Tính chất cơ bản của hàm chỉnh hình
Tài liệu luyện thi môn toán của nhà xuất bản Đại học quốc gia Hà Nội
Chương 4. Các tính chất cơ bản của hàm
chỉnh hình
Nguyễn Thủy Thanh
Cơ sở lý thuyết hàm biến phức. NXB Đại học quốc gia Hà Nội 2006.
Tr 287-309.
Từ khoá: Cơ sở lý thuyết hàm biến phức, Định lý Liouville, Hàm chỉnh hình,
Chuỗi Taylor, Không điểm, Thác triển giải tích, Nguyên lý modun cực đại. Điểm
bất thường cô lập, Tập hợp mờ, Nguyên lý acgumen.
Tài liệu trong Thư viện điện tử ĐH Khoa học Tự nhiên có thể sử dụng cho mục
đích học tập và nghiên cứu cá nhân. Nghiêm cấm mọi hình thức sao chép, in ấn
phục vụ các mục đích khác nếu không được sự chấp thuận của nhà xuất bản và
tác giả.
Chu.o.ng 4
a ınh chˆt co. ban cua h`m
C´c t´ ´
a ’ ’ a
’
chınh h`
ınh
4.1 C´c kˆt qua quan trong nhˆt r´t ra t`. t´ phˆn
a e ´ ’ . ´
a u u ıch a
Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279
4.1.1 -.
Dinh l´ gi´ tri trung b`
y a . ınh . . . . . . . . . . . . . . 279
4.1.2 -.
Dinh l´ Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280
y
4.1.3 -. ` ˜ o . `
Dinh l´ Weierstrass vˆ chuˆ i h`m hˆi tu dˆu . . . 284
y e o a . e
4.1.4 T´ chˆt dia phu.o.ng cua h`m chınh h`
ınh a .´ ’ a ’ ˜
ınh. Chuˆ i
o
Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288
4.1.5 C´c quan diˆm kh´c nhau trong viˆc xˆy du.ng l´
a e’ a e a
. . y
´ ’
thuyˆt h`m chınh h` . . . . . . . . . . . . . . . . 305
e a ınh
4.2 T´ ´ ´ ’ ’
ınh chˆt duy nhˆt cua h`m chınh h` . . . . .
a a a ınh 310
4.2.1 ’ ’ ’ a ’
Khˆng diˆm (0-diˆm) cua h`m chınh h`
o e e ınh . . . . . 310
4.2.2 ´ ´
a ’ a ’
T´ chˆt duy nhˆt cua h`m chınh h` . . . . . . 313
ınh a ınh
4.2.3 ’ ’ ıch
Nguyˆn l´ th´c triˆn giai t´ . . . . . . . . . . . . 317
e y a e
4.2.4 Nguyˆn l´ mˆdun cu.c dai . . . . . . . . . . . . . . 320
e y o . .
4.3 Diˆm bˆt thu.`.ng cˆ lˆp . . . . . . . . . . . . . . 326
- e’ ´
a o o a.
4.1. C´c kˆt qua quan trong nhˆt r´t ra t`. t´ch phˆn Cauchy
a e ´ ’ . ´
a u u ı a 279
4.3.1 ˜
Chuˆ i Laurent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326
o
4.3.2 Diˆm bˆt thu.`.ng cˆ lˆp do.n tri . . . . . . . . . . . 337
- e’ ´
a o o a. .
4.3.3 a e ’ a
. . e’
D´ng diˆu cua h`m tai diˆm vˆ c`ng . . . . . . . . 348
o u
4.3.4 a . a ’
Phˆn loai h`m chınh h`ınh . . . . . . . . . . . . . . 350
4.4 ınh bˆt biˆn cua tˆp ho.p mo. . . . . . . . . . . 354
T´ ´
a e´ ’ a
. . ’
4.4.1 Nguyˆn l´ acgumen . . . . . . . . . . . . . . . . . 354
e y
4.4.2 -.
Dinh l´ Rouch´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360
y e
4.4.3 T´ bˆt biˆn cua tˆp ho.p mo. . . . . . . . . . . . 363
ınh a ´
´ e ’ a . . ’
4.5 B`i tˆp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a a . 365
Trong chu.o.ng tru.´.c, ta d˜ ch´.ng minh dinh l´ co. ban cua l´ thuyˆt h`m
o a u . y ’ ’ y ´
e a
’
chınh h` - dinh l´ Cauchy. Dinh l´ n`y k´o theo mˆt loat hˆ qua quan
ınh . y . y a e o. . e . ’
e a o e a a ´
o e e a . ´
trong. D˘c biˆt l` n´ cho ph´p ta x´c lˆp mˆi liˆn hˆ nhˆt dinh gi˜ a
a u.a c´c gi´
a
. . . . .
tri cua h`m chınh h` tai c´c diˆm trong cua miˆn chınh h`nh v´.i c´c gi´
. ’ a ’ ınh . a ’
e ’ `
e ’ ı o a a
´ .o.c mˆ ta trong cˆng th´.c t´ch phˆn
. e ’
tri biˆn cua h`m d´. Mˆi liˆn hˆ d´ du .
a o o e e o . o ’ o u ı a
. ban th´. hai cua Cauchy. D´ l` cˆng th´.c trung tˆm cua l´ thuyˆt h`m
co ’ u ’ o a o u a ’ y ´
e a
’
chınh h`ınh.
4.1 C´c kˆt qua quan trong nhˆt r´t ra t`.
a ´
e ’ . ´
a u u
t´ phˆn Cauchy
ıch a
’. o
O mˆt m´.c dˆ nhˆt dinh, moi dinh l´ cua muc n`y dˆu l` hˆ qua cua cˆng
. u o a .
. ´ . . y ’ . a ` a e ’ ’ o
e .
.c t´ phˆn Cauchy.
th´ ıch a
u
4.1.1 -.
Dinh l´ gi´ tri trung b`
y a . ınh
D´ l` dinh l´ sau dˆy.
o a . y a
Dinh l´ 4.1.1. Gia su. f(z) l` h`m liˆn tuc trong h` tr`n d´ng S(R) =
-. y ’ ’ a a e . ınh o o
{z ∈ C : |z − z0| a ’
R} v` chınh h` trong h` tr`n S(R). Khi d´ ta c´
ınh ınh o o o
280 Chu.o.ng 4. C´c t´ chˆt co. ban cua h`m chınh h`nh
a ınh a ´ ’ ’ a ’ ı
d˘ng th´.c
’
a u
2π
1
f (z0) = f (z0 + reit )dt,
2π
0
t´.c l` gi´ tri cua h`m tai tˆm h`nh tr`n b˘ng trung b` cˆng c´c gi´ tri cua
u a a . ’ a . a ı o ` a ınh o
. a a . ’
n´ trˆn du o
o e .`.ng tr`n.
o
Ch´.ng minh. Theo cˆng th´.c t´ch phˆn Cauchy ta c´
u o u ı a o
1 f (ζ)
f (z0) = dζ.
2πi ζ − z0
∂S(R)
Thu.c hiˆn ph´p biˆn dˆi theo cˆng th´.c
. e
. e ´ ’
e o o u
ζ = z0 + Reit , 0 t 2π
ta thu du.o.c
.
