´c tham sˆ n v`
a o ’ ’ ´
o a
p biˆe’u diˆn ph´p thu biˆn cˆ A xay ra, mˆi ph´p thu c´ c`ng x´c suˆt xay ra biˆn cˆ A
˜
e e ’’ e´ o ´ ’ ˜
o e ’’ o u a ´ ’
a ´ o
e ´
l` p.
a
Ta c´ thˆ’ biˆ’u diˆn X nhu sau:
o e e ˜
e ’
n
X= Xi
i=1
38 D. ’ ’ ˜
a e a a ´
o a ´
Chuong 2. ¯ ai luong ngˆu nhiˆn v` phˆn phˆi x´c suˆt
’’ a
´
e ’’ e ’’ ´’ ´ ´
e o ’
1 nˆu o ph´p thu thu i biˆn cˆ A xay ra
trong d´ Xi =
¯o ´
0 nˆu nguoc lai
e ’ .’ .
˜
a e ¯ˆ a o a
. . ´ . ´ e
V` Xi , i = 1, 2, . . . , n l` c´c dai luong ngˆu nhiˆn doc lˆp c´ phˆn phˆi nhi thuc nˆn
ı a a ¯ . ’ .’ o ’
E(Xi ) = P (Xi = 1) = p
V ar(Xi ) = E(Xi2 ) − p2 = p(1 − p) = pq (Xi2 = Xi )
Do d´
¯o n
E(X) = E(Xi ) = np
i=1
n
V ar(X) = V ar(Xi ) = npq
i=1
2
ı . o a ’
. ´
a ¯ ’.’ ’ a’ o
. a a a ¯e’ a
´
• V´ du 15 Mˆt m´y san xuˆt duoc 200 san phˆm trong mˆt ng`y. X´c suˆt dˆ m´y
’ ´ ´ ’ ´ ´ ’ ´ ´ ’ o ’
san xuˆt ra phˆ phˆm l` 0, 05. T`m sˆ phˆ phˆm trung b` v` sˆ phˆ phˆm c´ kha
a e a a ı o e a ınh a o e a
a ’
n˘ng tin ch´c cua m´y d´ trong mˆt ng`y.
a a ¯o o
. a
’
Giai
. ´ ´ ’ ’
Goi X l` sˆ phˆ phˆm cua m´y trong mˆt ng`y th` X ∈ B(200; 0, 05).
a o e a a o
. a ı
´ ´ ’ ınh ’
Sˆ phˆ phˆm trung b` cua m´y trong mˆt ng`y l`
o e a a o
. a a
E(X) = np = 200 × 0, 05 = 10
´ ´ ’ ´
˘
Sˆ phˆ phˆm tin chac trong ng`y l` mod(X). Ta c´
o e a a a o
np − q = 200 × 0, 05 − 0, 95 = 9, 05
np + p = 200 × 0, 05 + 0, 05 = 10, 05
=⇒ 9, 05 ≤ mod(X) ≤ 10, 05
V` X ∈ B(200; 0, 05) nˆn mod(X) ∈ Z. Do d´ mod(X) = 10.
ı e ¯o
3.2 ´
Phˆn phˆi Poisson
a o
o ´
Cˆng thuc Poisson
’
’ ’’ ˜
a e o a ´ . ´ ´
o ’ ’ ´
Gia su X l` dai luong ngˆu nhiˆn c´ phˆn phˆi nhi thuc voi tham sˆ (n, p) v` a = np
a ¯ . ’ .’ o a
¯o a ´ a
trong d´ n kh´ lon v` p kh´ b´.
’ a e
Ta c´
o
n!
P (X = k) = pk (1 − p)n−k
(n − k)!k!
n! a a
= .( )k .(1 − )n−k
(n − k)!k! n n
a
n(n − 1) . . . (n − k + 1) ak (1 − n )n
= . . a
nk k! (1 − n )k
o o ´ a a ´
o a ´
3. Mˆt sˆ qui luˆt phˆn phˆi x´c suˆt
a 39
a ´ a
Do n kh´ lon v` p kh´ b´ nˆn
’ a e e
a n n(n − 1) . . . (n − k + 1) a k
(1 − ) ≈ e−a , ≈ 1, (1 − ) ≈1
n nk n
ak
Do d´ P (X = k) ≈ e−a
¯o
k!
a ` o ´ ´ a
’ ´
Vˆy tu cˆng thuc Bernoulli ta c´ cˆng thuc xˆp xi’
. ’ ’ o o
ak −a
Pk = P (X = k) = Cn pk q n−k ≈
k
e
k!
