Slide bài giảng toán A 3 Đại học
Giáo trình Toán cao câp A3 – Nguyen Phú Vinh – ðHCN TP. HCM.
2. Ngân hàng câu hỏi Toán cao câp – Nguyen Phú Vinh – ðHCN TP.HCM.
3. Giảii tích hàm nhiêu biên (Toán 3) – Đỗ Công Khanh (chủ biên) – NXBĐHQG TP. HCM.
4. Giải tích hàm nhiêu biên (Toán 4) – Đỗ Công Khanh (chủ biên) – NXBĐHQG TP. HCM.
5. Phép tính Vi tích phân (tap 2) – Phan Quôc Khánh – NXB Giáo d c.
6. Phép tính Giải tích hàm nhiều biến– Nguyễn Đình Trí (chủ biên) – NXB Giáo dục.
7. Tích phân hàm nhiêu biên – Phan...
ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài gi ng Toán A3DH
TOÁN CAO C P A 3 ð I H C
Tài li u tham kh o:
1. Giáo trình Toán cao c p A3 – Nguy n Phú Vinh – ðHCN TP. HCM.
2. Ngân hàng câu h i Toán cao c p – Nguy n Phú Vinh – ðHCN TP.HCM.
3. Gi i tích hàm nhi u bi n (Toán 3) – ð Công Khanh (ch biên) – NXBðHQG TP. HCM.
4. Gi i tích hàm nhi u bi n (Toán 4) – ð Công Khanh (ch biên) – NXBðHQG TP. HCM.
5. Phép tính Vi tích phân (t p 2) – Phan Qu c Khánh – NXB Giáo d c.
6. Phép tính Gi i tích hàm nhi u bi n – Nguy n ðình Trí (ch biên) – NXB Giáo d c.
7. Tích phân hàm nhi u bi n – Phan Văn H p, Lê ðình Th nh – NXB KH và K thu t.
8. Bài t p Gi i tích (t p 2) – Nguy n Th y Thanh – NXB Giáo d c.
Chương 1. HÀM S NHI U BI N S
§1. KHÁI NI M CƠ B N
1.1. ð nh nghĩa
• Cho D ⊂ ℝ 2 . Tương ng f : D → ℝ ,
( x, y ) ֏ z = f ( x, y )
duy nh t, ñư c g i là hàm s 2 bi n x và y.
• T p D ñư c g i là MXð c a hàm s và
f ( D ) = {z ∈ ℝ z = f ( x, y ), ∀( x, y ) ∈ D} là mi n giá tr . Hình b
Hình a
– N u M(x, y) thì D là t p h p ñi m M trong ℝ 2 sao cho
– N u M(x, y) thì D là t p h p ñi m M trong ℝ 2 sao cho
f(M) có nghĩa, thư ng là mi n liên thông (n u M, N thu c
f(M) có nghĩa, thư ng là t p liên thông. (T p liên thông D
mi n D mà t n t i 1 ñư ng n i M v i N n m hoàn toàn
là t n t i ñư ng cong n i 2 ñi m b t kỳ trong D n m hoàn
trong D thì D là liên thông-Hình a)).
toàn trong D).
– Tr trư ng h p D = ℝ 2 , D thư ng ñư c gi i h n b i 1 VD 1.
ñư ng cong kín ∂D (biên) ho c không. Mi n liên thông D Hàm s z = f(x, y) = x3y + 2xy2 – 1 xác ñ nh trên ℝ 2 .
là ñơn liên n u D ñư c gi i h n b i 1 ñư ng cong kín (Hình VD 2. Hàm s z = f ( x, y ) = 4 − x 2 − y 2 có MXð là hình
a); ña liên n u ñư c gi i h n b i nhi u ñư ng cong kín r i
tròn ñóng tâm O(0; 0), bán kính R = 2.
nhau t ng ñôi m t (Hình b).
– D là mi n ñóng n u M ∈ ∂D ⇒ M ∈ D , mi n m
VD 3. Hàm s z = f ( x, y ) = ln(4 − x 2 − y 2 ) có MXð là
n u M ∈ ∂D ⇒ M ∉ D .
hình tròn m tâm O(0; 0), bán kính R = 2.
Chú ý
• Khi cho hàm s f(x, y) mà không nói gì thêm thì ta hi u
VD 4. Hàm s z = f ( x, y ) = ln(2 x + y − 3) có MXð là n a
MXð D là t p t t c (x, y) sao cho f(x, y) có nghĩa.
• Hàm s n bi n f(x1, x2,…, xn) ñư c ñ nh nghĩa tương t . mp m biên d: 2x + y – 3 không ch a O(0; 0).
1.2. Gi i h n c a hàm s hai bi n – Hàm s liên t c Nh n xét
• N u khi M n → M 0 trên 2 ñư ng khác nhau mà dãy
• Dãy ñi m Mn(xn; yn) d n ñ n ñi m M0(x0; y0) trong ℝ 2 ,
ký hi u M n → M 0 hay ( xn ; yn ) → ( x0 ; y0 ) , khi n → +∞ {f(xn, yn)} có hai gi i h n khác nhau thì ∃ lim f ( M ) .
M →M0
n u lim d ( M n , M 0 ) = lim ( xn − x0 ) + ( yn − y0 ) = 0 . 2 2
n →∞ n →∞
2 x 2 y − 3x − 1
VD 5. Cho f ( x, y ) = lim f ( x, y ) .
, tính
• Cho hàm s f(x, y) xác ñ nh trong mi n D (có th không xy 2 + 3 ( x , y ) → (1, −1)
ch a M0), ta nói L là gi i h n c a f(x, y) khi ñi m M(x, y)
d n ñ n M0 n u m i dãy ñi m Mn (Mn khác M0) thu c D
xy
VD 6. Cho f ( x, y ) =
d n ñ n M0 thì lim f ( xn , yn ) = L . lim f ( x, y ) .
, tính
x + y2 ( x , y ) → (0,0)
n →∞ 2
f ( x, y ) = lim f ( M ) = L .
lim
Ký hi u:
( x , y ) →( x0 , y0 ) M →M0
• Hàm s f(x, y) liên t c trong D n u liên t c t i m i ñi m
3xy
f ( x, y ) =
VD 7. Cho hàm s . M thu c D. Hàm s f(x, y) liên t c trong mi n ñóng gi i n i
x + y2 2
D thì ñ t giá tr l n nh t và nh nh t trong D.
lim f ( x, y ) không t n t i.
Ch ng t
( x , y ) → (0,0)
VD 8. Xét tính liên t c c a hàm s :
xy
• Hàm s f(x, y) xác ñ nh trong D ch a M0, ta nói f(x, y) , ( x, y ) ≠ (0, 0)
f ( x, y ) = x 2 + y 2
lim f ( x, y ) và
liên t c t i M0 n u t n t i .
( x , y ) → ( x0 , y0 )
0, ( x, y ) = (0,0)
f ( x , y ) = f ( x0 , y 0 ) .
lim
( x , y ) → ( x0 , y0 )
Trang 1
ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài gi ng Toán A3DH
§2. ð O HÀM RIÊNG – VI PHÂN
2.1. ð o hàm riêng • Tương t ta có ñ o hàm riêng theo y t i (x0, y0) là:
f ( x0 , y0 + ∆y ) − f ( x0 , y0 )
a) ð o hàm riêng c p 1
f y/ ( x0 , y0 ) = lim .
∆y
∆y →0
• Cho hàm s f(x, y) xác ñ nh trên D ch a M0(x0, y0). N u
VD 1. Tính các ñ o hàm riêng c a z = x4 – 3x3y2 + 2y3 –
hàm s 1 bi n f(x, y0) (y0 là h ng s ) có ñ o hàm t i x = x0
3xy t i (–1; 2).
thì ta g i ñ o hàm ñó là ñ o hàm riêng theo bi n x c a f(x,
VD 2. Tính các ñ o hàm riêng c a f(x, y) = xy (x > 0).
y) t i (x0, y0).
x
∂f VD 3. Tính các ñ o hàm riêng c a z = cos t i (π ; 4) .
Ký hi u: f x ( x0 , y0 ) hay f x/ ( x0 , y0 ) hay ( x0 , y0 ) . y
∂x
• V i hàm n bi n ta có ñ nh nghĩa tương t .
f ( x0 + ∆x, y0 ) − f ( x0 , y0 )
V y f x/ ( x0 , y0 ) = lim . VD 4. Tính các ñ o hàm riêng c a f ( x, y , z ) = e x y sin z .
2
∆x
∆x → 0
b) ð o hàm riêng c p cao VD 5. Tính các ñ o hàm riêng c p hai c a
z = x 3e y + x 2 y 3 − y 4 t i ( −1; 1) .
• Các hàm s fx, fy có các ñ o hàm riêng (fx)x, (fy)y, (fx)y,
(fy)x ñư c g i là các ñ o hàm riêng c p hai c a f. −y
VD 6. Tính các ñ o hàm riêng c p hai c a f ( x, y ) = xe x
2
.
∂ ∂f ∂2 f
( f x ) x = f xx = f x/2/ = = 2 ,
Ký hi u:
∂x ∂x ∂x
• Các ñ o hàm riêng c p hai c a hàm n bi n và ñ o hàm
∂ ∂f ∂ 2 f
(f ) riêng c p cao hơn ñư c ñ nh nghĩa tương t .
= f yy = f = = 2 ,
//
∂y ∂y ∂y
y2
y y
ð nh lý (Schwarz)
∂ ∂f ∂ 2 f
( fx )y = f xy = f xy = =
//
,
∂y ∂x ∂y∂x • N u hàm s f(x, y) có các ñ o hàm riêng fxy và fyx liên t c
∂ ∂f ∂ 2 f trong mi n D thì fxy = fyx.
(f ) = f yx = f = =
//
.
∂x ∂y ∂x∂y
y yx
x
• Hàm s f(x, y) kh vi trên mi n D n u f(x, y) kh vi t i
2.2. Vi phân
m i (x, y) thu c D.
a) Vi phân c p 1
• Cho hàm s f(x, y) xác ñ nh trong D ⊂ ℝ 2 và
M 0 ( x0 , y 0 ) ∈ D , M ( x0 + ∆ x , y 0 + ∆ y ) ∈ D . Nh n xét
N u s gia ∆f ( x0 , y0 ) = f ( x0 + ∆x, y0 + ∆y ) − f ( x0 , y0 ) có
• N u f(x, y) kh vi t i M0 thì f(x, y) liên t c t i M0.
th bi u di n dư i d ng: • T ∆f ( x0 , y0 ) = A.∆x + B.∆y + α∆x + β∆y , ta suy ra:
∆f ( x0 , y0 ) = A.∆x + B.∆y + α∆x + β∆y ,
f ( x0 + ∆x, y0 ) − f ( x0 , y0 ) = A.∆x + α∆x
trong ñó A, B là nh ng s không ph thu c ∆x, ∆y và
f ( x0 + ∆ x , y 0 ) − f ( x0 , y 0 )
α , β → 0 khi ( ∆x, ∆y ) → (0, 0) , ta nói f kh vi t i M0. = A,
⇒ lim
∆x
∆x →0
• Bi u th c A.∆x + B.∆y ñư c g i là vi phân c p 1 (toàn
f ( x0 , y 0 + ∆ y ) − f ( x0 , y 0 )
=B.
ph n) c a f(x, y) t i M0(x0, y0) ng v i ∆x, ∆y . tương t lim
∆y
∆y → 0
Ký hi u df(x0, y0).
V y df ( x0 , y0 ) = f x/ ( x0 , y0 ).∆x + f y/ ( x0 , y0 ).∆y hay
b) Vi phân c p cao
df ( x0 , y0 ) = f x/ ( x0 , y0 )dx + f y/ ( x0 , y0 )dy .
T ng quát: • Vi phân c p 2:
d 2 f ( x, y ) = d ( df ( x, y ) )
df ( x, y ) = f x/ ( x, y )dx + f y/ ( x, y )dy , ( x, y ) ∈ D .
