Thuật toán tìm ma trận bậc thang
Bước 1: Phần tử . Tuy nhiên nên ta hoán đổi vị trí dòng 1 và dòng 4. Ta có:
Bước 2:Lần lượt thực hiện các phép biến đổi: . Ta có:
Bước 3: Xét giá trị ở dòng 2, cột 2. Ta thấy là 1 số khá lớn. Nếu để nguyên như thế thì các bước sau chắc chắn xuất hiện phân số. Điều này làm cho bài toán rối rắm hơn.
Thuật toán tìm ma trận bậc thang
nguồn: thunhan.wordpress.com
Bước 1: Kiểm tra ?
1.1 Nếu và , ta đổi chỗ vị trí hàng 1 và hàng i.
1.2 Nếu và , ta đổi chỗ vị trí hàng 1 và hàng k để cho bước 2 đơn
giản.
1.3 Nếu tất cả các phần tử của cột 1 bằng 0 thì cột 1 coi như bước 2 đã hoàn thành,
chuyển sang bước 3.
Bước 2: Khử tất cả các phần tử của cột 1 dưới bằng phép biến đổi:
Khi đó, ma trận sẽ có dạng:
Chuẩn hóa cột 1 để đưa về dạng bậc thang dòng
Bước 3: Kiểm tra ?
1.1 Nếu và , ta đổi chỗ vị trí hàng 2 và hàng j.
1.2 Nếu và , ta đổi chỗ vị trí hàng 2 và hàng k để cho bước 4 đơn
giản.
1.3 Nếu tất cả các phần tử của cột 2 (từ trở xuống) bằng 0 thì cột 2 đã được
chuẩn hóa, coi như bước 4 đã hoàn thành
Bước 4: Khử tất cả các phần tử của cột 2 ở dưới bằng phép biến đổi:
Ma trận đưa về dạng:
Chuẩn hóa cột 2
Tiếp tục quá trình trên cho phần tử , phần tử ở dòng 4, cột 4; … ta sẽ đưa ma
trận về dạng bậc thang dòng.
Ví dụ: Đưa ma trận sau về dạng bậc thang:
Bước 1: Phần tử . Tuy nhiên nên ta hoán đổi vị
trí dòng 1 và dòng 4. Ta có:
Bước 2:Lần lượt thực hiện các phép biến đổi: . Ta
có:
Bước 3: Xét giá trị ở dòng 2, cột 2. Ta thấy là 1 số khá lớn. Nếu để
nguyên như thế thì các bước sau chắc chắn xuất hiện phân số. Điều này làm cho
bài toán rối rắm hơn.
Nhận thấy: 20 và 52 đều cho hết cho 4 nên ta đổi chỗ dòng 2 và dòng 4. Ta có:
Bước 4: Lần lượt thực hiện các phép biến đổi: . Ta
có:
Tiếp theo, ta chia dòng 3 cho 32 và chia dòng 4 cho 14. Ta có:
Bước 5: Xét giá trị ở dòng 3, cột 3.
Nhận thấy các phần tử nên cột 3 đã được chuẩn hóa.
Do đó, ta chuyển sang chuẩn hóa cột 4 bằng cách xét phần tử
Do , và nên ta cột 4 đã được chuẩn hóa. Ta chuyển sang cột 5. Lấy
dòng 4 trừ dòng 3.
Ta có:
Sau bước này ta đã có được ma trận bậc thang dòng. Vậy ta đã có dạng bậc
thang
Để chuyển về ma trận bậc thang chính tắc. Ta tiếp tục thực hiện các phép biến đổi
trên cột như sau:
Bước 6: Bằng cách thực hiện phép biến đổi: , ,
, . Ta có:
Bước 7: Đổi chỗ cột 2 và cột 3. Ta có:
Bằng cách thực hiện phép biến đổi: , , .
Ta có:
Bước 9: Do xuất hiện cột không nên ta cần đổi chỗ cột 3 và cột 5. Mục đích để cột
không nằm ở vị trí cuối cùng. Ta có:
Vậy ta có dạng ma trận bậc thang chính tắc:
