Tuyển tập đề thi học sinh giỏi các tỉnh thành 2008-2009
Tài liệu tham khảo về tuyển tập đề thi học sinh giỏi các tỉnh thành 2008-2009
Tuy n t p đ thi h c sinh gi i các t nh thành
2008-2009
phuchung - 11 Toán- THPT Qu c H c Hu
Ngày 28 tháng 4 năm 2009
M cl c
1 H i Phòng 3
1.1 Ch n sinh gi i không chuyên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Ch n đ i tuy n qu c gia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2 Ngh An 4
2.1 Ch n đ i tuy n qu c gia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.1.1 Vòng 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.1.2 Vòng 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2 Ch n đ i tuy n Đ i h c Vinh . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.3 Ch n h c sinh gi i không chuyên . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3 Th a Thiên Hu 8
3.1 Ch n đ i tuy n qu c gia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
4 Hà Tĩnh 9
4.1 Ch n h c sinh gi i không chuyên . . . . . . . . . . . . . . . . 9
4.2 Ch n đ i tuy n qu c gia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
4.2.1 Vòng 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
4.2.2 Vòng 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
5 C n Thơ 12
5.1 Vòng 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
5.2 Vòng 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1
Tuy n t p đ thi HSG 2008-2009 M CL C
6 Bà R a Vũng Tàu 14
6.1 Ch n đ i tuy n trư ng chuyên Lê Quý Đôn . . . . . . . . . . 14
7 Thanh Hóa 15
7.1 Vòng 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
7.2 Vòng 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
7.3 Lam Sơn 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8 H i Dương 17
8.1 Vòng 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8.2 Vòng 2: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
9 Đ ng Tháp 20
10 Tp. H Chí Minh 21
10.1 Tp. H Chí Minh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
11 Hà N i 22
11.1 Tp. Hà N i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
11.2 Đ i h c sư ph m Hà N i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
11.2.1 Vòng 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
11.2.2 Vòng 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
11.3 Đ i h c KHTN Hà N i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
11.3.1 Vòng 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
11.3.2 Vòng 2 - Ngày 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
11.3.3 Vòng 2 - Ngày 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
12 Qu ng Bình 26
12.1 Vòng 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
12.2 Vòng 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
13 Kon Tum 28
14 Vĩnh Phúc 29
14.1 H c sinh gi i l p 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
- - -phuchung- - - 2
Tuy n t p đ thi HSG 2008-2009 1 H I PHÒNG
1 H i Phòng
1.1 Ch n sinh gi i không chuyên
Bài 1: (3 đi m)
2x + 1
Cho hàm s y =
x−2
1. Ch ng minh r ng m i ti p tuy n c a đ th l p v i 2 đư ng ti m c n m t
tam giác có di n tích không đ i.
2. Tìm các đi m thu c đ th hàm s tho mãn ti p tuy n t i đi m đó l p
v i 2 đư ng ti m c n 1 tam giác có chu vi nh nh t.
Bài 2: (1 đi m)
Cho phương trình: (65 sin x − 56) (80 − 64 sin x − 65cos2 x) = 0 (1)
Ch ng minh r ng t n t i 1 tam giác có các góc tho mãn phương trình (1).
Bài 3: (3 đi m)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là n a l c giác đ u c nh a, đư ng cao SA =
h.
1. Tính th tích kh i chóp S.ABCD.
2. M t ph ng đi qua A và vuông góc v i SD c t SB, SC, SD theo th t
t i các đi m A’, B’, C’. Ch ng minh r ng t giác AB’C’D’ n i ti p trong 1
đư ng tròn.
3. Ch ng minh r ng AB’>C’D’.
Bài 4: (2 đi m)
Cho phương trình ax3 + 21x2 + 13x + 2008 = 0 (1).
Bi t r ng phương trình (1) có 3 nghi m th c phân bi t, h i phương trình sau
có t i đa bao nhiêu nghi m th c:
2
4 (ax3 + 21x2 + 13x + 2008) (3ax + 21) = (3ax2 + 42x + 13)
Bài 5: (1 đi m)
Cho h phương trình sau:
cos x = x2
y tan y = 1
Ch ng minh r ng h đã cho có duy nh t 1 nghi m (x; y) tho mãn 0 < x <
yTuy n t p đ thi HSG 2008-2009 2 NGH AN
1.2 Ch n đ i tuy n qu c gia
Bài 1:
Tìm nghi m nguyên dương c a phương trình: x2 + y 2 + z 2 + t2 = 10.22008
Bài 2:
Cho 3 s th c dương x, y, z tho mãn x + y + z + 1 = 4xyz. Ch ng minh
r ng:
xy + yz + xy ≥ x + y + z
Bài 3:
Cho hàm s f (x) : N ∗ → N tho mãn:
f (1) = 2; f (2) = 0;
f (3k) = 3f (k) + 1; f (3k + 1) = 3f (k) + 2; f (3k + 2) = 3f (k)
H i có th t n t i n đ f (n) = 2008 đư c không?