2π 2π
1 itReitidt 1
f (z0) = f (z0 + Re ) it
= f (z0 + Reit )dt.
2πi Re 2π
0 0
4.1.2 -.
Dinh l´ Liouville
y
Dinh l´ 4.1.2. (Liouville 1) Nˆu h`m chınh h`nh trˆn to`n m˘t ph˘ng ph´.c
-. y ´
e a ’ ı e a a
. a’ u
f (z) c´ mˆdun bi ch˘n th` n´ dˆng nhˆt h˘ng sˆ, t´.c l` f (z) ≡ const ∀z ∈ C.
o o . a . ı o ` o ´ `
a a ´
o u a
Ch´.ng minh. Gia su. |f (z)|
u ’ ’ M < ∞ ∀z ∈ C. Ta s˜ ´p dung cˆng th´.c
ea . o u
t´ phˆn Cauchy cho dao h`m f (z) v` h` tr`n S(R) v´.i tˆm tai diˆm z
ıch a . a a ınh o o a . e ’
v` b´n k´nh R. Ta c´
a a ı o
1 f (ζ)
f (z) = dζ.
2πi (ζ − z)2
∂S(R)
1
I. Liouville (1809-1882) l` nh` to´n hoc Ph´p
a a a . a
4.1. C´c kˆt qua quan trong nhˆt r´t ra t`. t´ch phˆn Cauchy
a e ´ ’ . ´
a u u ı a 281
T`. d´
u o
1 M M
|f (z)| 2
2πR = ·
2π R R
Vˆ tr´i cua bˆt d˘ng th´.c n`y khˆng phu thuˆc R, c`n vˆ phai dˆn dˆn 0 khi
´
e a ’ a a ´ ’ u a o . o
. ´
o e ’ ` e a ´
R t˘ng vˆ han. T`. d´ suy r˘ng |f (z)| = 0 v` f (z) = 0 ∀ C. Do d´ f (z) ≡
a o . u o `
a a o
const trong C.
Nhu. vˆy l´.p c´c h`m chınh h`nh trong to`n m˘t ph˘ng v` bi ch˘n chı
a o a a
. ’ ı a a
. a’ a . a
. ’
gˆm c´c h`m tˆm thu.`.ng (c´c h˘ng sˆ).
`
o a a ` a o a ` a ´
o
Dinh l´ Liouville v`
y u.a ch´.ng minh c´ thˆ kh´i qu´t du.´.i dang
u ’
o e a a o .
.
-. y ´
e a ’ ınh a a
. ’
Dinh l´ 4.1.3. Nˆu h`m f (z) chınh h` trong to`n m˘t ph˘ng v` thoa
a a ’
a `e e n
a a o ´
m˜n diˆu kiˆn |f (z) M|z| , M < ∞ v` n l` sˆ nguyˆn du
e .o.ng th` d´ l` da
ı o a
.
.c bˆc khˆng cao ho.n n. 2
th´ a
u . o
Ch´.ng minh. Gia su. z0 l` diˆm t`y y cua m˘t ph˘ng ph´.c. T`. cˆng th´.c
u ’ ’ a e ’ u ´ ’ a
. ’
a u u o u
ı a ´
o o .i dao h`m cˆp cao ta c´
t´ch phˆn Cauchy dˆi v´ . a ´
a o
(n + 1)! f (z)
f (n+1) (z0) = dz, S(R) = {z : |z − z0 | < R}
2πi (z − z0)n+2
∂S(R)
v` do d´
a o
M|z|n
|f (n+1) (z0)| (n + 1)!.
Rn+1
V` |z| |z0| + R nˆn qua gi´.i han khi R → ∞ ta thu du.o.c f (n+1) (z0) = 0.
ı e o . .
a e ’m t`y y cua C nˆn f (n+1) (z) ≡ 0. T`. d´ suy r˘ng f (n) (z) ≡ const
Do z0 l` diˆ u ´ ’ e u o `
a
v`
ı
z
f (n) (z) − f (n) (z0) = f (n+1) (z)dz ≡ 0,
z0
t´.c l` f (n) (z) ≡ f (n) (z0 ) = const . . . B˘ng c´ch lˆp luˆn nhu. vˆy, dˆ d`ng
u a `
a a a
. a
. a
. ˜ a
e
thu du.o.c diˆu kh˘ng dinh cua dinh l´.
. `
e ’
a . ’ . y
2
Khi n = 0 th` ta thu du.o.c dinh l´ 12.1
ı . . y
282 Chu.o.ng 4. C´c t´ chˆt co. ban cua h`m chınh h`nh
a ınh a ´ ’ ’ a ’ ı
Dinh l´ Liouville c`n c´ thˆ ph´t biˆu du.´.i dang
. y o o e a ’ ’
e o .
Dinh l´ 4.1.2∗. Nˆu h`m f (z) chınh h`nh trˆn to`n m˘t ph˘ng mo. rˆng C
-. y ´
e a ’ ı e a a
. ’
a ’ o .
ı o ` ´ ` ´
th` n´ dˆng nhˆt h˘ng sˆ.
o a a o
Ch´.ng minh. V` h`m f chınh h`nh tai diˆm ∞ nˆn lim f (z) tˆn tai v` h˜.u
u ı a ’ ı . e ’ e ` . a u
o
z→∞
han. T` o
u. d´ suy ra f (z) bi ch˘n trong lˆn cˆn n`o d´ U (∞) = {z : |z| > R}
. . a . a a a o
.
cua diˆm ∞. Gia su. f (z)| M1 , ∀ z ∈ U (∞). M˘t kh´c, do h`m f chınh
’ e’ ’ ’ a
. a a ’
h`nh (v` do d´ n´ liˆn tuc) trong h`nh tr`n d´ng S(R) = {z : |z| R} nˆn
ı a o o e . ı o o e
n´ bi ch˘n trong h` tr`n d´. Gia su
o . a ınh o o ’ ’ . |f (z)| M2 , z ∈ S(R). Nhu.ng khi d´ o
.
a . a. a a. a’
h`m f bi ch˘n trong to`n m˘t ph˘ng: f (z)| < M = max(M1 , M2) ∀ z ∈ C.
ı a ’
V` h`m f chınh h`nh trˆn C nˆn theo dinh l´ 4.1.2 ta c´ f ≡ const.
ı e e . y o
Bˆy gi`. ta ´p dung dinh l´ Liouville dˆ ch´.ng minh dinh l´ Gauss - dinh
a o a . . y ’
e u . y .
l´ co
y . ban cua dai sˆ.
’ ’ ´
. o
Dinh l´ 4.1.4. (Gauss) Moi da th´.c dai sˆ bˆc m 1 v´.i hˆ sˆ ph´.c dˆu
-. y . u . o a ´ . o e o u `
. ´ e
c´ m nghiˆm nˆu mˆ i nghiˆm du.o.c t´nh mˆt sˆ lˆn b˘ng bˆi cua n´.
o e
. ´
e ˜
o e
. . ı . ´ a `
o o ` a o ’
. o
Ch´.ng minh. Gia su.
u ’ ’
Pm (z) = am z m + am−1 z m−1 + · · · + a1z + a0, am = 0, m 1.
