NGUYÊN HÀM
bài tập ôn tích phân
toán nguyên hàm
phương pháp biến số
TÍCH PHÂN
Bảng công thức tích phân bất định :
∫ 0dx = C ∫ dx = x + C
x n +1 1
∫ x dx =
n
n +1
+C n ≠ −1 ∫ x dx = ln x + C
ax
∫ e dx = e + C ∫ a dx =
x x x
C
ln a
∫ sin xdx = − cos x + C ∫ cos xdx = sin x + C
1 1
∫ cos x dx = tan x + C
2 ∫ sin 2
x
dx = − cot x + C
u′( x) 1 1 x−a
∫ u( x) dx = ln u ( x) + C ∫x 2
−a 2
dx = ln
2a x + a
+C
x 2 a
∫ x 2 + a dx =
2
x + a + ln x + x 2 + a + C
2
Phương pháp biến số phụ :
Cho hàm số f (x) liên tục trên đoạn [ a; b] có nguyên hàm là F (x) .
Giả sử u (x) là hàm số có đạo hàm và liên tục trên đoạn [α , β ] và có miền giá trị là
[ a; b] thì ta có :
∫ f [ u( x)].u ' ( x)dx = F ( x)[ u( x)] + C
BÀI TẬP
Tính các tích phân sau :
1 1 e
xdx e x dx 1 + ln x dx
a) I1 = ∫ b) I 2 = ∫ c) I 3 = ∫
0
x2 + 1 0
ex − 1 1
x
Bài làm :
dt
a) Đặt t = x 2 + 1 ⇒ dt = 2 xdx ⇒ xdx =
2
Trung tâm văn hóa onthi.com
x = 0 → t = 1
Đổi cận :
x = 1 → t = 2
2 2
xdx 1 2 dt 1 1
Vậy : I1 = ∫ 2 = ∫ = ln t = ln 2
1 x +1 21 t 2 1
2
b) Đặt t = e x − 1 ⇒ dt = e x dx
x = 1 → t = e − 1
Đổi cận :
x = 2 → t = e − 1
2
e2 −1
1 x e2 −1
Vậy : I 2 = ∫ ex dx = ∫
dt
= ln t = ln(e + 1)
0
e −1 e−1
t e−1
1
c) Đặt t = 1 + ln x ⇒ tdt = dx
x
x = 1 → t = 1
Đổi cận :
x = e → t = 2
e 2 2
1 + ln x dx 2 3 2
I3 = ∫ = ∫ t dt = t 2 = (2 2 − 1)
1
x 1
3 1 3
Tích phân lượng giác :
β
Dạng 1 : I = ∫ sin mx. cos nxdx
α
Cách làm: biến đổi tích sang tổng .
β
Dạng 2 : I = ∫ sin x. cos x.dx
m n
α
Cách làm :
Nếu m, n chẵn . Đặt t = tan x
Nếu m chẵn n lẻ . Đặt t = sin x (trường hợp còn lại thì ngược lại)
β
dx
Dạng 3 : I = ∫
α a. sin x + b. cos x + c
Cách làm :
2t
x sin x = 1 + t 2
Đặt : t = tan ⇒
cos x = 1 − t
2
2
1+ t2
β
a. sin x + b. cos x
Dạng 4 : I =∫ .dx
α
c. sin x + d . cos x
Cách làm :
a. sin x + b. cos x B (c. cos x − d . sin x)
Đặt : = A+
c. sin x + d . cos x c. sin x + d . cos x
Trung tâm văn hóa onthi.com
Sau đó dùng đồng nhất thức .
β
a. sin x + b. cos x + m
Dạng 5: I = ∫ .dx
α c. sin x + d . cos x + n
Cách làm :
a. sin x + b. cos x + m B (c. cos x − d . sin x) C
Đặt : = A+ +
c. sin x + d . cos x + n c. sin x + d . cos x + n c. sin x + d . cos x + n
Sau đó dùng đồng nhất thức.
