Chương 1: Hàm biến số phức
∞
dx
Ví dụ 1.24: Tính tích phân I = ∫ .
(x )
2
0
2
+1
1 1
Giải: Hàm R ( z ) = = có cực điểm kép z = i nằm trong nửa mặt
(z ) ( z − i) ( z + i)
2 2 2
2
+1
phẳng Im z > 0 . Vậy
∞ ⎡ ⎤
1
I= ∫
dx 1
= ⋅ 2π i ⎢ Res 1
;i ⎥ = π i lim d ⎡ 1 ⎤ = π i −2 = π .
z →i dz ⎢ ( z + i ) 2 ⎥
( ) ⎢
(
⎥
)
2 2
2 −∞ x 2 + 1 2 z2 +1 ⎣ ⎦ (2i )3 4
⎣ ⎦
∞ ∞
1.6.4.2. Tích phân dạng ∫ R ( x ) cos β xdx , ∫ R ( x ) sin β xdx
−∞ −∞
∞
∫ R ( x) e
iβ x
Hai tích phân trên là phần thực và phần ảo của tích phân dx .
−∞
Bổ đề: Giả sử hàm f ( z ) giải tích trong nửa mặt phẳng Im z ≥ 0 , trừ tại một số hữu hạn các
điểm bất thường cô lập và thoả mãn:
M
f (z ) ≤ , ∀ z ∈ C R ; k > 0 , M là hằng số (1.75)
Rk
thì lim
R →∞
∫e
iλ z
f ( z )dz = 0 , với mọi λ > 0 . Trong đó C R = z ∈ { z = R, Im z ≥ 0 . }
CR
P( z )
Định lý 1.23: Giải sử R (z ) = là một phân thức hữu tỷ thoả mãn các điều kiện sau:
Q( z )
i. R (z ) giải tích trong nửa mặt phẳng Im z > 0 ngoại trừ tại một số hữu hạn các cực điểm
a1 , ... , a n .
iβ x
ii. R (z ) có thể có m cực điểm b1 , ... , bm trên trục thực và R ( x )e khả tích tại những
điểm này.
iii. Bậc của Q(z ) lớn hơn bậc của P (z ) ít nhất là 1.
Khi đó
∞ n m
∫ R ( x ) eiβ x dx = 2π i ∑ ⎡ Res R ( z ) eiβ z ; ak ⎤ + π i ∑ ⎡ Res R ( z ) eiβ z ; bk ⎤
⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (1.76)
−∞ k =1 k =1
∞
cos λ x
Ví dụ 1.25: Tính tích phân I = ∫ dx , (λ , a > 0) .
0
x2 + a2
Giải: Vì hàm dưới dấu tích phân là hàm chẵn nên
41
Chương 1: Hàm biến số phức
∞
1 cos λ x 1 ⎛
∞
eiλ x ⎞ 1 ⎛ ⎡ e iλ x ⎤ ⎞ π e−λa
I= ∫ 2 dx = Re ⎜ ∫ 2 dx ⎟ = Re ⎜ 2π i ⎢ Res 2 ; ai ⎥ ⎟ = .
2 −∞ x + a 2 2 ⎝ −∞ x + a 2 ⎠ 2 ⎜ ⎝ ⎣ x + a2 ⎦⎠
⎟ 2a
∞
sin x
Ví dụ 1.26: Tính tích phân I = ∫ x
dx .
0
∞ ∞
1 sin x 1 ⎛ e ix ⎞
⎜
Giải: Vì hàm dưới dấu tích phân là hàm chẵn nên I =
2 ∫ x dx = 2 Im⎜ ∫ x dx ⎟ .
⎟
−∞ ⎝ −∞ ⎠
1
Hàm R ( z ) = thoả mãn các điều kiện của định lý 1.23, có cực điểm đơn duy nhất z = 0
z
1 ⎛ ⎡ eiz ⎤ ⎞ 1 π
trên trục thực. Do đó I = Im ⎜ iπ ⎢ Res ;0 ⎥ ⎟ = Im ( iπ ) = .
