Tích phân của hàm vô tỷ
Cách giải tổng quát nhất cho tích phân này là đặt x=xk trong đó k là bội số chung nhỏ nhất của tất cả các mẫu số trong các số mũ. Lúc đó chúng ta đưa tích phân đã cho về dạng tích phân các hàm hữu tỷ.
§7 tÝch ph©n cña c¸c hµm v« tû
Môc tiªu cña môc nµy lµ ®−a ra c¸ch gi¶i cho mét sè d¹ng cña tÝnh tÝch tæng qu¸t
b
m r
I= R(x, x n , ..., x s )dx
a
trong ®ã R(u, v, ..., w) lµ hµm ph©n thøc h÷u tû c¸c biÕn sè u, v, ..., w vµ m, n, ..., r, s lµ c¸c sè
nguyªn d−¬ng.
C¸ch gi¶i tæng qu¸t nhÊt cho tÝch ph©n nµy lµ ®Æt x = xk trong ®ã k lµ béi sè chung nhá
nhÊt cña tÊt c¶ c¸c mÉu sè trong c¸c sè mò. Lóc ®ã chóng ta ®−a tÝch ph©n ®· cho vÒ d¹ng tÝch
ph©n c¸c hµm h÷u tû.
Mét c¸ch gi¶i t−¬ng tù cho tÝch ph©n
β m r
ax + b n ax + b s
I= R x, , ..., dx
cx + d cx + d
α
7.1.1 Bµi tËp mÉu:
2 4 √ √
√ √ 4
x− 8x
(a). I = x( x − 1 + 3 x − 1)dx (b). J = √ dx
x( 4 x + 1)
1 √
1
14−3 3
13 4 √ √
dx 3
x− 6x
(c). I = (d). J = √ dx
3
(x − 1)(x + 1)2 x( 6 x + 1)
0 1
a. Bµi gi¶i:
+ §Æt x − 1 = t6 ®æi cËn x = 1 =⇒ t = 0; x = 2 =⇒ t = 1.
+ Vi ph©n dx = 6t5 dt.
+ Do vËy
1 1
6 3 2 5
I= (t − 1)(t + t )6t dt = 6 (t14 + t13 + t8 + t7 )dt
0 0
1
1 15 1 1 1
=6 t + t14 + t9 + t8
15 14 9 8 0
943
=
420
b. Bµi gi¶i:
√
+ §Æt x = t8 ®æi cËn x = 1 =⇒ t = 1; x = 4 =⇒ t = 4
2.
+ Vi ph©n dx = 8t7 dt.
+ BiÕn ®æi √ √
4
x− 8x t2 − t 8t − 8 2tdt dt
√ dx = 8 2 8t7 dt = 2 dt = 4 2 −8 2
x( x + 1)
4
t (t + 1) t +1 t +1 t +1
Do vËy √ √
4 4
2 2
√
2tdt dt 4
2
J =4 2+1
−8 2+1
= 4 ln(1 + t2 ) 1
− 8 u|u0
π
t t
1 1 4
1
π π √ √
Chó ý r»ng u0 ∈ (− ; ) ë trªn lµ gi¸ trÞ mµ tan u0 = 4 2 chóng ta cßn kÝ hiÖu u0 = arctan 4 2,
2 2
ë ®©y arctan lµ ký hiÖu hµm ng−îc cña hµm sè tan.
c. Bµi gi¶i:
x+1 t3 + 1 6t2 dt
+ §Æt = t3 ⇐⇒ x = 3 do vËy dx = − 3 .
x−1 t −1 √ (t − √ 2
1)
14 − 3 3 3
+ §æi cËn x = 0 =⇒ t = −1; x = =⇒ t = − .
13 3
+ BiÕn ®æi
6t3
dx 3 x + 1 dx (t3 − 1)2 3
= . =− 3 dt = − 3 dt
3
(x − 1)(x + 1)2 x−1 x+1 2t t −1
t3 − 1
+ Sö dông kü thuËt tÝch ph©n h÷u tû ta ®−îc
1 3
3 1 t+2 1 (2t + 1)
= − 2 = − 22 − 2 2
t3 − 1 t−1 t +t+1 t−1 t +t+1 t +t+1
Do vËy √ √ √
√
3 3 3
14−3 3
13 3 3 3
dx 1 1
2t + 1 3 dt
J= = dt − dt −
3
(x − 1)(x + 1)2 t−1 t2 + t + 1
2 2 t2 + t + 1
0 0 0 √ 0
3
1 3 3
= ln |t − 1| − ln |t2 + t + 1| − J0
2 0 2
+ TÝnh J0 theo c¸ch tÝnh cña hµm h÷u tû ®· biÕt.
d. Bµi gi¶i: Gi¶i t−¬ng tù bµi b.
