Xác suất của biến cố
Xác suất của biến cố. phép thử ngẫu nhiên và biến cố ngẫu nhiên. Phép thử ngẫu nhiên là việc thực hiện 1 thí nghiệm, hoặc việc quan sát 1 hiện tượng tự nhiên trong 1 số điều kiện nhất định. Nó có thể dẫn đến kết cục khác. Phép thử ngẫu nhieenn ( gọi tắt là phép thử) là một thí nghiệm hay một hành động mà:- Kết quả của nó không đoán trước được;- có thể xác định được tập hợp tất cả các kết quả có.........
ThS. Phạm Trí Cao * Chương 1
I/Pheùp thöû ngaãu nhieân vaø bieán coá ngaãu nhieân:
Pheùp thöû ngaãu nhieân: laø vieäc thöïc hieän 1 thí
nghieäm/thöïc nghieäm, hoaëc vieäc quan saùt 1 hieän
CHÖÔNG 1: töôïng töï nhieân trong 1 soá ñieàu kieän nhaát ñònh. Noù
XAÙC SUAÁT CUÛA BIEÁN COÁ coù theå daãn ñeán keát cuïc naøy hoaëc keát cuïc khaùc (coù ít
nhaát 2 keát cuïc). Vaø vieäc laøm naøy coù theå thöïc hieän
1
bao nhieâu laàn cuõng ñöôïc.
2
Vd1: Tung 1 ñoàng tieàn saáp ngöõa (caân ñoái, ñoàng chaát),
xeùt xem maët naøo xuaát hieän (maët naøo ñöôïc laät leân). Caùc keát cuïc cuûa pheùp thöû NN goïi laø caùc bieán coá.
Ñaây laø 1 pheùp thöû ngaãu nhieân? Coù 3 loaïi bieán coá: bc ngaãu nhieân , bc chaéc chaén, bc
Vd2: Neùm hoøn ñaù xuoáng nöôùc, xeùt xem hoøn ñaù chìm khoâng theå coù
hay noåi. BcNN: laø bc coù theå xaõy ra hoaëc khoâng xaõy ra khi thöïc
Ñaây laø 1 pheùp thöû ngaãu nhieân? hieän pheùp thöû . Kyù hieäu A, B, C,…
Vd3: Hai vôï choàng caõi nhau. Xeùt xem hoï coù ly dò nhau Bc cc: laø bc luoân xaõ y ra khi thöïc hieän pheùp thöû. Kyù hieäu
khoâng.
Ñaây laø 1 pheùp thöû ngaãu nhieân? Bc khoâng theå coù: laø bc khoâng theå xaõy ra khi thöïc hieän
pheùp thöû. Kyù hieäu
Töø ñaây trôû ñi khi ta noùi pheùp thöû thì coù nghóa laø pheùp thöû 3
Ta chæ nghieân cöùu bcNN maø thoâi. 4
NN.
1
ThS. Phạm Trí Cao * Chương 1
Vd1: Tung 1 con xuùc xaéc caân ñoái, ñoàng chaát (caùc maët
VD2: Xeùt 1 gia ñình coù 2 con.
ñöôïc ñaùnh soá nuùt töø 1->6) , xeùt xem maët naøo xuaát hieän. Ñaët:
A = bc gia ñình coù 1 trai, 1 gaùi.
Ñaët: A= bc xuaát hieän maët coù soá nuùt 7 C = bc gia ñình coù 3 con.
Bc naøo laø bccc, bcktc, bcNN?
C=bc xuaát hieän maët coù soá nuùt laø soá chaún
Bieán coá naøo laø bieán coá chaéc chaén, bc ktc, bcNN?
5 6
II) QUAN HEÄ GIÖÕA CAÙC BIEÁN COÁ
Thoâng thöôøng sinh vieân coi nheï phaàn naøy, cho raèng
“chuyeän nhoû nhö con thoû”, “khoâng coù gì maø aàm æ”.
Phaûi tính xaùc suaát caùi naøy, xaùc suaát caùi kia thì môùi
Vd3: hoäp coù 8 bi: 6 bi Traéng, 2 bi Xanh. Laáy ra 3 bi “xöùng danh ñaïi anh huøng”! Hoïc xaùc suaát maø “khoâng
xem maøu. thaáy xaùc suaát ñaâu”, hoïc caùc quan heä naøy thì chaùn cheát!
Tuy nhieân khi gaëp baøi toaùn xaùc suaát ñoøi hoûi phaûi bieát
Ñaët A= bc laáy ñöôïc 3 bi T
caùch töï phaân tích, töï ñaët caùc bieán coá, dieãn taû caâu hoûi ñeà
B= bc laáy ñöôïc 3 bi X cho theo caùc bieán coá ñaõ ñaët thì laïi khoâng laøm ñöôïc,
C= bc laáy ñöôïc 3 bi hoaëc dieãn taû khoâng ñuùng!
Bc naøo laø bccc, bcNN, bcktc? Hoaëc ñoïc baøi giaûng trong saùch thì laïi khoâng hieåu taïi
sao ngöôøi ta bieán ñoåi ñöôïc nhö vaäy!
