Ôn tập tóm tắt chương trình thi đại học môn toán
Tài liệu luyện thi , ôn tập tóm tắt môn toán cho kỳ thi đại học. Giúp các em có thêm kiến thức để đạt được điểm cao hơn trong kì thi Đại học sắp tới. Chúc các em thi thành công.
PHAÀN MOÄT: OÂN TAÄP TOÙM TAÉT CHÖÔNG TRÌNH THI ÑAÏI HOÏC MOÂN TOAÙN
I- GIAÛI TÍCH TOÅ HÔÏP
1. Giai thöøa : n! = 1.2...n
0! = 1
n! /(n – k)! = (n – k + 1).(n – k + 2) ... n
2. Nguyeân taéc coäng : Tröôøng hôïp 1 coù m caùch choïn, tröôøng hôïp 2 coù n caùch choïn;
moãi caùch choïn ñeàu thuoäc ñuùng moät tröôøng hôïp. Khi ñoù, toång soá caùch choïn laø :
m + n.
3. Nguyeân taéc nhaân : Hieän töôïng 1 coù m caùch choïn, moãi caùch choïn naøy laïi coù n
caùch choïn hieän töôïng 2. Khi ñoù, toång soá caùch choïn lieân tieáp hai hieän töôïng laø :
m x n.
4. Hoaùn vò : Coù n vaät khaùc nhau, xeáp vaøo n choã khaùc nhau. Soá caùch xeáp : Pn = n !.
k n!
5. Toå hôïp : Coù n vaät khaùc nhau, choïn ra k vaät. Soá caùch choïn : C n =
k!(n − k )!
6. Chænh hôïp : Coù n vaät khaùc nhau. Choïn ra k vaät, xeáp vaøo k choã khaùc nhau soá
n!
caùch : A n =
k
, A n = C n .Pk
k k
(n − k)!
Chænh hôïp = toå hôïp roài hoaùn vò
7. Tam giaùc Pascal :
1 C0
0
0
1 1 C1 C1
1
0 1
1 2 1 C2 C2 C2
2
0
1 3 3 1 C3 C1
3
2
C3 C3
3
1 4 6 4 1 C0
4
1
C4 C2
4
3
C4 C4
4
Tính chaát :
C 0 = C n = 1, C n = C n− k
n n
k n
C n −1 + C n = C n +1
k k k
8. Nhò thöùc Newton :
* (a + b)n = C 0 an b 0 + C1 an −1b1 + ... + C n a0 b n
n n
n
a = b = 1 : ... C0 + C1 + ... + Cn = 2 n
n n
n
Vôùi a, b ∈ {±1, ±2, ...}, ta chöùng minh ñöôïc nhieàu ñaúng thöùc chöùa :
C 0 , C1 ,..., C n
n n n
* (a + x )n = C 0 an + C1 an −1x + ... + C n x n
n n n
Ta chöùng minh ñöôïc nhieàu ñaúng thöùc chöùa C 0 , C1 ,..., C n baèng caùch :
n n n
- Ñaïo haøm 1 laàn, 2 laàn, cho x = ±1, ±2, ... a = ±1, ±2, ...
TRANG 1
- Nhaân vôùi xk , ñaïo haøm 1 laàn, 2 laàn, cho x = ±1, ±2, ... , a = ±1, ±2, ...
±1 ±2 β
- Cho a = ±1, ±2, ..., ∫ hay ∫ ... hay ∫
0 0 α
Chuù yù :
* (a + b)n : a, b chöùa x. Tìm soá haïng ñoäc laäp vôùi x : Ck a n −k b k = Kx m
n
Giaûi pt : m = 0, ta ñöôïc k.
* (a + b)n : a, b chöùa caên . Tìm soá haïng höõu tyû.
m r
k n −k
Ca
n b = Kc d
k p q
⎧m / p ∈ Z
Giaûi heä pt : ⎨ , tìm ñöôïc k
⎩r / q ∈ Z
* Giaûi pt , bpt chöùa A n , C n ... : ñaët ñieàu kieän k, n ∈ N* ..., k ≤ n. Caàn bieát ñôn
k k
giaûn caùc giai thöøa, qui ñoàng maãu soá, ñaët thöøa soá chung.
* Caàn phaân bieät : qui taéc coäng vaø qui taéc nhaân; hoaùn vò (xeáp, khoâng boác), toå
hôïp (boác, khoâng xeáp), chænh hôïp (boác roài xeáp).
* AÙp duïng sô ñoà nhaùnh ñeå chia tröôøng hôïp , traùnh truøng laép hoaëc thieáu tröôøng
hôïp.
* Vôùi baøi toaùn tìm soá caùch choïn thoûa tính chaát p maø khi chia tröôøng hôïp, ta thaáy
soá caùch choïn khoâng thoûa tính chaát p ít tröôøng hôïp hôn, ta laøm nhö sau :
soá caùch choïn thoûa p.
= soá caùch choïn tuøy yù - soá caùch choïn khoâng thoûa p.
Caàn vieát meänh ñeà phuû ñònh p thaät chính xaùc.
* Veù soá, soá bieân lai, baûng soá xe ... : chöõ soá 0 coù theå ñöùng ñaàu (tính töø traùi sang
phaûi).
* Daáu hieäu chia heát :
- Cho 2 : taän cuøng laø 0, 2, 4, 6, 8.
- Cho 4 : taän cuøng laø 00 hay 2 chöõ soá cuoái hôïp thaønh soá chia heát cho 4.
- Cho 8 : taän cuøng laø 000 hay 3 chöõ soá cuoái hôïp thaønh soá chia heát cho 8.
- Cho 3 : toång caùc chöõ soá chia heát cho 3.
- Cho 9 : toång caùc chöõ soá chia heát cho 9.
- Cho 5 : taän cuøng laø 0 hay 5.
- Cho 6 : chia heát cho 2 vaø 3.
- Cho 25 : taän cuøng laø 00, 25, 50, 75.
