Một số kiến thức đại số
Tài liệu tham khảo rất hữu ích cho các bạn học sinh phổ thông, củng cố nâng cao kiến thức vể môn đại số là hành trang giúp ban hoàn thành môn đại số. Chúc các bạn thành công. Là tài liệu hữu ích dành cho các bạn dành luyện tập thi thử, giúp cho các bạn làm quen với đề thi, đánh giá khả năng của mình để bổ sung, ôn lại kiến thức còn thiếu sót chuẩn bị cho...
MỘT SỐ KIẾN THỨC ĐẠI SỐ
1
*Phương trình đường tròn :
( x − a ) 2 + ( y − b) 2 = R2
Hay : x 2 + y 2 − 2ax − 2by + c = 0
Cótâm là: I( a; b ) và bán kính : R = a 2 + b 2 − c ≥ 0
*Phương trình những điểm trong đường tròn và trên
đường tròn là:
( x − a ) 2 + ( y − b ) 2 ≤ R 2 ( là miền gạch hình 2)
*Phương trình những điểm ngoài đường tròn và trên đường tròn là: ( x − a ) 2 + ( y − b ) 2 ≥ R 2
(là miền gạch hình 3)
2
*Đường thẳng : ax + by + c = 0 chia mặt phẳng tọa độ thành 2 phần ax + by + c ≥ 0 và
ax + by + c ≤ 0 để biết phần nào lớn hơn 0 hay nhỏ hơn 0, thông thường ta lấy 1 điểm
trên miền thế vào. Nếu không thoả ta lấy miền ngược lại .
Xét đường thẳng : -x + y – 2 ≤ 0 (như hình vẽ).Ta lấy điểm (0;0) thế vào (-x + y – 2) ta
được -2 ≤ 0 . Nên ta lấy miền chứa (0;0) đó chính là miền gạch như trên hình vẽ
* cho hàm số : y = f(x) có mxđ là D , gtnn = m ,gtln = M ta nói:
Hàm số y = f(x) có nghiệm khi : m ≤ y ≤ M trong mxđ
f(x) ≥ α có nghiệm khi M ≥ α trong mxđ
f(x) ≥ α đúng ∀ x khi m ≥ α trong mxđ
f(x) ≤ α có nghiệm khi m ≤ α trong mxđ
f(x) ≤ α đúng ∀ x khi M ≤ α trong mxđ
*Cho A(x0 , y0 ) và đường thẳng ( ∆ ) có phương trình : ax + by + c = 0 , khoảng cách từ A
đến đường thẳng là :
ax 0 + by 0 + c
d(A; ∆ ) =
a 2 + b2
*Công thức đổi trục : [ gs I(a;b) ]
x = X + a
Đổi trục oxy → IXY
y = Y + b
phần1 GIẢI BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỒ THỊ
Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm.
1
sin x + sin y =
2 ( *)
cos 2x + cos 2 y = m
Giải :
Đặt u = sinx , v = siny
Bài toán trơ thành tìm m để hệ sau có nghiệm :
1
u+v = 2 (1)
2−m
2 ( 2)
(*) ⇔ u + v = 2
2
u ≤1 ( 3)
v ≤1 ( 4)
Các điểm thỏa (3)(4) là những điểm nằm trên và trong hình vuông ABCD như hình vẽ ,(2)
2−m
là phương trình đường tròn tâm I(0,0) bán kính R = , do số giao điểm của đường
2
3
thẳng và đường tròn chính là số nghiệm . Vậy để hệ phương trình có nghiệm đường tròn
1
phải cắt đường thẳng u + v = nằm trong hình vuông. Dễ thấy
2
1
M(1 ; - ) và OM = ON
2
1
5 − 1
OM = , OH = 2 = , suy ra ycbt là
4 8
2
1 2−m 5
≤ ≤
8 2 4
1 7
⇔- ≤ m≤
2 4
Cho hệ phương trình.
x + ay − a = 0
2 2 (*)
x + y − x = 0
a) tìm tất cả các giá trị của a để hệ có 2 nghiệm phân biệt.
b)gọi (x1 ; y1) , (x2 ; y2 ) là 2 nghiệm của hệ ,chứng minh rằng .
