Tài liệu ôn thi Đại học Toán
Tài liệu được biên soạn khoa học theo từng cấu trúc chủ điểm từ cơ bản đến nâng cao và các bài tập áp dụng kèm theo. Tài liệu hữu ích cho giáo viên và học sinh cuối cấp ôn tập chuẩn bị cho các kỳ thi quan trong sắp tới
NGUY N ð C TU N
T ÔN LUY N THI
MÔN TOÁN
Hà n i, 1 - 2005
T ôn luy n thi ñ i h c môn toán
Chương 1: Phương trình và b t phương trình
Bài 1: PHƯƠNG TRÌNH B C NH T VÀ B C HAI
I. Cách gi i
1) Phương trình b c nh t: ax + b = 0, a,b ∈ IR.
b
• N u a ≠ 0 thì phương trình có nghi m duy nh t x = - .
a
• N u a = 0, b ≠ 0 thì phương trình vô nghi m.
• N u a = b = 0 thì phương trình nghi m ñúng v i m i x ∈ IR.
2) Phương trình b c hai: ax2 + bx + c = 0, a ≠ 0.
• N u ∆ = b – 4ac < 0 phương trình vô nghi m.
2
b
• N u ∆ = 0 phương trình có nghi m kép x1 = x 2 = - .
2a
−b± ∆
• N u ∆ > 0 phương trình có hai nghi m phân bi t x 1, 2 = .
2a
II. ð nh lí Viét và h qu v d u các nghi m
1) ð nh lí Viét : N u phương trình ax2 + bx + c = 0, a ≠ 0 có hai nghi m x1 , x 2 thì
b c
S = x1 + x 2 = - và P = x1.x 2 = .
a a
2) H qu : Phương trình b c hai ax2 + bx + c = 0, a ≠ 0 có hai nghi m:
∆ ≥ 0
c
Trái d u ⇔ 0
∆ ≥ 0 ∆ ≥ 0
c c
Cùng dương ⇔ > 0 Cùng âm ⇔ > 0
a a
b b
− a > 0
− a < 0
III. ð nh lí v d u c a tam th c b c hai
Cho tam th c b c hai f(x) = ax2 + bx + c, a ≠ 0 ta có
1. ð nh lí thu n:
• N u ∆ = b2 – 4ac < 0 thì a.f(x) > 0 v i ∀ x.
b
• N u ∆ = 0 thì a.f(x) > 0 v i ∀ x ≠ - .
2a
• N u ∆ > 0 khi ñó f(x) có hai nghi m phân bi t x1 < x2 và
a.f(x) > 0 v i x ngoài [ x1 ; x 2 ] .
a.f(x) < 0 v i x1 < x < x 2 .
2. ð nh lí ñ o: N u t n t i s α sao cho a.f( α ) < 0 thì tam th c có hai nghi m phân bi t
và s α n m trong kho ng hai nghi m ñó: x1 < α < x 2 .
Nguy n ð c Tu n l p 44C1 ð i h c Th y l i Hà n i 1
T ôn luy n thi ñ i h c môn toán
IV. ng d ng
1. ði u ki n ñ f(x) = ax2 + bx + c không ñ i d u v i m i x
a = b = 0 a = b = 0
f(x) > 0 v i ∀ x ⇔ c > 0 f(x) ≥ 0 v i ∀ x ⇔
c ≥ 0
a > 0 a > 0
∆ < 0
∆ ≤ 0
a = b = 0 a = b = 0
f(x) < 0 v i ∀ x ⇔ c < 0 f(x) ≤ 0 v i ∀ x ⇔
c ≤ 0
a < 0 a < 0
∆ < 0
∆ ≤ 0
2. So sánh nghi m tam th c b c hai v i s th c α
• ði u ki n ñ f(x) có hai nghi m phân bi t và x1 < α < x 2 là: a.f( α ) < 0.
• ði u ki n ñ f(x) có hai nghi m phân bi t và α n m ngoài kho ng hai
∆ > 0
nghi m:
a.f (α) > 0
∆ > 0
- N u α n m bên ph i hai nghi m: x1 < x 2 < α ⇒ a.f (α ) > 0
S b
=− 0
- N u α n m bên trái hai nghi m: α < x1 < x 2 ⇒ a.f (α ) > 0
S b
=− >a
2 2a
• ði u ki n ñ f(x) có hai nghi m phân bi t và m t nghi m n m trong, m t nghi m
n m ngoài ño n [ α; β ] là: f( α ).f( β ) < 0.
3. ði u ki n ñ f(x) có nghi m th a mãn x > α :
• Trư ng h p 1: f(x) có nghi m x1 < α < x 2 ⇔ a.f( α ) < 0.
∆ ≥ 0
• Trư ng h p 2: f(x) có nghi m α < x1 < x 2 ⇔ a.f (α) > 0
S
α <
2
f (α ) = 0
• Trư ng h p 3: f(x) có nghi m α = x1 < x 2 ⇔ S
α < 2
( Làm tương t v i trư ng h p x < α và khi x y ra d u b ng)
Ngoài ra ta chú ý thêm ñ nh lí sau: Gi s hàm s y = f(x) liên t c. Khi ñó ñi u ki n ñ
phương trình f(x) = m có nghi m là minf(x) ≤ m ≤ maxf(x).
