Tính quá trình quá độ mạch tuyến tính bằng phương pháp tích phân kinh điển
Từ bản chất giải quá trình quá độ mạch tuyến tính là giải hệ phương trình vi phân hệ số hằng cho thỏa mãn sơ kiện ta sử dụng lý thuyết phương trình vi phân đưa ra phương pháp sau:
Giaïo trçnh Cåí såí Kyî thuáût âiãûn II Trang 51
CHÆÅNG 14
TÊNH QUAÏ TRÇNH QUAÏ ÂÄÜ MAÛCH TUYÃÚN TÊNH BÀÒNG PHÆÅNG PHAÏP
TÊCH PHÁN KINH ÂIÃØN
Tæì baín cháút giaíi quaï trçnh quaï âäü maûch tuyãún tênh laì giaíi hãû phæång trçnh vi
phán hãû säú hàòng cho thoía maîn så kiãûn ta sæí duûng lyï thuyãút phæång trçnh vi phán âæa ra
phæång phaïp nhæ sau :
§1. Phæång phaïp têch phán kinh âiãøn giaíi quaï trçnh quaï âäü maûch tuyãún
tênh.
Phæång phaïp phán têch quaï trçnh quaï âäü dæûa trãn sæû têch phán phæång trçnh vi
phán cho thoía maîn så kiãûn goüi laì phæång phaïp têch phán kinh âiãøn.
I. Näüi dung vaì tinh tháön phæång phaïp :
Theo lyï thuyãút phæång trçnh vi phán thç nghiãûm cuía phæång trçnh vi phán tuyãún
tênh khäng thuáön nháút seî laì xãúp chäöng nghiãûm phæång trçnh vi phán thuáön nháút vaì
nghiãûm riãng cuía phæång trçnh vi phán khäng thuáön nháút. Tæïc biãøu thæïc nghiãûm coï
daûng : xTQKTN = xTQTN + xRKTN (14-1)
Trong âoï : xTQKTN laì nghiãûm täøng quaït cuía phæång trçnh vi phán coï vãú 2
(phæång trçnh vi phán khäng thuáön nháút).
xTQTN laì nghiãûm täøng quaït cuía phæång trçnh vi phán khäng coï vãú 2
(phæång trçnh vi phán thuáön nháút).
xRKTN laì nghiãûm riãng cuía phæång trçnh vi phán coï vãú 2 (phæång
trçnh vi phán khäng thuáön nháút).
AÏp duûng tinh tháön naìy âãø giaíi hãû phæång trçnh vi phán tuyãún tênh biãøu diãùn giai
âoaûn quaï âäü cuía maûch âiãûn.
Ta tháúy ràòng trong phæång trçnh maûch âiãûn thç vãú 2 chè nguäön kêch thêch, cho
nãn phæång trçnh khäng coï vãú 2 tæïc laì khäng coï kêch thêch cæåîng bæïc, maì khi maûch
khäng coï kêch thêch cæåîng bæïc thç trong noï chè coï thãø coï quaï trçnh taûo ra do quaï trçnh
cuî (træåïc âoïng måí), nãn taûo goüi nghiãûm naìy laì nghiãûm tæû do : xTQTN = xTd
Khi coï kêch thêch cæåîng bæïc taïc âäüng vaìo maûch sau khi âoïng måí (våïi thåìi gian
âuí låïn) thç quaï trçnh trong maûch seî xaïc láûp, vç váûy nghiãûm riãng cuía phæång trçnh vi
phán coï vãú 2 chênh laì nghiãûm xaïc láûp nãn : xRKTN = xXL.
Nãn tæì (14-1) coï : xqd = xxl + xtd. (14-2)
Tæì âoï tháúy roî ta âaî qui viãûc xaïc âënh nghiãûm quaï âäü vãö viãûc xaïc âënh nghiãûm
xaïc láûp xãúp chäöng våïi nghiãûm tæû do âãø traïnh viãûc phaíi têch phán phæång trçnh vi phán
cuía maûch.
Vê duû : Xeït quaï trçnh quaï âäü cuía maûch hçnh K r
(h.14-1) sau khi âoïng khoïa K. C
Phæång trçnh vi phán mä taí maûch sau khi âoïng khoïa K E
laì : ur + uC = E
i.r + uC = E h.14-1
Træåìng Âaûi Hoüc Kyî Thuáût - Khoa Âiãûn - Bäü män Thiãút bë âiãûn
Giaïo trçnh Cåí såí Kyî thuáût âiãûn II Trang 52
vç coï i = C.u'C nãn âæåüc phæång trçnh vi phán biãøu diãùn giai âoaûn quaï âäü cuía maûch
âiãûn laì : Cu'C.r + uC = E.
Âáy laì phæång trçnh vi phán coï vãú 2 (vãú 2 laì nguäön mäüt chiãöu E). Vç nguäön mäüt
chiãöu E taïc âäüng vaìo maûch sau khi âoïng khoïa K nãn seî coï mäüt nghiãûm riãng chênh laì
nghiãûm xaïc láûp mäüt chiãöu sau khi âoïng khoïa K. Vç laì xaïc láûp mäüt chiãöu nãn u'C = 0
coìn uCxl = E.
Phæång trçnh thuáön nháút (khäng vãú 2) cho nghiãûm xtd nãn biãún säú luïc naìy laì uCtd.
Cr.u'Ctd + uCtd = 0.
du du 1
C.r Ctd = − u Ctd , ∫ Ctd = ∫ − dt
dt u Ctd rC
Têch phán phæång trçnh vi phán ta âæåüc nghiãûm tæû do uCtd :
t
u Ctd t −
Ln =− , u Ctd = A.e rC
A r.C
t
−
Váûy ta coï nghiãûm quaï âäü : uCqd = uCxl + uCtd = E + A. e rC
Qua vê duû tháúy ràòng viãûc tçm nghiãûm xaïc láûp sau khi âoïng måí (xaïc láûp sau) æïng
våïi viãûc giaíi hãû phæång trçnh sau âoïng måí åí chãú âäü xaïc láûp, âæåüc thæûc hiãûn nhæ åí Lyï
thuyãút maûch táûp 1 âaî quen biãút ( læu yï nãúu xaïc láûp sau laì maûch âiãöu hoìa, ta duìng
phæång phaïp chuyãøn âäøi aính phæïc giaíi ra nghiãûm aính räöi traí vãö giaï trë thåìi gian).
Coìn viãûc xaïc âënh nghiãûm tæû do : Âãø traïnh viãûc phaíi têch phán phæång trçnh vi
phán khäng vãú 2 xaïc âënh xtd ta dæûa vaìo âàûc âiãøm cuía nghiãûm tæû do ta tháúy nghiãûm naìy
coï daûng haìm muî : xTd = Aept.
Nãn tháúy ngay chè cáön xaïc âënh p, A seî làõp gheïp âæåüc x td = Ae pt . Trong âoï p
phuû thuäüc vaìo cáúu truïc, thäng säú cuía maûch goüi laì säú muî âàûc træng (åí vê duû trãn ta tháúy
p = -1/rC, våïi maûch r - C). Vç nghiãûm tæû do coï daûng haìm muî xTd = A.ept nãn :
d 1 x
x ' td = Ae pt = pAe pt = p.x td coìn ∫ x Td = ∫ Ae pt = Ae p. t = Td dáùn âãún phæång trçnh
dt p p
vi phán khäng vãú hai våïi nghiãûm tæû do haìm muî seî thaình phæång trçnh âaûi säú :
Crpu Ctd + u td = 0 tæì âoï coï u Ctd (Crp + 1) = 0
Trong âoï (Crp + 1) = ∆p ta goüi laì âa thæïc âàûc træng (âa thæïc chæïa p). Coìn A laì
hàòng säú têch phán seî xaïc âënh tuìy thuäüc vaìo så kiãûn cuía baìi toaïn. Váûy cáön âæa ra
nhæîng giaíi phaïp xaïc âënh säú muî âàûc træng p.
II. Caïch xaïc âënh säú muî âàûc træng p : coï 2 phæång phaïp âãø xaïc âënh p
1. Phæång phaïp âaûi säú hoïa phæång trçnh vi phán khäng vãú 2 theo nghiãûm tæû do
âãø ruït ra âa thæïc âàûc træng ∆p. Láûp luáûn ∆p = 0 giaíi ra âæåüc p.
