PP_CM_QUY_NAP
1. Kiến thức: Học sinh nắm vững:
- Thế nào là phương pháp quy nạp tóan học.
- Các bước tiến hành để giải bài tóan quy nạp.
2. Kỹ năng: Học sinh có kỹ năng:
- Giải tóan bằng phương pháp quy nạp.
sưu tầm từ internet
Chương III: DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN
Tiết: 37 PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TÓAN HỌC
A. Mục đích yêu cầu:
1. Kiến thức: Học sinh nắm vững:
- Thế nào là phương pháp quy nạp tóan học.
- Các bước tiến hành để giải bài tóan quy nạp.
2. Kỹ năng: Học sinh có kỹ năng:
- Giải tóan bằng phương pháp quy nạp.
B. Lên lớp:
B1. Ổn định và điểm danh:
B2. Bài cũ:
B3. Bài mới: Trọng tâm: Cách giải các bài tóan bằng phương pháp quy nạp.
Phương pháp: Vấn đáp – Minh họa
NỘI DUNG TG PHƯƠNG PHÁP
I. Mở đầu: + GV giới thiệu phương pháp quy nạp tón học.
Trong nhiều bài tóan, đôi lúc ta thường gặp phải chứng minh
những mệnh đề phụ thuộc vào số tự nhiên n ∈ ¥ .
Để chứng minh những mệnh đề như thế, ta không thể thử
trực tiếp được mà dùng phương pháp chứng minh bằng quy nạp
như sau:
II. Phương pháp chứng minh bằng quy nạp:
Để chứng minh một mệnh đề bằng phương pháp quy nạp
tóan học (hay phương pháp quy nạp), ta làm như sau:
Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n = 0.
Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất
kỳ
n = k ≥ 0 (gọi là giả thiết quy nạp). Ta hãy chứng minh
mệnh đề cũng đúng với n = k+1.
Kết luận: Mệnh đề đúng với mọi số tự nhiên n.
Chú ý. Nếu phải chứng minh mệnh đề đúng với mọi số tự
nhiện n ≥ p thì:
- Trong bước 1 ta phải thử với n = p.
- Trong b
III. Một số ví dụ:ước 2, ta giả sử mệnh đề đúng với một số
tự nhiên n = k p.
1. Ví dụ 1: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ≥ 1, ta có:
n ( n + 1) + Kiểm tra với n nào?
1 + 2 + 3 + ... + n = ( 1) + Cách kiểm tra?
2
+ Cách thiết lập giả thiết quy nạp?
Giải:
+ Khi n = 1, ta có:
VT = 1
1( 1 + 1) ⇒ (1) đúng với n = 1
VP =
2
+ Giả sử (1) đúng với một số tự nhiên n = k ≥ 1, tức là:
k ( k + 1)
1 + 2 + 3 + ... + k = ( 1')
2
Ta chứng minh (1) cũng đúng khi n = k+1, tức phải chứng minh:
( k + 1) ( k + 2 )
1 + 2 + 3 + ... + k + ( k + 1) = ( 1") + Phải chứng minh điều gì?
2
C/m:
k ( k + 1)
VT = ( 1 + 2 + 3 + ... + k ) + ( k + 1) = + ( k + 1) + Dùng giả thiết quy nạp thay vào k số hạng đầu
2 tiên.
k Ộ(IkDUNG + 2 )
N + 1) ( k TG PHƯƠNG PHÁP
= ( k + 1) . + 1 = = VP
2 2
Vậy (1) đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1
2. Ví dụ 2: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ≥ 2, ta có:
a n − b n = ( a − b ) ( a n −1 + a n − 2 b + ... + ab n − 2 + b n −1 ) ( 2)
Giải:
+ Khi n = 2:
VT = a 2 − b 2 + Kiểm tra với n = 2.
2
⇒ (2) đúng với n = 2
VP = ( a − b ) ( a + b ) = a − b
2
+ Giả sử (2) đúng với một số tự nhiên bất kỳ n = k ≥ 2, tức là:
+ Thành lập giả thiết quy nạp?
a − b = ( a − b) ( a
k k k −1
+a k −2
b + ... + ab k −2
+b k −1
) ( 2 ')
Ta chứng minh (2) cũng đúng với n = k+1, tức là phải chứng minh:
a k +1 − b k +1 = ( a − b ) ( a k + a k −1b + ... + ab k −1 + b k ) ( 2") + Mệnh đề phải chứng minh?
Cm:
a k +1 − b k +1 = a k +1 + a k b − a k b + b k +1 = a k ( a − b ) + b ( a k − b k ) + Hướng dẫn chứng minh.
=a k
( a − b ) + b ( a − b ) ( a + a + ... + ab
k −1 k −2 k −2
+b k −1
)
= ( a − b ) ( a k + a k −1b + ... + ab k −1 + b k ) = VP
Vậy (2) đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 2
IV. Củng cố: Phương pháp chứng minh bằng quy nạp?
Dặn dò: BTVN ( Bài tập SGK)
+
Nguồn maths.vn