BÀI TẬP
Tính tích phân :
π π π
2 2 4
a) I1 = ∫ cos xdx 4 b) I 2 = ∫ cos 5 xdx c) I 3 = ∫ tan 6 xdx
0
(sin x + 1) 0 0
Bài làm :
a) Đặt : t = sin x + 1 ⇒ dt = cos xdx
x = 0 → t = 1
Đổi cận : π
x = 2 → t = 2
π
2 2 2
Vậy : I 1 = ∫ cos xdx 4 = ∫ dt = − 13 = 7
(sin x + 1)
0
4
1 t 3t 1 24
b) Đặt : t = sin x ⇒ dt = cos xdx
x = 0 → t = 0
Đổi cận : π
x = 2 → t = 1
π
1 1
( ) ( )
2
2
I 2 = ∫ cos 5 xdx = ∫ 1 − t 2 dt = ∫ 1 + t 4 − 2t 2 dt
Vậy : 0 0
1
0
1
t5 2 3 8
= ∫ − t + t =
5 3
0 0 15
c) Đặt : t = tan x ⇒ dt = (tan 2 x + 1)dx
x = 0 → t = 0
Đổi cận : π
x = 4 → t = 1
Trung tâm văn hóa onthi.com
π
1 1
4
t 6 dt 1
I 3 = ∫ tan xdx = ∫ 2
6
= ∫ t 4 − t 2 + 1 − 2 dt
0 0 t +1 0 t + 1
Vậy : π
1
t5 t3 4
13 π
− + t − ∫ du = −
=
5 3 0 0 15 4
Tính các tích phân sau :
π π
2 3
a) I1 = ∫ sin x. cos x b) I 2 = ∫ cos x
dx dx
0 a 2 .sin 2 x + b 2 . cos 2 x 0 2 + cos 2 x
Bài làm :
a) Đặt : t = a 2 .sin 2 x + b 2 .cos 2 x ⇒ dt = 2(−b 2 + a 2 ) sin x. cos xdx
x = 0 → t = a 2
Đổi cận : π
x = → t = b
2
2
Nếu a ≠ b
π
2 b2
sin x. cos x 1 dt
I1 = ∫
Vậy : 0 a 2 . sin x + b 2 . cos x
dx =
2 b − a2
2
( )∫
a2 t
2
1
b
a−b 1
= t = =
b − a2
2
a2 b −a 2 2
a+b
Nếu a = b
π π
2 2
sin x. cos x sin x. cos xdx
I1 = ∫ dx = ∫
0 a 2 . sin 2 x + b 2 . cos 2 x 0
a
Vậy : π π
2 2
1 1 1
= ∫ sin 2 xdx = − 4 a cos 2 x = 2 a
2a 0 0
b) Đặt : t = sin x ⇒ dt = cos xdx
x = 0 → t = 0
Đổi cận : π 3
x = → t =
3 2
π 3 3
3 2 2
cos x dt 1 dt
Vậy : I 2 = ∫ 2 + cos 2 x dx = ∫ =
2
∫ 3 2
3 − 2t 2
0 0 0
−t
2
Trung tâm văn hóa onthi.com
3 3
Đặt : t = cos u ⇒ dt = − sin udu
2 2
π
t = 0 → u = 2
Đổi cận :
t = 3 → u = π
2 4
3 π 3
2 2 sin udu
1 dt 1 2
I2 = ∫ = ∫
2 0 3 2
2
−t
2π 3
4
2
1 − cos 2 u ( )
Vậy : π
π 2
1 4
1 π
= ∫ du =
2π 2
u =
4 2
π
4
4
Tính các tích phân sau :
π π
b) I 2 = ∫ sin x + 7 cos x + 6 dx
2 2
a) I 1 = ∫ 1
dx
0
4 sin x + 3 cos x + 5 0
4 sin x + 3 cos x + 5
Bài làm :
x x 2dt
a) Đặt : t = tan ⇒ dt = tan 2 + 1dx ⇒ dx = 2
2 2 t +1
x = 0 → t = 0
Đổi cận : π
x = 2 → t = 1
2
1 1
1+ t2 dt
I1 = ∫ dt = ∫
1− t 0 ( t + 1)
2 2
2t
Vậy :
0
4 +3 +5
1+ t2 1+ t2
1
1 1
=− =
t+2 0 6
sin x + 7 cos x + 6 4 cos x − 3 sin x C
b)Đặt : = A+ B +
4 sin x + 3 cos x + 5 4 sin x + 3 cos x + 5 4 sin x + 3 cos x + 5
Dùng đồng nhất thức ta được: A = 1 , B = 1 , C = 1
π π
2
sin x + 7 cos x + 6 2
4 cos x − 3 sin x 1
I2 = ∫ dx = ∫ 1 + + dx
Vậy : 0
4 sin x + 3 cos x + 5 0
4 sin x + 3 cos x + 5 4 sin x + 3 cos x + 5
π
π
= ( x + ln 4 sin x + 3 cos x + 5 ) 02 + I1 =
9 1
+ ln +
2 8 6
Trung tâm văn hóa onthi.com
Bạn đọc tự làm :
π
π π
cos3 x
2
2 2
dx
a) I1 = ∫ 2
dx b) I 2 = ∫ cos3 x. sin xdx c) I 3 = ∫
π sin x
0 0 sin x + 2
6
π π π
2 3
c) I 3 = ∫ 4 sin x dx d) I 5 = ∫
2
1 2
sin x − cos x + 1
dx d) I 6 = ∫ dx
0 cos x + 1 0 sin x + 2 cos x + 3 0 sin x + 2 cos x + 3
Tính nguyên hàm,tích phân các hàm hữu tỷ
dx 1 1
Dạng 1 : I = ∫ ( =− . + C với ( a, n ) ∈ C × ( N − { 0,1} ) ta có :
x − a) n − 1 ( x − a ) n−1
n
dx
Nếu n = 1 , a ∈ R ta có : I = ∫ = ln x + C
x−a
α , β , a, b, c ∈ R
αx + β
Dạng 2 : I = ∫ dx trong đó :
(
ax 2 + bx + c )
∆ = b − 4ac < 0
2 n
* Giai đoạn 1 : α ≠ 0 ,làm xuất hiện ở tử thức đạo hàm của tam thức ax 2 + bx + c ,
sai khác một số :
2aβ
2ax + b + −b
α α α 2ax + b α 2aβ dx
2a ∫ ∫ ax 2 + bx + c n dx + 2a α − b ∫ ax 2 + bx + c
I= dx =
( ax + bx + c
2 n
2a ) ( ) ( ) n
* Giai đoạn 2 :
n
dx 4a − ∆ dt
Tính I = ∫ ( ax + bx + c
2 n
dx = .