⎜
2 ⎝ ⎣ z ⎦⎠ ⎟ 2 2
2π
1.6.4.3. Tích phân dạng ∫ R(cos nx, sin nx )dx .
0
z n + z −n z n − z −n dz
Đặt z = e ix thì cos nx = , sin nx = , dx =
2 2i iz
Khi x biên thiên từ 0 → 2π thì z = e ix vạch lên đường tròn đơn vị C theo chiều dương. Vì
vậy
2π
⎛ z n + z − n z n − z − n ⎞ dz
∫ R ( cos nx,sin nx ) dx = ∫ ⎝ 2 , 2i ⎟ iz
R⎜ (1.77)
0 C ⎠
2π
dx
Ví dụ 1.27: Tính tích phân I = ∫ 5 + 3 sin x
0
2 2 i
Giải: Vì hàm số = chỉ có một cực điểm đơn z = − nằm
⎛ 10i ⎞ ⎛ i⎞ 3
3⎜ z 2 + z − 1⎟ 3⎜ z + ⎟(z + 3i )
⎝ 3 ⎠ ⎝ 3⎠
trong đường tròn đơn vị C, do đó
⎡ ⎤
1 dz 2dz ⎢ 2 i⎥ π
I= ∫ 3⎛ 1 ⎞ iz
= ∫ ⎛ 10i ⎞
= 2π i ⎢ Res
⎢ ⎛ 10i
;− ⎥ = .
⎞ 3⎥ 2
C 5+ ⎜z − ⎟ C 3⎜ z2 + z − 1⎟ 3⎜ z2 + z − 1⎟
2i ⎝ z⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎢
⎣ ⎝ 3 ⎠ ⎥
⎦
1.7. PHÉP BIẾN ĐỔI Z
Dựa vào tính chất xác định duy nhất của hàm số giải tích trong hình vành khăn r < z < R
bởi dãy các hệ số trong khai triển Laurent của nó (1.66) - định lý 1.19, người ta xây dựng phép
biến đổi Z và sử dụng để biểu diễn các tín hiệu rời rạc qua các hàm giải tích trong hình vành khăn.
42
Chương 1: Hàm biến số phức
Phép biến đổi Z có rất nhiều ứng dụng trong lý thuyết xử lý tín hiệu và lọc số, vì nói chung việc
khảo sát các hàm giải tích sẽ thuận lợi và dễ dàng hơn so với khảo sát các dãy rời rạc.
1.7.1. Định nghĩa phép biến đổi Z
Định nghĩa 1.13: Biến đổi Z của dãy tín hiệu {x(n)}∞= −∞ là hàm phức
n
∑ x(n)(z −1 )
∞ ∞ n
X ( z) = ∑ x ( n) z −n
= (1.78)
n = −∞ n = −∞
Miền hội tụ của chuỗi (1.78) là miền xác định của biến đổi Z.
Trường hợp dãy tín hiệu {x(n)}∞= −∞ chỉ xác định với n ≥ 0 , nghĩa là x ( n) = 0, ∀n < 0 ,
n
khi đó biến đổi Z của tín hiệu này được gọi là biến đổi một phía.
⎧
⎪ 2 n nÕu − ∞ < n ≤ 3
Ví dụ 1.28: Tìm biến đổi Z cúa tín hiệu x(n) = ⎨
⎪ 0
⎩ nÕu n>3
∞ 3 −1
8 4 2
Giải: X ( z ) = ∑ x ( n) z − n = ∑ 2n z − n = z3
+
z2
+
z
+ 1 + ∑ 2n z − n .
n = −∞ n = −∞ n = −∞
Đổi m = −n vào chuỗi cuối cùng vế phải ở trên ta được:
−1 ∞ ∞ m
⎛z⎞ 1 2
1+ ∑2 n −n
z = 1+ ∑2 −m m
z = ∑⎜ ⎟ =
z
=
2−z
, với z < 2 .
n = −∞ m =1 m=0 ⎝ 2 ⎠ 1−
2
8 4 2 2
Vậy X ( z ) = + + + với 0 < z < 2 .
z3 z2 z 2− z
1.7.2. Miền xác định của biến đổi Z
Để tìm miền xác định của phép biến đổi Z ta có thể áp dụng tiêu chuẩn Cauchy hoặc tiêu
chuẩn D'Alembert (định lý 1.14, công thức (1.62)).
