Phần 1 xác suất, giải tích tổ hợp
Phần 1 xác suất, giải tích tổ hợp
ThS. Phạm Trí Cao * Chương 0
I) NGUYEÂN LYÙ NHAÂN
Moä t coâ ng vieä c ñeå thöï c hieä n coù 2 giai ñoaï n A, B.
Giai ñoaï n A coù m caù ch thöïc hieä n, giai ñoaï n B coù n caù ch thöï c
PHAÀN 1: hieä n
Hoû i coù bao nhieâ u caù ch thöï c hieä n xong coâ ng vieä c?
XAÙC SUAÁT ÖÙng vôùi moã i caù ch cuû a giai ñoaï n A, ta coù n caù ch thöïc hieä n giai
ñoaï n B
CHÖÔNG 0: A
GIAÛI TÍCH TOÅ HÔÏP
1 2 ....... m
B B
Chöông naøy hoïc moät soá quy taéc ñeám thoâng duïng
1 2 .... n ..... 1 2 ...... n
1 2
Vaä y: Coù m*n caù ch ñeå thöï c hieä n coâng vieä c
Ví duï 1: Moät ngöôøi coù 6 caùi aùo, 5 caùi quaàn. Hoûi coù bao Ví duï 2: Moät ngöôøi coù 4 caùi aùo, 3 caùi quaàn, 3 caùi noùn.
nhieâu caùch maëc ñoà? Hoûi coù bao nhieâu caùch maëc ñoà vaø ñoäi noùn?
HD: coâng vieäc maëc ñoà coù 2 giai ñoaïn ta phaûi thöïc hieän
laàn löôït laø: maëc aùo, maëc quaàn. HD: Coâng vieäc maëc ñoà vaø ñoäi noùn coù 3 giai ñoaïn ta
Maëc aùo: coù 6 caùch phaûi thöïc hieän laàn löôït laø: maëc aùo, maëc quaàn, ñoäi noùn.
Maëc quaàn: coù 5 caùch
Maëc aùo: coù 4 caùch
Vaäy ta coù: 6*5=30 caùch
Maëc quaàn: coù 3 caùch
Ñoäi noùn: coù 3 caùch
Môû roäng: moät coâng vieäc ñeå thöïc hieän coù nhieàu giai
ñoaïn. Vaäy ta coù: 4*3*3=36 caùch
3 4
1
ThS. Phạm Trí Cao * Chương 0
II) CHÆNH HÔÏP
Ví duï: Coù 5 böùc tranh vaø 7 caùi moùc treo treân töôøng. Coù Nhaän xeùt
bao nhieâu caùch treo 5 böùc tranh naøy (moãi moùc chæ treo 1
Moãi caùch treo 5 böùc tranh laø moät caùch laáy 5 caùi
böùc tranh)?
moùc treo töø 7 caùi moùc treo. Ñaây laø caùch laáy coù thöù
HD: coâng vieäc treo tranh coù 5 giai ñoaïn sau:
töï, bôûi vì traät töï laáy caùc moùc khaùc nhau seõ cho ta
gñ1: treo böùc tranh thöù 1. Ta choïn ra 1 moùc treo töø 7 caùi
caùc caùch treo tranh khaùc nhau.
moùc treo, coù 7 caùch choïn. (coøn laïi 6 moùc treo)
gñ2: ........ 2............... 6 caùch ..... Coøn 5 moùc
gñ3: ......... 3............... 5 caùch ..... Coøn 4 moùc Vaäy soá caùch laáy coù thöù töï 5 phaàn töû töø 7 phaàn töû
gñ4: ......... 4.............. 4 caùch ..... Coøn 3 moùc ñöôïc tính nhö theá naøo?
gñ5: ......... 5.............. 3 caùch .....
Theo nguyeân lyù nhaân ta coù: 7*6*5*4*3=2520 caùch treo
5 6
ÑN: Moät chænh hôï p n chaä p k (chænh hôïp chaäp k cuûa n) laø 1
caùch laáy k phaà n töû khaùc nhau (coù ñeå yù thöù töï, traät töï saép
xeáp) töø n phaàn töû khaùc nhau.