II- ÑAÏI SOÁ
⎡b = c = 0
1. Chuyeån veá : a + b = c ⇔ a = c – b; ab = c ⇔ ⎢⎧ b ≠ 0
⎢⎨
⎣⎩ a = c / b
⎧ a = bc
a/b = c ⇔ ⎨ ; a2 n +1 = b ⇔ a = 2 n +1 b
⎩b≠0
TRANG 2
⎧ b = a 2n
a 2n = b ⇔ a = ± 2n b, a = 2n b ⇔ ⎨
⎩a ≥0
⎧ b = ±a
a= b ⇔⎨ , a = log α b ⇔ b = α a
⎩a≥ 0
b = 0, c > 0
⎧b>0
a + b < c ⇔ a < c − b ; ab < c ⇔ ⎨
⎩ a < c/ b
⎧b c/ b
2. Giao nghieäm :
⎧x >a ⎧x max{a, b} ; ⎨ ⇔ x < min{a, b}
⎩ x>b ⎩ xa a < x < b(neáu a < b) ⎧ p ∨ q ⎩Γ
⎨ ⇔ ; ⎨ ⇔
⎩ x 0, y ↑ neáu a > 1, y ↓ neáu 0 < a < 1.
TRANG 3
a0 = 1 ; a− m / n = 1/ n am ; am .an = am + n
am / an = am −n ; (am )n = am.n ; an / b n = (a/ b)n
an .b n = (ab)n ; am = an ⇔ (m = n,0 < a ≠ 1) ∨ a = 1
m < n (neáu a > 1)
am < an ⇔ , α = a loga α
m > n (neáu 0 < a < 1)
d. log : y = logax , x > 0 , 0 < a ≠ 1, y ∈ R
y↑ neáu a > 1, y↓ neáu 0 < a < 1, α = logaaα
loga(MN) = logaM + logaN ( ⇐ )
loga(M/N) = logaM – logaN ( ⇐ )
log a M 2 = 2 log a M , 2 log a M = log a M 2 (⇒)
logaM3 = 3logaM, logac = logab.logbc
1
logbc = logac/logab, log α M = log a M
a α
loga(1/M) = – logaM, logaM = logaN ⇔ M = N
0 < M < N (neáu a > 1)
log a M < log a N ⇔
M > N > 0(neáu 0 < a < 1)
Khi laøm toaùn log, neáu mieàn xaùc ñònh nôùi roäng : duøng ñieàu kieän chaën laïi, traùnh
duøng coâng thöùc laøm thu heïp mieàn xaùc ñònh. Maát log phaûi coù ñieàu kieän.
4. Ñoåi bieán :
a. Ñôn giaûn : t = ax + b∈ R , t = x 2 ≥ 0, t = x ≥ 0, t = x ≥ 0, t = a x > 0 , t = log a x ∈ R
Neáu trong ñeà baøi coù ñieàu kieän cuûa x, ta chuyeån sang ñieàu kieän cuûa t baèng caùch
bieán ñoåi tröïc tieáp baát ñaúng thöùc.
b. Haøm soá : t = f(x) duøng BBT ñeå tìm ñieàu kieän cuûa t. Neáu x coù theâm ñieàu kieän,
cho vaøo mieàn xaùc ñònh cuûa f.
c. Löôïng giaùc : t = sinx, cosx, tgx, cotgx. Duøng pheùp chieáu löôïng giaùc ñeå tìm ñieàu
kieän cuûa t.
d. Haøm soá hôïp : töøng böôùc laøm theo caùc caùch treân.
5. Xeùt daáu :
a. Ña thöùc hay phaân thöùc höõu tyû, daáu A/B gioáng daáu A.B; beân phaûi cuøng daáu heä soá
baäc cao nhaát; qua nghieäm ñôn (boäi leû) : ñoåi daáu; qua nghieäm keùp (boäi chaün) :
khoâng ñoåi daáu.
b. Bieåu thöùc f(x) voâ tyû : giaûi f(x) < 0 hay f(x) > 0.
c. Bieåu thöùc f(x) voâ tyû maø caùch b khoâng laøm ñöôïc : xeùt tính lieân tuïc vaø ñôn ñieäu
cuûa f, nhaåm 1 nghieäm cuûa pt f(x) = 0, phaùc hoïa ñoà thò cuûa f , suy ra daáu cuûa f.
6. So saùnh nghieäm phöông trình baäc 2 vôùi α :
f(x) = ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)
* S = x1 + x2 = – b/a ; P = x1x2 = c/a
TRANG 4
Duøng S, P ñeå tính caùc bieåu thöùc ñoái xöùng nghieäm. Vôùi ñaúng thöùc g(x1,x2) = 0
⎧g = 0
⎪
khoâng ñoái xöùng, giaûi heä pt : ⎨ S = x1 + x 2
⎪ P = x .x
⎩ 1 2
Bieát S, P thoûa S – 4P ≥ 0, tìm x1, x2 töø pt : X2 – SX + P = 0
2
* Duøng Δ, S, P ñeå so saùnh nghieäm vôùi 0 :
⎧Δ >0
⎪
x1 < 0 < x2 ⇔ P < 0, 0 < x1 < x2 ⇔ ⎨ P > 0
⎪S> 0
⎩
⎧Δ >0
⎪
x1 < x2 < 0 ⇔ ⎨ P > 0
⎪S< 0
⎩
* Duøng Δ, af(α), S/2 ñeå so saùnh nghieäm vôùi α : x1 < α < x2 ⇔ af(α) < 0
⎧Δ > 0 ⎧Δ > 0
⎪ ⎪
α < x1 < x2 ⇔ ⎨ a.f (α) > 0 ; x1 < x2 < α ⇔ ⎨ a.f (α) > 0
⎪ α < S/ 2 ⎪ S/ 2 < α
⎩ ⎩
⎧ a.f(β) < 0 ⎧ a.f (α) < 0
⎪ ⎪
α < x1 < β < x2 ⇔ ⎨ a.f(α) > 0 ; x1 < α < x2 < β ⇔ ⎨ a.f (β) > 0
⎪α 0 ⎧Δ = 0
2 nghieäm phaân bieät ⇔ ⎨ ∨⎨
⎩f (α ) = 0 ⎩f ( α ) ≠ 0
⎧Δ = 0
1 nghieäm ⇔ Δ < 0 hay ⎨
⎩f ( α ) = 0
• Phöông trình baäc 3 khoâng nhaåm ñöôïc 1 nghieäm, m taùch ñöôïc sang 1 veá : duøng
söï töông giao giöõa (C) : y = f(x) vaø (d) : y = m.
