Về bài toán chụp cắt lớp của máy CT- SCANNER
Bài báo giới thiệu cách đặt bài toán cơ bản trong kỹ thuật chup cắt lớp máy tính X- quang và thuật toán giải quyết. Đồng thời chỉ ra các đặc điểm của việc ứng dụng thuật toán trong thực tế liên quan tới vấn đề rời rạc hóa và biến đổi Fourie nhanh ( FFT)...
VÒ bµi to¸n chôp c¾t líp cña m¸y CT-scanner
TS Huúnh L−¬ng NghÜa, Tr−êng §¹i häc Kü thuËt Lª Quý §«n
Tãm t¾t
Bµi b¸o giíi thiÖu c¸ch ®Æt bµi to¸n c¬ b¶n trong kü thuËt chôp c¾t líp m¸y tÝnh X-quang vµ thuËt to¸n
gi¶i quyÕt. §ång thêi chØ ra c¸c ®Æc ®iÓm cña viÖc øng dông thuËt to¸n trong thùc tÕ liªn quan tíi vÊn ®Ò rêi
r¹c ho¸ vµ biÕn ®æi Fourie nhanh ( FFT).
Abstract
The article set up a image reconstruction’s task which is implemented by retrieving the data supplied
from X-ray. Also the problems concerned about solving algorithm are disscused.
Especially attension is paid to digitizing the X-ray data and FFT ( Fast Fourier Transformation )
application in optimizing computerized tomography’ algorithm
1. §Æt bµi to¸n c¬ b¶n cña chôp c¾t líp X-quang.
1.1.§Þnh luËt hÊp thô tæng qu¸t Ber
Tõ viÖc nghiªn cøu c¸c c¬ chÕ hÊp thô tia X cña vËt chÊt, ta cã thÓ x©y dùng biÓu
thøc ®Þnh l−îng biÓu diÔn mèi quan hÖ gi÷a c−êng ®é tia X I(x) vµ ®é suy gi¶m tuyÕn tÝnh
µ(x) nh− sau.
IO
A
I(x) I(x+dx)
X
x x+dx
A,
H×nh 1.: S¬ ®å biÓu diÔn mèi t−¬ng quan I(x) theo µ(x):
Trong qu¸ tr×nh t−¬ng t¸c víi vËt chÊt, c−êng ®é chïm tia R¬nghen trªn mét ®¬n vÞ
diÖn tÝch bÒ mÆt vu«ng gãc víi ph−¬ng truyÒn sÏ gi¶m ®i. Trong nh÷ng ®iÒu kiÖn nhÊt ®Þnh
cã thÓ coi sù suy gi¶m nµy tû lÖ thuËn víi qu·ng ®−êng ®i. §Ó dÉn ra c«ng thøc c¬ b¶n vÒ
sù thay ®æi cña c−êng ®é I, ta xÐt mét chïm tia chiÕu ®Õn víi c−êng ®é kh«ng ®æi Io trªn
mÆt ph©n giíi A- A’ (h×nh 1).
Víi nh÷ng gi¶ thiÕt ban ®Çu nh− trªn h×nh vÏ, ta cã:
→
dI ( x ) = − µ ( x ) I ( x )dx (1)
HÖ sè tû lÖ µ trong (1) ®−îc gäi lµ hÖ sè hÊp thô tuyÕn tÝnh, trong ®ã dÊu trõ lÊy tõ
®iÒu kiÖn µ d−¬ng. HÖ sè nµy lµ hµm sè cña 3 to¹ ®é kh«ng gian (x,y,z)= (x1,x2,x3) t¹o
→
thµnh vect¬ b¸n kÝnh x . HÖ sè µ(x) lµ ®¹i l−îng ®Æc tr−ng c¬ b¶n cho cÊu tróc vËt chÊt,
®−îc x¸c ®Þnh nhê c¸c ph−¬ng ph¸p chôp c¾t líp m¸y tÝnh vµ ®−îc dïng lµm c¬ së trong
viÖc t¸i t¹o h×nh ¶nh chôp c¾t líp.
TiÕn hµnh lÊy tÝch ph©n biÓu thøc (1) ta ®−îc :
x
I ( x ) = I o exp(− ∫ µ ( x )dx ) (2)
0
BiÓu thøc (2) lµ ®Þnh luËt hÊp thô tæng qu¸t Ber. Tõ ®©y cã thÓ rót ra mét sè nhËn xÐt:
Khi x cµng lín (líp vËt chÊt cµng dµy) th× c−êng ®é chïm tia lã cµng nhá, tøc lµ tia
R¬nghen bÞ hÊp thô cµng nhiÒu.