Ta tách chuỗi vô hạn hai phía thành tổng của 2 chuỗi:
∑ x(n)(z −1 )
∞ ∞ n
X ( z) = ∑ x ( n) z − n = = X1( z) + X 2 ( z) .
n = −∞ n = −∞
( )n , X 2 ( z) = ( )n = ∑ x(−m) z m (đặt m = −n ).
∞ −1 ∞
trong đó X 1 ( z ) = ∑ x(n) z −1 ∑ x(n) z −1
n=0 n = −∞ m =1
Có hai tiêu chuẩn sau về miền xác định của X (z ) .
♦ Tiêu chuẩn D'Alembert
Nếu
x(n + 1) 1 x ( n)
r = lim và = lim (2.79)
n→∞ x ( n) R n→− ∞ x(n + 1)
43
Chương 1: Hàm biến số phức
thì X ( z ) xác định khi r < z < R .
♦ Tiêu chuẩn Cauchy
Nếu
1
r = lim n x(n) và = lim − n x(n) (2.80)
n→∞ R n→− ∞
thì X ( z ) xác định khi r < z < R .
Trong ví dụ 1.28: x(n) = 0 , ∀ n > 3 ⇒ r = 0 .
x ( n) 2n 1
x ( n) = 2 n , ∀ n ≤ 3 ⇒ = =
x(n + 1) 2 n +1 2
−n n 1
hoặc − n x(n) = 2 = , ∀n < 0 ⇒ R = 2
2
Vậy biến đổi Z có miền xác định 0 < z < 2 .
n
⎛3⎞
Ví dụ 1.29: Tìm biến đổi Z của tín hiệu xác định bởi x(n) = ⎜ ⎟ .
⎝4⎠
( )
∞ n ∞ n
⎛3⎞ n ⎛ 3 ⎞ 1 4z 3 3
X 1 ( z ) = ∑ ⎜ ⎟ z −1 = ∑⎜ ⎟ = = , với < 1 hay z > .
3 4z − 3
n = 0⎝ 4 ⎠ n = 0⎝ 4 z ⎠ 1−
4z 4
4z
∑ x(n)(z ) (z )
−1 −1 −n ∞ m
−1 n ⎛3⎞ −1 n ⎛ 3z ⎞
X 2 ( z) = = ∑ ⎜ ⎟ = ∑⎜ ⎟ (đặt m = − n )
n = −∞ n = −∞ ⎝ 4 ⎠ m =1 ⎝ 4 ⎠
∞ m
⎛ 3z ⎞ 1 4 3z 3z 4
= ∑ ⎜ ⎟ −1 = −1 = −1 = , với < 1 hay z < .
m=0 ⎝ 4 ⎠
3z 4 − 3z 4 − 3z 4 3
1−
4
4z 3z 7z 3 4
Vậy X ( z ) = + = , với < z < .
4 z − 3 4 − 3 z (4 z − 3)(4 − 3 z ) 4 3
n
⎛3⎞ 3
Ta cũng thấy rằng r = lim n x(n) = lim n ⎜ ⎟ = .
n→∞ n→∞ ⎝4⎠ 4
−n n
−n −n ⎛3⎞ n ⎛3⎞ 3 4
lim x(n) = lim ⎜ ⎟ = lim ⎜ ⎟ = ⇒ R= .
n→ − ∞ n→ −∞ ⎝4⎠ n→∞ ⎝4⎠ 4 3
1.7.3. Biến đổi Z ngược
Theo định lý 1.19, mỗi hàm phức X (z ) giải tích trong hình vành khăn r < z < R ,
( 0 ≤ r < R ≤ ∞ ) đều có thể khai triển thành chuỗi Laurent:
44
Chương 1: Hàm biến số phức
∞ 1 X ( z)
X ( z) = ∑ cn z n với cn =
2π i ∫ z n+1
dz ,
n = −∞ C
C là đường cong kín bao quanh gốc O và nằm trong hình vành khăn r < z < R .