Neáu ñaõ hieåu roõ veà caùc quan heä giöõa caùc bieán coá thì caù c
7 vaán ñeà treân ñuùng laø “chuyeän nhoû nhö con thoû”! 8
Vaäy baïn thích “con thoû” naøo !?
2
ThS. Phạm Trí Cao * Chương 1
1)KEÙO THEO
II/QUAN HEÄ GIÖÕA CAÙC BIEÁN COÁ:
VD2: xeùt 1 gia ñình coù 2 con.
1)Keùo theo: bc A goïi laø keùo theo bc B neáu bc A xaõy Ñaët A= bc gia ñình coù con trai.
ra thì daãn ñeán bc B xaõy ra, khi thöïc hieän pheùp thöû.
Kyù hieäu: AB hay A=>B B= bc gia ñình coù 2 con trai.
AB hay BA ?
Moät sv mua 1 tôø veù soá.
Vd1:
Ñaët
A=bc sv naøy truùng soá ñoäc ñaéc
VD3: Xeùt 1 hoïc sinh ñi thi ñaïi hoïc khoái A.
B=bc sv naøy truùng soá
Ñaët A= bc hoïc sinh naøy thi ñaäu
AB hay BA ?
B= bc hoïc sinh naøy coù ñieåm Toaùn laø 10
Duøng bieåu ñoà Venn minh hoïa? AB hay BA ?
9 10
2) TÖÔNG ÑÖÔNG (BAÈNG NHAU): 2)TÖÔNG ÑÖÔNG
bc A goïi laø baèng bc B neáu bc A xaõy ra thì bc B Vd2: hoäp coù 8 bi: 6T, 2 X. laáy 2 bi ra xem maøu.
xaõy ra, vaø ngöôïc laïi bc B xaõy ra thì bc A xaõy ra,
khi thöïc hieän pheùp thöû. Kyù hieäu A=B hay AB Ñaët A= bc laáy ñöôïc 1 bi T
Vaäy A=B neáu AB vaø BA B= bc laáy ñöôïc 1 bi X
C= bc laáy ñöôïc 3 bi T
Vd1: Tung 1 con xuùc xaéc.
Ñaët A=bc con xx xh maët coù soá nuùt chaún D= bc laáy ñöôïc bi T
B=bc con xx xh maët coù soá nuùt laø: 2,4,6 A=B? A=C? A=D?
C= bc con xx xh maët coù soá nuùt laø: 2,4
A=B? A=C?
11 12
3
ThS. Phạm Trí Cao * Chương 1
3)TOÅNG (HÔÏP):
2)TÖÔNG ÑÖÔNG bc C goïi laø toång cuûa 2 bc A vaø B, kyù hieäu C=A+B
Vd3: hoäp coù 8 bi: 4T, 2X, 2Ñoû. laáy 2 bi ra xem hay C=AB.
maøu. C xaõy ra neáu coù ít nhaát 1 trong 2 bc A hoaëc B xaõy ra,
Ñaët A= bc laáy ñöôïc 1 bi T khi thöïc hieän pheùp thöû.
B= bc laáy ñöôïc 1 bi X
A=B? Caâu hoûi: Vaäy A vaø B cuøng xaõy ra khi thöïc hieän pheùp
thöû ñöôïc hoâng?
13 14
3)HÔÏP
3)HÔÏP
Vd2: Lôùp coù 50 sv, trong ñoù coù: 20 sv gioûi AV, 15
Vd1: tung 1 con xuùc xaéc. Xeùt xem maët naøo xuaát sv gioûi PV, 7 sv gioûi caû 2 ngoaïi ngöõ treân.
hieän. Choïn NN 1 sv trong lôùp.
Ñaët C= bc con xx xh maët coù soá nuùt chaún. Ñaët A=bc sv naøy gioûi Anh
B= bc con xx xh maët coù soá nuùt laø 2 B=bc sv naøy gioûi Phaùp
A= bc con xx xh maët coù soá nuùt laø 4,6 C=bc sv naøy gioûi ít nhaát 1 ngoaïi ngöõ.
D= bc con xxxh maët coù soá nuùt laø 2,4 D=bc sv naøy gioûi caû 2 ngoaïi ngöõ
C=A+B? C=A+D?
C=A+B? D=A+B?
15 16
Duøng bieåu ñoà Venn minh hoïa?
4
ThS. Phạm Trí Cao * Chương 1
Toång quaùt: C= A1+A2+...+An .
C xaõy ra neáu coù ít nhaát 1 bc Ai xaõy ra, khi thöïc hieän 4)TÍCH (GIAO):
pheùp thöû bc C goïi laø tích cuûa 2 bc A vaø B, kyù hieäu C=A.B
hay C=AB
Vd: Kieåm tra chaát löôïng n saûn phaåm. C xaõy ra neáu caû 2 bc A vaø B cuøng xaõy ra, khi
Ñaët Ai=bc sp thöù i xaáu. thöïc hieän pheùp thöû.
