Bách Khoa Online
Giao lưu - Học hỏi - Chia sẻ kinh nghiệm
của các thế hệ sinh viên Bách Khoa
hutonline.net
-203-
PhÇn 4
C¸c nguyªn lý c¬ häc
Cïng víi hai vÊn ®Ò ®· nghiªn cøu lµ ph−¬ng tr×nh vi ph©n cña chuyÓn
®éng vµ c¸c ®Þnh lý tæng qu¸t cña ®éng lùc häc; c¸c nguyªn lý c¬ häc tr×nh bµy
d−íi ®©y sÏ cho ta mét ph−¬ng ph¸p tæng qu¸t kh¸c gi¶i quyÕt cã hiÖu qu¶ vµ
nhanh gän nhiÒu bµi to¸n ®éng lùc häc cña c¬ hÖ kh«ng tù do.
C¸c nguyªn lý c¬ häc lµ phÇn c¬ së cña c¬ häc gi¶i tÝch. C¨n cø vµo nguån
n¨ng l−îng vµ ®Æc ®iÓm kÕt cÊu cña c¬ hÖ, c¬ häc gi¶i tÝch sö dông c«ng cô gi¶i
tÝch to¸n häc ®Ó thiÕt lËp ph−¬ng tr×nh vi ph©n chuyÓn ®éng vµ t×m c¸ch tÝch
ph©n c¸c ph−¬ng tr×nh ®ã. Trong phÇn nµy chØ giíi thiÖu mét sè vÊn ®Ò c¬ b¶n
nhÊt cña c¬ häc gi¶i tÝch cô thÓ lµ chØ thiÕt lËp ph−¬ng tr×nh vi ph©n chuyÓn ®éng
cho c¬ hÖ kh«ng tù do vµ nªu lªn mét sè tÝnh chÊt cña nã mµ ta kh«ng ®i s©u vµo
ph−¬ng ph¸p tÝch ph©n c¸c ph−¬ng tr×nh ®ã.
Ch−¬ng 14
Nguyªn lý di chuyÓn kh¶ dÜ
14.1. C¸c kh¸i niÖm c¬ b¶n vÒ c¬ hÖ
§Ó lµm c¬ së cho viÖc thiÕt lËp c¸c nguyªn lý c¬ häc tr−íc hÕt nªu mét sè
kh¸i niÖm c¬ b¶n vÒ c¬ hÖ kh«ng tù do.
14.1.1. Liªn kÕt vµ ph©n lo¹i liªn kÕt
14.1.1.1. C¬ hÖ kh«ng tù do
C¬ hÖ kh«ng tù do lµ mét tËp hîp nhiÒu chÊt ®iÓm mµ trong chuyÓn ®éng
cña chóng ngoµi lùc t¸c dông ra vÞ trÝ vµ vËn tèc cña chóng cßn bÞ rµng buéc bëi
mét sè ®iÒu kiÖn h×nh häc vµ ®éng häc cho tr−íc.
-204-
14.1.1.2. Liªn kÕt vµ ph©n lo¹i liªn kÕt
Liªn kÕt lµ ®iÒu kiÖn rµng buéc chuyÓn ®éng lªn c¸c chÊt ®iÓm cña c¬ hÖ
kh«ng tù do. C¸c biÕu thøc to¸n häc m« t¶ c¸c ®iÒu kiÖn rµng buéc ®ã gäi lµ
ph−¬ng tr×nh liªn kÕt. D¹ng tæng qu¸t cña ph−¬ng tr×nh liªn kÕt cã thÓ viÕt :
fi(rk,vk,t) ≥ 0 j = 1...m ; k = 1...n
j lµ sè thø tù c¸c ph−¬ng tr×nh liªn kÕt.
k lµ sè thø tù c¸c chÊt ®iÓm trong hÖ.
Ph©n lo¹i liªn kÕt
C¨n cø vµo ph−¬ng tr×nh liªn kÕt ta cã thÓ ph©n lo¹i liªn kÕt thµnh : liªn
kÕt dõng hay kh«ng dõng ,liªn kÕt gi÷ hay kh«ng gi÷ , liªn kÕt h×nh häc hay
®éng häc
NÕu liªn kÕt mµ ph−¬ng tr×nh kh«ng chøa thêi gian t gäi lµ liªn kÕt dõng.
Ng−îc l¹i ph−¬ng tr×nh liªn kÕt chøa thêi gian t gäi lµ liªn kÕt kh«ng dõng hay
h÷u thêi
NÕu liªn kÕt mµ ph−¬ng tr×nh m« t¶ b»ng ®¼ng thøc ta gäi lµ liªn kÕt gi÷
hay liªn kÕt hai phÝa. NÕu liªn kÕt cã ph−¬ng tr×nh m« t¶ b»ng bÊt ®¼ng thøc gäi
lµ liªn kÕt kh«ng gi÷ hay liªn kÕt mét phÝa.
NÕu liªn kÕt cã ph−¬ng tr×nh kh«ng chøa vËn tèc v gäi lµ liªn kÕt h×nh häc
hay liªn kÕt h« n« n«m. Ng−îc l¹i nÕu liªn kÕt cã ph−¬ng tr×nh chøa yÕu tè vËn
tèc v gäi lµ liªn kÕt ®éng häc hay kh«ng h« n« n«m.
Sau ®©y nªu mét vµi thÝ dô vÒ c¸c lo¹i liªn kÕt.
C¬ cÊu biªn tay quay OAB biÓu diÔn trªn h×nh (14-1) cã ph−¬ng tr×nh liªn
kÕt :
xA2 + yA2 = r2 ;
(xB + xA)2 + yA2 = l2 ;
yB = 0 .
C¸c ph−¬ng tr×nh liªn kÕt trªn thÓ hiÖn liªn kÕt dõng, gi÷ vµ h« n« n«m.
-205-
B¸nh xe b¸nh kÝnh R l¨n kh«ng tr−ît trªn ®−êng th¼ng (h×nh 14-2) cã
ph−¬ng tr×nh liªn kÕt :
y0 ≥ R ;
VP = 0 ;
Liªn kÕt nµy lµ liªn kÕt dõng, kh«ng gi÷ vµ kh«ng h« n« n«m.