Đặt x(n) = c− n thì
∞ 1
X ( z) = ∑ x ( n) z − n với x ( n) =
2π i ∫z
n −1
X ( z )dz . (2.81)
n = −∞ C
Theo (2.81) {x(n)}∞= −∞ xác định duy nhất bởi X (z ) được gọi là biến đổi ngược của biến
n
đổi Z của X (z ) .
Tương tự khai triển Laurent, do tính chất duy nhất của khai triển hàm số giải tích trong hình
vành khăn r < z < R thành tổng của chuỗi lũy thừa nên ta có thể sử dụng phương pháp tính trực
tiếp theo công thức (2.81) hoặc các phương pháp khai triển thành chuỗi lũy thừa để tìm biến đổi
ngược của phép biến đổi Z .
1
−
z+2 z+2 1
Ví dụ 1.30: Hàm X ( z ) = 2 = = 2 + giải tích tại mọi
2z − 7z + 3 ⎛ 2 7 3⎞ 1 z −3
2⎜ z − z + ⎟ z −
⎝ 2 2⎠ 2
1
z ≠ , 3 . Vì vậy ta có thể tìm biến đổi ngược trong 3 miền sau:
2
1
a. Miền z < :
2
1 −1 ∞
1 ∞ zn ∞
⎛ 1 ⎞ 0
⎛ 1 ⎞
X ( z) = + = ∑ 2n z n − ∑ n = ∑ ⎜ 2n − n +1 ⎟ z n = ∑ ⎜ 2− n − − n +1 ⎟ z − n
1 − 2z ⎛ z⎞ 3 n=0 3 n =0 ⎝ 3 ⎠ n =−∞ ⎝ 3 ⎠
3 ⎜ 1 − ⎟ n =0
⎝ 3⎠
⎧ −n 1
⎪ 2 − − n +1 nÕu − ∞ < n ≤ 0
Vậy x ( n) = ⎨ 3 .
⎪
⎩ 0 nÕu n>0
1
b. Miền < z < 3:
2
−1 −1 −1 ∞ − n − n 1 ∞ z n ∞ 0
X ( z) =
⎛ 1 ⎞
+
⎛ z⎞
= ∑
2 z n=0
2 z − ∑ n = −∑ 2− n z − n − ∑ 3n −1 z − n .
3 n=0 3
2 z ⎜1 − ⎟ 3 ⎜1 − ⎟ n =1 n =−∞
⎝ 2z ⎠ ⎝ 3⎠
⎧ − 3n −1
⎪ nÕu − ∞ < n ≤ 0
Vậy x ( n) = ⎨ −n
.
⎪ −2
⎩ nÕu n>0
45
Chương 1: Hàm biến số phức
c. Miền 3 < z :
−1 1 −1 ∞ − n − n 1 ∞ n − n ∞ ∞
X ( z) =
⎛ 1 ⎞
+
⎛ 3⎞
= ∑
2 z n=0
2 z + ∑ 3 z = −∑ 2− n z − n + ∑ 3n −1 z − n Vậy
z n =0
2 z ⎜1 − ⎟ z ⎜1 − ⎟ n =1 n =1
⎝ 2z ⎠ ⎝ z⎠
⎧ 0 nÕu − ∞ < n ≤ 0
x(n) = ⎨ n −1 − n .
⎩ 3 −2 nÕu n ≥ 1
TÓM TẮT
Dạng tổng quát của số phức
z = x + iy , trong đó x, y là các số thực; i 2 = −1 .
Dạng lượng giác, dạng mũ của số phức
z = x + iy = r ( cos ϕ + i sin ϕ ) , z = z eiϕ .
Trong đó z = r = OM = x 2 + y 2 , Argz = ϕ + k 2π , k ∈ .