Bài 4:
Cho tam giác ABC v i O, I theo th u t là tâm c a đư ng tròn ngo i, n i
ti p tam giác. Ch ng minh r ng AIO ≤ 900 khi và ch khi AB + AC ≥ 2.BC
Bài 5.
u1 = 1
Cho dãy (un ) tho mãn: u2
n
un+1 = un +
2008
n ui
Hãy tính lim
i=1 ui+1
2 Ngh An
2.1 Ch n đ i tuy n qu c gia
2.1.1 Vòng 1
Bài 1 (2đ): Gi i h phương trình:
|y|√ |x − 3|
=
(2 z − 2 + y)y = 1 + 4y
2
x + z − 4x = 0
- - -phuchung- - - 4
Tuy n t p đ thi HSG 2008-2009 2 NGH AN
Bài 2 (3đ)
Cho s nguyên a.Ch ng minh r ng: phương trình
x4 − 7x3 + (a + 2)x2 − 11x + a = 0
không th có nhi u hơn 1 nghi m nguyên.
Bài 3 (3đ)
√ √
Cho dãy s th c xn đư c xác đ nh b i: x0 = 1, xn+1 = 2+ xn −2 1 + xn ∀n ∈
N n
Ta xác đ nh dãy yn b i công th c yn = xi .2i , ∀n ∈ N ∗ .Tìm công th c t ng
i=1
quát c a dãy yn
Bài 4 (3đ)
Cho các s nguyên a,b,c khác 0 tho mãn:
a b c
+ + ∈Z
b c a
a+ b +c ∈Z
c a b
4 4
3a 2b c4
Ch ng minh r ng: 2 + 2 + 2 − 4|a| − 3|b| − 2|c| ≥ 0
b c a
Bài 5 (3đ)
Trong mp to đ Oxy cho 9 đi m có to đ là các s nguyên,trong đó không
có 3 đi m nào th ng hàng. Ch ng minh r ng t n t i ít nh t 1 tam giác có 3
đ nh là 3 trong 9 đi m trên có di n tích là 1 s ch n.
Bài 6 (3đ)
Cho 2 đư ng tròn (O) và (O ) ti p xúc trong t i đi m K,((O ) n m trong
(O)).Đi mA n m trên (O)sao cho 3 đi m A, O, O không th ng hàng.Các
ti p tuy n AD và AE c a (O ) c t (O) l n lư t t i Bvà C (D, E là các ti p
đi m).Đư ng th ng AO c t (O) t i F .Ch ng minh r ng các đư ng th ng
BC, DE, F K đ ng quy
Bài 7 (3đ)
Cho n ≥ 2, n ∈ N .Kí hi u A = {1, 2, ..., n}.T p con B c a t p A đư c g i là
1 t p "t t" n u B khác r ng và trung bình c ng c a các ph n t c a B là 1 s
nguyên.G i Tn là s các t p t t c a t p A.Ch ng minh r ng Tn −n là 1 s ch n
- - -phuchung- - - 5
Tuy n t p đ thi HSG 2008-2009 2 NGH AN
2.1.2 Vòng 2
Bài 1 (2đ) √
Gi i phương trình: 16x3 − 24x2 + 12x − 3 = 3 x
Bài 2 (3đ)
Tìm t t c các s nguyên a, b, c tho mãn đi u ki n 1 < a < b < c và abc
chia h t cho (a − 1)(b − 1)(c − 1)
Bài 3 (3đ) √
Cho a, b, c, x, y, zlà các s th c thay đ i tho mãn (x + y)c − (a + b)z = 6.