VËt A treo vµo ®Çu sîi d©y v¾t qua rßng däc cè ®Þnh B. §Çu kia cña d©y
®−îc cuèn l¹i liªn tôc theo thêi gian. Gi÷ cho vËt dao ®éng trong mÆt ph¼ng oxy
th¼ng ®øng (h×nh 14-3). Ph−¬ng tr×nh liªn kÕt ®−îc viÕt :
xA2 + yA2 = ≤ l2(t) ;
zA = 0 .
Liªn kÕt nµy kh«ng dõng, kh«ng gi÷ vµ h« n« n«m.
y
y
A B
P(t)
1 M
2
R A
O x
C
P
B
H×nh 14.1 H×nh 14.2 H×nh 14.3
14.1.2. To¹ ®é suy réng.
To¹ ®é suy réng lµ c¸c th«ng sè ®Þnh vÞ cña c¬ hÖ. Ký hiÖu to¹ ®é suy
réng lµ qj ; qj cã thÓ ®o b»ng ®¬n vÞ ®é dµi, ®¬n vÞ gãc quay, ®iÖn l−îng...
NÕu sè c¸c to¹ ®é suy réng ®ñ ®Ó x¸c ®Þnh vÞ trÝ cña hÖ ta gäi lµ to¹ ®é suy
réng ®ñ. NÕu sè to¹ ®é d− thõa nghÜa lµ v−ît qu¸ sè to¹ ®é cÇn thiÕt ®Ó x¸c ®Þnh
vÞ trÝ cña hÖ gäi lµ to¹ ®é d−. Sè c¸c to¹ ®é d− ®−îc liªn hÖ víi nhau b»ng biÓu
thøc d¹ng :
fi(qk,qk,t) ≥ 0 gäi lµ ph−¬ng tr×nh liªn kÕt.
-206-
C¬ cÊu tay quay thanh truyÒn biÓu diÔn trªn h×nh 14-1 nÕu chän q1 = ϕ vµ
q2 = Ψ th× gi÷a q1 vµ q2 cã ph−¬ng tr×nh :
rsinq1 - lsinq2 = 0.
NÕu chän q1 = xA vµ q2 = yA th× gi÷a q1 vµ q2 cã ph−¬ng tr×nh :
q12 + q22 = r2 ;
q1 = Rcosq3 .
14.1.3. Di chuyÓn kh¶ dÜ cña c¬ hÖ
Di chuyÓn kh¶ dÜ lµ di chuyÓn v« cïng nhá cña c¬ hÖ t¹i vÞ trÝ ®ang xÐt
sang vÞ trÝ l©n cËn mµ c¬ hÖ cã thÓ thùc hiÖn phï hîp víi liªn kÕt ®Æt liªn hÖ. §Ó
ph©n biÖt víi di chuyÓn thùc dr ta ký hiÖu di chuyÓn kh¶ dÜ lµ ∂r .
r r
NÕu gäi rk vµ rk' lµ vÐc t¬ ®Þnh vÞ cña chÊt ®iÓm thø k trong hÖ t¹i vÞ trÝ
r r r
®ang xÐt vµ t¹i vÞ trÝ l©n c©n th× ∂ rk = rk − rk' ta cã :
fj(rk',vk',t) - fj(rk,vk,t) = 0 (j = 1...m).
Víi ®Þnh nghÜa trªn ta thÊy di chuyÓn thùc kh¸c víi di chuyÓn kh¶ dÜ ë
chç :
r
Di chuyÓn thùc d r phô thuéc vµo lùc t¸c dông vµ ®iÒu kiÖn ®Çu vµ liªn kÕt
®Æt lªn hÖ cßn di chuyÓn kh¶ dÜ chØ phô thuéc
vµo liªn kÕt ®Æt lªn hÖ mµ th«i. ChÝnh v× thÕ di M
δr
chuyÓn thùc chØ cã mét cßn di chuyÓn kh¶ dÜ
cã thÓ cã mét hoÆc nhiÒu. §èi víi hÖ chÞu liªn
kÕt dõng di chuyÓn thùc sÏ trïng víi mét
trong sè c¸c di chuyÓn kh¶ dÜ. Trong c¬ cÊu H×nh 14.4
tay quay thanh truyÒn (h×nh 14-1) di chuyÓn kh¶ dÜ cña hÖ lµ mét tËp hîp c¸c vÐc
t¬ ∂rA vµ ∂rB tho¶ m·n ®iÒu kiÖn liªn kÕt nh− sau : H×nh chiÕu lªn AB cña
∂rA b»ng h×nh chiÕu lªn Ab cña ∂rB . ChÊt ®iÓm ®Æt lªn mÆt cong (h×nh 14-4) cã
r
di chuyÓn kh¶ dÜ lµ tËp hîp c¸c vÐc t¬ ∂ r tiÕp tuyÕn víi mÆt cong t¹i vÞ trÝ ®ang
xÐt.
-207-
14.1.4. BËc tù do cña c¬ hÖ
Di chuyÓn kh¶ dÜ cña c¬ hÖ lµ cã nhiÒu tuy nhiªn møc ®ä nhiÒu cã h¹n
chÕ. Trong sè c¸c di chuyÓn kh¶ dÜ cña c¬ hÖ cã thÓ cã mét hay mét sè m di
chuyÓn c¬ së. C¸c di chuyÓn cßn l¹i ®−îc biÓu diÔn qua c¸c di chuyÓn c¬ së nãi
trªn. C¸c di chuyÓn c¬ së ®éc lËp tuyÕn tÝnh víi nhau vµ ®óng b»ng th«ng sè
®Þnh vÞ cña c¬ hÖ tøc lµ b»ng sè to¹ ®é suy réng ®ñ. Ta goi c¸c sè di chuyÓn kh¶
dÜ c¬ së cña hÖ lµ sè bËc tù do m cña hÖ.
Trong c¬ cÊu tay quay thanh truyÒn râ rµng sè bËc tù do m = 1, vµ cã thÓ
chän mét trong ϕ hay µ lµm di chuyÓn c¬ së.
Sè bËc tù do cña hÖ cµng cao th× møc ®é tuú ý cña c¸c di chuyÓn kh¶ dÜ
cµng lín cã thÓ x¸c ®Þnh sè bËc tù do cña c¬ hÖ b»ng biÓu thøc : m = r - s.