Ta ch´.ng minh b˘ng phan ch´.ng: gia su. Pm (z) khˆng c´ nghiˆm trong
u `
a ’ u ’ ’ o o e
.
C. Ta x´t h`m
e a
1
f (z) = ·
Pm (z)
a o a ınh a ´
H`m f (z) c´ c´c t´ chˆt sau dˆya
(i) H`m f (z) ∈ H(C) v` Pm (z) = 0 ∀ z ∈ C.
a ı
(ii) H`m f (z) c´ mˆdun bi ch˘n, t´.c l` |f (z)| M ∀ z ∈ C. Thˆt vˆy,
a o o . a . u a a a
. .
1 . d´ ∃ R > 0 sao cho ∀ z : |z| > R
v` lim Pm (z) = ∞ nˆn lim
ı e = 0. T` o
u
z→∞ z→∞ Pm (z)
ta c´
o
|f (z)| < 1.
4.1. C´c kˆt qua quan trong nhˆt r´t ra t`. t´ch phˆn Cauchy
a e ´ ’ . ´
a u u ı a 283
Trong h` tr`n d´ng |z| R h`m f (z) c´ mˆdun bi ch˘n, t´.c l` |f (z)| m
ınh o o a o o . a u a
.
∀ z ∈ {|z| R}. T` o u. d´ suy r˘ng |f (z)| < m + 1 = M, ∀ z ∈ C. Nhu. vˆy
`
a a
.
h`m f (z) ∈ H(C) v` |f (z) M ∀ z ∈ C, t´ a ’
a a u.c l` thoa m˜n c´c diˆu kiˆn cua
a a ` e e ’
.
dinh l´ Liouville. Do d´ f (z) ≡ const trˆn C. T` o
y o e u. d´ suy r˘ng Pm (z≡ const.
`
a
.
Nhu.ng diˆu d´ khˆng thˆ xay ra v` am = 0 v` m 1.
` o o
e ’
e ’ ı a
Nhu. vˆy tˆn tai gi´ tri α1 ∈ C sao cho
a ` . a .
. o
P (α1 ) = 0.
Do d´ Pm (z) = (z − α1 )Pm−1 (z), Pm−1 (α1 ) = 0. Nhu.ng Pm−1 (z) c˜ng l` da
o u a
th´.c dai sˆ bˆc m − 1 nˆn ∃ α2 ∈ C sao cho Pm−1 (z) = (z − α2)Pm−2 (z),
u ´ .
. o a e
. vˆy
Pm−2 (α2 ) = 0. Nhu a .
Pm (z) = (z − α1 )(z − α2 )Pm−2 (z), . . .
Tiˆp tuc lˆp luˆn nhu. vˆy ta thu du.o.c d˘ng th´.c
´
e . a . a
. a
. . a ’ u
Pm (z) = am(z − α1 )(z − α2) · · · (z − αm ).
D˘ng th´.c n`y ch´.ng to r˘ng α1 , α2 , . . . , αm l` nghiˆm v` ngo`i ch´ng ra da
’
a u a u `
’ a a e
. a a u
th´u.c Pm (z) khˆng c`n nghiˆm n`o kh´c. Thˆt vˆy nˆu β l` nghiˆm β = αi
o o e a a a a e ´ a e
. . . .
’
∀ i = 1, m cua da th´u.c Pm (z) th`
ı
Pm (β) = am (β − α1 )(β − α2 ) · · · (β − αm ) = 0.
Diˆu n`y ch´.ng to r˘ng mˆt trong c´c th`.a sˆ phai b˘ng 0, t´.c l`
` a
e u ’ a` o
. a ´
u o ’ a ` u a
β − αi = 0, i = 1, 2, . . . , m
⇐⇒ β = αi , i = 1, 2, . . . , m.
Dinh l´ v`.a ch´.ng minh c`n c´ tˆn goi l` dinh l´ vˆ tru.`.ng d´ng dai sˆ.
. y u u o o e . a . y `e o o . o ´
284 Chu.o.ng 4. C´c t´ chˆt co. ban cua h`m chınh h`nh
a ınh a ´ ’ ’ a ’ ı
4.1.3 -. ` ˜ a o . `
Dinh l´ Weierstrass vˆ chuˆ i h`m hˆi tu dˆu
y e o . e
a e . ˜ a
o o . `
. e `
Trong 1.4 ta d˜ tr`nh b`y kh´i niˆm chuˆ i h`m hˆi tu dˆu trong miˆn D v`
a ı a e a
o . ` .ng comp˘c cua miˆn D c`ng mˆt sˆ t´nh chˆt h`m cua
´ ’ `
hˆi tu dˆu trˆn t`
. e e u a e u . ´
o o ı ´
a a ’
chuˆ i hˆi tu dˆu. Bˆy gi`. ta ch´.ng minh dinh l´ quan trong cua Weierstrass
˜ o . `
o . e a o u . y . ’
vˆ su. bao to`n t´ chınh h`nh cua tˆng cua chuˆ i trong ph´p qua gi´.i han
` . ’
e a ınh ’ ı ’ o’ ’ ˜
o e o .
` a e . a
dˆu v` ph´p dao h`m t`
e u.ng sˆ hang cua chuˆ i h`m chınh h`nh hˆi tu dˆu.
´
o . ’ ˜ a
o ’ ı o . `e
.
Dinh l´ 4.1.5. (Weierstrass) Gia su.:
-. y ’ ’
1) un (z) n ∈ N l` nh˜
a u .ng h`m chınh h`nh trong miˆn D;
a ’ ı `
e
˜
2) chuˆ i h`m
o a
u1(z) + u2 (z) + · · · + un (z) + . . . (4.1)
hˆi tu dˆu trˆn t`.ng comp˘c cua miˆn D dˆn h`m (h˜.u han) f (z).
o . `
. e e u ´
a ’ `e ´
e a u .
Khi d´o
’ ’ ˜ a a ’ `
1) Tˆng f (z) cua chuˆ i l` h`m chınh h`nh trong miˆn D.
o o ı e
˜ ’
2) Chuˆ i c´ thˆ dao h`m t`
o o e . a u .ng sˆ hang dˆn cˆp t`y ´
´
o . ´ ´
e a u y
(m) (m)
u1 (z) + u2 (z) + · · · + u(m) (z) + · · · = f (m) (z);
n m = 1, 2, . . . (4.2)
3) Moi chuˆ i (4.2) dˆu l` chuˆ i hˆi tu dˆu trˆn t`.ng comp˘c cua miˆn
. ˜
o ` a
e ˜ .
o o . ` e e u ´
a ’ `
e
D.
Ch´.ng minh. 1) Lˆy h`nh tr`n S(R) bˆt k` b´n k´nh R v´.i biˆn γ(R) sao
u ´
a ı o ´
a y a ı o e
cho S(R) ⊂ D. Trˆn du.`.ng tr`n γ(R) (γ(R) l` tˆp ho.p d´ng n˘m trong D)
e o o a a. . o `
a
˜ e ´
o . ` e a
chuˆ i (4.1) hˆi tu dˆu dˆn h`m f (z). Do d´ h`m
o . o a
f (ζ) = u1 (ζ) + u2(ζ) + · · · + un (ζ) + . . . ; ζ ∈ γ(R) (4.3)
liˆn tuc trˆn γ(R). Nhˆn (4.3) v´.i h`m
e . e a o a
1 1
v(ζ) = , ζ ∈ γ(R), z ∈ S(R).