• Phöông trình baäc 3 khoâng nhaåm ñöôïc 1 nghieäm, m khoâng taùch ñöôïc sang 1 veá :
duøng söï töông giao giöõa (Cm) : y = f(x, m) vaø (Ox) : y = 0
TRANG 5
⎧Δ > 0
3 nghieäm ⇔ ⎨ y '
⎩y CÑ .y CT < 0
⎧Δ > 0
2 nghieäm ⇔ ⎨ y '
⎩y CÑ .y CT = 0
⎧Δ > 0
1 nghieäm ⇔ Δy' ≤ 0 ∨ ⎨ y '
⎩y CÑ .y CT > 0
c. Phöông trình baäc 3 coù 3 nghieäm laäp thaønh CSC :
⎧Δ > 0
⇔ ⎨ y'
⎩y uoán = 0
d. So saùnh nghieäm vôùi α :
• x = xo ∨ f(x) = ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) : so saùnh nghieäm phöông trình baäc 2
f(x) vôùi α.
• Khoâng nhaåm ñöôïc 1 nghieäm, m taùch ñöôïc sang 1 veá : duøng söï töông giao cuûa
f(x) = y: (C) vaø y = m: (d) , ñöa α vaøo BBT.
• Khoâng nhaåm ñöôïc 1 nghieäm, m khoâng taùch ñöôïc sang 1 veá : duøng söï töông
giao cuûa (Cm) : y = ax3 + bx2 + cx + d (coù m) ,(a > 0) vaø (Ox)
⎧ Δy' > 0
⎪ α x1
⎪ y CÑ .y CT < 0
α < x1 < x2 < x3 ⇔ ⎨
⎪ y(α) < 0
⎪α< x
⎩ CÑ
⎧ Δ y' > 0
⎪ y .y < 0
⎪ x1 x
x1 < α < x2 < x3 ⇔ ⎨ CÑ CT α x
⎪ y(α ) > 0
⎪ α < x CT
⎩
⎧ Δ y' > 0
⎪ y .y < 0
⎪ x1 α
x1 < x2 < α < x3 ⇔ ⎨ CÑ CT x x
⎪ y(α ) < 0
⎪ x CÑ < α
⎩
⎧ Δy' > 0
⎪ x1 x α
⎪ y CÑ .y CT < 0 x
x1 < x2 < x3 < α ⇔ ⎨
⎪ y(α) > 0
⎪x f(x) = ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0), x ≠ α
⎧Δ > 0
⎨
⎧ f (α ) ≠ 0 ⎩ f (α ) = 0
2 nghieäm ⇔ ⎨ , 1 nghieäm ⇔
⎩Δ > 0 ⎧Δ = 0
⎨
⎩ f (α ) ≠ 0
⎧Δ = 0
Voâ nghieäm ⇔ Δ < 0 ∨ ⎨
⎩ f (α ) = 0
Neáu a coù tham soá, xeùt theâm a = 0 vôùi caùc tröôøng hôïp 1 nghieäm, VN.
9. Phöông trình baäc 4 :
4 2 ⎧ t = x2 ≥ 0
a. Truøng phöông : ax + bx + c = 0 (a ≠ 0) ⇔ ⎨
⎩ f (t ) = 0
t = x2 ⇔ x = ± t
⎧Δ >0
⎪ ⎧P = 0
4 nghieäm ⇔ ⎨ P > 0 ; 3 nghieäm ⇔ ⎨
⎪S> 0 ⎩S> 0
⎩
⎧P = 0
P 0 ⎨
⎩ S/ 2 = 0
⎧Δ ≥ 0 ⎧
⎪ ⎪
VN ⇔ Δ < 0 ∨ ⎨ P > 0 ⇔ Δ < 0 ∨ ⎨ P > 0
⎪S< 0 ⎪S ⎧ ax + by = c
10. Heä phöông trình baäc 1 : ⎨ . Tính :
⎩ a' x + b' y = c'
a b c b a c
D= , Dx = , Dy =
a' b' c' b' a' c'
D ≠ 0 : nghieäm duy nhaát x = Dx/D , y = Dy/D.
D = 0, Dx ≠ 0 ∨ Dy ≠ 0 : VN
D = Dx = Dy = 0 : VSN hay VN (giaûi heä vôùi m ñaõ bieát).
11. Heä phöông trình ñoái xöùng loaïi 1 :
Töøng phöông trình ñoái xöùng theo x, y. Ñaït S = x + y, P = xy.
ÑK : S2 – 4P ≥ 0. Tìm S, P. Kieåm tra ñk S2 – 4P ≥ 0;
Theá S, P vaøo pt : X2 – SX + P = 0, giaûi ra 2 nghieäm laø x vaø y.
(α, β) laø nghieäm thì (β, α) cuõng laø nghieäm; nghieäm duy nhaát
⇒α=β⇒m=?
Thay m vaøo heä, giaûi xem coù duy nhaát nghieäm khoâng.
12. Heä phöông trình ñoái xöùng loaïi 2 :
Phöông trình naøy ñoái xöùng vôùi phöông trình kia. Tröø 2 phöông trình, duøng caùc
haèng ñaúng thöùc ñöa veà phöông trình tích A.B = 0.
Nghieäm duy nhaát laøm nhö heä ñoái xöùng loaïi 1.
⎧ ax 2 + bxy + cy 2 = d
13. Heä phöông trình ñaúng caáp : ⎨ 2 2
⎩ a' x + b' xy + c' y = d '
Xeùt y = 0. Xeùt y ≠ 0 : ñaët x = ty, chia 2 phöông trình ñeå khöû t. Coøn 1 phöông
trình theo y, giaûi ra y, suy ra t, suy ra x. Coù theå xeùt x = 0, xeùt x ≠ 0, ñaët y = tx.
14. Baát phöông trình, baát ñaúng thöùc :
* Ngoaøi caùc baát phöông trình baäc 1, baäc 2, daïng cô baûn cuûa , . , log, muõ coù
theå giaûi tröïc tieáp, caùc daïng khaùc caàn laäp baûng xeùt daáu. Vôùi baát phöông trình
daïng tích AB < 0, xeùt daáu A, B roài AB.