Vê duû : trong maûch r-C coï phæång trçnh âaûi säú hoïa u Ctd (rCp + 1) = u Ctd .∆p = 0
1
Vç uCtd = 0 laì nghiãûm táöm thæåìng nãn ∆p = 0 = rCp + 1 giaíi âæåüc p = −
rC
Vê duû : Láûp âa thæïc âàûc træng cho maûch nhæ hçnh (h.14-2)
Tæì phæång trçnh khäng vãú 2 laì :
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Giaïo trçnh Cåí såí Kyî thuáût âiãûn II Trang 53
1
C∫
i.r + L.i '+ idt = 0
r L
Thay iTd = Aep.t vaìo phæång trçnh khäng coï vãú 2 ta
âæåüc phæång trçnh âaûi säú laì : C
i
i Td .r + Lpi Td + Td = 0 h.14-2
pC
1
i Td ( r + Lp + )=0
pC
1
Ruït ra âa thæïc âàûc træng ∆p = r + Lp + .
pC
Cho ∆p = 0 ruït ra LCp 2 + Crp + 1 = 0
−r
2
r 1 ⎛ r ⎞ 1
hay p + p +
2
= 0 giaíi ra âæåüc p 1, 2 = ± ⎜ ⎟ −
L LC 2L ⎝ 2L ⎠ LC
Váûy ta âaûi säú hoïa âæåüc phæång trçnh vi phán khäng vãú 2 bàòng caïch thay chäù coï
1 d
∫ dt bàòng p , chäù coï dt bàòng p tæì âoï ruït ra ∆p = 0 giaíi ra âæåüc säú muî âàûc træng p.
2. Phæång phaïp âaûi säú hoïa så âäö maûch theo p räöi tênh täøng tråí (täøng dáùn) vaìo
theo p, giaíi ZV(p) = 0 hoàûc YV(p) = 0 tênh âæåüc p.
Så âäö âaûi säú hoïa theo p coï âæåüc bàòng caïch tæì så âäö sau khi âoïng, måí nãúu coï
âiãûn tråí R thç giæî nguyãn, coìn gàûp cuäün caím L thç thay bàòng pL, gàûp tuû âiãûn C thç thay
1
bàòng . Håí maûch mäüt nhaïnh báút kyì cuía så âäö âaûi säú hoïa, tæì âoï nhçn vaìo maûch ta coï
pC
maûng mäüt cæía. Tênh täøng tråí vaìo theo p. Täøng tråí vaìo naìy ZV(p) vãö màût hçnh thæïc
giäúng nhæ ZV(jω) cuía maûng mäüt cæía xaïc láûp hçnh sin âaî hoüc. Chè viãûc thay jω bàòng p
laì coï âæåüc ZV(p). Læu yï ZV(p) naìy æïng våïi maûch khäng coï nguäön; nãn nãúu tæì cæía nhçn
vaìo maûch nãúu coï nguäön aïp thç näúi tàõt, coï nguäön doìng thç håí maûch nguäön doìng. Vç
maûch âiãûn khäng coï nguäön kêch thêch nãn coï quan hãû : itd.ZV(p) = 0 vaì vç itd khäng láúy
nghiãûm táöm thæåìng nãn coï ZV(p) = 0, tæì âáy giaíi ra p.
Vê duû : Maûch r-C coï så âäö âaûi säú hoïa nhæ hçnh (h.14-2a), täøng tråí vaìo :
1
ZV(p) = r +
pC r
1 1 ZV(p)
giaíi ZV(p) = r + = 0 âæåüc p = − 1/pC
pC rC
Våïi maûch r-L-C ta coï så âäö âaûi säú hoïa nhæ h.14-2a
hçnh (h.14-2b). Tæì så âäö tênh täøng tråí vaìo :
1 p 2 LC + rCp + 1 pL
ZV(p) = r + Lp + = r
pC pC ZV(p)
1/pC
Cho ZV(p) = 0 ⇔ p LC + rCp + 1 = 0 . Giaíi
2
2
r ⎛ r ⎞ 1 h.14-2b
phæång trçnh naìy âæåüc : p 1, 2 =− ± ⎜ ⎟ −
2L ⎝ 2L ⎠ LC
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Giaïo trçnh Cåí såí Kyî thuáût âiãûn II Trang 54
Âäúi våïi maûch gäöm caïc nhaïnh song song coï thãø tênh täøng dáùn âáöu vaìo cuía så âäö
âäúi våïi càûp nuït. YV(p) vaì cho YV(p) = 0, giaíi ra p.
Vê duû : Tênh p trong maûch hçnh (h.14-2c). K a
1
Coï Yvab(p) = + pC
r r
1
cho Yvab(p) = 0 ruït ra âæåüc p = − . j(t) 1/pC
rC
Vê duû : Tênh p åí maûch âiãûn hçnh (h.14-3). b
h.14-2c
Biãút r1 = r2 = 10Ω, L = 0,1H, C = 10-3F.
a. Tênh p tæì âa thæïc âàûc træng ∆p = 0. Viãút hãû phæång trçnh âaûi säú hoïa khäng
⎧ 1 1
⎪i 1 ( r1 + Lp + pC ) − i 2 pC = 0
K
⎪ L i1 1 i
nguäön : ⎨ 2
1
⎪i (− ) + i ( r + 1
)=0 r1
⎪ 1 pC
⎩
2 2
pC
tæì âoï dáùn ra ma tráûn ∆p vaì cho ∆p = 0 E r2
C
1 1
r1 + Lp +
pC pC 2
∆p = =0 h.14-3
1 1
− r2 +
pC pC
ta âæåüc phæång trçnh âàûc træng :
1 1 1
∆p = ( r1 + Lp + )( r2 + ) − ( )2 = 0
pC pC pC
1 L 1 1 1
r1 r2 + r1 + pLr2 + + r2 + ( )2 − ( )2 = 0
pC C pC pC pC
1 L 1
r1 r2 + r1 + pLr2 + + r2 = 0 → pCr1 r2 + r1 + p 2 LCr2 + pL + r2 = 0
pC C pC
∆p = p 2 LCr2 + p(Cr1 r2 + L ) + r1 + r2 = 0 giaíi phæång trçnh naìy âæåüc p.
b. Tênh p tæì täøng tråí vaìo Zv(p) = 0 åí så âäö âaûi säú hoïa hçnh (h.14-3a)
− Täøng tråí âáöu vaìo nhçn tæì cæía 1 laì :
1 r1 pL
r2
pC
Z V1 ( p ) = r1 + pL + =0 Zv1(p) r2
1 1/pC
r2 +
pC
⇔ p LCr2 + p(Cr1 r2 + L ) + r1 + r2 = 0
2
h.14-3a
giaíi phæång trçnh naìy âæåüc p.
− Näúi tàõt nguäön E, håí maûch nhaïnh 2, r1 pL
r2
ta coï täøng tråí âáöu vaìo tæì cæía laì nhaïnh 2 nhæ
1/pC
hçnh (h.14-3b) : ZV2(p)
h.14-3b
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Giaïo trçnh Cåí såí Kyî thuáût âiãûn II Trang 55
1
( r1 + pL )
pC
Z V 2 ( p ) = r2 +
1
r1 + pL +
pC
Z V 2 ( p ) = p 2 LCr2 + p(L + Cr1 r2 ) + r1 + r2 = 0
giaíi phæång trçnh naìy âæåüc p.
− Näúi tàõt nguäön E, håí maûch nhaïnh tuû, ta coï täøng tråí âáöu vaìo tæì cæía laì nhaïnh 3
nhæ hçnh (h.14-3c):
1 ( r + pL )r2 pL
Z V3 (p) = + 1 r1
pC r1 + pL + r2 1/pC
r2
Z V 3 ( p ) = p 2 LCr2 + p(L + Cr1 r2 ) + r1 + r2 = 0
ZV3(p)
giaíi phæång trçnh naìy âæåüc p.
− Coï thãø tênh YV(p) giæîa caïc nuït 1 vaì 2; cho h.14-3c
YV(p) = 0 cuîng giaíi âæåüc p, täøng dáùn vaìo giæîa hai 1
nuït 1, 2 nhæ hçnh (h.14-3d) : r1 pL
1 1
YV1, 2 ( p ) = + pC + r2
r1 + pL r2 1/pC
YV1, 2 ( p ) = r2 + r2 ( r1 + pL )pC + r1 + pL = 0
2
YV1, 2 ( p ) = r1 + r2 + r1 r2 pC + r2 p LC + pL = 0
2
h.14-3c
YV1, 2 ( p ) = p LCr2 + p(L + r1 r2 C) + r1 + r2 = 0
2
thay säú vaìo caïc ZV(p) trãn hay YV(p) ta âãöu âæåüc :
p2 + 200p + 20.103 = 0 giaíi ra âæåüc : p1,2 = -100 ± j100.
Váûy chuïng ta dãù daìng xaïc âënh p tæì pheïp tênh âaûi säú giaíi ZV(p) = 0 hoàûc YV(p) = 0.
III. Säú muî âàûc træng p vaì daïng âiãûu nghiãûm tæû do, daïng âiãûu nghiãûm
QTQÂ
Säú muî p phuû thuäüc vaìo cáúu truïc, thäng säú maûch âiãûn nãn noï quyãút âënh daïng
âiãûu cuía quaï trçnh tæû do, do âoï daïng âiãûu cuía QTQÂ.
Säú muî âàûc træng p âæåüc giaíi tæì phæång trçnh ∆p = 0 hoàûc ZV(p) = 0 nãn p coï thãø
coï nhæîng day hay gàûp nhæ sau : laì säú thæûc dæång hoàûc ám, laì säú phæïc liãn håüp, laì
nghiãûm keïp.