Tìm GTNN c a bi u th c:
F = a2 + b2 + c2 + x2 + y 2 + z 2 + ax + by + cz
Bài 4 (3đ)
Tìm t t c các hàm f : R → R sao cho:
f (x + cos(2009y)) = f (x) + 2009cos(f (y)), ∀x, y ∈ R
Bài 5 (3đ)
Cho tam giác ABC thay đ i.G iH là tr c tâm,O là tâm đư ng tròn ngo i
ti p và R là bán kính đư ng tròn ngo i ti p c a tam giác ABC.Xác đ nh
OH
GTNN c a s k sao cho Tuy n t p đ thi HSG 2008-2009 2 NGH AN
2.2 Ch n đ i tuy n Đ i h c Vinh
Bài 1:
Ch ng minh r ng v i m i x thì:
1 1 1
1 + cosx + cos2x + cos3x + cos4x > 0
2 3 4
Bài 2:
Tìm các giá tr không âm c a m đ phương trình sau có nghi m:
√ √ √
x−m+2 x−1= x
Bài 3:
Đ t A = {n, n + 1, n + 2, n + 3, n + 4, n + 5, n + 6, n + 7}. Tìm m i s
nguyên dương n sao cho t n t i hai t p B, C r i nhau th a m n đ ng th i:
1.A = B ∪ C
2. x = y(x ∈ B, y ∈ C)
Bài 4:
Trong m t ph ng cho đư ng tròn (O) và đư ng th ng d không có đi m chung
v i (O). G i H là hình chi u c a O lên d, g i M là m t đi m trên d ( M không
trùng v i H). T M k các tuy p tuy n MA, MB v i (O). G i C, D là hình
chi u c a H lên MA, MB. Các đư ng th ng CD, AB c t OH t i I và K. Cm
I là trung đi m c a HK.
2.3 Ch n h c sinh gi i không chuyên
Bài 1: (3 đi m)
π
Tìm m đ phương trình sau có 4 nghi m phân bi t thu c đo n [0; ]
4
4 4 2
sin x + cos x + cos 4x = m
Bài 2: (3 đi m)
Cho h : ( a là tham s )
√ √
√x + y = 4
√
x+7+ y+7≤a
Tìm a đ h có nghi m (x; y) th a mãn đi u ki n : x ≥ 9
Bài 3:(3 đi m)
Cho hàm s :
- - -phuchung- - - 7
Tuy n t p đ thi HSG 2008-2009 3 TH A THIÊN HU
√
3
1 + xsin2 x − 1, khix = 0
0, khix = 0
Tính đ o hàm c a hàm s t i x = 0 và ch ng minh r ng hàm s đ t c c ti u
t ix=0
Bài 4: (3 đi m)
Cho 3 s dương a, b, c thay đ i . Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c :
√ √ √
bc ca ab
P = √ + √ + √
a + 3 bc b + 3 ca c + 3 ab
Bài 5:(3 đi m)
Cho n là s t nhiên , n ≥ 2. Ch ng minh đ ng th c sau :
n2 Cn + (n − 1)2 Cn + (n − 2)2 Cn + ... + 22 Cn − 2 + 12 Cn − 1 = n(n + 1)2n−2
0 1 2 n n
Bài 6: (2 đi m)
Cho kh i chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành . G i M, N, P
l n lư t là trung đi m c a các c nh AB, AD, SC . Ch ng minh r ng m t
ph ng (MNP) chia kh i chóp S.ABCD thành hai ph n có th tích b ng nhau.
Bài 7:(2 đi m)
Cho t di n ABCD có AB=CD, AC=BD, AD=BC và m t ph ng (CAB)
1
vuông góc v i m t ph ng (DAB). Ch ng minh r ng : cotBCD.cotBDC =
2
3 Th a Thiên Hu
3.1 Ch n đ i tuy n qu c gia
Bài 1: (4 đi m)
Tìm các c p s th c (x;y) sao cho:
2x + 4y = 32
xy = 8
Bài 2: (6 đi m)
Cho kh i lăng tr đ ng (L) có c nh bên b ng 7a. Đáy c a (L) là l c giác
l i ABCDEF có t t c các góc đ u b ng nhau và AB = a, CD = 2a, EF =
- - -phuchung- - - 8
Tuy n t p đ thi HSG 2008-2009 4 HÀ TĨNH
3a, DE = 4a, F A = 5a, BC = 6a.
a) Tính theo a th tích c a kh i lăng tr (L)
b) Ch ng t r ng có th chia kh i lăng tr (L) thành 4 kh i đa di n trong
đó có m t kh i lăng tr đ u đáy tam giác và ba kh i h p.