2πi ζ − z
4.1. C´c kˆt qua quan trong nhˆt r´t ra t`. t´ch phˆn Cauchy
a e ´ ’ . ´
a u u ı a 285
H`m n`y bi ch˘n trˆn γ(R). Do d´ chuˆ i thu du.o.c sau khi nhˆn (4.3) v´.i
a a . a . e o ˜
o . a o
v(ζ) vˆ n hˆi tu dˆu trˆn γ(R) v` c´ thˆ t´ch phˆn t`.ng sˆ hang theo γ(R).
˜ o . `
a . e e a o e ı’ a u ´
o .
Ta thu du.o.c
.
1 f (ζ) 1 u1 (ζ 1 un (ζ)
dζ = dζ + · · · + dζ + . . .
2πi ζ −z 2πi ζ −z 2πi ζ −z
γ(R) γ(R) γ(R)
T´ phˆn o. vˆ tr´i l` t´ phˆn dang Cauchy. Do d´ vˆ tr´i l` h`m chınh
´
ıch a ’ e a a ıch a . ´
o e a a a ’
h`nh trong h` tr`n S(R). Ta k´ hiˆu h`m d´ l` fR(z). Ap dung cˆng th´.c
ı ınh o y e a. o a ´ . o u
t´ch phˆn Cauchy cho c´c h`m un (ζ) t`. biˆu th´.c trˆn ta thu du.o.c
ı a a a u e ’ u e .
fR (z) = u1(z) + u2(z) + · · · + un (z) + . . . (4.4)
Nhu. vˆy chuˆ i du.o.c x´t hˆi tu dˆu dˆn h`m fR(z) chınh h` trong h`
a
. ˜
o . e o . `
. e e a ´ ’ ınh ınh
tr`n S(R). Nhu.ng trong S(R) h`m fR(z) tr`ng v´.i f (z). Ngh˜a l` f (z) l`
o a u o ı a a
’
h`m chınh h`nh trong S(R). V` mˆ e
a ı ı o ’
˜ i diˆm z cua miˆn D dˆu thuˆc mˆt h`
’ `
e `
e o. o ınh
.
o a o e a ’
tr`n S(R), S(R) ⊂ D n`o d´ nˆn h`m f (z) chınh h`nh trong D. ı
C´c lˆp luˆn trˆn dˆy chı d´ng nˆu miˆn D khˆng ch´.a diˆm ∞. Gia
a a . a
. e a ’ u ´
e `
e o u e’ ’
su. miˆn D
’ `
e ∞. Ta s˜ x´t “h`nh tr`n” SR (∞) = {z : |z| > R} v´.i
e e ı o o
b´n k´ R du l´
a ınh ’ o.n sao cho to`n bˆ biˆn ∂D dˆu n˘m trong du.`.ng tr`n
a o e `
e `
a o o
.
γR (∞) = {z : |z| = R}. Lˆp luˆn nhu. trˆn v` thay cho chuˆ i (4.4) theo dinh
a
. a. e a ˜
o .
.o.c d˘ng th´.c
l´ 3.2.13 ta thu du . a
y ’ u
fR (z) = [u1 (z) − u1 (∞)] + [u2(z) − u2(∞)] + . . .
+ [un (z) − un (∞)] + . . .
hay l`
a
fR (z) = [u1(z) + · · · + un (z) + . . . ]
− [u1(∞) + u2(∞) + · · · + un (∞) + . . . ].
Chuˆ i trong dˆu ngo˘c vuˆng th´. hai o. vˆ phai hˆi tu dˆn f (∞) v` do d´
˜
o ´
a a
. o u ´
’ e ’ o . e . ´ a o
fR (z) + f (∞) = u1 (z) + u2 (z) + · · · + un (z) + . . .
286 Chu.o.ng 4. C´c t´ chˆt co. ban cua h`m chınh h`nh
a ınh a ´ ’ ’ a ’ ı
’. a ’
O dˆy fR (z) + f (∞) = f (z) ∀ z ∈ SR (∞) v` h`m fR (z) + f (∞) chınh h`nh
a a ı
. ’ ı a a. e’
trong SR (∞). Do vˆy h`m f chınh h`nh trong lˆn cˆn diˆm ∞.
a a
2) Nˆu nhˆn chuˆ i (4.3) v´.i h`m
´
e a ˜
o o a
m! 1
vm (ζ) = , z ∈ S(R)
2πi (ζ − z)m+1
bi ch˘n trˆn γ(R) v` t´ phˆn t`.ng sˆ hang theo γ(R) th` thay cho (4.4) ta
. a . e a ıch a u ´
o . ı
thu du.o.c chuˆ i
. ˜
o
(m) (m) (m)
fR (z) = u1 (z) + u2 (z) + · · · + u(m) (z) + . . .
n
V` fR (z) = f (z) ∀ z ∈ D nˆn t`. d´ thu du.o.c (4.2).
ı e u o .
3) Dˆ u
e ’ ch´.ng minh phˆn th´. ba cua dinh l´ ta phu tˆp ho.p d´ng t`y y
`
a u ’ . y ’ a . . o u ´
.i hˆ c´c h` tr`n S sao cho S ⊂ D. Nˆu tˆp ho.p E z = ∞ th`
’ .
E ⊂ D bo e a ınh o ´ .
e a . ı
’ ´
ta c´ thˆ lˆy h`nh tr`n l` tˆp ho
o e a ı o a a .p S (∞) = {z : |z| > R > 0}, S (∞) ⊂ D.
. .
. hˆ c´c h` tr`n n`y ta c´ thˆ chon mˆt phu con gˆm mˆt sˆ h˜.u han
’ `
T` e a ınh o a
u . o e . o
. ’ o . ´
o o u .
c´c h` tr`n. Ho
a ınh o .p moi h`nh tr`n d´ng n`y du.o.c k´ hiˆu l` E ∗ . Gia su. δ l`
’ ’
. . ı o o a . y e a . a
’
khoang c´ch t`
a u. E ∗ dˆn biˆn miˆn D: δ = dist{E ∗ , ∂D}.
´
e e `e
Dˆi v´.i mˆ i h`nh tr`n S cua phu h˜.n han ta du.ng h`nh tr`n S dˆng tˆm
´
o o o ı ˜ o ’ ’ u . . ı o `
o a
δ
v´.i b´n k´nh l´.n ho.n b´n k´nh cua S mˆt dai lu.o.ng b˘ng (dˆi v´.i S (∞)
o a ı o a ı ’ o .
. . `
a ´
o o
2
δ
th` cˆn lˆy b´n k´ b´ ho.n ). Chu tuyˆn L cua c´c h` tr`n n`y lˆp
ı ` a a ınh e
a ´ e´ ’ a ınh o a a.