Ta phán têch âãø tháúy roî vai troì cuía p quyãút âënh âãún daïng âiãûu cuía nghiãûm tæû do
cuîng nhæ nghiãûm quaï âäü :
1. Khi pk thæûc dæång : pk > 0 :
Thç x td = A.e p t tàng âån âiãûu dáön âãún vä haûn nhæ hçnh (h.14-4)
k
Biãøu diãùn pK trãn màût phàóng phæïc pk > 0 nàòm trãn truûc thæûc phêa dæång nhæ
hçnh (h.14-4a).
Tæì xqâ = xtd + xxl tháúy xtd tàng âãún ∝ nãn xqâ tiãún âãún ∝ maì khäng tiãún âãún xaïc
láûp. Ta noïi QTQÂ khäng tiãún âãún quaï trçnh xaïc láûp, äøn âënh maì tiãún âãún tiãún âãún vä
cuìng låïn mäüt caïch âån âiãûu.
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Giaïo trçnh Cåí såí Kyî thuáût âiãûn II Trang 56
Váûy khi pK nàòm trãn truûc thæûc, phêa dæång cuía màût phàóng phæïc thç quaï trçnh tæû do âån
âiãûu tiãún âãún ∝ do âoï QTQÂ cuîng tiãún âãún ∝, khäng tiãún tåïi xaïc láûp, äøn âënh.
xtd xtd
j j
pk > 0 pk < 0
0 t 0 1 0 t 0 1
h.14-4 h.14-4a h.14-5 h.14-5a
2. Khi pk thæûc ám : pk < 0 :
Thç x td = A.e p t giaím dáön âån âiãûu dáön âãún 0 nhæ hçnh (h.14-5), khi t → ∞ thç
k
xtd → 0 nãn xqâ = xtd + xxl → xxl quaï trçnh quaï âäü tiãún âãún xaïc láûp, vaì äøn âënh. Trãn màût
phàóng phæïc : pk < 0 nàòm trãn truûc thæûc phêa ám nhæ hçnh (h.14-5a).
Váûy khi pk nàòm trãn truûc thæûc phêa ám cuía màût phàóng phæïc thç quaï trçnh tæû do
tiãún âãún 0 vaì do âoï QTQÂ seî tiãún âãún xaïc láûp, äøn âënh.
3. Khi pk laì nghiãûm phæïc liãn håüp : p k = a k ± jωk
Luïc naìy nghiãûm tæû do coï daûng :
x td = A 1 e p t + A 2 e p t = 2 A k e a t cos(ω k t + Ψk )
*
k k k
laì dao âäüng våïi táön säú bàòng pháön aío cuía pk laì ωk. Våïi biãn âäü giaím hay tàng tuìy
ak (pháön thæûc cuía pk). Coï hai træåìng håüp xaíy ra :
a. Våïi ak < 0 thç khi t → ∞ biãn âäü cuía xtd giaím âãún 0, dao âäüng giaím dáön âãún
0 nhæ hçnh (h.14-6) nãn xqâ = xxl + xtd dao âäüng tiãún âãún xaïc láûp, äøn âënh.
Khi ak < 0 thç pk = ak ± jωk nàòm bãn traïi màût phàóng phæïc nhæ hçnh (h.14-6a).
b. Våïi ak > 0 thç khi t → ∞ biãn âäü dao âäüng tàng dáön âãún ∞, xtd dao âäüng tàng
dáön âãún ∞, khäng tiãún âãún xaïc láûp, khäng äøn âënh. Luïc naìy xuáút hiãûn quaï trçnh tæû kêch
nhæ (h.14-7).
Khi aK > 0 thç pk = ak ± jωk nàòm trãn næía phaíi màût phàóng phæïc nhæ (h.14-7a)
xtd xtd
ak < 0 ak > 0
j j
t 0 1 t 0 1
Ae a kt
Ae a kt
h.14-6 h.14-6a h.14-7 h.14-7a
4. Khi pk laì nghiãûm bäüi :
Thç nghiãûm tæû do coï daûng : x td = ( A 1 + A 2 t + ... + A k t k −1 )e p t k
Thæåìng gàûp : pk laì nghiãûm keïp thç nghiãûm tæû do coï daûng : x td = ( A 1 + A 2 t )e p t k
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Nãúu pK thæûc dæång trong træåìng håüp naìy khi t → ∞ thç xtd khäng tiãún âãún xaïc
láûp, äøn âënh, do âoï QTQÂ khäng tiãún âãún xaïc láûp, äøn âënh
Nãúu pk thæûc ám thç quaï trçnh tæû do tiãún âãún 0 nãn quaï trçnh quaï âäü tiãún âãún xaïc
láûp, äøn âënh.
Qua phán têch trãn tháúy roî säú muî âàûc træng pk quyãút âënh xtd vaì xqâ.
Trong âoï pháön thæûc cuía pK, Re(pk) quyãút âënh cæåìng âäü quaï trçnh tæû do tàng hay
giaím våïi täúc âäü nhanh hay cháûm (tuìy Re(pk) ám, dæång, låïn, beï).
Coìn Im(pk) pháön aío cuía pK quyãút âënh xtd coï dao âäüng hay khäng våïi táön säú låïn
hay beï.
Biãøu diãùn pk trãn màût phàóng phæïc ta tháúy :
Khi pk nàòm åí næía traïi màût phàóng phæïc (nãúu Re(pk) < 0), xtd giaím âãún 0, xqâ tiãún
âãún xaïc láûp, äøn âënh.
Khi pk nàòm åí næía phaíi màût phàóng phæïc (nãúu Re(pk) > 0), xtd tàng âãún ∞, xqâ
khäng tiãún âãún xaïc láûp, äøn âënh maì tàng âãún vä cuìng låïn nhæ hçnh (h.14-8)
Roî raìng pK chæïa thäng tin vãö quaï trçnh cuía maûch âiãûn nãn coï thãø dæûa vaìo sæû
phán bäú cuía pK trãn màût phàóng phæïc âãø coï âæåüc mäüt säú tênh cháút cuía quaï trçnh trong
maûch âiãûn maì khäng cáön giaíi phæång trçnh maûch âiãûn. Âáy cuîng laì mäüt phæång phaïp
phán têch maûch âiãûn.
j
Khu væûc quaï trçnh Khu væûc quaï trçnh
äøn âënh ak < 0 khäng äøn âënh ak > 0
0 1
Xaïc láûp Khäng xaïc láûp
h.14-8
IV. Caïc bæåïc tênh QTQÂ bàòng phæång phaïp têch phán kinh âiãøn :
1. Dæûa vaìo så âäö cuî, quaï trçnh cuî åí t < 0 tênh uC(-0), iL(-0).
2. Dæûa vaìo luáût âoïng måí coï uC(-0), iL(-0) suy ra så kiãûn âäüc láûp uC(0), iL(0).
3. Dæûa vaìo så âäö måïi, quaï trçnh måïi t > 0 viãút hãû phæång trçnh hiãûn haình räöi
thay taûi t = 0 tênh mäüt säú så kiãûn phuû thuäüc, nãúu coìn thiãúu så kiãûn thç âaûo haìm hãû
phæång trçnh hiãûn haình theo t räöi thay taûi t = 0 âãø tênh tiãúp.
4. Tênh säú muî âàûc træng p.
5. Âàût nghiãûm quaï âäü dæåïi daûng xqâ = xxl + A.ept. Daûng cuía nghiãûm tæû do xtd tuìy
thuäüc vaìo säú muî âàûc træng p, khi Re{p} > 0 thç QTQÂ tàng træåíng vä haûn nãn khäng
cáön phaíi tênh tiãúp caïc bæåïc sau.
6. Dæûa vaìo så âäö xaïc láûp sau khi âoïng, måí tênh xxl.
7. Thay biãøu thæïc nghiãûm quaï âäü taûi t = 0 âãø xaïc âënh hàòng säú têch phán A våïi
xqâ (0) = xxl(0) + A tæì âáy xaïc âënh A.
Træåìng Âaûi Hoüc Kyî Thuáût - Khoa Âiãûn - Bäü män Thiãút bë âiãûn
Giaïo trçnh Cåí såí Kyî thuáût âiãûn II Trang 58
8. Làõp A tênh âæåüc vaìo biãøu thæïc xqâ = xxl + A.ept ta âæåüc nghiãûm quaï trçnh quaï
âäü.
§2. Phán têch quaï trçnh quaï âäü trong maûch cáúp 1
Aïp duûng phæång phaïp têch phán kinh âiãøn âãø xeït QTQÂ trong mäüt säú maûch
thæåìng gàûp, træåïc hãút cho maûch âån giaín nháút laì maûch gäöm r - C hoàûc r - L âáy laì
nhæîng maûch maì phæång trçnh mä taí quaï trçnh quaï âäü laì phæång trçnh vi phán cáúp 1 nãn
nhæîng maûch trãn goüi laì maûch cáúp 1.
Viãûc phán têch caïc QTQÂ trong maûch cáúp 1, cuîng nhæ cáúp 2, ngoaìi muûc âêch
minh hoüa näüi dung caïc bæåïc theo phæång phaïp têch phán kinh âiãøn noï coìn giuïp ta hiãøu
biãút caïc âàûc âiãøm cuía quaï trçnh quaï âäü trong nhæîng maûch âoï.