Bài 3: (6 đi m) √
G i (C) là đ th hàm s y = x3 − 2 2x đư c d ng trên m t ph ng t a đ
Oxy.
a) Ch ng t r ng n u m t hình bình hành có t t c các đ nh đ u n m trên
(C) thì tâm c a hình bình hành đó là g c t a đ O.
b) H i có bao nhiêu hình vuông có t t c các đ nh n m trên (C)
Bài 4: (4 đi m)
a) Cho t p h p S có n ph n t . Ch ng minh r ng có đúng 3n c p có th t
(X1 ; X2 ) v i X1 và X2 là các t p con c a S th a mãn đi u ki n X1 ∪ X2 = S
b) H i có bao nhiêu cách thành l p t p h p {A; B}, trong đó A và B là hai
t p h p khác nhau sao cho A ∪ B = {1, 2, 3, .., 2008}
4 Hà Tĩnh
4.1 Ch n h c sinh gi i không chuyên
Bài 1 :
a/Tìm các giá tr c a m đ hàm s y = x3 − 3(m − 1)x2 + 3(2m + 1)x + 1
√
đ t c c đ i, c c ti u t i (x1 ; x2 ) sao cho |x1 − x2 | ≤ 2 5 √
b/Tìm m đ phương trình có nghi m :(m − 1)x = (m − 2)( x − 1)
Bài 2 :
Gi i h phương trình:
4
x − 16 y4 − 1
=
8x y
2
x − 2xy + y 2 = 8
Bài 3 :
Nh n d ng tam giác:
- - -phuchung- - - 9
Tuy n t p đ thi HSG 2008-2009 4 HÀ TĨNH
√
4
√
4
√
4 4 A 4 B 4 C
sinA + sinB + sinC = cos + cos + cos
2 2 2
Bài 4:
Hình chóp t giác đêu S.ABCD có góc gi a m t bên và đáy là α.V đư ng
cao SH c a hình chóp,G i E là điêm thu c SH và có kho ng cách t i 2
m t(ABCD) và (SCD) b ng nhau.mp(P) đi qua E,C,D c t SA,SB l n lư t
t i M,N.
a/Thi t di n là hình gì?
b/G i th tích các kh i đa di n S.NMCD và ABCDNM l n lư t là V1 , V2 .Tìm
α đ 3V2 = 5V1
Bài 5 :
Cho x, y, z ≥ 0 th a x + y + z = 1.TÌM GTNN c a:
1−x 1−y 1−z
P = + +
1+x 1+y 1+z
4.2 Ch n đ i tuy n qu c gia
4.2.1 Vòng 1
Bài 1 : Gi s đ th hàm s
f (x) = x3 − 6x2 + 9x + d
c t tr c hoành t i 3 đi m có hoành đ x1 , x2 , x3 v i x1 < x2 < x3 . Ch ng
minh: 0 < x1 < 1 < x2 < 3 < x3 < 4.
Bài 2 :
Gi i phương trình:
cos 2x 4
4 cot6 x + 3(1 − ) =7
sin2 x
Bài 3:
Cho t giác ABCD n i ti p đư ng tròn (O; R). Các tia đ i c a các tia
BA, DA, CB, CD cùng ti p xúc v i đư ng tròn (I; r). Đ t d = OI. Ch ng
minh r ng:
1 1 1
2
= 2
+
r (d + R) (d − R)2
- - -phuchung- - - 10
Tuy n t p đ thi HSG 2008-2009 4 HÀ TĨNH
Bài 4:
Tìm t t c các hàm f : R → R, g : R → R tho mãn đ ng th i các đi u ki n
sau:
1)∀x, y ∈ R thì 2f (x) − g(x) = f (y) − y
2) ∀x ∈ R thì f (x).g(x) ≥ x + 1
Bài 5 :
Dãy s (xn ) v i n = 1, 2, 3, ... đư c xác đ nh b i:
1
x1 = 3, xn+1 = x2 − xn + 2∀n ∈ N ∗
2 n
n 1
Tìm gi i h n c a dãy Sn =
i=1 xi
4.2.2 Vòng 2
Bài 1:
1) Gi i phương trình: x2 − 10[x] + 9 = 0
2) Gi i b t phương trình:
√ √ √
x3 − x2 + x − 1 < 5 + −x + 8
Bài 2:
−1 x2 − 1
Cho dãy (xn )∞ bi t x1 =
n=1 , xn+1 = n v i m i n = 1, 2, 3, ...