.
= f x/2/ ( x, y )dx 2 + 2 f xy ( x, y )dxdy + f y// ( x, y )dy 2
VD 7. //
2
Tính vi phân c p 1 c a z = x 2 e x − y + xy 3 − y 5 t i (–1; 1).
−y
VD 8. Tính vi phân c p 1 c a f ( x, y ) = e x
2
sin( xy 2 ) . • Vi phân c p n:
n
d n f ( x, y ) = d n −1 ( df ( x, y ) ) = ∑ Cn f x(kny)n −k ( x, y )dx k dy n − k .
k
ð nh lý k =0
• N u hàm s f(x, y) có các ñ o hàm riêng liên t c t i M0
trong mi n D ch a M0 thì f(x, y) kh vi t i M0.
Trang 2
ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài gi ng Toán A3DH
VD 9. Tính vi phân c p 2 c a f ( x, y ) = x 2 y 3 + xy 2 − 3x 3 y 5 2.3. ð o hàm c a hàm s h p
• Cho hàm s f(u, v), trong ñó u = u(x) và v = v(x) là nh ng
t i (2; –1).
hàm s c a x. N u f(u, v) kh vi c a u, v và u(x), v(x) kh
VD 10. Tính vi phân c p 2 c a f ( x, y ) = ln( xy 2 ) .
df du dv df du dv
= f u/ . + f v/ . . V i , ,
vi c a x thì là các
dx dx dx dx dx dx
ng d ng vi phân c p 1 vào tính g n ñúng giá tr hàm
c)
ñ o hàm toàn ph n theo x.
s
• N u hàm s f(x, y) kh vi c a x, y và y = y(x) là hàm s
df dy
= f x/ + f y/ . .
f ( x0 + ∆ x , y 0 + ∆ y ) ≈ kh vi c a x thì
dx dx
.
≈ f ( x0 , y0 ) + f x/ ( x0 , y0 ).∆x + f y/ ( x0 , y0 ).∆y dz
VD 12. Cho z = u 2 − uv + 2v 2 , u = e − x , v = sin x . Tính .
1,02 dx
VD 11. Tính g n ñúng arctg .
df
0,97 VD 13. Cho f ( x, y ) = ln( x 2 + y 2 ), y = sin 2 x . Tính .
dx
2.4. ð o hàm c a hàm s n y
. Tính y ′ .
VD 17. Cho ln x 2 + y 2 = arctg
• Cho hai bi n x, y th a phương trình F(x, y) = 0 (*). x
N u y = y(x) là hàm s xác ñ nh trong 1 kho ng nào ñó sao • Cho hàm s n hai bi n z = f(x, y) xác ñ nh b i
cho khi th y(x) vào (*) ta ñư c ñ ng nh t th c thì y = y(x) F(x, y, z)) = 0, v i Fz/ ( x, y , z ) ≠ 0 ta có:
là hàm s n xác ñ nh b i (*).
• Fx/ ( x, y , z ) + Fz/ ( x, y , z ). z x ( x, y ) = 0
/
VD 14. Fx/ ( x, y, z )
⇒ z x ( x, y ) = −
/
Xác ñ nh hàm s n y(x) trong phương trình x2 + y2 – 4 = 0. ,
Fz/ ( x, y, z )
• ð o hàm hai v (*) theo x, ta ñư c:
• Fy/ ( x, y , z ) + Fz/ ( x, y , z ). z y ( x, y ) = 0
/
F / ( x, y )
Fx/ ( x, y ) + Fy/ ( x, y ). y ′ = 0 ⇒ y ′ = − x/ , Fy/ ( x, y ) ≠ 0 .
Fy/ ( x, y , z )
Fy ( x, y )
⇒ z y ( x, y ) = −
/
.
VD 15. Cho xy − e x + e y = 0 . Tính y ′ . Fz/ ( x, y , z )
VD 18. Cho xyz = cos( x + y + z ) . Tính z x , z y .
VD 16. Cho y 3 + ( x 2 + 1) y + x 4 = 0 . Tính y ′ .
/ /
§3. C C TR C A HÀM HAI BI N S
Chú ý. ði m M0 th a f x/ ( x0 , y0 ) = f y/ ( x0 , y0 ) = 0 ñư c g i
3.1. ð nh nghĩa
• Hàm s z = f(x, y) ñ t c c tr (ñ a phương) t i ñi m
là ñi m d ng, có th không là ñi m c c tr c a z.
M0(x0; y0) n u v i m i ñi m M(x, y) khá g n nhưng khác
b) ði u ki n ñ . Gi s f(x, y) có ñi m d ng là M0 và có
M0 thì hi u f(M) – f(M0) có d u không ñ i.
ñ o hàm riêng c p hai t i lân c n ñi m M0.
• N u f(M) – f(M0) > 0 thì f(M0) là c c ti u và M0 là ñi m
ð t A = f x// ( x0 , y0 ), B = f xy/ ( x0 , y0 ), C = f y// ( x0 , y0 ) .
/
c c ti u; f(M) – f(M0) < 0 thì f(M0) là c c ñ i và M0 là ñi m 2 2
c c ñ i. C c ñ i và c c ti u g i chung là c c tr . Khi ñó:
VD 1. Hàm s f(x, y) = x2 + y2 – xy ñ t c c ti u t i O(0; 0). + N u AC – B2 > 0 và A > 0 thì hàm s ñ t c c ti u t i
ñ i m M 0;
3.2. ð nh lý AC – B2 > 0 và A < 0 thì hàm s ñ t c c ñ i t i ñi m M0.
a) ði u ki n c n + N u AC – B2 < 0 thì hàm s không có c c tr (ñi m M0
• N u hàm s z = f(x, y) ñ t c c tr t i M0(x0, y0) và t i ñó ñư c g i là ñi m yên ng a).
+ N u AC – B2 = 0 thì chưa th k t lu n hàm s có c c tr
hàm s có ñ o hàm riêng thì:
f x/ ( x0 , y0 ) = f y/ ( x0 , y0 ) = 0 . hay không (dùng ñ nh nghĩa ñ xét).
+ N u ∆ < 0 thì k t lu n hàm s không ñ t c c tr .
3.3. C c tr t do
+ N u ∆ = 0 thì không th k t lu n (trong chương trình h n
Cho hàm s z = f(x, y). ð tìm c c tr c a f(x, y) trên MXð
D, ta th c hi n các bư c sau: ch lo i này).
Bư c 1. Tìm ñi m d ng M0(x0; y0) b ng cách gi i h :
f x/ ( x0 , y0 ) = 0 VD 2.
/ . Tìm ñi m d ng c a hàm s z = xy(1 – x – y).
f y ( x0 , y0 ) = 0
Bư c 2. Tính A = f x// ( x0 , y0 ), B = f xy/ ( x0 , y0 ) , VD 3.
/
2
Tìm c c tr c a hàm s z = x2 + y2 + 4x – 2y + 8.
C = f y/2/ ( x0 , y0 ) ⇒ ∆ = AC − B 2 .
VD 4.
Bư c 3.
Tìm c c tr c a hàm s z = x3 + y3 – 3xy – 2.
+ N u ∆ > 0 và A > 0 thì k t lu n hàm s ñ t c c ti u t i
M0 và c c ti u là f(M0);
+ N u ∆ > 0 và A < 0 thì k t lu n hàm s ñ t c c ñ i t i VD 5.
Tìm c c tr c a hàm s z = 3x2y + y3 – 3x2 – 3y2 + 2.
M0 và c c ñ i là f(M0).
Trang 3
ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài gi ng Toán A3DH
3.4. C c tr có ñi u ki n VD 7. Tìm c c tr c a hàm s f(x, y) = xy v i ñi u ki n:
• Cho hàm s z = f(x, y) xác ñ nh trên lân c n c a ñi m 2x + 3y – 5 = 0.
M0(x0; y0) thu c ñư ng cong ϕ ( x, y ) = 0 . N u t i ñi m M0
Phương pháp nhân t Lagrange
hàm s f(x, y) ñ t c c tr thì ta nói ñi m M0 là ñi m c c tr
c a f(x, y) v i ñi u ki n ϕ ( x, y ) = 0 .
Bư c 1. L p hàm Lagrange:
• ð tìm c c tr có ñi u ki n c a hàm s f(x, y) ta dùng
L( x, y , λ ) = f ( x, y ) + λϕ ( x, y ) , λ là nhân t Lagrange.
phương pháp kh ho c nhân t Lagrange.
Bư c 2. Gi i h :
Phương pháp kh
T phương trình ϕ ( x, y ) = 0 , ta rút x ho c y th vào f(x, y) L'x = 0
'
Ly = 0 ⇒ ñi m d ng M0(x0; y0) ng v i λ0.
và tìm c c tr hàm 1 bi n.
VD 6. Tìm c c tr c a hàm s f(x, y) = x2 + y2 – xy + x + y '
Lλ = 0
v i ñi u ki n x + y + 3 = 0.
Bư c 3 Bư c 4
T ñi u ki n (1) và (2), ta có:
+ N u d 2 L( x0 , y0 ) > 0 thì hàm s ñ t c c ti u t i M0.
Tính d 2 L( x0 , y0 )
+ N u d 2 L( x0 , y0 ) < 0 thì hàm s ñ t c c ñ i t i M0.
= L''x 2 ( x0 , y0 )dx 2 + 2 L''xy ( x0 , y0 )dxdy + L''y 2 ( x0 , y0 )dy 2 .
+ N u d 2 L( x0 , y0 ) = 0 thì ñi m M0 không là ñi m c c tr .
ði u ki n ràng bu c:
VD 9.
dϕ ( x0 , y0 ) = 0 ⇒ ϕ x/ ( x0 , y0 )dx + ϕ y ( x0 , y0 )dy = 0 (1) Tìm c c tr c a hàm s z = 2x + y v i ñi u ki n x2 + y2 = 5.
/
VD 10.
và
x2 y2
(dx)2 + (dy)2 > 0 (2). + = 1.
Tìm c c tr c a hàm s z = xy v i ñi u ki n
8 2
Chương 2. TÍCH PHÂN B I
§1. TÍCH PHÂN B I HAI (KÉP)
1.1. Bài toán m ñ u (th tích kh i tr cong)
• Xét hàm s z = f(x, y) liên t c, không âm và m t m t tr
có các ñư ng sinh song song Oz, ñáy là mi n ph ng ñóng D
trong Oxy.
ð tính th tích kh i tr , ta chia mi n D thành n ph n không
d m lên nhau, di n tích m i ph n là ∆Si (i=1,2,…,n). Như
v y kh i tr cong ñư c chia thành n kh i tr nh . Trong
m i ∆Si ta l y ñi m Mi(xi; yi) tùy ý. Ta có th tích ∆Vi c a
G i d i = max {d ( A, B ) A, B ∈ ∆Si } là ñư ng kính c a ∆Si .
kh i tr nh là:
n
∆Vi ≈ f ( xi ; yi )∆Si ⇒ V ≈ ∑ f ( xi , yi )∆Si . n
∑ f ( x , y ) ∆S
Ta có: V = lim
i =1 .
i i i
max d i →0
i =1
1.2. ð nh nghĩa Ký hi u I = ∫∫ f ( x, y )dS .