Trong ®ã r lµ sè to¹ ®é d− vµ s lµ sè ph−¬ng tr×nh liªn kÕt.
14.1.5. Liªn kÕt lý t−ëng - Lùc suy réng
14.1.5.1. Liªn kÕt lý t−ëng
NÕu tæng céng nguyªn tè cña ph¶n lùc liªn kÕt trong mäi di chuyÓn kh¶ dÜ
cña c¬ hÖ ®Òu triÖt tiªu th× liªn kÕt ®Æt lªn c¬ hÖ ®−îc gäi lµ liªn kÕt lý t−ëng.
r
Gäi N k lµ ph¶n lùc liªn kÕt t¸c dông lªn chÊt ®iÓm Mk; ∂rk lµ vÐc t¬ di
chuyÓn kh¶ dÜ cña chÊt ®iÓm ®ã th× theo ®Þnh nghÜa trªn ta cã :
n r r
∑N
k =1
k
.∂ rk = 0 (14-1)
Trong thùc tÕ nÕu cÇn bá qua lùc ma s¸t vµ tÝnh ®µn håi cña vËt thÓ t¹o
thµnh c¬ hÖ th× ®a sè c¸c c¬ hÖ tho¶ m·n biÓu thøc trªn vsf nh− vËy chóng chÞu
c¸c liªn kÕt lý t−ëng. Khi ph¶i kÓ ®Õn c¸c lùc ma s¸t vµ tÝnh ®µn håi cña v¹t thÓ
ta vÉn dïng d−îc kh¸i niÖm liªn kÕt lý t−ëng trªn ®©y nh−ng ph¶i xem c¸c lùc do
ma s¸t hoÆc do tÝnh ®µn håi cña vËt thÓ t¸c dông lªn c¬ hÖ nh− lµ c¸c ho¹t lùc.
VËt r¾n tuyÖt ®èi tù do lµ mét c¬ hÖ chÞu liªn kÕt lý t−ëng.
-208-
Qu¶ vËy nÕu ta xÐt mét cÆp chÊt ®iÓm M, N bÊt kú trong vËt th× lùc t¸c
dông t−¬ng hç gi÷a chóng lµ F, F' víi F = -F'. Gäi ∂r vµ ∂r' lµ c¸c vÐc t¬ di
chuyÓn kh¶ dÜ cña chÊt ®iÓm M, N, ta cã :
r r r r r r r
( r
)
2
∑ N k ∂ rk = F.∂ r + F ' ∂ r ' = F ∂ r + ∂ r ' .
k =1
Theo ®éng häc vËt r¾n ta cã :
r r r r
∂ r = ∂ r ' + ∂ MN nghÜa lµ : ∂ r − ∂r ' = ∂ MN . VÐc t¬ MN cã ®é lín kh«ng
( )
r r r r
®æi nªn ∂ MN = ∂ r − ∂ r ' vu«ng gãc víi F . Cuèi cïng suy ra F.(∂r − ∂r ' ) = 0 ,
r r
nr r
hay ∑ N k ∂ rk = 0 , ®iÒu nµy chøng tá vËt r¾n tù do lµ c¬ hÖ chÞu liªn kÕt lý t−ëng.
k =1
Hai vËt r¾n cã bÒ mÆt tr¬n nh½n tiÕp xóc víi nhau t¹o thµnh mét c¬ hÖ chÞu
liªn kÕt lý t−ëng.
Còng dÔ dµng nhËn thÊy hai vËt r¾n cã bÒ mÆt tr¬n nh½n tiÐp xóc víi nhau
t¹o thµnh mét c¬ hÖ chÞu liªn kÕt lý t−ëng.
D©y mÒm kh«ng d·n v¾t qua rßng räc khi bá qua sù tr−ît cña d©y vµ bá
qua ma s¸t æ trôc còng lµ mét c¬ hÖ chÞu liªn kÕt lý t−ëng.
14.1.5.2. Lùc suy réng
XÐt c¬ hÖ N chÊt ®iÓm, cã m to¹ ®é suy réng ®ñ q1q2...qm. BiÓu thøc tæng
c«ng cña c¸c ho¹t lùc trong mét di chuyÓn kh¶ dÜ nµo ®ã cña c¬ hÖ cã thÓ viÕt:
n r
n
r
∑ k
∂A a = ∑ Fka ∂ rk .
k =1 k =1
(a)
r
Trong ®ã Fka lµ tæng c¸c ho¹t lùc t¸c dông lªn chÊt ®iÓm Mk ; ∂rk lµ di
chuyÓn kh¶ dÜ cña chÊt ®iÓm Mk t¹i vÞ trÝ ®ang xÐt.
r r
BiÓu diÔn vÐc t¬ ®Þnh vÞ r k vµ di chuyÓn kh¶ dÜ ∂ r k qua c¸c to¹ ®é suy
réng ta cã :
r r
rk = rk (q1q 2 ,......... .q m ) ;
-209-
r r r
r ∂ rk ∂ rk ∂ rk
∂ rk = ∂q + ∂q + ......... ∂q .
∂q 1 1 ∂q 2 2 ∂q m m
Thay kÕt qu¶ vµo biÎu thøc (a) ë trªn ta ®−îc
r r r
N N r ⎛ ∂ rk ∂ rk ∂ rk ⎞
∑ ∂A a = ∑ Fk ⎜ ⎜ ∂q ∂q 1 + ∂q 2 + ......... ∂q m ⎟
⎟
k =1
k
k =1 ⎝ 1 ∂q 2 ∂q m ⎠
r r r
r a ∂ rk
N N r ∂ rk N r ∂ rk
= ∑ Fk ∂q 1 + ∑ Fk a
∂q 2 + ......... ∑ Fka
∂q
k =1 ∂q 1 k =1 ∂q 2 k =1 ∂q m m
n
Q1∂q1 + Q 2 ∂q 2 + ................Q n ∂q n = ∑ Q j∂q j
j=1
r a ∂rk
r
N
§¹i l−îng Q j = ∑ Fk ®−îc gäi lµ lùc suy réng t−¬ng øng víi to¹ ®é
k =1 ∂q j
suy réng qj .
