Ước lượng_chương 8
Một hàm của mẫu tổng quát T=T(X1,...Xn) là 1 thống kê, chẳng hạn...
+ Ước lượng điểm của tham số q là thống kê .......chỉ phụ thuộc vào n quan sát
Chöông VIII. ÖÔÙC LÖÔÏNG
ÑAËC TRÖNG ÑAÙM ÑOÂNG
§1. ÖÔÙC LÖÔÏNG ÑIEÅM
1.1. Moät haøm cuûa maãu toång quaùt T = T(X1,… Xn) laø
,
1 thoáng keâ, Chaúng haïn
1
X n = (X1 + ... + X n ) .
n
1.2. Öôùc löôïng ñieåm cuûa tham soá q laø thoáng keâ
$ = $ (X1, ..., X n ) chæ phuï thuoäc vaøo n quan saùt
q q
X1, … Xn vaø khoâng phuï thuoäc vaøo q.
,
VD
X1 + X1 + ... + X n
+ Tæ leä maãu Fn = laø öôùc
n
löôïng ñieåm cuûa tæ leä ñaùm ñoâng p.
X1 + X1 + ... + X n
+ Trung bình maãu X n =
n
laø öôùc löôïng ñieåm cuûa trung bình ñaùm ñoâng m.
1.3. Thoáng keâ $ (X1,..., X n ) laø öôùc löôïng khoâng
q
cheäch cuûa q neáu M ëq(X1,..., X n )û = q.
é$ ù
VD
+ M(Fn) = p (tæ leä maãu laø öôùc löôïng khoâng cheäch
cuûa tæ leä ñaùm ñoâng).
+ M (X n ) = m (trung bình maãu laø öôùc löôïng
khoâng cheäch cuûa trung bình ñaùm ñoâng m).
Trong thöïc haønh
Khi coù maãu cuï theå (x1, … xn) ta laáy
,
m 2 2
m» x n , p » (= fn ), s » s
n
VD Caân 100 saûn phaåm cuûa xí nghieäp ta coù baûng
x (gr) 498 502 506 510
ni 40 20 20 20
498.40 + 502.20 + 506.20 + 510.20
xn =
100
= 502, 8(gr) .
Döï ñoaùn (öôùc löôïng): troïng löôïng trung bình cuûa
caùc saûn phaåm trong xí nghieäp laø m » 502, 8(gr) .
§2. ÖÔÙC LÖÔÏNG KHOAÛNG
2.1. Ñònh nghóa
Ngöôøi ta goïi $1; $2
(
q q ) laø khoaûng tin caäy vôùi ñoä tin
caäy 1 - a cho tröôùc neáu
P éq1 £ $ £ $2 ù = 1 - a
$ q q û
ë
trong ñoù $1, $2 laø caùc öôùc löôïng ñieåm cuûa q.
q q
+ $2 - $1 = 2e laø ñoä chính xaùc cuûa öôùc löôïng.
q q
Baøi toaùn tìm khoaûng tin caäy cuûa q laø baøi toaùn öôùc
löôïng khoaûng.
2.2. Khoaûng tin caäy cho tæ leä ñaùm ñoâng p
Vôùi tæ leä p caùc phaàn töû coù tính chaát A cuûa ñaùm ñoâng
chöa bieát vaø ñoä tin caäy 1 - a cho tröôùc, khoaûng
tin caäy cho p laø (p1; p 2 ) thoûa
P [p1 £ p £ p 2 ] = 1 - a .
m
Trong thöïc haønh fn = , khoaûng tin caäy
n
æ fn (1 - fn ) fn (1 - fn )ö
çfn - t a ; fn + t a ÷
÷
ç
ç
è n n ÷
ø
+ t a tìm ñöôïc töø 1 - a = 2j (t a ) (baûng B).
* Chuù yù
+ Ñoä chính xaùc cuûa öôùc löôïng laø
fn (1 - fn )
e = ta .
n
ét 2
a ù
+ n = ê 2 fn (1 - fn )ú+ 1
êe
ë ú
û
vaø p » fn (vôùi n lôùn).