D
• Cho hàm s z = f(x, y) xác ñ nh trên mi n ñóng gi i n i, ð nh lý. Hàm f(x, y) liên t c trong mi n b ch n, ñóng D thì
ño ñư c D trong Oxy. Chia mi n D m t cách tùy ý thành n kh tích trong D.
ph n không d m lên nhau, di n tích m i ph n là ∆Si • N u t n t i tích phân, ta nói f(x, y) kh tích; f(x, y) là hàm
(i=1,2,…,n). Trong m i ∆Si ta l y ñi m Mi(xi; yi) tùy ý. Khi dư i d u tích phân; x, y là các bi n tích phân.
n
ñó I n = ∑ f ( xi , yi )∆Si ñư c g i là t ng tích phân c a hàm
Chú ý
i =1
1) N u chia D b i các ñư ng th ng song song v i các tr c
f(x, y) trên D ( ng v i phân ho ch ∆Si và các ñi m Mi).
t a ñ thì ∆Si = ∆xi.∆yi hay dS = dxdy.
n
∑ f ( x , y ) ∆S
N u I = lim V y I = ∫∫ f ( x, y )dS = ∫∫ f ( x, y )dxdy .
t n t i h u h n, không ph
i i i
max d i →0
i =1
D D
thu c vào phân ho ch ∆Si và cách ch n ñi m Mi thì s I
∫∫ f ( x, y )dxdy = ∫∫ f (u, v )dudv .
2)
ñư c g i là tích phân b i hai c a f(x, y) trên D.
D D
Trang 4
ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài gi ng Toán A3DH
Nh n xét
• Tính ch t 3
∫∫ dxdy = S ( D ) (di n tích mi
1) n D).
D
∫∫ f ( x, y )dxdy
2) f(x, y) > 0, liên t c ∀(x, y) ∈ D thì là th
D
tích hình tr có các ñư ng sinh song song v i Oz, hai ñáy
gi i h n b i các m t z = 0 và z = f(x, y).
1.3. Tính ch t c a tích phân kép
• Tính ch t 1. Hàm s f(x, y) liên t c trên D thì f(x, y) kh
N u chia D thành D1 và D2 b i ñư ng cong có di n tích
tích trên D.
b ng 0 thì:
• Tính ch t 2. Tính tuy n tính:
∫∫ [ f ( x, y ) ± g ( x, y )]dxdy = ∫∫ fdxdy ± ∫∫ gdxdy ; ∫∫ f ( x, y )dxdy = ∫∫ f ( x, y )dxdy + ∫∫ f ( x, y )dxdy .
D D D
D D1 D2
∫∫ kf ( x, y )dxdy = k ∫∫ f ( x, y )dxdy, k ∈ ℝ .
D D
Tương t , D = {( x, y ) : x1 ( y ) ≤ x ≤ x2 ( y ), c ≤ y ≤ d } thì:
1.4. Phương pháp tính tích phân kép
1.4.1. ðưa v tích phân l p d x2 ( y ) x2 ( y )
d
ð nh lý (Fubini)
∫∫ f ( x, y )dxdy = ∫ ∫ f ( x, y )dx dy = ∫ dy ∫ f ( x, y )dx .
∫∫ f ( x, y )dxdy c x1 ( y )
• Gi s tích phân t n t i, v i D c x1 ( y )
D
D = {( x, y ) : a ≤ x ≤ b, y1 ( x ) ≤ y ≤ y2 ( x )} và v i m i Chú ý
1) Khi D = {( x, y ) : a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d } = [a , b] × [c, d ]
y2 ( x )
∫
x ∈ [a, b] c ñ nh f ( x, y )dy t n t i thì: (hình ch nh t) thì:
y1 ( x ) b d d b
∫∫ f ( x, y )dxdy = ∫ dx ∫ f ( x, y )dy = ∫ dy ∫ f ( x, y )dx
y2 ( x ) y2 ( x )
b b
∫∫ f ( x, y )dxdy = ∫ ∫ f ( x, y )dy dx = ∫ dx ∫ f ( x, y )dy . D a c c a
(hoán v c n).
y1 ( x )
D a a y1 ( x )
2) D = {( x, y ) : a ≤ x ≤ b, y1 ( x ) ≤ y ≤ y2 ( x )} và VD 1. Xác ñ nh c n tích phân l p khi tính tích phân
I = ∫∫ f ( x, y )dxdy trong các trư ng h p sau:
f(x, y) = u(x).v(y) thì:
y2 ( x )
b D
∫∫ f ( x, y )dxdy = ∫ u( x )dx ∫ v ( y )dy .
1) D gi i h n b i các ñư ng y = 0, y = x và x = a.
D a y1 ( x )
2) D gi i h n b i các ñư ng y = 0, y = x2 và x + y = 2.
Tương t , D = {( x, y ) : x1 ( y ) ≤ x ≤ x2 ( y ), c ≤ y ≤ d } thì:
VD 2.
x2 ( y )
d
∫∫ f ( x, y )dxdy = ∫ v ( y )dy ∫ Tính I = ∫∫ xydxdy v i D gi i h n b i y = x – 4, y2 = 2x.
u( x )dx .
D c x1 ( y ) D
3) N u D là mi n ph c t p thì ta chia D ra thành nh ng
mi n ñơn gi n như trên.
ð i th t l y tích phân
x2 ( y )
d
y2 ( x )
I = ∫ dy ∫
b
f ( x, y )dx
I = ∫ dx ∫ f ( x, y )dy
c x1 ( y )
a y1 ( x )
Trang 5
ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài gi ng Toán A3DH
1.4.2. Phương pháp ñ i bi n
a) Công th c ñ i bi n t ng quát
VD 3. ð i th t l y tích phân trong các tích phân sau:
ð nh lý. Gi s x = x(u, v), y = y(u, v) là hai hàm s có các
ñ o hàm riêng liên t c trên mi n ñóng gi i n i Duv trong mp
2 − x2
1
1) I = ∫ dx ∫ Ouv. G i Dxy = {( x, y ) : x = x (u, v ), y = y (u, v ), (u, v ) ∈ Duv } .
f ( x, y )dy ;
0 x
N u hàm f(x, y) kh tích trên Dxy và ñ nh th c Jacobi
2y
3
∂ ( x, y )
2) I = ∫ dy ∫ f ( x, y )dx ; J= ≠ 0 trong Duv thì:
∂ (u, v )
1 0
1 x 3 1
∫∫ f ( x, y )dxdy = ∫∫ f ( x(u, v ), y (u, v ))
3) I = ∫ dx ∫ f ( x, y )dy + ∫ dx ∫ f ( x, y )dy . J dudv .
Dxy Duv
2 2
0 1
x x
9 9
∂ ( x, y ) xu xv
/ /
1 1
Trong ñó: J = =/ = =/ /.
∂ (u, v ) yu yv/ ∂ (u, v ) u x u y
∂ ( x, y ) / /
vx v y
b) ð i bi n trong t a ñ c c
VD 4. Cho mi n Duv là hình tam giác O(0;0), A(2;0), B(0;2)
trong mpOuv. G i mi n Dxy là nh c a Duv qua phép bi n
hình g: (x, y) = g(u, v) = (u+v, u2–v).
1
Tính tích phân c a hàm f ( x, y ) = trên mi n
1+ 4x + 4 y
bi n hình Dxy = g(Duv).
VD 5. Cho mi n Duv là ph n tư hình tròn ñơn v trong
mpOuv. G i mi n Dxy là nh c a Duv qua phép bi n hình
g: (x, y) = g(u, v) = (u2–v2, 2uv). Tính tích phân c a hàm
1
f ( x, y ) = trên mi n bi n hình Dxy.
x + y2 x = r cos ϕ
2
, v i r ≥ 0, 0 ≤ ϕ ≤ 2π
• ð i bi n:
y = r sin ϕ
VD 6. Tính di n tích hình ph ng gi i h n b i b n Parapol:
y = x2, y = 2x2, x = y2 và x = 3y2. ho c −π ≤ ϕ ≤ π .
Khi ñó, mi n Dxy tr thành: Chú ý
Drϕ = {( r, ϕ ) : ϕ1 ≤ ϕ ≤ ϕ 2 , r1 (ϕ ) ≤ r ≤ r2 (ϕ )}
1) ð i bi n trong t a ñ c c thư ng dùng khi biên D là
cos ϕ − r sin ϕ
∂ ( x , y ) xr
/ /
xϕ ñư ng tròn ho c elip.
và J = =/ = =r.
sin ϕ r cos ϕ
∂ ( r, ϕ ) yr x = r cos ϕ
/
yϕ
2) ð tìm r1 (ϕ ), r2 (ϕ ) ta thay vào phương
y = r sin ϕ
V y ta có: trình c a biên D.
3) N u c c O n m trong D và m i tia t O c t biên D không
∫∫ f ( x, y )dxdy = ∫∫ f ( r cosϕ , r sin ϕ )rdrdϕ quá 1 ñi m thì:
r (ϕ )
2π
Dxy Drϕ
f ( r cos ϕ , r sin ϕ )rdrdϕ = ∫ dϕ f ( r cos ϕ , r sin ϕ ) rdr .
∫∫ ∫
.
ϕ2 r2 (ϕ )
= ∫ dϕ f ( r cos ϕ , r sin ϕ )rdr
∫ Drϕ 0 0
ϕ1 r1 (ϕ )
4) N u c c O n m trên biên D thì: VD 9. Tính tích phân I = ∫∫ e − ( x + y2 )
2
dxdy v i D là hình tròn
ϕ2 r (ϕ )
∫∫ f (r cos ϕ , r sin ϕ )rdrdϕ = ϕ∫ dϕ ∫ f ( r cos ϕ , r sin ϕ ) rdr .
D
x2 + y 2 ≤ R2 .
Drϕ 0
1
VD 10. Tính di n tích mi n D gi i h n b i:
5) N u biên D là elip thì ñ t:
y = –x, x 2 + y 2 = 3 x 2 + y 2 − 3x và y ≥ 0 .
x = r a cos ϕ
⇒ Drϕ = {( r , ϕ ) : 0 ≤ ϕ ≤ 2π , 0 ≤ r ≤ 1} .
y = r b sin ϕ
Công th c Walliss
∫∫ f ( x, y )dxdy trong t a ñ c c.
VD 7. Bi u di n tích phân (n − 1)!!
n !! , n leû
π π
D
2 2
2 2
Bi t mi n D là mi n ph ng n m ngoài (C1): (x – 1) + y = 1
∫ sin n xdx = ∫ cos n xdx = .
π . (n − 1)!! , n chaün
và n m trong (C2): (x – 2)2 + y2 = 4. 0 0
x2 y2 2 n !!
VD 8. Tính di n tích hình ellip: 2 + 2 ≤ 1 .
a b
Trang 6
ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài gi ng Toán A3DH
M T S M T B C HAI TRONG KHÔNG GIAN Oxyz
• Trong không gian Oxyz, m t b c hai là t p h p t t c các x2 y 2 z2
+ − = 0 (nón eliptic);
5)
ñi m M(x; y; z) có t a ñ th a phương trình:
a 2 b2 c 2
Ax2 + 2Bxy + 2Cxz+ Dy2 + 2Eyz + Fz2 + 2Gx + 2Hy+ 2Kz
x2 y2
6) 2 + 2 = 2 z (parabolit eliptic);
+ L = 0.
a b
Trong ñó A, B, C, D, E, F không ñ ng th i b ng 0.
x2 y2
• Các d ng chính t c c a m t b c hai:
7) 2 − 2 = 2 z (parabolit hyperbolic – yên ng a);
1) x 2 + y 2 + z 2 = R 2 (m t c u); a b
x2 y2
x2 y2 z2
8) 2 + 2 = 1 (m t tr eliptic);
+ + = 1 (m t elipxoit);
2)
a 2 b2 c 2 a b
x2 y2
x2 y2 z2
9) 2 − 2 = 1 (m t tr hyperbolic);
3) 2 + 2 − 2 = 1 (hyperboloit 1 t ng);
a b
a b c
10) y 2 = 2 px (m t tr parabolic).
2 2
z2
x y
4) 2 + 2 − 2 = −1 (hyperboloit 2 t ng);
a b c
Trang 7
ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài gi ng Toán A3DH
§2. TÍCH PHÂN B I BA
2.1. Bài toán m ñ u (kh i lư ng v t th ) 2.2. ð nh nghĩa
• Gi s ta c n tính kh i lư ng c a v t th V không ñ ng • Cho hàm s f(x, y, z) xác ñ nh trong mi n ño ñư c V c a
ch t, bi t m t ñ (kh i lư ng riêng) t i P(x, y, z) là không gian Oxyz. Chia mi n V m t cách tùy ý thành n ph n
ρ = ρ ( P ) = ρ ( x, y , z ) . Ta chia V tùy ý thành n ph n không không d m lên nhau, th tích m i ph n là ∆Vi (i=1,2,…,n).
