Phương trình lượng giác cơ bản
Tài liệu cung cấp cho các bạn ôn lại hương trình lượng giác bằng các bài tập rất hữu ích.
PHÖÔNG TRÌNH LÖÔÏNG GIAÙC
PHÖÔNG TRÌNH LÖÔÏNG GIAÙC CÔ BAÛN
u = v + k 2π,
sin u = sin v ⇔
•
u = π − v + k 2π.
.
•
•
•
Baøi 1. Giaûi caùc phöông trình sau:
4π π 1
3) cosx2 =
1) sin + x + cos − x = 3 ; ;
9 18 2
0 0
2) sin(x – 60 ) + 2cos(x + 30 ) = 0; 4) cos(cosx) = cos(2cosx);
π 2
5) 2 cos sin x − 13 + = 3 ; 6) cotg3x = cotg5x;
6 2
8) 2cos(x2 – 2x) – 1 = 0;
7) ;
3
sin 2 x + 3 cos2 x = 3 4 ;
9)
10)
11)
12) ;
13) ;
14)
Đáp s . .
15) ;
Ñaùp soá
1
54.
π
x = − 9 + k 2 π, 1 π
2) x = 600 + k1800; 55. (D b 2004)
1) 3) x = ± ;
x = 2 π + k 2π; 3
56. (D b 2004)
9
57. (Döï bò 2002) Tìm ñeå phöông trình
π
x = − 4 + k 2 π,
π π
5)
4) x = + kπ ; 6) x = + kπ ; coù nghieäm thuoäc ñoaïn .
x = 5π + k 2 π;
2 2
4 Đáp s . .
π
x1,2 = 1 ± 1 + + k 2 π (k = 0, 1, 2, ...) 58. (Döï bò 2002)
3
8)
7) .
π Ñaùp soá.
x3,4 = 1 ± 1 − + l2 π (l = 1, 2, 3,..)
3
59. (Döï bò 2002)
π 5π
x = 3 + 2k π x = − 6 + 2 kπ
π kπ
10) 11)
9) x = ;
+ Ñaùp soá.
42 x = − π + 2 kπ x = 5π + 2kπ
60. (Döï bò 2002)
9 3 18 3
3π
Baøi 2. Tìm taát caû caùc nghieäm thuoäc ñoaïn − ; π cuûa phöông trình : 61. (Döï bò 2002) Cho phöông trình
2
π1
π 1) Giaûi phöông trình khi
sin x.cos + cos x.sin =
8 82
2) Tìm a ñeå phöông trình ñaõ cho coù nghieäm.
31π π 17π
, ,
Ñaùp soá : −
24 24 24 62. (Döï bò 2002) Giaûi phöông trình
Baøi 3. Tìm nghieäm döông nhoû nhaát cuûa phöông trình:
sin( π x2) = sin[ π (x2 + 2x)].
3 −1
.
Ñaùp soá :
2
1
Trong caùch vieát caùc nghieäm cuûa phöông trình löôïng giaùc, neáu khoâng coù theâm
ñieàu kieän gì khaùc thì k, l, m, u , n ∈ Z .
2 31
42.
PHÖÔNG TRÌNH BAÄC HAI THEO MOÄT HAØM SOÁ LÖÔÏNG GIAÙC
43.
Baøi 1 : Giaûi caùc phöông trình sau:
x x
44. (D b A, 2006) a) cos4 + sin 2 = 1 ; 6 − sin x − 7 cos2 x + sin x = 0 ;
b)
5 5
2 cos x − 1
Đáp s .
sin2x = sin2x;
c) 4 sin x + 2cos2x = 3; d) sinx –
2 cos x − 1
45. (D b A, 2006)
1 3
e) sin42x + cos42x = sin2xcos2x; f) −4 =0;
+
2
2
sin x cos x sin x cos x
Đáp s .
3
g) tg5x + 2sin10x = 5sin5x; h) 2 cos2 x + 2 = ;
46.
1 + 4 cos2 x
tg2x tgx 5
Đáp s . 8 tgx) = 5;
i) 2cosx(cosx – j) =;
+
tgx tg2x 2
47. (A, 2005)
1 5π
π
k) sin2x + cos2x – 2 sin 2 cosx = vôùi – π < x < ;
Đáp s . 8 2
2
48. (B, 2005) 1 3π
π
l) − 2tgx = 1, < x < ;
2
2 2
cos x
Đáp s . .
m) cos(10x + 12) + 4 2 sin(5x + 6) = 4.
49.
Ñaùp soá :
Đáp s . .
π
5π x = ± 6 + k 2 π,
50. (D b 2005) + k 5π,
x= 1
a) c)
b) sinx = – ;
2
x = ± 5π + k 2 π;
3
Đáp s .
x = n5π;
6
51. (D b 2005) Tìm nghieäm thuoäc khoaûng cuûa phöông trình
π
x = k π, x = 12 + k π,
π kπ
d) f)
e) x = ;
+
x = π + k 2 π; x = 5π + k π;
82
6
Đáp s .