Ta cã ®Þnh nghÜa : Lùc suy réng Qj øng víi to¹ ®é suy réng qj lµ ®¹i l−îng
v« h−íng biÓu thÞ b»ng hÖ sè cña biÕn ph©n t−¬ng øng trong biÓu thøc tæng c«ng
cña c¸c ho¹t lùc t¸c dông lªn c¬ hÖ trong di chuyÓn kh¶ dÜ bÊt kú cña c¬ hÖ ®ã.
B¶n chÊt vËt lý cña lùc suy réng phô thuéc vµo b¶n chÊt vËt lý cña to¹ ®é
suy réng t−¬ng øng. Ch¼ng h¹n ta th−êng gÆp :
To¹ ®é suy réng qj lµ ®é dµi th× Qj lµ lùc; lµ gãc quay th× Qj lµ m« men lùc
; qj lµ ®iÖn l−îng th× Qj lµ ®iÖn thÕ. qj lµ ®iÖn thÕ th× Qj lµ ®iÖn l−îng.
Trong thùc hµnh ®Ó x¸c ®Þnh lùc suy réng Qj ta cã ph−¬ng ph¸p sau ®©y.
Cho hÖ mét di chuyÓn kh¶ dÜ víi ∂qj ≠ cßn c¸c biÕn ph©n kh¸c cña to¹ ®é suy
réng cho b»ng kh«ng, sau ®ã tÝnh c«ng cña c¸c lùc trong di chuyÓn ®è cña hÖ.
Theo ®Þnh nghÜa trªn ta cã :
N n
∑ ∂A ak = ∑ Q j∂q j
k =1 j=1
V× c¸c biÕn ph©n ∂q ≠ ∂qj ®Òu triÖt tiªu nªn biÓu thøc trªn viÕt ®−îc :
-210-
N n
∑ ∂A ak = ∑ Q j∂q j
k =1 j=1
Tõ ®©y suy ra biÕu thøc x¸c ®Þnh lùc suy réng Qj ;
N
∑ ∂A a
k
Qj = k =1
∂q j
ThÝ dô 14.1 : X¸c ®Þnh lùc suy réng t−¬ng øng víi to¹ ®é suy réng cña hÖ
con l¾c vËt lý kÐp biÓu diÔn trªn h×nh (14-5). Cho biÕt träng l−îng cña mçi con
l¾c ®Òu b»ng P vµ ®Æt t¹i ®iÓm gi÷a C1, Chøng tõ cña c¸c con l¾c ; §é dµi cña
mçi con l¾c lµ 1.
Bµi gi¶i : x
O
C1
Chän to¹ ®é suy réng ®ñ cña hÖ lµ c¸c gãc ϕ1 ϕ2 ϕ1
A
C2
nh− trªn h×nh vÏ. Gäi c¸c lùc t−¬nh ønh lµ Q1, Q2. Tr−íc ϕ2
P1
hÕt x¸c ®Þnh Q1, ta cho hÖ mét di chuyÓn kh¶ dÜ sao cho y P2
∂ϕ1 ≠ 0 cßn ∂ϕ2 = 0. C«ng cña c¸c ho¹t lùc P1, P2 trong di H×nh 14.5
chuyÓn ®ã tÝnh ®−îc :
1
∑ ∂A
k=
a
k = −P. sin ϕ1 , ∂ϕ1 − P2 l sin ϕ1∂ϕ1 ;
2
3Pl
= l sin ϕ1∂ϕ1 = Q1∂ϕ1 .
2
Suy ra :
3Pl
Q1 = − l sin ϕ1 .
2
§Ó tÝnh Q2 cho hÖ mét di chuyÓn kh¶ dÜ víi ∂ϕ1 = 0 cßn ∂ϕ2 ≠ 0. Khi ®ã
chØ cã con l¾c AB di chuyÓn vµ c«ng cña ho¹t lùc trong di chuyÓn nµy lµ :
N
1 1
∑ ∂A
k =1
a
k
= −P2 . sin ϕ 2 ∂ϕ 2 = −P. sin ϕ 2 ∂ϕ 2 = Q 2 ∂ϕ 2 .
2 2
1
Suy ra : Q 2 = −P. sin ϕ .
2
-211-
14.2.1. Nguyªn lý di chuyÓn kh¶ dÜ
Khi c¬ hÖ chÞu liªn kÕt dõng vµ lý t−ëng th× ®iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó nã c©n
b»ng t¹i vÞ trÝ ®ang xÐt lµ tæng c«ng cña c¸c ho¹t lùc trong mäi di chuyÓn kh¶ dÜ
cña hÖ t¹i vÞ trÝ ®¹ng xÐt b»ng kh«ng.
N r r
∑ k∂A a = ∑ Fka .∂ rk = 0 .
k =1
Tr−íc hÕt ta chøng minh ®iÒu kiÖn cÇn. XÐt c¬ hÖ chÞu liªn kÕt dõng vµ lý
t−ëng. Gi¶ sö ë vÞ trÝ ®ang xÐt hÖ can b»ng. Ta ph¶i chøng minh ®iÒu kiÖn cÇn cã
r
lµ ∑ Fka .∂ rk = 0 . ThËt vËy, v× hÖ c©n b»ng nªn chÊt ®iÓm Mk trong hÖ còng c©n
r r
b»ng. NÕu gäi Fka vµ N k lµ ho¹t lùc vµ ph¶n lùc liªn kÕt t¸c dông lªn chÊt ®iÓm kh¶o
s¸t ta sÏ cã :
r r
Fka + N k = 0 .
r
Cho hÖ mét di chuyÓn kh¶ dÜ t¹i vÞ trÝ ®ang xÐt vµ gäi ∂ rk lµ di chuyÓn cña
chÊt ®iÓm Mk ta còng cã thÓ viÕt :
r r r r
Fka .∂ rk + N k .∂ rk = 0 .
ViÕt cho c¶ hÖ, nghÜa lµ cho k tiÕn tõ 1 ®Õn N sau ®ã céng vÕ víi vÕ cña
c¸c biÓu thøc sÏ ®−îc :
N r N r
r r
∑ Fka .∂ rk + ∑ N k .∂ rk = 0 .
k =1 k =1
N r r
V× liªn kÕt lµ lý t−ëng nªn ∑ N k .∂ rk = 0 do ®ã cÇn ph¶i cã
k =1
r r
Fka .∂ rk = 0 .