1
Khi µ cµng lín th× chïm tia R¬nghen còng bÞ hÊp thô cµng nhiÒu.
1.2. Kh¸i niÖm h×nh chiÕu chôp c¾t líp
S¬ ®å ghi chôp th«ng tin vÒ ®èi t−îng do Haunsfield vµ Mac-Cormac ®Ò xuÊt vµ thùc
hiÖn ®Çu tiªn ®−îc chØ ra trªn h×nh 2. Nguån tia R¬nghen tËp trung (d−íi d¹ng chïm hÑp)
di chuyÓn däc theo ®o¹n ®Þnh h−íng AA', cßn phÇn thu th× däc theo ®o¹n BB'. PhÇn ph¸t vµ
phÇn thu chuyÓn dÞch mét c¸ch ®ång bé, viÖc chôp ( lÊy ) th«ng tin - lµ c−êng ®é tia ë ®Çu
ra phÇn ph¸t vµ ®Çu vµo phÇn thu - ®−îc tiÕn hµnh víi c¸c b−íc thiÕt lËp tr−íc. Logarit cña
tØ sè c−êng ®é tia ë ®Çu vµo phÇn thu ®èi víi c−êng ®é ban ®Çu ®−îc gäi lµ h×nh chiÕu.
C¸c ®o¹n ®Þnh h−íng AA' vµ BB' ®−îc cè ®Þnh trªn cïng mét khung; khung nµy cã thÓ
xoay quanh trôc O cè ®Þnh. §èi víi mçi vÞ trÝ cña khung ng−êi ta tiÕn hµnh ®o mét bé c¸c
h×nh chiÕu t−¬ng øng víi tæ hîp c¸c tia song song; bé c¸c h×nh chiÕu nµy ®«i lóc ®−îc gäi
lµ bé h×nh quÐt.
B B’
A A’
H×nh 2. S¬ ®å thu chôp th«ng tin
§Ó kh«i phôc l¹i cÊu tróc bªn trong cña ®èi t−îng ®−îc chiÕu tia X cÇn ph¶i cã tËp hîp
c¸c bé h×nh quÐt cho tÊt c¶ c¸c vÞ trÝ cã thÓ cña khung. Trªn thùc tÕ viÖc chôp ( lÊy ) th«ng
tin ®−îc tiÕn hµnh t−¬ng øng víi mét tËp hîp rêi r¹c c¸c gãc quay cã b−íc nhÊt ®Þnh ∆θ.
C¸c thuËt to¸n kh«i phôc cÊu tróc (t¸i t¹o ¶nh) ®èi víi c¸c s¬ ®å chôp th«ng tin phøc
t¹p còng trë nªn r¾c rèi h¬n, tuy nhiªn tÊt c¶ chóng ®Òu cã thÓ nhËn ®−îc tõ c¸c thuËt to¸n
xö lý th«ng tin ®−îc x©y dùng cho s¬ ®å c¸c tia song song. V× lý do nµy nªn chØ cÇn xÐt s¬
®å quÐt b»ng chïm c¸c tia song song.
§Ó tr×nh bµy tiÕp tôc ta ®−a ra c¸c ®Þnh nghÜa, ký hiÖu vµ gi¶ thuyÕt sau ®©y. Gi¶ sö
r»ng c¸c kÝch th−íc chiÒu ngang cña tia R¬nghen v« cïng nhá vµ cã thÓ bá qua ¶nh h−ëng
cña t¸n x¹. Lóc nµy cã thÓ ®Æc tr−ng tia b»ng c−êng ®é cña nã I ( x ) t¹i ®iÓm x ®· cho
trong tia. Sù thay ®æi c−êng ®é I ( x )däc theo tia sÏ ®−îc x¸c ®Þnh chØ b»ng hÖ sè hÊp thô
tuyÕn tÝnh µ ( x ) phï hîp víi c«ng thøc Ber (2).