Trong m i ∆Vi ta l y Pi(xi; yi; zi) tùy ý và l p t ng tích phân
d m lên nhau, th tích m i ph n là ∆Vi (i=1,2,…,n). Trong
m i ∆Vi ta l y ñi m Pi(xi; yi; zi) và ñư ng kính c a ∆Vi là
n
I n := ∑ f ( xi , yi , zi ) ∆Vi .
di. Kh i lư ng V x p x : i =1
n n
m ≈ ∑ ρ ( Pi ) ∆Vi = ∑ ρ ( xi , yi , zi ) ∆Vi .
n
∑ f ( x , y , z )∆V t
N u I = lim n t i h u h n, không
i i i i
max d i → 0
i =1 i =1
i =1
n
ph thu c vào cách chia V và cách ch n ñi m Pi thì s th c
∑ ρ ( x , y , z )∆V thì ñó là kh i lư ng m
lim
N ut nt i i i i i
I ñư c g i là tích phân b i ba c a f(x, y, z) trên V.
max d i →0
i =1
Ký hi u I = ∫∫∫ f ( x, y , z )dV .
c a v t t h V.
V
ð nh lý. Hàm f(x, y, z) liên t c trong mi n b ch n, ñóng V 3) Tích phân b i ba có các tính ch t như tích phân kép.
thì kh tích trong V.
2.3. Phương pháp tính tích phân b i ba
• N u t n t i tích phân, ta nói f(x, y, z) kh tích; f(x, y, z) là
2.3.1. ðưa v tích phân l p
hàm dư i d u tích phân; x, y, z là các bi n tích phân.
a) Gi s mi n V có gi i h n trên b i m t z = z2(x, y), gi i
Nh n xét
h n dư i b i z = z1(x, y), gi i h n xung quanh b i m t tr
1) N u chia V b i các ñư ng th ng song song v i các tr c
t a ñ thì ∆Vi = ∆xi.∆yi.∆zi hay dV = dxdydz. có ñư ng sinh song song v i tr c Oz. G i D là hình chi u
c a V trên mpOxy.
V y I = ∫∫∫ f ( x, y , z )dV = ∫∫∫ f ( x, y , z )dxdydz . Khi ñó:
V V
z2 ( x , y )
2) N u f ( x, y , z ) ≥ 0 trên V thì I = ∫∫∫ f ( x, y , z )dxdydz là
∫∫∫ f ( x, y , z )dxdydz = ∫∫ ∫ f ( x, y , z )dz dxdy
D z1 ( x , y )
V V
.
kh i lư ng v t th V, v i kh i lư ng riêng v t ch t chi m z2 ( x , y )
= ∫∫ dxdy ∫
th tích V là f(x, y, z). f ( x, y , z )dz
N u f(x, y, z) = 1 thì I là th tích V. D z1 ( x , y )
• N u D = {( x, y ) : a ≤ x ≤ b, y1 ( x ) ≤ y ≤ y2 ( x )} thì: y2 ( x , z )
∫∫∫ f ( x, y , z )dxdydz = ∫∫ ∫ f ( x, y , z )dy dxdz
y2 ( x ) z2 ( x , y )
b
∫∫∫ f ( x, y , z )dxdydz = ∫ dx ∫ ∫ D y1 ( x , z )
dy f ( x, y , z )dz . V
.
y2 ( x , z )
V a y1 ( x ) z1 ( x , y )
= ∫∫ dxdz ∫
• N u D = {( x, y ) : x1 ( y ) ≤ x ≤ x2 ( y ), c ≤ y ≤ d } thì: f ( x, y , z )dy
D y1 ( x , z )
x2 ( y ) z2 ( x , y )
d
• N u D = {( x, z ) : a ≤ x ≤ b, z1 ( x ) ≤ z ≤ z2 ( x )} thì:
∫∫∫ f ( x, y , z )dxdydz = ∫ dy ∫ ∫
dx f ( x, y , z )dz .
z2 ( x ) y2 ( x , z )
b
V c x1 ( y ) z1 ( x , y )
∫∫∫ f ( x, y , z )dxdydz = ∫ dx ∫ ∫
dz f ( x, y , z )dy .
b) G i D là hình chi u c a V trên mpOxz. V a z1 ( x ) y1 ( x , z )
• N u D = {( x, z ) : x1 ( z ) ≤ x ≤ x2 ( z ), e ≤ z ≤ f } thì:
Gi s mi n V có gi i h n (theo chi u ngư c v i tia Oy)
b i hai m t y = y2(x, z) và m t y = y1(x, z), gi i h n xung x2 ( z ) y2 ( x , z )
f
∫∫∫ f ( x, y, z )dxdydz = ∫ dz ∫ ∫
quanh b i m t tr có ñư ng sinh song song Oy. dx f ( x, y , z )dy .
Khi ñó: V e x1 ( z ) y1 ( x , z )
Trang 8
ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài gi ng Toán A3DH
• N u D = {( y , z ) : y1 ( z ) ≤ y ≤ y2 ( z ), e ≤ z ≤ f }
c) G i D là hình chi u c a V trên mpOyz.
Gi s mi n V có gi i h n (theo chi u ngư c v i tia Ox) thì:
b i hai m t x = x2(y, z) và m t x = x1(y, z), gi i h n xung y2 ( z ) x2 ( y , z )
f
∫∫∫ f ( x, y , z )dxdydz = ∫ dz ∫ ∫
quanh b i m t tr có ñư ng sinh song song Ox. dy f ( x, y , z )dx .
Khi ñó: V e y1 ( z ) x1 ( y , z )
x2 ( y , z )
∫∫∫ f ( x, y , z )dxdydz = ∫∫ ∫ f ( x, y , z )dx dydz
D x1 ( y , z )
V
ð c bi t
.
D = {( x, y , z ) : a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d , e ≤ z ≤ f }
x2 ( y , z )
= ∫∫ dydz ∫ •N u
f ( x, y , z )dx
= [a, b] × [c, d ] × [e, f ]
D x1 ( y , z )
thì:
• N u D = {( y , z ) : c ≤ y ≤ d , z1 ( y ) ≤ z ≤ z2 ( y )} thì: f
b d
∫∫∫ f ( x, y , z )dxdydz = ∫ dx ∫ dy ∫ f ( x, y , z )dz .
z2 ( y ) x2 ( y , z )
d
∫∫∫ f ( x, y, z )dxdydz = ∫ dy ∫ ∫
dz f ( x, y , z )dx . V a c e
V c z1 ( y ) x1 ( y , z )
2.3.2. ð i bi n t ng quát
x = x (u, v , w)
VD 1. Tính tích phân I = ∫∫∫ 8 xyzdxdydz v i xu xv/ xw
/ /
∂ ( x, y , z )
• ð t y = y (u, v, w) và J = = yu yv y w .
/ / /
V
∂ (u, v , w)
V = [1, 2] × [–1, 3] × [0, 2]. z = z ( u , v , w) zu zv/ z w
/ /
Gi s các hàm x, y, z có ñ o hàm riêng liên t c trong mi n
1 1 2
VD 2. Tính tích phân l p I = ∫ dx ∫ dy ∫ (4 + z )dz và d ng ñóng, gi i n i ño ñư c Vuvw trong không gian Ouvw và
J ≠ 0 thì:
−1 x2 0
mi n l y tích phân V.
∫∫∫ f ( x, y, z )dxdydz
V
VD 3. Tính tích phân I = ∫∫∫ ydxdydz v i V gi i h n b i .
= ∫∫∫ f ( x (u, v, w), y (u, v, w), z (u, v, w)). J .dudvdw
V
Vuvw
x + y + z – 1 = 0 và 3 m t ph ng t a ñ .
Ta có:
VD 4. Tính tích phân I = ∫∫∫ ( x + y + z )dxdydz v i
xr/ /
xθ/
xϕ
V
∂ ( x, y, z )
yθ/ = r 2 sin θ .
J= = yr/ /
yϕ
∂( r , ϕ , θ )
V : −x + y + z + x − y + z + x + y − z ≤ 2 . zr/ /
zθ/
zϕ
x2 y 2 z 2
+ + ≤ R2 . Khi ñó ta có:
VD 5. Tính th tích c a kh i elipxoit V :
a 2 b2 c 2
∫∫∫ f ( x, y, z )dxdydz = ∫∫∫ f (r cosϕ , r sin ϕ , z ).r.drdϕ dz .
2.3.3. ð i bi n trong t a ñ tr V Vrϕ z
x = r cos ϕ
VD 6. Tính th tích kh i V gi i h n b i các m t
ð t y = r sin ϕ , v i x 2 + y 2 = 4 − z , x 2 + y 2 ≥ 2 và z = 0.
z = z
VD 7. Tính tích phân I = ∫∫∫ z x 2 + y 2 dxdydz v i V là
r ≥ 0, 0 ≤ ϕ ≤ 2π ho c V
−π ≤ ϕ ≤ π . mi n hình tr gi i h n b i: x 2 + y 2 = 2 y , z = 0 và z = 1.
Ta có:
VD 8. Tính tích phân I = ∫∫∫ ( x 2 + y 2 + z 2 )dxdydz v i V là
cos ϕ − r sin ϕ
xr/ /
x z/
xϕ 0
V
∂ ( x, y, z )
mi n hình nón gi i h n b i các m t: x + y = z và z = 1. y = sin ϕ r cos ϕ
J= = yr/ 0 =r.
2 2 2 / /
yϕ
∂(r,ϕ , z )
z
zr/ / /
zϕ z 0 0 1
z
2.3.3. ð i bi n trong t a ñ c u
x = r sin θ cos ϕ Khi ñó ta có:
ð t y = r sin θ sin ϕ , v i
∫∫∫ f ( x, y, z )dxdydz
z = r cos θ
V
.
r ≥ 0, 0 ≤ ϕ ≤ 2π , 0 ≤ θ ≤ π ho c = ∫∫∫ f ( r sin θ cos ϕ , r sin θ sin ϕ , r cos θ ).r 2 sin θ .drdϕ dθ
−π ≤ ϕ ≤ π . Vrϕθ
Trang 9
ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài gi ng Toán A3DH
§3. NG D NG C A TÍCH PHÂN B I
3.1. Di n tích, th tích
(xem nh n xét tích phân b i hai, ba).
1
VD 9. Tính tích phân I = ∫∫∫ dxdydz v i V là 3.2. Giá tr trung bình c a hàm s trên mi n ñóng
x + y2 + z2
2
V
• Giá tr trung bình c a hàm s f(x, y) trên mi n ñóng D là:
mi n gi i h n b i các m t c u: 1
S ( D ) ∫∫
f=
x 2 + y 2 + z 2 = 1 và x 2 + y 2 + z 2 = 4 . f ( x, y )dxdy .
D
VD 1. Tính giá tr trung bình c a f(x, y) = xcosxy trong
VD 10. Tính tích phân I = ∫∫∫ ( x 2 + y 2 )dxdydz v i V là hình ch nh t 0 ≤ x ≤ π , 0 ≤ y ≤ 1 .
• Giá tr trung bình c a hàm s f(x, y, z) trên mi n ñóng Ω
V
mi n gi i h n b i: x 2 + y 2 + z 2 ≤ 4 và z ≥ 0 .
1
V (Ω) ∫∫
f= f ( x, y , z )dxdydz .
là:
Ω
VD 2. Tính giá tr trung bình c a f(x, y, z) = xyz trong hình
l p phương [0, 2] × [0, 2] × [0, 2].