C=bc coù ít nhaát 1 sp xaáu
C= A1+A2+...+An
Vaäy “hieåu” daáu + giöõa caùc bieán coá nghóa laø gì?
17 18
4)TÍCH 4) TÍCH
Vd1: tung 1 con xx. Xeùt xem maët naøo xh. Vd2: Choïn NN 1 laù baøi töø boä baøi taây 52 laù.
Ñaët A= bc con xx xh maët coù soá nuùt laø 2,4 Ñaët A=bc coù ñöôïc laù giaø.
B= bc con xx xh maët coù soá nuùt laø 2,6 B=bc coù ñöôïc laù cô
C= bc con xx xh maët coù soá nuùt laø 2 C=bc coù ñöôïc laù giaø cô.
D= bc con xx xh maët coù soá nuùt laø 2,4,6 C=A.B?
C=A.B? C=A.D?
19 20
5
ThS. Phạm Trí Cao * Chương 1
4)TÍCH
4)TÍCH
Toång quaùt: C =A1.A2...An.
Vd3: Lôùp coù 50 sv, trong ñoù coù: 20 sv gioûi AV, C xaõy ra neáu taát caû caùc Ai cuøng xaõy ra, khi
15 sv gioûi PV, 7 sv gioûi caû 2 ngoaïi ngöõ treân. thöïc hieän pheùp thöû
Choïn NN 1 sv trong lôùp.
Ñaët A=bc sv naøy gioûi Anh Vd: Kieåm tra chaát löôïng n sp.
B=bc sv naøy gioûi Phaùp Ñaët Ai=bc sp thöù i toát
C=bc sv naøy gioûi caû 2 ngoaïi ngöõ C=bc taát caû caùc sp ñeàu toát
C=A.B? C =A1.A2...An
21
Vaäy “hieåu” daáu . giöõa caùc bieán coá nghóa laø gì? 22
5)XUNG KHAÉC:
A vaø B goïi laø xung khaéc neáu A vaø B khoâng ñoàng thôøi 5)XUNG KHAÉC
xaõy ra, khi thöïc hieän pheùp thöû. Kyù hieäu A.B=
Vd 1: Tung 1 con xuùc xaéc.
Vôùi2 bieán coá A, B thì ta coù 4 tröôøng hôïp: ñaët A=bc ñöôïc maët coù soá nuùt chaün.
A xr, Bxr B=bc ñöôïc maët coù soá nuùt laø 2.
A xr, Bkxr C=bc ñöôïc maët coù soá nuùt leû.
A kxr, Bxr D=bc ñöôïc maët coù soá nuùt 1,3
A kxr, Bkxr Xaùc ñònh A.B? A.C?
Vaäy tröôøng hôïp naøo öùng vôùi xung khaéc? A,B xung khaéc? A,C xk? A,D xk?
23 24
6
ThS. Phạm Trí Cao * Chương 1
5)XUNG KHAÉC
Ví duï 2: Hoäp phaán coù: 9 vieân phaán traéng, 2 vieân phaán 5)XUNG KHAÉC
ñoû. Laáy NN 1 vieân phaán ra xem maøu. Víduï 3: Hoäp phaán coù: 9 vieân phaán traéng, 2 vieân
Ñaët T=bc ñöôïc vieân phaán T. phaán ñoû. Laáy NN 2 vieân phaán ra xem maøu.
Ñ=bc ñöôïc vieân phaán Ñ. Ñaët A=bc ñöôïc 1 vieân phaán T.
A=bc laáy ñöôïc 1 vieân phaán B=bc ñöôïc 1 vieân phaán Ñ.
T,Ñ xung khaéc? T,A xk? C=bc ñöôïc 2 vieân phaán T
D=bc laáy ñöôïc vieân phaán T
A,B xung khaéc? A,C xk? B,D xk?
25 26
5)Xung khaéc
VD4: Lôùp coù 50 sv, trong ñoù coù 7 sv toùc highlight 7 maøu
(ñoû, xanh, vaøng, luïc, lam, chaøm, ñen), 15 sv toùc highlight 5)Xung khaéc
maøu vaøng, caùc sv coøn laïi toùc maøu ñen. Choïn NN 1 sv VD7: Boä baøi taây coù 52 laù. Laáy ngaãu nhieân ra 1 laù.
trong lôùp.
A=bc laáy ñöôïc laù aùch
A= bc sv naøy coù toùc maøu ñen
B=bc laáy ñöôïc laù cô
B= bc sv naøy coù toùc maøu vaøng
A, B xung khaéc?
A, B xung khaéc?
VD5: giaû thieát gioáng VD4. Laáy NN 2 sinh vieân.
VD8: Boä baøi taây coù 52 laù. Laáy ngaãu nhieân ra 2 laù.
A= bc 2 sv naøy coù toùc maøu ñen
A=bc laáy ñöôïc 2 laù aùch
B= bc 2 sv naøy coù toùc maøu vaøng
B=bc laáy ñöôïc 2 laù cô
A, B xung khaéc? 27
A, B xung khaéc? 28
VD6: gioáng VD5. Nhöng lôùp chæ coù 1 sv coù toùc 7 maøu.