Gäi ph©n bè µ ( x ) theo tiÕt diÖn quÐt cho tr−íc lµ cÊu tróc cña ®èi t−îng. Chän trong
mÆt ph¼ng quÐt mét hÖ to¹ ®é §Ò-c¸c cè ®Þnh Oxy víi t©m O trªn trôc quay cña hÖ thèng
(h×nh 3). G¾n v¬Ý khung di chuyÓn ( quay) mét hÖ to¹ ®é §Ò-c¸c di ®éng Oζξ cã trôc Oζ
h−íng tõ phÇn ph¸t ®Õn ®Çu thu däc theo tia trung t©m ( ®i qua trôc quay ). Trôc Oξ ®Þnh
h−íng nh− chØ ra trªn h×nh 3. VÞ trÝ cña hÖ to¹ ®é di ®éng so víi hÖ to¹ ®é cè ®Þnh ®−îc
x¸c ®Þnh bëi gãc θ sao cho:
2
ζ = xcosθ + ysinθ, ξ = -xsinθ + ycosθ (3)
x = ζcosθ - ξsinθ y = ζsinθ + ξcosθ (4)
T−¬ng øng víi c«ng thøc (2) ta cã d¹ng:
R
I (ξ , θ ) = I 0 exp(− ∫ µ [x, y ]dς ) (5)
−R
, trong ®ã µ[x,y] lµ hÖ sè hÊp thô tuyÕn tÝnh µ ®−îc lÊy trªn tia víi vÞ trÝ hiÖn thêi ®−îc
x¸c ®Þnh b»ng gãc θ vµ kho¶ng c¸ch ξ tÝnh tõ tia hiÖn thêi ®Õn tia trung t©m (xem h×nh 3);
I0 lµ gi¸ trÞ c−êng ®é tia R¬nghen t¹i ®Çu ra phÇn ph¸t, 2R lµ qu·ng ®−êng tia ®i qua.
ξ Y
B ζ
ξ
θ B) X
A O
R
A)
H×nh 3. VÞ trÝ t−¬ng quan cña c¸c hÖ to¹ ®é
TiÕp theo ta gi¶ thiÕt r»ng: bªn ngoµi ®èi t−îng nghiªn cøu ( trong kh«ng khÝ ) µ = 0,
do ®ã tÝch ph©n trong c«ng thøc (5) chØ ®−îc lÊy theo phÇn n»m bªn trong c¬ thÓ bÖnh
nh©n, tuy nhiªn râ rµng lµ cã thÓ coi giíi h¹n cña tÝch ph©n nµy lµ v« cïng vµ ®iÒu nµy sÏ
®−îc sö dông sau ®©y.
Ta chÝnh x¸c ho¸ kh¸i niÖm h×nh chiÕu ®· giíi thiÖu tr−íc ®©y: tÝch ph©n p(ξ, θ) sau
®−îc gäi lµ h×nh chiÕu:
∞
p (ξ , θ ) = − ln[ I (ξ , θ ) I 0 ] = ∫ µ [x, y ]dς
−∞
(6)
1.3. Bµi to¸n c¬ b¶n cña chôp c¾t líp R¬nghen m¸y tÝnh
Bµi to¸n c¬ b¶n cña chôp c¾t líp R¬nghen m¸y tÝnh lµ x¸c ®Þnh ( biÓu diÔn ) ®¹i
l−îng µ (x,y) qua tËp hîp c¸c h×nh chiÕu p(ξ,θ).
HiÓn nhiªn lµ hÖ sè hÊp thô tuyÕn tÝnh µ (x,y) ®Æc tr−ng cho cÊu tróc bªn trong ®èi
t−îng nghiªn cøu, cßn tËp hîp c¸c h×nh chiÕu th× biÕt ®−îc th«ng qua c¸c kÕt qu¶ ®o ®¹c
bªn ngoµi ®èi t−îng. V× vËy bµi to¸n chôp c¾t líp m¸y tÝnh ( CT ) th−êng ®−îc gäi lµ bµi
to¸n kh«i phôc cÊu tróc hoÆc t¸i t¹o h×nh ¶nh.
2. ThuËt to¸n x¸c ®Þnh hÖ sè hÊp thô tuyÕn tÝnh µ(x,y).
2.1. §Þnh lý vÒ tiÕt diÖn trung t©m
3
Thùc chÊt cña ®Þnh lý nµy lµ ë chç nã liªn hÖ ¶nh Fourier cña c¸c h×nh chiÕu ®o ®−îc
víi ¶nh Fourier cña hÖ sè hÊp thô tuyÕn tÝnh cÇn t×m. §Ó ph¸t biÓu chÝnh x¸c vµ chøng
minh ®Þnh lý cÇn cã c¸c ®Þnh nghÜa sau.