* Nhaân baát phöông trình vôùi soá döông : khoâng ñoåi chieàu
soá aâm : coù ñoåi chieàu
Chia baát phöông trình : töông töï.
* Chæ ñöôïc nhaân 2 baát pt veá theo veá , neáu 2 veá khoâng aâm.
* Baát ñaúng thöùc Coâsi :
a+b
a, b ≥ 0 : ≥ ab
2
Daáu = xaûy ra chæ khi a = b.
a+b+c 3
a, b, c ≥ 0 : ≥ abc
3
Daáu = xaûy ra chæ khi a = b = c.
* Baát ñaúng thöùc Bunhiacoápxki : a, b, c, d
(ac + bd)2 ≤ (a2 + b2).(c2 + d2); Daáu = xaûy ra chæ khi a/b = c/d
15. Baøi toaùn tìm m ñeå phöông trình coù k nghieäm :
TRANG 8
Neáu taùch ñöôïc m, duøng söï töông giao cuûa (C) : y = f(x) vaø (d) : y = m. Soá
nghieäm baèng soá ñieåm chung.
Neáu coù ñieàu kieän cuûa x ∈ I, laäp BBT cuûa f vôùi x ∈ I.
16. Baøi toaùn tìm m ñeå baát pt voâ nghieäm, luoân luoân nghieäm, coù nghieäm x ∈ I :
Neáu taùch ñöôïc m, duøng ñoà thò, laäp BBT vôùi x ∈ I.
f(x) ≤ m : (C) döôùi (d) (hay caét)
f(x) ≥ m : (C) treân (d) (hay caét)
III- LÖÔÏNG GIAÙC
+
0
1. Ñöôøng troøn löôïng giaùc : −2 π 2π
Treân ñöôøng troøn löôïng giaùc, goùc α ñoàng nhaát vôùi cung AM,
ñoàng nhaát vôùi ñieåm M. Ngöôïc laïi, 1 ñieåm treân ñöôøng troøn
−2 π 0 2π
löôïng giaùc öùng vôùi voâ soá caùc soá thöïc x + k2π.
Treân ñöôøng troøn löôïng giaùc, naém vöõng caùc goùc ñaëc bieät : M
π 1 π 1
boäi cuûa ( cung phaàn tö) vaø ( cung phaàn tö) α
6 3 4 2
A 0
2 kπ
x=α+ : α laø 1 goùc ñaïi dieän, n : soá ñieåm caùch ñeàu x+k2 π
n
treân ñöôøng troøn löôïng giaùc. sin tg
M cotg
2. Haøm soá löôïng giaùc : M
cos
3. Cung lieân keát : chieáu ⊥ chieáu xuyeân taâm
* Ñoåi daáu, khoâng ñoåi haøm : ñoái, buø, hieäu π (öu tieân khoâng ñoåi daáu : sin buø, cos
ñoái, tg cotg hieäu π).
* Ñoåi haøm, khoâng ñoåi daáu : phuï
π
* Ñoåi daáu, ñoåi haøm : hieäu (sin lôùn = cos nhoû : khoâng ñoåi daáu).
2
4. Coâng thöùc :
a. Cô baûn : ñoåi haøm, khoâng ñoåi goùc.
b. Coäng : ñoåi goùc a ± b, ra a, b.
c. Nhaân ñoâi : ñoåi goùc 2a ra a.
d. Nhaân ba : ñoåi goùc 3a ra a.
e. Haï baäc : ñoåi baäc 2 ra baäc 1. Coâng thöùc ñoåi baäc 3 ra baäc 1 suy töø coâng thöùc
nhaân ba.
a
f. Ñöa veà t = tg : ñöa löôïng giaùc veà ñaïi soá.
2
g. Toång thaønh tích : ñoåi toång thaønh tích vaø ñoåi goùc a, b thaønh (a ± b) / 2.
h. Tích thaønh toång : ñoåi tích thaønh toång vaø ñoåi goùc a, b thaønh a ± b.
TRANG 9
5. Phöông trình cô baûn : sinα = 0⇔ cosα = – 1 hay cosα = 1⇔ α = kπ,
π π
sinα = 1 ⇔ α = + k2π; sinα = –1 ⇔ α = – + k2π,
2 2
π
cosα = 0 ⇔ sinα = –1 hay sinα = 1 ⇔ α = + kπ,
2
cosα = 1 ⇔ α = k2π, cosα = – 1 ⇔ α = π + k2π
sinu = sinv ⇔ u = v + k2π ∨ u = π – v + k2π
cosu = cosv ⇔ u = ± v + k2π
tgu = tgv ⇔ u = v + kπ
cotgu = cotgv ⇔ u = v + kπ
6. Phöông trình baäc 1 theo sin vaø cos : asinu + bcosu = c
* Ñieàu kieän coù nghieäm : a2 + b2 ≥ c2
* Chia 2 veá cho a2 + b 2 , duøng coâng thöùc coäng ñöa veà phöông trình cô baûn.
u
(caùch khaùc : ñöa veà phöông trình baäc 2 theo t = tg )
2
7. Phöông trình ñoái xöùng theo sin, cos :
Ñöa caùc nhoùm ñoái xöùng veà sin + cos vaø sin.cos.
⎛ π⎞ t2 − 1
Ñaët : t = sinu + cosu = 2 sin ⎜ u + ⎟ , − 2 ≤ t ≤ 2,sin u.cos u =
⎝ 4⎠ 2
8. Phöông trình chöùa ⏐sinu + cosu⏐ vaø sinu.cosu :
⎛ π⎞ t 2 −1
Ñaët : t = sin u + cos u = 2 sin ⎜ u + ⎟ , 0 ≤ t ≤ 2 ,sin u.cos u =
⎝ 4⎠ 2
9. Phöông trình chöùa sinu – cosu vaø sinu.cosu :
⎛ π⎞ 1 − t2
Ñaët : t = sin u − cos u = 2 sin ⎜ u − ⎟ , − 2 ≤ t ≤ 2,sin u.cos u =
⎝ 4⎠ 2
10. Phöông trình chöùa ⏐sinu – cosu⏐ vaø sinu.cosu :
⎛ π⎞ 1− t2
Ñaët : t = sin u − cos u = 2 sin ⎜ u − ⎟ ,0 ≤ t ≤ 2 ,sin u.cos u =
⎝ 4⎠ 2
11. Phöông trình toaøn phöông (baäc 2 vaø baäc 0 theo sinu vaø cosu) :
Xeùt cosu = 0; xeùt cosu ≠ 0, chia 2 veá cho cos2u, duøng coâng thöùc
1/cos2u = 1 + tg2u, ñöa veà phöông trình baäc 2 theo t = tgu.