Sau ®©y chøng minh ®iÒu kiÖn ®ñ.
N ra r
Gi¶ thiÕt c¬ hÖ tho¶ m·n ®iÒu kiÖn ∑ F .∂ r
k =1
k k
= 0 ta ph¶i chøng minh r»ng
®iÒu kiÖn nµy ®ñ ®Ó cho hÖ tù c©n b»ng ë vÞ trÝ ®ang xÐt. ThËt vËy nÕu c¬ hÖ tho¶
m·n ®iÒu kiÖn trªn mµ kh«ng c©n b»ng th× chøng tá nã ph¶i khëi ®éng t¹i vÞ trÝ
®ang xÐt ®ã. Nh− vËy biÕn thiªn cña hÖ ph¶i d−¬ng. dT > 0. Theo ®Þnh lý ®éng
n¨ng ta cã :
-212-
N r r r
r
dT = ∑ dA a = ∑ Fka .∂ rk + ∑ N k .∂ rk .
k
k =1
Víi hÖ chÞu liªn kÕt dõng th× di chuyÓn thùc dr sÏ trïng víi mét trong c¸c
r
di chuyÓn kh¶ dÜ. Ta cã dr = ∂ rk .
Thay vµo biÓu thøc trªn ta ®−îc :
N r N r
a r r
dT = ∑ Fk . ∂ rk + ∑ N k .∂ rk > 0
k =1 k =1
V× hÖ chÞu lùc liªn kÕt lý t−ëng nªn :
N r
r
+ ∑ N k .∂ rk = 0 .
k =1
N r
r
ChØ cßn l¹i : dT = ∑ Fka. ∂ rk > 0 .
k =1
§iÒu nµy tr¸i víi gi¶ thiÕt ®· nªu, chøng tá c¬ hÖ kh«ng thÓ khëi ®éng t¹i
N r r
vÞ trÝ ®ang xÐt nghÜa lµ khi tho¶ m·n ®iÒu kiÖn ∑ N k .∂rk = 0 th× ch¸c ch¾n c¬ hÖ
k =1
sÏ c©n b»ng.
14.2.2. Ph−¬ng tr×nh c©n b»ng tæng qu¸t cña c¬ hÖ kh«ng tù do
N r r
Tõ ®iÒu kiÖn c©n b»ng ∑ N k .∂ rk = 0 cã thÓ thiÕt lËp ph−¬ng tr×nh tæng
k =1
qu¸t cho c¬ hÖ d−íi hai d¹ng to¹ ®é §Ò c¸c vµ to¹ ®é suy réng.
- D¹ng to¹ ®é §Ò c¸c .
r
Gäi Xka, Yka, Zka lµ h×nh chiÕu cña ho¹t lùc Fka vµ ∂xk, ∂yk, ∂zk, lµ h×nh
r
chiÕu cña di chuyÓn ∂ rk lªn c¸c trôc to¹ ®é oxyz. Ta cã thÓ viÕt ph−¬ng tr×nh c©n
b»ng cña hÖ d−íi d¹ng ph−¬ng tr×nh sau ®©y:
N r
∑ ∂A k = ∑ Fka .∂rk = ∑ (X ak ∂x k + Yka ∂y k + Z ak ∂z k ).
r N
(14-3)
k =1 k =1
Ph−¬ng tr×nh nµy gäi lµ ph−¬ng tr×nh c©n b»ng tæng qu¸t cña hÖ d−íi d¹ng
to¹ ®é §Ì c¸c.
- D¹ng to¹ ®é suy réng.
XÐt hÖ cã m to¹ ®é suy réng ®ñ q1q2....qm. §iÒu kiÖn c©n b»ng cña hÖ cã
thÓ viÕt :
-213-
N r
r N
∑ ∂A k = ∑ Fks .∂ rk = ∑ Q j∂q j = 0 .
k =1 k =1
NÕu hÖ chÞu liªn kÕt h×nh häc (h« n« n«m) th× c¸c ∂qj lµ ®éc lËp víi nhau
vµ dÔ dµng suy ra c¸c ®iÒu kiÖn c©n b»ng sau ®©y :
Q1 = 0 ; Q2 = 0 ; ......Qm = 0. (14-4)
C¸c ph−¬ng tr×nh (12-3) vµ (12-4) chÝnh lµ ®iÒu kiÖn c©n b»ng tæng qu¸t
cña c¬ hÖ chÞu liªn kÕt dõng, h« n« n«m lµ lý t−ëng.
Sau ®©y lµ c¸c bµi to¸n thÝ dô.
ThÝ dô 14 .1
Xµ kÐp gåm hai ®o¹n AC vµ chuyÓn ®éng nèi víi nhau b»ng khíp b¶n lÒ ë
C. Trªn ®o¹n chuyÓn ®éng cã lùc tËp trung P t¸c dông theo ph−¬ng vu«ng gãc
víi xµ t¹i E. X¸c ®Þnh ph¶n lùc t¹i gèi ®ì di ®éng B. KÝch th−íc kÐt cÊu xµ cho
trªn h×nh (14-6a).
NB P
δsE
A B C E D A δsB δsC D
B C E
a b
l1 l2
H×nh 14.6a H×nh 14.6b
Bµi gi¶i :
§Ó x¸c ®Þnh ph¶n lùc NB ta gi¶i pháng liªn kÕt (gèi tùa di ®éng) t¹i B vµ
thay vµo ®ã ph¶n lùc NB.
Cho hÖ di chuyÓn kh¶ dÜ víi ∂SB, ∂Sc, ∂ScE nh− h×nh vÏ.
Ph−¬ng tr×nh c©n b»ng tæng qu¸t cho hÖ viÕt ®−îc :
∑ ∂A a
k = N B ∂SB − P.δSE = 0 . Trong ®ã :
b l1
∂SE = ∂SB .Ph−¬ng tr×nh c©n b»ng cßn viÕt ®−îc :
a l2
b l bl
N B ∂SB − P. . 1 ∂SB = 0 hay N B − P. 1 = 0
a l2 a l2
-214-
Suy ra :
b l1
N B = P. .
a l2
KÕt qu¶ cho ta gi¸ trÞ d−¬ng chøng tá chiÒu cña ph¶n lùc NB chän nh−
h×nh vÏ lµ ®óng.