2 2
∞
Tìm gi i h n c a dãy (xn )n=1 khi n → ∞
Bài 3:
Cho hàm f : N → N tho mãn tính ch t
f (f (n)) + f (n) = 2n + 3∀n ∈ N
Tính f (2008)
Bài 4:
Cho tam giác ABC n i ti p (O) và ngo i ti p (I). Đư ng th ng d c t các
c nh AB, AC l n lư t t i M, N
1) Ch ng minh r ng đư ng th ng d đi qua I khi và ch khi
AB + BC + CA 1 1
= +
AB.AC AM AN
- - -phuchung- - - 11
Tuy n t p đ thi HSG 2008-2009 5 C N THƠ
2) K là m t đi m b t kỳ trên đư ng tròn ngo i ti p tam giác ABC, K thu c
cung BC không ch a đi m A (K khác B, C). Các tia phân giác c a các góc
ˆ ˆ
BKA, CKA c t các c nh AB, AC l n lư t t i D, E. Ch ng minh r ng DE
luôn luôn đi qua I khi K thay đ i.
Bài 5: √
Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c P = 13 sin x + 9 cos2 x − 4 cos x + 3 v i
x ∈ [0; π]
Bài 6:
Cho p là m t s nguyên t . Ch ng minh đa th c sau b t kh quy trên Z[x]:
xp−1 + 2xp−2 + 3xp−3 + ..... + (p − 1)x + p
5 C n Thơ
5.1 Vòng 1
Bài 1: ( 2.5 đi m )
Gi i phương trình sau trên R:
x4 − 6x2 − 12x − 8 = 0
Bài 2: ( 2.5 đi m )
Gi i h phương trình sau trên R:
y 2 − xy + 1 = 0
x2 + y 2 + 2x + 2y + 1 = 0
Bài 3: ( 3 đi m )
ˆ
Trong m t ph ng cho tam giác ABC , có AB = a , AC = b , BAC = 135o ,
ˆ o
đi m M n m trên c nh BC c a tam giác sao cho BAM = 45 . Tính đ dài
AM theo a,b .
Bài 4: ( 3 đi m )
Trong không gian cho hình chóp S.ABC , tr ng tâm tam giác ABC là G ,
trung đi m SG là I. M t ph ng (α) qua I c t các tia SA , SB , SC l n lư t
t i M , N , P (không trùng v i S) . Xác đ nh v trí m t ph ng (α) đ th tích
kh i chóp S.MNP là nh nh t .
- - -phuchung- - - 12
Tuy n t p đ thi HSG 2008-2009 5 C N THƠ
Bài 5: ( 3 đi m )
Trong không gian cho hình chóp S.ABC , T là đi m thay đ i trong m t ph ng
ABC.
Đư ng th ng qua T . song song v i đư ng th ng SA c t m t ph ng (SBC)
t i A’ .
Đư ng th ng qua T . song song v i đư ng th ng SB c t m t ph ng (SBC)
t i B’ .
Đư ng th ng qua T . song song v i đư ng th ng SC c t m t ph ng (SBC)
t i C’ .
M t ph ng (A’B’C’) c t đư ng th ng ST t i đi m I .
SI
Ch ng minh t s không thay đ i khi đi m T thay đ i trong m t đáy
ST
ABC trong m t đáy ABC c a hình chóp S.ABC.
Bài 6: ( 3 đi m )
Cho đa th c v i h s th c P (x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d, bi t r ng phương
trình P (x) = 0 không có nghi m th c .
Ch ng minh F (x) = P (x) + P (x) + P (x) + P (x) + P (4) (x) > 0 v i m i s
th c x .
Bài 7: ( 3 đi m )
Cho n√ th c a1 ,√2 , ..., an khác 0 √đôi m t phân bi t . Ch ng minh phương
s a ,
trình 1 + a1 x + 1 + a2 x + ... + 1 + an x = n có không có quá hai nghi m
th c phân bi t .