12
52. (D b 2005)
53. (D b 2004)
30 3
30. (D b 2, A, 2007)
kπ π
, x = − 4 + k 2 π,
x = 5 π
g) h) x = ± + k π ; i)
2k π 1 1 x = 5π + k 2 π;
6
x = Đáp s .
± arccos ;
5 5 4 4
31. (D b B, 2007)
3π
3π 5 π
j) Þ; k) − , 0, , , 2π ;
4 44
x = π, 1 π
1 3π
l) m) − 6 + k 2 π ∪ − 6 + k 2π .
x = π + arctg2; 5 4 5 4
32. (D b B, 2007)
Baøi 2. Cho phöông trình (*) (m laø tham soá).
Đáp s .
Vôùi . Tìm ñieàu kieän cuûa m ñeå cho phöông trình (*)
coù nghieäm. 33. (D b 1, D, 2007)
11 1
Ñaùp soá : 0 ≤ m ≤ , ≤ m ≤ 1 , ≤ m ≤ 1 . Đáp s .
42 8
Baøi 3. (Hoïc vieän Baùo chí tuyeân truyeàn, HCM, 2001) 34. (D b 2, D, 2007) .
Cho phöông trình sin6x + cos6x = a.sin2x
Đáp s .
a) Giaûi phöông trình khi a = 1;
35. (D b B, 2006)
b) Tìm a ñeå phöông trình ñaõ cho coù nghieäm.
2 1
Ñaùp soá : a) sin2x = ; b) a ≥ . Đáp s . .
3 4
36. (D b B, 2006)
Baøi 4. (ÑH Y döôïc HCM, 2001) Xaùc ñònh caùc giaù trò cuûa tham soá a sao
cho phöông trình sau coù nghieäm sin6x + cos6x = a. sin2x
1 37. (D b D, 2006)
.
Ñaùp soá : a ≥
4 Đáp s . .
Baøi 5. (ÑH Hueá, 2001) Cho phöông trình 38. (D b D, 2006)
(1). Đáp s .
a) Giaûi phöông trình khi ;
39.
b) Chöùng minh raèng vôùi moïi giaù trò cuûa tham soá thöïc m thoûa m ≥ 1
40.
thì phöông trình (1) luoân luoân coù nghieäm.
41.
π
Ñaùp soá: a) x = + kπ.
4
Baøi 6. (ÑHQGHN, khoái D, 2000)
Cho phöông trình 6sin2x – sin22x = mcos2x.
4 29
a) Giaûi phöông trình khi m = 3;
Đáp s .
b) Tìm m ñeå phöông trình ñaõ cho coù nghieäm.
π
17. (A, 2008) Ñaùp soá: a) x = ± + k π ; b) m ≥ 0.
3
Baøi 7. (ÑHQGHCM, ñôït 3, 1998)
Cho phöông trình cos4x + 6sinxcosx = m.
Đáp s .
a) Giaûi phöông trình khi m = 1;
18. (B, 2008) b) Tìm m ñeå phöông trình ñaõ cho coù hai nghieäm phaân bieät x
π π
Đáp s .
∈ − ; .
4 4
19. (D, 2008)
17
Ñaùp soá: b) −2 ≤ m < .
Đáp s .
8
20. (Cao đ ng A, B, D, 2008) Baøi 8. Cho phöông trình sinx + sin2x + asin3x = 0.
a) Giaûi phöông trình khi a = 0;
Đáp s .
b) Chöùng minh raèng vôùi moïi a > 1 thì phöông trình ñaõ cho coù ñuùng
21. (D b 1, A, 2008)
π
hai nghieäm x ∈ 0; .
2
22. (D b 2, A, 2008)
Baøi 9. (ÑH Thaùi Nguyeân, 2000)Cho phöông trình 3cos2x + 2 sinx = m.
23. (D b 1, B, 2008)
a) Giaûi phöông trình khi m = 2;
π π
24. (D b 2, B, 2008) b) Tìm m ñeå phöông trình coù nghieäm duy nhaát x ∈ − ; .
4 4
25. (D b D, 2008)
Ñaùp soá: b) Þ.
26. (A, 2007)
Đáp s .
Baøi 10. (Haøng khoâng Vieät Nam, 1997)
27. (B, 2007)
12
Cho phöông trình sin4x + cos4x – cos2x + sin 2x + m = 0.
Đáp s .
4
a) Giaûi phöông trình khi m = – 2;
28. (D, 2007)
b) Giaûi vaø bieän luaän phöông trình ñaõ cho.
Ñaùp soá:
π
29. (D b 1, A, 2007) a) x = + kπ.
2
b)
Đáp s .