§Þnh lý 1: Gäi f (x) lµ hµm thùc cña biÕn thùc x; biÕn ®æi Fourier cña hµm f (x) ( hay
gäi ng¾n gän lµ ¶nh Fourier ) ®−îc gäi lµ hµm phøc f*(ω) víi biÕn thùc ω ®−îc x¸c ®Þnh
theo c«ng thøc sau ®©y:
∞
f*(ω) = (2π)-1/2
−∞
∫ f ( x) exp(−iωx)dx (7)
BiÕn ®æi ng−îc Fourier cã d¹ng:
∞
f(x) = (2π)-1/2 ∫f (ω ) exp(iωx)dω
*
(8)
−∞
§Þnh lý 2 : Trong kh«ng gian n chiÒu biÕn ®æi Fourier cña hµm f ( x) víi n biÕn thùc
( x) = (x1, x2,...xn) ®−îc x¸c ®Þnh b»ng tÝch ph©n béi n theo c«ng thøc:
∞ ∞
f * ( ω ) = (2π ) ∫ ... ∫ f ( x) exp(−iω x)d x
- n/2
(9)
−∞ −∞
Trong ®ã ω.x = ω1 x 1 + ω 2 x 2 + ... + ω n x n lµ tÝch v« h−íng cña vect¬ ω vµ x ; d x lµ
phÇn tö thÓ tÝch trong kh«ng gian n chiÒu.
BiÕn ®æi ng−îc trong kh«ng gian n chiÒu cã d¹ng:
∞ ∞
f( x) = (2π ) -n/2 ∫ ... ∫ f * (ω ) exp(iω x)d ω (10)
−∞ −∞
¸p dông c¸c c«ng thøc võa nªu cã thÓ chøng minh ®Þnh lý sau :
§Þnh lý tiÕt diÖn trung t©m.
Tån t¹i ®¼ng thøc sau:
µ* (ρ,θ) = (2π)-1/2p*(ρ, θ+π/2) (11)
, trong ®ã ρ , θ lµ to¹ ®é cùc trong mÆt ph¼ng ω = (ω1, ω2) = (u,v)
u = ρcos(θ); v = ρsin(θ), (12)
DÊu * ë vÕ tr¸i c«ng thøc (11) cã nghÜa lµ biÕn ®æi Fourier hai chiÒu, cßn ë vÕ ph¶i - lµ
biÕn ®æi Fourier mét chiÒu (theo ®èi sè thø nhÊt).
Nh− vËy, biÕn ®æi Fourier 2 chiÒu µ*(ρ, θ) cña hÖ sè hÊp thô tuyÕn tÝnh µ(x,y) khi cè
®Þnh gi¸ trÞ θ = ψ b»ng biÕn ®æi Fourier 1 chiÒu cña h×nh chiÕu p t¹i gi¸ trÞ gãc quay θ+π/2
ý nghÜa cña ¶nh Fourier µ*(ρ,θ) khi θ = const chÝnh lµ " mÆt c¾t " ( tiÕt diÖn ) mÆt ph¼ng z
= µ*(ρ,ψ) b»ng mÆt ph¼ng ψ = θ = const vµ ®iÒu nµy gi¶i thÝch tªn cña ®Þnh lý.
2.2. Ph−¬ng ph¸p biÕn ®æi Fourier ng−îc
§¼ng thøc nhËn ®−îc (11) trong ®Þnh lý vÒ tiÕt diÖn trung t©m lµ c¬ së ®Ó gi¶i bµi to¸n
c¬ b¶n ®−îc ®Æt ra trong môc 1.3 - bµi to¸n t×m ph©n bè cña hÖ sè hÊp thô tuyÕn tÝnh bªn
trong ®èi t−îng theo c¸c h×nh chiÕu ®o ®−îc bªn ngoµi ®èi t−îng.
Cã thÓ x¸c ®Þnh lêi gi¶i h×nh thøc cña bµi to¸n trªn c¬ së c«ng thøc biÕn ®æi Fourier
ng−îc ( 11 ) :
∞ ∞
- 3/2
µ ( x, y) = (2π ) ∫ ∫ p * ( ρ ,θ + π / 2) exp(i(ux + vy))dudv (13)
−∞ −∞
Trªn thùc tÕ khi sö dông c«ng thøc ( 13 ) ( ®«i lóc ®−îc gäi lµ ph−¬ng ph¸p Fourier
tæng hîp [ 14 ] ) xuÊt hiÖn mét sè vÊn ®Ò.