12. Phöông trình toaøn phöông môû roäng :
* Baäc 3 vaø baäc 1 theo sinu vaø cosu : chia 2 veá cho cos3u.
* Baäc 1 vaø baäc – 1 : chia 2 veá cho cosu.
13. Giaûi phöông trình baèng caùch ñoåi bieán :
Neáu khoâng ñöa ñöôïc phöông trình veà daïng tích, thöû ñaët :
* t = cosx : neáu phöông trình khoâng ñoåi khi thay x bôûi – x.
* t = sinx : neáu phöông trình khoâng ñoåi khi thay x bôûi π – x.
* t = tgx : neáu phöông trình khoâng ñoåi khi thay x bôûi π + x.
* t = cos2x : neáu caû 3 caùch treân ñeàu ñuùng
TRANG 10
x
* t = tg : neáu caû 3 caùch treân ñeàu khoâng ñuùng.
2
14. Phöông trình ñaëc bieät :
⎧u=0
* u2 + v 2 = 0 ⇔ ⎨
⎩v = 0
⎧u=v
⎪ ⎧u=C
* ⎨u≤C⇔ ⎨
⎪v≥C ⎩v =C
⎩
⎧u≤A
⎪ ⎧u=A
* ⎨v≤ B ⇔⎨
⎪u+v = A+B ⎩v = B
⎩
⎧ sin u = 1 ⎧ sin u = −1
* sinu.cosv = 1 ⇔ ⎨ ∨ ⎨
⎩ cos v = 1 ⎩ cos v = −1
⎧ sin u = 1 ⎧ sin u = −1
* sinu.cosv = – 1 ⇔ ⎨ ∨ ⎨
⎩ cos v = −1 ⎩ cos v = 1
Töông töï cho : sinu.sinv = ± 1, cosu.cosv = ± 1.
15. Heä phöông trình : Vôùi F(x) laø sin, cos, tg, cotg
⎧ F(x ) ± F( y) = m (1)
a. Daïng 1 : ⎨ . Duøng coâng thöùc ñoåi + thaønh nhaân,
⎩x±y = n (2 )
⎧x+y =a
theá (2) vaøo (1) ñöa veà heä phöông trình : ⎨
⎩x−y = b
⎧ F(x ).F(y) = m
b. Daïng 2 : ⎨ . Töông töï daïng 1, duøng coâng thöùc ñoåi nhaân thaønh
⎩x±y=n
+.
⎧ F(x ) / F(y) = m
c. Daïng 3 : ⎨ .
⎩x±y=n
a c a+c a−c
Duøng tæ leä thöùc : = ⇔ = bieán ñoåi phöông trình (1) roài duøng
b d b+d b−d
coâng thöùc ñoåi + thaønh x.
d. Daïng khaùc : tìm caùch phoái hôïp 2 phöông trình, ñöa veà caùc pt cô baûn.
16. Toaùn Δ :
* Luoân coù saün 1 pt theo A, B, C : A + B + C = π
* A + B buø vôùi C, (A + B)/2 phuï vôùi C/2.
* A, B, C ∈ (0, π) ; A/2, B/2, C/2 ∈ (0, π/2)
A + B ∈ (0, π) ; (A + B)/2 ∈ (0, π/2) ;
A – B ∈ (– π, π) , (A – B)/2 ∈ (– π/2, π/2)
Duøng caùc tính chaát naøy ñeå choïn k.
* Ñoåi caïnh ra goùc (ñoâi khi ñoåi goùc ra caïnh) : duøng ñònh lyù haøm sin :
TRANG 11
a = 2RsinA hay ñònh lyù haøm cos : a2 = b2 + c2 – 2bc.cosA
1 1 abc
* S = ah a = ab sin C = = pr
2 2 4R
= p( p − a)( p − b)( p − c)
1
* Trung tuyeán : m a = 2 b 2 + 2 c2 − a 2
2
A
2 bc cos
* Phaân giaùc : ℓa = 2
b+c
IV- TÍCH PHAÂN
1. Ñònh nghóa, coâng thöùc, tính chaát :
* F laø 1 nguyeân haøm cuûa f ⇔ f laø ñaïo haøm cuûa F.
Hoï taát caû caùc nguyeân haøm cuûa f :
∫ f (x)dx = F(x) + C (C ∈ R)
uα+1
* ∫ du = u + C ; ∫ u du = +C, α ≠ – 1
α
α +1
du
∫ u = ln u + C; ∫ e du = e + C; ∫ a du = a / ln a + C
u u u u
∫ sin udu = − cos u + C ; ∫ cos udu = sin u + C
∫ du / sin ∫ du / cos
2 2
u = − cot gu + C ; u = tgu + C
b
* ∫ f(x)dx = F(x)
b
a = F(b) − F(a)
a
a b a c b c
* ∫a = 0 ; ∫ = −∫
a b
, ∫ =∫ +∫
a a b
b b b b b
∫ ( f + g) = ∫ f + ∫ g ; ∫ kf = k ∫ f
a a a a a
2. Tích phaân töøng phaàn :
∫ udv = uv − ∫ vdu
Thöôøng duøng khi tính tích phaân caùc haøm hoãn hôïp.
a. ∫ x n e x , ∫ x n sin x ; ∫ x n cos x : u = x n
∫ x ln x : u = ln x
n
b.
∫ e sin x , ∫ e cos x : u = e hay dv = e dx
x x x x
c.
töøng phaàn 2 laàn, giaûi phöông trình aån haøm ʃ
3. Caùc daïng thöôøng gaëp :
TRANG 12
∫ sin x. cos x
m 2 n +1
a. : u = sinx.
∫ cos x. sin x
m 2 n +1
: u = cosx.
