Phương trình vi phân
Tài liệu toán học: " Giải gần đúng phương trình vi phân thường"
Chöông 6
GIAÛI GAÀN ÑUÙNG PHÖÔNG TRÌNH
VI PHAÂN THÖÔØNG
6.1. MÔÛ ÑAÀU
Nhieàu baøi toaùn kyõ thuaät qui veà vieäc t×m nghieäm cuûa phöông trình vi phaân thoaû
maõn ñieàu kieän naøo ñoù (ñieàu kieän ñaàu , ñieàu kieän bieân … ) noùi chung giaûi ñuùng laø
khoù neân thöôøng giaûi gaàn ñuùng.
Coù 2 phöông phaùp giaûi gaàn ñuùng :
- phöông phaùp giaûi tích : Tìm nghieäm gaàn ñuùng daïng bieåu thöùc tuy nhieân
phöông phaùp naøy thöoøng ít duøng hôn
- Phöông phaùp soá : Ta tìm nghieäm taïi caùc ñieåm xo y’(x) = f(x,y) ⇒ y’(xo) =f(xo,yo)
∂f ∂f
y” = + .y’
∂x ∂y
∂f ∂f
y”(xo) = (xo,yo) + (xo,yo).f(xo,yo)
∂x ∂y
Vaø cöù tieáp tuïc nhö vaäy .Khi tính nhö vaäy ta seõ tìm ñöôïc chuoãi Taylo vaø ñoù
chính laø nghieäm cuûa phöông trình vi phaân .
Ví duï :
⎧ y ' = x. y
⎨
⎩ y (0) = 1
Ta coù : y(0) =1
y’(o) =0 – 1 =-1
y” = 1-y’ ⇒ y”(0) =2
y , ,, = - y ⇒ y ,,, (0) =-2
,,,
Töø ñaây ta suy ra ; y(k)(0) = (-1)k.2 vôùi k≥2 Do ñoù :
∞
(−1) k x k ∞
( − x) k
yt(x) = 1-x +2 ∑
k =2 k!
= 1- x +2 ( ∑
k =0 k!
-1 +x )
-x
= 2e + x –1 .
Ñaây laø nghieäm daïng chuoãi ñuùng.
Ví duï 2 :
⎧ y
⎪ y' =
⎨ y+x
⎪ y (1) = 2
⎩
y(1) =2
2 2
y’(1) = =
1+ 2 3
⎛ y ⎞ ( x + y ) y '− y ( x + y )' xy '− y
⎜x+ y⎟’ =
y” = ⎜ ⎟ =
⎝ ⎠ ( x + y) 2
( x + y) 2
2
1 −2
−4
y”(1) = 3 2 =
(1 + 2) 27
Tieáp tuïc ta tính caùc caùc ñaïo haøm baäc cao :
4
y ''' (1) = … vv .
27
Ta coù keát quaû :
58
2 2 2 2
y(x) ≈ 2+ (x-1) - (x-1)2 + (x-1)2+ (x-3)3 + …
3 27 27 81
6.3. PHÖÔNG PHAÙP SOÁ
6.3.1. Phöông phaùp caáp 1 – Phöông phaùp Ôle.
Ta chia ñoaïn (x0, x ) thaønh n ñoaïn nhoû baèng nhau bôûi caùc ñieåm chia xi, böôùc caùc
ñieåm chia laø h, h>0
x − x0
h= ;
n
x i = x 0 +i.h ; i= 0,1,…,n
Neáu y(x) laø nghieäm ñuùng cuûa phöông trình (7.1),(7.2) ta tìm caùch tính gaàn ñuùng
giaù trò y(x) chæ taïi caùc nuùt xi maø thoâi, roài töø ñoù cho pheùp ta duøng caùc giaù trò gaàn
ñuùng ñoù. Goïi ui laø giaù trò gaàn ñuùng cuûa y(xi) laø gia trò ù caàn tìm.
Neáu ñaõ bieát ui taïi xi ta tính ui+1 taïi nuùt xi+1. Ta khai trieån Taylo haøm y(x) taïi xi :
y ,, ( c i )
y (x) =y(xi) + y’(xi).(x-xi) + .(x-xi)2
2!