Nguy n ð c Tu n l p 44C1 ð i h c Th y l i Hà n i 2
T ôn luy n thi ñ i h c môn toán
B ng tóm t t ñ nh lý thu n v d u c a tam th c b c hai
N u ∆0
a.f(x) > 0 v i ∀ x b a.f(x) > 0 v i x ngoài [ x1 ; x 2 ]
a.f(x) > 0 v i ∀ x ≠ -
2a a.f(x) < 0 v i x1 < x < x 2
B ng tóm t t so sánh nghi m tam th c b c hai v i s th c α
ði u ki n ñ f(x) = ax2 + bx + c có hai nghi m phân bi t và
α n m gi a kho ng hai nghi m α n m ngoài kho ng hai nghi m
x1 < α < x 2
∆ > 0
a.f (α ) > 0
x1 < x 2 < α x1 < x 2 < α
a.f( α ) < 0
∆ > 0 ∆ > 0
a.f (α ) > 0 a.f (α ) > 0
S b S b
=− a
2 2a 2 2a
Ví d 1. Tìm m ñ phương trình x 2 − 2( m + 4) x + m 2 + 8 = 0 có 2 nghi m dương.
Ví d 2. Xác ñ nh a ñ bi u th c (a + 1) x 2 − 2(a − 1) x + 3a − 3 luôn dương
Ví d 3. Tìm m ñ b t phương trình x 2 + x − 2 ≥ m nghi m ñúng v i m i x.
Ví d 4. Tìm m ñ phương trình x 2 + mx + 2m = 0 có hai nghi m x1 , x 2 th a mãn
-1< x1 < x 2
Ví d 5. Tìm m ñ phương trình x − 2mx + 2m 2 − 1 = 0 có nghi m th a mãn
2
− 2 ≤ x1 ≤ x 2 ≤ 4
Ví d 6. Cho phương trình x + ( m + 2) x + 3m − 2 =0
2
Tìm m ñ phương trình có hai nghi m phân bi t nh hơn 2
Ví d 7. Tìm m ñ phương trình x 2 − 2mx + m + 2 = 0 có nghi m l n hơn 1
Ví d 8. Tìm m ñ phương trình x 2 − 6mx + 9m 2 − 2m + 2 = 0 có nghi m x1 ≤ x 2 ≤ 3
Nguy n ð c Tu n l p 44C1 ð i h c Th y l i Hà n i 3
T ôn luy n thi ñ i h c môn toán
Bài 2: PHƯƠNG TRÌNH TRÙNG PHƯƠNG VÀ
PHƯƠNG TRÌNH CH A GIÁ TR TUY T ð I
I. Phương trình trùng phương ax 4 + bx 2 + c = 0, a ≠ 0 (1)
ð t t = x ≥ 0 phương trình (1) tr thành: at + bt + c = 0
2 2
(2)
• PT (1) có nghi m khi và ch khi (2) có ít nh t m t nghi m không âm.
• PT (1) có ñúng hai nghi m phân bi t khi và ch khi (2) có ñúng m t nghi m dương.
• PT (1) có ñúng 3 nghi m phân bi t khi và ch khi (2) có m t nghi m b ng 0 và m t
nghi m dương.
• PT (1) có ñúng 4 nghi m phân bi t khi và ch khi (2) có hai nghi m dương phân
bi t.
Ví d 1. Cho phương trình: x4 + (1-2m)x2 + m2 – 1 = 0.
a)Tìm các giá tr c a m ñ phương trình vô nghi m.
b)Tìm các giá tr c a m ñ phương trrình có 4 nghi m phân bi t.
Ví d 2. Tìm m sao cho ñ th hàm s y = x4 -2(m+4)x2 + m2 + 8
c t tr c hoành l n lư t t i 4 ñi m phân bi t A, B, C, D v i AB = BC = CD.
II. Phương trình ch a giá tr tuy t ñ i
1) Các d ng cơ b n:
b ≥ 0
|a|=b ⇔ | a | = | b | ⇔ a = ±b
a = ± b
b < 0
b ≥ 0
|a| ≤ b ⇔ 2 | a | ≥ b ⇔ b ≥ 0
a ≤ b
2
a 2 ≥ b 2
| a | ≥ | b | ⇔ a 2 ≥ b2
Ví d 1. Gi i phương trình | x2 – 3x + 2 | - 2x = 1.
Ví d 2. Gi i b t phương trình x2 - | 4x – 5 | < 0.
Ví d 3. Gi i và bi n lu n phương trình | 2x – m | = x.
Ví d 4. Gi i phương trình 4|sinx| + 2cos2x = 3.
Ví d 5. Gi i và bi n lu n b t phương trình | 3x2 -3x – m | ≤ | x2 – 4x + m |.
2)Phương pháp ñ th :
a) Cách v ñ th hàm s y = | f(x) | khi ñã bi t ñ th hàm s y = f(x).
- Chia ñ th hàm s f(x) ra 2 ph n: ph n ñ th n m phía trên tr c hoành (1) và
ph n ñ th n m phía dư i tr c hoành (2).
- V ph n ñ th ñ i x ng v i ph n ñ th (2) qua tr c hoành ñư c ph n ñ th
(3).
- ð th hàm s y = | f(x) | là ñ th g m ph n ñ th (1) và ph n ñ th (3) v a
v .
b) ð nh lí: S nghi m c a phương trình g(x) = h(m) là s giao ñi m c a ñư ng th ng
n m ngang y = h(m) v i ñ th hàm s y = g(x). Khi g p phương trình có tham s ta tách riêng
chúng v m t v c a phương trình r i v ñ th hàm s y = g(x) và ñư ng th ng y = h(m) r i áp
d ng ñ nh lí trên ñ bi n lu n.
Ví d 6. Tìm m ñ phương trình | x2 – 1 | = m4 – m2 +1 có 4 nghi m phân bi t.
Ví d 7. Bi n lu n theo m s nghi m c a phương trình | x – 1 | + | x + 2 | = m.