) ∫ +b 1 + t 2
− ∆ 2a 2 ax ( ) n
t=
−∆
* Giai đoạn 3 :
1
Tính I = ∫ dt có thể tính bằng hai phương pháp , truy hồi hoặc đặt
(t 2
+1 ) n
t = tan φ
P ( x)
Dạng 3 : I = ∫ Q ( x ) dx
m
n
Pm ( x ) am x m + ...... + a1 x + a0
Ta có : =
Qn ( x ) bn x n + ...... + b1 x + b0
P ( x) R ( x)
Nếu : deg( P ) ≥ deg( Q ) thì ta thực hiện phép chia Q ( x ) = A( m − n ) ( x ) + Q ( x ) trong đó
m r
n n
Rr ( x )
phân số Q ( x ) có deg( R ) < deg( Q )
n
Nếu : deg( P ) < deg( Q ) ta có các qui tắc sau :
Trung tâm văn hóa onthi.com
Pm ( x )
A1 An −1 An
*Qt 1: =
+ ...... + +
( x − a) ( x − a) n
( x − a) n −1
( x − a) n
Pm ( x ) n
Ai
=∑
Vdụ 1a : n
( )i
∏ ( x − ai ) i=1 x − ai
i
i =1
P ( x) A B C D
Vdụ 1b : ( x − a)( x − b)( x − c)2 = x − a + x − b + x − c + ( x − c ) 2
m
Pm ( x )
A1 x + B1 An−1 x + Bn−1 An x + Bn
=
+ ...... + +
*Qt 2':
(
ax + bx + c 2 ax + bx + c
2
) n
(
ax + bx + c
2 n −1
)
ax 2 + bx + c ( ) ( ) n với ∆ < 0
Pt ( x ) m
Ai n
A x + B1
*Qt 3: =∑ +∑ 2i
(
( x − α ) ax + bx + c i =1 ( x − α ) k =1 ax + bx + c i
m 2 n i
) ( )
Pt ( x ) A Bx + C
Vdụ 1 : ( x − α ) ax 2 + bx + c = x − α + ax 2 + bx + c
( ) ( )
Pt ( x ) A B1 x + C1 B2 x + C 2
= + +
Vdụ 2 :
( )
( x − α ) ax 2 + bx + c ( x − α ) ax + bx + c ax 2 + bx + c 2
2 2
( ) ( )
BÀI TẬP
Tính các tích phân sau :
1 1
dx dx
a) I 1 = ∫ b) I 2 = ∫
0 x + 3x + 2
2
0 (x 2
+ 3x + 2 ) 2
Bài làm :
1 1 1
dx dx 1 1
a) I 1 = ∫ 2 =∫ = ∫ − dx
0 x + 3x + 2 0
( x + 1)( x + 2) 0 x + 1 x + 2
= [ ln x + 1 − ln x + 2 ] 0 = ln
4 1
3
1
dx
1
1 1 2
b) I 2 = ∫ 2 dx = ∫ + − dx
0 ( x + 3x + 2)
2
0 ( x + 1)
2
( x + 2) ( x + 1)( x + 2)
2
1
1
− 2( ln x + 1 − ln x + 2 ) = OK
1
= − −
x +1 x + 2 0
Tính các tích phân sau :
1 1
dx 4x − 2
a) I1 = ∫ b) I 2 = ∫ dx
0
x + 3x 2 + 3
4
0 ( 2
)
x + 1 ( x + 2)
Bài làm :
Trung tâm văn hóa onthi.com
dx 1 x
a)* Bạn đọc dễ dàng chứng minh được I 0 = ∫ = arctan + C với a > 0
x +a22
a a
1 1 1
dx dx 1 1 1
I1 = ∫ =∫ 2 = ∫ 2 − 2 dx
0
4 2 2
( )(
x + 3x + 3 0 x + 1 x + 3 2 0 x + 1 x + 3 )
1
1
= arctan x −
2
1
3
arctan
x π
= 9−2 3
30 2
( )
4x − 2 A Bx + C x 2 ( A + B ) + x( 2 B + C ) + 2C + A
b) Đặt : = + =
( )
( x + 2) x 2 + 1 x + 2 x 2 + 1 ( x + 2) x 2 + 1 ( )
A + B = 0 A = −2
Do đó ta có hệ : 2 B + C = 4 ⇔ B = 2
2C + A = 0 C = 0
1 1
4x − 2 2 2x
Vậy : I 2 = ∫ dx = ∫ − + 2 dx
0 ( 2
)
x + 1 ( x + 2) 0
x + 2 x +1
[ ]
1
= − 2 ln x + 2 + ln x 2 + 1 = −2 ln 3 + ln 2 + ln 2 − ln 1 = ln
0
4
9
Bạn đọc tự làm :
3 5
x +1 dx
a) I1 = ∫ dx b) I 2 = ∫
2
x ( x − 1)
2
2
x + 2x − 3
2
2 2
x −1
3
x
c) I 3 = ∫ dx d) I 3 = ∫ x 4 − 3x 2 + 2 dx
1
4x3 − x 3
HD:
x +1 A B C 1 A B
a) x 2 ( x − 1) = x + x 2 + x − 1 = + b)
x + 2x − 3 x − 1 x + 3 2
x −1 1
3
x−4 x A B C D
c) 3 x( 2 x + 1)( 2 x − 1) d) x 4 − 3 x 2 + 2 = x − 1 + x + 1 + x + 2 + x − 2
= 1 +
4x − x 4
Đẳng thức tích phân :
Muốn chứng minh đẳng thức trong tích phân ta thường dùng cách đổi biến số và nhận
xét một số đặc điểm sau .