5.2 Vòng 2
Bài 1: ( 3 đi m )
Tìm t t c các nghi m th c c a phương trình :
√
x2 + 5x − 10 = 60 − 24x − 5x2
Bài 2: ( 3 đi m )
Cho các s th c dương a , b , c . Ch ng minh b t đ ng th c :
(a − b − c)2 (b − c − a)2 (c − a − b)2 1
2 + (b + c)2
+ 2 2
+ 2 2
≥
2a 2b + (c + a) 2c + (a + b) 2
- - -phuchung- - - 13
Tuy n t p đ thi HSG 2008-2009 6 BÀ R A VŨNG TÀU
Bài 3: ( 3 đi m )
Trong m t ph ng cho tam giác đ u AEF và hình ch nh t ABCD . Các đ nh
E , F c a tam giác đ u l n lư t n m trên các c nh BC , CD c a hình ch
nh t ABCD . Ch ng minh r ng t ng di n tích c a hai tam giác ABE và
ADF b ng di n tích tam giác CEF.
Bài 4: ( 4 đi m ) √
Cho hàm s f (x) = (x3 − 3x2 + 2) x2 − 2x + 3 . Ch ng minh r ng v i m i
s th c m , h phương trình sau luôn có nghi m th c :
f (2008) (x) + f (2008) (y) = 0
x2 − my = 4 − m
Bài 5: ( 3 đi m )
Cho dãy s th c (an ) đư c xác đ nh b i công th c truy h i:
a1 = 1
2
a a2
n
n+1 = 2
an − a2 + 1
n
Ch ng minh a1 + a2 + ... + an ≤ 1 v i m i s nguyên dương n .
Bài 6: ( 4 đi m )
Tìm t t c các c p s nguyên (x, y) th a mãn :
2008x3 − 3xy 2 + 2008y 3 = 2009
6 Bà R a Vũng Tàu
6.1 Ch n đ i tuy n trư ng chuyên Lê Quý Đôn
Bài 1:
Gi i h phương trình:
8 2 18
x2 + y 2 + z 2 = yz + = 2zx − = 3xy +
x y z
Bài 2:
1
Cho dãy s xác đ nh b i x1 = 1; xn+1 = − 2008. Ch ng minh r ng
2(x2
n + 1)
- - -phuchung- - - 14
Tuy n t p đ thi HSG 2008-2009 7 THANH HÓA
dãy s có gi i h n h u h n.
Câu 3:
Cho tam giác ABC nh n, n i ti p đư ng tròn (O). G i I là đi m gi a c a
cung BC không ch a đi m A và K là trung đi m c a BC. Hai ti p tuy n c a
(O) t i B, C c t nhau M; AM c t BC t i N.
Ch ng minh r ng:
1) AI là phân giác góc M AK
NB AB 2
2) =
NC AC 2
Bài 4:
Tìm t t c các hàm s liên t c trên R và th a mãn:
f (x) − 2f (2x) + f (4x) = x2 + x v i m i x
Bài 5:
Cho a, b, c là các s không âm phân bi t. Ch ng minh r ng:
√
2 2 2 1 1 1 11 + 5 5
(a + b + c )( + + )≥
(a − b)2 (b − c)2 (c − a)2 2
Bài 6:
Trên bàn c vua kích thư c 8x8 đư c chia thành 64 ô vuông đơn v , ngư i
ta b đi m t ô vuông đơn v nào đó v trí hàng th m và c t th n . G i
S(m;n) là s hình ch nh t đư c t o b i m t hay nhi u ô vuông đơn v c a
bàn c sao cho không có ô nào trùng v i v trí c a ô b xóa b ban đ u. Tìm
giá tr nh nh t và giá tr l n nh t c a S(m;n).
7 Thanh Hóa
7.1 Vòng 1
Bài 1: (5 đi m)
a) Gi i b t phương trình:
2 −4
3x + (x2 − 4).3x−2 ≥ 1
b) Xác đ nh t t c các hàm s f (x) : R → R tho mãn:
- - -phuchung- - - 15
Tuy n t p đ thi HSG 2008-2009 7 THANH HÓA
f (x) = max {2xy − f (y)} , ∀x ∈ R
y∈R
Bài 2: (4 đi m)
Cho A là m t t p h p g m 8 ph n t . Tìm s l n nh t các t p con g m 3
ph n t c a A sao cho giao c a 2 t p b t kì trong các t p con này không
ph i là m t t p h p g m 2 ph n t .
Bài 3: (5 đi m)
Cho hàm s : f (x) = xn + 29xn−1 + 2009 v i n ∈ N, n ≥ 2. Ch ng minh r ng
f (x) không th phân tích thành tích c a 2 đa th c h s nguyên có b c l n
hơn ho c b ng 1.