NX: moãi k phaàn töû laáy ra töø n phaàn töû taïo thaønh 1
Soá chænh hôïp : nhoùm.
A(k,n)= Ank n! Caùc nhoùm khaùc nhau do:
(n k )! -caùc phaàn töû trong nhoùm khaùc nhau
Vôù i n!=1*2*3*...*n , quy öôùc 0!=1 Vd: 1234 khaùc 3456
-thöù töï, traät töï saép xeáp cuûa caùc phaàn töû trong nhoùm
Ví duï: Theo ví duï treân ta coù : Moät caùch treo 5 böùc tranh laø khaùc nhau
1 caùch choï n ra 5 moùc treo khaù c nhau töø 7 moùc treo (coù ñeå Vd: 1234 khaùc 3412
yù ñeá n vò trí cuûa chuùng)
Moãi caùch treo laø 1 chænh hôï p 7 chaäp 5:
7 A(5,7)=7*6*5*4*3 8
2
ThS. Phạm Trí Cao * Chương 0
HD:
3) Hoaùn vò: a) A B C D
1 2 3 4
Coù n phaàn töû khaùc nhau.
Moãi caùch xeá p 4 ngöôø i naø y laø 1 hoaùn vò cuû a 4 ngöôø i naø y => coù
Moät hoaùn vò cuûa n phaàn töû naøy laø 1 caùch saép xeáp n phaàn
töû naøy theo 1 thöù töï xaùc ñònh. 4! Caù ch
NX: Ta thaáy hoaùn vò laø tröôøng hôïp ñaëc bieät cuûa chænh b) 1
hôïp, vôùi k=n ?
Soá hoaùn vò: P(n)=n! (=A(n,n)) 2
Ví duï: Coù 4 ngöôøi.
Coù bao nhieâu caùch xeáp 4 ngöôøi naøy: Choï n ra 1 ngöôø i laøm moá c, ta thaáy vò trí baét ñaà u cuû a ngöôø i naø y
a)ngoài thaønh haøng daøi khoâ ng quan troï ng (ví duï : A laø m moá c, A ôû vò trí 1 cuõng töông
b)ngoài thaønh voøng troøn töï nhö A ôû vò trí 2)
c)ngoài vaøo baøn troøn coù ñaùnh soá Chæ saé p xeá p 3 ngöôø i coø n laï i : coù 3! Caù ch
9 10
c) 4!
4) Toåû hôïp: HD:
Moät toå hôïp n chaäp k laø 1 caùch laáy k phaàn töû khaùc nhau a) Moät BLÑ phoøng laø 1 caùch choïn 3 ngöôøi töø 30 ngöôøi
(khoâng ñeå yù thöù töï saé p xeá p) töø n phaàn töû khaùc nhau (choïn tuøy yù, khoâng quan taâm thöù töï saép xeáp) => Moãi
caùch choïn laø 1 toå hôïp. Soá caùch choïn laø C(3,30)
Soá toå hôïp : b) Caùch 1: Vì 3 ngöôøi trong BLÑ coù chöùc vuï roõ raøng:
C(k,n)= Cnk n! TP, PP, TK => coù ñeå yù thöù töï saép xeáp
k!(nk)! Soá caùch choïn laø A(3,30)
VD: Moä t phoøng laøm vieäc cuûa 1 coâng ty coù 30 nhaân vieâ n. Caùch 2: coâng vieäc choïn BLÑ phoøng coù 3 giai ñoaïn:
a) Coù bao nhieâu caùch giaùm ñoác choï n ra BLÑ phoøng goàm gñ1: choïn TP: coù 30 caùch
3 ngöôøi. gñ2: choïn PP: coù 29 caùch
gñ3: choïn TK: coù 28 caùch
b) BLÑ phoøng goàm: tröôûng phoøng, phoù phoø ng, thö kyù.