* Cận tích phân , chẵn lẻ , tuần hoàn , cận trên + cận dưới, ….
Chúng ta cần phải nhớ những đẳng thức nầy và xem nó như 1 bổ đề áp dụng.
BÀI TẬP
Trung tâm văn hóa onthi.com
1 1
Chứng minh rằng : ∫ x (1 − x ) dx = ∫ x (1 − x ) dx
m n n m
0 0
Bài làm :
1
Xét I = ∫ x (1 − x ) dx
m n
0
Đặt : t = 1 − x ⇒ dt = −dx ⇒ dx = −dt
x = 0 → t = 1
Đổi cận :
x = 1 → t = 0
1 0 1
Vậy : I = ∫ x (1 − x ) dx = − ∫ (1 − t ) t dt = ∫ (1 − t ) t dt (đpcm)
n m m n m n
0 1 0
Chứng minh rằng nếu f (x) là hàm lẻ và liên tục trên đoạn [ − a, a ] thì :
a
I= ∫ f ( x ) dx = 0
−a
Bài làm :
a 0 a
I= ∫ f ( x)dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx (1)
−a −a 0
0
Xét
−a
∫ f ( x ) dx . Đặt t = − x ⇒ dt = −dx ⇒ dx = −dt
x = −a → t = a
Đổi cận :
x = 0 → t = 0
0 a a
V ậy : ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( − t ) dt = −∫ f ( t ) dt
−a 0 0
Thế vào (1) ta được : I = 0 (đpcm)
• Tương tự bạn đọc có thể chứng minh : Nếu f (x) là hàm chẳn và liên tục trên
a a
đoạn [ − a, a ] thì I = ∫ f ( x ) dx = 2 ∫ f ( x )dx
−a 0
Cho a > 0 và f ( x ) là hàm chẵn , liên tục và xác định trên R .
f ( x)
α α
Chứng minh rằng : ∫ x dx = ∫ f ( x )dx
−α
a +1 0
Bài làm :
f ( x) f ( x) f ( x)
α 0 α
∫α a dx = ∫ x dx + ∫ x dx (1)
−
x
+1 −α
a +1 0
a +1
Trung tâm văn hóa onthi.com
f ( x)
0
Xét ∫α a
−
x
+1
dx . Đặt t = − x ⇒ dt = − dx ⇒ dx = − dt
x = −α → t = α
Đổi cận :
x = 0 → t = 0
f ( x) f (− t) at f ( t )
0 α α
Vậy : ∫ x dx = ∫ − t dt = ∫ t
−α
a +1 0
a +1 0
a +1
f ( x) a x f ( x) f ( x)
α 0 α α
Thế vào (1) ta được : ∫ x dx = ∫ x dx + ∫ x dx = ∫ f ( x ) dx (đpcm)
−α
a +1 −α
a +1 0
a +1 0
Cho hàm số f ( x ) liên tục trên [ 0,1] . Chứng minh rằng :
π
ππ
∫ x. f ( sin x ) dx = 2 ∫ f ( sin x ) dx
0 0
Bài làm :
π
Xét ∫ x. f ( sin x ) dx . Đặt t = π − x ⇒ dt = −dx ⇒ dx = −dt
0
x = 0 → t = π
Đổi cận :
x = π → t = 0
π π π
Vậy : ∫ x. f ( sin x ) dx = ∫ ( π − t ). f [ sin ( π − t ) ] dt = ∫ ( π − t ). f ( sin t ) dt
0 0 0
π π
= π ∫ f ( sin t ) dt − ∫ t. f ( sin t ) dt
0 0
π π
⇒ 2∫ x. f ( sin x ) dx = π ∫ f ( sin x )dx
0 0
π π
π
⇒ ∫ x. f ( sin x ) dx = 2 ∫ f ( sin x )dx
0 0
• Từ bài toán trên , bạn đọc có thể mở rộng bài toán sau .