7
ThS. Phạm Trí Cao * Chương 1
6)ÑOÁI LAÄP: 6)ÑOÁI LAÄP
Nhaänxeùt sau ñuùng hay sai?
A, B goïi laø ñoái laäp neáu A vaø B khoâng ñoàng
thôøi xaõy ra, vaø 1 trong 2 bc A hoaëc B phaûi A, A* ñoái laäp A+A* =
xaõy ra, khi thöïc hieän pheùp thöû. Kyù hieäu: vaø A.A* =
bieán coá ñoái laäp cuûa A kyù hieäu laø A hay A*
Nhaän xeùt sau ñuùng hay sai?
Vôùi 2 bc A,B ta coù 4 tröôøng hôïp x aõy ra:
A xr, Bxr A,B xung khaéc --> A,B ñoái laäp.
A xr, Bkxr
A kxr, Bxr
A kxr, Bkxr
Vaäy tröôøng hôïp naøo öùng vôùi ñoái laäp? 29 30
6)ÑOÁI LAÄP
Vd1: Tung 1 con xuùc xaéc. 6)ÑOÁI LAÄP
A=bc xuaát hieän maët coù soá nuùt chaún
B=bc xuaát hieän maët coù soá nuùt leû Ví duï 2: Hoäp phaán coù: 9 vieân phaán traéng, 2 vieân phaán
C=bc xuaát hieän maët coù soá nuùt laø : 2 hoaëc 4 ñoû. Laáy NN 1 vieân phaán ra xem maøu.
A,B ñoái laäp? B,C ñoái laäp? Ñaët T=bc ñöôïc vieân phaán T.
Ñ=bc ñöôïc vieân phaán Ñ.
A=bc laáy ñöôïc 1 vieân phaán
T,Ñ ñoái laäp? T,A ñoái laäp?
31 32
8
ThS. Phạm Trí Cao * Chương 1
6)ÑOÁI LAÄP 6) ÑOÁI LAÄP
Baøi taäp: xeùt 2 ngöôøi (1 nam, 1 nöõ) ñöôïc cho laø
Ví duï 3: Hoäp phaán coù: 9 vieân phaán traéng, 2 vieân phaán ñang yeâu nhau thaém thieát.
ñoû. Laáy NN 2 vieân phaán ra xem maøu. A= anh yeâu em
Ñaët B=bc ñöôïc 2 vieân phaán T.
B= em yeâu anh
Xeùt yù nghóa cuûa caùc quan heä sau:
C=bc ñöôïc 2 vieân phaán Ñ.
A=B ? A=>B ? B=>A ?
A=bc laáy ñöôïc nhieàu nhaát 1 vieân phaán Ñ
A+B ? A.B ?
D=bc laáy ñöôïc vieân phaán T A,B xk ? A,B ñoái laäp ?
B,C ñoái laäp? A,C ñoái laäp? C,D ñoái laäp?
33 34
7)NHOÙM BIEÁN COÁ XUNG KHAÉC TÖØNG ÑOÂI:
7)NHOÙM BIEÁN COÁ XUNG KHAÉC TÖØNG ÑOÂI:
VD1: tung 1 con xuùc xaéc
Ñaët A= bc con xx xh maët coù soá nuùt laø 1,2
B= bc con xx xh maët coù soá nuùt laø 4,6
Nhoùm (hoï) n bieán coá A1,A2,...,An goïi laø xung khaéc C= bc con xx xh maët coù soá nuùt laø 5
töøng ñoâi neáu hai bieán coá baát kyø trong nhoùm laø xung
khaéc nhau (nghóa laø Ai.Aj=, vôùi moïi ij) D= bc con xx xh maët coù soá nuùt laø leû
A,B,C xktñ? A,B,D xktñ?
35 36
9
ThS. Phạm Trí Cao * Chương 1
7)XKTÑ 7)XKTÑ
Vd2: Hoäp phaán coù: 9 vieân phaán traéng, 2 vieân phaán Vd3: Hoäp phaán coù: 9 vieân phaán traéng, 2 vieân phaán
ñoû, 3 vieân phaán Xanh. Laáy NN 1 vieân phaán ra xem ñoû. Laáy NN 2 vieân phaán ra xem maøu.
maøu. A=bc ñöôïc 2 vieân phaán T
T=bc ñöôïc vieân phaán T
B=bc ñöôïc 2 vieân phaán Ñ
Ñ=bc ñöôïc vieân phaán Ñ C=bc ñöôïc 1 vieân phaán T
X=bc ñöôïc vieân phaán X A,B,C xktñ?
T,Ñ,X xktñ?