ε − lân cận của z 0 ∈ {
: Bε ( z 0 ) = z ∈ z − z0 < ε . }
Miền
Điểm z 0 được gọi là điểm trong của E nếu tồn tại một lân cận của z 0 nằm hoàn toàn
trong E . Tập chỉ gồm các điểm trong được gọi là tập mở.
D là tập liên thông nếu với bất kỳ 2 điểm nào của D cũng có thể nối chúng bằng một
đường cong liên tục nằm hoàn toàn trong D .
Một tập mở và liên thông được gọi là miền.
Hàm biến phức
Một hàm biến phức xác định trên tập con D của hoặc là một quy luật cho tương ứng
mỗi số phức z ∈ D với một hoặc nhiều số phức w , ký hiệu w = f ( z ), z ∈ D .
⎧ u = u ( x, y )
z = x + iy và w = f ( z ) = u + iv thì ⎨ . Gọi u (x, y ) là phần thực, v( x, y ) là
⎩ v = v ( x, y )
phần ảo của hàm f ( z ) .
⎧ lim u ( x, y ) = u 0
⎪ ( x , y )→( x0 , y0 )
lim f ( z ) = u 0 + iv0 ⇔ ⎨
z → z0 ⎪ lim v ( x, y ) = v 0
⎩ ( x , y )→( x0 , y0 )
Hàm phức liên tục khi và chỉ khi phần thực, phần ảo là hai hàm thực hai biến liên tục.
Hàm khả vi, điều kiện Cauchy-Riemann. Hàm giải tích
f (z + Δz ) − f ( z )
Nếu tồn tại đạo hàm f ' ( z ) = lim ta nói hàm khả vi tại z .
Δz →0 Δz
46
Chương 1: Hàm biến số phức
Nếu hàm phức w = f ( z ) = u ( x, y ) + iv( x, y ) khả vi tại z = x + iy thì phần thực u ( x, y ) và
phần ảo v( x, y ) có các đạo hàm riêng tại ( x, y ) và thỏa mãn điều kiện Cauchy-Riemann
∂u
⎧
⎪ (x, y ) = ∂v (x, y )
⎪ ∂x ∂y
⎨
∂u
⎪ (x, y ) = − ∂v (x, y )
⎪
⎩ ∂y ∂x
Ngược lại, nếu phần thực u ( x, y ) , phần ảo v( x, y ) khả vi tại ( x, y ) và thỏa mãn điều kiện
Cauchy-Riemann thì w = f ( z ) khả vi tại z = x + iy và
∂u
f ' (z ) = (x, y ) + i ∂v (x, y ) = ∂v (x, y ) − i ∂u (x, y ) .
∂x ∂x ∂y ∂y
Hàm đơn trị w = f ( z ) khả vi trong một lân cận của z được gọi là giải tích tại z . Nếu
f ( z ) khả vi tại mọi điểm của D thì ta nói f ( z ) giải tích trong D. f ( z ) giải tích trong D nếu nó
giải tích trong một miền chứa D .
Phép biến hình bảo giác
Phép biến hình w = f ( z ) được gọi là bảo giác tại z nếu thoả mãn hai điều kiện sau:
i. Bảo toàn góc giữa hai đường cong bất kỳ qua điểm z ( kể cả độ lớn và hướng).
ii. Có hệ số co dãn không đổi tại z , nghĩa là mọi đường cong đi qua điểm này đều có hệ số
co dãn như nhau qua phép biến hình.
Phép biến hình w = f ( z ) được gọi là bảo giác trong miền D nếu nó bảo giác tại mọi điểm
của miền này.
Nếu hàm w = f ( z ) khả vi tại z và f ' ( z ) ≠ 0 thì phép biến hình thực hiện bởi hàm
w = f ( z ) bảo giác tại điểm z , đồng thời arg f ' (z ) là góc quay và f ' ( z ) là hệ số co giãn tại
điểm z của phép biến hình đó. Nếu w = f ( z ) giải tích trong D và f ' ( z ) ≠ 0 , ∀z ∈ D thì nó là
một phép biến hình bảo giác trong D.