Nếu hàm số f ( x ) liên tục trên [ a, b] và f ( a + b − x ) = f ( x ) . Thì ta luôn có :
b π
a +b
∫ x. f ( x ) dx = 2 ∫ f ( x ) dx
a 0
Cho hàm số f ( x ) liên tục,xác định , tuần hoàn trên R và có chu kì T .
a +T T
Chứng minh rằng : ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx
a 0
Bài làm :
Trung tâm văn hóa onthi.com
a +T T a +T 0 T a +T
∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx
a a T a 0 T
a a +T
Vậy ta cần chứng minh ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx
0 T
a
Xét ∫ f ( x ) dx
0
. Đặt t = x + T ⇒ dt = dx
x = 0 → t = T
Đổi cận :
x = a → t = a + T
a +T a +T
Vậy :
T
∫ f ( t − T ) dt = ∫ f ( t )dt T
a +T T
Hay : ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx
a 0
(đpcm)
• Từ bài toán trên , ta có hệ quả sau :
Nếu hàm số f ( x ) liên tục,xác định , tuần hoàn trên R và có chu kì T , thì ta luôn
T
T 2
có : ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx
0 T
−
2
Bạn đọc tự làm :
( )
1 1
a) I1 = ∫ x(1 − x ) dx b) I 2 = ∫ sin 2 x. cos x ln x + x 2 + 1 dx
6
0 −1
π π
x. sin x x.sin x
c) I 3 = ∫ dx d) I 4 = ∫ dx
0
9 + 4 cos 2 x 0
1 + cos 2 x
π
2
x 2 sin x 1
x 2 + sin x
e) I 5 = ∫π 1+ 2x
dx f) I 6 = ∫
1+ x2
dx
− −1
2
( )
2π 2009π
g) I 7 = ∫ ln sin x + 1 + sin x dx ∫
∗ ∗
h) I 8 = 1 − cos 2 x dx
2
0 0
Tích phân từng phần :
Cho hai hàm số u và v có đạo hàm liên tục trên đoạn [ a, b] , thì ta có :
b b
∫ udv = [ uv] a − ∫ vdu
b
a a
Trong lúc tính tính tích phân từng phần ta có những ưu tiên sau :
*ưu tiên1: Nếu có hàm ln hay logarit thì phải đặt u = ln x hay u = log a x .
*ưu tiên 2 : Đặt u = ?? mà có thể hạ bậc.
Trung tâm văn hóa onthi.com
BÀI TẬP
Tính các tích phân sau :
π
1 e
2
a) I1 = ∫ x.e dx c) I 3 = ∫ ln xdx
x
b) I 2 = ∫ x . cos xdx 2
0 1
0
Bài làm :
u = x ⇒ du = dx
a) Đặt :
dv = e dx ⇒ v = e
x x
1 1
x 1
− ∫ e x dx = e − e x = e − ( e − 1) = 1
1
Vậy : I1 = ∫ x.e dx = x.e
x
0 0
0 0
u = x 2 ⇒ du = 2 xdx
b) Đặt :
dv = cos xdx ⇒ v = sin x
π π
Vậy : I1 = ∫ x.e x dx = − x. cos x − 2 ∫ x. sin xdx = π −2 ∫ x. sin xdx (1)
1 π 2 2 2
2
0
0 0
4 0
π
2
Ta đi tính tích phân ∫ x. sin xdx
0
u = x ⇒ du = dx
Đặt :
dv = sin xdx ⇒ v = − cos x
π π
2 π 2 π π
Vậy : ∫ x. sin xdx = − x. cos x + ∫ cos xdx = − x. cos x 02 + sin 02 = 1
2
0
0 0
1
π 2 −8
Thế vào (1) ta được : I1 = ∫ x.e dx =
x
0
4
1
u = ln x ⇒ du = dx
c) Đặt : x
dv = dx ⇒ v = x
e e
Vậy : I 3 = ∫ ln xdx = x. ln x 1 − ∫ dx = x. ln x 1 − x 0 = 1
e e e
1 1
Tính các tích phân sau :
π
π eπ
c) I 3 = ∫ cos( ln x ) dx
4
a) I1 = ∫ e . sin xdx
x
b) I 2 = ∫ x
dx
0
0
cos 2 x 1
Bài làm :
Trung tâm văn hóa onthi.com
u = e x ⇒ du = e x dx
a) Đặt :
dv = sin xdx ⇒ v = − cos x
π π
Vậy : I1 = ∫ e . sin xdx = − e . cos x 0 + ∫ e . cos xdx = e + 1 + J (1)