37 38
7)XKTÑ 8)NHOÙM BC ÑAÀY ÑUÛ:
Ví duï 4: Khoái töù dieän coù 4 maët: 1 maët sôn xanh, 1 maët Nhoùm n bieán coá A1,A2,...,An goïi laø ñaày ñuû neáu
sôn traéng, 1 maët sôn vaøng, maët coøn laïi ½ sôn xanh vaø A1+A2+...+An =
½ sôn vaøng. Choïn ngaãu nhieân 1 maët cuûa töù dieän ñeå Vd: tung moät con xuùc xaéc
xem maøu. A=bc maët 1,2 xh
T=bc choïn ñöôïc maët coù sôn T B=bc maët 3,4 xh
X=bc choïn ñöôïc maët coù sôn X C=bc maët 4,5,6 xh
V=bc choïn ñöôïc maët coù sôn V D= bc maët leû xh
X,T,V xk tñ? A,B,C ññ? A,B,D ññ?
39 40
10
ThS. Phạm Trí Cao * Chương 1
9)NHOÙM BC DAÀY ÑUÛ VAØ XUNG KHAÉC 9)NHOÙM BC ÑÑ VAØ XKTÑ
TÖØNG ÑOÂI:
Vd1:tung moät con xuùc xaéc
A1,A2,...,An goïi laø nhoùm bc ññ vaø xktñ neáu A=bc maët 1,2 xh
A1,A2,...,An laø nhoùm bc ññ vaø laø nhoùm bc xktñ B=bc maët 3,4 xh
C=bc maët 4,5,6 xh
D=bc maët 5,6 xh
Nhaän xeùt: A, A* laø nhoùm bc ñaày ñuû vaø xung khaéc. E=bc maët 5 xh
A,B,C ññ vaø xktñ?
A,B,D ññ vaø xktñ?
A,B,E ññ vaø xktñ?
41 42
9)NHOÙM BC ÑÑ VAØ XKTÑ
Vd2: Hoäp phaán coù: 9 vieân phaán traéng, 2 vieân phaán ñoû,
9)NHOÙM BC ÑÑ VAØ XKTÑ
3 vieân phaán Xanh. Laáy NN 1 vieân phaán ra xem maøu.
T=bc ñöôïc vieân phaán T Vd3: Hoäp phaán coù: 5 vieân phaán traéng, 3 vieân phaán
Ñ=bc ñöôïc vieân phaán Ñ Xanh. Laáy NN 2 vieân phaán ra xem maøu.
X=bc ñöôïc vieân phaán X A=bc ñöôïc 2 vieân phaán T
T,Ñ,X laø nhoùm bc ññ vaø xktñ? B=bc ñöôïc 2 vieân phaán X
C=bc ñöôïc 1 vieân phaán X.
A,B,C laø nhoùm bc ññ vaø xktñ?
43 44
11
ThS. Phạm Trí Cao * Chương 1
10)BIEÁN COÁ SÔ CAÁP: 10) BIEÁN COÁ SÔ CAÁP
Vd1: Tung 1 con xuùc xaéc, xeùt xem maët naøo xuaát
Bc sô caáp laø bc khoâng theå phaân chia (cheû nhoû) thaønh hieän.
caùc bieán coá khaùc.
Ai=bc xuaát hieän maët coù soá nuùt laø i, i=1,6 B=bc xh
Taäp hôïp caùc bc sc taïo thaønh khoâng gian caùc bc sc,
maët coù soá nuùt chaún
hay kg maãu. Kyù hieäu
Ta coù: Ai, i=1,6 laø caùc bc sc
Bc sc coøn ñöôïc goïi laø keát cuïc toái giaûn
B khoâng laø bcsc vì: B=A2+A4+A6
={A1,A2,...,A6} : kg maãu
45 46
10)BC SÔ CAÁP 10)BC SÔ CAÁP
Giaûi
vd2:
Vd2: xeùt gia ñình coù 2 con.
= {TT,TG,GT,GG}
Haõy xaùc ñònh caùc bc sô caáp vaø kg maãu?
Vd3: tung 1 ñoàng xu saáp ngöõa (caân ñoái, ñoàng chaát) 2
laàn.
haõy xaùc ñònh caùc bc sô caáp vaø kg maãu?
47 48
12
ThS. Phạm Trí Cao * Chương 1
10)BC SÔ CAÁP
10)BC SÔ CAÁP BT2: hoäp coù 3 bi T, 2 bi X. laáy töø hoäp ra 2 bi xem
maøu. Coù 3 caùch laáy:
Giaûi
VD3: caùch 1: laáy NN 2 bi (laáy 1 laàn, vaø laàn ñoù laáy caû 2 bi)
={SS,SN,NS,NN} caùch 2: laáy laàn löôït 2 bi (laáy 2 laàn, moãi laàn 1 bi. Laàn
1 laáy 1 bi ra xem maøu roài boû bi ñoù ra ngoaøi luoân,
sau ñoù laáy 1 bi nöõa laàn 2)
BT1: tung 1 ñoàng xu saáp ngöõa 3 laàn.
caùch 3: laáy coù hoaøn laïi (noùi hoaøng gia) (hoaëc boû
haõy xaùc ñònh caùc bcsc vaø kg maãu.
laïi-noùi daân giaû) 2 bi (laáy 2 laàn, moãi laàn 1 bi. Laàn 1
hoång giaûi! laáy 1 bi ra xem maøu roài boû bi ñoù trôû laïi hoäp, sau ñoù
laáy tieáp 1 bi nöõa laàn 2)
49 Haõy xaùc ñònh caùc bcsc, kg maãu öùng vôùi töøng caùch 50
laáy.