∫ sin x. cos x
2m 2n
: haï baäc veà baäc 1
∫ tg x / cos x
2m 2n
b. : u = tgx (n ≥ 0)
∫ cot g x / sin x :
2m 2n
u = cotgx (n ≥ 0)
2 2
c. ∫ chöùa a – u : u = asint
2 2
∫ chöùa u – a : u = a/cost
2 2
∫ chöùa a + u : u = atgt
d. ∫ R(sin x, cos x) , R : haøm höõu tyû
R(–sinx, cosx) = – R(sinx, cosx) : u = cosx
R(sinx, –cosx) = – R(sinx, cosx) : u = sinx
R(–sinx,–cosx) = R(sinx, cosx) : u = tgx ∨ u = cotgx
x
R ñôn giaûn : u = tg
2
π/ 2
π
∫ : thöû ñaët u =
2
−x
0
π
∫ : thöû ñaët u = π − x
0
∫x
m
e. (a + bx n ) p / q , ( m + 1) / n ∈ Z : u q = a + bx n
m +1 p
∫x
m
f. (a + bx n ) p / q ,
+ ∈ Z : u q x n = a + bx n
n q
1
∫ dx /[( hx + k ) ax + bx + c : hx + k = u
2
g.
h. ∫ R(x, (ax + b) /(cx + d ) , R laø haøm höõu tyû : u = (ax + b) /(cx + d )
i. ∫ chöùa (a + bxk)m/n : thöû ñaët un = a + bxk.
4. Tích phaân haøm soá höõu tyû :
∫ P(x) / Q(x) : baäc P < baäc Q
* Ñöa Q veà daïng tích cuûa x + a, (x + a)n, ax2 + bx + c (Δ < 0)
* Ñöa P/Q veà daïng toång caùc phaân thöùc ñôn giaûn, döïa vaøo caùc thöøa soá cuûa Q :
A A A2 An
x+a→ , (x + a)n → 1 + 2
+ ... +
x+a x + a (x + a) (x + a)n
A(2ax + b) B ⎛ dx ⎞
ax 2 + bx + c(Δ < 0) → 2
+ 2 ⎜∫ 2 (Δ < 0) = ∫ du /( u2 + a2 ) : ñaët u = atgt ⎟
ax + bx + c ax + bx + c ⎝ ax + bx + c ⎠
TRANG 13
5. Tính dieän tích hình phaúng :
b
a. D giôùi haïn bôûi x = a, x = b, (Ox), (C) : y = f(x) : SD = ∫ f (x ) dx
a
f(x) : phaân thöùc höõu tæ : laäp BXD f(x) treân [a,b] ñeå môû ⏐.⏐; f(x) : haøm löôïng giaùc
: xeùt daáu f(x) treân cung [a, b] cuûa ñöôøng troøn löôïng giaùc.
b. D giôùi haïn bôûi x = a, x = b , (C) : y = f(x)
b
(C') : y = g(x) : SD = ∫ f ( x ) − g( x ) dx
a
Xeùt daáu f(x) – g(x) nhö tröôøng hôïp a/.
c. D giôùi haïn bôûi (C1) : f1(x, y) = 0 , (C2) : f2 (x, y) = 0
f(x)
b
α/ SD = ∫ f(x) − g(x) dx
g(x) a
x=a x=b
b
y=b
β/ SD = ∫ f(y) − g(y) dy
g(y) f(y) a
y=a
Vôùi tröôøng hôïp α) : neáu bieân treân hay bieân döôùi bò gaõy, ta caét D baèng caùc
ñöôøng thaúng ñöùng ngay choã gaõy.
Vôùi tröôøng hôïp β) : neáu bieân phaûi hay bieân traùi bò gaõy, ta caét D baèng caùc
ñöôøng ngang ngay choã gaõy.
Choïn tính ∫ theo dx hay dy ñeå ∫ deã tính toaùn hay D ít bò chia caét.
Caàn giaûi caùc heä phöông trình toïa ñoä giao ñieåm.
Caàn bieát veõ ñoà thò caùc hình thöôøng gaëp : caùc haøm cô baûn, caùc ñöôøng troøn, (E)
, (H), (P), haøm löôïng giaùc, haøm muõ, haøm . .
Caàn bieát ruùt y theo x hay x theo y töø coâng thöùc f(x,y) = 0 vaø bieát choïn +
hay − (y = ... + : treân, y = ... − : döôùi, x = ... + : phaûi, x = ... − : traùi )
6. Tính theå tích vaät theå troøn xoay :
a. D nhö 5.a/ xoay quanh (Ox) : f(x)
b
a b
V = π ∫ [f ( x )]2 dx
a
b f(y)
b a
b. V = π ∫ [f ( y)] 2 dy
a f(x)
TRANG 14 g(x
a b
b
c. V = π ∫ [f 2 ( x ) − g 2 ( x )]dx
a
b
b
f(y)
d. V = π ∫ [f 2 ( y) − g 2 ( y)]dy g(y)
a a
f(x) f(x) -g(x)
c b
a b
e. V = π ∫ f 2 ( x )dx + π ∫ g 2 ( x )dx
a c
a c b
g(x
c b b f(y)
f. V = π ∫ g ( y)dy + π ∫ f 2 ( y)dy
2
a c
c
a -g(y)
Chuù yù : xoay quanh (Ox) : ∫ ...dx ; xoay quanh (Oy) : ∫ ... dy.
V- KHAÛO SAÙT HAØM SOÁ
0
1. Tìm lim daïng , daïng 1 ∞ :
0
P(x) ( x − a)P1 ( x ) P
a. Phaân thöùc höõu tyû : lim (daïng 0 / 0) = lim = lim 1
x →a Q ( x ) x →a ( x − a)Q1 ( x ) x →a Q1
f (x) sin u
b. Haøm lg : lim (daïng 0 / 0), duøng coâng thöùc lim =1
x → a g( x ) u→ 0 u
f (x)
c. Haøm chöùa caên : lim (daïng 0 / 0) , duøng löôïng lieân hieäp :
x →a g ( x )
a2 – b2 = (a – b)(a + b) ñeå phaù , a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2) ñeå phaù 3
d. Haøm chöùa muõ hay log (daïng 1∞) : duøng coâng thöùc lim (1 + u)1/ u = e
u→ 0
2. Ñaïo haøm :
f (x) − f (x o )
a. Tìm ñaïo haøm baèng ñònh nghóa : f ' (x 0 ) = lim
x→xo x − xo
Taïi ñieåm xo maø f ñoåi coâng thöùc, phaûi tìm ñaïo haøm töøng phía :
/ / / /
f+ (x o ) = lim , f− ( x o ) = lim . Neáu f+ (x o ) = f− (x o ) thì f coù ñaïo haøm taïi xo.