Vaäy coù: 30*29*28 caùch
11 Hoûi coù bao nhieâ u caùch choïn ra BLÑ phoø ng. 12
3
ThS. Phạm Trí Cao * Chương 0
Caùch 3: Chia thaønh 2 gñ:
Bình loaïn:
gñ1: choïn tuøy yù 3 ngöôøi töø 30 ngöôøi: coù C(3,30) caùch Qua VD naøy baïn coù caûm nhaän ñöôïc söï “voâ thöôøng” cuûa
gñ2: öùng vôùi 3 ngöôøi ñöôïc choïn, chæ ñònh 1 ngöôøi laøm cuoäc ñôøi! Ta coù 2 caùch choïn:
TP, 1 ngöôøi laøm PP, 1 ngöôøi laøm TK: coù 3! Caùch
C1: Choïn 3 ngöôøi coù chæ ñònh chöùc vuï ngay töø ñaàu.
Vaäy coù: C(3,30)*3! Caùch
C2: Choïn tuøy yù 3 ngöôøi, sau ñoù môùi chæ ñònh chöùc vuï
cho töøng ngöôøi.
NX: A(k,n)=C(k,n)*k!
Theo baïn thì 2 caùch choïn naøy coù cho cuøng keát quaû nhö
NX:
nhau?!
Toå hôïp: caùc nhoùm khaùc nhau do caùc phaàn töû trong
nhoùm khaùc nhau
Döôùi goùc ñoä khoa hoïc töï nhieân: c1 vaø c2 cho cuøng 1 keát
quaû.
13 14
Bình loaïn: tieáp theo 5) Chænh hôïp laëp:
Döôùi goùc ñoä khoa hoïc xaõ hoäi: c1 vaø c2 cho keát quaû khaùc
nhau “1 trôøi 1 vöïc”! Taïi sao ö?! Ví duï: Tín hieäu Moùc coù ñoä daøi laø 4 tín aâm. Moãi tín aâm
laø Tít (T) hoaëc te (t)
Khi GÑ choïn ra 3 ngöôøi, trong thôøi gian chuaån bò chæ
Vd: TTTT, TTTt, tTTT, TTtt, Tttt, tttt...
ñònh chöùc vuï cho töøng ngöôøi thì caùc ngöôøi naøy ñaõ lo
Hoûi coù bao nhieâu tín hieäu Moùc ñöôïc taïo thaønh?
“vaän ñoäng haäu tröôøng” cho chöùc vuï cuûa mình roài, ai vaän
ñoäng “maïnh hôn” thì seõ ñöôïc laøm TP. HD:
Taâ1 Taâ2 Taâ3 Taâ4
Baïn seõ noùi: “Khôø quaù! Ai laïi ñeå cho c2 xaõy ra. Khi GÑ
chæ môùi döï ñònh choïn BLÑ thoâi thì phaûi lo vaän ñoäng cho 2 2 2 2
chöùc vuï TP roài chöù”.
Vaäy coù: 2*2*2*2=24 tín hieäu Moùc
???????!!!!!!!
ÖØ! Khôø thieät!
15 16
4
ThS. Phạm Trí Cao * Chương 0
6) Hoaùn vò laëp:
Nhaéc laïi: Soá hoaùn vò cuûa n phaàn töû khaùc nhau laø:
• ÑN: Moät chænh hôï p laë p n chaäp k laø 1 caùch P(n)=n!
choï n ra k phaàn töû ( coù ñeå yù thöù töï) töø n phaà n
Ta coùù n phaàn töû, trong ñoù coù:
töû khaùc nhau. Moãi phaà n töû coù theå laëp laï i
n1 phaàn töû coù cuøng tính chaát A1
nhieà u laà n (toá i ña laø k laàn) n2 phaàn töû coù cuøng tính chaát A2
~
• Soá chænh hôï p laëp: A*(k,n)= Ank =nk ..................
nk phaàn töû coù cuøng tính chaát Ak
• NX: k coù theå lôùn hôn n
vôùi n1+n2+...+nk=n
Soá hoaùn vò cuûa n phaàn töû naøy laø: n! /(n1! n2! ...nk!)
