Phương trình - bất phương trình mũ, Logarit
Tài liệu lý thuyết tóm tắt sách giáo khoa về phương trình - bất phương trình mũ và logarit
Chuyên đề 5:
PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG CÓ CHỨA MŨ VÀ LOGARÍT
TÓM TẮT GIÁO KHOA
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ HÀM SỐ MU
1. Các định nghĩa:
an = a. .a
a.. ( ∈ Z + , ≥ 1, ∈ R )
123
• n n a
n hua o
t s
a = a ∀a
1
•
a0 = 1 ∀a ≠ 0
•
1
a− n = n ( ∈ Z + , ≥ 1, ∈ R / 0} )
{
• n n a
a
m
a > 0;m , ∈ N
n
• n
= am
( )
an
m
− 1 1
= =
n
a
• m nm
a
an
2. Các tính chất :
am . n = am + n
• a
am
= am − n
•
n
a
( m ) = ( n ) = am .
an am n
•
( b) = an . n
a. n b
•
a n an
()= n
•
b b
y = ax ( a > 0 , a ≠ 1 )
3. Hàm số mũ: Dạng :
Tập xác định : D = R
•
x
T = R+ ( a > 0
• ∀x ∈ R
Tập giá trị : )
• Tính đơn điệu:
y = ax R
đồng biến trên
*a>1 :
y = ax R
nghịch biến trên
*0 dn
aM = N
l aN = M ⇔
og
a > 0
a ≠ 1
log a N
Điều kiện có nghĩa: có nghĩa khi
N > 0
2. Các tính chất :
l a( 1. 2 )= l a N 1 + l a N 2
og N N og og
•
l a1= 0
og
•
N
l a( 1 )= l a N 1 − l a N 2
l aa= 1 og og og
og •
•
N2
l a aM = M
og
•
l a N α = α . oga N
• og l Đặc biệt :
l aN
og
=N
• a
l a N 2 = 2. oga N
og l
3. Công thức đổi cơ số :
l a N = l a b. ogb N
og og l
•
l aN
og
l bN =
og
•
l ab
og
* Hệ quả:
1 1
l ab= N=
og
• l
og l aN
og
và
ak
l ba
og k
logb c log a
=c b
* Công thức đặc biệt:
a
y= l ax ≠
og
4. Hàm số logarít: Dạng (a>0,a 1)
D = R+
• Tập xác định :
T=R
• Tập giá trị
• Tính đơn điệu:
y = l a x đồng biến trên R +
og
*a>1 :
* 0 < a < 1 : y = l a x nghịch biến trên R +
og
• Đồ thị của hàm số lôgarít:
y
y
y=logax y=logax
x
1
x
1
O O
Minh họa:
y
y f(x)=ln(x)/ln(2)
3.5
y
y
f(x)=ln(x)/ln(1/2)
3.5
3
a>1 3
5. CÁC ĐỊNH LÝ CƠ BẢN:
0 log 1 x M = log
≠ 1 thì : 4. Định lý 4: Với 0 < a
2
N
1. Định lý 1: Với 0 < a M N
a M a a
1.5
⇔ 1.5
=N M=N 2
1
1
⇔x M
0.5
⇔
2. Định lý 2: Với 0 < a N (nghịch biến)
O
-4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
1 x
-0.5
O
-0.5
⇔ ⇔
-1
3. Định lý 3: Với a > 1 thì : aM < aN M< -1
6. Định lý 6: Với a > 1 thì : loga M < loga N M
-1.5
N (đồng biến )
-1.5
< N (đồng biến)
-2 -2
-2.5 -2.5
III. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ THƯỜNG SỬ DỤNG:
-3 -3
-3.5 -3.5
21
1. Phương pháp 1: Biến đổi phương trình về dạng cơ bản : aM = aN
Ví dụ : Giải các phương trình sau :
x+ 10 x+ 5
= 0, 8
x−10 x−15
16 125.
2. Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ chuyển về phương trình đại số
Ví dụ : Giải các phương trình sau :
32x+ 8 − 4. x+ 5 + 27 = 0
2 2
3 2 x − x − 2 2+ x − x = 3
1) 4)
2) 6. x − 13. x + 6. x = 0
9 6 4 5) 3.8 x + 4.12 x − 18 x − 2.27 x = 0
6) 2.2 2 x − 9.14 x + 7.7 2 x = 0
( 2 − 3) + ( 2 + 3) = 4
x x
3)
3. Phương pháp 3: Biến đổi phương trình về dạng tích số A.B = 0 ...
Ví dụ : Giải phương trình sau :
1) 8.3x + 3.2x = 24 + 6x
2+x 2
− 4.2 x − x − 2 2 x + 4 = 0
2x
2)
12.3 x + 3.15 x − 5 x +1 = 20
3) (
4. Phương pháp 4: Nhẩm nghiệm và sử dụng tính đơn điệu để chứng
minh nghiệm duy nhất (thường là sử dụng công cụ
đạo hàm)
* Ta thường sử dụng các tính chất sau:
• Tính chất 1: Nếu hàm số f tăng ( hoặc giảm ) trong khỏang (a;b) thì phương trình f(x) = C có không quá một nghiệm trong khỏang (a;b).