ThÝ dô 142: Cho c¬ cÊu chÞu t¸c dông c¸c lùc c©n b»ng biÓu diÔn trªn
h×nh (14-7).
X¸c dÞnh ®é biÕn d¹ng h cña lß xo nÕu cho Q = 100N; ®é cøng lß xo c = 5N/cm;
r1 = 20cm; r2 = 40cm; r3 = 10cm; OA = 50cm; α = 300; β = 900.
δψ
δψ
y
1
A δsA
r2 β
δϕ3
r1 δsB
O1 δs1 o2 α
3 x
δs K r3 F
δϕ1 B
G3
G1 P
Q
H×nh 14.7
Bµi gi¶i:
XÐt hÖ bao gåm vËt D ®Õn con tr−ît B. bá qua ma s¸t ë trôc vµ mÆt tr−ît
liªn kÕt ®Æt lªn hÖ lµ dõng, mét phÝa, h« n« n«m vµ lý t−ëng.
r r r r
Ho¹t lùc t¸c dông lªn hÖ gåm träng l−îng Q, G 1 , G 3 , P vµ c¸c lùc ®µn håi
r r r
F cña lß xo. Trong c¸c lùc trªn chØ cã lùc Q vµ F lµ sinh c«ng.
Cho hÖ mét di chuyÓn kh¶ dÜ víi ∂s lµ di chuyÓn cña vËt D lµm c¬ së. Ta
cã thÓ t×m ®−îc ci chuyÓn cña ®iÓm B nh− sau :
-215-
∂s
Ta cã : ∂ϕ1 =
r1
§iÓm tiÕp xóc K gi÷a hai b¸nh r¨ng 2 vµ 3 cã di chuyÓn ∂s1 víi :
r2
∂s1 = r1∂ϕ1 = ∂s . di chuyÓn gãc quay cña b¸nh r¨ng 3 sÏ lµ
r1
∂s1 r2
∂ϕ 3 = .
r1 r3
V× thanh O3A g¾n víi b¸nh r¨ng A nªn ®iÓm A cã di chuyÓn :
r2
∂s A = O 3 A.∂ϕ3 = l ∂s .
r1r3
Ta cã thÓ x¸c ®Þnh di chuyÓn cña B th«ng qua ∂sA. V× thanh AB chuyÓn
®éng song ph¼ng víi P lµ t©m vËn tèc tøc thêi nªn suy ra :
PA ∂s B PA
= , hay : ∂a B = ∂s A .
PB ∂s A PB
PB 1
Trong tam gi¸c APB ta cã : = .
PA cos 30 0
r2
Nªn : ∂s B = ∂s .
r1 r3 cos 30 0
ThiÕt lËp ®iÒu kiÖn c©n b»ng cho hÖ nhê nguyªn lý di chuyÓn kh¶ dÜ. Ta
cã:
r r
∑ Fk ∂ rk = Q∂s − F∂s B = 0 Thay F = c . h
r2
ta ®−îc : Q∂s − c.h ∂s = 0 .
r1r3 cos 30 0
Q r1r3 cos 30 0 100.20.10.0,87
Suy ra : h = ∂s = = 1,74cm .
c r2 5.40.50
Nh− vËy hÖ c©n b»ng khi lß xo bÞ nÐn mét ®o¹n h = 1,74cm.
-216-
Ch−¬ng 15
nguyªn lý da lam be
15.1. Lôc qu¸n tÝnh vµ nguyªn lý Da lam be ®ãi víi chÊt ®iÓm
r
XÐt chÊt ®iÓm cã khèi l−îng m chuyÓn ®éng víi gia tèc W d−íi t¸c dông
r r r
c¸c cña lùc F1 , F2 .....Fn (h×nh 15-1).
Ph−¬ng tr×nh c¬ b¶n cña ®éng lùc häc Fqt F1
viÕt cho chÊt ®iÓm : M
F2
r r r r N r
mW = F1 + F2 + ......Fn = ∑ Fi . W
i =1
Fn
ChuyÓn c¸c sè h¹ng cña ph−¬ng tr×nh trªn
sang mét vÕ ®−îc : H×nh 15.1
( )
r r
∑ Fi + − mW = 0 . (1)
( )
r
Sè h¹ng − mW cã thø nguyªn cña lùc b»ng tÝch sè gi÷a khèi l−îng m
víi gia tèc w, cïng ph−¬ng nh−ng ng−îc chiÒu víi gia tèc ®−îc gäi lµ lùc qu¸n
r
tÝnh cña chÊt ®iÓm vµ ký hiÖu lµ Fqt .
r r
Ta cã Fqt = −mW .
Thay vµo ph−¬ng tr×nh (1) ta ®−îc :
N r r
∑ Fi + Fqt = 0 .
i =1
r r
C¸c lùc ∑ Fi vµ lùc Fqt ®ång quy t¹i chÊt ®iÓm v× vËy cã thÓ viÕt :
( )
rr r r
F1F2 ......Fn , Fqt = 0 . (15-1)
BiÓu thøc (15-1) biÓu diÔn nguyªn lý §a Lam Be cho chÊt ®iÓm vµ ®−îc
ph¸t biÓu nh− sau :
Khi chÊt ®iÓm chuyÓn ®éng, c¸c lùc thùc sù t¸c dông lªn chÊt ®iÓm (bao
gåm c¸c ho¹t lùc vµ ph¶n lùc liªn kÕt) cïng víi lùc qu¸n tÝnh cña nã t¹o thµnh
mét hÑ klùc c©n b»ng.
-217-
§iÒu kiÖn c©n b»ng cña hÖ lùc biÓu diÔn nguyªn lý §a Lam Be cho chÊt
®iÓm viÕt ®−îc :
ΣXi = X1 + X2 + ....... + Xn +Xqt = 0.
ΣYi = Y1 + Y2 + ....... + Yn +Yqt = 0.