I. Quaï trçnh quaï âäü trong maûch r - C:
1. Quaï trçnh phoïng âiãûn cuía tuû âiãûn :
Baìi toaïn laì : Naûp cho tuû C âãø uC(-0) = Uo , räöi cho phoïng qua tråí r. Xaïc âënh
âiãûn aïp, doìng âiãûn phoïng cuía tuû âiãûn qua r sau khi âoïng khoïa
K
K nhæ hçnh (h.14-9).
Âáy laì baìi toaïn QTQÂ trong maûch cáúp 1, coï phæång C r
trçnh vi phán laì : rCu'C + uC = 0.
Våïi så kiãûn uC(0) = uC(-0) = U0 (vç laì baìi toaïn chènh)
h.14-9
Theo phæång phaïp têch phán kinh âiãøn coï âiãûn aïp quaï
âäü trãn tuû âiãûn : uCqâ = uCxl + uCtd.
Vç maûch sau khi âoïng K xaïc láûp khäng coï nguäön cung cáúp nãn coï uCxl = 0 do âoï
uCqâ = uCtd = Aept.
- Xaïc âënh p :
Tæì så âäö âaûi säú hoïa : Z(p) = r + 1/pC = 0 giaíi ra p = -1/rC nhæ hçnh (h.14-9a).
Coï thãø tæì phæång trçnh âaûi säú hoïa rCu'Ctd + uCtd = 0 våïi
uCtd = A.ept coï : pCruCtd + uCtd = uCtd(rCp + 1) = 0
1/pC
Ruït ra : ∆p = rCp + 1 = 0 giaíi âæåüc p = -1/rC. r
- Daûng nghiãûm quaï âäü : uCqâ = Ae-t/rC = uCtd.
Tháúy roî laì do nàng læåüng âiãûn træåìng têch luîy åí tuû âiãûn
h.14-9a
trong så âäö cuî gáy ra.
- Thay daûng nghiãûm taûi t = 0 âãø tênh hàòng säú têch phán A :
uC(0) = U0 = uCtd(0) = A. uCtd , iCtd
Âiãûn aïp quaï âäü trãn tuû âiãûn :
Eo
uCqâ(t) = Uoe-t/rC = uCtd(t) uC(t)
Váûy aïp quaï âäü chênh laì aïp tæû do khi phoïng âiãûn
tæû do trong maûch r - C. AÏp quaï âäü naìy giaím âån âiãûu iC(t) t
Eo/r
tæì U0 âãún 0.
Coìn doìng âiãûn phoïng cuía tuû âiãûn qua âiãûn tråí h.14-9b)
U
nhaíy voüt tæì 0 âãún − 0 taûi thåìi âiãøm t = 0 räöi sau âoï
r
giaím âån âiãûu âãún 0.
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Giaïo trçnh Cåí såí Kyî thuáût âiãûn II Trang 59
⎛ − 1⎞ U
i Cqâ = i Ctd = Cu ' Ctd = C⎜ ⎟ U o e − t / rC = − o e − t / rC
⎝ rC ⎠ r
vç coï p = -1/rC < 0 nãn quaï trçnh tàõt dáön âãún 0 vaì âån âiãûu våïi hãû säú tàõt dáön laì p
= -1/rC, nhæ hçnh (h.14-9b). Ta tháúy sau khoaíng thåìi gian t = τ = |1/p| = rC quaï trçnh tæû
U o e pt
do seî giaím âi e láön : e = .
U o e p(t+τ)
Âáy laì khoaíng thåìi gian âàûc træng cho täúc âäü tàõt, goüi laì hàòng säú thåìi gian
(khoaíng thåìi gian âãø cæåìng âäü quaï trçnh giaím âi e láön).
Thæåìng sau khi âoïng måí thåìi gian t = 3τ thç quaï trçnh tæû do chè coìn e-3 giaï trë
ban âáöu, coìn nghiãûm quaï âäü âaût giaï trë cåî 0,95 nghiãûm xaïc
K
láûp. Mäùi maûch coï mäüt hàòng säú thåìi gian nháút âënh, nãn coï
thãø dæûa vaìo hàòng säú naìy âãø so saïnh, choün læûa caïc maûch C
r
âiãûn cáön thiãút.
E
2. Quaï trçnh naûp tuû âiãûn :
Âáy laì QTQÂ khi âoïng maûch r - C vaìo aïp mäüt chiãöu. h.14-10)
Baìi toaïn : Âoïng maûch r - C vaìo nguäön hàòng E = const nhæ
hçnh (h.14-10). Ta coï : uC(-0) = 0 = uC(+0) (vç baìi toaïn chènh).
Âiãûn aïp quaï âäü trãn tuû âiãûn : uCqâ = uCxl + uCtd , trong âoï : uCxl laì aïp xaïc láûp mäüt chiãöu
trãn tuû sau khi âoïng khoïa K nãn uCxl = E do âoï :uCqâ = E + Ae-t/rC.
Taûi t = 0, uCqâ(0) = uC(0) = 0 = E + A ruït ra A = -E.
nãn uCqâ(t) = E - E.e-t/rC = E(1 - e-t/rC), âiãûn aïp quaï âäü åí t = 3τ laì :
u Cqâ (3τ) = E(1 − e −3 ) ≈ 0,95E váûy QTQÂ cháúm dæït sau thåìi gian t = 3τ = 3rC.
E.e − t / rC
coìn iCqâ = C.u'Cqâ = vaì uRqâ = E - uCqâ = E.e-t/rC.
r
Ta tháúy âiãûn aïp trãn tuû tàng tæì 0 âãún uCxl = E mäüt caïch âån âiãûu. Doìng âiãûn naûp ta ë t =
0 nhaíy voüt tæì 0 âãún E/r sau âoï giaím dáön âån âiãûu, âãún xaïc láûp iC = 0 nãúu tuû coï caïch
âiãûn täút, noï nhæ håí maûch. Caïc âæåìng uCqâ, uCtd, iCqâ, uRqâ u, i
âæåüc biãøu diãùn åí hçnh (h.14-10a). E uCxl
3. Âoïng maûch r - C vaìo aïp âiãöu hoìa : E/r uCqâ
Nhæ (h.14-11) : e(t) = Emsin(ωt + ψe). iCqâ uRqâ
Så kiãûn : uC(-0) = 0 = uC(+0) (vç baìi toaïn chènh). 0τ t
Âiãûn aïp quaï âäü trãn tuû âiãûn :
uCtâ
uCqâ = uCxl + uCtd = uCxl + Ae-t/rC. -E
Tênh nghiãûm xaïc láûp sau khi âoïng K, vç xaïc láûp âiãöu hoìa h.14-10a
nãn coï : K
•
• E E m 〈 Ψe xC 1
I XL = = våïi ϕ = arctg = arctg C
Z rC ⎛ 1 ⎞
2 r rCω r
r2 + ⎜ ⎟ 〈− ϕ
⎝ ωC ⎠ e(t)
h.14-11
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• E m 〈 Ψe E m • • •
π
I XL = = 〈 Ψe + ϕ; U CXL = I XL .Z C = I XL x C 〈−
z 〈− ϕ z 2
• E 〈Ψ + ϕ 1 π E π
U CXL = m e . 〈− = m 〈 Ψe + ϕ −
z ωC 2 zωC 2
Em π
Biãøu diãùn thåìi gian : u CXL ( t ) = sin(ωt + Ψe + ϕ − )
zωC 2
-t/rC
Nghiãûm quaï âäü : uCqâ = uCxl + Ae
Em π −
t
u Cqâ = sin(ωt + Ψe + ϕ − ) + Ae rC
zωC 2
E π
Taûi t = 0 : uCqâ(0) = uC(0) = m sin(Ψe + ϕ − ) + A
zωC 2
E π
Xaïc âënh A = − m sin(Ψe + ϕ − )
zωC 2
Em π Em π − rC
t
u Cqâ ( t ) = sin(ωt + Ψe + ϕ − ) − sin(Ψe + ϕ − )e
zωC 2 zωC 2
Ta tháúy aïp quaï âäü trãn tuû C gäöm thaình pháön xaïc láûp dao âäüng hçnh sin vaì säú
haûng tæû do laì haìm muî tàõt dáön âån âiãûu tiãún âãún 0, biãn âäü cuía haìm muî phuû thuäüc så
kiãûn nhæ (h.14-11c).
Træåìng håüp ta xeït laì : uC(0) = 0 nãn uC(0) = 0 = uCxl(0) + uCtd(0) coï uCxl(0) = - uCtd(0).
Våïi så kiãûn naìy :
- Nãúu âoïng måí âuïng luïc uCxl(0) = 0 thç uCtd(0) = 0 tæïc laì quaï trçnh tæû do khäng
xaíy ra vaì A = 0. Trong maûch seî hçnh thaình quaï trçnh xaïc láûp ngay maì khäng xaíy ra
quaï trçnh quaï âäü nhæ hçnh (h.14-11a)
- Nãúu âoïng måí luïc uCxl(0) = UCm thç uCtd(0) = - UCm vaì nãúu quaï trçnh tæû do tàõt
cháûm thç khoaíng 1/2 chu kyì (cuía âiãûn aïp xaïc láûp hçnh sin), âiãûn aïp quaï âäü trãn tuû âiãûn
seî cåî 2 láön biãn âäü âiãûn aïp xaïc láûp, uCqâ(T/2) ≈ 2UCm.