( do đó nếu tồn tại x0 ∈ (a;b) sao cho
f(x0) = C thì đó là nghiệm duy nhất của phương trình f(x) = C)
• Tính chất 2 : Nếu hàm f tăng trong khỏang (a;b) và hàm g là hàm một hàm giảm trong khỏang (a;b) thì phương trình f(x) = g(x) có nhiều
nhất một nghiệm trong khỏang (a;b) . ( do đó nếu tồn tại x0 ∈ (a;b) sao cho f(x0) = g(x0) thì đó là nghiệm duy nhất của phương trình f(x) =
g(x))
Ví dụ : Giải các phương trình sau :
1x
x
( ) = 2x + 1
1) 3x + 4x = 5x 2) 2x = 1+ 3)
3 2
3
IV. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT THƯỜNG SỬ DỤNG:
l aM = l aN
og og
1. Phương pháp 1: Biến đổi phương trình về dạng cơ bản :
Ví dụ : Giải các phương trình sau :
l 2( x + 4)= x − l 1 ( x+1 − 3) 3) 1 log ( x − 1) 2 + log ( x + 4) = log (3 − x)
og 4 og 2
log x (x + 6) = 3
1) 2) )
2 1 2
2
2 2
2. Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ chuyển về phương trình đại số.
Ví dụ : Giải các phương trình sau :
4
l 2 3 x+ 3 l 2x = log 3 x + log 3 x + 1 − 5 = 0
2 2
og og
1) 2)
3
3. Phương pháp 3: Biến đổi phương trình về dạng tích số A.B = 0 ...
Ví dụ : Giải phương trình sau :
l 2 x + 2. og7 x = 2 + l 2 x. og7 x
og l og l
4. Phương pháp 4: Nhẩm nghiệm và sử dụng tính đơn điệu để chứng minh
nghiệm duy nhất.
(thường là sử dụng công cụ đạo hàm)
* Ta thường sử dụng các tính chất sau:
• Tính chất 1: Nếu hàm số f tăng ( hoặc giảm ) trong khỏang (a;b) thì phương trình f(x) = C có không quá một nghiệm trong khỏang (a;b).
( do đó nếu tồn tại x0 ∈ (a;b) sao cho
f(x0) = C thì đó là nghiệm duy nhất của phương trình f(x) = C)
• Tính chất 2 : Nếu hàm f tăng trong khỏang (a;b) và hàm g là hàm một hàm giảm trong khỏang (a;b) thì phương trình f(x) = g(x) có nhiều
nhất một nghiệm trong khỏang (a;b) . ( do đó nếu tồn tại x0 ∈ (a;b) sao cho f(x0) = g(x0) thì đó là nghiệm duy nhất của phương trình f(x) =
g(x))
Ví dụ : Giải các phương trình sau :
l 2 ( 2 − x − 6)+ x = l 2 ( + 2)+ 4
og x og x
V. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ THƯỜNG SỬ DỤNG:
1. Phương pháp 1: Biến đổi phương trình về dạng cơ bản : aM < aN ( ≤, >, ≥ )
22
Ví dụ : Giải các bất phương trình sau :
1 x− x−1
x2 − 2x
≥( )
3
1)
3
1
≥ 2x−1
2)
x2 − 2x
2
2. Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ chuyển về bất phương trình đại số.
Ví dụ : Giải các phương trình sau :
− 3.2x+ 2 )+ 32 < 0
2x
1) 2 ( 8 + 21+ x − 4 x + 21+ x > 5
4)
15.2 x +1 + 1 ≥ 2 x − 1 + 2 x +1
+ 23− x ≤ 9
2) 2x 5)
12 1 1+1
) + 3. ) > 12 2.14 x + 3.49 x − 4 x ≥ 0
3) ( (x
x 6)
3 3
VI. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT THƯỜNG SỬ
DỤNG:
loga M < loga N
1. Phương pháp 1: Biến đổi phương trình về dạng cơ bản :
( ≤, >, ≥ )
Ví dụ : Giải các bất phương trình sau :
log 2 log 3 x − 3 < 1
− 8x + 3)> 2
2
1) l x (
og 5x 2)
3
( − x)> 1 − 9) ≤ 1
3) l
og 3 x
4) l x ( og9 (
og l 3 )
3x− x2
log 5 ( 4 x + 144) − 4 log 5 2 < 1 + log 5 (2 x −2 + 1)
5)
2. Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ chuyển về bất phương trình đại số.
Ví dụ : Giải các phương trình sau :
+ 2)+ 2. og3x + 2 2 − 3 > 0
x
1) l 2 (
og 3 l
2) l 2x 64 + l x2 16 ≥ 3
og og
23