+
x →x o −
x →x o
b. YÙ nghóa hình hoïc :
α
TRANG 15 f(x) M
k = tgα = f/(xM)
c. f/ + : f ↑ , f/ – : f ↓
f// + : f loõm , f// – : f loài
⎧ f / (x ) = 0
d. f ñaït CÑ taïi M ⇔ ⎨ // M
⎩ f (x M ) < 0
⎧ f / (x ) = 0
f ñaït CT taïi M ⇔ ⎨ // M
⎩ f (x M ) > 0
M laø ñieåm uoán cuûa f ⇔ f//(xM) = 0 vaø f// ñoåi daáu khi qua xM.
e. Tính ñaïo haøm baèng coâng thöùc : C/ = 0, (xα)/ = αxα–1 , (lnx)/ = 1/x ,
1
( loga x )′ = , (ex)/ = ex
x ln a
(a ) = a .lna, (sinx)/ = cosx , (cosx)/ = – sinx, (tgx)/ = 1/cos2x,
x / x
(cotgx)/ = –1/sin2x, (ku)/ = ku/ , (u ±v)/ = u/ ± v/, (uv)/ = u/v + uv/ ,
(u/v)/ = (u/v – uv/)/v2
* Haøm hôïp : (gof)/ = g/[f(x)] . f/(x)
* Ñaïo haøm loâgarit : laáy log (ln : cô soá e) 2 veá , roài ñaïo haøm 2 veá; aùp duïng vôùi
haøm [f(x)]g(x) hay f(x) daïng tích, thöông, chöùa n ...
f. Vi phaân : du = u/dx
3. Tieäm caän :
lim y = ∞ ⇒ x = a : tcñ x a
x →a
y ∞ ∞
x −∞ +∞
lim y = b ⇒ y = b : tcn
x →∞
y b b
x −∞ +∞
lim [y − (ax + b)] = 0 ⇒ y = ax + b : tcx
x →∞
y ∞ ∞
* Veõ ñoà thò coù tieäm caän :
- t c ñ : khi y caøng tieán veà ± ∞ thì ñöôøng cong caøng gaàn ñöôøng t c .
- t c x :khi x vaø y caøng tieán veà ± ∞ thì ñöôøng cong caøng gaàn ñöôøng t c.
- t c n :khi x caøng tieán veà ± ∞ thì ñöôøng cong caøng gaàn ñöôøng t c.
P( x )
* Xeùt y =
Q( x )
TRANG 16
• Coù tcñ x = a khi Q(a) = 0, P(a) ≠ 0
• Coù tcn khi baäc P ≤ baäc Q : vôùi x → ∞, tìm lim y baèng caùch laáy soá haïng baäc
cao nhaát cuûa P chia soá haïng baäc cao nhaát cuûa Q.
P (x)
• Coù tcx khi P hôn Q 1 baäc, khi ñoù chia ña thöùc ta coù : f (x ) = ax + b + 1 , tcx
Q( x )
laø y = ax + b. Neáu Q = x – α, coù theå chia Honer.
* Bieän luaän tieäm caän haøm baäc 2 / baäc 1 :
c
y = ax + b + (d≠0)
dx + e
• a ≠ 0, c ≠ 0 : coù tcñ, tcx
• a = 0, c ≠ 0 : coù tcn, tcñ.
• c = 0 : (H) suy bieán thaønh ñt, khoâng coù tc.
4. Ñoà thò caùc haøm thöôøng gaëp :
a/ y = ax + b : a0
b/ y = ax + bx + c
c/ y = ax3 + bx2 + c + d
a>0 a 0 :
Δ y′ = 0
Δ y′ < 0
Δ y′ > 0
a0
ab < 0 ab > 0
a 0 ad - bc < 0
ax 2 + bx + c
f/ y = (ad ≠ 0)
dx + e
ad > 0
Δ y′ > 0 Δ y′ = 0
Δ y′ < 0
TRANG 17
ad < 0
5. ÑOÁI XÖÙNG ÑOÀ THÒ : x=a y>b
g(x) = f(–x) : ñx qua (Oy) b y=b
g(x) = – f(x) : ñx qua (Ox) a y * // (Δ) : y = ax + b : (d) // (Δ) ⇒ (d) : y = ax + m. Tìm m nhôø ñk tx.
1
* ⊥ (Δ) : y = ax + b (a ≠ 0) : (d) ⊥ (Δ) ⇒ (d) : y = − x + m. Tìm m nhôø ñk tx.
a
/
c. Baøi toaùn soá löôïng tieáp tuyeán : tìm M ∈ (C ) : g(x, y) = 0 sao cho töø M keû ñöôïc
ñeán (C) ñuùng n tieáp tuyeán (n = 0, 1, 2, ...), M(xo,yo) ∈ (C/) ⇔ g(xo,yo) = 0; (d) qua
⎧y = y d
M : y = k(x – xo) + yo; (d) tx (C) : ⎨ C /
(1). Theá k vaøo (1) ñöôïc phöông trình
⎩y C = k
aån x, tham soá xo hay yo. Ñaët ñk ñeå phöông trình naøy coù n nghieäm x (soá nghieäm x
= soá tieáp tuyeán), tìm ñöôïc xo hay yo.
8. TÖÔNG GIAO :
* Phöông trình hñ ñieåm chung cuûa (C) : y = f(x) vaø (C/) : y = g(x) laø : f(x) = g(x).
Soá nghieäm pt = soá ñieåm chung.
* Tìm m ñeå (Cm) : y = f(x, m) vaø (C/m) : y = g(x, m) coù n giao ñieåm : Vieát
phöông trình hoaønh ñoä ñieåm chung; ñaët ñk ñeå pt coù n nghieäm. Neáu pt hoaønh ñoä
ñieåm chung taùch ñöôïc m sang 1 veá : F(x) = m : ñaët ñieàu kieän ñeå (C) : y = F(x) vaø
(d) : y = m coù n ñieåm chung.