Khi uC(0) = 0 vaì âoïng luïc ψxl = π/2, uCxl(0) = UCm : thç coï thãø uCqâ(0) = 2UCm nhæ
(h.14-11c).
Tæì phán têch nhæ trãn tháúy ràòng : tuìy thåìi âiãøm âoïng måí (tuìy goïc pha ban âáöu
vaì så kiãûn) maì quaï trçnh quaï âäü seî coï daïng veí khaïc nhau.
u u u
UCm
uCxl
uCxl
uCxl
0 t 0 t 0 t
uCtd(0) uCtd uCtd
uCqâ
-UCm
uCqâ
h.14-11a h.14-11b
-2UCm
Khi uC(0) = 0 vaì khoïa Khi uC(0) = 0 vaì khoïa h.14-11c
K âoïng taûi thåìi âiãøm K âoïng taûi thåìi âiãøm
uCxl(0) = 0 nãn coï quaï goïc pha ban âáöu cuía aïp
trçnh xaïc láûp ngay. xaïc láûp ϕ.
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Giaïo trçnh Cåí såí Kyî thuáût âiãûn II Trang 61
Doìng âiãûn quaï âäü trong maûch :
Um π Um π − rC
t
i Cqâ = C.u' Cqâ = cos(ωt + Ψe + ϕ − ) + sin(Ψe + ϕ − )e
z 2 zωrC 2
Nãúu taûi thåìi âiãøm âoïng måí t = 0 coï så kiãûn uC(0) = 0,
K r
luïc naìy tuû âiãûn nhæ bë näúi tàõt nãn toaìn bäü âiãûn aïp
nguäön âàût lãn tråí r thç i(0) = e(0)/r = Emsinψe/r . K r
Thæåìng gàûp r ráút nhoí cho nãn âoïng måí luïc ψe = π/2, K r
sin.ψe =1 thç i(0) = Em/r seî ráút låïn, taûo ra xung quaï
doìng âiãûn trong maûch.
C C C
Tæì âoï coï thãø giaíi thêch hiãûn tæåüng xung quaï doìng
âiãûn khi âoïng âiãûn vaìo caïp ba pha khäng taíi nhæ hçnh h.14-11d
(h.14-11d).
Trong âoï :
r : laì âiãûn tråí thuáön mäüt pha cuía caïp thæåìng ráút nhoí.
C : Âiãûn dung cuía mäùi pha so våïi âáút. Âoïng khoïa K luïc Umax seî gáy xung quaï doìng
âiãûn trong caïp khäng taíi.
II. Quaï trçnh quaï âäü trong maûch r - L
1. Quaï trçnh tæû do trong maûch r - L : K
1 L
Bäú trê maûch âiãûn nhæ hçnh (h.14-12). Âáöu tiãn âàût
2
khoïa K åí vë trê 1 âuí láu âãø quaï trçnh trong maûch âaût xaïc láûp r
(xaïc láûp cuî). Coï : iL(-0) = E/r = iL(+0) (vç baìi toaïn chènh) E
sau âoï âoïng khoïa K sang vë trê 2 seî coï quaï trçnh quaï âäü
trong maûch r - L. h.14-12
Phæång trçnh vi phán mä taí QTQÂ laì : r.i + Li' = 0
våïi så kiãûn iL(0) âaî tênh trãn.
Giaíi baìi toaïn theo phæång phaïp tich phán kinh âiãøn ta coï :
i Lqâ = i Lxl + i Ltd åí âáy iLxl = 0 (vç maûch xaïc láûp sau
pL r
khäng coï nguäön cæåîng bæïc) nãn QTQÂ åí âáy chè coï thaình Z(p)
pháön tæû do. Roî raìng QTQÂ xaíy ra laì do nàng læåüng tæì træåìng
têch luîy trong cuäün dáy åí så âäö cuî : iLqâ = iLtd = Aept
h.14-12a
Tæì phæång trçnh vi phán khäng vãú hai : Li'td + r.itd = 0 thay
iLtd = A.ept âæåüc phæång trçnh âaûi säú :
pLiLtd + r.iLtd = (pL + 1).iLtd = ∆p.iLtd = 0
Giaíi ∆p = pL + 1 = 0 âæåüc p = -r/L
rt
−
hay giaíi ZV(p) = pL + r = 0 âæåüc p = -r/L nhæ hçnh (h.14-12a) nãn i Lqâ = i Ltd = Ae L
E − rt
taûi t = 0 coï iLqâ(0) = E/r = A. Doìng âiãûn quaï âäü : i Lqâ ( t ) = i Ltd ( t ) = e L.
r
r E
Do p = − < 0 nãn khi t → ∞ thç iL tæì giaï trë giaím âån âiãûu âãún 0, doìng âiãûn âæåüc
L r
duy trç nhåì Sââ tæû caím eL âæåüc biãøu diãùn åí hçnh (h.14-12b).
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Taûi t = 0 uL nhaíy voüt tæì 0 âãún E räöi giaím âån âiãûu âãún 0.
E − r −Lt r r
− t
e L = − u L = − Li' = −L ( )e ; u r = r.i = E.e = e L L u, i
r L
E
Ta cuîng coï : τ = 1 / p = L / r laì hàòng säú thåìi gian.
E/r uR = uL
Vãö màût nàng læåüng ta tháúy : iLtâ
Nàng læåüng dæû træî luïc âáöu taûi thåìi âiãøm âoïng, måí åí kho 0
Li 2 (0 ) LE 2 - uL
tæì : WL (0 ) = = 2 . -E
2 2r h.14-12b)
Nàng læåüng naìy tiãu taïn trãn âiãûn tråí :
∞ ∞
E 2 − 2Lr t E2
Wr = ∫ i rdt = ∫ 2 r.e
2
=L 2
0 0 r 2r
2. Âoïng vaìo aïp hàòng E : nhæ hçnh (h.14-13)
Våïi giaí thiãút træåïc khi âoïng K khäng coï doìng âiãûn qua cuäün dáy nãn iL(-0) = 0,
vç baìi toaïn chènh suy ra så kiãûn âäüc láûp : iL(0) = iL(-0) = 0. Phæång trçnh vi phán mä taí
QTQÂ laì : Li' + ri = E.
Giaíi theo phæång phaïp têch phán kinh âiãøn :
Ta coï : iLqâ = iLxl + iLtd
E
Trong âoï : iLxl = laì nghiãûm xaïc láûp mäüt chiãöu sau khi âoïng khoïa K, coìn
r
r r
− t E − t
i Lqâ = Ae nãn i Lqâ = + Ae
L L
r
E
Thay taûi t = 0 ta coï : iLqâ(0) = iL(0) = 0 = E/r + A ruït ra : A = − . Doìng âiãûn quaï âäü
r
E E − t E⎛r
− t ⎞
r
trong maûch : i Lqâ = − e L = ⎜1 − e L ⎟ nhæ biãøu diãùn åí hçnh (h.14-13a)
r r r⎜
⎝
⎟
⎠
r
− t
Âiãûn aïp quaï âäü trãn cuäün dáy : u L = −Li' qâ = E.e L
⎛ − t ⎞
r
Âiãûn aïp quaï âäü trãn âiãûn tråí r : u r = r.i Lqâ = E⎜ 1 − e ⎟
⎜
L
⎟
⎝ ⎠
i td (0 )
Vç : τ = nãn coï thãø xaïc âënh τ nhæ trãn hçnh (h.14-13a)
i ' td (0 )
K u, i
iLxl
E/r
r
iLqâ
L τ
E 0 t
iLtd
h.14-13 -E/r
h.14-13a
3. Càõt maûch r - L ra khoíi nguäön mäüt chiãöu räöi kheïp maûch qua âiãûn tråí R :
Træåìng Âaûi Hoüc Kyî Thuáût - Khoa Âiãûn - Bäü män Thiãút bë âiãûn
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Baìi toaïn laì cung cáúp nguäön mäüt chiãöu E cho maûch r
1 K
r -L âãún traûng thaïi xaïc láûp räöi càõt maûch khoíi nguäön âoïng
kên maûch qua âiãûn tråí R nhæ hçnh (h.14-13b). 2
Khi khoïa K åí vë trê 1 âãø maûch âaût chãú âäü xaïc láûp L
E R
E
hàòng seî coï doìng âiãûn I = , âáy chênh laì doìng âiãûn så âäö
r
E h.14-13b
cuî iL(-0) = . Âoïng khoïa K tæì vë trê 1 sang vë trê 2, trong
r
thåìi gian âuí ngàõn quaï trçnh quaï âäü xaíy ra trong maûch R - r - L. Phæång trçnh vi phán
mä taí QTQÂ trong maûch : L.i' + (R + r).i = 0. Vç baìi toaïn chènh nãn så kiãûn âäüc láûp
E
iL(0) = iL(-0) = .
r
Bàòng phæång phaïp têch phán kinh âiãøn coï nghiãûm quaï âäü : iLqâ = iLxl + iLtd.