17 18
Ví duï: Coù 10 ngöôøi ñònh cö vaøo 3 nöôùc: Anh, Phaùp,
Myõ. Caùch 2: Chia thaønh 3 gñ:
Nöôùc Anh nhaän 3 ngöôøi, nöôùc Phaùp nhaän 3 ngöôøi, gñ1: Saép 3 ngöôøi vaøo nöôùc Anh (khoâng chuù yù traät töï
nöôùc Myõ nhaän 4 ngöôøi saép xeáp cuûa 3 ngöôøi naøy): coù C(3,10) caùch => coøn laïi
Hoûi coù bao nhieâu caùch saép xeáp? 7 ngöôøi saép xeáp vaøo 2 nöôùc Phaùp, Myõ
HD: Ta coù 10 ngöôøi, trong ñoù coù: gñ2: Saép 3 ngöôøi (trong 7 ngöôøi coøn laïi) vaøo nöôùc
3 ngöôøi coù cuøng tính chaát A1 (cuøng ñònh cö ôû Anh) Phaùp: coù C(3,7) caùch
3 ngöôøi coù cuøng tính chaát A2 (cuøng ñònh cö ôû Phaùp) gñ3: Saép 4 ngöôøi (trong 4 ngöôøi coøn laïi) vaøo nöôùc
4 ngöôøi coù cuøng tính chaát A3 (cuøng ñònh cö ôû Myõ) Myõ: coù C(4,4)=1 caùch
Vaäy coù: C(3,10)*C(3,7)*C(4,4) caùch
Vaäy coù: 10! / (3! 3! 4!) Caùch
Caùch 2: duøng nguyeân lyù nhaân?
19 20
5
ThS. Phạm Trí Cao * Chương 0
TOÙM LAÏI
Toång keát caùc quy taéc ñeám.
Ta coù baøi toaùn toång quaùt sau: coù n phaàn töû, choïn ra k phaàn töû.
Baøi taäp 1
Caùc tröôøng hôïp: Lôùp coù 30 sv, coù 20 nam. Trong 1 buoåi khieâu vuõ,
a)neáu khoâng ñeå yù thöù töï: toå hôïp
coù bao nhieâu caùch:
b)Neáu coù ñeå yù thöù töï:
b1)Neáu k=n: a)Choïn ra 1 ñoâi (1nam vaø 1 nöõ)
*Neáu n phaàn töû khaùc nhau: hoaùn vò b)Choïn ra 3 nam, 3 nöõ
*Neáu trong n phaàn töû coù caùc phaàn töû coù cuøng tính chaát: c)Choïn ra 3 ñoâi
hoaùn vò laëp
b2)Neáu k≠n vaø neáu k phaàn töû laáy ra khaùc nhau: chænh hôïp
b3)Neáu caùc phaàn töû coù theå laëp laïi (toái ña k laàn): chænh hôïp laëp
Neáu ta khoâng aùp duïng ñöôïc caùc quy taéc: chænh hôïp, chænh hôïp
laëp, toå hôïp, hoaùn vò, hoaùn vò laëp: duøng quy taéc nhaân (chia
coâng vieäc ra thaønh 1 soá giai ñoaïn)
21 22
Hd1: bt2
a)Coù C(1,20)*C(1,10) caùch Ñeå baùo tín hieäu treân bieån ngöôøi ta duøng 5 côø vôùi 7
b)Coù C(3,20)*C(3,10) caùch maøu khaùc nhau
c)Chia thaønh 2 gñ: (Vd: Ñ Ñ Ñ Ñ Ñ laø tín hieäu SOS, T V T X T)
gñ1: choïn ra 3 nam, 3 nöõ: coù C(3,20)*C(3,10) caùch Hoûi coù bao nhieâu tín hieäu, coù:
gñ2: öùng vôùi 3 nam, 3 nöõ vöøa choïn => baét ñoâi (coá a)5 maøu khaùc nhau
ñònh nöõ, cho 3 nam choïn 3 nöõ) => moãi caùch baét ñoâi b)coù maøu tuøy yù
laø 1 hoaùn vò cuûa 3 nam => coù 3! Caùch baét ñoâi c)2 côø keá nhau khoâng ñöôïc cuøng maøu
Vaäy coù: C(3,20)*C(3,10)*3! Caùch
23 24
6
ThS. Phạm Trí Cao * Chương 0
Hd2:
a)Coù A(5,7) tín hieäu
Bt3:
B) 75 tín hieäu Moät maõ teân nhaân vieân (MTNV) goàm coù 3 chöõ soá.
c) Ñ X Ñ V T Ñ T X V Ñ Vd: 000, 001, 023, 345,...
c1 c2 c3 c4 c5 c1 c2 c3 c4 c5 Hoûi:
a)Coù bao nhieâu MTNV ñöôïc taïo ra töø 3 chöõ soá?