Bài 4: (6 đi m)
Cho tam giác ABC, D là m t đi m b t kì trên tia đ i c a tia CB. Đư ng
tròn n i ti p các tam giác ABD và ACD c t nhau t i P và Q. Ch ng minh
r ng đư ng th ng P Q luôn đi qua m t đi m c đ nh khi D thay đ i.
7.2 Vòng 2
Bài 1:
Gi i phương trình:
log3 2x + 1 + log5 4x + 1 + log7 6x + 1 = 3x
Bài 2:
Ch ng minh v i m i s dương a1 , a2 , ...an tho n mãn a1 .a2 ...an = 1. Ta có
b t đ ng th c:
√
a2 + 1 + ... + a2 + 1 ≤ 2(a1 + ... + an )
1 n
Bài 3:
Tìm t t c các c p s nguyên dương (x,y) sao cho:
x29 − 1
= y 12 − 1
x−1
Bài 4:
Đư ng tròn (w) ti p xúc v i hai c nh b ng nhau AB,ÂC c a tam giác cân
ABC và c t c nh BC t i K,L . Đo n K,L c t (w) t i đi m th hai M . P,Q
tương ng đ i x ng v i K qua B,C. Ch ng minh đư ng tròn ngo i ti p PMQ
ti p xúc v i (w)
- - -phuchung- - - 16
Tuy n t p đ thi HSG 2008-2009 8 H I DƯƠNG
7.3 Lam Sơn 11
Bài 1: √ √
Gi i phương trình: x + 4 − x2 = 2 + x 4 − x2
Bài 2:
Gi i h phương trình:
2y(x2 − y 2 ) = 3x
x(x2 + y 2 ) = 10y
Bài 3:
Cho tam giác ABC , M là trung đi m BC và H là tr c tâm. Ch ng minh
r ng:
1
M A2 + M H 2 = AH 2 + BC 2
2
Bài 4: √ √
Cho phương trình: sinx + 2 − sinx2 + sinx 2 − sinx2 = m
1) Gi i phương trình v i m = 3.
2) Tìm m đ phương trình có nghi m.
Bài 5:
5 1
Cho dãy s (un ) xác đ nh b i: u1 = un+1 = 1 + ; n = 1, 2, 3, ...
2 un
So sánh : u2008 và u2009
Bài 6:
Có t t c bao nhiêu s t nhiên có 5 ch s mà t ng các ch s b ng 9.
Bài 7:
Ch ng minh r ng m i ư c nguyên dương l c a s 32009 + 1 đ u có d ng
3k + 1
8 H i Dương
8.1 Vòng 1
Bài 1: (2 đi m)
1
a)Tìm đi u ki n c a tham s m đ đ th hàm s y = ( x + m)3 − x + 2 c t
3
- - -phuchung- - - 17
Tuy n t p đ thi HSG 2008-2009 8 H I DƯƠNG
tr c hoành t i hai đi m phân bi t có hoành đ l n hơn 2.
b)Cho hàm s y = 2cos2 x + 2sinxcosx + mx
Tìm đi u ki n c a tham s m đ hàm s có c c tr .
Bài 2: (2,5 đi m)
a)Cho đa th c:
P (x) = C2009 + 2C2009 (2x) + 3C2009 (2x)2 + ... + 2009C2009 (2x)2008 .
1 2 3 2009
Tính t ng các h s b c l c a đa th c đã cho .
b)Gi i h phương trình:
x
5 = 2y + 1 + 2log5 (4y + 1)
5y = 2z + 1 + 2log5 (4z + 1)
z
5 = 2x + 1 + 2log5 (4x + 1)
Bài 3: (2 đi m)
a)Cho t di n ABCD có AB = a, CD = b ; góc (AB, CD) = α,kho ng cách
gi a AB và CD b ng d.
Tính th tích c a kh i t di n ABCD theo a, b, d và α
b)Trong các t di n OABC có OA, OB, OC đôi m t vuông góc và th tích
b ng 36,hãy xác đ nh t di n sao cho di n tích tam giác ABC nh nh t.