ci = xi + θ (x-xi) ; 0 < θ 2x
Ta coù: f(x,y) = y - ; x0 = 0 ; x =1 ; y0 =1
y
1
Löôùi sai phaân: xi =i.h ; h =
n
Coâng thöùc Ôle cho baøi toaùn laø:
2 xi
ui+1 = ui + h.(ui - )
ui
u0 = y0 = 1
Neáu ta chia n =10 thì keát quaû tính nhö baûng sau:
(Trong baûng coù cho giaù trò ñuùng yi vì y = 2x + 1 )
i xi ui yi(nghieäm Sai soá δ
ñuùng)
0 0.0 1 1
1 0.1 1.1 1.095445
2 0.2 1.191818 1.183216
3 0.3 1.277438 1.264911
4 0.4 1.358213 1.341641 Max 5%
5 0.5 1.435133 1.414214
6 0.6 1.508966 1.483240
7 0.7 1.580338 1.549193
8 0.8 1.649783 1.612452
9 0.9 1.717779 1.673320
10 1.0 1.784771 1.732051 0.04 ⇒ 4%
6.4.CAÙC PHÖÔNG PHAÙP ÑA BÖÔÙC
Xeùt baøi toaùn coâsi :
y’=f(x,y) xo ≤ x ≤ x
y(xo) = yo (y,f ∈ Rm)
Tích phaân 2 veá töø xn ñeán xn+1 ñöôïc:
xn +1
y” =yn + ∫ y' ( x)dx
xn
xn − x
Ñaët =t , coù :
li
1
yn+1 =yn + h ∫ y ' ( x n + t.h)dt (*)
0
60
Aùp duïng ña thöùc noäi suy Niutôn luøi cho y’n+1 =y’(xn+t.h) ta coù:
t t (t + 1) 2 t (t + 1)...(t + q − 1)
y’n+t =y’n + ∆y’n-1 + ∆ y’n-2 + ∆qy’n-q
1! 2! q!
Aùp duïng tính chaát sai phaân vaø kyù hieäu sai phaân luøi ta coù :
∇y’n =∇y’n-1 = y’1 – y’n-1
t t (t + 1) 2 t (t + 1)...(t + q − 1)
y’n+t =y’n + ∇y’n + ∇ y’n + … + ∇qy’n (**)
1! 2! q!
(∇ky’n =∇ky’n-k)
Xuaát phaùt töø xn+1 (thay n = n+1 vaø t = t-1 ) ta coù :
t − 1 (t − 1)t 2
y’n+t = y’n+1 + ∇y’n+1 + ∇ y’n+1 + … +
1! 2!
t (t − 1)...(t + q − 2) q
∇ y’n+1
q!
Thay (**) vaøo (*) ta coù coâng thöùc :
q
yn+1 = yn +h ∑ ai ∇iy’n (***)
i =0
t (t + 1)...(t + i − 1)
1
Trong ñoù ao =1 ; ai = ∫ dt ; ι =1,2,…q .
0
i!
Tính caùc heä soá ta coù :
1 5 2 3 3 25! 4
yn+1 =yn + h[1+ ∇ + ∇ + ∇ + ∇ +… ] y’n
2 2 8 720
Neáu q = 0 ta coù laïi coâng thöùc Euler :
yn+1 = yn + h f(xn,yn) .
Töø coâng thöùc (***) ta tính ñöôïc caùc giaù trò tieáp theo cuûa y taïi nuùt .
Sai soá cuûa coâng thöùc laø :
t (t + 1)...(t + q) (q+2)
1
Rq = liq+2 ∫ y (ξ)dt .
0
(q + 1)!
q+2 (q+2)
Hay : Rq = h y (ξ)
-Phöông phaùp tieäm caän sai soá : Khì (x,y) khaû vi , lieân tuïc vaø y(x) coù ñaïo haøm
ñeán caáp 3 bò chaën thì toàn taïi haøm w(x) lieân tuïc khoâng phuï thuoäc vaøo böôùc h sao
cho :
ui – y(xi) = h.w(xi) +o(h2) (*)
61
Giaû söû vôùi cuøng baøi toaùn ta tính theo ôle 2 laàn: Laàn 1 vôùi böôùc h ta ñöôïc giaù trò
h h
gaàn ñuùng taïi xi laø u(xi,{ }) , laàn 2 vôùi böôùc ta ñöôïc giaù trò gaàn ñuùng taïi xi laø
2 2
h
u(xi,{ }) theo (*) ta coù :
2
u(xi,{h}) – y(xi) = h w(xi) + o(h2) (**)
h h
u(xi,{ }) – y(xi) = w(xi) + o(h2) (***)
2 2
Ta khöû w(xi) khoûi 2 ñaúng thöùc treân ta coù :
h
[2u(xi, ) - u(xi,h)] – y(xi) = o(h2)
2
Vì o(h2) raát beù , laø sai soá cuûa pheùp xaùc ñònh ta coù :
h
y(xi) = 2u(xi, ) - u(xi,h) (***)
2
Ta coù nghieäm chính xaùc hôn
Vaø nhö vaäy coù phöông phaùp 2 böôùc ( Euler )
2x
Ví duï : cuõng giaûi baøi toaùn y’ = y- ; vôùi 0 ≤ x ≤ 1
y
y(0) =1
Ta coù baûng keát quaû :
xi U (xi,li) U (xi,
h
) Yi (h) Nghieäm ñuùng
2 y(xi)
0 1 1 1 1
0.2 1.2 1.191818 1.183636 1.183216
0.4 1.373333 1.358213 1.343093 1.341641
0.6 1.531495 1.508966 1.486437 1.483240
0.8 1.681084 1.649783 1.618482 1.622452
1.0 1.826947 1.784771 1.742595 1.732051
62