III)TÍNH CHAÁT
HDBT2:
C1: coù C(2,5)= 10 bcsc
C2: coù A(2,5)= 20 bcsc
C3: coù 52= 25 bcsc
Töï nghæ caùch ghi caùc bcsc naøy, raát thuù vò!
51 52
13
ThS. Phạm Trí Cao * Chương 1
III)TÍNH CHAÁT Tính chaát:
Vd1: Kieåm tra chaát löôïng 4 saûn phaåm. VD2: Coù 2 sinh vieân ñi thi.
Ñaët Ak=bc sp thöù k toát. Bieåu dieãn caùc bc sau theo Ak: A=bc sv 1 thi ñaäu , B=bc sv 2 thi ñaäu
A=bc caû 4 sp ñeàu toát Haõy dieãn taû caùc bc sau theo A, B :
B=bc coù 3 sp toát , C=bc coù ít nhaát 1 sp xaáu 1)caû hai sv ñeàu thi ñaäu
2)khoâng coù ai thi ñaäu
D=bc coù ít nhaát 1 sp toát , E=bc coù toái ña 1 sp xaáu
3)coù ít nhaát moät ngöôøi thi ñaäu
Giaûi: A=A1.A2.A3.A4
4)chæ coù sv 1 thi ñaäu
B= A1*.A2.A3.A4+ A1.A2*.A3.A4
5)sv 1 thi ñaäu
+A1.A2.A3*.A4+ A1.A2.A3.A4*
6)chæ coù moät sv thi ñaäu
C= A* , C= A1*+A2*+A3*+A4* 7)coù nhieàu nhaát moät ngöôøi thi ñaäu
D= A1+A2+A3+A4 53 8)coù sv thi ñaäu 54
E= A+B
Baøi taäp 1:
Coù3 sv ñi thi. A, B, C laàn löôït laø bc sv 1, 2, 3 thi ñaäu.
Giaûi: Haõy dieãn taû caùc bc sau theo A, B, C :
1)AB 1)caû 3 ñeàu thi ñaäu
2)A*B* 2)khoâng coù ai thi ñaäu
3)A+B 3)coù 2 ngöôøi thi ñaäu
4)AB* 4)coù 1 ngöôøi thi ñaäu
5)A 5)coù ít nhaát 1 ngöôøi thi ñaäu
6)AB*+A*B 6)coù nhieàu nhaát 1 ngöôøi thi ñaäu
7)A*B*+A*B+AB*= (AB)* 7)coù nhieàu nhaát 1 ngöôøi thi rôùt
8)A+B 8)coù nhieàu nhaát 2 ngöôøi thi rôùt
9)chæ coù sv 1 thi ñaäu
10)chæ coù sv 1 thi rôùt
55 56
11)sv 1 thi ñaäu
14
ThS. Phạm Trí Cao * Chương 1
BT2:
Hoäp coù 3 bi T, 2 bi X. Laáy laàn löôït 2 bi töø hoäp. Giaûi:
Ti= bc laáy ñöôïc bi T ôû laàn laáy thöù i, i=1,2
1)T1*T2*
Bieåu dieãn caùc bieán coá sau theo caùc Ti (xeùt cho 2 bi laáy
2)T1T2*+T1*T2
ra):
3)T1T2
1)laáy ñöôïc 0 bi T
2)laáy ñöôïc 1 bi T 4)T1+T2
3)laáy ñöôïc 2 bi T 5)T1T2+T1*T2*
4)laáy ñöôïc ít nhaát 1 bi T 6)(T1T2)*
5)laáy ñöôïc 2 bi cuøng maøu 7)T1+T2
6)laáy ñöôïc nhieàu nhaát 1 bi T
7)laáy ñöôïc bi T 57 58
BT3:
Hoäp 1 coù: 2 bi T, 3 bi X. Hoäp 2 coù: 2 bi T, 2 bi X. Laáy 1 Giaûi:
bi töø hoäp 1 boû sang hoäp 2, roài sau ñoù laáy ngaãu nhieân 2 bi
töø hoäp 2 ra. 1)AB2
A=bc laáy ñöôïc bi T töø hoäp 1 2)AB0+A*B1
Bi=bc laáy ñöôïc i bi T töø hoäp 2, i=0,2 3)AB1+A*B2
Bieåu dieãn caùc bieán coá sau theo A, Bi (xeùt cho 3 bi laáy 4)A*B0
ra):
5)(A*B0)*= A+B0*= A+B1+B2
1)laáy ñöôïc 3 bi T
2)laáy ñöôïc 1 bi T
3)laáy ñöôïc 2 bi T
4)laáy ñöôïc 0 bi T
5)laáy ñöôïc bi T
59 60
15
ThS. Phạm Trí Cao * Chương 1
BT4: Hoäp 1 coù: 3 bi T, 2 bi X. Hoäp 2 coù: 3 bi T, 3 bi X.