Doìng âiãûn xaïc láûp khi K åí vë trê 2, iLxl = 0 (vç maûch xaïc láûp sau khäng coï nguäön
cæåîng bæïc). Coìn nghiãûm tæû do : iLtd = A.ept våïi p âæåüc giaíi tæì ZV(p) = R + r + pL = 0
R+r
R+r −
R +r
t − t
suy ra p = − , coï i Ltd = A.e L nãn coï i Lqâ = i Ltd = A.e L
L
E
Thay taûi t = 0 coï iLqâ(0) = = A.
r
+
E − RL r t
Doìng âiãûn quaï âäü trong maûch : i Lqâ = i Ltd = .e
r
L
Hàòng säú thåìi gian cuía maûch laì τ =
R+r
Trong thåìi gian quaï trçnh quaï âäü do doìng âiãûn biãún thiãn nãn xuáút hiãûn Sââ tæû
+ R+r
di Lqâ E ⎛ R + r ⎞ − RL r t E
= (R + r )e L
− t
caím trãn cuäün caím : e L = − L = −L ⎜ − ⎟ e
dt r⎝ L ⎠ r
E E
Taûi t = 0 coï e L (0) = (R + r ) = R + E
r r
Qua phán têch ta tháúy khi cuäün caím phoïng nàng læåüng tæì træåìng qua âiãûn tråí R,
thç âiãûn tråí R caìng låïn thç thåìi gian QTQÂ caìng ngàõn, doìng âiãûn vaì âiãûn aïp tàõt caìng
nhanh, vaì giaï trë ban âáöu cuía Sââ tæû caím caìng låïn. Tuìy theo tæång quan giæîa R vaì r maì
eL(0) coï thãø låïn hån nhiãöu láön âiãûn aïp nguäön. Sââ cuía cuäün dáy tàng cao coï thãø gáy
nguy haûi cho caïch âiãûn cuía maûch âiãûn.
Coï thãø diãùn giaíi âiãöu âoï nhæ sau : khi K åí vë trê 1 maûch xaïc láûp hàòng coï doìng
E
âiãûn qua cuäün caím I = , khi K åí vë trê 2 maûch åí chãú âäü quaï âäü doìng âiãûn qua (R + r)
r
seî giaím nhanh khi R caìng låïn so våïi r. Sââ tæû caím eL taûi t = 0 laì eL(0) seî coï trë säú caìng
låïn vç eL tè lãû våïi täúc âäü biãún thiãn cuía doìng âiãûn. Váûn duûng láûp luáûn trãn càõt nghéa cho
sæû nguy hiãøm coï thãø xaíy ra khi càõt âiãûn nguäön cuía cuäün dáy kêch thêch maïy âiãûn nhæ
hçnh (h.14-13c).
Træåìng Âaûi Hoüc Kyî Thuáût - Khoa Âiãûn - Bäü män Thiãút bë âiãûn
Giaïo trçnh Cåí såí Kyî thuáût âiãûn II Trang 64
Khi måí K khoíi vë trê 1, maûch r - L bë càõt khoíi nguäön cung cáúp E vaì håí maûch
nãn giäúng nhæ maûch kên r -L - R2 våïi R2 = ∞. Vç R2 ráút låïn nãn täúc âäü giaím cuía doìng
âiãûn ráút låïn, dáùn âãún Sââ tæû caím xuáút hiãûn trãn cuäün dáy ráút låïn taûi thåìi âiãøm måí khoïa
K khiãún coï thãø gáy phoïng âiãûn häö quang åí cáöu dao K gáy nguy hiãøm cho ngæåìi vaì
thiãút bë.
4. Âoïng maûch r - L vaìo aïp hçnh sin : nhæ hçnh (h.14-14)
Sââ laì : e( t ) = E m sin(ωt + Ψe ) træåïc khi âoïng K coï iL(-0) = 0
Vç baìi toaïn chènh nãn iL(0) = iL(-0) = 0. Phæång trçnh mä taí QTQÂ cuía maûch :
L.i' + r.i = e(t). Giaíi theo phæång phaïp têch phán kinh âiãøn coï :
r
− t
pt L
iLqâ = iLxl + iLtd = iLxl + A.e = iLxl + A.e
Nghiãûm xaïc láûp sau khi âoïng K laì âiãöu hoìa nãn
duìng aính phæïc : K
•
•
E E m 〈 Ψe xL r
I Lxl = = våïi ϕ = arctg
r 2 + x 2 〈ϕ
Z r −L L
r L
e(t)
• E 〈Ψ E
I Lxl = m e = m 〈 Ψe − ϕ
z 〈ϕ z
h.14-14
Doìng âiãûn xaïc láûp daûng tæïc thåìi :
i
Em
i Lxl ( t ) = sin(ωt + Ψe − ϕ) ILxlm
z
iLxl(t)
Daûng cuía doìng âiãûn quaï âäü trong maûch laì : t
r
Em − t
i Lqâ ( t ) = sin(ωt + Ψe − ϕ) + Ae L 0
iLtd
z
π/2
Thay taûi t = 0 coï :
Em -ILxlm
iLqâ
iLqâ(0) = iL(0) = 0 = sin(Ψe − ϕ) + A
z 2ILxlm
E
Tênh âæåüc hàòng säú têch phán : A = − m sin(Ψe − ϕ) h.14-14a
z
Doìng âiãûn quaï âäü trong maûch :
r
Em Em − t
i Lqâ ( t ) = sin(ωt + Ψe − ϕ) − sin(Ψe − ϕ)e L
z z
Doìng âiãûn quaï âäü gäöm xãúp chäöng quaï trçnh xaïc láûp chu kyì hçnh sin våïi quaï
trçnh tæû do haìm muî tàõt dáön.
Tuìy thåìi âiãøm âoïng måí (âãø quyãút âënh så kiãûn vaì goïc pha ban âáöu) maì quaï
trçnh quaï âäü coï nhiãöu daïng veí khaïc nhau.
Khi iLqâ(0) = 0 coï iLxl(0) + iLtd(0) = 0 thç iLxl(0) = - iLtd(0).
- Nãúu âoïng maûch taûi luïc iLxl(0) = 0, laì luïc ψe = ϕ thç
r
E
i Ltd = − m sin (ψ e − ϕ).e L = 0 quaï trçnh quaï âäü khäng xaíy ra maì quaï trçnh âaût xaïc
− t
z
láûp ngay.
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Giaïo trçnh Cåí såí Kyî thuáût âiãûn II Trang 65
Em
- Nãúu âoïng måí luïc doìng xaïc láûp âaût giaï trë max, I xlm = (khi
z
sin(Ψe − ϕ) = 1, ψe - ϕ = π/2) vaì nãúu quaï trçnh tæû do tàõt cháûm thç sau khi âoïng næía chu
kyì doìng quaï âäü seî låïn cåî 2 láön biãn âäü doìng xaïc láûp : iLqâ(T/2) ≈ 2ILxlm nhæ biãøu diãùn åí
hçnh (h.14-14a).
§3. Quaï trçnh quaï âäü åí maûch cáúp 2 : r - L - C
I. Quaï trçnh phoïng âiãûn tæû do trong maûch r - L - C :
Âãø phán têch quaï trçnh phoïng âiãûn tæû do trong maûch r - L - C ta naûp âiãûn cho tuû
âiãûn C âãún âiãûn aïp uC(-0) = U0, sau âoï âoïng khoïa K cho phoïng qua maûch r - L. Coï
QTQÂ xaíy ra trong maûch khäng nguäön cæåîng bæïc nhæ hçnh (h.14-15). Phæång trçnh
QTQÂ theo biãún doìng âiãûn laì :
1 1
r.i + L.i'+ ∫ idt = 0 hay r.i'+ L.i"+ i = 0
C C
theo biãún âiãûn aïp laì : LCu"C + RCu' C + u C = 0
K
r L r pL
C 1/pC
ZV(p)
h.14-15 h.14-15a
Giaíi baìi toaïn QTQÂ bàòng phæång phaïp têch phán kinh âiãøn, våïi så kiãûn âäüc láûp
uC(0) = uC(-0) = Uo vaì iL(0) = iL(-0) = 0 (vç baìi toaïn chènh).
Daûng nghiãûm quaï âäü : uCqâ = uCxl + uCtd = uCxl + A.ept, trong âoï uCtd coï nhæîng
daûng khaïc nhau tuìy thuäüc daûng säú muî âàûc træng p. Säú muî âàûc træng p âæåüc tênh tæì
ZV(p) = 0 cuía så âäö âaûi säú hoïa nhæ hçnh (h.14-15a).