28 5
m > 0 Đáp s .
m < −2 : phöông trình voâ nghieäm.
v
8. (Ñaïi hoïc, Cao ñaúng toaøn quoác, Khoái A, 2003, döï bò 2)
m = 0 cos2x + cosx(2tg2x – 1) = 2.
kπ
: phöông trình coù nghieäm x = .
v
m = −2 2 Đáp s .
1 9. (Ñaïi hoïc, Cao ñaúng toaøn quoác, Khoái B, 2003, döï bò 1)
( )
v – 2 < m < 0 : x = ± arccos 2 − 1 − 4 m .
2 3cos4x – 8cos6x + 2cos2x + 3 = 0.
Bài 11) Gi i các phương trình sau:
Đáp s .
1)
10. (Ñaïi hoïc, Cao ñaúng toaøn quoác, Khoái B, 2003, döï bò 2)
Đáp s . .
x π
(2 − 3 ) cos x − 2 sin 2 −
2) . 2 4 = 1.
2 cos x − 1
Đáp s . .
Đáp s . .
3)
11. (Ñaïi hoïc, Cao ñaúng toaøn quoác, Khoái D, 2003, döï bò 1)
cos2 x(cos x − 1)
.
= 2(1 + sin x) .
sin x + cos x
Đáp s .
COÂNG THÖÙC COÄNG
12. (Ñaïi hoïc, Cao ñaúng toaøn quoác, Khoái D, 2003, döï bò 2)
2 cos 4x
Giaûi caùc phöông trình sau:
cotgx = tgx + .
1) cosx.tg6 x + sin5x = 0; 2) sin x tg5x = cosx; sin 2x
tg2x + tgx tg3x − tg2x Đáp s .
3) = −1 ; 4) = 1;
1 − tg2xtgx 1 + tg3xtg2x
13. (A, 2009)
1 + tgx
5) 2tg3x – 3tg2x = tg22xtg3x; 6) tgx + =2
1 − tgx
Đáp s .
7) cotgx + cotg15o + cotg(x + 25o) = cotgxcotg15ocotg(x + 25o);
14. (B, 2009)
π π
8) tg x + + tg x − = 2 cot gx ;
4 4
Đáp s .
9) (ÑH Döôïc, Haø Noäi, 2001)
15. (D, 2009)
tg2x.cotg22x.cotg3x = tg2x – cotg22x + cotg3x;
Đáp s .
10) (Cao ñaúng Giao thoâng Vaän taûi, 2001)
tg2x.tg23x.tg4x = tg2x – tg23x + tg4x; 16. (Cao đ ng A, B, D, 2009)
6 27
π
11) (Hoïc vieän Böu chính Vieãn thoâng, 1999) tg3 x − = tgx − 1 ;
MOÄT SOÁ ÑEÀ THI ÑAÏI HOÏC GAÀN ÑAÂY 4
Ñaùp soá :
1. (Ñaïi hoïc, Cao ñaúng toaøn quoác, Khoái A, 2002) π
x = 12 ,
Tìm nghieäm thuoäc khoaûng (0; 2 π ) cuûa phöông trình :
nπ
x = 11 , m ∈ ℕ, n ∈ ℕ * ; π(2 n + 1)
.
2) x =
1) ,
12
x = mπ
x = π(1 − 2 n) ;
Đáp s . .
2. (Ñaïi hoïc, Cao ñaúng toaøn quoác, Khoái B, 2002) 8
sin23x – cos24x = sin25x – cos26x. kπ π
x = −,
3) 4) Þ ;
3 12
Đáp s . .
k ≠ 1 + 3m ;
3. (Ñaïi hoïc, Cao ñaúng toaøn quoác, Khoái D, 2002)
5) x = k π ; 6) x = arctg(2 ± 3 ) + kπ;
Tìm x thuoäc ñoaïn [0; 14] nghieäm ñuùng phöông trình
π kπ
cos3x – 4cos2x + 3cosx – 4 = 0. 7) x = 25o + k90o; 8) x= + ;
63
Đáp s .
π
x = k π,
x = 4 + k π,
4. (Ñaïi hoïc, Cao ñaúng toaøn quoác, Khoái A, 2003) π
10)
9) 11) x = k .
x = π + kπ ; 4
cos 2x x = ± π + k π;
1
+ sin 2 x − sin 2x .
cotgx – 1 = 42
1 + tgx 6
2
Đáp s .
COÂNG THÖÙC BIEÁN ÑOÅI TÍCH THAØNH TOÅNG
5. (Ñaïi hoïc, Cao ñaúng toaøn quoác, Khoái B, 2003)
2 Giaûi caùc phöông trình sau:
cotgx – tgx + 4sin2x = .
sin 2x
1)
Đáp s .
2) Trong khoaûng (0; π /12), tìm caùc nghieäm cuûa phöông trình :
6. (Ñaïi hoïc, Cao ñaúng toaøn quoác, Khoái D, 2003)
.
x π x
sin 2 − tg 2 x − cos2 = 0 .