Khi d´ ta c´ thˆ’ thay cˆng thuc Bernoulli boi cˆng thuc Poisson
¯o o e o ´
’ ’’ o ´
’
ak −a
Pk = P (X = k) = e (2.5)
k!
˜ ˜ e ` .
2 ¯ inh nghia 14 ¯ ai luong ngˆu nhiˆn roi rac X nhˆn mˆt trong c´c gi´ tri 0,1,...,n
D. D. ’.’ a ’ a
. o
. a a .
´ c´c x´c suˆt tuong ung duoc t´ theo cˆng thuc (2.5) duoc goi l` c´ phˆn phˆi
voi a a
’ ´ ’ ’ ´ ¯ ’.’ ınh
a ’ o ´
’ ¯ ’.’ . a o a o´
´’ ´
Poisson voi tham sˆ a. K´ hiˆu X ∈ P(a) (hay X ∼ P(a)).
o ı e
.
Ch´ y
u´
´ ak −a
P (k ≤ X ≤ k + h) = Pk + Pk+1 + . . . + Pk+h voi Pk =
’ e .
k!
• V´ du 16 Mˆt m´y dˆt c´ 1000 ˆng soi, X´c suˆt dˆ’ mˆt gio m´y hoat dˆng c´ 1
ı . o
. a e o
. ´
o .’ a ´
a ¯e o ` a
. ’ . ¯o. o
´ng soi bi dut l` 0,002. T`m x´c suˆt dˆ’ trong mˆt gio m´y hoat dˆng c´ khˆng qu´ 2
o
ˆ ´ a
.’ . ¯ ’ ı a ´ ¯e
a o ` a
. ’ . ¯o. o o a
´ng soi bi dut.
o
ˆ ´
.’ . ¯ ’
’
Giai
. . ´ .’ o . ¯ ´’ o ` a
Viˆc quan s´t mˆt ˆng soi c´ bi dut hay khˆng trong mˆt gio m´y hoat dong l` mˆt
e a o o o . ’ . ¯ˆ. a o.
ph´p thu. a ¯e o
e . o´
’’ M´y dˆt c´ 1000 ˆng soi nˆn ta c´ n = 1000 ph´p thu dˆc lˆp.
.’ e o e ’’ ¯o a
. .
. ´ ´´ .’ . ¯ ´ a
’ ´´
a oo .’ . ¯ ´
’ o
. ` a
Goi A l` biˆn cˆ ˆng soi bi dut v` X l` sˆ ˆng soi bi dut trong mˆt gio m´y hoat
a e oo ’ .
dong th` p = P (A) = 0, 002 v` X ∈ B(1000; 0, 002).
¯ˆ
. ı a
V` n = 1000 kh´ lon v` np = 2 khˆng dˆi nˆn ta c´ thˆ’ xem X ∈ P(a).
ı a ´ a
’ o ¯o e’ o e
Do d´ x´c suˆt dˆ’ c´ khˆng qu´ 2 ˆng soi bi dut trong mˆt gio l`
¯o a ´
a ¯e o o a o ´ .’ . ¯ ´
’ o ` a
. ’
P (0 ≤ X ≤ 2) = P0 + P1 + P2
20 −2
P0 = P (X = 0) = 0!
e
21 −2
P1 = P (X = 1) = 1!
e
22 −2
P2 = P (X = 2) = 2!
e
Do d´ P (0 ≤ X ≤ 2) = (1 + 2 + 2)e−2 = 5(2, 71)−2 = 0, 6808.