2
th`nh tˆp ho o
a a .p d´ng Γ ⊂ D. Do d´ chuˆ i du.o.c x´t
o ˜
o o . `
. . . e un (z) hˆi tu dˆu trˆn
. e e
n≥1
Γ, ngh˜ l`
ıa a
∀ ε > 0, ∃ N ∈ N : ∀ n > N, ∀ p ∈ N, ∀ ζ ∈ Γ ⇒
n+p
uk (ζ) < ε.
k=n+1
Gia su. z l` diˆm t`y y cua E v` gia su. n´ thuˆc h`nh tr`n S cua phu
’ ’ a e ’ u ´ ’ a ’ ’ o o ı
. o ’ ’
4.1. C´c kˆt qua quan trong nhˆt r´t ra t`. t´ch phˆn Cauchy
a e ´ ’ . ´
a u u ı a 287
δ
h˜.u han. Khi ζ ∈ L v` z ∈ S th` |ζ − z|
u . a ı . Do d´
o
2
n+p n+p
(m) m! uk (ζ)
uk (z) = dζ
k=n+1 k=n+1
2πi (ζ − z)m+1
L
n+p
uk (ζ)
m! k=n+1
ds
2π |ζ − z|m+1
L
m! ε
· 2πR∗
2π δ m+1
2
trong d´ R∗ l` b´n k´ cua h` tr`n S tu.o.ng u.ng. Nhu. vˆy dˆi v´.i mˆ i
o a a ınh ’ ınh o ´ ´
a o o
. ˜
o
’
diˆm z ∈ E ta c´
e o
n+p
(m) Rm!ε
uk (z)
δ m+1
k=n+1
2
trong d´ R l` b´n k´ l´.n nhˆt trong c´c b´n k´nh cua c´c h` tr`n S
o a a ınh o ´
a a a ı ’ a ınh o
.u han. T`. d´ suy ra su. hˆi tu dˆu cua chuˆ i dao h`m trˆn t`.ng
˜ . a
’ ’ u
cua phu h˜ . u o . o . `
. e ’ o e u
´ ’
comp˘c cua D.
a
Nhˆn x´t 4.1.1. Trong giai t´ thu.c khˆng c´ dinh l´ tu.o.ng tu. nhu. dinh l´
a e
. ’ ıch . o o . y . . y
a a ’ ıch .
Weierstrass. Thˆt vˆy, trong giai t´ thu .c ta biˆt r˘ng tˆng S(x) cua chuˆ i
e `
´ a o’ ’ ˜
o
. .
h`m thu
a .c (biˆn thu.c) kha vi
´
e ’ o . ` ’
un (x) hˆi tu dˆu trˆn khoang n`o d´ c´ thˆ
e e a o o e ’
. . .
n≥1
l` h`m khˆng kha vi. Ho.n thˆ n˜.a nˆu ∃ S (x) th` ho`n to`n khˆng nhˆt
a a o ’ ´
e u ´
e ı a a o ´
a
thiˆt phai c´ d˘ng th´.c S (x) =
´
e ’ o a ’ u un (x).
n 1
. ´
Nhˆn x´t 4.1.2. Nˆu c´ d˜y h`m fn (z)
a e e o a a ` ˜
cho trong miˆn D th` chuˆ i
e ı o
n 1
f1 (z) + [f2(z) − h(z)] + · · · + [fn (z) − fn−1 (z)] + . . .
c´ tˆng riˆng th´. n l` Sn (x) = fn (x). T`. d´ moi diˆu kh˘ng dinh vˆ chuˆ i
o o ’ e u a u o . ` e ’
a . `
e ˜
o
` o e a
e ’ ’ ´
e o o .i d˜y v` ngu.o.c lai. T`. d´ v` dinh l´ 4.1.3 ta r´t
dˆu c´ thˆ ph´t biˆu dˆi v´ a a u o a . y u
. .
ra
288 Chu.o.ng 4. C´c t´ chˆt co. ban cua h`m chınh h`nh
a ınh a ´ ’ ’ a ’ ı
-. y ` a a
e ’ ı o . `
Dinh l´ 4.1.6. (Weierstrass; vˆ d˜y h`m chınh h`nh hˆi tu dˆu)
. e
´
e a a a ’ ınh `e o . `
Nˆu d˜y c´c h`m fn (z) n 1 chınh h` trong miˆn D hˆi tu dˆu trˆn
. e e
t`
u.ng comp˘c cua miˆn D dˆn h`m h˜.u han f (z) th` f (z) l` h`m chınh h`nh
´ ’
a `e e´ a u . ı a a ’ ı
trong D v` d˜y c´c dao h`m fn (z) n 1 ; m = 1, 2, . . . hˆi tu dˆu trˆn t`.ng
(m)
a a a . a o . `
. e e u
´ ´ (m)
a ’
comp˘c cua D dˆn h`m f (z).
e a
T`. dinh l´ Weierstrass 4.1.3 v` dinh l´ Abel r´t ra
u . y a . y u
Hˆ qua 4.1.1. Tˆng cua chuˆ i l˜y th`.a
e
. ’ o’ ’ ˜ u
o u
an (z − a)n
n 0
’ ı o o . ’
l` h`m chınh h`nh trong h`nh tr`n hˆi tu cua n´ v` trong h`nh tr`n hˆi tu
a a ı . o a ı o o . .
˜ ’ ´ .ng sˆ hang mˆt sˆ lˆn t`y ´,
´ o o ` u y
’
cua chuˆ i ta c´ thˆ lˆy t´ch phˆn v` dao h`m t`
o o e a ı a a . a u o . . ´ a
`
dˆng th`
o o.i ph´p dao h`m v` t´ phˆn t`.ng sˆ hang khˆng l`m thay dˆi b´n
e . a a ıch a u ´
o . o a ’
o a
ınh o . ’ ˜
k´ hˆi tu cua chuˆ i.
. o
4.1.4 ınh chˆt dia phu.o.ng cua h`m chınh h`
T´ a´ . ’ a ’ ınh.
˜
Chuˆ i Taylor
o
Trong 2.1 ta d˜ ch´.ng minh r˘ng tˆng cua chuˆ i l˜y th`.a l` h`m chınh h`nh
a u `
a o’ ’ ˜
o u u a a ’ ı
ınh o o . ’ o a
trong h` tr`n hˆi tu cua n´. Bˆy gi` o. nh`. cˆng th´.c t´ch phˆn Cauchy ta
o o u ı a
.
o e u ’
c´ thˆ ch´ .ng minh mˆt t´nh chˆt quan trong n˜.a cua h`m chınh h`nh - d´
o ı ´
a u ’ a ’ ı o
. .
l` t´nh chˆt dia phu.o.ng: mˆ i h`m chınh h`nh trong h`nh tr`n dˆu biˆu diˆn
a ı ´
a . ˜ a
o ’ ı ı o ` e e’ ˜
e
.o.c du.´.i dang tˆng cua chuˆ i l˜y th`.a. Cu thˆ ta ch´.ng minh dinh l´ sau
du . o . o’ ’ ˜ u
o u ’
. e u . y
-.