Nguy n ð c Tu n l p 44C1 ð i h c Th y l i Hà n i 4
T ôn luy n thi ñ i h c môn toán
Bài 3: PHƯƠNG TRÌNH VÀ B T PHƯƠNG TRÌNH VÔ T
I.Các d ng cơ b n
D ng 1: 2 n +1 f ( x ) = ϕ( x ) , n ∈ N* ⇔ f(x) = [ ϕ( x ) ]2n+1
ϕ( x ) ≥ 0
D ng 2: 2n f ( x ) = ϕ( x ) , n ∈ N* ⇔
f ( x ) = [ϕ( x )]
2n
D ng 3:
f ( x ) ≥ 0 f ( x ) ≥ 0
f ( x ) < ϕ( x ) ⇔ ϕ( x ) > 0 , f ( x ) ≤ ϕ( x ) ⇔ ϕ( x ) ≥ 0
f ( x ) < [ϕ( x )]2 f ( x ) ≤ [ϕ( x )]2
D ng 4:
f ( x ) ≥ 0 f ( x ) < 0
ϕ( x ) < 0 ϕ( x ) ≥ 0
f ( x ) > ϕ( x ) ⇔
ϕ( x ) ≥ 0 , f ( x ) ≥ ϕ( x ) ⇔
ϕ( x ) ≥ 0
f ( x ) > [ϕ( x )]2
f ( x ) ≥ [ϕ( x )]2
Ví d 1. Gi i phương trình x 2 − 2x + 3 = 2x + 1
Ví d 2. Gi i b t phương trình x 2 − x − 12 < x
Ví d 3. Gi i b t phương trình 2 x 2 + 5x − 6 > 2 − x
Ví d 4. Tìm m ñ phương trình có nghi m x − m = 2 x 2 + mx − 3
II. Các phương pháp gi i phương trình, b t phương trình vô t không cơ b n
1) Phương pháp lũy th a hai v :
- ð t ñi u ki n trư c khi bi n ñ i
- Ch ñư c bình phương hai v c a m t phương trình ñ ñư c phương trình tương ñương
(hay bình phương hai v c a m t b t phương trình và gi nguyên chi u) n u hai v c a chúng
không âm.
- Chú ý các phép bi n ñ i căn th c A2 = A .
Ví d 5. Gi i phương trình x +1 = 3 − x + 4
Ví d 6. Gi i b t phương trình x + 3 ≥ 2x − 8 + 7 − x
Ví d 7. Gi i b t phương trình 3 x − 5x + 5 > 1
Ví d 8. Gi i b t phương trình x + 2 − x +1 ≤ x
Ví d 9.Gi i phương trình 2 x 2 + 8x + 6 + x 2 − 1 = 2 x + 2
Ví d 10.Gi i b t phương trình x 2 − 4x + 3 − 2 x 2 − 3x + 1 ≥ x − 1
2)Phương pháp ñ t n ph :
- Nh ng bài toán có tham s khi ñ t n ph ph i tìm t p xác ñ nh c a n m i.
- Chú ý các h ng ñ ng th c (a ± b) 2 = a 2 ± 2ab + b 2 , a 2 − b 2 = (a + b)(a − b) , …
Ví d 11.Gi i b t phương trình 5x 2 + 10 x + 1 ≥ 7 − x 2 − 2 x
Ví d 12.i i phương trình x + 8 + 2 x + 7 + x +1− x + 7 = 4
Ví d 13.Gi i phương trình x + 2 + x − 2 = 4 x − 15 + 4 x 2 − 4
4 3x 2 + 2 x − 2
Ví d 14.Gi i phương trình 9x 2 + =
x2 x
5 1
Ví d 15.Gi i b t phương trình 5 x+ < 2x + +4
2 x 2x
Nguy n ð c Tu n l p 44C1 ð i h c Th y l i Hà n i 5
T ôn luy n thi ñ i h c môn toán
Bài 4: H PHƯƠNG TRÌNH ð I X NG
I. H phương trình ñ i x ng lo i 1
1)Khái ni m: Là h mà m i phương trình không ñ i khi ta thay x b i y và thay y b i x.
2)Tính ch t: N u (xo, yo) là m t nghi m c a h thì (yo, xo) cũng là nghi m c a h .
3)Cách gi i:
x + y = S
Bi n ñ i h phương trình v d ng: H ñã cho ⇔ (1)
x.y = P
Khi ñó x, y là nghi m c a phương trình: t 2 − St + P = 0 (2)
N u ∆ = S – 4P > 0 thì phương trình (2) có hai nghi m t1 ≠ t2 nên h phương trình (1) có hai
2
nghi m phân bi t (t1, t2), (t2, t1).
N u ∆ = 0 thì phương trình (2) có nghi m kép t1 = t2 nên h (1) có nghi m duy nh t (t1, t2).
ði u ki n ñ h (1) có ít nh t m t c p nghi m (x, y) th a mãn x ≥ 0, y ≥ 0
∆ = S 2 − 4 P ≥ 0
S ≥ 0
P ≥ 0
x + y = 2 x y + y x = 30
x − y − xy = 3
Ví d 1.Gi i h phương trình 3 2
x + y = 26 x x + y y = 35 x + y + xy = 1
3 2
x + 1 + y −1 = m
xy( x + 2)( y + 2) = 5m − 6
Ví d 2.Tìm m ñ h sau có nghi m 2
x + y = m 2 − 4m + 6 x + y + 2( x + y ) = 2 m
2
II. H phương trình ñ i x ng lo i 2
1)Khái ni m: Là h phương trình mà trong h phương trình ta ñ i vai trò x, y cho nhau
thì phương trình n tr thành phương trình kia.
2)Tính ch t: N u (xo, yo) là m t nghi m c a h thì (yo, xo) cũng là nghi m c a h .