ΣZi = Z1 + Z2 + ....... + Zn +Zqt = 0.
Trong ®ã :
Xi , Yi , Zi vµ Xqt , Yqt , Zqt lµ c¸c h×nh chiÕu cña lùc Fi thùc sù r¸c ®éng len
r
chÊt ®iÓm cña lùc qu¸n tÝnh Fqt lªn c¸c trôc oxyz.
Chó ý :
r
1. Lùc qu¸n tÝnh Fqt kh«ng ®Æt lªn chÊt ®iÓm, ®ã lµ lùc t−ëng t−îng thªm
vµo ®Ó cã nguyªn lý §a L¨m Be. Thùc tÕ lùc qu¸n tÝnh ®Æt vµo liªn kÕt cña chÊt
®iÓm. ThÝ dô khi buéc mét vËt nÆng vµo ®Çu mét sîi d©y vµ quay th× lùc thùc sù
t¸c dông lªn vËt trong tr−êng hîp nµy chØ cã träng lùc, lùc c¨ng cña d©y, lùc c¶n
kh«ng khÝ, cßn lùc qu¸n tÝnh cña vËt l¹i ®Æt lªn sîi d©y vµ cã xu h−íng ®øt d©y.
2. Khi chÊt ®iÓm chuyÓn ®éng cong, gia tèc cña chÊt ®iÓm cã hai thµnh
phÇn tiÕp tuyÕn vµ ph¸p tuyÕn do ®ã lùc qu¸n tÝnh còng cã hai thµnh phÇn t−¬ng
øng. Ta cã :
r r r
W = Wτ + Wn .
r r r r rτ rn
Fqt = −mW = −mW τ − mW n = Fqt + Fqt .
rτ
Trong ®ã lùc qu¸n tÝnh tiÕp tuyÕn Fqt cã ph−¬ng tiÕp tuyÕn víi quü ®¹o cã
dv
chiÒu phô thuéc vµo tÝnh chÊt chuyÓn ®éng cña chÊt ®iÓm. NÕu W = > 0 th×
dt
lùc qu¸n tÝnh tiÕp tuyÕn ng−îc chiÒu víi vËn tèc cña chÊt ®iÓm.
dv
Wτ = < 0 th× lùc qu¸n tÝnh tiÕp tuyÕn cïng chiÒu víi vËn tèc cña chÊt
dt
®iÓm. V× vËy gia tèc ph¸p tuyÕn Wn lu«n lu«n cïng h−íng vµo t©m cña ®−êng
rn
conh t¹i vÞ trÝ ®ang xÐt nen Fqt lu«n lu«n cã chiÒu h−íng tõ t©m ®−êng cong ra
rn
ngoµi v× thÕ Fqt ®−îc gäi lµ lùc qu¸n tÝnh ly t©m (h×nh 15-2)
-218-
n n
τ
Fqt Wτ Fqt Fqt
v v
M
M
τ
Fqt Wτ
Wn Wn
H×nh 15.2
Nhê nguyªn lý §a L¨m Be ta cã thÓ gi¶i thÝch c¸c bµi ®éng lùc häc cña
chÊt ®iÓm b»ng ph−¬ng ph¸p gi¶i bµi to¸n c©n b»ng cña hÖ lùc ®ång quy ®· biÕt
trong tÜnh häc.
ThÝ dô 15-1
Mét bãng ®Ìn cã träng l−îng P treo W
trªn trÇn cña toa tÇu ®ang ch¹y. T¹i mét thêi O
®iÓm nµo ®ã ng−êi ta thÊy d©y treo ®Ìn lÖch T α T α
qt
Fe M
®i so víi ph−¬ng ®øng mét gãc α. T×nh gia Fqt P
P
tèc cña tÇu t¹i thêi ®iÓm ®ã. TÝnh lùc c¨ng
cña d©y (h×nh 15-3).
Bµi gi¶i : H×nh 15.3
r
XÐt chuyÓn ®éng cña bãng ®Ìn. Gäi gia tèc cña bãng ®Ìn lµ W ta cã : c¸c
r r
lùc thùc sù t¸c dông lªn bãng ®Ìn lµ träng lùc P , lùc c¨ng T cña d©y. Lùc qu¸n
tÝnh cña bãng ®Ìn lµ :
r P r
Fqt = − W .
g
Theo nguyen lý §a L¨m Be cã :
( )
r r r
P, T, Fqt 0
HÖ lùc nµy gåm 3 lùc ®ång quy ta cã thÓ thiÕt lËp ®iÒu kiÖn c©n b»ng cña
chóng b»ng tam gi¸c khÐp kÝn nh− trªn h×nh (15-3b).
Tõ tam gi¸c lùc nµy suy ra : Fqt = Ptgα.
Hay mw = ptgα = mgtgα;
-219-
w = gtgα.
T¹i thêi ®iÓm xÐt coi bãng ®Ìn lµ c©n b»ng t−¬ng ®èi trong toa tÇu do ®ã
gia tèc cña bãng ®µn còng chÝnh lµ gia tèc cña toa xe.
P 1
Cuèi cïng lùc c¨ng T tÝnh ®−îc ; T = = P.
cos α cos α
Ta cã ph−¬ng chiÌu biÓu diÔn nh− h×nh vÏ.
ThÝ dô 15-2 : Mét b×nh h×nh trô chøa chÊt láng y
quay quanh trôc th¼ng ®øng víi vËn tèc kh«ng ®æi ω0. A n B
τ
N
T×m d¹nh mÆt tho¸ng chÊt láng ë vÞ trÝ c©n b»ng t−¬ng r Fqt
®èi (h×nh 15-4). αM
O x
Bµi gi¶i: P
XÐt mät phÇn tö chÊt láng M n»m trªn mÆt
tho¸ng.