7.1.2 Bµi tËp tù gi¶i:
−1 4
√2
√ dx
(a). I = x ( 1 − x + 3 1 − x)dx (b). J = √
3
√
2x + 1 + 2x + 1
−2 0
4 √ 4 √ √
x−2 x−1 3
x+26x
(c). I = √ dx (d). J = √ dx
3
x+2 x( 6 x + 1)
0 1
2
√
7.2. PhÐp thÕ Euler trong tÝch ph©n cã chøa l−îng ax2 + bx + c:
• NÕu a > 0 th× ®æi biÕn
√ √ t2 − c
ax2 + bx + c = t + x a ⇐⇒ x = √
b − 2t a
• NÕu c > 0 th× ®æi biÕn
√
√ √ 2t c − b
ax2 + bx + c = tx + c ⇐⇒ x =
a − t2
• NÕu ax2 + bx + c = 0 ⇐⇒ a(x − α)(x − β) = 0 nghÜa lµ biÓu thøc d−íi dÊu c¨n cã
hai nghiÖm ph©n biÖt th× ®æi biÕn
√ aβ − t2 α
ax2 + bx + c = t(x − α) ⇐⇒ x =
a − t2
√
®Ó ý r»ng chØ cã ba kh¶ n¨ng trªn cho mét tam thøc bËc hai n»m d−íi dÊu , v× vËy
chóng ta ®· h÷u tû ho¸ c¸c tÝch ph©n cã chøa c¸c biÓu thøc v« tû d¹ng trªn.
7.2.1. Bµi tËp mÉu:
1 1
√ √
(a). I = x2 + x + 1dx (b). J = x2 − x + 1dx
0 0
a. Bµi gi¶i:
√ t2 − 1
+ §Æt x2 + x + 1 = t + x ⇐⇒ x2 + x + 1 = t2 + 2tx + x2 ⇐⇒ x =
1 − 2t
√ t2 − 1 −t2 + t − 1
do vËy x2 + x + 1 = t + = .
1 − 2t 1 − 2t
−2t2 + 2t − 2
+ Vi ph©n dx = dt.
(1 − 2t)2 √
+ §æi cËn x = 0 =⇒ t = 1; x = 1 =⇒ t = 3 − 1.
+ Tõ ®©y ta cã √
3−1 1
(t2 − t + 1)2 (t2 − t + 1)2
I = −2 dt = 2 dt
(2t − 1)3 √
(2t − 1)3
1 3−1
+ Ta sö dông ký thuËt cña tÝch ph©n hµm h÷u tû nh− sau
2 2
(t2 − t + 1)2 1 [4t2 − 4t + 4] 1 [(2t − 1)2 + 3]
= =
(2t − 1)3 16 (2t − 1)3 16 (2t − 1)3
1 3 1 9 1
= (2t − 1) + +
16 8 2t − 1 16 (2t − 1)3
+ V× vËy
1 1 1
1 3 1 9 1
I= (2t − 1)dt + dt + dt
8√ 4√ 2t − 1 8√ (2t − 1)3
3−1 3−1 3−1
1
1 3 9 1
= (2t − 1)2 + ln |2t − 1| −
32 8 32 (2t − 1)2 √
3−1
3 √ 1 3 √ 3
= 3 − + ln(2 + 3) − ln 3.
4 4 8 16
3
b. Bµi gi¶i:
√ 1 − t2
+ §Æt x2 − x + 1 = t + x ⇐⇒ x2 − x + 1 = t2 + 2tx + x2 ⇐⇒ x =
2t + 1
√ 1 − t2 t2 + t + 1
do vËy x2 − x + 1 = t + = .
2t + 1 2t + 1
−2t2 − 2t − 2
+ Vi ph©n dx = dt.