3.3. Kh i lư ng 3.4. Momen tĩnh
ð nh nghĩa
• Cho m t b n ph ng chi m mi n D ñóng trong Oxy có kh i
lư ng riêng (m t ñ kh i lư ng) t i ñi m M(x, y) thu c D là • Momen tĩnh c a m t ch t ñi m có kh i lư ng m ñ t t i
hàm ρ ( x, y ) liên t c trên D. Kh i lư ng c a b n ph ng là: ñi m M(x, y) trong Oxy ñ i v i tr c Ox, Oy theo th t là:
My=0 = my, Mx=0 = mx.
m = ∫∫ ρ ( x, y )dxdy . • Momen tĩnh c a m t ch t ñi m có kh i lư ng m ñ t t i
D
ñi m M(x, y, z) trong Oxyz ñ i v i các m t ph ng t a ñ
• Cho m t v t th chi m mi n V ñóng trong Oxyz có kh i Oxy, Oyz, Oxz theo th t là:
lư ng riêng t i ñi m M(x, y, z) thu c V là hàm ρ ( x, y , z ) Mz=0 = mz, Mx=0 = mx, My=0 = my.
liên t c trên V. Kh i lư ng c a v t th là: Công th c tính
m = ∫∫∫ ρ ( x, y , z )dxdydz . • Momen tĩnh c a b n ph ng chi m di n tích D trong Oxy
có kh i lư ng riêng t i ñi m M(x, y) là hàm ρ ( x, y ) liên
V
VD 3. Tính kh i lư ng b n ph ng chi m mi n D gi i h n t c trên D là:
b i x 2 + y 2 ≤ 4 , x ≥ 0 và y ≥ 0 . Bi t kh i lư ng riêng là M y = 0 = ∫∫ y ρ ( x, y )dxdy , M x = 0 = ∫∫ x ρ ( x, y )dxdy .
hàm ρ ( x, y ) = xy . D D
3.5. Tr ng tâm
• Momen tĩnh c a v t th chi m mi n V trong Oxyz có kh i • Cho b n ph ng chi m di n tích D trong Oxy có kh i lư ng
lư ng riêng t i ñi m M(x, y, z) là hàm ρ ( x, y , z ) liên t c riêng t i ñi m M(x, y) là hàm ρ ( x, y ) liên t c trên D. Khi
ñó, t a ñ tr ng tâm G c a b n ph ng là:
trên V là:
∫∫ xρ ( x, y )dxdy
M z = 0 = ∫∫∫ z ρ ( x, y , z )dxdydz ,
1
x ρ ( x, y )dxdy ,
m ∫∫
xG = =
D
V
∫∫ ρ ( x, y )dxdy
M x = 0 = ∫∫∫ x ρ ( x, y , z )dxdydz, D
D
V
∫∫ y ρ ( x, y )dxdy
M y =0 = ∫∫∫ y ρ ( x, y , z )dxdydz.
1
y ρ ( x, y )dxdy.
m ∫∫
yG = =
D
V
∫∫ ρ ( x, y )dxdy D
D
Khi b n ph ng ñ ng ch t thì ρ ( x, y ) là h ng s nên: Khi v t th ñ ng ch t thì ρ ( x, y , z ) là h ng s nên:
1 1 1
S ( D ) ∫∫ S ( D ) ∫∫
xG = ∫∫∫ xdxdydz ,
xG = xdxdy, yG = ydxdy .
VV
D D
• Cho v t th chi m th tích V trong Oxyz có kh i lư ng 1
∫∫∫ ydxdydz, .
yG =
riêng t i ñi m M(x, y, z) là hàm ρ ( x, y , z ) liên t c trên V. V V
Khi ñó, t a ñ tr ng tâm G c a v t th là:
1
V ∫∫∫
zG = zdxdydz.
1
xG = ∫∫∫ x ρ ( x, y , z )dxdydz , V
mV
a ñ tr ng tâm hình ph ng D gi i h n b i
VD 4. Tìm t
1 x + y ≤ 1 . Bi t ρ ( x, y ) = 2 x + y .
x ≥ 0, y ≥ 0,
y ρ ( x, y , z )dxdydz ,
m ∫∫∫
yG =
a ñ tr ng tâm c a v t th ñ ng ch t chi m th
VD 5. Tìm t
V
n b i m t nón z 2 = x 2 + y 2 , z ≥ 0 và m t c u
1 tích V gi i h
z ρ ( x, y , z )dxdydz.
m ∫∫∫
zG =
x2 + y2 + z2 = 1 .
V
Trang 10
ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài gi ng Toán A3DH
3.4. Momen quán tính
ð nh nghĩa Công th c tính
• Momen quán tính c a m t ch t ñi m có kh i lư ng m ñ t
t i ñi m M(x, y) ñ i v i tr c Ox, Oy và g c t a ñ O theo • Cho b n ph ng chi m di n tích D trong mpOxy có kh i
lư ng riêng t i ñi m M(x, y) là hàm ρ ( x, y ) liên t c trên D.
th t là:
Ix = my2, Iy = mx2 và IO = Ix + Iy = m(x2 + y2). Khi ñó:
• Momen quán tính c a m t ch t ñi m có kh i lư ng m ñ t
I x = ∫∫ y 2 ρ ( x, y )dxdy ,
t i ñi m M(x, y, z) ñ i v i tr c Ox, Oy, Oz và g c t a ñ O
D
theo th t là:
I y = ∫∫ x 2 ρ ( x, y )dxdy ,
Ix = m(y2 + z2), Iy = m(x2 + z2), Iz = m(x2 + y2)
IO = Ix + Iy + Iz = m(x2 + y2 + z2).
và D
I O = ∫∫ ( x 2 + y 2 ) ρ ( x, y )dxdy.
• Momen quán tính c a m t ch t ñi m có kh i lư ng m ñ t
t i ñi m M(x, y, z) ñ i v i các m t ph ng t a ñ Oxy, Oyz, D
Oxz th t là:
Iz=0 = mz2, Ix=0 = mx2, Iy=0 = my2.
• Cho v t th chi m mi n V trong Oxyz có kh i lư ng riêng I z = 0 = ∫∫∫ z 2 ρ ( x, y , z )dxdydz ,
t i ñi m M(x, y, z) là hàm ρ ( x, y , z ) liên t c trên V. Khi V
ñó: I x = 0 = ∫∫∫ x 2 ρ ( x, y , z )dxdydz ,
và
I x = ∫∫∫ ( y 2 + z 2 ) ρ ( x, y , z )dxdydz, V
I y = 0 = ∫∫∫ y 2 ρ ( x, y , z )dxdydz.
V
I y = ∫∫∫ ( x + z ) ρ ( x, y, z)dxdydz,
2 2
V
V
I z = ∫∫∫ ( x 2 + y 2 ) ρ ( x, y, z )dxdydz , VD 6. Tính Ix, Iy c a hình D gi i h n b i y2 = 1 – x, x = 0,
y = 0. Bi t kh i lư ng riêng là ρ ( x, y ) = y .
V
I O = ∫∫∫ ( x 2 + y 2 + z 2 ) ρ ( x, y , z )dxdydz VD 7. Tính IO c a hình tròn x 2 + y 2 − 2 Rx ≤ 0 .
Bi t ρ ( x, y ) = x 2 + y 2 .
V
Chương 3. TÍCH PHÂN ðƯ NG – TÍCH PHÂN M T
§1. TÍCH PHÂN ðƯ NG LO I I
n
∑ f ( x , y )∆s t n t i ñư c g i là tích
lim
Gi i h n
1.1. ð nh nghĩa i i i
max ∆si → 0
i =1
phân ñư ng lo i 1 c a f(x, y) trên ñư ng cong L.
• Gi s ñư ng cong L trong m t ph ng Oxy có phương
∫ f ( x, y )ds .
trình tham s x = x (t ) , y = y (t ) v i a ≤ t ≤ b và f(x, y) là Ký hi u là
L
hàm s xác ñ nh trên L. Chia L thành n cung không d m lên
Nh n xét
nhau b i các ñi m chia ng v i a = t0 < t1 < ... < tn = b .
1) Tích phân ñư ng lo i 1 có t t c các tính ch t c a tích
G i ñ dài cung th i là ∆si . Trên cung th i l y ñi m phân xác ñ nh.
2) Tích phân ñư ng lo i 1 không ph thu c vào chi u c a
n
M i ( xi , yi ) . T ng I n = ∑ f ( xi , yi ) ∆si ñư c g i là t ng tích
∫ ∫
f ( x, y )ds = f ( x, y )ds .
L:
i =1
phân ñư ng (lo i 1) c a hàm f(x, y) trên ñư ng cong L. AB BA
1.2. Phương pháp tính b) ðư ng cong L trong Oxy có phương trình t ng quát
a) ðư ng cong L có phương trình tham s
• N u L có phương trình y = y ( x ) v i a ≤ x ≤ b thì:
• N u L có phương trình x = x (t ) , y = y (t ) v i a ≤ t ≤ b b
f ( x, y )ds = ∫ f ( x, y ( x )) 1 + ( y x ) dx .
2
∫
/
thì:
L a
b
( xt/ ) + ( yt/ ) dt .
2 2
∫ f ( x, y )ds = ∫ f ( x (t ), y (t ))
• N u L có phương trình x = x ( y ) v i a ≤ y ≤ b thì:
L a
• N u L trong không gian có phương trình x = x (t ) , b
(x )
/2
∫ f ( x, y )ds = ∫ f ( x ( y ), y ) + 1dy .
y = y (t ) , z = z (t ) v i a ≤ t ≤ b thì: y
L a
b
( x ) + ( y ) + ( z ) dt .
/2 /2 /2
∫ f ( x, y , z )ds = ∫ f ( x (t ), y (t ), z (t )) t t t
L a
Trang 11
ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài gi ng Toán A3DH
ð c bi t
• N u L có phương trình y = α (h ng s ) v i a ≤ x ≤ b thì:
∫ zds v i L là ñư ng xo n c tr tròn xoay có
VD 1. Tính
b
L
∫ f ( x, y )ds = ∫ f ( x, α )dx . phương trình x = a cos t , y = a sin t , z = bt , 0 ≤ t ≤ 2π .
L a
• N u L có phương trình x = α (h ng s ) v i a ≤ y ≤ b thì:
∫ ( x + y )ds v i L là tam giác có các ñ nh
VD 2. Tính
b
f ( x, y )ds = ∫ f (α , y )dy .
∫ L
O(0; 0), A(1; 0), B(0; 1).
L a
c) ðư ng cong L trong t a ñ c c
• N u L ñư c cho trong t a ñ c c r = r (ϕ ) v i α ≤ ϕ ≤ β
∫ xyds
VD 3. Tính v i L là ph n giao tuy n gi a m t
thì ta xem ϕ là tham s . Khi ñó, phương trình c a L là L
z = 2 − x 2 − 2 y 2 và z = x 2 n m trong góc ph n tám th
x = r (ϕ ) cos ϕ , y = r (ϕ ) sin ϕ , α ≤ ϕ ≤ β và:
nh t t ñi m A(0; 1; 0) ñ n B(1; 0; 1).
β
f ( x, y )ds = ∫ f ( r (ϕ ) cos ϕ , r (ϕ ) sin ϕ ) r 2 + ( rϕ/ ) dϕ .
2
∫ α
L
Tr ng tâm G c a L là:
1.3. ng d ng
∫ ds , v 1 1
xG = ∫ x ρ ( x, y , z )ds , yG = ∫ y ρ ( x, y , z )ds ,
1) ð dài cung L là i f(x, y) = 1 ho c f(x, y, z) = 1.
mL mL
L
2) N u dây v t d n có hình d ng L và hàm m t ñ kh i 1
zG = ∫ z ρ ( x, y, z )ds .
lư ng ρ ( x, y ) ph thu c vào ñi m M(x, y) trên L thì kh i
mL
lư ng c a dây v t d n là m = ∫ ρ ( x, y )ds . VD 4. Tính ñ dài cung tròn x 2 + y 2 − 2 x = 0 n m trong
L
1 3
Tr ng tâm G c a L là:
góc th nh t t A(2; 0) ñ n B ; .