¯o
40 D. ’ ’ ˜
a e a a ´
o a ´
Chuong 2. ¯ ai luong ngˆu nhiˆn v` phˆn phˆi x´c suˆt
’’ a
´ .
o ¯˘
C´c tham sˆ dac trung
a ’
´
Nˆu X ∈ P(a) th` E(X) = V ar(X) = a v` a − 1 ≤ modX ≤ a.
e ı a
Chung minh. ¯ ˆ’ nhˆn duoc k` vong v` phuong sai cua dai luong ngˆu nhiˆn c´ phˆn
´’ De a ¯ ’ .’ y .
. a ’’ ’ ¯ . ’ .’ ˜
a e o a
´i Poisson ta x´c d.nh h`m moment sinh
phˆ
o a ¯i a
ψ(t) = E(etX )
Ta c´
o
∞ ∞
ak (aet )k t t
ψ(t) = etk e−a = e−a = e−a eae = ea(e −1)
k=0 k! k=0 k!
t
ψ (t) = aet ea(e −1)
t t
ψ (t) = (aet )2 ea(e −1) + aet ea(e −1)
Do d´
¯o
E(X) = ψ (0) = a
V ar(X) = ψ (0) − [E(X)]2 = a2 + a − a2 = a
2
’
Ung dung
.
. ˜
a e o a ´
Mˆt v`i dai luong ngˆu nhiˆn c´ phˆn phˆi Poisson:
o a ¯ . ’ .’ o
´ ˜
o o o
. a
. . ´
o o ’ o
. ´
i) Sˆ lˆi in sai trong mˆt trang (ho˘c mˆt sˆ trang) cua mˆt cuˆn s´ch.
o a
´ ’`
o ’ o o ¯o
. . ` o ´ ´
ii) Sˆ nguoi trong mˆt cˆng dˆng sˆng cho toi 100 tuˆi.
’ o’
´ .
iii) Sˆ cuˆc diˆn thoai goi sai trong mˆt ng`y.
o o ¯e . . . o
. a
´
o ’ a ¯a ` e ’’ .
iv) Sˆ transitor hu trong ng`y dˆu tiˆn su dung.
´
v) Sˆ kh´ch h`ng v`o buu diˆn trong mˆt ng`y.
o a a a ’ ¯e . o
. a
´ ` a .
vi) Sˆ hat α ph´t ra tu c´t hat ph´ng xa trong mˆt chu k`.
o . a ’ o . o
. y
3.3 a ´
Phˆn phˆi siˆu bˆi
o e o
.
´
a) Cˆng thuc siˆu bˆi
o ’ e o.
` a ’’
` a ’’ o ınh a
` ´
X´t mˆt tˆp hop gˆm N phˆn tu, trong do c´ M phˆn tu c´ t´ chˆt A n`o do.
e o a
. . .’ o ¯´ o a ¯´
Lˆ
a´y ngˆu nhiˆn (khˆng ho`n lai) tu tˆp hop ra n phˆn tu. Goi X l` sˆ phˆn tu c´ t´
a˜ e o a . ` a
’ . .’ a` ’’ . a o´ a ’’ o ınh
`
´ a ’’ a
` ´
chˆt A c´ trong n phˆn tu lˆy ra. Ta c´
a o o
x n−x
CM CN −M
Px = P (X = x) = n
(x = 0, 1, . . . , n) (2.6)
CN
o o ´ a a ´
o a ´
3. Mˆt sˆ qui luˆt phˆn phˆi x´c suˆt
a 41
´
b) Phˆn phˆi siˆu bˆi
a o e o
.
˜ ˜ e ` .
2 ¯ inh nghia 15 ¯ ai luong ngˆu nhiˆn roi rac X nhˆn mˆt trong c´c gi´ tri 0,1,...,n
D. D. ’.’ a ’ a
. o
. a a .