3)Cách gi i:
Tr v v i v hai phương trình c a h ta ñư c phương trình có d ng:
(x – y).f(x,y) = 0 ⇔ x – y = 0 ho c f(x,y) = 0.
2 1
2x = y +
x 3 + xy 2 = 40 y
x 2 y − 4 = y 2
y
Ví d 3.Gi i các h phương trình 3 2
y + x y = 40 x
2
xy − 4 = x
2
2 y 2 = x + 1
x
2 x + y − 1 = m
x = y − y + m
2
Ví d 4.Tìm m ñ h sau có nghi m:
2 y + x − 1 = m
y = x 2 − x + m
Nguy n ð c Tu n l p 44C1 ð i h c Th y l i Hà n i 6
T ôn luy n thi ñ i h c môn toán
Bài 5: M T S H PHƯƠNG TRÌNH D NG KHÁC
I. H vô t
x 2 + y 2 + 2 xy = 8 2
Ví d 1. Gi i h phương trình
x+ y =4
x + y + xy = a
Ví d 2. Gi i và bi n lu n
x − y = a
x+ y + x− y =2
Ví d 3. Gi i h phương trình
y + x − y − x =1
x − 2−y = 2
Ví d 4. Gi i h phương trình
2−x + y = 2
x +1 + y = m
Ví d 5. Tìm m ñ h có nghi m
y +1 + x = 1
II. H h u t
3 2y
x 2 + y2 −1 + x = 1
Ví d 6. Gi i h phương trình
x 2 + y 2 + 4 x = 22
y
x 3 − y 3 = 7
Ví d 7. Gi i h phương trình
xy( x − y) = 2
x + 4 y = y + 16 x
3 3
Ví d 8. Gi i h phương trình
1 + y 2 = 5(1 + x 2 )
x − y = a (1 + xy)
Ví d 9. Tìm a ñ h có nghi m
xy + x + y + 2 = 0
2 y ( x 2 − y 2 ) = 3x
Ví d 10. Gi i h phương trình
x ( x 2 + y 2 ) = 10 y
x + y = m
Ví d 11.Tìm m ñ h có hai nghi m phân bi t: 2
x − y + 2x = 2
2
x − xy − y = −11
2 2
Ví d 12. Gi i h phương trình 2
( x − y 2 ) xy = 180
x 3 − y 3 = 19( x − y)
Ví d 13. Gi i h phương trình 3
x + y 3 = 7( x + y)
==========================================================
Nguy n ð c Tu n l p 44C1 ð i h c Th y l i Hà n i 7
T ôn luy n thi ñ i h c môn toán
Chương 2: Phương trình lư ng giác, mũ, logarit
Bài 1: PHƯƠNG TRÌNH LƯ NG GIÁC
I. Phương trình lư ng giác cơ b n
Khi gi i các phương trình lư ng giác cu i cùng d n ñ n phép gi i các phương trình
lư ng giác cơ b n. Ta c n ghi nh b ng sau ñây:
Phương trình ði u ki n có nghi m ðưa v d ng Nghi m
sinx = m −1 ≤ m ≤ 1 sinx = sin α x = α + k 2π
x = π − α + k 2π
cosx = m −1 ≤ m ≤ 1 cosx = cos α ± α + k2 π
tgx = m m im tgx = tg α α + kπ
cotgx = m m im cotgx = cotg α α + kπ
b ng trên k nh n m i giá tr nguyên ( k ∈ Z ) . ðơn v góc thư ng dùng là radian.
ð thu n l i cho vi c ch n α ta c n nh giá tr c a hàm lư ng giác t i các góc ñ c bi t. ðư ng
tròn lư ng giác s giúp ta nh m t cách rõ ràng hơn.
Nguy n ð c Tu n l p 44C1 ð i h c Th y l i Hà n i 8
T ôn luy n thi ñ i h c môn toán
Ví d 1. Gi i phương trình:
2 π
a) sin3x = ; b) sin(2x - ) = 1; c) sin( xπ ) = 0.
2 5
Ví d 2. Gi i phương trình:
π π π π
a) cos2x = cos ; b) cos(3x - ) = cos(x + ); c) cosx = sin(2x + ).
5 3 2 4
π 8π
Ví d 3. Gi i phương trình: cos 2 ( cos x − ) = 0 .
3 3
Ví d 4. Gi i phương trình: cos(π sin x ) = cos(3π sin x )
Ví d 5. Gi i phương trình: cos 2 x − sin 2 ( 2 x ) = 1
II. Phương trình b c nh t ñ i v i sinx và cosx: asinx + bcosx = c (1) , a 2 + b 2 ≠ 0
Chia hai v c a phương trình (1) cho a 2 + b 2 , ta ñư c:
a b c
(1) ⇔ sin x + cos x = (2)
a +b
2 2
a +b
2 2
a + b2
2
a b
ð t = sin ϕ ; = cos ϕ .
a +b
2 2
a + b2
2
c
Khi ñó phương trình lư ng giác có d ng: cos(x - ϕ ) = (3)
a + b2
2
c
Phương trình có nghi m khi và ch khi: ≤ 1 ⇔ a 2 +b2 ≥ c2
a +b
2 2
Khi ñó t n t i α ∈ [0; π] sao cho cos α =
c
nên ta có:
a + b2
2
(1) ⇔ cos( x − ϕ) = cos α ⇔ x = ϕ ± α + k 2π ; k ∈ Z
Ví d 6. Gi i phương trình: 2sin4x + 3 sinx = cosx.
Ví d 7. Cho phương trình: sinx + mcosx = 1
a) Gi i phương trình v i m = - 3 .
b) Tìm m ñ phương trình vô nghi m.