1 1
2 2
xG = ∫ x ρ ( x, y )ds , yG = ∫ y ρ ( x, y )ds .
mL mL VD 5. Cho m t dây thép d ng n a ñư ng tròn trong mpOyz
v i phương trình y 2 + z 2 = 1 , z ≥ 0 . Bi t m t ñ kh i lư ng
3) N u dây v t d n có hình d ng L và hàm m t ñ kh i
lư ng ρ ( x, y , z ) ph thu c vào ñi m M(x, y, z) trên L thì ρ ( x, y , z ) = 2 − z .
kh i lư ng c a dây v t d n là m = ∫ ρ ( x, y , z )ds . Tìm kh i lư ng và tr ng tâm c a dây thép.
L
§2. TÍCH PHÂN ðƯ NG LO I II
2.1. Bài toán m ñ u
• Tính công sinh ra do l c F = F ( M ) tác d ng lên ch t Khi ñó, công W sinh ra:
n n
W ≈ ∑Wi = ∑ F ( M i ) Ai −1 Ai
ñi m M(x, y) di chuy n d c theo ñư ng cong L.
N u L là ño n th ng AB thì công sinh ra là i =1 i =1
( )
W = F . AB = F AB cos F , AB .
n
= ∑ [ P (ξi ,ηi )∆xi + Q (ξi ,ηi ) ∆yi ].
i =1
Chia L thành n cung nh b i các ñi m chia A0 , A1 ,..., An .
Vy
Trên m i cung Ai −1 Ai l y ñi m Mi(xi, yi) tùy ý. Chi u n
∑ [ P(ξ ,η )∆x + Q (ξi ,ηi ) ∆yi ] .
W= lim i i i
F ( M i ) và Ai −1 Ai lên tr c Ox, Oy ta ñư c: max Ai −1 Ai → 0
i =1
F ( M i ) = P(ξi ,ηi ).i + Q (ξi ,ηi ). j và Ai −1 Ai = ∆xi .i + ∆yi . j .
2.2. ð nh nghĩa
∫ P( x, y )dx + Q ( x, y )dy .
Ký hi u là
• Cho hai hàm P(x, y), Q(x, y) xác ñ nh trên ñư ng cong L. L
Chia L thành n cung nh b i các ñi m chia A0 , A1 ,..., An .
Nh n xét
Trên m i cung Ai −1 Ai l y ñi m Mi(xi, yi) tùy ý. G i
Ai −1 Ai = ( ∆xi , ∆yi ) . T ng 1) Tích phân ñư ng lo i 2 có t t c các tính ch t như tích
phân xác ñ nh.
n
I n = ∑ [ P (ξi ,ηi )∆xi + Q (ξi ,ηi )∆yi ] ñư c g i là t ng tích
i =1
2) Tích phân ñư ng lo i 2 ph thu c vào chi u c a L vì khi
phân ñư ng (lo i 2) c a hàm P(x, y) và Q(x, y) trên ñư ng
thay ñ i chi u thì Ai −1 Ai = ( ∆xi , ∆yi ) ñ i d u, do ñó khi vi t
cong L.
tích phân ta c n ghi rõ ñi m ñ u và cu i:
lim I n t n t i ñư c g i là tích phân ñư ng
Gi i h n
max Ai−1 Ai → 0
∫ P( x, y )dx + Q ( x, y )dy = − ∫ P( x, y )dx + Q ( x, y )dy .
lo i 2 c a P(x, y) và Q(x, y) trên ñư ng cong L. AB BA
Trang 12
ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài gi ng Toán A3DH
2.3. Phương pháp tính
3) T ñ nh nghĩa t ng tích phân, ta có th vi t:
a) ðư ng cong L có phương trình tham s
∫ P( x, y )dx + Q ( x, y )dy = ∫ P( x, y )dx + ∫ Q ( x, y )dy . • N u L có phương trình x = x (t ) , y = y (t ) thì:
AB AB AB
∫ P( x, y )dx + Q ( x, y )dy
AB
• N u L là ñư ng cong ph ng, kín l y theo chi u dương tB
= ∫ P( x (t ), y (t )) xt/ + Q ( x(t ), y (t )) yt/ dt.
(ngư c chi u kim ñ ng h ) thì ta dùng ký hi u:
∫ P( x, y )dx + Q ( x, y )dy . tA
• N u L trong không gian có pt x = x (t ) , y = y (t ) , z = z (t ) :
L
∫ P( x, y, z )dx + Q( x, y, z)dy + R( x, y, z )dz
• ð nh nghĩa tương t :
AB
∫ P( x, y, z )dx + Q( x, y, z)dy + R( x, y, z)dz . P ( x(t ), y (t ), z (t )) xt/ + Q ( x (t ), y (t ), z (t )) yt/
tB
= ∫ dt.
L
+ R( x (t ), y (t ), z (t )) zt/
tA
b) ðư ng cong L trong Oxy có phương trình t ng quát ð c bi t
• N u L có phương trình y = α (h ng s ) thì:
• N u L có phương trình y = y ( x ) thì: xB
∫ P( x, α )dx .
∫ P( x, y )dx + Q ( x, y )dy =
xB
∫ ∫ P( x, y ( x )) + Q ( x, y ( x)). y x dx .
Pdx + Qdy = /
xA
AB
• N u L có phương trình x = α (h ng s ) thì:
xA
AB
yB
∫ Q (α , y )dy .
∫ P( x, y )dx + Q ( x, y )dy =
• N u L có phương trình x = x ( y ) thì:
yA
AB
yB
∫ Pdx + Qdy = ∫ P( x( y ), y ). x + Q ( x ( y ), y ) dy .
/
x2 y2
∫ xdy − ydx v i L là elip + = 1 l y theo
y
VD 1. Tính
yA
a 2 b2
AB
L
chi u dương.
2.4. Công th c Green (liên h v i tích phân kép)
∫ ( x − y )dx + ( x + y )dy v i L là ñư ng n i
VD 2. Tính
• Cho mi n D là mi n liên thông, b ch n, có biên L Jordan
L
kín trơn t ng khúc. Chi u dương c a L là chi u mà khi di
ñi m O(0; 0) v i A(1; 1) trong các trư ng h p:
chuy n ta th y mi n D n m v phía tay trái.
a) ñư ng th ng y = x;
b) ñư ng y = x2;
c) ñư ng y = x .
∫ dx − ydy + dz v i L là ñư ng xo n c tr tròn
VD 3. Tính
• N u các hàm s P(x, y) và Q(x, y) có các ñ o hàm riêng
L
xoay có phương trình x = cos t , y = sin t , z = 2t t ñi m c p 1 liên t c trên D thì:
∫∫ (Q − Py/ )dxdy =
A(1; 0; 0) ñ n B(0; 1; π ) . ∫ P( x, y )dx + Q( x, y )dy .
/
x
D L
2.5. ði u ki n tích phân ñư ng không ph thu c ñư ng
H qu
l y tích phân
1
S ( D ) = ∫ xdy − ydx . ð nh lý
2 ∂D
• Gi s các hàm s P(x, y), Q(x, y) và các ñ o hàm riêng
c p 1 c a chúng liên t c trong mi n ñơn liên D. Khi ñó, b n
x2 y2 m nh ñ sau tương ñương:
+ = 1.
VD 4. Tính di n tích c a elip
a 2 b2 1) Py/ = Qx/ , ∀( x, y ) ∈ D .
∫ P( x, y )dx + Q ( x, y )dy = 0 d c theo m i ñư ng kín L
2)
)dx + ( x + 2 xy + y 2 e − y )dx , v i L
∫ ( xarctgx + y
2
VD 5. Tính
L
L
n m trong D.
là x 2 + y 2 − 2 y = 0 .
∫ P( x, y )dx + Q ( x, y )dy , trong ñó
3) n m trong D, ch
AB
xdy − ydx
VD 6. Tính ∫ 2 trong các trư ng h p: AB
x + y2 ph thu c vào hai mút A, B mà không ph thu c vào ñư ng
L
n i A v i B.
a) L là ñư ng cong kín không bao g c O;
4) Bi u th c P(x, y)dx + Q(x, y)dy là vi phân toàn ph n c a
b) L là ñư ng cong kín bao g c O.
hàm u(x, y) nào ñó trong mi n D.
Trang 13
ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài gi ng Toán A3DH
§3. TÍCH PHÂN M T LO I I
3.1. ð nh nghĩa
H qu
• Cho hàm s f(x, y, z) xác ñ nh trên m t S. Chia S m t cách
• N u P(x, y)dx + Q(x, y)dy là vi phân toàn ph n c a hàm
u(x, y) nào ñó trong mi n D, nghĩa là Py/ = Qx/ , ∀( x, y ) ∈ D tùy ý thành n ph n không d m lên nhau, di n tích m i ph n
là ∆Si (i=1,2,…,n). Trong m i ∆Si ta l y ñi m M i (ξi ,ηi , ζ i )
thì:
n
∫ P( x, y )dx + Q ( x, y )dy = u( B) − u( A) . tùy ý và l p t ng tích phân I n = ∑ f (ξi ,ηi , ζ i ) ∆Si .
i =1
AB
n
∑ f (ξ ,η , ζ )∆S
Nu I= lim t n t i h u h n, không
x− y x+ y i i i i
max d ( ∆Si ) →0
∫ x 2 + y 2 dx + x 2 + y 2 dy v i L là ñư ng trơn
VD 7. Tính i =1
ph thu c vào cách chia S và cách ch n ñi m Mi thì s I
L
t ng khúc n i A(1; 1) và B(2; 2) n m trong mi n D không ñư c g i là tích phân m t lo i 1 c a f(x, y, z) trên S.
ch a g c t a ñ O. Ký hi u I = ∫∫ f ( x, y , z )dS .
S
3.2. Phương pháp tính c) Chi u S lên Oyz
• N u S có phương trình x = x(y, z) và S có hình chi u trên
a) Chi u S lên Oxy
• N u S có phương trình z = z(x, y) và S có hình chi u trên Oyz là D thì:
1 + ( x y ) + ( xz/ ) dydz .
Oxy là D thì: 2 2
∫∫ f ( x, y, z )dS = ∫∫ f ( x( y, z ), y, z )
/
1+ (z ) + ( z ) dxdy .
/2 /2
∫∫ f ( x, y, z )dS = ∫∫ f ( x, y, z( x, y )) S D
x y
S D
VD 1. Tính I = ∫∫ zdS , trong ñó S là ph n m t nón
b) Chi u S lên Oxz S
• N u S có phương trình y = y(x, z) và S có hình chi u trên z = x + y v i 0 ≤ z ≤1.
2 2 2
Oxz là D thì:
VD 2. Tính I = ∫∫ z 2 ( x 2 + y 2 )dS , trong ñó S là ph n m t
f ( x, y , z )dS = ∫∫ f ( x, y ( x, y ), z ) 1 + ( y x ) + ( y z/ ) dxdz .
2 2
∫∫
/
S
S D
c u x2 + y2 + z2 = 4 v i x ≥ 0 , y ≥ 0 .
§4. TÍCH PHÂN M T LO I II
4.1. ð nh nghĩa
3.3. ng d ng c a tích phân m t lo i 1
4.1.1. M t ñ nh hư ng
∫∫ dS .
1) Di n tích m t S là
• M t trơn S ñư c g i là m t ñ nh hư ng n u pháp vector
S
2) N u m t S có hàm m t ñ kh i lư ng là ρ ( x, y , z ) thì ñơn v n xác ñ nh t i m i ñi m M thu c S (có th tr biên
S) bi n ñ i liên t c khi M ch y trên S. M t ñ nh hư ng có
kh i lư ng c a m t S là:
m = ∫∫ ρ ( x, y, z )dS . hai phía, phía mà n u ñ ng trên ñó thì n hư ng t chân lên
ñ u là phía dương, ngư c l i là phía âm.