−r
2
1 ⎛ r ⎞ 1
Z V ( p ) = r + pL + = 0 ⇒ p 1, 2 = ± ⎜ ⎟ − tuìy theo quan hãû giæîa
pC 2L ⎝ 2L ⎠ LC
r/2L vaì 1/LC âãø coï 3 daûng nghiãûm cuía p nhæ sau :
1. Coï p laì 2 gnhiãûm thæûc p1, p2 (thæåìng thæûc ám vç phæång trçnh vi phán hãû säú
thæûc, dæång).
2 2
⎛ r ⎞ 1 ⎛ r ⎞ 1 L
Khi ∆ > 0 : ⎜ ⎟ − > 0, ⎜ ⎟ > ⇔r>2 thç pk coï nghiãûm thæûc,
⎝ 2L ⎠ LC ⎝ 2L ⎠ LC C
ám.
Luïc naìy nghiãûm tæû do coï daûng : u Ctd = A 1e p t + A 2 e p t
1 2
−r −r
Trong âoï : p 1 = + ∆, p2 = − ∆
2L 2L
Daûng nghiãûm âiãûn aïp quaï âäü trãn tuû : uCqâ = uCxl + uCtd vç sau khi âoïng K maûch
khäng coï nguäön cæåîng bæïc nãn uCxl = 0 nãn coï uCqâ = uCtd
Váûy QTQÂ åí âáy laì quaï trçnh phoïng âiãûn tæû do.
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Tæì u Cqâ = A 1 e p t + A 2 e p t tháúy phaíi xaïc âënh 2 hàòng säú têch phán nãn phaíi xaïc
1 2
âënh thãm 1 så kiãûn næîa ngoaìi så kiãûn uC(0).
Ta coï : iL(-0) = 0 = iL(0) = iC(0) (vç L näúi tiãúp C)
Doìng âiãûn quaï âäü : i Cqâ = C.u ' Cqâ = C[A 1 e p t + A 2 e p t ]' = C[p 1 A 1 e p t + p 2 A 2 e p t ]
1 2 1 2
Thay taûi t = 0 coï : uCqâ(0) = Uo = A1 + A2 , iCqâ(0) = A1p1 + A2p2
p2 p1
Giaíi hãû phæång trçnh âæåüc : A 1 = U0 , A2 = − U0
p 2 − p1 p 2 − p1
L
Biãøu thæïc âiãûn aïp vaì doìng âiãûn quaï âäü trong maûch r - L - C khi r > 2 laì :
C
U0 CU 0
u Ctd = ( p 2 e p t − p 1 e p t ) vaì i Ctd =
1 2
p 2 p 1 (e p t − e p t )
1 2
p 2 − p1 p 2 − p1
⎛ r ⎞⎛ r ⎞ 1
Vç coï : p 1 .p 2 = ⎜ − + ∆ ⎟⎜ − − ∆⎟ =
⎝ 2L ⎠⎝ 2L ⎠ LC
U0
Nãn biãøu thæïc doìng âiãûn : i Ctd = (e p t − e p t )
1 2
L( p 2 − p 1 )
Biãøu diãùn uCtd(t), iCtd(t) nhæ (h.14-16) :
uCtd iCtd
U0
ep t
1
L( p 2 − p 1 )
p1t
A 1e
Uo
uCtd iCtd
t t
p2t
A 1e U0
Våïi |p1| < |p2| ep t
2
L( p 2 − p 1 )
h.14-16a h.14-16b
Ta tháúy uCtd giaím âån âiãûu tæì U0 âãún 0 coìn iCtd tàng dáön tæì 0 âãún mäüt giaï trë naìo
âoï räöi giaím dáön âãún 0, khäng âäøi chiãöu, chæïng toí khäng coï sæû naûp laûi cho tuû, khäng coï
sæû dao âäüng giæîa hai kho âiãûn vaì tæì. Ta coï quaï trçnh phoïng âiãûn âån âiãûu khäng dao
âäüng.
2. Khi p laì nghiãûm keïp :
L r
r=2 thç p 1 = p 2 = − = −α nghiãûm keïp thæûc, ám.
C 2L
Thç nghiãûm âiãûn aïp tæû do coï daûng : u Ctd = ( A 1 + A 2 t )e − αt
Doìng âiãûn tæû do coï daûng : i Ctd = C.u' Ctd = C[A 2 − αA 1 − αA 2 t ]e − αt
u Ctd (0 ) = u C (0 ) = U 0 = A 1
Thay taûi t = 0 coï :
i Ctd (0 ) = 0 = A 2 − αA 1 ⇒ A 2 = αA 1 = αU 0
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Âæåüc biãøu thæïc âiãûn aïp, doìng âiãûn quaï âäü :
u Ctd ( t ) = (U 0 + αU 0 .t )e − αt = U 0 (1 + α.t )e − αt
i Ctd ( t ) = C(αU 0 − αU 0 − α 2 U 0 .t )e −αt = C(−α 2 U 0 .t )e − αt
r L
vç α = maì r = 2 nãn doìng âiãûn tæû do coï daûng :
2L C
2
⎛ L⎞
⎜2 ⎟
⎜ C⎟
i Ctd ( t ) = − ⎝ ⎠ CU .t.e − αt = − U 0 t.e −αt
(2L ) 2 0
L
Luïc naìy caïc âæåìng cong biãøu diãùn âiãûn aïp trãn tuû vaì doìng âiãûn trong maûch cuîng
giäúng nhæ træåìng håüp maûch khäng dao âäüng. Ta coï quaï trçnh phoïng âiãûn khäng dao
âäüng tåïi haûn.
3. Khi p nghiãûm phæïc liãn håüp :
−r
p 1, 2 = ± jω 0 = −α ± jω 0
L 2L
Khi r < 2 coï : 2
C r 1 ⎛ r ⎞
α= , ω0 = −⎜ ⎟
2L LC ⎝ 2L ⎠
Luïc naìy nghiãûm âiãûn aïp tæû do trãn tuû coï daûng : u Ctd = Ae − αt sin(ω 0 .t + β)
Coìn doìng âiãûn coï daûng :
i Ctd = C.u ' Ctd = C.A[− α sin (ω 0 .t + β )e − αt + ω 0 cos(ω 0 .t + β)e − αt ]
i Ctd = C.Ae − αt [− α sin (ω 0 .t + β ) + ω 0 cos(ω 0 .t + β )]
u (0 ) = U 0 = A sin β
Thay taûi t = 0 coï : Ctd
i Ctd (0 ) = 0 = −α sin β + ω 0 . cos β,
U sin β ω ω
Giaíi ra âæåüc : A = 0 coìn tæì α sin β = ω 0 . cos β ⇒ = tgβ = 0 ⇒ β = arctg 0
sin β cos β α α
Quan hãû giæîa β, α, ω0 trong tam giaïc vuäng nhæ hçnh (h.14-17b) :
u, i
U0
iCtd uCtd
t ω0
β
α
h.14-17a h.14-17b
Tæì (h.14-19b) ruït ra :
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ω0 ω0
sin β = = =
α 2 + ω0
2 2
⎛ r ⎞ ⎡ 1 ⎛ r ⎞ ⎤
2 2
⎜ ⎟ +⎢ −⎜ ⎟ ⎥
⎝ 2L ⎠ ⎢ LC ⎝ 2L ⎠ ⎥
⎣ ⎦
ω0 ω0
sin β = = = LCω 0
2 2
⎛ r ⎞ 1 ⎛ r ⎞ 1
⎜ ⎟ + −⎜ ⎟
LC
⎝ 2L ⎠ LC ⎝ 2L ⎠
U0
Nãn coï A = âæåüc biãøu thæïc âiãûn aïp quaï âäü trãn tuû âiãûn vaì doìng âiãûn quaï âäü :
LCω0
U0
u Ctd = e −αt . sin(ω 0 .t + β )
ω 0 LC
e −αt [− α sin(ω 0 .t + β ) + ω 0 cos(ω 0 .t + β )]
U0
i Ctd =
L
ω0
C
uCtd, iCtd laì nhæîng dao âäüng tàõt dáön tiãún âãún 0, coï phoïng âiãûn tæû do tàõt dáön våïi
táön säú goïc ω0, hãû säú tàõt α. Nàng læåüng kho âiãûn phoïng ra tiãu taïn trãn tråí vaì têch cho
kho tæì räöi kho tæì phoïng buì tiãu taïn vaì naûp laûi cho tuû, cæï nhæ váûy tiãúp diãùn dao âäüng
nhæ hçnh (h.14-17a). Vç coï tiãu taïn trãn âiãûn tråí nãn biãn âäü caïc dao âäüng giaím dáön, vç
1
váûy khi r = 0 thç ω 0 = , α = 0, β = 0 thç coï :
LC
U
u Ctd = U 0 sin (ω0 .t + 0) vaì i Ctd = 0 sin (ω 0 .t + 0) laì dao âäüng tæû do coï biãn âäü
L
C
vaì táön säú khäng thay âäøi, âoï chênh laì dao âäüng âiãöu hoìa.
II. Âoïng maûch r - L - C vaìo aïp hàòng :
Âãø khaío saït QTQÂ trong maûch naìy ta duìng så âäö maûch hçnh (h.14-18), trong âoï
tæì træåìng vaì âiãûn træåìng cuía L vaì C træåïc khi âoïng khoïa K âãöu bàòng 0, nãn tháúy ngay
så kiãûn âäüc láûp laì uC(0) = uC(-0) = 0, iL(0) = iL(-0) = 0 vç baìi toaïn chènh.