Dinh l´ 4.1.7. (Cauchy - Taylor 3 )
y
´
e a ’ ınh `
e ı . a a . ’ ˜
o ’
Nˆu h`m f (z) chınh h` trong miˆn D th` tai lˆn cˆn cua mˆ i diˆm
e
z0 ∈ D h`m f (z) biˆu diˆn du.o.c du.´.i dang chuˆ i l˜y th`.a
a ’
e ˜
e . o . ˜
o u u
f (z) = an (z − z0 )n (4.5)
n≥0
v´.i b´n k´nh hˆi tu R khˆng b´ ho.n khoang c´ch d t`. diˆm z0 dˆn biˆn ∂D
o a ı o .
. o e ’ a u e ’ ´
e e
’ `
cua miˆn D (d = dist(z0 , ∂D).
e
3
B. Taylor (1685-1731) l` nh` to´n hoc Anh
a a a .
4.1. C´c kˆt qua quan trong nhˆt r´t ra t`. t´ch phˆn Cauchy
a e ´ ’ . ´
a u u ı a 289
Ch´.ng minh. Gia su. f ∈ H(D) v` z0 l` diˆm t`y y cua miˆn D. Ta k´
u ’ ’ a a e ’ u ´ ’ `e y
hiˆu S(z0 , d) = {z ∈ D : |z − z0 | < d} v` gia su. z l` diˆm t`y y cua
e
. a ’ ’ a e ’ u ´ ’
S(z0, d) : z ∈ S(z0, d). X´t h`nh tr`n S(z0, δ) dˆng tˆm v´.i h`nh tr`n S(z0, d)
e ı o `
o a o ı o
o.i b´n k´ δ thoa m˜n diˆu kiˆn 0 < δ < d sao cho diˆm z n˘m trong D.
v´ a ınh ’ a `
e e ’
e `
a
.
Ap dung cˆng th´.c t´ch phˆn Cauchy ta c´
´ . o u ı a o
1 f (ζ) 1 f (ζ)dζ
f (z) = dζ = z − z0 , (4.6)
2πi ζ −z 2πi (ζ − z0) 1 −
γ(δ) γ(ρ) ζ − z0
trong d´ γ(δ) = ζ : |ζ − z0| = δ}.
o
Dˆi v´.i diˆm z ∈ S(z0; δ) cˆ dinh ta c´ bˆt d˘ng th´.c
´
o o e ’ ´
o . ´ ’
o a a u
z − z0
= q < 1, ζ ∈ γ(δ).
ζ − z0
Do d´ biˆu th´.c
o e ’ u
1
z − z0
1−
ζ − z0
c´ thˆ xem nhu. tˆng cua cˆp sˆ nhˆn
o e ’ o’ ´ ´
’ a o a
1 z − z0 n
z − z0 = ζ − z0
. (4.7)
1− n 0
ζ − z0
Chuˆ i (4.7) hˆi tu dˆu trˆn γ(ρ) nˆn ta c´ thˆ thu.c hiˆn ph´p t´ch phˆn t`.ng
˜
o o . `
. e e e ’
o e . e
. e ı a u
´
sˆ hang v` t`
o . a u . (4.6) v` (4.7) ta thu du.o.c
a .
1 f (ζ)dζ
f (z) = (z − z0)n
n 0
2πi (ζ − z0)n+1
γ(δ)
= an (z − z0 )n , (4.8)
n≥0
o
trong d´
1 f (ζ)dζ
an = , n = 0, 1, . . . (4.9)
2πi (ζ − z0)n+1
γ(δ)
290 Chu.o.ng 4. C´c t´ chˆt co. ban cua h`m chınh h`nh
a ınh a ´ ’ ’ a ’ ı
Dˆ y dˆn cˆng th´.c t´ phˆn Cauchy dˆi v´.i dao h`m cua h`m chınh
’ ´
e´ e o u ıch a ´
o o . a ’ a ’
h` ta c´
ınh o
f (n) (z0 )
an = ; n = 0, 1, 2, . . . (4.10)
n!
V` dˆi v´.i mˆ i diˆm z cˆ dinh thuˆc h` tr`n {|z − z0 | < δ} chuˆ i o. vˆ
´
ı o o ˜
o e ’ ´
o . o ınh o
. ˜ ’ e
o ´
o . ` o o
e ´ .i ζ ∈ γ(δ) c`n c´c hˆ sˆ an khˆng phu thuˆc
’ ’
phai cua (4.7) hˆi tu dˆu dˆi v´
. o a e o . ´ o . o.
a ’ e a ı o .
. ’
v`o δ trong khoang 0 < δ < d nˆn b´n k´nh hˆi tu R cua chuˆ ˜i
o an (z −z0 )n
n 0
khˆng b´ ho.n d. Thˆt vˆy nˆu R < d th` mˆu thuˆ n v´.i dinh ngh˜ b´n
o e a a e
. . ´ ı a ˜
a o . ıa a
o . ’ ˜ ’ ´ ´
k´nh hˆi tu cua chuˆ i d´ v` c´ thˆ lˆy δ l` sˆ l´
ı o o ı o e a a o o .n ho.n R. Dinh l´ du.o.c ch´.ng
y . u
. .
minh.
4.1. C´c kˆt qua quan trong nhˆt r´t ra t`. t´ch phˆn Cauchy
a e ´ ’ . ´
a u u ı a 291
H` IV.1
ınh
Chuˆ i (4.8) v´.i hˆ sˆ biˆu diˆn qua h`m chınh h`nh f (z) theo c´c cˆng
˜
o . ´ ’
o e o e ˜
e a ’ ı a o
th´.c (4.9) hay (4.10) du.o.c goi l` chuˆ i Taylor v´.i tˆm tai diˆm z0 hay khai
u . . a ˜
o o a . ’
e
e’ . a a . ’
e ’ a
triˆn Taylor tai lˆn cˆn diˆm z0 cua h`m f (z).
Hˆ qua 4.1.2. Moi chuˆ i l˜y th`.a dˆu l` chuˆ i Taylor cua tˆng cua n´.
e
. ’ . ˜ u
o u ` ae ˜
o ’ o ’ ’ o
Ch´.ng minh. Thˆt vˆy, gia su. trong h` tr`n n`o d´
u a a
. . ’ ’ ınh o a o
f (z) = an (z − z0)n . (4.11)
n 0
Thay z = z0 ta c´ f (z0 ) = a0 , dao h`m t`.ng sˆ hang chuˆ i (4.11) rˆi thay
o . a u ´
o . ˜
o `
o
z = z0 ta t`m du.o.c f (a) = a1. T´ dao h`m t`.ng sˆ hang liˆn tiˆp chuˆ i
ı . ınh . a u ´
o . e ´
e ˜
o
` (3) (n)
(4.11) rˆi thay z = z0 ta c´ f (z0) = 2!a2, f (z0) = 3!a3, . . . , f (z0) = n!an
o o
(n)
f (z0)
v` do d´ an =
a o ˜ ˜ ’ a
. Do d´ chuˆ i (4.11) l` chuˆ i Taylor cua h`m f (z).
o o a o
n!