´ c´c x´c suˆt tuong ung duoc t´ theo cˆng thuc (2.6) duoc goi l` c´ phˆn phˆi siˆu
voi a a
’ ´ ’ ’ ´ ¯ ’.’ ınh
a ’ o ´’ ¯ ’.’ . a o a ´
o e
o ´
. ’ ´
bˆi voi tham sˆ N, M, n. K´ hiˆu X ∈ H(N, M, n) (hay X ∼ H(N, M, n)).
o ı e .
o o a
. o ’ a’ ¯o o ’ ’
a o ´ a´ a˜
• V´ du 17 Mˆt lˆ h`ng c´ 10 san phˆm, trong d´ c´ 6 san phˆm tˆt. Lˆy ngˆu nhiˆn
ı . e
o a . ` o a
’ ’
(khˆng ho`n lai) tu lˆ h`ng ra 4 san phˆ
a ’m. T`m x´c suˆt dˆ’ c´ 3 san phˆm tˆt trong 4
ı a ´ ¯e o
a ’ a’ o´
’ ’m duoc lˆy ra.
san phˆ ¯ ’.’ a
a ´
’
Giai
´
a o ’ ’ o o´ ’ ’ ´ ˜
Goi X l` sˆ san phˆm tˆt c´ trong 4 san phˆm lˆy ra th` X l` dai luong ngˆu nhiˆn
. a a a ı a ¯ . ’ .’ a e
o a ´i siˆu bˆi voi tham sˆ N = 10, M = 6, n = 4.
c´ phˆn phˆ e o ’
o . ´ ´
o
X´c suˆt dˆ’ c´ 3 san phˆm tˆt trong 4 san phˆm lˆy ra l`
a ´
a ¯e o ’ a’ o´ ’ ’
a a ´ a
3 1
C6 .C4 8
P (X = 3) = 4
= = 0, 3809
C10 21
Ch´ y
u´
x n−x
a e ´ N th` CM CN −M ≈ Cn px q n−x
Khi n kh´ b´ so voi
’ ı x
(p =
M
, q = 1 − p)
n
CN N
Goi X l` sˆ phˆn tu c´ t´ chˆt A n`o d´ trong n phˆn tu lˆy ra th` ta c´ thˆ’ xem
. ´ `
a o a ’’ o ınh a ´ a ¯o a ’’ a
` ´ ı o e
o a e a ’’ o ınh a
. ` ´
X ∈ B(n, p) v´i p l` ti’ lˆ phˆn tu c´ t´ chˆt A cua tˆp hop.
’ a . .’
´ .
o ¯˘
c) C´c tham sˆ dac trung
a ’
´
Nˆu X ∈ H(N, M, n) th` ta c´
e ı o
´ M
E(X) = np (voi p =
’ )
N
N −n ´
V ar(X) = npq (voi q = 1 − p).
’
N −1
’ ’ ´ ´ ’
o ` .
Bang tˆng kˆt c´c phˆn phˆi roi rac
o e a a
Phˆn phˆi
a o´ K´ hiˆu
ı e . ´
X´c suˆt P (X = k)
a a E(X) V ar(X)
. ´ Cn p (1 − p)n−k
k k
Nhi thuc
’ B(n, p) np npq
ak −a
Poisson P(a) e a a
k!
k n−k
CM .CN −M M N −n
Siˆu bˆi
e o . H(N, M, n) n
np (p = N
) npq
CN N −1
42 D. ’ ’ ˜
a e a a ´
o a ´
Chuong 2. ¯ ai luong ngˆu nhiˆn v` phˆn phˆi x´c suˆt
’’ a
3.4 ´ u
Phˆn phˆi m˜
a o
D. ˜ D. ’.’ ˜
a e ¯ ’.’ . a o a o u ´
´ ’ ´
2 ¯ inh nghia 16 ¯ ai luong ngˆu nhiˆn X duoc goi l` c´ phˆn phˆi m˜ voi tham sˆ
o
´
e o o a a ¯o a
. . a´
λ > 0 nˆu n´ c´ h`m mˆt dˆ x´c suˆt
´
λe−λx nˆu x > 0
e
f (x) = ´
0 nˆu x ≤ 0
e
. e ´
e o a o u ´
´ ’ ´
o ı a a ´
o a ´
a ’
⊕ Nhˆn x´t Nˆu X c´ phˆn phˆi m˜ voi tham sˆ λ th` h`m phˆn phˆi x´c suˆt cua
a
X l`
a
x
F (x) = λe−λx dt = 1 − e−λx v´i x > 0
o
0
v`
a
´
F (x) = 0 voi x ≤ 0.