4
H·y ®Ó ý lµ ta chØ biÕt c¸c gÝa trÞ cña hµm d−íi dÊu tÝch ph©n p*(ρ,θ) t¹i c¸c nót cña
l−íi to¹ ®é cùc rêi r¹c ( h×nh 4 ) kh«ng trïng víi c¸c nót cña l−íi to¹ ®é §Ò-c¸c khi rêi r¹c
ho¸ c«ng thøc ( 13 ) ( ë ®©y rêi r¹c ho¸ ®−îc hiÓu lµ viÖc chuyÓn tÝnh to¸n tõ vïng c¸c ®èi
sè vµ hµm sè liªn tôc sang tÝnh to¸n t¹i c¸c ®iÓm riªng biÖt víi sè l−îng h÷u h¹n). Lêi gi¶i
tù nhiªn cña vÊn ®Ò nµy lµ ngo¹i suy c¸c gÝa trÞ cña hµm sè t¹i ®iÓm ch−a biÕt qua c¸c gÝa
trÞ cña nã t¹i c¸c ®iÓm ®· biÕt ( d−íi ®©y sÏ ®−îc nãi kü h¬n ).
V
U
O
H×nh 4. Mèi t−¬ng quan gi÷a hÖ to¹ ®é cùc vµ hÖ to¹ ®é vu«ng gãc
Mét vÊn ®Ò nghiªm träng h¬n lµ trong c«ng thøc ( 13 ) khi c¸c gÝa trÞ (ux+vy) t¨ng,
hµm d−íi dÊu tÝch ph©n sÏ dao ®éng nhanh, dÉn ®Õn c¸c c«ng thøc cÇu ph−¬ng chuÈn
kh«ng cßn ®óng n÷a. Th«ng th−êng sö dông hai c¸ch ®Ó gi¶i quyÕt vÊn ®Ò nµy: trong c¸ch
thø nhÊt ng−êi ta dïng c¸c thuËt to¸n vµ ch−¬ng tr×nh m¸y tÝnh ®Æc biÖt ®Ó lÊy tÝch ph©n
cña c¸c hµm dao ®éng nhanh [4].
C¸ch thø hai liªn quan tíi mét chi tiÕt lµ: trong møc ®é chÝnh x¸c kh«i phôc ¶nh cho
tr−íc, c¸c thµnh phÇn cao tÇn cña lêi gi¶i kh«ng mang th«ng tin h÷u Ých vµ th−êng chØ
chøa nhiÔu ( sai sè ) thiÕt bÞ. V× vËy nÕu vøt bá c¸c thµnh phÇn nµy ( c¸c " ®u«i cao tÇn " )
th× vÉn cã thÓ sö dông c¸c ch−¬ng tr×nh tÝnh to¸n mÉu.
2.3. Ph−¬ng ph¸p chiÕu ng−îc
Ph−¬ng ph¸p nµy còng dùa trªn viÖc biÓu diÔn h×nh chiÕu nh− trong môc trªn, tuy
nhiªn thø tù tÝnh to¸n vµ biÓu thøc cuèi cïng kh¸c víi lêi gi¶i (13).
H×nh chiÕu ng−îc ®−îc x¸c ®Þnh theo c«ng thøc:
2π
g(x,y) = (2π)-1 ∫ p(−x sin θ + y cos θ, θ)dθ (14)
0
Thùc chÊt ®©y lµ gi¸ trÞ trung b×nh theo gãc cña tËp hîp c¸c h×nh chiÕu ban ®Çu p. L−u
ý r»ng viÖc xö lý s¬ bé th«ng tin ban ®Çu theo c«ng thøc nµy sÏ dÉn ®Õn sù c¶i thiÖn ®¸ng
kÓ kÕt qu¶ cuèi cïng lµ h×nh ¶nh c¾t líp - do tÝnh chÊt läc ( ®èi víi nhiÔu thiÕt bÞ ) cña to¸n
tö chiÕu ng−îc.
Sö dông mét sè phÐp biÕn ®æi trong lý thuyÕt hµm phøc vµ tÝnh chÊt cña ®Þnh lý tÝch
chËp ta cã thÓ x©y dùng lêi gi¶i bµi to¸n c¬ b¶n cña chôp c¾t líp m¸y tÝnh d−íi d¹ng biÕn
®æi ng−îc Fourier cña h×nh chiÐu ng−îc g(x,y) nh− sau:
∞ −1
1
∫ ∫ g (ω )h (ω ) exp(i(ux + vy)dudv
* *
µ(x,y) = (15)
2π −∞
Trong ®ã ω =(ω1, ω2) ≡ (u,v);
5
−1
h*( ω ) lµ biÕn ®æi ng−îc Fourier cña hµm h(x,y) = r
NÕu biÕt tr−íc gèc hµm cña g * (ω ), h * (ω ) th× cã thÓ nhËn ®−îc ngay lêi gi¶i d−íi
d¹ng tÝch chËp cña c¸c gèc hµm nµy, v× vËy ph−¬ng ph¸p nµy ®−îc gäi lµ ph−¬ng ph¸p
chËp víi h×nh chiÕu ng−îc hay ®¬n gi¶n lµ ph−¬ng ph¸p chËp.