x xx π π
0 0
u = e ⇒ du = e dx
x x
Đặt :
dv = cos xdx ⇒ v = sin x
π π
π
Vậy : J = ∫ e . cos xdx = e . sin x 0 − ∫ e . sin xdx = − I
x x x
0 0
eπ + 1
Thế vào (1) ta được : 2 I1 = eπ + 1 ⇒ I1 =
2
u = x ⇒ du = dx
b) Đặt : 1
dv = cos 2 x dx ⇒ v = tan x
π π
4
x π 4
π π
π 2
Vậy : I 2 = ∫ 2
dx = x. tan x − ∫ tan xdx = + ln ( cos x ) 04 = + ln
4
0
0
cos x 0
4 4 2
1
u = cos( ln x ) ⇒ du = − sin ( ln x ) dx
c) Đặt : x
dv = dx ⇒ v = x
eπ eπ
Vậy : I 3 = ∫ cos( ln x ) dx = x. cos( ln x ) 1 + ∫ sin ( ln x ) dx = −( eπ + 1) + J
eπ
1 1
1
u = sin ( ln x ) ⇒ du = cos( ln x ) dx
Đặt : x
dv = dx ⇒ v = x
eπ eπ
Vậy : I 3 = ∫ sin ( ln x ) dx = x. sin ( ln x ) 1 − ∫ cos( ln x ) dx = 0 − I 3
eπ
1 1
eπ + 1
Thế vào (1) ta được : 2 I 3 = −( eπ + 1) ⇒ I 3 = −
2
Bạn đọc tự làm :
ln 2 e
a) I1 = ∫ x.e dx b) I 2 = ∫ (1 − ln x ) dx
−x 2
0 1
( )
2 1
1 1
c) I 3 = ∫ 2 − d) I 4 = ∫ ln x + 1 + x dx
2
dx
e ln x ln x 0
π
3 e
e) I 5 = ∫ sin x. ln( tan x ) dx f) I 6 = ∫ cos 2 ( ln x ) dx
π 1
4
Trung tâm văn hóa onthi.com
π π
h) I ∗7 = ∫ 1 + sin x e x dx
4 2
g) I ∗7 = ∫ x 2 cos 2 x
0 0
1 + cos x
Tích phân hàm trị tuyệt đối, min , max :
b
Muốn tính I = ∫ f ( x ) dx ta đi xét dấu f ( x ) trên đoạn [ a, b] , khử trị tuyệt đối
a
b
Muốn tính I = ∫ max[ f ( x ) , g ( x ) ] dx ta đi xét dấu f ( x ) − g ( x ) trên đoạn [ a, b]
a
b
Muốn tính I = ∫ min[ f ( x ) , g ( x ) ] dx ta đi xét dấu f ( x ) − g ( x ) trên đoạn [ a, b]
a
Tính các tích phân sau :
4 2
a) I1 = ∫ x − 2 dx b) I1 = ∫ x + 2 x − 3 dx
2
1 0
Bài làm :
x 1 2 4
a)
x-2 - 0 +
2 4
4 2 4
x2 x2
Vậy : I1 = ∫ x − 2 dx = ∫ ( 2 − x )dx + ∫ ( x + 2)dx = 2 x − + − 2 x
1 1 2 2 1 2 2
1 5
= ( 4 − 2 ) − 2 − + [ ( 8 − 8) − ( 2 − 4 ) ] =
2 2
b) Lập bảng xét dấu x 2 + 2 x − 3 , x ∈ [ 0,2] tương tự ta được
2 1 2
( )
I1 = ∫ x + 2 x − 3 dx = − ∫ x + 2 x − 3 dx + ∫ x 2 + 2 x − 3 dx
2 2
( )
0 0 1
.
1 2
x3 x3
I1 = 3 x − x 2 − + − 3 x + x 2 + = 4
3 0 3 1
1
Tính I a = ∫ x x − a dx với a là tham số :
0
Bài làm :
x −∞ a +∞
Trung tâm văn hóa onthi.com
x-a - 0 +
(Từ bảng xét dấu trên ta có thể đánh giá ).
Nếu a ≤ 0 .
1
1 1
x 3 ax 2
I a = ∫ x x − a dx = ∫ ( x − ax dx = −
2
) 1 a
=3−2
0 0 3 2 0
Nếu 0 < a < 1 .
1 a 1
I a = ∫ x x − a dx = − ∫ x − ax dx + ∫ x 2 − ax dx ( 2
) ( )
0 0 a
a 1
ax 2 x 3 ax 2 x 3 1 a2 a3
= − + − + = − +
2 3 0 2 3 a 3 2 2
Nếu a ≥ 1 .
1
1
x 3 ax 2
1
I a = ∫ x x − a dx = − ∫ x − ax dx = − − (
1 a
=−3+ 2
2
)
0 0 3 2 0
2 3
Tính : a) I1 = ∫ min(1, x ) dx ( )
I 2 = ∫ max x 2 , x dx
2
0 0
Bài làm :
a) Xét hiệu số : (1 − x 2 ) ∀x ∈ [ 0,2]
2 1 2 2
(
Vậy : I1 = ∫ min 1, x dx = ∫ x dx + ∫ dx =
x3
2
3 0
) 2
+ x1 =
4
3
2
0 0 1
b) Xét hiệu số : x( x − 1) ∀x ∈ [ 0,3] tương tự như trên ta có .