Ví d 8. Gi i phương trình: cos 2 x + 2 3 sin x cos x + 3 sin 2 x = 1
Ví d 9. Tìm α ñ phương trình sau có nghi m x ∈ IR:
3 cos x + sin( x + α) = 2
Ví d 10. Gi i phương trình: sin 8x − cos 6 x = 3 (sin 6 x + cos 8x ).
π
Ví d 11. Tìm m ñ phương trình sau có nghi m x ∈ 0; :
2
cos2x – msin2x = 2m – 1
Ví d 12. Gi i phương trình: sin8x – cos6x = 3 (sin6x + cos8x).
1
Ví d 13. Gi i phương trình: cos 2 4 x − cos x. cos 4 x − sin 2 x + = 0
4
Nguy n ð c Tu n l p 44C1 ð i h c Th y l i Hà n i 9
T ôn luy n thi ñ i h c môn toán
III. Phương trình ñ ng c p, phương trình ñ i x ng ñ i v i sinx và cosx
1) Phương trình ñ ng c p b c cao ñ i v i sinx và cosx:
Khái ni m: M t phương trình sau khi bi n ñ i v cosx, sinx mà t t c các s
h ng có t ng s mũ c a cosx và c a sinx ho c ñ u là s t nhiên ch n ho c ñ u là s t
nhiên l thì phương trình ñó ñư c g i là “ ñ ng c p” ñ i v i cosx và sinx. G i k là s l n
nh t trong các t ng s mũ nói trên ñư c g i là b c c a phương trình.
Cách gi i: - Xét trư ng h p cosx = 0 th vào phương trình
- Khi cos x ≠ 0 chia hai v phương trình cho coskx sau ñó ñ t
n ph t = tgx.
Ví d 14. Gi i phương trình: 2sin3x = cosx
π
Ví d 15. Gi i phương trình: sin 3 ( x + ) = 2 sin x
4
Ví d 16. Tìm m ñ phương trình có nghi m:
msin2x + cos2x + sin2x +m = 0.
π π
Ví d 17: Tìm m ñ phương trình sau có ñúng hai nghi m x n m trong kho ng − ; :
2 2
3sin4x – 2(m+2)sin2x.cos2x + (1 – m2 )cos4x = 0.
2) Phương trình ñ i x ng sinx và cosx:
Khái ni m: M t phương trình sau khi bi n ñ i v cosx, sinx mà các s h ng có
ch a t ng (cosx ± sinx ) ho c ch a tích cosx.sinx ñư c g i là phương trình ñ i x ng ñ i
v i cosx và sinx. Ví d phương trình: a (cos x ± sin x ) + b cos x. sin x + c = 0 .
t 2 −1
Cách gi i: ð t t = sinx + cosx, ta có t ≤ 2 . Khi ñó: sinx.cosx =
2
1− t2
N u ñ t t = sinx - cosx, ta có t ≤ 2 . Khi ñó: sinx.cosx =
2
Ví d 18. Cho phương trình: sinx.cosx = 6 ( sinx + cosx + m).
a) Gi i h phương trình v i m = - 1.
b) Tìm m ñ phương trình có nghi m.
3
Ví d 19. Gi i phương trình: 1 + sin 3 x + cos3 x = sin 2 x
2
3
Ví d 20. Gi i phương trình: 1 + sin 3 2 x + cos 3 2x = sin 4x
2
π 3π
Ví d 21. Tìm m ñ phương trình sau có nghi m x∈ , :
4 4
cos x + sin x = m.
3 3
Nguy n ð c Tu n l p 44C1 ð i h c Th y l i Hà n i 10
T ôn luy n thi ñ i h c môn toán
IV. Phương trình ñưa v d ng tích
Các phương trình lư ng giác không có d ng như nh ng phương trình ñã trình bày các
m c trư c, ngư i ta thư ng nghĩ t i phân tích chúng thành nh ng phương trình cơ b n.
Vi c phân tích thành tích th c ch t là ñi tìm th a s chung c a các s h ng có trong
phương trình. ð làm ñư c ñi u ñó, chúng ta c n ph i thành th o các công th c lư ng giác, các
h ng ñ ng th c ñ i s ñáng nh và cũng c n ph i có kinh nghi m nhìn nh n m i quan h gi a
các s h ng có trong phương trình.
1 1
• Th các nghi m ñ c bi t như sin x = ±1 , sin x = ± , cos x = ±1 , cos x = ±
2 2
và phương trình có ch a th a s (cosx ± sinx). S d ng ñ ng th c sin x + cos x 2 2
= 1.
• Dùng các công th c bi n ñ i như h b c, bi n ñ i t ng thành tích , bi n ñ i tích
thành t ng, hàm s lư ng giác c a hai góc có liên quan ñ c bi t. Chú thêm m t
s bi n ñ i sau ñây:
2 1
cot gx + tgx = , cot gx − tgx = 2 cot g 2 x , cot gx − cot g 2x =
sin 2 x sin 2 x
• ð t các nhân t chung (nhân t chung suy ra t nghi m ñã th ñư c).
Tham kh o thêm b ng h các bi u th c có nhân t chung.
f(x) Bi u th c ch a th a s f(x)
sinx sin2x, tgx, tg2x, ...
cosx sin2x, tg2x, cotgx, ...