Phæång trçnh vi phán mä taí QTQÂ trong maûch theo biãún doìng âiãûn :
1
L.i '+ r.i + ∫ idt = E K r
C L
i
L.i"+ r.i '+ = 0
C C
Theo biãún âiãûn aïp trãn tuû âiãûn : E
rCu' C + LCu"C + u C = E
Giaíi baìi toaïn theo phæång phaïp têch phán kinh h.14-18
âiãøn âæåüc nghiãûm quaï âäü : uCqâ = uCxl + uCtd
Trong âoï uCxl laì nghiãûm xaïc láûp mäüt chiãöu sau khi âoïng khoïa K, våïi thåìi gian âuí
låïn thç uCxl = E. Coìn daûng cuía uCtd phuû thuäüc vaìo säú muî âàûc træng p âæåüc giaíi tæì
phæång trçnh : ZV(p) = p2LC + prC + 1 = 0.
Træåìng Âaûi Hoüc Kyî Thuáût - Khoa Âiãûn - Bäü män Thiãút bë âiãûn
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Tuìy theo quan hãû giæîa r vaì L, C coï caïc daûng nghiãûm p khaïc nhau dáùn âãún coï caïc
daûng nghiãûm tæû do khaïc nhau vaì daûng nghiãûm quaï trçnh quaï âäü khaïc nhau.
L
1. Khi r > 2 coï 2 nghiãûm thæûc, ám p1, p2
C
Thç nghiãûm tæû do coï daûng uCtd = A 1e p t + A 2 e p t
1 2
Nãn nghiãûm QTQÂ : uCqâ = uCtd + uCxl
våïi nghiãûm xaïc láûp âaî xaïc âënh åí trãn uCxl = E
Âæåüc âiãûn aïp quaï âäü trãn tuû : u Cqâ = E + A 1e p t + A 2 e p t
1 2
Vaì doìng âiãûn quaï âäü trong maûch : i Cqâ = C(A 1 p 1e p t + A 2 p 2 e p t )
1 2
Cáön thiãút phaíi xaïc âënh 2 hàòng säú têch phán A1, A2 thç måïi coï âæåüc nghiãûm cuû
thãø qua âoï phán têch âæåüc tênh cháút cuía QTQÂ.
Ta thay taûi t = 0 âãø coï hãû phæång trçnh tênh A1, A2 :
u Cqâ (0) = E + A 1 + A 2 = 0
vaì : iCqâ = 0 = A1p1 + A2p2
p2 p1
Tæì âoï tênh âæåüc : A 1 = E, A 2 = E thay vaìo daûng nghiãûm âæåüc :
p 2 − p1 p 2 − p1
E
Âiãûn aïp quaï âäü trãn tuû : u Cqâ = E + ( p 2 e p t + p 1e p t )
1 2
p 2 − p1
Doìng âiãûn quaï âäü :
p 1 p 2 (e p t + e p t ) = (e p t + e p t )
CEp 2 CEp 1 CE E
i Cqâ = p1e p t +
1
p2ep t =2 1 2 1 2
p 2 − p1 p 2 − p1 p 2 − p1 L( p 2 − p 1 )
Âiãûn aïp quaï âäü trãn tuû âiãûn uCqâ(t) tæì uC(0) =
iCqâ uCqâ
0 âån âiãûu âãún uCxl = E, coìn doìng âiãûn iCqâ(t) tæì uCxl = E
E
iCqâ(0) = 0 nhaíy voüt âãún giaï trë max taûi t1 räöi sau âoï uCqâ
giaím âån âiãûu âãún 0, váûy ta coï QTQÂ khäng dao iCqâ
âäüng nhæ hçnh (h.14-19)
L 0 t1 t
2. Khi r = 2 p laì nghiãûm keïp iCtd
C
r
p1 = p 2 = − = −α thç nghiãûm tæû do coï daûng -E
2L h.14-19
u ctd = (A 1 + A 2 t )e − αt , cuîng våïi uCxl = E.
Daûng nghiãûm âiãûn aïp quaï âäü trãn tuû âiãûn : u Cqâ = E + ( A 1 + A 2 t )e − αt
Coìn doìng âiãûn quaï âäü : i Cqâ = Ce − αt [A 2 − α(A 1 + A 2 t )]
Thay taûi t = 0 âãø tênh A1, A2 âæåüc A1 = E, A2 = -αE. Coï biãøu thæïc QTQÂ :
u Cqâ = E − E(1 + αt )e − αt
i Cqâ = C.α 2 .E.t.e − αt
Âáy laì quaï trçnh quaï âäü khäng dao âäüng tåïi haûn.
Træåìng Âaûi Hoüc Kyî Thuáût - Khoa Âiãûn - Bäü män Thiãút bë âiãûn
Giaïo trçnh Cåí såí Kyî thuáût âiãûn II Trang 70
L
3. Khi r < thç pk laì nghiãûm phæïc liãn håüp : i u
C
p 1, 2 = −α ± jω0 uCqâ
Nãn daûng nghiãûm tæû do laì : u Ctd = Ae − αt sin (ω 0 t + β) E
Daûng nghiãûm QTQÂ :
Âiãûn aïp trãn tuû âiãûn : u cqâ = E + Ae − αt sin (ω 0 + β )
Doìng âiãûn quaï âäü trong maûch :
i cqâ = CAe − αt [− α sin (ω 0 + β ) + ω 0 cos(ω 0 + β )]
0 t
iCqâ
Thay biãøu thæïc taûi t = 0 tênh âæåüc :
E ω h.14-20
A=− vaì β = arctg 0
sin β α
Âæåüc biãøu thæïc QTQÂ :
E
u cqâ = E − e − αt sin (ω 0 + β )
ω 0 LC
e −αt [− α sin (ω0 + β) + ω 0 cos(ω0 + β)]
E
Vaì : i cqâ = −
L
ω0
C
Træåìng håüp naìy ta tháúy âiãûn aïp quaï âäü trãn tuû âiãûn uCqâ tæì 0 dao âäüng tiãún âãún
uCxl = E, coìn doìng âiãûn iCqâ tæì 0 dao âäüng tiãún âãún xaïc láûp 0. Doìng âiãûn coï âäøi dáúu váûy
coï sæû dao âäüng têch phoïng qua laûi giæîa hai kho âiãûn vaì tæì. Âáy laì QTQÂ dao âäüng tàõt
dáön våïi hãû säú tàõt α, táön säú goïc dao âäüng ω0 nhæ hçnh (h.14-20)
Våïi træåìng håüp QTQÂ coï dao âäüng ta nháûn tháúy quaï trçnh biãún thiãn âiãûn aïp
trãn tuû cuîng nhæ doìng âiãûn trong maûch bao gäöm hai giai âoaûn :
− Giai âoaûn âáöu trong maûch täön taûi caí hai thaình pháön gäöm dao âäüng tæû do vaì
dao âäüng cæåîng bæïc. Giai âoaûn naìy keïo daìi cho âãún khi thaình pháön tæû do khäng coìn
næîa. Vãö màût lyï thuyãút thaình pháön tæû do tiãún tåïi 0 khi t tiãún tåïi ∞, nhæng trãn thæûc tãú
thæåìng cháúp nháûn khoaíng thåìi gian täön taûi cuía thaình pháön tæû do laì khoaíng thåìi gian
dao âäüng suy giaím coìn 1/10 giaï trë cæûc âaûi. Khoaíng thåìi gian naìy goüi laì thåìi gian tàõt
cuía dao âäüng tæû do. Noï âæåüc kê hiãûu laì τt vaì xaïc âënh tæì quan hãû :
1 2,3 r 4,6L
I m e − ατ = 0,1I m suy ra τ t = Ln10 =
t
våïi α = ⇒ τt = . Ta tháúy vãö màût yï
α α 2L r
nghéa coï sæû tæång tæû giæîa τt vaì hàòng säú thåìi gian τ. Giai âoaûn naìy âæåüc goüi laì giai âoaûn
quaï trçnh quaï âäü.
− Giai âoaûn tiãúp theo trong maûch âiãûn chè coìn laûi thaình pháön cæåîng bæïc -
tæång æïng våïi nghiãûm xaïc láûp sau khi âoïng, måí.
III. Âoïng maûch r_L_C vaìo nguäön âiãöu hoìa :
Maûch âiãûn nhæ hçnh (h.14-21).
Ta coï phæång trçnh mä taí QTQÂ cuía maûch : LCu"C + rCu' C + u C = e( t ) våïi så kiãûn âäüc
láûp uC(0) = uC(-0) = 0, iL(0) = iL(-0) = 0 (vç baìi toaïn chènh)
Theo phæång phaïp têch phán kinh âiãøn daûng nghiãûm quaï âäü : uCqâ = uCxl + uCtd
Træåìng Âaûi Hoüc Kyî Thuáût - Khoa Âiãûn - Bäü män Thiãút bë âiãûn