2.3. Öôùc löôïng trung bình ñaùm ñoâng m
Baøi toaùn
Giaû söû ñaùm ñoâng coù trung bình m chöa bieát. Caên cöù
vaøo (X1,… n), tìm 1 khoaûng
,X
(m (X1 ,..., Xn ); m (X1 ,..., X n )) sao cho
1 2
P [ 1 (X1 ,..., X n ) £ m£ m (X1 ,..., X n )]= 1- a
m 2
Tröôøng hôïp 1
æ s2 ö
+ n ³ 30, s ñaõ bieát Þ Xn Î Nç , çm ÷.
2
÷
ç n÷
è ø
Cho tröôùc 1- a , ta tìm ñöôïc t a (baûng B) sao cho
é s s ù
P ê n - ta
X £ m£ Xn + t a ú= 1- a .
ê
ë n núû
s s
Vaäy m = X n - t a
1 , m = Xn + t a
2 .
n n
Tröôøng hôïp 2
+ n ³ 30, s chöa bieát. Thay s bôûi S ta coù
2 2 2
S S
m = Xn - t a
1 , m = Xn + t a
2 .
n n
Tröôøng hôïp 3
+ n < 30, s ñaõ bieát, X coù phaân phoái chuaån thì
2
s s
m = Xn - t a
1 , m = Xn + t a
2 .
n n
Tröôøng hôïp 4
+ n < 30, s chöa bieát, X coù phaân phoái chuaån.
2
Xn - m
Khi ñoù coù phaân phoái Student n – 1 baäc töï
S
n
do, bieát 1- a , ta tìm ñöôïc t a (baûng C) sao cho
n- 1
Pë éTn - 1 £ t a - 1 ù= 1 - a
n
û
Suy ra
S n- 1 S
m = Xn - t
1
n- 1
a ,m = Xn + ta
2 .
n n
Toùm taét
1/ n ³ 30, s ñaõ bieát
2
+ Tính x n .
1- a B
+ Töø 1- a Þ ¾ ¾ ta .
®
2
+ Khoaûng tin caäy (x n - e, x n + e)
s
vôùi e = t a .
n
2/ n ³ 30, s chöa bieát
2
n µ
+ Tính x n , s
µÞ s2 = s .
2 2
n- 1
1- a B
+ Töø 1 - a Þ ¾ ¾ ta .
®
2
+ Khoaûng tin caäy (x n - e, x n + e)
s
vôùi e = t a .
n
3/ n < 30, X Î N (ms ), s ñaõ bieát
, 2 2
(nhö tröôøng hôïp 1).
4/ n < 30, X Î N ms
, ( ), s chöa bieát
2 2
n µ
+ Tính x n , s
µÞ s2 = s.
2 2
n- 1
+ Töø 1- a Þ a ¾ ¾ t a .
C n- 1
®
+ Khoaûng tin caäy (x n - e, x n + e)
n- 1 s
vôùi e = t a .
n
* Chuù yù
Khi coù maãu cuï theå, ta thay Xn bôûi xn , S bôûi s .
2 2
VD Caân 100 traùi caây, cho bieát x100 = 500gr,
s = 40.000. Öôùc löôïng troïng löôïng trung bình m
2
vôùi ñoä tin caäy 95%.
Vôùi n = 100 > 30, s ñaõ bieát ta coù
2
a = 1- 95% = 5% Þ t a = 1, 96.
Suy ra
s
m = xn - t a
1 = 460, 8gr ;
n
s
m = xn + t a
2 = 539, 2gr .
n
Vaäy (460,8gr; 539,2gr).
VD Laáy ngaãu nhieân 15 bao boät do nhaø maùy ñoùng
bao xuaát ra, cho bieát x15 = 39, 8gr, s = 0,144.
2
Giaû thieát troïng löôïng caùc bao boät laø X coù phaân phoái
chuaån. Öôùc löôïng troïng löôïng trung bình mvôùi ñoä
tin caäy 95%.
Vôùi n =15 < 30, s chöa bieát vaø X chuaån
2
a = 5% Þ t 5% = 2,145
14
s 0,144
= = 0, 098
n 15
n- 1 s
Þ m = xn - t a
1 = 39, 6gr ;
n
n- 1 s
m = xn + t a
2 = 40gr .
n
Vaäy (39,6gr; 40gr).