π π 1
2 4 2
3) sinx sin − x sin + x = ;
8
3 3
Đáp s .
4) sinxcos2x + sin2xcos5x = sin3xcos5x;
7. (Ñaïi hoïc, Cao ñaúng toaøn quoác, Khoái A, 2003, döï bò 1)
5) sin2x + sin2x sin4x + … + sinnxsinn2x = 1;
3 – tgx(tgx + 2sinx) + 6cosx = 0.
6) (sinx + 3 cosx).sin3x = 2;
26 7
1
7) sin2xsin4xsin6x = sin 4 x ; 12)
4
sin x.cot g5x
8) (ÑH Hueá, 1999) = 1; 13)
cos9x
9) (ÑH Giao thoâng Vaän taûi HN, 1996) cos3x.tg5x = sin7x;
14)
10) (ÑH Y khoa HN, 1997)
3x 3x 1
x x
cosx cos cos − sin x sin sin = ; 15)
2 2 2 22
11) ; 16)
12) ;
17) ;
Đáp s .
13) ;
18) ;
19)
Đáp s .
Ñaùp soá : 20)
π k 2π
x = 18 + 3 ,
1 21) ;
5 7π
3)
1) n − , n + ; 2) ;
x = 5π + k 2 π ;
12 4 18
22)
18 3
Ñaùp soá :
kπ
5π
,
x = 1) x = + k 2 π; (xem phöông trình ñaõ cho laø phöông trình baäc hai theo tgx);
(2k + 1)π π
3
4) 5) x = ; 6) x = + kπ ; 6
n2 + n
x = k 2π 6
x = k 2 π,
;
3π k π
2)
9 3) x = (1 + 4k)2 π ; 4) x = − + ;
π
x = + k 2π; 8 2
kπ 1 1 − 5 k π 1 1 + 5 k π
2
7) ∪ ± arccos + ∪ ± arccos +
4 4 1
4 2 4 4 2
5) Þ ; 6) x = ± 1 ; 7) ;
2
x = k π,
π
9)
8) x = k π ; 10) + 2 k π .
π
x = + k 2π; 2
2
11) ; 12)
8 25
Ñaùp soá: π
x = − 4 + k π,
x = k π, x = − π + k π,
π kπ
x = mπ,
,
x = +
nπ
π π
3) y = 9)
42 2
1) x = + k 2 π ; 2) Þ; , 4) ±1; + k π ; 8) 10)
x = π + kπ ;
2 2 2
x = − π + k 2π,
x = π kπ
+; 20 10
π 2 mπ
6
z = − + 20 10
;
6 3 7π
x = + k 2π.
π 6
5) x = 2k π ; 6) x = + kπ ; 7) x = 0;
8
π π k π π nπ
π π
8) + k π ; + k π ; 9) − + ; + ; 10) −1; 1 + (2 n + 1) .
2 2 6 2 6 4 4
MOÄT SOÁ BAØI KHAÙC COÂNG THÖÙC BIEÁN ÑOÅI TOÅNG THAØNH TÍCH
Baøi 1. Giaûi caùc phöông trình sau: Baøi 1. Giaûi caùc phöông trình sau :
4 11 1) cos5x – sin5x = sin7x – cos7x;
1) sin2x + 2tg2x + tgx − sin x + = 0;
2) sin7x + cos22x = sin22x + sinx;
12
3
3) cos2x – sin3x – cos8x = sin10x – cos5x;
2) 8cosx + 6sinx – cos2x – 7 = 0;
4) sinx + sin2x + sin3x = 1 + cosx + cos2x;
x x
3) cos − 2 sin x sin x + 1 + sin − 2 cos x cos x = 0; 5) 5sinx + 6sin2x + 5sin3x + sin4x = 0;
4 4
1 1 1
4) sin4x.cos16x = 1; 6) ;
= +
sin x sin 2 x sin 4 x
5x x
5) sin − sin = 2 ; 7) sina + sin(x – a) + sin(2x + a) = sin(x + a) + sin(2x – a);
2 2
8) (ÑH Haøng haûi, HN, 2001, Khoái A)
πx 3 + x
6) x 2 + (x + 1)sin π π
, − 2 ≤ x ≤ 2;
=
cos 2 x + + cos 2 x − + 4 sin x = 2 + 2(1 − sin x ) ;
6 2
4 4
x +1 1− x
7) x = sin π sin π , 0 ≤ x ≤1; 9) (ÑH Ngoaïi thöông, HN, 2000, Khoái A)
3 3
1 + sinx + cos3x = cosx + sin2x + cos2x;
8) cos120x – sin120x = 1;
10) (ÑHSP, HCM, 2000, Khoái D, E)
9) cos68x + sin69x = 1;
2cos2x + 2cos22x + 2cos23x – 3 = cos4x(2sin2x + 1);
10) 4(sin3xsinx)2 – sin3x = 5;
11)
11) . 12)
13)
24 9
a) Giaûi phöông trình khi m = – 1 baèng caùch ñaët t = cosx – sinx;
Ñaùp soá. π π
b) Tìm m ñeå phöông trình coù ñuùng hai nghieäm x ∈ − ; .