Bài 4: (2,5 đi m)
a)Ch ng minh ∀x ∈ R thì
x2 x3
ex ≥ 1 + x + +
2! 3!
b)Tìm a > 0 sao cho:
x2 x3
ax ≥ 1 + x + +
2! 3!
v i m i giá tr c a x.
c)Cho x, y, z là các s dương và th a mãn:
x+y+z =9
x ≥ 5; x + y ≥ 8
- - -phuchung- - - 18
Tuy n t p đ thi HSG 2008-2009 8 H I DƯƠNG
Ch ng minh r ng xyz ≤ 15
Bài 5: (1 đi m)
Cho hình l p phương ABCD.A1 B1 C1 D1 c nh b ng 1. L y các đi m M, N, P, Q, R, S
l n lư t thu c các c nh AD, AB, BB1 , B1 C1 , C1 D1 , DD1 . Tìm giá tr nh
nh t c a đ dài đư ng g p khúc khép kín M N P QRSM
8.2 Vòng 2:
Câu 1: (4 đi m)
Tìm t t c các hàm s f : R− > R th a mãn đi u ki n:
f (x − f (y)) = f (x + y 2008 ) + f (f (y) + y 2008 ) + 1∀x, y ∈ R
Câu 2: (4 đi m)
Cho dãy s xn th a mãn :
1
x1 ∈ R; xn+1 = xn + (cosxn + sinxn )(∀n ∈ N ∗)
2
Tìm gi i h n c a dãy (n u có) tùy theo x1
Câu 3: (3 đi m)
Cho t giác l i ABCD .G i M, N, P, Q l n lư t là hình chi u vuông góc
c a m t đi m O trong t giác xu ng các c nh AD, AB, BC, CD ; m t khác
M, N, P, Q cùng n m trên m t đư ng tròn tâm I bán kính R.
K Ax, By, Cz, Dt l n lư t vuông góc v i các đư ng th ng M N, N P, P Q, QM .
Ch ng minh r ng Ax, By, Cz, Dt đ ng qui t i m t đi m.
Câu 4: (3 đi m)
Cho p là s nguyên t không nh hơn 5 .Ch ng minh r ng t n t i hai s
p−1 p−1
nguyên t q1 , q2 sao cho 1 < q1 < q2 < p đ ng th i q1 − 1; q2 − 1 không
chia h t cho p2
Câu 5: ( 3 đi m)
Tìm α > 0 sao cho b t đ ng th c sau đúng v i m i n ∈ N ∗ :
1.2α + 2.3α + ... + n(n + 1)α ≥ 2.1α + 3.2α + ... + (n + 1)nα
Câu 6: (3 đi m)
Cho a, b và c là các s th c dương sao cho a + b + c = 3 .Tìm giá tr nh nh t
c a bi u th c
- - -phuchung- - - 19
Tuy n t p đ thi HSG 2008-2009 9 Đ NG THÁP
a2 b2 c2
P = + +
a + 2b3 b + 2c3 c + 2a3
9 Đ ng Tháp
Bài 1: (3.0 đi m)
Gi i phương trình:
(1 + tan10 )(1 + tan20 )...(1 + tan450 ) = 2x
Bài 2: (3.0 đi m)
Cho tam giác ABC có các góc đ u nh n. G i AH, BI, CK là các đư ng cao
c a tam giác. Ch ng minh r ng:
SHIK
= 1 − cos2 A − cos2 B − cos2 C.
SABC
Bài 3: (2.0 đi m)
Cho a, b là hai s nguyên. Ch ng minh r ng:
.
A = ab(a2 + b2 )(a2 − b2 ).
.30.
Bài 4: (3.0 đi m)
Cho hàm s f : N ∗ → N ∗ tho hai đi u ki n:
f (a.b) = f (a).f (b) v i a, b ∈ N ∗ và (a, b) = 1
f (p + q) = f (p) + f (q) v i p, q nguyên t .
Ch ng minh f (2008) = 2008.
Bài 5: (3.0 đi m)
Ch ng minh n u n ch n thì 2n chia h t:
0 2
C2n + 3C2n + ... + 3k C2n + ... + 3n C2n .
2k 2n
Bài 6: (3.0 đi m)
Cho ba s th c a, b, c. Ch ng minh r ng:
(a2 + 1)(b2 + 1)(c2 + 1) ≥ (ab + bc + ca − 1)2 .
Bài 7: (3.0 đi m)
Cho tam giác ABC cân t i A. Đư ng tròn (C) ti p xúc v i đư ng th ng
AB, AC l n lư t t i B và C. M là đi m tuỳ ý n m trên đư ng tròn (C). G i
d1 , d2 , d3 l n lư t là các kho ng cách t M đ n các đư ng th ng AB, AC, BC.
Ch ng minh: d1 .d2 = d2 . 3
- - -phuchung- - - 20