Gi¶ thiÕt mÆt ph¼ng oxy c¾t mÆt tho¸ng theo
H×nh 15.4
giao tuyÕn AOB di qua ®iÓm M (h×nh 15-4). C¸c lùc
r r
thùc sù t¸c ®äng lªn chÊt ®iÓm M gåm : Träng lùc P ph¶n lùc N cña phÇn chÊt
láng cßn l¹i t¸c dông lªn chÊt ®iÓm cã h−íng theo ph¸p tuyÕn Mn.
r r
Lùc qu¸n tÝnh cña ch¸t ®iÓm lµ Fqt = mW v× khèi láng quay ®Òu quanh
r r
trôc quay nªn gia tèc W chØ gåm thµnh phÇn ph¸p tuyÕn W n vµ lùc qu¸n tÝnh
r
Fqt cã ph−¬ng chiÒu nh− h×nh vÏ :
Fqt = Fqtn = mω2.x ,
ë ®©y x lµ to¹ ®é cña ®iÓm M.
¸p dông nguyªn lý §a L¨m Be cho chÊt ®iÓm M ta cã :
( )
r r r
P, N, Fqt ∼ 0.
Ph−¬ng tr×nh c©n b»ng cña hÖ lùc nµy trªn trùc tuyÕn Mτ viÕt ®−îc :
m x ω2cosα - mgsinα = 0 ;
α lµ gãc nghiªng cña ®−êng tiÕp tuyÕn víi trôc x.
ω2
Suy ra tgα = .x
g
-220-
dy dy ω2
Thay tgα = ta ®−îc : = .x
dx dx g
ω2
Hay dy = .x.dx .
g
L¸y tÝch ph©n hai vÕ theo c¸c cËn t−¬ng øng cã :
y y
ω2
∫ dy = ∫ g .x.dx ,
0 0
ω2 2
Hay y = .x .
2g
Nh− vËy ®−êng AOB lµ ®−êng parabol vµ mÆt tho¸ng cña chÊt láng lµ mét
mÆt paraboloit trßn xoay nhËn trôc oy lµ trôc ®èi xøng.
15.2. Nguyªn lý §a L¨m Be ®èi víi hÖ
15.2.1. Nguyªn lý
XÐt hÖ gåm n chÊt ®iÓn : M1,M2, ........Mn.
r re
T¸ch mét chÊt ®iÓm Mk ra xÐt. Gäi Fki vµ Fk lµ tæng c¸c néi lùc vµ tæng
c¸c ngo¹i lùc t¸c dông lªn chÊt ®iÓm. NÕu chÊt ®iÓm chuyÓn ®éng víi gia tèc
r r r
Wk th× lùc qu¸n tÝnh cña chÊt ®iÓm sÏ lµ Fqtk = −m k Wk .
¸p dông nguyªn lý §a L¨m Be cho ch¸t ®iÓm ta cã :
(ri re r
)
Fk , Fk , Fqtk 0.
Cho k tiÕn tõ 1 ... n ta ®−îc n hÖ lùc c©n b»ng viÕt theo d¹ng trªn. TÊt c¶
c¸c hÖ lùc ®ã hîp l¹i thµnh mét hÖ lùc c©n b»ng :
( ri re r
)
Fk , Fk , Fqtk 0. (k = 1.... n) (15-3)
BiÓu thøc (15-3) biÓu diÔn nguyªn lý §a L¨m Be ®èi víi hÖ vµ ®−îc ph¸t
biÓu nh− sau :
Khi hÖ chuyÓn ®éng c¸c lùc thùc sù t¸c dông lªn hÖ (kÓ c¶ néi lùc vµ
ngo¹i lùc) cïng víi lùc qu¸n tÝnh cña hÖ t¹o thµnh mét hÖ lùc c©n b»ng.
HÖ lùc biÓu diÔn bëi biÓu thøc (15-3) lµ hÖ lùc bÊt kú trong kh«ng gian vµ
vËy ®iÒu kiÖn c©n b»ng cña hÖ cã thÓ viÕt nh− sau :
-221-
∑ (Fki + Fke + Fqtk ) = 0 ;
N r r r
ki =1
N
[r r r r r r
∑ m 0 (Fki ) + m 0 (Fke ) + m 0 (Fqtk ) = 0 .
ki =1
]
N ri
V× ∑F
ki =1
k
= 0 nªn ph−¬ng tr×nh cßn l¹i :
(F
r r
)
N
∑ e
k
+ R qt = 0 ;
ki =1
∑ [m 0 (Fke ) + M qt ] = 0
N r r r
0
(15-4)
ki =1
r r
Trong ®ã R qt vµ M qt lµ vÐc t¬ chÝnh vµ m« men chÝnh lùc qu¸n tÝnh cña
0
hÖ.
NÕu viÕt d−íi d¹ng h×nh chiÕu ta cã 6 ph−¬ng tr×nh sau :
∑ X k + X qt = 0 ;
e
∑ Y k + Y qt = 0 ;
e
∑ Z k + Z qt = 0 ;
e
∑ m x (Fke ) + M qt = 0 ;
x
∑ m y (Fke ) + M qt = 0 ;
y
∑ m z (Fke ) + M qt = 0 .
z
Trong ®ã : Xke, Yke , Zke , Xqt , Yqt , Zqt lµ c¸c thµnh phÇn h×nh chiÕu lªn
r r
c¸c trôc oxyz cña ngo¹i lùc Fk0 vµ vÐc t¬ chÝnh cña lùc qu¸n tÝnh R qt cßn
re re re
m x ( Fk ), m y ( Fk ), m z ( Fk ) vµ Mxqt , Myqt , Mzqt lµ m« men ®èi víi ba trôc oxyz
r
cña ngo¹i lùc Fk0 vµ m« men chÝnh cña lùc qu¸n tÝnh ®èi víi ba trôc.
Còng nh− ®èi víi chÊt ®iÓm nguyªn lý §a L¨m Be ®èi víi hÖ cho ta
ph−¬ng ph¸p gi¶i c¸c bµi to¸n ®éng lùc häc cho hÖ theo ph−¬ng ph¸p tÜnh häc vµ
®−îc gäi lµ ph−¬ng ph¸p tÜnh ®éng....Ph−¬ng ph¸p tÜnh ®éng ®−îc ¸p dông réng
r·i ®Ó gi¶i c¸c bµi to¸n ®éng lùc häc ®Æc biÖt lµ nh÷ng bµi to¸n x¸c ®Þnh c¸c
ph¶n lùc liªn kÕt. Khi sö dông ph−¬ng ph¸p khã kh¨n chÝnh lµ viÖc x¸c ®Þnh vÐc
Copyright by webtailieu.net