Hˆ qua 4.1.3. Gia su. M(r) = max |f (ζ)|. Khi d´ c´c hˆ sˆ an cua chuˆ i
e
. ’ ’ ’ o a e o. ´ ’ ˜
o
ζ∈γ(r)
Taylor thoa m˜n c´c bˆt d˘ng th´.c
’ a a a a ´ ’ u
M(r)
|an | , n = 0, 1, . . . (4.12)
rn
trong d´ r l` sˆ bˆt k` b´ ho.n b´n k´ hˆi tu cua chuˆ i. C´c bˆt d˘ng th´.c
´ ´
o a o a y e a ınh o . ’
. ˜
o ´ ’
a a a u
(4.12) du.o.c goi l` c´c bˆt d˘ng th´.c Cauchy dˆi v´.i hˆ sˆ cua chuˆ i Taylor.
. . a a a a ´ ’ u ´
o o e o ’. ´ ˜
o
292 Chu.o.ng 4. C´c t´ chˆt co. ban cua h`m chınh h`nh
a ınh a ´ ’ ’ a ’ ı
Ch´.ng minh. T`. c´c cˆng th´.c (4.9) v` (4.10) ta c´
u u a o u a o
f (n) (z0 ) 1 f (ζ)
an = = dζ.
n! 2πi (ζ − z0)n+1
γ(r)
T`. d´ ´p dung cˆng th´.c u.´.c lu.o.ng t´ch phˆn trong miˆn ph´.c ta thu du.o.c
u oa . o u o . ı a `
e u .
1 M(r) M(r)
|an | · n+1 · 2πr =
2π r rn
’ e ’ e ´
Dˆ r´t ra hˆ qua tiˆp theo ta nˆu ra
e u . e
Dinh ngh˜ 4.1.1. 1) Diˆm z = a du.o.c goi l` diˆm ch´ quy cua h`m f (z)
-. ıa e’ . . a e ’ ınh ’ a
´
e a ’ ı o a a a o ’
. . ’
nˆu h`m f (z) chınh h`nh trong mˆt lˆn cˆn n`o d´ cua diˆm a.
e
2) Diˆm z = a du.o.c goi l` diˆm bˆt thu.`.ng cua h`m f (z) nˆu n´ khˆng
’
e . . a e ’ ´
a o ’ a ´
e o o
’ ´
l` diˆm ch´ quy dˆi v´ a
a e ınh o o .i h`m f (z) nhu.ng trong lˆn cˆn bˆt k` cua n´ dˆu
a a a y ’ o `
´ e
.
’ ’ a
c´ diˆm ch´ quy cua h`m.
o e ınh
Hˆ qua 4.1.4. B´n k´ hˆi tu cua chuˆ i Taylor v´.i tˆm tai diˆm z = a
e. ’ a ınh o . ’
. ˜
o o a . ’
e
` ’ . diˆm a dˆn diˆm bˆt thu.`.ng gˆn nhˆt cua h`m f (z).
u ’
b˘ng khoang c´ch t` e
a a ´
e ’
e ´
a o `
a ´
a ’ a
Ch´.ng minh. V` c´c diˆm bˆt thu.`.ng dˆu l` diˆm biˆn dˆi v´.i miˆn chınh
u ı a ’
e ´
a o ` a e
e ’ e o o´ `
e ’
ınh ’ e . y a ınh o . ’
h` cua h`m nˆn theo dinh l´ Cauchy - Taylor b´n k´ hˆi tu cua chuˆ i
a . ˜
o
Taylor thu du.o.c khˆng b´ ho.n khoang c´ch d t`. diˆm a dˆn diˆm bˆt thu.`.ng
. o e ’ a u e ’ ´ e
e ’ ´
a o
`
a ´
a ’ a
gˆn nhˆt cua h`m, t´ a u.c l` R d. Nhu.ng b´n k´nh hˆi tu khˆng thˆ l´.n ho.n
a ı o . o ’
e o
.
’ ´ ´ o e ’
khoang c´ch d´ v` nˆu R > d th` c´ ´t nhˆt mˆt diˆm bˆt thu o
a o ı e ı oı a ´
a .`.ng cua h`m f
’ a
.
ro.i v`o h`nh tr`n hˆi tu, m` diˆu d´ lai khˆng thˆ xay ra do tˆng cua chuˆ i
a ı o o .. a ` o .
e o ’
e ’ o’ ’ ˜
o
u.a l` h`m chınh h` trong to`n bˆ h`nh tr`n hˆi tu. Do d´ R = d.
l˜y th` a a
u ’ ınh a o ı o o . o
. .
Cˆng th´.c tˆng qu´t (4.9) hay (4.10) dˆi v´.i hˆ sˆ Taylor thu.`.ng khˆng
o u o ’ a ´
o o e o . ´ o o
.i trong t´nh to´n. Trong mˆt sˆ tru.`.ng ho.p ta c´ thˆ ´p dung c´c
’a
tiˆn lo
e .
. ı a . ´
o o o . o e . a
phu .o.ng ph´p do.n gian ho.n dˆ khai triˆn h`m th`nh chuˆ i l˜y th`.a.
a ’ ’
e ’
e a a ˜
o u u
Nˆu f (z) l` h`m h˜.u ty thu.c su. th` ta c´ thˆ biˆu diˆn n´ du.´.i dang tˆng
´
e a a u ’ . . ı o e e’ ’ ˜ o o .
e o’
1 1
h˜.u han c´c phˆn th´.c tˆi gian dang
u . a a ´
u o ’ . hay (k > 1). Khi d´ o
z−a (z − a)k
4.1. C´c kˆt qua quan trong nhˆt r´t ra t`. t´ch phˆn Cauchy
a e ´ ’ . ´
a u u ı a 293
1 1
phˆn th´.c
a u khai triˆn th`nh chuˆ i cˆp sˆ nhˆn, c`n phˆn th´.c
e’ a ˜ a o a
o ´ ´ o a u
z−a (z − a)k
(k > 1) khai triˆn th`nh chuˆ i thu du.o.c b˘ng ph´p dao h`m liˆn tiˆp k − 1
’
e a ˜
o . `a e . a e ´
e
` ˜ a o a
o ´ ´
lˆn chuˆ i cˆp sˆ nhˆn.
a
Nˆu f (z) l` biˆu th´.c vˆ ty hay siˆu viˆt th` c´ thˆ ´p dung c´c khai
e´ a e ’ u o ’ e e
. ı o ea ’ . a
triˆn Taylor dˆi v´.i h`m ez , sin z, cos z, ln(1 + z), (1 + z)α , . . . (goi l` c´c
e’ ´
o o a . a a
’ .o.c b˘ng c´ch t´nh tru.c tiˆp c´c dao h`m cua c´c h`m
khai triˆn bang) thu du . `
e ’ a a ı ´
e a . a ’ a a
.
´
a
ˆy.
zn
I. ez = , z∈C
n 0 n!
(−1)n z 2n
II. cos z = , z∈C
n 0 (2n)!
(−1)n z 2n+1
III. sin z = , z∈C
n 0 (2n + 1)!
(−1)n−1 n
IV. ln(1 + z) = z , |z| < 1
n 1 n
V.
α n α(α − 1) 2
(1 + z)α = 1 + z = 1 + αx + z + ...
n 1
n 2
α(α − 1) · · · (α − n + 1) n
+ z + ..., α ∈ R, |z| < 1,
n!
α α α(α − 1) · · · (α − n + 1)
= 1, = ,
0 n n!
