Vị trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu
Một trong các điều kiện sau:
- Mặt cầu (S) và mp (P) có một điểm chung duy nhất
- Khoảng cách từ tâm O của mặt cầu (S) tới mp (P) bằng bán kính của nó
- mp (P) vuông góc với một bán kính OH của mặt cầu (S) tại H.
§2.VÞ trÝ t−¬ng ®èi cña mét mÆt cÇu víi
mÆt ph¼ng vμ ®−êng th¼ng
KiÓm tra kiÕn thøc cò
mét trong c¸c ®iÒu kiÖn sau:
• MÆt cÇu (S) vμ mp(P) cã mét ®iÓm chung duy nhÊt.
• Kho¶ng c¸ch tõ t©m O cña mÆt cÇu (S) tíi mp(P) b»ng b¸n kÝnh cña nã.
• mp(P) vu«ng gãc víi mét b¸n kÝnh OH cña mÆt cÇu (S) t¹i H.
* §−êng th¼ng a tiÕp xóc víi mÆt cÇu S(O;R) khi vμ chØ khi cã mét
trong c¸c ®iÒu kiÖn sau:
• MÆt cÇu (S) vμ ®−êng th¼ng a cã mét ®iÓm chung duy nhÊt.
• Kho¶ng c¸ch tõ t©m O cña mÆt cÇu (S) tíi ®−êng th¼ng a b»ng b¸n
kÝnh cña mÆt cÇu.
• §−êng th¼ng a vu«ng gãc víi mét b¸n kÝnh OH cña mÆt cÇu (S) t¹i H.
§2.VÞ trÝ t−¬ng ®èi cña mét mÆt cÇu víi
mÆt ph¼ng vμ ®−êng th¼ng
3. C¸c tÝnh chÊt cña tiÕp tuyÕn
§Þnh lý 1: Qua ®iÓm A n»m trªn mÆt cÇu S(0;R) cã v«
sè tiÕp tuyÕn cña mÆt cÇu (S). TÊt c¶ c¸c tiÕp tuyÕn nμy
®Òu n»m trªn tiÕp diÖn cña (S) t¹i ®iÓm A.
CM: ∀a ∋ A; a ⊥ OA ⇒ a lμ tiÕp tuyÕn cña S(O;R) t¹i A
⇒ Cã v« sè tiÕp tuyÕn víi (S) t¹i A
⇒ C¸c tiÕp tuyÕn nμy n»m trªn mp(P):
mp(P) ∋ A, (P) ⊥ OA
⇒ mp(P) lμ tiÕp diÖn cña (S) t¹i A. O
A
P a
* §−êng th¼ng a tiÕp xóc víi mÆt cÇu S(O;R) khi vμ chØ khi cã mét
trong c¸c ®iÒu kiÖn sau:
• MÆt cÇu (S) vμ ®−êng th¼ng a cã mét ®iÓm chung duy nhÊt.
• Kho¶ng c¸ch tõ t©m O cña mÆt cÇu (S) tíi ®−êng th¼ng a b»ng b¸n
kÝnh cña mÆt cÇu.
• §−êng th¼ng a vu«ng gãc víi mét b¸n kÝnh OH cña mÆt cÇu (S) t¹i H.
• §−êng th¼ng a n»m trong mÆt ph¼ng tiÕp xóc víi mÆt cÇu (S) vμ
®i qua ®iÓm tiÕp xóc.
§Þnh lý 2: Qua ®iÓm A n»m ngoμi mÆt cÇu S(0;R) cã v« sè tiÕp
tuyÕn víi mÆt cÇu (S). §é dμi c¸c ®o¹n th¼ng kÎ tõ A tíi c¸c
tiÕp ®iÓm ®Òu b»ng nhau.
Cm: §Æt OA = d ⇒ d > R
A
Gäi (P) lμ mÆt ph¼ng tuú ý ®i qua AO;
mp(P) ∩ S(O;R) = C(O;R). M’
V× A n»m ngoμi (S) nªn A n»m ngoμi (C).
Qua A kÎ 2 tiÕp tuyÕn AM vμ AM’ víi (C),
®ã lμ 2 tiÕp tuyÕn cña (S).
M 0
Khi (P) thay ®æi vÉn ®i qua AO th× cã v«
sè tiÕp tuyÕn víi (S) kÎ tõ A.
XÐt AMO: AM2 = AO2 - OM2 = d2 - R2 (C)
⇒ AM= d2 − R2
VËy c¸c ®o¹n th¼ng kÎ tõ A tíi c¸c tiÕp P
®iÓm ®Òu b»ng nhau.
VÝ dô. Cho mÆt cÇu S(O ; a) vμ mét ®iÓm A, biÕt OA = 2a, qua A kÎ mét
tiÕp tuyÕn tiÕp xóc víi (S) t¹i ®iÓm B vμ còng qua A kÎ mét c¸t tuyÕn c¾t
(S) t¹i C vμ D, biÕt CD = a 3
a) TÝnh AB.
b) TÝnh kho¶ng c¸ch tõ O ®Õn ®−êng th¼ng CD.
Gi¶i:
a) Ta cã AB tiÕp xóc víi mÆt cÇu t¹i B nªn AB⊥OB:
AB = OA 2 − OB2 = 4a 2 − a 2 = a 3
b) Gäi H lμ h×nh chiÕu cña O lªn CD ta cã:
OC=OD=a, nªn tam gi¸c OCD c©n t¹i O, do ®ã H lμ trung ®iÓm cña CD.
CD a 3
Suy ra : HC = =
2 2 D
H
2
⎛a 3⎞ a
OH = OC − HC = a − ⎜
2 2 2
⎟ = B
⎜ 2 ⎟ 2
⎝ ⎠ C
O
a
VËy kho¶ng c¸ch tõ O ®Õn CD lμ
2
A
Bμi 5 . Cho mÆt cÇu (O ; R) tiÕp xóc víi mp(P) t¹i I, M lμ mét ®iÓm
n»m trªn mÆt cÇu. Hai tiÕp tuyÕn t¹i M cña mÆt cÇu c¾t t¹i mp(P) t¹i A vμ
B. Chøng minh r»ng AMB = AIB
Gi¶i:
V× mp(P) tiÕp xóc víi mÆt cÇu
t¹i I nªn AI vμ BI lμ hai tiÕp
tuyÕn víi mÆt cÇu.
V× AM vμ AI lμ hai tiÕp tuyÕn víi
M
mÆt cÇu kÎ tõ ®iÓm A nªn: AM = AI.
O
T−¬ng tù ta cã BM = BI.
I
⇒Hai tam gi¸c AMB vμ AIB
A
b»ng nhau (c, c, c). P B
⇒ AMB = AIB
VÞ trÝ t−¬ng ®èi cña mÆt cÇu víi mÆt ph¼ng
d>R d=R d VÞ trÝ t−¬ng ®èi cña mÆt cÇu víi ®−êng th¼ng
d>R d=R d VÞ trÝ ®iÓm A Sè l−îng tiÕp tuyÕn H×nh ¶nh
A ∈(C) 1 O
TiÕp tuyÕn cña A
®−êng trßn (C)
O
A ngoμi (C) 2
A
O
A ∈(S) V« sè P A
A
TiÕp tuyÕn cña
mÆt cÇu (S)
A ngoμi (S) V« sè O