Côø 1: coù 7 caùch choïn maøu b)Coù bao nhieâu MTNV coù 3 chöõ soá khaùc nhau
2: coù 6 caùch c)Coù bao nhieâu MTNV coù 3 chöõ soá truøng nhau
3: coù 6
d)Coù bao nhieâu MTNV coù 2 chöõ soá truøng nhau
4: coù 6
5:coù 6
Vaäy coù: 7*6*6*6*6*6 tín hieäu
25 NX: söï khaùc nhau giöõa caâu b vaø c 26
Hd3:
Caùc chöõ soá laáy töø taäp A={0,1,2,...,9}
a) cs1 cs2 cs3 Bt4:
10 10 10
Vaäy coù : 103=1000 MTNV Coù caùc chöõ soá : 1,2,3,4,5
b)Coù A(3,10) MTNV Coù bao nhieâu caùch saép xeáp 5 chöõ soá naøy sao cho
c)Coù 10 MTNV nhoùm chöõ soá chaún vaø nhoùm chöõ soá leû taùch bieät
d)Chia thaønh 3 gñ: nhau?
gñ1: Choïn ra 2 chöõ soá khaùc nhau (tuøy yù) töø taäp A: coù Td: 13524, 15324, 42351, 24351
C(2,10) caùch
gñ2: Töø 2 chöõ soá ñaõ choïn, choïn ra 1 chöõ soá laøm chöõ soá Khoâng xeùt: 21354
truøng: coù C(1,2) caùch =>ta coù 3 chöõ soá (trong ñoù coù 2 chöõ
soá truøng)
gñ3: Saép xeáp 3 chöõ soá naøy ñeå taïo thaønh caùc MTNV khaùc
nhau: coù 3!/ 2! Caùch
Vaäy coù: C(2,10)*C(1,2)* 3!/2! MTNV
27 Caùch2: caâu d)= caâu a) –caâu b) –caâu c) 28
7
ThS. Phạm Trí Cao * Chương 0
Phuï luïc: Caùc haøm tính toaùn thoâng duïng trong EXCEL
Hd4:
Coâng vieäc coù 3 gñ: COMBIN(8,2) = C 2 , PERMUT(100,3) = A3
8 100
Gñ1: chia caùc chöõ soá thaønh 2 nhoùm: nhoùm CS chaún, FACT(5) = 5! ,
~
POWER(5,2) = A 2 = 52
nhoùm CS leû. Saép xeáp 2 nhoùm naøy: coù 2! Caùch. (TD: 5
13524, 24135) MULTINOMIAL(4,2,3) = 9!
Gñ2: saép xeáp caùc CS leû trong nhoùm CS leû: coù 3! 4! 2!3!
Caùch. (TD: 135,531,351) LN(e) = 1 , LN(5) = 1,6094
Gñ3: saép xeáp caùc CS chaún trong nhoùm CS chaún: coù 2! LOG10(5) = log 10(5) = lg(5) = 0,6990
Caùch. LOG10(10) = 1
Theo NLN, ta coù 2! 3! 2! = 2*6*2= 24 caùch
29 30
Môøi gheù thaêm trang web:
Quy öôùc: Quyeån (*) laø quyeån: http://kinhteluong.ungdung.googlepages.com
http://xacsuatthongke.googlepages.com
BAØI TAÄP XSTK, ThS. Leâ Khaùnh Luaän & GVC.
http://toiuuhoa.googlepages.com
Nguyeãn Thanh Sôn & ThS. Phaïm Trí Cao, NXB
Lao ñoäng 2007. http://diemthi.caopt.googlepages.com
Xem theâm 1 soá daïng baøi taäp veà quy taéc ñeám ôû http://phamtricao.googlepages.com
quyeån (*).
www37.websamba.com/phamtricao
www.phamtricao.web1000.com
31 32
8