Laáy ngaãu nhieân töø moãi hoäp ra 2 bi. Giaûi:
Ai=bc laáy ñöôïc i bi T töø hoäp 1, i=0,2 1)A0B0
Bi=bc laáy ñöôïc i bi T töø hoäp 2, i=0,2
2)A1B0+A0B1
Haõy dieãn taû caùc bc sau theo Ai, Bi (xeùt cho 4 bi laáy ra):
3)A0B2+A2B0+A1B1
1)laáy ñöôïc 4 bi X
4)A2B1+A1B2
2)laáy ñöôïc 1 bi T
5)A2B2
3)laáy ñöôïc 2 bi T
6)(A0B0)*
4)laáy ñöôïc 3 bi T
5)laáy ñöôïc 4 bi T 7) = 1)+2)+3)
6)laáy ñöôïc ít nhaát 1 bi T 8)= 2)+4)
7)laáy ñöôïc nhieàu nhaát 2 bi T 9) = 1)+5)
8)laáy ñöôïc 3 bi cuøng maøu
61 62
9)laáy ñöôïc 4 bi cuøng maøu
Bình loaïn: IV/ÑÒNH NGHÓA XAÙC SUAÁT:
Qua VD treân baïn coù thaáy ñöôïc lôïi ích cuûa vieäc hoïc 1)Khaùi nieäm: Xaùc suaát cuûa 1 bc laø 1 con soá ñaëc
Xaùc suaát?! tröng cho khaû naêng xaõy ra cuûa bc ñoù khi thöïc
Moät naøng tröôùc khi “trao thaân gôûi phaän” cho chaøng
hieän pheùp thöû.
luoân muoán chaøng höùa laø: chaøng yeâu naøng vaø khoâng yeâu 2)Ñn coå ñieån: Thöïc hieän 1 pheùp thöû NN. Giaû söû
ai khaùc nöõa! coù n keát cuïc toái giaûn (bc sô caáp) xaõy ra.
Neáu naøng khoâng hoïc XS thì seõ noùi: “anh coù höùa yeâu Caùc keát cuïc naøy goïi laø ñoàng khaû naêng xaõy ra
em khoâng” (luùc ñoù chaøng möøng thaàm trong buïng!) neáu khoâng coù keát cuïc naøo öu tieân hay xaõy ra hôn
Neáu naøng ñaõ hoïc XS thì seõ noùi: “anh coù höùa chæ yeâu keát cuïc naøo (caùc keát cuïc naøy coù khaû naêng xaõy ra
moät mình em khoâng” (luùc ñoù chaøng oâm buïng khoùc nhö nhau khi thöïc hieän pheùp thöû).
thaàm!) Keát cuïc maø khi noù xaõy ra keùo theo bc A xaõy ra
63 64
goïi laø keát cuïc thuaän lôïi cho bc A.
16
ThS. Phạm Trí Cao * Chương 1
2)ÑN COÅ ÑIEÅN
2)ÑN COÅ ÑIEÅN
P(A)= soá keát cuïc toái giaûn thuaän lôïi cho A / Vd1: Tung 1 con xuùc xaéc, xeùt xem maët naøo xh.
soá kc toái giaûn ñoàng khaû naêng xaõy ra Ai=bc xh maët coù soá nuùt i
= soá bc sc thuaän lôïi cho A / B=bc xh maët coù soá nuùt chaün
soá bc sc ñkn xaõy ra C=bc xh maët coù soá nuùt laø: 2 hoaëc 3
= |A| / || D=bc xh maët coù soá nuùt leû
E=bc xh maët coù soá nuùt laø: 4 hoaëc 6
Tínhchaát: Ta coù: Ai laø bc sc, ={A1, A2, A3, A4, A5, A6}
0ThS. Phạm Trí Cao * Chương 1
2)ÑNCÑ
Giaûi VD2: Pheùp thöû: laáy ngaãu nhieân 2 bi töø 14 bi => Coù 2)ÑNCÑ (GIAÛI VD2 -TIEÁP)
C(2,14) caùch laáy => ||=C(2,14)
a) A=bc laáy ñöôïc 2 bi T c)C=bc laáy ñöôïc 2 bi X
Trong C(2,14) caùch laáy treân, ta thaáy coù C(2,10) caùch P(C) = C(2,4) / C(2,14) = 6/91
laáy ñöôïc 2 bi T => |A|=C(2,10)
Vaäy P(A)=|A|/ ||=C(2,10)/ C(2,14)= 45/91 Caùch khaùc:
b) B=bc laáy ñöôïc 1 bi T, 1 bi X C laø bieán coá ñoái laäp vôùi A+B neân:
Trong C(2,14) caùch laáy treân, ta thaáy coù C(1,10)*C(1,4) P(C)= 1-P(A+B)
caùch laáy ñöôïc 1 bi T, 1 bi X A,B laø 2 bieán coá xung khaéc neân:
=> |B|=C(1,10)*C(1,4) P(A+B)= P(A)+P(B)= 45/91 + 40/91 = 85/91
Vaäy P(B)=|B|/ ||=C(1,10)*C(1,4)/ C(2,14) Vaäy P(C)= 1- 85/91= 6/91
= 10*4/ 91 = 40/91 69 70
BT1: Theo baïn laäp luaän sau ñuùng hay sai, taïi sao?