* Bieän luaän söï töông giao cuûa (Cm) vaø (C/m) :
• Neáu pt hñ ñieåm chung daïng : F(x) = m : laäp BBT cuûa F; soá ñieåm chung cuûa
(Cm) vaø (C/m) = soá ñieåm chung cuûa (C) vaø (d).
• PThñ ñieåm chung, khoâng taùch ñöôïc m, daïng f(x) = ax2 + bx + c = 0 (x ≠ α)
hay daïng baäc 3 : x = α ∨ f(x) = 0 : laäp Δ, xeùt daáu Δ, giaûi pt f(x) = 0 ñeå bieát m naøo
thì α laø nghieäm cuûa f, vôùi m ñoù, soá nghieäm bò bôùt ñi 1.
9. CÖÏC TRÒ :
* f coù ñuùng n cöïc trò ⇔ f/ ñoåi daáu n laàn.
⎧ f / (x o ) = 0
* f ñaït cöïc ñaïi taïi xo ⇔ ⎨ //
⎩ f (x o ) < 0
⎧ f / (x ) = 0
f ñaït cöïc tieåu taïi xo ⇔ ⎨ // o
⎩ f (x o ) > 0
* f baäc 3 (hay baäc 2 / baäc 1) coù cöïc trò ⇔ f coù CÑ vaø CT ⇔ Δ f / > 0
* f baäc 3 (hay baäc 2 / baäc 1) coù cöïc trò :
• Beân phaûi (d) : x = α ⇔ y/ = 0 coù 2 nghieäm α < x1 < x2.
• Beân traùi (d) : x = α ⇔ y/ = 0 coù 2 nghieäm x1 < x2 < α .
⎧ Δf/ > 0
⎪
• 1 beân (Ox) ⇔ ⎨
⎪ yCD .yCT > 0
⎩
⎧ Δf/ > 0
⎪
• 2 beân (Ox) ⇔ ⎨
⎪ yCD .yCT < 0
⎩
* Vôùi haøm baäc 2 / baäc 1, caùc ñieàu kieän yCÑ.yCT < 0 (>0) coù theå thay bôûi y = 0
VN (coù 2 nghieäm.).
TRANG 19
* Tính yCÑ.yCT :
• Haøm baäc 3 : y = y/ (Ax + B) + (Cx + D)
yCÑ.yCT = (CxCÑ + D).(CxCT + D), duøng Vieøte vôùi pt y/ = 0.
u
• Haøm baäc 2/ baäc 1 : y =
v
u (x ).u / (x )
/
yCÑ.yCT = / CÑ / CT , duøng Vieøte vôùi pt y/ = 0.
v (x CÑ ).v (x CT )
* Ñöôøng thaúng qua CÑ, CT :
• Haøm baäc 3 : y = Cx + D
• Haøm baäc 2 / baäc 1 : y = u/ / v/
* y = ax4 + bx2 + c coù 1 cöïc trò ⇔ ab ≥ 0, 3 cöïc trò ⇔ ab < 0
10. ÑÔN ÑIEÄU :
a. Bieän luaän söï bieán thieân cuûa haøm baäc 3 :
i) a > 0 vaø y’ = 0 voâ nghieäm ⇒ haøm soá taêng treân R (luoân luoân taêng)
ii) a < 0 vaø y’ = 0 voâ nghieäm ⇒ haøm soá giaûm (nghòch bieán) treân R (luoân luoân giaûm)
iii) a > 0 vaø y’ = 0 coù 2 nghieäm phaân bieät x1, x2 vôùi x1 < x2
⇒ haøm soá ñaït cöïc ñaïi taïi x1 vaø ñaït cöïc tieåu taïi x2.
Ngoaøi ra ta coøn coù :
+ x1 + x2 = 2x0 vôùi x0 laø hoaønh ñoä ñieåm uoán.
+ haøm soá taêng treân (−∞, x1)
+ haøm soá taêng treân (x2, +∞)
+ haøm soá giaûm treân (x1, x2)
iv) a < 0 vaø y’ = 0 coù 2 nghieäm phaân bieät x1, x2 vôùi x1 < x2
⇒ haøm ñaït cöïc tieåu taïi x1 vaø ñaït cöïc ñaïi taïi x2 thoûa ñieàu kieän x1 + x2 = 2x0 (x0 laø hoaønh ñoä
ñieåm uoán). Ta cuõng coù :
+ haøm soá giaûm treân (−∞, x1)
+ haøm soá giaûm treân (x2, +∞)
+ haøm soá taêng treân (x1, x2)
baäc 2
b. Bieän luaän söï bieán thieân cuûa y =
baäc1
i) Neáu a.m > 0 vaø y/ = 0 voâ nghieäm thì haøm taêng ( ñoàng bieán) treân töøng khoûang xaùc ñònh.
ii) Neáu a.m < 0 vaø y/ = 0 voâ nghieäm thì haøm giaûm ( nghòch bieán) treân töøng khoûang xaùc
ñònh.
iii) Neáu a.m > 0 vaø y/ = 0 coù 2 nghieäm phaân bieät x1, x2 thì haøm ñaït cöïc ñaïi taïi x1 vaø ñaït cöïc
x1 + x 2 p
tieåu taïi x2 thoûa x1 < x2 vaø =− .
2 m
iv) Neáu a.m < 0 vaø y/ = 0 coù 2 nghieäm phaân bieät x1, x2 thì haøm ñaït cöïc tieåu taïi x1 vaø ñaït cöïc
x1 + x 2 p
ñaïi taïi x2 thoûa x1 < x2 vaø =− .
2 m
c. Tìm m ñeå haøm soá baäc 3, baäc 2/baäc 1 ñoàng bieán (nghòch bieán) treân mieàn x ∈ I :
ñaët ñk ñeå I naèm trong mieàn ñoàng bieán (nghòch bieán) cuûa caùc BBT treân; so saùnh
nghieäm pt baäc 2 y/ = 0 vôùi α.
11. BIEÄN LUAÄN SOÁ NGHIEÄM PT BAÈNG ÑOÀ THÒ :
TRANG 20