Tích phân phức
Giả sử w = f ( z ) = u ( x, y ) + iv(x, y ) xác định đơn trị trong miền D. L là đường cong (có thể
đóng kín) nằm trong D có điểm mút đầu là A mút cuối là B.
Chia L thành n đoạn bởi các điểm A ≡ z 0 , z1 , z 2 , ... , z n ≡ B nằm trên L theo thứ tự tăng
dần của các chỉ số. Chọn trên mỗi cung con z k −1 , z k của đường cong L một điểm bất kỳ
ζ k = ξ k + iη k . Đặt zk = xk + iyk , Δz k = z k − z k −1 ; k = 1, n .
n
I= ∫ f ( z )dz = lim ∑ f (ζ k )Δz k .
max Δzk →0 k =1
AB 1≤ k ≤ n
∫ f (z )dz = ∫ udx − vdy + i ∫ vdx + udy .
AB AB AB
47
Chương 1: Hàm biến số phức
Công thức tích phân Cauchy
Giả sử f ( z ) giải tích trong miền D (có thể đa liên) có biên là ∂D . Khi đó, với mọi
a ∈ D ta có:
1 f ( z) n! f ( z)
f (a) = ∫D z − a dz ; f ( a ) = 2π i
(n)
∫ ( z − a) dz
2π i ∂ C
n +1
tích phân được lấy theo chiều dương của ∂D .
Chuỗi Taylor
∞
f ( n) (a )
Chuỗi lũy thừa có dạng ∑ n! ( z − a) n được gọi là chuỗi Taylor của hàm f (z ) tại a .
n =0
1) Chuỗi luỹ thừa bất kỳ là chuỗi Taylor của hàm tổng của nó trong hình tròn hội tụ.
2) Ngược lại, mọi hàm f ( z ) giải tích tại a thì có thể được khai triển thành chuỗi Taylor
trong lân cận z − a < R .
Chuỗi Laurent
{
Giả sử hàm f ( z ) giải tích trong hình vành khăn K = z r < z − a < R ; }
∞
1 f ( z)
0 ≤ r < R ≤ ∞ . Khi đó chuỗi ∑ cn (z − a )n , với cn =
2π i ∫ ( z − a) n +1
dz được gọi là
n = −∞ C
chuỗi Laurent của hàm đó tại a, trong đó C là đường cong kín bất kỳ nằm trong K bao quanh a .
Thặng dư
Giả sử f ( z ) giải tích trong hình vành khăn K = z 0 < z − a < R{ } có a là điểm bất
thường cô lập. Ta gọi số phức sau đây là thặng dư của f ( z ) tại a , ký hiệu
1
⎡ Res f ( z ) ; a ⎤ =
⎣ ⎦ 2π i ∫ f ( z ) dz .
C
Cho miền đóng D có biên là ∂D . Giả sử f ( z ) giải tích trong D , ngoại trừ tại một số hữu
hạn các điểm bất thường cô lập a1 , ... , a n ∈ D . Khi đó
n
∫ f ( z ) dz = 2π i ∑ ⎡ Res f ( z ) ; ak ⎤ .
⎣ ⎦
∂D k =1
Biến đổi Z
∑ x(n)(z −1 )
∞ ∞ n
Biến đổi Z của dãy tín hiệu {x(n)}∞= −∞ là hàm phức X ( z ) =
n ∑ x ( n) z − n =
n = −∞ n = −∞
48
Chương 1: Hàm biến số phức
1
Ngược lại dãy {x(n)}∞= −∞ xác định bởi công thức x(n) =
n ∫z
n −1
X ( z )dz được gọi là
2π i C
biến đổi ngược của biến đổi Z của X (z ) .
CÂU HỎI ÔN TẬP VÀ BÀI TẬP
1.1. Nếu hàm phức w = f (z ) có đạo hàm tại z 0 thì có đạo hàm mọi cấp tại z 0 .
Đúng Sai .