Nh− thùc tÕ chØ ra : c¶ ph−¬ng ph¸p biÕn ®æi Fourier lÉn ph−¬ng ph¸p chËp khi thùc
hiÖn ®Òu cho sai sè lín, ®«i khi ®Õn møc kh«ng cho phÐp do bµi to¸n kh«i phôc cÊu tróc
bªn trong ®−îc ®Æt ra “ kh«ng chuÈn . Trªn thùc tÕ sù “ kh«ng chuÈn “ b¾t ®Çu thÓ hiÖn tõ
mét ng−ìng rêi r¹c ho¸ nhÊt ®Þnh: tøc lµ cµng muèn gi¶i chÝnh x¸c bao nhiªu ( b»ng c¸ch
lµm dÇy c¸c m¾t l−íi rêi r¹c, t¨ng sè l−îng c¸c sè h¹ng trong chuçi triÓn khai cña lêi gi¶i
cÇn t×m ), th× lêi gi¶i nhËn ®−îc l¹i cµng tåi tÖ bÊy nhiªu. §iÒu nµy cã liªn quan tíi c¸c
thµnh phÇn tÇn sè cao ( dao ®éng nhanh ) cña lêi gi¶i vµ ®−îc gi¶i quyÕt dùa trªn c¬ së läc
c¸c thµnh phÇn tÇn sè cao cña lêi gi¶i. Tuy c¸ch tiÕp cËn nµy h¹n chÕ ®é chÝnh x¸c cña viÖc
t¸i lËp cÊu tróc, tuy nhiªn nÕu giíi h¹n cña ®é chÝnh x¸c lµ chÊp nhËn ®−îc trªn thùc tÕ th×
ph−¬ng ph¸p cã hiÖu qu¶.
2.4. Ph−¬ng ph¸p chiÕu ng−îc víi bé läc
BiÓu thøc (13) lµ c¬ së cña ph−¬ng ph¸p nµy. §Ó cô thÓ chóng ta xÐt lêi gi¶i (13) mµ
trong ®ã ta chuyÓn sang c¸c to¹ ®é cùc trªn c¶ mÆt ph¼ng (u,v) lÉn mÆt ph¼ng (x,y).
x=rcosφ, y = rsinφ, u = ρcosθ, v=ρsinθ (16)
KÕt qu¶ cña phÐp thÕ (16) lµ tÝch ph©n ë vÕ ph¶i ®¼ng thøc (13) ®−îc viÕt l¹i d−íi d¹ng
sau:
2π +∞
µ (r,φ) = (2π)-3/2 ∫ dθ ∫ ρp * ( ρ ,θ + π / 2) exp(iρr cos(θ − φ ))dρ (17)
0 0
L−u ý r»ng:
ρcos(θ-φ)=- ρ cos(θ + π − φ), p * (ρ, θ + π / 2) = p * (ρ, θ + 3π / 2) (18)
C«ng thøc thø nhÊt trong (18) lµ ®¼ng thøc l−îng gi¸c c¬ b¶n, c«ng thøc thø 2 rót ra tõ
®iÒu kiÖn thùc hiÖn vËt lý. TÝnh ®Õn c¸c c«ng thøc nµy cã thÓ viÕt tÝch ph©n ë vÕ ph¶i ®¼ng
thøc (17) d−íi d¹ng:
π ∞
µ ( ρ ,φ ) = (2π )− 3 / 2 ∫ dθ ∫ ρ p ( ρ ,θ + π / 2)exp(iρr cos(θ − φ ))dρ
*
(19)
0 −∞
Trªn thùc tÕ khi thùc hiÖn c«ng thøc (19) biÓu thøc d−íi dÊu tÝch ph©n ®−îc nh©n tr−íc
víi mét hµm A (ρ) ®−îc chän mét c¸ch ®Æc biÖt vµ ®−îc gäi lµ hµm apodize cã t¸c dông
c¾t c¸c hµi bËc cao. Theo thuËt ng÷ sö dông trong lý thuyÕt ®iÒu khiÓn tÝch cña h¹t nh©n |ρ|
trong phÐp chËp (19) víi hµm apodize ®−îc gäi lµ bé läc, cßn to¸n tö gi¶i ph−¬ng tr×nh
chËp (19) cã sö dông hµm apodize ®−îc gäi lµ phÐp läc. Do hµm nhËn ®−îc sau khi tÝnh
tÝch ph©n bªn trong cña (19) ®−îc biÕn ®æi theo c«ng thøc t−¬ng tù nh− phÐp chiÕu ng−îc
nªn nãi chung ph−¬ng ph¸p nµy mang tªn lµ ph−¬ng ph¸p chiÕu ng−îc dïng läc.