1+cosx x x
cos 2 , cot g 2 , sin2x, tg2x
2 2
1-cosx x x
sin 2 , tg 2 , sin2x, tg2x
2 2
1+sinx π x π x
cos2x, cotg2x, cos 2 ( − ) , sin 2 ( + )
4 2 4 2
1-sinx π x π x
cos2x, cotg2x, cos 2 ( + ) , sin 2 ( − )
4 2 4 2
sinx+cosx cos2x, cotg2x, 1+ sin2x, 1+ tgx, 1+ cotgx, tgx - cotgx
sinx-cosx cos2x, cotg2x, 1 - sin2x, 1 - tgx, 1 - cotgx, tgx - cotgx
Ví d 1.Gi i phương trình: cos3x – 2cos2x + cosx = 0 .
3
Ví d 2.Gi i phương trình: sin2x + sin22x + sin23x =
2
1
Ví d 3.Gi i phương trình: cos3x.cos4x + sin2x.sin5x = ( cos2x + cos4x).
2
Ví d 4.Gi i phương trình: 2sin3x + cos2x + cosx = 0
Ví d 5.Gi i phương trình: sin4x – cos4x = 1 + 4(sinx – cosx)
1 + tgx
Ví d 6.Gi i phương trình: = 1 + sin 2 x
1 − tgx
π x
Ví d 7.Gi i phương trình sin x. cos 4 x − sin 2 2 x = 4 sin 2 − .
4 2
Nguy n ð c Tu n l p 44C1 ð i h c Th y l i Hà n i 11
T ôn luy n thi ñ i h c môn toán
Bài 2: PHƯƠNG TRÌNH, H PHƯƠNG TRÌNH MŨ, LOGARIT
I. Các k t qu cơ b n
1) Hàm s mũ: y = ax, 0 < a ≠ 1.
• T p xác ñ nh: IR.
• T p giá tr : IR+. (ñ th luôn n m phía trên tr c hoành)
• Khi a > 1 hàm s ñ ng bi n.
Khi 0 < a < 1 hàm s ngh ch bi n.
• D ng ñ th :
2) Hàm s logarit: y = logax , 0 < a ≠ 1.
a) Các tính ch t:
• T p xác ñ nh: IR* (x > 0 ).
• T p giá tr : IR
• Khi a > 1 hàm s ñ ng bi n.
Khi 0 < a < 1 hàm s ngh ch bi n.
• D ng ñ th :
Chú ý: Trong các b t phương trình mũ, logarit, cơ s a l n hơn hay bé
hơn 1 quy t ñ nh chi u c a b t phương trình. Vì v y ph i chú ý ñ n chi u c a b t phương trình
trong quá trình bi n ñ i.
Nguy n ð c Tu n l p 44C1 ð i h c Th y l i Hà n i 12
T ôn luy n thi ñ i h c môn toán
b)Các công th c chú ý:
b > 0
• log a b có nghĩa ⇔
0 < a ≠ 1
log c b
• log a b = ( Công th c ñ i cơ s v i b > 0 , 0 < a ≠ 1 , 0 < c ≠ 1 ).
log c a
m
• log a n b m = log a b ( V i b > 0 và 0 < a ≠ 1 )
n
• log a b 2 k = 2k. log a | b | v i k∈Z.
II. Các phương trình, b t phương trình có d ng cơ b n
1) Phương trình mũ:
Cho 0 < a ≠ 1.
b > 0
D ng 1: a f ( x ) = b ⇔
f ( x ) = log a b
a > 1
f ( x ) < log a b
D ng 2: a f ( x ) < b (v i b > 0) ⇔
0 < a < 1
f ( x ) > log a b
D ng 3: a f ( x ) > b
- N u b ≤ 0 b t phương trình nghi m ñúng v i m i x thu c t p xác ñ nh
c a b t phương trình.
a > 1
f ( x ) > log a b
- N u b > 0, khi ñó b t phương trình tương ñương v i:
0 < a < 1
f ( x ) < log a b
a > 1
f ( x ) < g ( x )
D ng 4: a f ( x ) < a g ( x ) ⇔
0 < a < 1
f ( x ) > g ( x )
Nguy n ð c Tu n l p 44C1 ð i h c Th y l i Hà n i 13
T ôn luy n thi ñ i h c môn toán
2)Phương trình logarit
D ng 1: log a f ( x ) = b ⇔ f ( x ) = a b .
a > 1
0 < f ( x ) < a
b
D ng 2: log a f ( x ) < b ⇔
0 < a a b
a > 1
f ( x ) > a
b
D ng 3: log a f ( x ) > b ⇔
0 < a 1
0 < f ( x ) < g ( x )
D ng 4: log a f ( x ) < log a g ( x ) ⇔
0 < a < 1
0 < g ( x ) < f ( x )
x 2 −4 x +3
1
Ví d 1. Cho phương trình: = m4 − m2 + 1
5
a)Gi i phương trình khi m = 1.
b)Tìm m ñ phương trình có 4 nghi m phân bi t.
Ví d 2. Gi i b t phương trình: log x (5x 2 − 8x + 3) > 2
Ví d 3. Tìm m ñ phương trình sau có hai nghi m phân bi t: log 2 (9 x + 9m 3 ) = x
Ví d 4. Gi i phương trình:
log x (cos x − sin x ) + log 1 (cos x + cos 2 x ) = 0
x
Ví d 5. Gi i b t phương trình: [ ]
log x log 3 (9 x − 72) ≤ 1
Ví d 6. Gi i b t phương trình: log 1 ( 5 − x ) < log 1 (3 − x )
3 3
Nguy n ð c Tu n l p 44C1 ð i h c Th y l i Hà n i 14
T ôn luy n thi ñ i h c môn toán
III. Các phương trình, b t phương trình không cơ b n
• Ph i ñ t ñi u ki n.
• Nh ng bài toán có tham s , ñ t n ph ph i tìm t p xác ñ nh c a n m i.