2)ÑNCÑ
Xeùtmoät gia ñình coù 2 con.
Ta coù 3 tröôøng hôïp:
NX: Ñeå tính xs cuûa bc A ta thöïc hieän 2 böôùc sau:
A=gia ñình coù 0 con trai (2 con gaùi)
B1) Töø giaû thieát baøi toaùn (vieäc thöïc hieän pheùp thöû) ta
B=gia ñình coù 1 con trai
tính soá bc sc ñkn xaõy ra => ||
C=gia ñình 2 con trai
B2) Trong caùc bc sc ñkn xaõy ra, ta tính soá bc sc thuaän
Ta coù 3 tröôøng hôïp xaõy ra neân :
lôïi cho bc A => |A|
Xaùc suaát cuûa bc A laø: P(A)= |A|/ ||
P(A)= P(B)= P(C)= 1/3
71 72
18
ThS. Phạm Trí Cao * Chương 1
BT2: Theo baïn laäp luaän sau ñuùng hay sai, taïi sao? 3)ÑN XAÙC SUAÁT THEO THOÁNG KEÂ:
Hoäp coù 3 bi T, 2 bi X. laáy ngaãu nhieân töø hoäp ra 2 bi P(A)=|A| / ||
xem maøu. Haïn cheá cuûa ñònh nghóa coå ñieån?
Ta coù 3 tröôøng hôïp xaûy ra:
A=laáy ñöôïc 0 bi T (2 bi X)
B=laáy ñöôïc 1 bi T (1 bi X)
C=laáy ñöôïc 2 bi T
Ta coù 3 tröôøng hôïp xaûy ra neân:
P(A)= P(B)= P(C)= 1/3
73 74
3)ÑNTK
Ta thaáy: Trong 1 soá tröôøng hôïp thöïc teá, ta khoâng theå 3)ÑNTK
tính ñöôïc |A|
Ví duï1: Moät loâ haøng coù N saûn phaåm söõa hoäp. Laáy
ngaãu nhieân n (n soá pheá phaåm M cuûa loâ haøng laø
khoâng bieát ñöôïc => P(A) khoâng theå tính ñöôïc 75 76
19
ThS. Phạm Trí Cao * Chương 1
3)ÑNTK 3)ÑNTK
Vd3: xeùt nhöõng ngöôøi ñeán sieâu thò trong 1 ngaøy naøo ñoù. Taàn suaát: Thöïc hieän 1 pheùp thöû T n laàn. Goïi m laø soá
A= bc coù 500 ngöôøi nöõ ñeán sieâu thò trong ngaøy.
laàn xuaát hieän bc A quan taâm trong n laàn thöû.
Tyû soá fn(A)= m/n goïi laø taàn suaát xuaát hieän cuûa bc A
Ta coù xaùc ñònh ñöôïc |A|, ||?
(trong n laàn thöû)
Ta nhaän xeùt thaáy: khi soá pheùp thöû n caøng lôùn thì fn(A)
caøng tieán gaàn ñeán 1 giaù trò p naøo ñoù, nghóa laø
lim fn(A)= p , khi n -->
Ñn: p goïi laø xs cuûa bc A theo thoáng keâ: P(A)=p
Trong thöïc teá ta hay duøng fn(A) nhö laø xs cuûa bc A khi
n lôùn
77 78
3)ÑNTK
3)ÑNTK Vd2: caùc keát quaû thoáng keâ cho thaáy taàn suaát sinh con
trai töï nhieân laø 0,513 ( 0,5). Vaäy thì khaû naêng 1
ngöôøi phuï nöõ sinh con trai trong 1 laàn sinh hoång phaûi
Vd1: ñeå xaùc ñònh xaùc suaát 1 caëp vôï choàng sau khi laø 0,5. coù nghóa laø bieán coá sinh con trai coù xaùc suaát
cöôùi nhau thì seõ ly dò thöïc teá laø bao nhieâu. Ngöôøi ta 0,5.
ñieàu tra thôøi gian vöøa qua thaáy coù trong 10000 caëp
cöôùi nhau, coù 500 caëp ly dò. Vaäy coù theå xem xaùc suaát Löu yù: tuy nhieân trong baøi taäp xaùc suaát ngöôøi ta
ñeå 1 caëp sau khi cöôùi nhau seõ ly dò laø: vaãn giaû ñònh xaùc suaát sinh con trai trong 1 laàn sinh
500 / 10000 = 0,05 (!) laø 0,5 (ngöôøi ta ñôn giaûn cho raèng ngöôøi phuï nöõ
khi sinh chæ coù 2 tröôøng hôïp: coù hoaëc khoâng coù con
trai, maø khoâng xeùt ñeán caùc yeáu toá aûnh höôûng
79 khaùc. Hay vì lyù do naøo ñoù maø ctmb!) 80
20
