NHỊ THỨC NIU TƠN
Nhị thức Niutơn
Trường THPT Đức Thọ - H Tĩnh Gio vin: Nguyễn Đức Hậu
NHỊ THỨC NIU TƠN
1.Các kiến thức cần nhớ:
Với hai số thực a,b và n ∈ N ta có công thức:
(a + b) = Cn a n + Cn a n −1b + Cn a n − 2b 2 + ... + Cn a n − k b k + ... + Cn b n
n 0 1 2 k n
Các số cn là các hệ số của nhị thức
k
n−k n−k
-Số hạng tổng quát của khai triển , kí hiệu có dạng, Tk +1 = Cn a bk
n−k
= Cn
k
-Các hệ số của nhị thức cách đều hai đầu của sự khai triển thì bằng nhau: Cn
- Cn + Cn + Cn + ... + Cn + ... + Cn = 2
0 1 2 k n n
-Tổng các hệ số hệ số của nhị tức nằm ở các vị trí chẳn,bẳng tổng các hệ số nhị thức ở các vị trí lẻ va
n −1
bằng 2
Cn + Cn2 + Cn4 + ... = Cn + Cn + Cn + ... = 2n −1
0 1 3 5
()
n
= Cn + Cn x + Cn x 2 + ... + Cn x k + ... + Cn x n
0 1 2
* 1+ x
k n
* (1 − x ) = Cn − Cn x + Cn x 2 − ... + ( −1) Cn x k + ... + ( −1) Cn x n
n k n
0 1 2 k n
Bài tập:
Cn + Cn −1 + Cn − 2 = 79 .
n n n
1.Cho
n
⎛3 ⎞
−28
Trong khai triển nhị thức ⎜ x x + x ⎟ hãy tìm số hạng không phụ thuộc vào x.
15
⎝ ⎠
n
⎛1 ⎞
2.Tìm hệ số của số hạng chứa x 26 trong khai triển nhị thức Niutơn của ⎜ 4 + x 7 ⎟ , biết rằng
⎝x ⎠
C2 n +1 + C2 n +1 + ... + C2 n +1 = 2 − 1 .
1 2 20
n
3.Tìm hệ số của x 4 trong khai triển biểu thức A = (1 − x − 3 x 2 ) thành đa thức. Trong đó n là số nguyên
n
dương thỏa mãn: 2 ( C2 + C32 + C4 + ... + Cn2 ) = 3 An2+1 .
2 2
Quy tắc tổng quát :Tổng các hệ số trong biểu diễn chính tắc của đa thức f(x) chính là f(1)
Cho (
x−2 )
100
= a0 + a1 x1 + a2 x 2 + ... + a100 x100
.
a)Tính a97 .
b) S = a0 + a1 + a2 + ... + a100 .
c)M= 1.a1 + 2.a2 + ... + 100.a100 .
4.Đặt f ( x ) = (1 + 2 x )
12
= a0 + a1 x + a2 x 2 + ... + a12 x12
Hãy tìm max(a1 , a2 ,..., a12 ).
2
Trường THPT Đức Thọ - H Tĩnh Gio vin: Nguyễn Đức Hậu
10
⎛1 2 ⎞
+ x = a0 + a1 x + a2 x 2 + ... + a10 x10
5.Giả sử ⎜ 3 3 ⎟ .
⎝ ⎠
Hãy tìm max(a1 , a2 ,..., a10 ).
k +1
6.Chứng minh rằng : C2001 + C2001 ≤ C2001 + C2001 ,∀0 ≤ k ≤ 2000
1000 1001
k
7.Chứng minh rằng: C2 n − k .C2 n + k ≤ ( C2 n ) , ∀k = 0, n .
2
n n n
2n +1 − 1
11 1
8.Chứng minh rằng : Cn + Cn + ... + =
0
.
n +1 n +1
2
9.Chứng minh rằng: Cn + 2Cn + ... + nCn = n2n −1 .
1 2 n
10.Chứng minh rằng: Cn − 2Cn2 + ... + ( −1) nCn = 0 .
n
1 n
4≤k ≤n
11.k và n là hai số tự nhiên sao cho chứng minh rằng
: Cnk + 4Cn −1 + 6Cn − 2 + 4Cn −3 + Cn − 4 = Cn + 4 .
k k k k k
12.Chưng minh đẳng thức : 2.1.Cn2 + 3.2Cn + 4.3Cn4 + .. + n ( n − 1) Cnn = n ( n − 1) 2 n − 2 .
3
1 2 n −1 22 n − 1
11 13 15
13. C2 n + C2 n + C2 n + ... + C2 n = .
2n + 1
2 4 6 2n
14.Tìm hệ số của số hạng chứa x10 trong khai triển nhị Niu tơn của (2+x)n biết:
3n Cn − 3n −1 Cn + 3n − 2 Cn − 3n −3 Cn + ... + ( −1) Cn = 2048
n
0 1 2 3 n
15. Chứng minh rằng : C2000 + 2C2000 + 3C2000 + ... + 2001C2000 = 1001.22000 .
0 1 2 2000
( −1) C n = 1 .
n
101112
16.Chứng minh rằng : Cn − Cn + Cn + ...
2 ( n + 1) 2 ( n + 1)
n
2 4 6
+1
17.Chứng minh rằng: Ckk + Ckk+1 + ... + Ckk+ m −1 = Ckk+ m .Từ đó suy ra đẳng thức sau:
Ck0 + Ck +1 + Ck2+ 2 + ... + Ckm+−m −1 = Ckm+−m .
1 1 1
0 1 2
18.Xác định số lớn nhất trong các số: Cn , Cn , Cn ,..., Cn ,..., Cn .
k n
19.Chứng minh: C 2n + 32 C1 n + 33 C 2 + ... + 32 n C2n = 2 2n −1 ( 2 2n + 1) .
0
2 2n 2n
20. Chứng minh: 2 n −1 C1 + 2 n −2 C2 + 3.2 n −3 C3 + 4.2 n − 4 + ... + nCn = n.3n −1 .
n n n n
21. Chứng minh: n.4 n −1 C 0 − ( n − 1) 4 n − 2 C1 + ... ( −1)
n −1
C n −1 = C1 + 4C 2 + ...n.2 n −1 C n .
n
n n n n n
22. Chứng minh: C2001 + 32 C2001 + 34 C2001 + ... + 32000 C2001 = 22000 ( 22001 − 1) .
0 2 2 2000
2