π kπ 4 4
x = 16 + 4 ,
π kπ x = −π + k 2 π,
x = 8 + 4 , 2
Ñaùp soá : a)
x = 3π + k π,
π b) − ≤ m 0).
π k 2π
18 3
x = + ; Tìm a ñeåû phöông trình coù nghieäm.
6 5
π
x = 2 + k π,
PHÖÔNG PHAÙP SO SAÙNH HAI VEÁ
kπ
x = π + k 2 π,
x = 2 , π
x = (2 k + 1)π,
6 Baøi 1. Giaûi caùc phöông trình sau:
5)
4) 6) 7
5π x = ± 2 π + k 2 π; k ≠ 7l − 4;
x = −3 − cos2 x + 3sin 5 x = 1 − sin x ;
+ k 2 π, 1)
6 3
2 π π
2π 2sin x − − 3 cos 2 x + = 5 ;
2)
x = ± + k 2 π; 3 6 3
3
1
(1 + tg 2y ) (3 + sin 3z) = 4 ;
2 2
1± 5 cos x +
3)
7) (– ∞ ; + ∞) vôùi a ∈ {k π }, x = ± arccos + 2 k π vôùi a ∈ ( – ∞; + ∞); 2
cos x
4
(CÑSP Kó thuaät, 2001) Tìm x, y thoûa
4)
π
x = − 6 + k π, x2 – 2xsinxy + 1 = 0;
(Ngaân haøng, HCM, 2001)
π 5)
x = 7π + k π,
x = 6 + k 2 π, π kπ cos3x + 2 − cos2 3x = 2(1 + sin 2 2x) ;
9)
8) 10) x = + .
6
x = 5π + k 2 π; 84 6) (Kó thuaät Coâng ngheä, 2001, Khoái D)
x = ± π + k 2 π,
6 π
3 tg 2 2x + cotg 2 2x = 2sin 5 2x + ;
x = k π; 4
sin x
7) (ÑHTCKT, Haø Noäi, 1999) π = cos x ;
COÂNG THÖÙC HAÏ BAÄC, COÂNG THÖÙC NHAÂN ÑOÂI 2 2 2 2
8) 4 + sin x + cos 2x = 5sin xsin y;
π
9) tg22x + 2 3 tg2x + 3 = – cotg2 4y − ;
Baøi 1 : Giaûi caùc phöông trình sau : 6
3 2 2 2
10) 1 – 2x – x = tg (x + y) + cotg (x + y).
1) sin2x + sin22x + sin23x = ;
2
10 23
2) (Khoái B, 2002) sin23x – cos24x = sin25x – cos26x;
π π
x = 4 + k 2π, x = 4 + k π, 3) sin24x – cos26x = sin(10,5 π + 10x);
x = π + k 2 π,
9
7) x = + k 2π, 9) x = + k 2π,
π π
8) 4) sin22x + sin2x = ;
x = π + k 2π;
2 2 16
2
x = π + k 2 π; x = π + k 2 π; π π
5) sin7x + sin9x = 2 cos2 − x − cos2 + 2 x ;
4 4
2
1 x x x x
π 6) cos + 2 cos = 0 ; 7) cos − 8 cos = 0 ;
x = + 4k π
2 2 4 4 8
2
x = 2k π, 17 17
8) sin8x + cos8x = cos22x; 9) sin8x + cos8x =
2
;
11π
10) 11) x = + 4 k π (k ∈ ℕ, m ∈ ℕ*) 16 32
π
x = + 2 k π; 6
π π
7
2 10) sin4x + cos4x = cot g x + cot g − x ;
2
x = − 5π + 4 m π 3 6
8
6
5π
11) sin22x = 3 cos2x – sin2( x + π ) vôùi − < x Baøi 17 : Giaûi caùc phöông trình sau :
x = k π,
1 3
2) 4)x = ± arccos + k π ;
x = kπ ; 1) 1 + tgx = 2 2 sinx;
2 4
(Cao ñaúng TCKT, HN, 2001) cos3x + cos2x + 2sinx – 2 = 0;
9 2)
(ÑH Caûnh saùt 2000) cos3x + sin3x = sin2x + sinx + cosx;
2− 2 2 −2 3)
6) x = ±4arccos + 8k π ; 7) x = ±8arccos + 16k π ;
(ÑH Ñaø Laït, 2001) cos3x – sin3x = cos2x – sin2x;
2 2 4)
π kπ π kπ π kπ
( ÑH An ninh, 1999) cos3x + sin3x = 1;
8) x = + 9) x = + ; 10) x = ± + ; 5)
84 84 12 2
5π
1 1
= 4sin x + ;
9π 7 π 5π 3π π π 3π +
6)
11) − , − , − ,− , − , , ; 3π
sin x 4
sin x −
4 4 4 4
4 4 4
2
π kπ π kπ
12) x = + ; 13) x = + ; π
42 42 7) (ÑH Ngoïai ngöõ, HN, 2000) sin 2 x + 2 sin x − = 1;
4
π kπ
Baøi 2) a) x = + ; b) [ −1;1] \ {0} .