Trªn thùc tÕ ng−êi ta dïng c¸c hµm apodize d−íi c¸c d¹ng sau:
ρ khi ρ ≤ ρ max
a. A* =
0 khi ρ > ρ max
α + (1 − α ) cos(πρ / ρ max ) khi ρ ≤ ρ max
b. A* =
0 khi ρ > ρ max
6
cos(πρ / 2 ρ max ) khi ρ ≤ ρ max
c. A*=
0 khi ρ > ρ max
vµ mét sè d¹ng kh¸c n÷a.
3. Rêi r¹c hãa trong chôp c¾t líp m¸y tÝnh
V× chôp c¾t líp sö dông m¸y tÝnh ®Ó ®iÒu khiÓn viÖc ghi nhËn th«ng tin tõ c¸c phÇn tö
c¶m biÕn, sau ®ã l−u gi÷ vµ chuÈn bÞ th«ng tin cho viÖc chÈn ®o¸n, nªn mét trong sè c¸c
vÊn ®Ò c¬ b¶n lµ rêi r¹c hãa - tøc lµ chuyÓn tõ c¸c ph©n bè liªn tôc theo to¹ ®é vµ thêi gian
sang c¸c hµm rêi r¹c víi c¸c ®èi sè rêi r¹c. Nãi chung, c¸c khÝa c¹nh thùc tÕ c¬ b¶n liªn
quan ®Õn vÊn ®Ò rêi r¹c hãa bao gåm:
1. BiÕn ®æi Fourier rêi r¹c
2. ThuËt to¸n biÕn ®æi Fourier nhanh (FFT)
3 .ThiÕt lËp ng−ìng rêi r¹c ho¸ cÇn thiÕt (§Þnh lý Kachenhicop – Sennon)
4. C¸c ph−¬ng ph¸p néi suy
5. C¸c ph−¬ng ph¸p lÆp kh«i phôc cÊu tróc.
Trong sè nµy chØ cã khÝa c¹nh cuèi cïng lµ mang tÝnh ®Æc thï cña bµi to¸n chôp c¾t
líp nªn ta xÐt kü d−íi ®©y.
C¸c ph−¬ng ph¸p lÆp kh«i phôc cÊu tróc.
XÐt l¹i ph−¬ng tr×nh c¬ b¶n (6) cña chôp c¾t líp m¸y tÝnh vµ gi¶ thiÕt hµm µ( x , y ) ®·
®−îc cho tr−íc mét c¸ch gÇn ®óng trong vïng D b»ng mét sè h÷u h¹n c¸c tham sè, vÝ dô
nh− c¸c gi¸ trÞ µ1 , µ2 ,...µs t¹i c¸c nót cña m¹ng l−íi c¸c phÇn tö h÷u h¹n. Sö dông mét
phÐp néi suy nµo ®ã cho hµm µ( x , y ) trong vïng, cã thÓ tÝnh tÝch ph©n d−íi d¹ng hµm
tuyÕn tÝnh nµo ®ã cña c¸c tham sè µi cho mçi tia víi c¸c tham sè ε, θ :
p (ε , θ) ≈ ∑ A ( i ) (ε , θ)µ i (20)
i
Lóc nµy trong tæng ë vÕ ph¶i chØ hiÖn diÖn c¸c gi¸ trÞ cña hµm µ( x , y ) t¹i c¸c phÇn tö
mµ tia ®ang xÐt ®i qua. TiÕn hµnh ®o cho M s vÞ trÝ cña tia; sau ®ã ký hiÖu h×nh chiÕu
p (ξ , θ ) víi ξ = ξ i ,θ = θ k lµ pik , thõa sè A(i ) víi µ = µi , θ = θ j lµ Aij , ta nhËn
®−îc hÖ ph−¬ng tr×nh sau:
Ns
∑A µ
i =1
(i )
jk i
= p ik (21)
víi ma trËn hÖ sè ®−îc më réng thµnh ma trËn vu«ng b»ng c¸c trÞ sè 0.