S
Khi ñó, t a ñ tr ng tâm G c a m t S là:
1 1
xG = ∫∫ x ρ ( x, y , z )dS , yG = ∫∫ y ρ ( x, y , z )dS ,
mS mS
1
z ρ ( x, y, z )dS .
m ∫∫
zG =
S
• Hư ng c a biên S là hư ng ngư c chi u kim ñ ng h khi
G i Di là hình chi u c a ∆Si lên Oxy kèm theo d u dương
nhìn t ng n c a n .
n u ∆Si có ñ nh hư ng trên, ngư c l i là d u âm.
• Khi m t S không kín, ta g i phía trên là phía mà n l p v i n
L p t ng tích phân I n = ∑ f (ξi ,ηi , ζ i ).S ( Di ) .
tia Oz góc nh n, ngư c là là phía dư i.
Khi m t S kín ta g i phía trong và phía ngoài. i =1
• M t trơn t ng khúc S là ñ nh hư ng ñư c n u hai ph n n
∑ f (ξ ,η , ζ ).S ( D ) t
Nu I= lim n t i h u h n,
trơn b t kỳ c a S n i v i nhau b i ñư ng biên C có ñ nh i i i i
max d ( ∆Si ) →0
i =1
hư ng ngư c nhau.
không ph thu c vào cách chia S và cách ch n ñi m Mi thì
s I ñư c g i là tích phân m t lo i 2 c a f(x, y, z) trên m t
4.1.2. ð nh nghĩa tích phân m t lo i 2
ñ nh hư ng S.
• Cho hàm s f(x, y, z) xác ñ nh trên m t ñ nh hư ng, trơn
∫∫ f ( x, y, z)dxdy .
Ký hi u
t ng khúc S. Chia S m t cách tùy ý thành n ph n không
d m lên nhau, di n tích m i ph n là ∆Si (i=1,2,…,n). Trong S
m i ∆Si ta l y ñi m M i (ξi ,ηi , ζ i ) tùy ý.
Trang 14
ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài gi ng Toán A3DH
• Tương t , khi chi u S lên Ozx và Oyz ta có 4.2. Liên h v i tích phân m t lo i 1
• Cho m t ñ nh hư ng trơn t ng khúc S có pháp vector ñơn
∫∫ f ( x, y, z )dzdx ∫∫ f ( x, y, z )dydz .
và
v n . G i α , β , γ l n lư t là góc h p b i n v i các tia
S S
Ox, Oy, Oz. Khi ñó:
• K t h p c 3 d ng trên ta ñư c tích phân m t lo i 2 c a
∫∫ Pdydz + Qdzdx + Rdxdy
các hàm P, Q, R trên S:
S
∫∫ P( x, y, z )dydz + Q ( x, y, z)dzdx + R( x, y, z)dxdy . = ∫∫ ( P cos α + Q cos β + R cos γ )dS .
S
S
Trong ñó:
Nh n xét
1
cos α =
• N u ñ i hư ng c a m t S thì tích phân ñ i d u. ,
1 + ( x y ) + ( x z/ )
2 2
• N u S kín thì tích phân còn ñư c ký hi u là: /
∫∫ Pdydz + Qdzdx + Rdxdy . 1 1
cosβ = , cosγ = .
S
1 + ( yx ) + ( y ) 1 + ( z x ) + ( z /y )
2 /2 2 2
/ /
z
4.3. Phương pháp tính
a) N u S có hình chi u ñơn tr lên Oxy là mi n Dxy và có
phương trình z(x, y) thì:
∫∫ zdxdy , v
VD 1. Tính i S là phía ngoài c a m t c u
∫∫ R( x, y, z )dxdy = ± ∫∫ R( x, y, z( x, y ))dxdy . S
x2 + y 2 + z2 = R2 .
S Dxy
(d u + hay – tùy thu c vào m t phía trên hay dư i).
b) N u S có hình chi u ñơn tr lên Oxz là mi n Dxz và có
VD 2. Cho I = ∫∫ ( y − z )dydz + ( z − x )dzdx + ( x − y )dxdy ,
phương trình y(x, z) thì: S
∫∫ Q ( x, y, z )dzdx = ± ∫∫ Q ( x, y ( x, z), z)dzdx . v i S là phía ngoài c a m t nón x 2 + y 2 = z 2 , 0 ≤ z ≤ 4 .
S Dxz
Chuy n tích phân v lo i 1 r i tính I.
c) N u S có hình chi u ñơn tr lên Oyz là mi n Dyz và có
phương trình x(y, z) thì:
∫∫ P( x, y, z )dydz = ± ∫∫ P( x( y, z), y, z )dydz .
S D yz
4.4. Công th c Stokes 4.5. Công th c Gauss – Ostrogradski
• Cho S là m t ñ nh hư ng trơn t ng khúc có biên ∂S trơn
• Cho V là m t kh i gi i n i v i biên S trơn t ng khúc. Gi
t ng khúc và không t c t. Gi s P, Q, R là các hàm có ñ o
s P, Q, R là các hàm có ñ o hàm riêng liên t c trong mi n
hàm riêng liên t c trong mi n m ch a S. Khi ñó:
m ch a V. Khi ñó:
∫ Pdx + Qdy + Rdz
∫∫ Pdydz + Qdzdx + Rdxdy = ∫∫∫ ( P + Q y + Rz/ ) dxdydz .
/ /
∂S x
= ∫∫ ( R y − Qz/ ) dydz + ( Pz/ − Rx/ ) dzdx + (Qx/ − Py/ ) dxdy. S V
/
∫∫
(Tích phân l y theo phía ngoài c a S).
S
(Hư ng c a ∂S là hư ng dương phù h p v i hư ng c a S). S
∫ ydx + zdy + xdz , v i C là ñư ng tròn giao
VD 3. Tính
∫∫ x dydz + y dzdx + z dxdy , v
3 3 3
VD 4. Tính i S là phía
C
c a m t c u x + y + z = R và m t ph ng x + y + z = 0
2 2 2 2 S
ngoài c a m t c u x 2 + y 2 + z 2 = R 2 .
và hư ng tích phân trên C là hư ng dương khi nhìn t ng n
tia Oz.
Chương 5. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN – H PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN C P I
§1. KHÁI NI M CƠ B N V PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
• D ng t ng quát c a ptvp c p n là F(x, y, y’,…, y(n)) = 0(*),
• M t phương trình ch a ñ o hàm ho c vi phân c a 1 ho c
n u t (*) ta gi i ñư c theo y(n) thì ptvp có d ng:
vài hàm c n tìm ñư c g i là phương trình vi phân.
y(n) = f(x, y, y’,…, y(n–1)).
• Nghi m c a ptvp F(x, y, y’,…, y(n)) = 0 trên kho ng K là 1
VD 1. y’ – 2y = 1; (x + y)dy – 2ydx = 0;
hàm s y = φ(x) xác ñ nh trên K sao cho khi thay y = φ(x)
dy dz
+2 =0.
2y’’ – 3y’ + y = 0; vào ptvp ta ñư c ñ ng nh t th c trên K.
dx dx
Phương trình vi phân có vô s nghi m sai khác h ng s C.
• Gi i phương trình vi phân là tìm t t c các nghi m c a nó.
• C p cao nh t c a ñ o hàm ch a trong phương trình vi
• ð th c a nghi m y = φ(x) ñư c g i là ñư ng cong tích
phân (ptvp) ñư c g i là c p c a ptvp ñó.
phân.
dy
= x 2 là ptvp c p 1;
VD 2. y’ = 3x và
dx
VD 3. Các hàm s y = ex, y = e–x, y = C1ex + C2e–x ñ u là
y’’ + 4y’ – 3y = 0 là ptvp c p 2.
nghi m c a y’’ – y = 0.
Trang 15
ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài gi ng Toán A3DH
§2. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN C P 1
2.1. Khái ni m cơ b n v phương trình vi phân c p 1 • Nghi m c a ptvp ch a h ng s C là nghi m t ng quát,
• Phương trình vi phân c p 1 là phương trình có d ng t ng nghi m ch a h ng s C0 c th là nghi m riêng và nghi m
quát F(x, y, y’) = 0 (*), n u t (*) ta gi i ñư c theo y’ thì không nh n ñư c t nghi m t ng quát là nghi m kỳ d .
y’ = f(x, y).
VD 2.
• Gi i ptvp c p 1 v i ñi u ki n ñ u y(x0) = y0 là ñi tìm Tìm nghi m kỳ d c a ptvp y ′ = 1 − y 2 .
nghi m th a ñi u ki n ñ u, hay tìm 1 ñư ng cong tích phân
c a ptvp ñi qua ñi m M0(x0; y0).
VD 3.
Tìm ptvp c a h ñư ng cong y = Cx2.
VD 1. Gi i ptvp y ′ − x = 0 , bi t ñư ng cong tích phân ñi
qua ñi m M(2; 1).
2.2. M t s phương trình vi phân c p 1 cơ b n Chú ý
Ptvp f1 ( x ) g1 ( y )dx + f 2 ( x ) g 2 ( y )dy = 0 (1’) ñư c ñưa v
2.2.1. Phương trình vi phân c p 1 có bi n phân ly
• Ptvp có bi n phân ly có d ng: d ng (1) như sau:
f ( x )dx + g ( y )dy (1) . + N u g1(y0) = 0 thì y = y0 là nghi m c a (1).
+ N u f2(x0) = 0 thì x = x0 là nghi m c a (1).
+ N u g1 ( y ) ≠ 0, f 2 ( x ) ≠ 0 thì:
Phương pháp gi i
• L y tích phân hai v (1) ta ñư c nghi m t ng quát: f ( x) g ( y)
dx + 2 dy = 0 (d ng (1)).
(1') ⇒ 1
∫ f ( x )dx + ∫ g ( y )dy = C . f2 ( x) g1 ( y )
VD 5. Gi i ptvp y ′ = xy ( y + 2) .
xdx ydy VD 6. Gi i ptvp x 2 ( y + 1)dx + ( x 3 − 1)( y − 1)dy = 0 .
+ = 0.
VD 4. Gi i ptvp
1 + x2 1 + y2 1
VD 7. Gi i ptvp xy’ + y = y2 th a ñi u ki n ñ u y (1) = .
2
2.2.2. Phương trình vi phân ñ ng c p c p 1 Phương pháp gi i
y
• ð t u = ⇒ y ′ = u + xu′ .
• Hàm hai bi n f(x, y) ñư c g i là ñ ng c p b c n n u v i x
m i k > 0 thì f(kx, ky) = knf(x, y). Ch ng h n, các hàm du dx
(ϕ (u ) − u ≠ 0 ≠ x )
• (2) ⇒ u + xu ′ = ϕ (u ) ⇒ =
x 2 − xy
x− y ϕ (u ) − u x
f ( x, y ) = , f ( x, y ) = , f(x, y) = x2 + xy là
2x + 3y 2x + 3y (ptvp có bi n phân ly).
ñ ng c p b c 0, 1, 2 tương ng.
x 2 − xy + y 2
VD 9. Gi i ptvp y ′ = .
y
• Cho hàm f(x, y) ñ ng c p b c 0 hay f ( x, y ) = ϕ xy
.
x x+ y
VD 10. Gi i ptvp y ′ = v i ñi u ki n ñ u y(1) = 0.
Khi ñó, ptvp ñ ng c p có d ng:
x− y
y ′ = f ( x, y ) (2) .
2.2.3. Phương trình vi phân toàn ph n Bư c 3. ð o hàm (3c) theo y:
• Cho ptvp có d ng: P( x, y )dx + Q ( x, y )dy = 0 (3) v i ñi u u y = ϕ y + C ′( y ) (3d).