8) (ÑHQGHCM, 2000) cos3x – sin3x = –1;
42
9) ( ÑH Noâng nghieäp, HN, 2000) 1 + cos3x – sin3x = sin2x;
x
COÂNG THÖÙC TÍNH sinx, cosx, tgx THEO tg . π 1
10) sin x + = (1 − sin x cos x ) ;
2 4
2
Baøi 1 : Giaûi caùc phöông trình sau :
x x
1) tg2x + 3cotgx = 0; 11) sin + cos = 2 sin x .
2 2
x
2) sin2x + 3sinx = tg ;
Ñaùp soá :
2
π
3) (Baùch khoa HN, khoái A, D, 2001) sin2x + 2tgx = 3;
x = 4 + 2 k π,
4) (SPHN, 2001, khoái B, M, T) tgx + 2cotg2x = sin2x; x = k 2 π,
11π kπ
5) (QGHN, khoái D, 2000) 1 + 3tgx = 2sin2x;
1) x = 2)
+ 2 k π, 3) x = ;
x = π + k 2π;
x 12 2
6) (Haøng haûi, 2000) tg cosx + sin2x = 0; 2
x = − 5π + 2 k π;
2
x 53 x 12
7) 15cot g + 130sin x = tg ;
2 52 π
x = − 4 + k π,
59 x x
cos x + 6sin x.tg = 4tgx.cot g ;
8)
x = k 2 π, x = k 2 π,
4 2 2
6) x = − + k π,
π
4) 5)
x = π + k 2π; x = π + k 2π;
π 8
9) 2sin 2 x − = 2sin 2 x − tgx ;
2 2
4
x = 5π + k π;
3 8
10) ( ÑH Thuûy lôïi 1999) tg2x + sin2x = cotgx.
2
12 21
Ñaùp soá :
PHÖÔNG TRÌNH ÑOÁI XÖÙNG – PHÖÔNG TRÌNH PHAÛN XÖÙNG π
x = ± 3 + mπ, 2k π π
1) 2) x = ; 3) x = + 2k π
I. Phöông trình ñoái xöùng theo sinx vaø cosx 3 4
x = π + k π;
1) Ñònh nghóa. Phöông trình ñoái xöùng theo sinx vaø cosx laø phöông trình 2
coù daïng π π
4) x = ± + k π ; 5) x = − + kπ ; 6) x = k π ;
a(sinx + cosx) + bsinxcosx + c = 0 (*) trong ñoù a, b, c ∈ R . 4 4
2) Caùch giaûi x = ±2arctg3 + 2nπ,
8)
π 7) x = ±2arctg5 + 2kπ ;
x = ±2arctg 3 + 2nπ;
Ñaët t = sinx + cosx = 2 sin x + (ñieàu kieän t ≤ 2 ).
4
11
⇒ t = (sinx + cosx) = sin x + cos2x + 2sinxcosx
2 2
2
π
x = 2 + k π,
t2 − 1
(hay sin2x = t2 – 1).
⇒ sinxcosx = π
10)
9) x = ± + kπ ;
2 4 x = ± π + k π.
Thay vaøo phöông trình ñaõ cho ta ñöôïc moät phöông trình baäc hai
6
theo t. Giaûi phöông trình naøy vaø nhaän nghieäm t thoûa t ≤ 2 .
PHÖÔNG TRÌNH COÅ ÑIEÅN
Sau ñoù trôû veà aån x.
Neáu phöông trình coù daïng a(sinx – cosx) + bsinxcosx + c = 0 (1)
F
π Baøi 1: Giaûi caùc phöông trình sau :
thì ta ñaët t = sinx – cosx = 2 sin x − (ñieàu kieän t ≤ 2 )).
4
a) 3 cos 3x + sin 3x = 2 ;
2
1− t 3 cos9x = 1 + 4sin33x;
b) 3sin3x –
(hay sin2x = 1 – t2).