’
´ .
o ¯˘
C´c tham sˆ dac trung
a ’
´
e a ¯ . ’ .’ ˜
a e o a o u ´
´ ’ ´
Nˆu X l` dai luong ngˆu nhiˆn c´ phˆn phˆi m˜ voi tham sˆ λ > 0 th`
o ı
y . ’
i) K` vong cua X l`
a
+∞ +∞
−λx +∞ 1
E(X) = λ xe dx = −xe−λx + e−λx dx =
0 λ
0 0
’’ ’
ii) Phuong sai cua X l`
a
+∞
1
V ar(X) = x2 λe−λx dx −
λ2
0
+∞ +∞
2 −λx +∞ 2
ıch a ` ’ `
T´ phˆn tung phˆn ta duoc
a ¯ ’ .’ x λe dx = −x2 e−λx +2 λxe−λx dx = .
0 λ2
0 0
1
Do d´ V ar(X) =
¯o .
λ2
ı . ’ ’’ o ’ . ı `
˘ a ’ o
. . ¯ e ’’
• V´ du 18 Gia su tuˆi tho (t´nh bang n˘m) cua mˆt mach diˆn tu trong m´y t´ l`
. a ınh a
o ¯. ’.’
. a˜ e o a o u ´ y .
´ ’ a `’ ’ a ’
mˆt dai luong ngˆu nhiˆn c´ phˆn phˆi m˜ voi k` vong l` 6,25. Thoi gian bao h`nh cua
. . ’’ n`y l` 5 n˘m.
mach diˆn tu a a
¯e a
’ o ` a ¯ e ’’ a ’ ´ ` ’
Hoi c´ bao nhiˆu phˆn tr˘m mach diˆn tu b´n ra phai thay thˆ trong thoi gian bao
e a . . e ’
h`nh?
a
’
Giai
. ’ . ’ . ı o a ´
Goi X l` tuˆi tho cua mach. Th` X c´ phˆn phˆi m˜
a o o u
1 1
Ta c´ λ =
o =
E(X) 6, 25
5
P (X ≤ 5) = F (5) = 1 − e−λ.5 = 1 − e− 6,25 = 1 − e−0,8 = 1 − 0, 449 = 0, 5506
o o ´ a a ´
o a ´
3. Mˆt sˆ qui luˆt phˆn phˆi x´c suˆt
a 43
. ’ ´
o . ¯ e ’’ a
. ’ ´
e `’ ’ a
Vˆy c´ khoang 55% sˆ mach diˆn tu b´n ra phai thay thˆ trong thoi gian bao h`nh.
a o
´’
Ung dung trong thuc tˆ ´
. . e
’
’ `’ u a ` ´ .
a e ’ ´
o e o a
. ´
o u ’
˘
Khoang thoi gian gi˜a hai lˆn xuˆt hiˆn cua mˆt biˆn c´ phˆn phˆi m˜. Chang han .
’ `’ u a ´ ’’ o e
´ ’ . . e. ˜
’ a` ’ o ’
khoang thoi gian gi˜ a hai ca cˆp cuu o mˆt bˆnh viˆn, giua hai lˆn hong h´c cua mˆt o.
c´i m´y, giua
a a ’ . ¯o ¯a
. ´ a ˜ ¯ . ’ .’
’ a˜ e o a ´ u
˜ hai trˆn lut hay dˆng dˆt l` nhung dai luong ngˆu nhiˆn c´ phˆn phˆi m˜.
a . o
3.5 ´ `
Phˆn phˆi dˆu
a o ¯e
˜ D. ’.’ a˜ e e . ¯ ’.’ . a o a ´ ` e
2 ¯ inh nghia 17 ¯ ai luong ngˆu nhiˆn liˆn tuc X duoc goi l` c´ phˆn phˆi dˆu trˆn
D. o ¯e
´u h`m mˆt dˆ x´c suˆt c´ dang
doan [a,b] nˆ a
¯ . e a ¯o a
. . a o .