α α ´
= Cn nˆu α ∈ N
e
n
1
VI1. = z n , |z| < 1
1−z n 0
1
VI2. = (−1)n z n , |z| < 1.
1+z n 0
. . . . . . . . . .
294 Chu.o.ng 4. C´c t´ chˆt co. ban cua h`m chınh h`nh
a ınh a ´ ’ ’ a ’ ı
Tru.´.c khi ´p dung c´c khai triˆn bang ta cˆn biˆn dˆi so. bˆ h`m d˜ cho.
o a . a ’
e ’ `
a ´ ’
e o o a
. a
. ` o a
e ` . ´
Ta minh hoa diˆu d´ b˘ng mˆt sˆ v´ du sau dˆy.
o o ı . a
ı . ’
V´ du 1. Khai triˆn h`m
e a
1
f (z) =
(1 − z 2)(z 2 + 4)
˜
o . a a . e’
th`nh chuˆ i Taylor tai lˆn cˆn diˆm z = 0.
a
Giai. H`m d˜ cho c´ thˆ biˆu diˆn du.´.i dang:
’ a a o e e’ ’ ˜
e o .
1 1 1
f (z) = 2
+ 2
5 1−z z +4
1 1 1
= + ·
5 1 − z2 z2
4 1+
4
a o. ´p dung khai triˆn VI1
Bˆy gi` a e’
.
1
= tn , |t| < 1
1−t n 0
ta c´
o
1 (−1)n
f (z) = 1 + n+1 z 2n , |z| < 1.
n 0
5 4
ı . ım e’ ’ a
V´ du 2. T` khai triˆn Taylor cua h`m
f (z) = ez · cos z.
Giai. Tai lˆn cˆn diˆm z = 0 ta c´ thˆ nhˆn hai chuˆ i v´.i nhau. Tuy
’ . a a . ’
e o e a’ ˜
o o
nhiˆn, trong tru.`.ng ho.p n`y, tiˆn lo.i ho.n ca l` su. dung dˆng nhˆt th´.c
e o . a e .
. ’ a ’ . `
o ´
a u
eiz + e−iz 1
ez · cos z = ez = [e(1+i)z + e1−i)z ].
2 2
√ π √ π
V` 1 + i = 2 · ei 4 ; 1 − i = 2 · e−i 4 nˆn ´p dung khai triˆn (II) ta c´:
ı e a . ’
e o
n πn n πn
z 2 2 · ei + 2 2 · e−i 4 n
4
e · cos z = z
n 0
2
n πn
= 2 2 cos · z n , z ∈ C.
n 0
4
4.1. C´c kˆt qua quan trong nhˆt r´t ra t`. t´ch phˆn Cauchy
a e ´ ’ . ´
a u u ı a 295
1
ı . ’
V´ du 3. Khai triˆn h`m f (z) =
e a + e−z th`nh chuˆ i Taylor v´.i tˆm
a ˜
o o a
1+z
a ’ a ınh o . ’ ˜
a = 0 v` chı ra b´n k´ hˆi tu cua chuˆ i.
. o
’
Giai. Ta c´o
1
= 1 − z + z 2 − z 3 + · · · + (−1)n z n + . . .
1+z
z2 z3 zn
e−z = 1 − z + − + · · · + (−1)n + . . .
2! 3! n!
T`. d´ b˘ng c´ch cˆng c´c chuˆ i ta thu du.o.c
u o a ` a o
. a ˜
o .
f (z) = [1 − z + z 2 − · · · + (−1)n z n + . . . ]
z2 zn
+ 1−z+ − · · · + (−1)n + . . .
2! n!
1 2 1 3
= 2 − 2z + 1 + z − 1+ z + ...
2! 3!
1
+ (−1)n−1 1 + z n−1 + . . .
(n − 1)!
1
= (−1)n−1 1 + z n−1 .
n 1
(n − 1)!
Diˆm bˆt thu.`.ng gˆn gˆc toa dˆ nhˆt l` z = −1. Do d´ b´n k´nh hˆi tu cua
’
e a´ o ` o . o a a
a ´ . ´ o a ı o . ’
.
˜ a
chuˆ i l` R = 1.
o
ı . ’
V´ du 4. Khai triˆn h`m
e a
z 2 − 2z + 19
f (z) =
(z − 3)2 (2z + 5)
th`nh chuˆ i Taylor v´.i tˆm tai diˆm a = 0 v` chı ra b´n k´nh hˆi tu cua
a ˜
o o a . e’ a ’ a ı o . ’
.
chuˆ˜ i thu du.o.c.
o .
Giai. V` f (z) l` phˆn th´.c h˜.u ty thu.c su. nˆn ta c´ thˆ biˆu diˆn n´
’ ı a a u u ’ . . e ’ ’
o e e ˜
e o
du.´.i dang tˆng c´c phˆn th´.c tˆi gian:
o . o ’ a a u o ’´
1 2
f (z) = + ·
2z + 5 (z − 3)2
296 Chu.o.ng 4. C´c t´ chˆt co. ban cua h`m chınh h`nh
a ınh a ´ ’ ’ a ’ ı
´
Tiˆp theo ta c´
e o
1 1 1 2n n
= · = (−1)n z .
2z + 5 5 2z 5n+1
1+ n 1
5
5
ı e ’
V` diˆm z = − l` diˆm bˆt thu.`.ng gˆn gˆc toa dˆ nhˆt nˆn b´n k´nh hˆi
a e ’ a´ o ` ´
a o . o a e a ı
. ´ o.
2
5
tu R1 cua chuˆ i thu du.o.c l` R1 = .
. ’ ˜
o . a 2
2
’ ’
Dˆ khai triˆn h`m
e e a ˜ ’
th`nh chuˆ i Taylor tai lˆn cˆn diˆm a = 0 ta
a o . a a . e
(z − 3)2
. e ’ ’ .
s˜ ´p dung hˆ qua cua dinh l´ Weierstrass. Ta c´
ea . y o
2 2
=−
z−3 (z − 3)2
2 2 1 1
=− · = −2 zn, |z| < 3.
z−3 3 1− z n 0
3n+1
3
v` do d´
a o
2 nz n−1 (n + 1)z n
=2 =2 , |z| < 3.
(z − 3)2 n 1
3n+1 n 0
3n+2
Cˆng c´c chuˆ i thu du.o.c ta c´
o
. a ˜
o . o
2n 2(n + 1) n 5
f (z) = (−1)n n+1
+ z , |z| < ·
n 0
5 3n+2 2
ı . ’
e a a
. a . . e’
V´ du 5. Khai triˆn nh´nh logarit nhˆn gi´ tri 2πi tai diˆm z0 = 1 th`nh
a
˜o a a . ’
chuˆ i Taylor trong lˆn cˆn diˆm a = 2.
e
Giai. Tru.´.c hˆt ta cˆn x´c dinh nh´nh n`o (trong vˆ sˆ nh´nh cua h`m
’ o e ´ `
a a . a a ´
o o a ’ a
a a ’ a `e e ’ a a
logarit) l` nh´nh thoa m˜n diˆu kiˆn cua b`i to´n. Ta c´
. o
z−2
ln z = ln[2 + (z − 2)] = ln 2 1 +
2
z−2
= ln 2 + ln 1 + .
2