⇒ sinxcosx =
2
c) cos7x. cos5x – 3 sin2x = 1 – sin7x. sin5x;
Neáu phöông trình coù daïng a(cosx – sinx) + bsinxcosx + c = 0 (2)
F
d) (ÑH Kinh teá quoác daân Haø Noäi, 1997)
thì ta vieát (2) ⇔ – a(sinx – cosx) + bsinxcosx + c = 0 vaø ñöa veà
2π 6π
daïng phöông trình (1). Tìm caùc nghieäm x ∈ ; cuûa phöông trình
5 7
Chuù yù :
F
π π cos7x – 3 sin7x = – 2 ;
sinx + cosx = 2 sin x + = 2 cos x − .
˜
4 4 π π π
e) 3sin x − + 4 sin x + + 5 sin 5x + = 0 ;
π π 3 6 6
sinx – cosx = 2 sin x − = – 2 cos x + .
˜
4 4
f) (Cao ñaúng Haûi quan HCM, 1998)
π π 4sin3x –1 = 3sinx – 3 cos3x;
cosx – sinx = – 2 sin x − = 2 cos x + .
˜
4 4
g) (Hoïc vieän Böu chính Vieãn thoâng , 2001)
4sin3x. cos3x + 4cos3x. sin3x + 3 3 cos4x = 3;
20 13
h) 2 – 3 cos2x + sinx = 4cos23x; 5) (ÑH Luaät, Haø Noäi, 1999) 4(sin3x – cos2x) = 5(sinx – 1);
3π x 1 π 3 x
i) (ÑHSP, HCM, B, D, 2001) 6) (Thuyû Lôïi HN, 2001) sin − = sin + ;
10 2 2 10 2
4(sin4x + cos4x) + 3 sin4x = 2;
7) (ÑH Y döôïc,HCM, 1997) Baèng caùch ñaët t = tgx, giaûi phöông trình
j) (ÑH Noâng nghieäp I, Haø Noäi, 1995)
sinx.sin2x + sin3x = 6cos3x;
2 + cos 2 x + 3 sin 2 x = sin x + 3 cos x ;
8) (ÑHQGHCM, ñôït 3, 1997)
k) (ÑH Thöông maïi, Haø Noäi, 2000) Cho phöông trình cos4x = cos23x + asin2x.
3 sin2x – 2 cos2x = 2 2 + 2 cos 2 x ; a) Baèng caùch bieán ñoåi t = cos2x, giaûi phöông trình khi a = 1;
l) (ÑHSP Quy Nhôn, 1998) π
b) Ñònh a ñeå phöông trình coù nghieäm thuoäc khoaûng 0; .
12
sinx + 3 cosx + sin x + 3 cos x = 2;
π
2
9) (ÑHQGHN, 1998) 8cos3 x + = cos3x;
π 3x π 3x
m ) 2 – sinxcos2x – sin2xcosx = cos − − sin − . 3
4 2 4 2
Ñaùp soá :
n) sin3x + 3 cos3x = 2sin5x;
kπ π
x = 2 , x = 2 + 2 k π,
p) 2cos3x + 3 sinx + cosx = 0; π kπ
x = 6 + 3 ,
q) sin9x + 3 cos7x = sin7x + 3 cos9x 5π
x = − π + mπ, 3) x = − + 2 k π,
1) 2)
x = ± 2π + 2π ; 12 2
x = 7π + lπ; x = − 11π + 2 k π;
Ñaùp soá 9 3
π 2k π π 2k π 12 2
x = − 36 + 3 , x = 18 + 9 , π
x = − 3 + k π, 3π
π
a) b) c)
x = 5 − 2 k π,
x = 2 + 2 k π,
x = 5π + 2 k π ; x = 7π + 2 k π ; π kπ
x = k π;
x = 8 + 4 ,
36 3 54 9 14 π
6) x =
x = − π + 2k π,
4) 5) + 2 k π,
9π α k π 6 5
x = ± π + kπ ;
x = 24 + 4 + 2 ,
35π 53π 59 π 4 3
x = 7π + 2 k π; x = 4 π + 2 k π;
24 4
e)
d) , , ; vôùi sin α = , cos α = ;
x = π − α + kπ ;
84 84 84 5 5 6 5
36 6 3 x = arctg2 + k π,
kπ
7)
π 2k π
−π k π π kπ 8) a) x = ; b) 0 < a < 1.
π
x = − 6 + 3 , x = 24 + 2 , x = 12 + 2 , x = ± + k π; 2
3
f) g) h)
x = π + 2k π ; x = π + kπ ; x = − π + kπ ;
18 3 82 24 4
14 19
−π k π
π
x = − 4 + k π, +,
x =
π π
x = − + k π, x = + k π, π
2π
12 2
5) 6)
4) i) j) x ∈ − + 2 k π; + 2k π
4 4
π kπ 3 3
x = ± π + k π; x =
x = arctg5 + k π; x = arctg( −2) + k π; +;
3 42
π k 2π
π
,
x = − 6 + 2k π, x = +
1 π kπ 6 3
π
m)
l)
k) x = + 2 k π;
x = arctg 2 + k π, x = 4 + 2 , kπ π k 2π
2
x =
x = π + 2 k π;
7) 8) 9) x = ; .