3 1 3 1 3
( )
I 2 = ∫ max x , x dx = ∫ xdx + ∫ x dx =
2 x2
+
x3
=
2 0 3 1 6
55 2
0 0 1
Bạn đọc tự làm :
π 3π
3
a) I1 = ∫ min ( x, x − 3) dx b) I 2 = ∫ max( sin x, cos x ) dx c) I 3 = ∫ sin x − cos x dx
2 4
2
−2 0 0
3 5
d) I 4 = ∫ max( x 2 ,4 x − 3) dx d) I ∗ 4 = ∫ x + 2 x − 1 + x − 2 x − 1 dx
−2 1
Nguyên hàm , tích phân của hàm số vô tỷ :
Trong phần nầy ta chỉ nghiên cứu những trường hợp đơn giản của tích phân Abel
(
Dạng 1: ∫ R x, ax 2 + bx + c dx ở đây ta đang xét dạng hữu tỷ. )
Trung tâm văn hóa onthi.com
− ∆ 2ax + b
2
a > 0
→ ax + bx + c =
2
1 +
∆ < 0 4a − ∆
∫ R ( x, ax 2 + bx + c dx = ) ∫ S (t ,
2 ax +b
1 + t 2 dt ) Tới đây , đặt t = tan u .
t=
−∆
− ∆ 2ax + b
2
a < 0
Dạng 2: → ax + bx + c =
2
1 −
∆ < 0 4a − ∆
∫ R ( x, ax 2 + bx + c dx = ) ∫ S (t ,
2 ax + b
)
1 − t 2 dt
Tới đây , đặt t = sin u .
t=
−∆
∆ 2ax + b
2
a > 0
Dạng 3: → ax + bx + c =
2
− 1
∆ > 0 4a − ∆
∫ R ( x, ax 2 + bx + c dx = ) ∫ S (t ,
2 ax + b
t 2 − 1 dt) Tới đây, đặt t =
1
.
t=
∆
sin u
dx dt
Dạng 4 (dạng đặc biệt) : ∫ ( αx + β ) ax + bx + c
2
= ∫1 αt + µt + ζ
2
t=
αx + β
Một số cách đặt thường gặp :
(
∫ S x, a − x dx
2 2
)
đặt x = a. cos t 0≤t ≤π
∫ S ( x, + x )dx
π π
a2 2
đặt x = a. tan t − 0
∫ S ( x, ax 2 + bx + c dx ) đặt ax + bx + c = t ( x − x0 ) ; ax0 + bx0 + c = 0
2
ax 2 + bx + c = ± a .x ± t ; a>0
ax + b ax + b
∫ S x,
m
cx + d
đặt t = m
cx + d
; ad − cb ≠ 0
dx
Tính : I = ∫
(x 2
+ 4x + 7 ) 3
Bài làm :
dx dt
∫ = ∫
(x 2
+ 4x + 7 ) 3
t = x+2 (t 2
+3 ) 3
Đặt : t = 3 tan u ⇒ dt = 3 ( tan 2 u + 1) du
Trung tâm văn hóa onthi.com
(
3 tan 2 u + 1 du ) 1
Ta có I = ∫ = ∫ cos udu
3 3. tan u + 1
3 tan u ( 2
3 tan u ) 3 3
1 1 t 1 x+2
= sin u + C = +C = +C
3 3 t2 +1 3 x2 + 4x + 7
xdx dx
Tính : a) I = ∫ b) I = ∫
x2 + x + 1 x x2 − 2x − 1
Bài làm :
xdx xdx 1 3t − 1
a)
∫ x2 + x + 1
=∫
2
=
2 ∫ t2 +1
dt
1 3 2 x +1
x + + t=
3
2 4
I=
1
2 ∫
2 x +1
3t − 1
t +1
2
dt =
2
3 2 1
t + 1 − ln t + t 2 + 1 + C
2
( )
t=
3
1 1
= x2 + x + 1 − + ln x + + x 2 + x + 1 + C
2 2
1 dt
b)Đặt : x = ⇒ dx = − 2
t t
dx dt t +1
I =∫ =− ∫ = − arcsin +C
x x2 − 2x −1 2 − ( t + 1) 2
2
1
x=
t
1
+1
x x +1
= − arcsin + C = − arcsin +C
2 2
Tìm các nguyên hàm sau
dx dx
a) I = ∫ b) I = ∫
1+ x + 3 1+ x x +1+ x +1
Bài làm :
a)Đặt : t = 6 1 + x ⇒ t 6 = 1 + x ⇒ 6t 5 dt = dx
dx t 5 dt 1
Vậy : I = ∫ = 6 ∫ 3 2 = 6 ∫ t 2 − t +1−
t +t
dt
t +1
1+ x + 1+ x
3
t = 6 1+ x t = 6 1+ x
= 2t 3 − 3t 2 + 6t − 6 ln t + 1 + C
= 2 1 + x − 33 1 + x + 66 1 + x − 6 ln 6 1 + x + 1 + C
1 −2
1
dx 1+ x − x +1 1 x +1
b) I = ∫ =∫ dx = ∫ x + 1dx − ∫
dx
x +1+ x +1 2 x 2 2 x
Trung tâm văn hóa onthi.com
1 1 x +1
= x+ x − ∫ dx (1)
2 2 x
x +1 x +1 1 2t
Xét ∫ dx Đặt : t = ⇒ x= ⇒ dx = − dt
x x t −1
2
t 2 −1
2
( )
x +1 t 2 dt
Vậy : ∫ x
dx = −2 ∫ ( t − 1) 2 = OK
x +1
t=
x
Tìm các nguyên hàm sau :
a) I = ∫ x . x + 9dx b) I = 16∫ x . x + 4dx
2 2 2 2
Bài làm :
t2 − 9 t2 + 9
a)Đặt : x2 + 9 = x − t ⇒ x= ⇒ dx = dt
2t 2t 2
t2 + 9 − t2 − 9
I1 = ∫
( t2 − 9
2
) 1 t 4 − 81
dt = − ∫
2
( )
2t 2 . 2t
.