/ /
ki n Qx/ = Py/ trong mi n ph ng D. N u t n t i hàm u(x, y) Bư c 4. So sánh (3b) và (3d) ta tìm ñư c C(y), thay vào
(3c) ta ñư c u(x, y).
sao cho du(x, y) = P(x, y)dx + Q(x, y)dy thì (3) ñư c g i là
ptvp toàn ph n.
VD 11. Cho phương trình vi phân:
• Nghi m t ng quát c a (3) là u(x, y) = C.
(3 y 2 + 2 xy + 2 x )dx + ( x 2 + 6 xy + 3)dy = 0 (*).
Phương pháp gi i a) Ch ng t (*) là ptvp toàn ph n.
Bư c 1. T (3) ta có ux = P (3a) và u y = Q (3b).
/
/
b) Gi i ptvi (*).
Bư c 2. L y tích phân (3a) theo x:
VD 12. Gi i ptvp ( x + y − 1)dx + (e y + x )dy = 0 .
u( x, y ) = ∫ P( x, y )dx = ϕ ( x, y ) + C ( y ) (3c),
v i C(y) là hàm theo bi n y.
Trang 16
ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài gi ng Toán A3DH
2.2.4. Phương trình vi phân tuy n tính c p 1 Chú ý
• Phương trình vi phân tuy n tính c p 1 có d ng:
y ′ + p( x ) y = q( x ) (4) . • Khi tính các tích phân trên, ta ch n h ng s là 0.
• Phương pháp bi n thiên h ng s là ñi tìm nghi m t ng
• Khi f(x) = 0 thì (4) ñư c g i là ptvp tuy n tính c p 1 thu n
quát c a (4) dư i d ng:
nh t.
y = C ( x )e ∫
− p ( x ) dx
.
Phương pháp gi i (phương pháp bi n thiên h ng s
Lagrange)
VD 13. Gi i pt y ′ − x 2 y = 0 th a ñi u ki n x = 3, y = – e9.
Bư c 1. Tìm bi u th c A( x ) = e ∫
− p ( x ) dx
.
VD 14. Gi i pt y ′ + y cos x = e − sin x .
Bư c 2. Tìm bi u th c B( x ) = ∫ q( x ).e ∫
p ( x ) dx
dx .
Bư c 3. Nghi m t ng quát là y = A( x ) [ B( x ) + C ] . VD 15. Gi i pt y ′( x + y 2 ) = y .
2.2.5. Phương trình vi phân Bernoulli
• Phương trình vi phân Bernoulli có d ng: Chú ý
y ′ + p( x ) y = q( x ) y α (5) . • Phương trình Bernoulli luôn có nghi m kỳ d là y = 0.
• Khi α = 0 ho c α = 1 thì (5) là tuy n tính c p 1.
VD 16.
• Khi p(x) = q(x) = 1 thì (5) là phương trình có bi n phân ly.
y
Gi i ptvp y ′ + = xy 2 v i ñi u ki n x = 1, y = 1.
Phương pháp gi i (v i α khác 0 và 1) x
+ V i y ≠ 0 , bi n ñ i:
VD 17. Gi i ptvp y ′ − 2 xy = x 3 y 2 .
y′ y
(5) ⇒ α + p( x ) α = q( x ) ⇒ y ′y −α + p( x ) y1−α = q( x ) .
y y
dy dy
+ 2y = x .
VD 18. Gi i ptvp x 3 sin y
+ ð t z = y1−α ⇒ z ′ = (1 − α ) y ′y −α thì
dx dx
(5) ⇒ z ′ + (1 − α ) p( x ) z = (1 − α ) q( x ) (pt tuy n tính c p 1).
§3. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN C P 2
3.1. Các d ng phương trình cơ b n 3.1.2. Phương trình khuy t y
3.1.1. Phương trình khuy t y và y’ • D ng phương trình:
y ′′ = f ( x, y ′) (2) .
• D ng phương trình:
y ′′ = f ( x ) (1) .
Phương pháp gi i
• ð t z = y’ ñ ñưa (2) v phương trình tuy n tính c p 1.
Phương pháp gi i
• L y tích phân hai v (1) hai l n.
y′
VD 3. Gi i ptvp y ′′ = x − .
VD 1. Gi i ptvp y ′′ = x 2 . x
y′
VD 4. Gi i ptvp y ′′ − − x ( x − 1) = 0 v i
x −1
7 3
VD 2. Gi i ptvp y ′′ = e 2 x v i y (0) = − , y ′(0) = .
y(2) = 1 và y’(2) = –1.
4 2
3.1.3. Phương trình khuy t x 3.2. Phương trình vi phân c p 2 tuy n tính v i h s
• D ng phương trình: h ng
y ′′ = f ( y , y ′) (3) . 3.2.1. Phương trình thu n nh t
• D ng phương trình:
y ′′ + a1 y ′ + a2 y = 0 (4) (a1, a2 là các h ng s ).
Phương pháp gi i
dz dz dy dz
• ð t z = y ′ ⇒ y ′′ = z ′ = = . =z ñ ñ ưa v p t Phương pháp gi i
dx dy dx dy
• Xét phương trình ñ c trưng c a (4): k 2 + a1k + a2 = 0 (5).
bi n s phân ly.
VD 5. Gi i ptvp 2 yy ′′ = ( y ′) + 1 . 1) Trư ng h p 1: (5) có hai nghi m th c phân bi t k1, k2.
2
Khi ñó, (4) có hai nghi m riêng y1 = e k1 x , y2 = e k2 x và
VD 6. Gi i ptvp y ′′ + 2 y ′(1 − 2 y ) = 0 v i
nghi m t ng quát là y = C1e k1 x + C2 e k2 x .
1
y (0) = 0, y ′(0) = .
2
Trang 17
ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài gi ng Toán A3DH
2) Trư ng h p 2: (5) có nghi m kép th c k. 3.2.2. Phương trình không thu n nh t
Khi ñó, (4) có hai nghi m riêng y1 = e kx , y2 = xe kx và • D ng phương trình:
y ′′ + a1 y ′ + a2 y = f ( x ) (6) (a1, a2 là các h ng s ).
nghi m t ng quát là y = C1e kx + C2 xe kx .
Phương pháp gi i
3) Trư ng h p 3: (5) có hai nghi m ph c liên h p
• N u (4) có hai nghi m riêng y1(x), y2(x) thì (6) có nghi m
k = α ± i β . Khi ñó, (4) có hai nghi m riêng
t ng quát là y = C1 ( x ) y1 ( x ) + C2 ( x ) y2 ( x ) .
y1 = eα x cos β x, y2 = eα x sin β x và nghi m t ng quát: • ð tìm C1(x) và C2(x), ta gi i h Wronsky:
y = eα x ( C1 cos β x + C2 sin β x ) . C1′( x ) y1 ( x ) + C2 ( x ) y2 ( x ) = 0
′
.
C1′( x ) y1 ( x ) + C2 ( x ) y2 ( x ) = f ( x )
′ ′ ′
VD 7. Gi i ptvp y ′′ + 2 y ′ − 3 y = 0 .
VD 8. Gi i ptvp y ′′ − 6 y ′ + 9 y = 0 . 1
VD 10. Gi i ptvp y ′′ + y = .
VD 9. Gi i ptvp y ′′ + 2 y ′ + 7 y = 0 . cos x
ð nh lý (nguyên lý ch ng nghi m)
ð nh lý
• Cho ptvp y ′′ + p( x ) y ′ + q( x ) y = f1 ( x ) + f 2 ( x ) (9) .
• Nghi m t ng quát c a (6) b ng t ng nghi m t ng quát c a
(4) v i 1 nghi m riêng c a (6). Gi s y1(x) và y2(x) l n lư t là nghi m riêng c a
y ′′ + p( x ) y ′ + q( x ) y = f1 ( x ) , y ′′ + p( x ) y ′ + q( x ) y = f 2 ( x )
VD 11. Cho phương trình vi phân:
thì y(x) = y1(x) + y2(x) là nghi m riêng c a (9).
y ′′ − 2 y ′ + 2 y = (2 + x 2 )e x (*).
a) Ch ng t (*) có 1 nghi m riêng là y = x 2 e x . VD 14. Tìm nghi m t ng quát c a ptvp y ′′ − y ′ = 2 cos 2 x .
b) Tìm nghi m t ng quát c a (*). Bi t:
y ′′ − y ′ = 1 có nghi m riêng y1 = − x , y ′′ − y ′ = cos 2 x có
VD 12. Tìm nghi m t ng quát c a ptvp:
2 1
y ′′ + y ′ = 2 sin 2 x + 4 cos 2 x nghi m riêng y2 = − cos 2 x − sin 2 x .
10 10
bi t 1 nghi m riêng là y = − cos 2 x .
§4. H PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN C P 1
• M i ptvp c p n d ng y ( n ) = f ( x, y , y ′,..., y ( n −1) ) ñ u có th
4.1. Khái ni m cơ b n
ñưa v d ng h ptvp chu n t c c p 1 b ng cách ñ t
• H phương trình vi phân chu n t c c p 1 có d ng:
y = y1 , y ′ = y2 ,..., y ( n −1) = yn .
y1/ = f1 ( x, y1 , y2 ,..., yn )
y1/ = y2
/
y2 = f 2 ( x, y1 , y2 ,..., yn ) /
y2 = y3
,
.................................
Khi ñó, ta ñư c h : .......... .
y / = f ( x, y , y ,..., y )
n y/ = y
n 1 2 n
n −1 n
trong ñó x là bi n s ñ c l p và y1(x), y2(x),…, yn(x) là các
yn = f ( x, y1 , y2 ,..., yn )
/
hàm s c n tìm.
• B n hàm s yi = ϕi ( x, C1 , C2 ,..., Cn ), i = 1, n th a h ptvp
là nghi m.
4.2. Phương pháp gi i b) Phương pháp ma tr n
a) Phương pháp kh ñưa v phương trình vi phân c p
cao y1/ = a11 y1 + a12 y2 + ... + a1n yn y1/ y1
/ / y
y = a21 y1 + a22 y2 + ... + a2 n yn y
y′ = 5 y + z ⇔ 2 = A 2 ,
• 2
VD 1. Gi i h phương trình: ...
.
............................................... ...
z ′ = 4 y + 5z
y/
y / = a y + a y + ... + a y yn
n
n n1 1 n2 2 nn n
v i A = ( aij ) .
y′ = z
VD 2. Gi i h phương trình: .
z′ = y Gi s phương trình ñ c trưng det( A − λ I ) = 0 có n nghi m
phân bi t λi , i = 1, n .
V i m i λi có vector riêng ( p1i , p2i ,..., pni ) .
Trang 18
ThS. ðoàn Vương Nguyên Slide bài gi ng Toán A3DH
y′ = y + 2 z
Khi ñó, h ptvp có h nghi m cơ b n là:
VD 3. Gi i h phương trình: .
y11 = p11eλ1 x , y21 = p21eλ1 x ,..., yn1 = pn1eλ1 x z ′ = 4 y + 3z
λx λx λx
y12 = p12 e 2 , y22 = p22 e 2 ,..., yn 2 = pn 2 e 2 ð c bi t
• H ptvp có d ng
................................................................
y1/ λ11 0 ... 0 y1 y1 C11eλ11 x
y = p eλn x , y = p eλn x ,..., y = p eλn x
1n λ22 x
/
y2 = 0 λ22 ... 0 y2 ⇔ y2 = C22 e .
1n 2n 2n nn nn
y1 = C1 y11 + C2 y12 + ... + Cn y1n ... ... ... ... ... ... ... ...
y = C y + C y + ... + C y /
0 ... λnn yn yn Cnn e λnn x
và nghi m t ng quát là 2 1 21 2 22 n 2n
yn 0
.
.................................................
y′ = − y
yn = C1 yn1 + C2 yn 2 + ... + Cn ynn
VD 4. Gi i h phương trình: z ′ = 3z .
u ′ = 2u
…………………………………..H t…………………………………
Trang 19