+
2
3 3
2
x = ± π + k π;
π
x = ± 4 + k π;
3
π π *) (A, 2009)
10) x = + k π ; 11) x = + k π .
4 4
Baøi 2. (ÑH Thuûy saûn, 2000) Đáp s .
Cho phöông trình cos2x – sinxcosx – 2sin2x – m = 0 (1).
*) (B, 2009)
a) Giaûi phöông trình khi m = 1;
b) Giaûi vaø bieän luaän phöông trình theo tham soá m. Đáp s .
Baøi 3) Cho phöông trình
(4 – 6m)sin3x + 3(2m – 1)sinx + 2(m – 2)sin2x.cosx – (4m – 3)cosx = 0.
*) (D, 2009)
a) Giaûi phöông trình khi m = 2;
π Đáp s .
b) Tìm m ñeå phöông trình ñaõ cho coù nghieäm duy nhaát x ∈ 0; .
4 * (B, 2008)
m ≥ 1
Đáp s .
Ñaùp soá : b)
m < 3
4 * (D, 2007)
COÂNG THÖÙC NHAÂN BA
* (D b 2, A, 2007)
Baøi 1. Giaûi caùc phöông trình sau :
1) cos9x – 2cos6x = 2; Đáp s .
2) sin6x + 2 = 2cos4x;
* (Döï bò 2002) Cho phöông trình
π 3x 3π x
3) sin + = 2sin + ;
4 2 4 2
1. Giaûi phöông trình khi
1
4) (Ngoaïi ngöõ Haø Noäi,2 001) cos3 x. cos3x - sin3x.sin 3 x = cos3 4x + ;
4 2. Tìm ñeå phöông trình ñaõ cho coù nghieäm.
18 15
b) Cho haøm soá . Tìm m ñeå GTNN cuûa haøm soá
Baøi 2. Tìm m ñeå caùc phöông trình sau coù nghieäm:
nhoû hôn – 1; (Ñaùp soá : m > 2 2 ).
a) (m – 1)sinx + mcosx = 2 ;
c) ( ÑH QGHCM, 1997) Cho haøm soá .
b) m . cos x − 2 sin x = 2 + 2 − m ;
π π Vôùi m = 1, haõy tìm GTLN vaø GTNN cuûa haøm soá.
v
c) 4sin x + cos x − = m 2 + 3 sin 2 x − cos 2 x .
Tìm m ñeå Maxym ñaït GTLN.
3 6 v
1
Ñaùp soá ÑS. * GTLN = 2, GTNN = 0; * m = )
3
1− 7
m ≤
2 PHÖÔNG TRÌNH ÑAÚNG CAÁP
a) b) [ 5 – 1; 2]; c) [ – 2; 2].
1+ 7
m ≥
2 Baøi 1 : Giaûi caùc phöông trình sau :
1) sin2x + 3sinxcosx + 2cos2x = 0;
Baøi 3 : Cho phöông trình 2sinx + mcosx = 1 – m
2) 3sin2x – sin2x + 5cos2x = 3;
π π
a) Tìm m ñeå phöông trình coù nghieäm x ∈ − ; .
3) 2 sin2x + ( 3 + 3 )sinxcosx + ( 3 – 1)cos2x = – 1;
2 2
4) sin2x(1 + tgx) = 3sinx( cosx – sinx) + 3;
( ÑS : – 1 ≤ m ≤ 3 )
1
b) Giaûi vaø bieän luaän phöông trình ñaõ cho. = 4sinx + 6cosx;
5)
cos x
Baøi 4) (ÑH Kieán truùc HN, 2001)
6) 2cos3x = sin3x;
Giaûi vaø bieän luaän phöông trình
7) 2sin3x – sin2xcosx – 2sinxcos2x + cos3x = 0;
3
2m(cosx + sinx) = 2m2 + cosx – sinx + . 8) (ÑHQGHCM, ñôït 1, 1998) 3cos4x – 4 sin2x cos2x + sin4x = 0.
2
9) sin4x + sin3xcosx + sin2x cos2x + sinxcos3x + cos4x = 1;
Ñaùp soá :
10) (ÑH Y khoa HN, 1999) sinx – 4 sin3x + cosx = 0;
1 π
m= : x = + k 2 π; 11 ) (ÑH Ñaø Naüng, 1999) cos3x – sin3x = sinx – cosx;
v
2 2
12)
1
m = − : x = π + k 2 π;
v 13)
2
Ñaùp soá :
1
m ≠ ± : phöông trình voâ nghieäm.
v π
2 x = − 4 + k π,
π
x = − + k π, π
1)
Baøi 5: 3)
2) x = + k π
4
2 x = − π + k π;
x = arctg( −2) + k π;
a) Chöùng minh raèng ;
6
17
16