Sö dông d¹ng ghi chuÈn cña hÖ ph−¬ng tr×nh víi ma trËn vu«ng hoÆc ma trËn ch÷ nhËt
thay cho hÖ (21) ta cã:
Ns
∑A µ
i =1
ij j
= pi (22)
§Ó gi¶i hÖ (22) cã thÓ sö dông c¸c thuËt to¸n chuÈn cña ®¹i sè tuyÕn tÝnh, tuy nhiªn
nÕu chó ý r»ng ®Ó ®¹t tíi ®é ph©n gi¶i chÊp nhËn ®−îc cña thiÕt bÞ ph¶i sö dông hµng ngh×n
gi¸ trÞ µ( x , y ) , th× ma trËn Aij sÏ chøa kho¶ng 1010 phÇn tö. §iÒu nµy dÉn ®Õn lµ trªn
thùc tÕ ®Ó gi¶i c¸c hÖ d¹ng (22) ng−êi ta chØ sö dông ph−¬ng ph¸p lÆp. Ngoµi ra c¸c ph−¬ng
ph¸p lÆp cßn ®−îc sö dông ®Ó gi¶i c¸c hÖ v« ®Þnh vµ phiÕm ®Þnh, ®ång thêi chóng còng dÔ
c¶i tiÕn ®Ó kh¾c phôc c¸c vÊn ®Ò liªn quan víi tÝnh kh«ng chuÈn cña bµi to¸n x¸c ®Þnh cÊu
tróc bªn trong theo kÕt qu¶ ®o bªn ngoµi cÊu tróc.
D−íi ®©y liÖt kª mét sè c¸c thuËt to¸n lÆp phæ biÕn nhÊt dïng ®Ó gi¶i c¸c bµi to¸n
chôp c¾t líp m¸y tÝnh [3].
7
a) Ph−¬ng ph¸p lÆp ®¬n gi¶n. ThuËt to¸n cña ph−¬ng ph¸p nµy lµ:
µ i( k +1) = µ ( k ) + τ k ∑ H ij( k ) ( Pj − ∑ A jl µ l( k ) (2.102)
j l
, trong ®ã k lµ sè vßng lÆp; trong tr−êng hîp ®¬n gi¶n nhÊt H ij = δij , trong ®ã δij lµ
(k )
ký hiÖu Croneker ( tøc H ij lµ ma trËn ®¬n vÞ ). Tham sè τ k vµ ma trËn H ij ®−îc chän tõ
®iÒu kiÖn héi tô tèt nhÊt cña ph−¬ng ph¸p lÆp.
b) Ph−¬ng ph¸p tr−ît nhanh nhÊt.
c) ThuËt to¸n ART (algebraic reconstruction technique).
4. KÕt luËn
Nh− ®· thÊy, chôp c¾t líp m¸y tÝnh X-quang lµ bµi to¸n phøc t¹p c¶ vÒ néi dung to¸n
häc lÉn c¸ch thùc hiÖn vËt lý. Nh−ng chÝnh v× vËy nªn viÖc gi¶i quyÕt nã rÊt ®a d¹ng vµ cho
phÐp c¶i tiÕn b»ng nhiÒu c¸ch kh¸c nhau, trong ®ã viÖc phèi hîp hîp lý phÇn mÒm ( c¸c
thuËt to¸n läc vµ lÆp ) vµ phÇn cøng ( c¸c hÖ thèng ®o l−êng ®iÒu khiÓn ) ®· vµ ®ang mang
l¹i nh÷ng kÕt qu¶ rÊt ®¸ng khÝch lÖ. Hy väng theo h−íng nµy trong t−¬ng lai kh«ng xa sÏ cã
sù ®ãng gãp cña c¸c chuyªn gia ViÖt nam.
5. Tµi liÖu tham kh¶o
[1] Íåðaçð
[2] Ôèçèêa âèçóaëèçaöèè èçîáðaæåíèé â ìåäèöèíå.
Ïåð. ñ aíãë. . Â 2-õ òîìaõ. Ïîä ðåä. Ñ. Óýááa. Ì.,
Ìèð, 1991. Òîì 1 – 407 ñ., òîì 2- 406 ñ.
[3] Ôåäîðî
[4] Áaõâaë
8