1.2. Hàm phức w = f ( z ) giải tích tại z 0 thì có thể khai triển thành tổng của chuỗi lũy thừa tâm
z0 .
Đúng Sai .
1.3. Hàm phức w = f ( z ) có đạo hàm khi và chỉ khi phần thực và phần ảo u (x, y ) , v( x, y ) có đạo
hàm riêng cấp 1.
Đúng Sai .
1.4. Nếu z 0 là điểm bất thường cô lập của hàm phức w = f (z ) thì có thể khai triển Laurent của
hàm số này tại z 0 .
Đúng Sai .
1.5. Tích phân của hàm phức giải tích w = f ( z ) trong miền đơn liên D không phụ thuộc đường
đi nằm trong D .
Đúng Sai .
1.6. Tích phân trên một đường cong kín của hàm phức giải tích w = f (z ) trong miền đơn liên D
luôn luôn bằng không.
Đúng Sai .
1.7. Thặng dư của hàm phức w = f ( z ) tại z 0 là phần dư của khai triển Taylor của hàm này tại
z0 .
Đúng Sai .
1.8. Hàm phức w = f (z ) có nguyên hàm khi và chỉ khi giải tích.
Đúng Sai .
1.9. Tích phân của một hàm phức w = f ( z ) chỉ có một số hữu hạn các điểm bất thường cô lập
trên một đường cong kín C (không đi qua các điểm bất thường) bằng tổng các thặng dư của
w = f (z ) nằm trong đường C .
Đúng Sai .
1.10. Có thể tìm được một hàm phức bị chặn và giải tích tại mọi điểm.
Đúng Sai .
1.11. Rút gọn các biểu thức sau
49
Chương 1: Hàm biến số phức
1 1
a. 2(5 − 3i ) − 3(− 2 + i ) + 5(i − 3) , b. − ,
1 + 3i 1 − 3i
⎛1− i ⎞
c. ⎜
10
(1 + i )( 2 + 3i )( 4 − 2i )
⎟ , d. .
(1 + 2i ) (1 − i )
3
⎝1+ i ⎠
1.12. Giải các phương trình sau
a. z 2 + z + 1 = 0 , b. z 3 − 2 z − 4 = 0 ,
1.13. Tính: a. 3 − 1 + i , b. 3 4 2 + 4 2i .
1.14. Tính quỹ tích những điểm trong mặt phẳng phức thoả mãn
π
a. z − 3 − 4i = 2 , b. arg(z − i ) = ,
4
c. z −2 + z +2 = 6, d. z + 2 = 2 z −1 .
1.15. Tính phần thực và phần ảo của các hàm số sau
1
a. w = z 3 b. w = c. w = e 3 z .
1− z
1
1.16. Cho w = z + . Tìm đạo hàm w' ( z ) trực tiếp từ định nghĩa. Với giá trị nào của z thì hàm
z
số không giải tích.
1.17. Chứng minh hàm w = z z không giải tích tại mọi z .
1.18. Chứng minh rằng hàm
1
a. w = z 4 b. w = , z ≠ ±i
z2 +1
thoả mãn điều kiện Cauchy-Riemann. Tính w' ( z ) trong mỗi trường hợp trên.
1.19. Tìm hàm phức giải tích w = f ( z ) = u ( x, y ) + iv ( x, y ) biết phần thực
a. u ( x, y ) = x 3 − 3xy 2 , b. u ( x, y ) = x 2 − y 2 + 2 x ,
1.20. Tìm hàm phức giải tích w = f ( z ) = u ( x, y ) + iv ( x, y ) biết phần ảo
−y
a. v( x, y ) = , b. v( x, y ) = 2 xy + 3 x ,
( x + 1) 2 + y 2
1
1.21. Tìm ảnh của các đường cong sau đây qua phép biến hình w = .
z
a. x 2 + y 2 = 4 , b. y = x ,
c. ∞ , 0 , 1 , d. ( x − 1) 2 + y 2 = 1 .
50
Copyright by webtailieu.net