4t 2 16 t5
dt
1 3 162 6561 1 t4 6561
= − ∫ t − + 5 dt = − − 162 ln t − 4 + C
Vậy : 16 t t 16 4
4t
=−
1 x − x2 + 9
(4
− 162 ln x − x + 9 −
2 ) 6561
+C
16
4 4
4 x − x2 + 9 ( )
t2 − 4 t2 + 4
b)Đặt : x +4 = x−t
2
⇒ x= ⇒ dx = dt
2t 2t 2
t2 + 4 − t2 − 4 t2 − 4
I = 16 ∫
( ) 2
dt = − ∫
(t 4
)
− 16
2
2t 2 . 2t
.
4t 2 t5
dt
3 36 256 t4 64
= −∫ t − + 5 dt = − − 36 ln t − 4 + C
4
t t t
= −
(
x − x2 + 4 ) 4
+ 36 ln x − x + 4 − 2
+C 64
4 4
x − x2 + 4 ( )
Tính các tích phân sau :
1
−8
I1 = ∫ x − x 2 dx dx
a) 1
b) I 2 = ∫x
−3 1− x
dx
2
Trung tâm văn hóa onthi.com
Bài làm :
1 1
1
I1 = ∫ x − x 2 dx = ∫ 1 − ( 2 x − 1) dx
2
1 21
2 2
1
Đặt : 2 x − 1 = sin t ⇒ dx = cos tdt
2
1
x = 2 → t = 0
Đổi cận :
x = 1 → t = π
2
π π π
2 2
Vậy : I1 = 1 ∫ cos 2 tdt = 1 ∫ (1 + cos 2t ) dt = 1 1 + 1 sin 2t
2
40 80 8 2 0
1 π π
= − 0 − ( 0 + 0) =
8 2 16
b) Đặt : t = 1 − x ⇒ − 2tdt = dx
x = −3 → t = 2
Đổi cận :
x = −8 → t = 3
−8 3 3
dx tdt dt
Vậy : I 2 = ∫3 x 1 − x dx = 2∫ 1 − t 2 t = 2∫ 1 − t 2
− 2
( 2
)
3
t −1 1
= − ln = − ln − ln 1 = ln 2
t +1 2 2
Bạn đọc tự làm :
dx dx
a) I1 = ∫ b) I 2 = ∫ 4 x − x 2 dx c) I 3 = ∫
x x2 + 1 (x 2
+4 ) 3
1 + x2 − 1 ∗ 1
d) I 4 = ∫ 1 + x 2 dx d) I ∗5 = ∫ dx d) I 6 = dx
1 − x2 − 1 1 + x2 + 1
Bất đẳng thức tích phân :
b
Nếu f ( x ) ≥ 0 ∀x ∈[ a, b] ⇒ ∫ f ( x )dx ≥ 0
a
b b
Nếu f ( x ) ≥ g ( x ) ∀x ∈[ a, b] ⇒ ∫ f ( x )dx ≥ ∫ g ( x )dx
a a
Trung tâm văn hóa onthi.com
b
Nếu m ≤ f ( x ) ≤ ∀x ∈[ a, b] ⇒ m( b − a ) ≤ ∫ f ( x )dx ≤ M ( b − a )
a
Trong các trường hợp nầy ta thường dùng khảo sát , Bunhiacopxki, AM-GM
Và các bước chặn sinx,cosx
BÀI TẬP
Chứng minh các bất đẳng thức sau :
c) ∫ ( 1 + x + 1 − x )dx ≤ 2
1 2 1
1 2 x 1
a) ∫ x(1 − x ) dx ≤ b) ≤ ∫ 2 dx ≤
0
4 5 1 x +1 2 0
Bài làm:
a)Áp dụng AM-GM ta có :
x + (1 − x )
2
1
x (1 − x ) ≤
2 = 4 ∀x ∈ [ 0,1]
1 1
1 1
Vậy : ∫ x(1 − x ) dx ≤ ∫ dx = (đpcm)
0
40 4
x
b) Xét hàm số : f ( x ) = ∀x ∈ [1,2]
x +1
2
Đạo hàm :
1 − x2
f ′( x ) =
(x 2
+1 ) 2
x = 1
f ′( x ) = 0 ⇔
x = −1
1
f (1) = 2
Ta có :
f ( 2) = 2
5
2 x 1
≤ 2 ≤ ∀x ∈ [1,2]
5 x +1 2
2 2 2
2 x 1
Vậy : ⇒ 5 ∫ dx ≤ ∫ x 2 + 1 dx ≤ 2 ∫ dx
1 1 1
2
2 x 1
⇒ ≤∫ 2 dx ≤
5 1 x +1 2
Áp dụng Bunhicopxki ta có :
1 + x + 1 − x ≤ 12 + 12 1 + x + 1 − x = 2 ∀x ∈ [ 0,1]
∫( )
1
Vậy : 1 + x + 1 − x dx ≤ 2(1 − 0 )
0
Trung tâm văn hóa onthi.com