1 ´
nˆu x ∈ [a, b]
e
f (x) = b − a
0 ´
nˆu x ∈ [a, b]
e
a. e e´ o a ´
o ¯e` e ı a a ´
o ’ ’’
⊕ Nhˆn x´t Nˆu X c´ phˆn phˆi dˆu trˆn [a,b] th` h`m phˆn phˆi cua X cho boi
´
F (x) = 0 nˆu x < a
e
x x
dx x−a ´
F (x) = f (x)dx = = nˆu a ≤ x ≤ b
e
a
b−a b−a
−∞
´
F (x) = 1 nˆu x > b.
e
Ch´ y Gia su (α, β) ⊂ [a, b]. X´c suˆt dˆ’ X roi v`o (α, β) l`
u´ ’ ’’ a ´
a ¯e ’ a a
β
β−α
P (α < X < β) = f (x)dx =
α
b−a
´
o ¯˘
C´c tham sˆ dac trung
a ’
b
xdx 1 b2 − a 2 a+b
i) E(X) = = = (k` vong l` trung diˆ’m cua [a,b]).
y . a ¯e ’
a
b−a b−a 2 2
b b
x2 dx 1 x3 a+b
ii) V ar(X) = − [E(X)]2 = −
a
b−a b−a 3 a 2
2 2 2 2
b + ab + a (a + b) (b − a)
= − =
3 4 12
iii) modX l` bˆt cu diˆ’m n`o trˆn [a,b].
a a ´ ¯e
´ ’ a e
. . ’ . . y ’ ´
• V´ du 19 Lich chay cua xe bu´t tai mˆt tram xe bu´t nhu sau: chiˆc xe bu´t dˆu
ı . y . o e y ¯a `
a e ’’ a ` .
’ a a u ` ´
’ ’ ˜
tiˆn trong ng`y s˜ khoi h`nh tu tram n`y v`o l´c 7 gio, cu sau mˆi 15 ph´t s˜ c´ mˆt
e o u e o o .
´ tram. Gia su mˆt h`nh kh´ch dˆn tram trong khoang thoi gian tu 7 gio dˆn
xe kh´c dˆn .
a ¯e ’ ’’ o a
. a ¯e ´ . ’ `’ `
’ ’ ´
` ¯e
7 gio 30. T`m x´c suˆt dˆ’ h`nh kh´ch n`y cho
`’ ı a ´
a ¯e a a a `’
44 D. ’ ’ ˜
a e a a ´
o a ´
Chuong 2. ¯ ai luong ngˆu nhiˆn v` phˆn phˆi x´c suˆt
’’ a
´ ’
a) It hon 5 ph´t.
u
´ ´
b) It nhˆt 12 ph´t.
a u
’
Giai
. ´
a o u ` a a
’ ´ . ı a ¯ . ’ .’ ˜
Goi X l` sˆ ph´t sau 7 gio m` h`nh kh´ch dˆn tram th` X l` dai luong ngˆu nhiˆn
a ¯e a e
o a o´i dˆu trong khoang (0, 30).
c´ phˆn phˆ ¯e` ’
a a e ` ıt ’
’ u e ¯e´ ´ . ˜’ `’ a `
a) H`nh kh´ch s˜ cho ´ hon 5 ph´t nˆu dˆn tram giua 7 gio 10 v` 7 gio 15 ho˘c
’ a
.
˜ ` ` ´t cˆn t` l`
a `
giua 7 gio 25 v` 7 gio 30. Do do x´c suˆ a ım a
’ ’ a ’ ¯´ a
5 5 1
P (10 < X < 15) + P (25 < X < 30) = + =
30 30 3
` ıt a
’ ´ u e ¯e´ ´ . ˜’ ` a
’ `
b) H`nh kh´ch cho ´ nhˆt 12 ph´t nˆu dˆn tram giua 7gio v` 7 gio 3 ph´t ho˘c
a a ’ u a
.
giua
’ `’ u a `’ u a ´ a ım a
a `
˜ 7 gio 15 ph´t v` 7 gio 18 ph´t. X´c suˆt cˆn t` l`
3 3 1
P (0 < X < 3) + P (15 < X < 18) = + =
30 30 5
3.6 ´ ’
Phˆn phˆi chuˆn (Karl Gauss)
a o a
a ´
o a’
a) Phˆn phˆi chuˆn
˜
2 ¯ inh nghia 18
D.