• Nh ng bài toán phương trình, b t phương trình mũ, logarit mà n x v a s
mũ c a lũy th a, v a h s , thư ng chuy n v vi c phân tích thành th a s ,
nh m nghi m và ch ng minh nghi m duy nh t ñ i v i phương trình; xét d u
c a tích ñ i v i b t phương trình.
• Khi bài toán ph c t p, có nh ng ph n t gi ng nhau hay nhân t gi ng nhau
ta có th ñ t n ph ñ ñưa bài toán tr lên ñơn gi n hơn.
1 1
Ví d 7. Gi i phương trình: 3.4 x + 9 x + 2 = 6.4 x +1 − 9 x +1
3 4
Ví d 8. Gi i phương trình: 8.3x + 3.2 x = 24 + 6 x
log a (35 − x 3 )
Ví d 9. Gi i b t phương trình: > 3 (v i 0 < a ≠ 1 ).
log a (5 − x )
x −1
Ví d 10. Gi i phương trình: log 27 ( x 2 − 5x + 6) 3 = log 3 + log 9 ( x − 3)
2
2
Ví d 11. Gi i phương trình: lg(lg x ) + lg(lg x 3 − 2) = 0
Ví d 12. Gi i phương trình:
x 2 . log 6 5x 2 − 2 x − 3 − x. log 1 (5x 2 − 2 x − 3) = x 2 + 2 x
6
1
Ví d 13. Gi i b t phương trình: log 3 x 2 − 5x + 6 + log 1 x − 2 > log 1 ( x + 3)
3 2 3
Ví d 14. Gi i phương trình: log 1 ( x − 1) + log 1 ( x + 1) − log 1 (7 − x ) = 1
2 2 2
Ví d 15. Gi i phương trình: lg 4 ( x − 1) 2 + lg 2 ( x − 1)3 = 25
Ví d 16. Gi i phương trình: log 3x + 7 (9 + 12 x + 4 x 2 ) + log 2 x + 3 (6 x 2 + 23x + 21) = 4
Ví d 17. Tìm m ñ phương trình sau ñây có hai nghi m trái d u:
(m + 3)16 x + (2m − 4)4 x + m + 1 = 0
Nguy n ð c Tu n l p 44C1 ð i h c Th y l i Hà n i 15
T ôn luy n thi ñ i h c môn toán
Chương 3: Kh o sát hàm s và các bài toán liên quan
Bài 1: KH O SÁT HÀM S
Sơ ñ kh o sát hàm s
1) Tìm t p xác ñ nh c a hàm s (Xét tính ch n l , tính tu n hoàn (n u có)).
2) Kh o sát s bi n thiên hàm s
a) Xét chi u bi n thiên c a hàm s
• Tính ñ o hàm
• Tìm các ñi m t i h n
(ði m t i h n thu c TXð và t i ñó f ′( x ) không xác ñ nh ho c b ng 0)
• Xét d u c a ñ o hàm trong các kho ng xác ñ nh b i các ñi m t i h n.
(Gi a hai ñi m t i h n k nhau thì f ′( x ) gi nguyên m t d u)
• Suy ra chi u bi n thiên hàm s trong m i kho ng
(ð ng bi n n u f ′( x ) >0, ngh ch bi n n u f ′( x ) T ôn luy n thi ñ i h c môn toán
BÀI 2: CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ð N KH O SÁT HÀM S
I. Tìm giao ñi m c a hai ñư ng
Gi s hàm s y = f ( x ) có ñ th là (C) và hàm s y = g ( x ) có ñ th là (C1 ) . Rõ ràng
M o ( x o ; y o ) là giao ñi m c a (C) và (C1 ) khi và ch khi ( x o ; y o ) là nghi m c a h phương trình
y = f (x )
y = g(x
Do ñó ñ tìm hoành ñ các giao ñi m c a (C) và (C1 ) ta gi i phương trình: f ( x ) = g( x ) (1)
S nghi m c a phương trình chính là s giao ñi m c a hai ñ th (C) và (C1 ) .
N u x o , x1 ,... là các nghi m c a (1) thì các ñi m M o ( x o ; f ( x o )), M1 ( x1 ; f ( x1 ))... là các
giao ñi m c a (C) và (C1 ) .
Bài toán: Tìm m ñ ñ th hàm s c t ñư ng th ng t i m t s ñi m th a mãn yêu c u bài toán.
Ví d 1. Bi n lu n theo m s giao ñi m c a ñ th các hàm s
x 2 − 6x + 3
y= và y = x−m
x+2
Ví d 2. Bi n lu n s nghi m c a phương trình x 3 + 3x 2 − 2 = m
x 2 + x −1
Ví d 3. V i giá tr nào c a k thì ñư ng th ng y = kx − k + 2 c t ñ th hàm s y =
x −1
t i hai ñi m phân bi t.
x 2 + 4x + 3
Ví d 4. Tìm k ñ ñư ng th ng y = kx + 1 c t ñ th y = t i hai ñi m phân bi t
x+2
x2 + x −1
Ví d 5. Tìm m ñ ñư ng th ng y = − x + m c t ñ th y = t i hai ñi m phân bi t
x −1
mx 2 + x + m
Ví d 6. Tìm m ñ ñ th hàm s y = c t tr c hoành t i 2 ñi m phân bi t có hoành
x −1
ñ dương.
− x 2 + 3x − 3
Ví d 7. Tìm m ñ ñư ng th ng y = m c t ñ th hàm s y = t i hai ñi m A và B
2( x − 1)
sao cho ñ dài ño n AB = 1.
Ví d 8. Tìm m ñ ñ th y = x 3 + 3x 2 + mx + 1 c t ñư ng th ng y = 1 t i 3 ñi m phân bi t.