(2t + 1)2
+ §æi cËn x = 0 =⇒ t = 1; x = 1 =⇒ t = 0.
+ Tõ ®©y ta cã
0 1
(t2 + t + 1)2 (t2 + t + 1)2
I = −2 dt = 2 dt
(2t + 1)3 (2t + 1)3
1 0
+ Ta sö dông ký thuËt cña tÝch ph©n hµm h÷u tû nh− sau
2 2
(t2 + t + 1)2 1 [4t2 + 4t + 4] 1 [(2t + 1)2 + 3]
= =
(2t + 1)3 16 (2t + 1)3 16 (2t + 1)3
1 3 1 9 1
= (2t + 1) + +
16 8 2t + 1 16 (2t + 1)3
+ V× vËy
1 1 1
1 3 1 9 1
J= (2t + 1)dt + dt + dt
8 4 2t + 1 8 (2t + 1)3
0 0 0
1
1 3 9 1
= (2t + 1)2 + ln |2t + 1| −
32 8 32 (2t + 1)2 0
1 3
= + ln 3.
2 8
7.2.2. Bµi tËp mÉu:
2 2
dx dx
(a). I = √ (b). J = √
x2 + x + 1 x2 − x + 1
1 1
a. Bµi gi¶i:
√ 2t − 1
+ §Æt x2 + x + 1 = tx + 1 ⇐⇒ x2 + x + 1 = t2 x2 + 2tx + 1 ⇐⇒ x =
1 − t2
√ 2
2t − t 2
t −t+1
do vËy x2 + x + 1 = 1 + 2
= .
1−t 1 − t2
2(t2 − t + 1)
+ Vi ph©n dx = dt.
(1 − t2 )2 √
√ 7−1
+ §æi cËn x = 1 =⇒ t = 3 − 1; x = 2 =⇒ t = .
2
+ BiÓu thøc d−íi dÊu tÝch ph©n
dx 2(t2 − t + 1) 1 − t2 2dt 1 1
√ = 2 )2
. 2 dt = = + dt
x 2+x+1 (1 − t t −t+1 1 − t2 1+t 1−t
+ V× vËy √
7−1
2
1 1
I= + dt
√
1+t 1−t
3−1 √
7−1
2
= [ln |1 + t| − ln |1 − t|] √
3−1
4
√ √
7+1 3 √ √
= ln √ − ln √ = ln(2 7 + 5) − ln(3 + 2 3).
3− 7 2− 3
b. Bµi gi¶i:
√ 2t + 1
+ §Æt x2 − x + 1 = tx + 1 ⇐⇒ x2 − x + 1 = t2 x2 + 2tx + 1 ⇐⇒ x =
1 − t2
√ 2
2t + t 2
t +t+1
do vËy x2 − x + 1 = 1 + 2
= .
1−t 1 − t2
2(t2 + t + 1)
+ Vi ph©n dx = dt.
(1 − t2 )2 √
3−1
+ §æi cËn x = 1 =⇒ t = 0; x = 2 =⇒ t = .
2
+ BiÓu thøc d−íi dÊu tÝch ph©n
dx 2(t2 + t + 1) 1 − t2 2dt 1 1
√ = . 2 dt = = + dt
x2 − x + 1 (1 − t2 )2 t + t + 1 1 − t2 1+t 1−t
+ V× vËy √
3−1
2
1 1
I= + dt
1+t 1−t
0 √
3−1
2
= [ln |1 + t| − ln |1 − t|]
√ 0
3+2 3
= ln .
3
7.2.3. Bµi tËp tù gi¶i:
1 1
√ √
(a). I = (x + 1) x2 + x + 1dx (b). J = (x + 1) x2 − x + 1dx
0 0
1 1
2
√ √
(c). I = (x + 1) x2 + x + 1dx (d). J = (x2 + 1) x2 − x + 1dx
0 0
1 1
(x + 1)dx (x + 1)dx
(e). I = √ (f ). J = √
x2 + x + 1 x2 − x + 1
0 0
1 1
√ (x + 1)dx
(g). I = x2 − 5x + 6dx (h). J = √
x2 − 5x + 6
0 0
1 1
(x + 1)dx x2 dx
(i). I = √ (j). J = √
4 − x2 4 − x2
0 0
5