’.’ ˜
¯ ai luong ngˆu nhiˆn liˆn
D. a e e
tuc X nhˆn gi´ tri trong
. a
. a .
’
khoang (−∞, +∞) duoc goi l`
¯ ’.’ . a f(x)
o a o´ a’
c´ phˆn phˆi chuˆn nˆu h`m e´ a 1
√
mˆt dˆ x´c suˆ o .
a ¯o a
. . ´t c´ dang
a σ 2π
1 (x−µ)2
f (x) = √ e− 2σ2
σ 2π
√1
σ 2πe
a ˘` ´
trong d´ µ, σ l` hang sˆ,
¯o o
σ > 0, −∞ < x < ∞.
o µ−σ µ µ+σ x
K´ hiˆu X ∈ N (µ, σ 2 ) hay (X ∼ N (µ, σ 2 )).
ı e .
´ .
o ¯˘
b) C´c tham sˆ dac trung
a ’
´
Nˆu X ∈ N (µ, σ 2 ) th` E(X) = µ v` V ar(X) = σ 2 .
e ı a
´
Chung minh.
’ X´t h`m moment sinh
e a
+∞
1 (x−µ)2
tX
φ(t) = E(e ) = √ etx .e− 2σ2 dx
σ 2π−∞
x−µ
D˘
¯ at y =
. σ
th`
ı
o o ´ a a ´
o a ´
3. Mˆt sˆ qui luˆt phˆn phˆi x´c suˆt
a 45
+∞ +∞
1 y2 eµt y 2 −2tσy
φ(t) = √ eµt etx e− 2 dy = √ e− 2 dy
2π −∞ 2π−∞
+∞ +∞
eµt (y−tσ)2 t2 σ 2 σ 2 t2 1 (y−tσ)2
= √ e− 2 + 2 dy = eµt+ 2 × √ e− 2 dy
2π−∞ 2π−∞
1 (y−tσ)2
´ ’
V` f (y) = √ e− 2
ı a a a ¯ˆ ’
. . a o a ´ ’ ´
l` h`m mˆt do cua phˆn phˆi chuˆn voi tham sˆ tσ v` 1
o a
2π
+∞
1 (y−tσ)2
nˆn √
e e− 2 dy = 1.
2π−∞
σ 2 +t2
Do d´ φ(t) = eµt+
¯o 2 .
´
Lˆy c´c dao h`m ta duoc
a a ¯. a ¯ ’ .’
2 t2 2 t2
φ (t) = (µ + tσ 2 )eµt+σ 2 , φ (t) = σ 2 eµt+σ 2 .(µ + tσ 2 )
Khi d´
¯o
E(X) = φ (0) = µ
E(X 2 ) = φ (0) = σ 2 + µ2 =⇒ V ar(X) = E(X 2 ) − [E(X)]2 = σ 2 2
a ´
o a’
c) Phˆn phˆi chuˆn h´a
o
D. ˜ D. ’.’ ˜
a e ¯ ’.’ . a o a ´
o ’
a o e o ´
2 ¯ inh nghia 19 ¯ ai luong ngˆu nhiˆn X duoc goi l` c´ phˆn phˆi chuˆn h´a nˆu n´
´
o ’
a ´
c´ phˆn phˆi chuˆn voi µ = 0 v` σ 2 = 1. K´ hiˆu X ∈ N (0, 1) hay X ∼ N (0, 1).
o a ’ a ı e .
´ X −µ
⊕ Nhˆn x´t
a
. e Nˆu X ∈ N (µ, σ 2 ) th` U =
e ı ∈ N (0, 1).
σ
a a’
d) Phˆn vi chuˆn
.
a’ ´
Phˆn vi chuˆn muc α, k´ hiˆu uα ,
a . ’ ı e.
a a . ’ ¯ . ’ .’ ˜
l` gi´ tri cua dai luong ngˆu nhiˆn U
a e
´ ’ ’ a ¯ e`
c´ phˆn phˆi chuˆn h´a thoa m˜n diˆu
o a o a o
kiˆn
e
.
P (U < uα ) = α.