1 2
Ví d 9 . Tìm m ñ ñ th y = x 3 − mx 2 − x + m + c t tr c hoành t i 3 ñi m phân bi t.
3 3
1
Ví d 10. Tìm a ñ ñư ng th ng y = a ( x + 1) + 1 c t ñ th hàm s y = x + 1 + t i hai ñi m
x+2
có hoành ñ trái d u.
Nguy n ð c Tu n l p 44C1 ð i h c Th y l i Hà n i 17
T ôn luy n thi ñ i h c môn toán
II. Vi t phương trình ti p tuy n
Cho hàm s y = f(x) có ñ th (C)
a) Phương trình ti p tuy n c a ñư ng cong (C) t i ñi m M o ( x o ; f ( x o ))
y − y o = f ′( x o )( x − x o )
b) Phương trình ñư ng th ng ñi qua ñi m M1 ( x1 ; y1 ) và ti p xúc v i (C)
ðư ng th ng d ñi qua M1 ( x1 ; y1 ) có d ng y − y1 = k ( x − x1 ) ⇔ y = k ( x − x1 ) + y1
ð cho ñư ng th ng d ti p xúc v i (C), h phương trình sau ph i có nghi m:
y = k ( x − x1 ) + y1
f ′( x ) = k
H phương trình này cho phép xác ñ nh hoành ñ x o c a ti p ñi m và h s góc k = f ′( x )
Chú ý: Hai ñ th hàm s y = f ( x ) và y = g ( x ) ti p xúc v i nhau n u và ch n u h
phương trình sau ñây có nghi m:
f ( x ) = g ( x )
f ′( x ) = g′( x )
c) Phương trình ñư ng th ng có h s góc k và ti p xúc (C).
Phương trình ñư ng th ng có h s góc k có d ng y = kx + b ti p xúc v i ñ th (C), ta gi i
phương trình f ′( x ) = k tìm ñư c hoành ñ các ti p ñi m x o , x1 , x 2 ,... T ñó suy ra phương
trình các ti p tuy n ph i tìm:
y − y i = k ( x − x i ) ( i = 0, 1, ...)
Bài toán : Vi t phương trình ti p tuy n c a hàm s khi bi t phương c a ti p tuy n ho c ñi qua
m t ñi m cho trư c nào ñó.
Ví d 1. Vi t phương trình ti p tuy n c a ñ th (C) c a hàm s y = (2 − x 2 ) 2 bi t ti p
tuy n ñó ñi qua ñi m A(0 ; 4)
1
Ví d 2. Vi t phương trình các ñư ng th ng vuông góc v i ñư ng th ng y = x + 3 và ti p xúc
4
v i ñ th hàm s y = f ( x ) = − x 3 + 3x 2 − 4 x + 2
Ví d 3. Vi t phương trình ti p tuy n c a ñ th (C) c a hàm s y = − x 3 + 3x + 1 bi t ti p tuy n
ñó song song v i ñư ng th ng y = −9 x + 1
Ví d 4. T g c t a ñ có th k ñư c bao nhiêu ti p tuy n c a ñ th hàm s
y = x 3 + 3x 2 + 1 Vi t phương trình các ti p tuy n ñó.
Nguy n ð c Tu n l p 44C1 ð i h c Th y l i Hà n i 18
T ôn luy n thi ñ i h c môn toán
1 3
Ví d 5. Cho hàm s y = − x 4 − 3x 2 + có ñ th là (C)
2 2
a) Vi t phương trình ti p tuy n c a ñ th (C) t i các ñi m u n.
3
b) Tìm ti p tuy n c a (C) ñi qua ñi m A (0; )
2
Ví d 6. Cho hàm s
3x + 2
y= có ñ th là (C).
x+2
Ch ng minh r ng, không có ti p tuy n nào c a ñ th (C) ñi qua giao ñi m c a hai ti m c n c a
ñ th ñó.
Ví d 7. Cho hàm s
1
y=x− có ñ th là (C)
x +1
Ch ng minh r ng trên (C) t n t i nh ng c p ñi m mà ti p tuy n t i ñó song song v i nhau.
Ví d 8. Cho hàm s
x 2 + mx − 2m − 4
y= có ñ th (C)
x+2
Gi s ti p tuy n t i M ∈ (C) c t hai ti m c n t i P và Q. Ch ng minh r ng MP=MQ
x 2 − 4x + 5
Ví d 9. Vi t phương trình ti p tuy n v i ñ th hàm s y = bi t r ng ti p tuy n ñi
x−2
qua ñi m A(1;1).
x 2 − x −1
Ví d 10. Vi t phương trình ti p tuy n c a ñ th y = bi t ti p tuy n song song v i
x +1
ñư ng th ng y = − x .
x 2 − x −1
Ví d 11. Cho hàm s y = có ñ th là (C)
x +1
Tìm t t c các ñi m trên tr c tung mà t ñó có th k ñư c 2 ti p tuy n v i ñ th (C)
x 2 + 3x + a
Ví d 12. Tìm a ñ ñ th y = có ti p tuy n vông góc v i ñư ng th ng y = x.
x +1
Ví d 13. Tìm m ñ ñ th y = 2mx 3 − ( 4m 2 + 1) x 2 + 4m 2 ti p xúc v i tr c hoành.
mx 2 + 3mx + 2m + 1
Ví d 14. Tìm m ñ ñ th y = ti p xúc v i ñư ng th ng y = m.
x+2
Ví d 15. Tìm a ñ ti m c n xiên c a ñ th
2 x 2 + (a + 1) x − 3
y=
x+a
ti p xúc v i parabôn y = x 2 + 5 .
Nguy n ð c Tu n l p 44C1 ð i h c Th y l i Hà n i 19