Voi α cho truoc c´ thˆ’ t´ duoc c´c gi´ tri cua uα . C´c gi´ tri cua uα duoc t´
´
’ ’ ´ o e ınh ¯ ’ .’ a
’ a . ’ a a . ’ ¯ ’ .’ ınh
˜
˘ ’
san th`nh bang.
a
46 D. ’ ’ ˜
a e a a ´
o a ´
Chuong 2. ¯ ai luong ngˆu nhiˆn v` phˆn phˆi x´c suˆt
’’ a
o ´
e) Cˆng thuc
’
´
Nˆu X ∈ N (µ, σ 2 ) th` ta c´
e ı o
x2 − µ x1 − µ
i) P (x1 ≤ X ≤ x2 ) = ϕ( ) − ϕ( )
σ σ
ε
ii) P (|X − µ| < ε) = 2ϕ( )
x
σ
1 t2
trong d´ ϕ(x) = √
¯o e− 2 dt (h`m Laplace).
a
2π 0
. ’.’ ’ o . ’
. ’
a a ¯. ’.’ ˜
• V´ du 20 Trong luong cua mˆt loai san phˆm l` dai luong ngˆu nhiˆn c´ phˆn phˆi
ı . a e o a ´
o
chuˆa’n voi trong luong trung b`nh µ = 5kg v` do lˆch tiˆu chuˆn σ = 0, 1. T´ ti’ lˆ
´ .
’ ’.’ ı a ¯. e
. e a’ ınh e
.
˜’ ’
nhung san phˆ a’m c´ trong luong tu 4,9 kg dˆn 5,2 kg.
o . ’.’ ` ’ ´
¯e
’
Giai
. a . ’ .’ ’ ’ a’
Goi X l` trong luong cua san phˆm th` X ∈ N (5; 0, 1).
ı
. ’ o . ’ .’ `
’ ´
Ti’ lˆ san phˆm c´ trong luong tu 4,9 kg dˆn 5,2 kg l`
e ’ a ¯e a
P (4, 9 ≤ X ≤ 5, 2) = ϕ( 5,2−5 ) − ϕ( 4,9−5 )
0,1 0,1
= ϕ(2) − ϕ(−1)
= 0, 4772 − (−0, 3413)
= 0, 8185
f ) Qui t˘c ”k−σ”
a
o ´
’ ε ´ ´
Trong cˆng thuc P (|X − µ| < ε) = 2ϕ( σ ) nˆu lˆy ε = kσ th` P (|X − µ| < ε) =
e a ı
2ϕ(k).
´ ’` ´
˘ ´ o
Trong thuc tˆ ta thuong d`ng qui tac 1, 96σ, 2, 58σ v` 3σ voi nˆi dung l`:
.’ e ’ u a ’ . a
”Nˆu X ∈ N (µ, σ 2 ) th` x´c suˆt dˆ’ X nhˆn gi´ tri sai lˆch so voi k` vong khˆng qu´
´
e ı a ´
a ¯e a
. a . e
. ´ y .
’ o a
1, 96σ; 2, 58σ v` 3σ l` 95 %, 99% v` 99% ”.
a a a
´’
g) Ung dung
.
˜
a e o a ´
o a’
C´c dai luong ngˆu nhiˆn sau c´ phˆn phˆi chuˆn:
a ¯ . ’ .’
’´ ´ a a ’ ´
- K´ thuoc chi tiˆt m´y do m´y san suˆt ra.
ıch ’ e a
. ’ .’ ’ e` ’ a’
- Trong luong cua nhˆu san phˆm c`ng loai.
u .
a ´
a ’ . . a o ` e ˜
’ ’’
- N˘ng suˆt cua mˆt loai cˆy trˆng trˆn nhung thua ruˆng kh´c nhau.
o o
. a
3.7 a ´
Phˆn phˆi χ2
o
D. ˜ ’ ’’ a a ¯. ’.’ ˜
2 ¯ inh nghia 20 Gia su Xi (i=1,2,...,n) l` c´c dai luong ngˆu nhiˆn dˆc lˆp c`ng
a e ¯o a u
. .
o a ´
o ’
c´ phˆn phˆi chuˆn h´a.
a o