(x2 – x1)2 + (y2 – y1)2 ≤ 1
Giải :
a) Hệ đã cho có thể viết lại :
x + a ( y − 1) = 0 (1)
(*) ⇔ 1 2 2 1
( x − 2 ) + y = 4
( 2)
4
Ta nhận thấy (1) là phương trình đường thẳng ,luôn qua điểm cố định (0;1) . (2) là
1 1
phương trình đường tròn có tâm I( ;0) bán kính R = . Do số giao điểm của đường
2 2
thẳng và đường tròn chính là số nghiệm . Vậy để hệ phương trình có 2 nghiệm khi :
1
+ a.0 − a 1
D(I ;d) = 2 <
2
1+ a2
4
⇔ 0 ( x + a − 1)( x + a + 2) = 0 (1)
( *) ⇔ 1 < x < 2 (2)
− 2 < x < −1 (3)
Các điểm M(x;y) thỏa(1) là những điểm nằm trên 2 đường thẳng như hình vẽ
Các điểm M(x;y) thỏa (2) là những điểm nằm trên 2 miền gạch
Ta có A(-2;0) , B(-2;3) , C(-1;2) , D(1;0) , E(2;-1) , F(-1;-1) , K(1;-3) , M(2;-4) .
Vậy từ đồ thị hệ có nghiệm khi : -4Biện luận theo a về số nghiệm của phương trình.
x +2y = 2
( x − 2a )( y − a ) = 0
Giải :
Ta đổi trục cho dễ về việc tính toán và biện luận:
x = X
Đổi trục oxy → 0XY y = Y
2
Hệ đã cho có thể viết lại :
X + Y =2 (1)
(X − 2a )(Y − 2a ) = 0 ( 2 )
7
Ta nhận thấy các điểm M(x;y) thoả mãn (1) là hình vuông A,B,C,D trong đó A(-2;0) , B(0;2)
, C(2;0) , D(0;-2) .Các điểm thỏa mãn (2) nằm trên 2 đường: X = 2a ,Y= 2a , mà giao điểm
I của chúng luôn luôn di động trên Y = X , dễ thấy điểm I/(1;1) như hình vẽ , do số giao
điểm của 2 đường thẳng và hình vuông ABCD chính là số nghiệm .
nên ta có :
2a > 2 a >1
N ếu ⇔ hệ vô nghiệm.
2a < −2 a < −1
2a = 2 a =1
N ếu ⇔ hệ có 2 nghiệm.
2a = −2 a = −1
− 2 < 2 a < 2 − 1 < a < 1
1
N ếu 2 a ≠ 1 ⇔ a ≠ hệ có 4 nghiệm.
2
2 a ≠ −1
a ≠−1
2
1
2a = 1 a=2
N ếu ⇔
2a = −1 1 hệ có 3 nghiệm.
a = −
2
Tìm a để phương trình sau có 2 nghiệm .
x − x2 = a − x (*)
Giải :
Với điều kiện x – x2 ≥ 0 , đặt y = x − x2 ≥ 0
8
y+x =a (1) y+x =a (1)
2 1 2 1
2
(*) trở thành y + x − x = 0 ( 2) ⇔ 2
( x − ) + y = ( 2)
2 4
y≥0 ( 3)
y≥0 ( 3)
1
(2) và (3) là phương trình nửa đường tròn lấy phần dương như hình vẽ , có tâm I( ;0)
2
1
bán kính R = . (1) là phương trình đường thẳng x +y = a , do số giao điểm của đường
2
thẳng và đường tròn chính là số nghiệm . Vậy để hệ phương trình có 2 nghiệm thì đường
thẳng x +y = a phải lớn hơn hoặc bằng
x + y = 1 và nhỏ hơn tiếp xúc trên , mà tiếp xúc trên bằng .
1 1+ 2
2 −a 1 a = (n )
2
= ⇔
2 2 1− 2
a > 1 a = ( l)
2
1+ 2
hay 1 ≤ a <
2
định a để phương trình sau có 4 nghiệm .
2 x2 − 5x + 4 = x2 − 5x + a (*)
Giải :
2
5 9 9
Đặ t t = x 2 − 5 x + 4 = x − − ≥−
2 4 4
a − 4 = −3t (1) , t 9 9
Nhận xét ∀ t > − thì ta được 2 nghiệm x , theo ycbt ta cần có 2 nghiệm t > −
4 4
9 27 9
Dễ thấy A( − ; ) (1) là phương trình y = -3t để thoả bài toán thì ( − < t < 0 )
4 4 4
(2) là phương trình đường thẳng y = t , ∀t ≥ 0
Vậy để phương trình có 4 nghiệm x hay có 2 nghiệm t thì:
27 43
0 Tìm m để hệ bất phương trình sau có nghiệm duy nhất.
x 2 − 3x + 2 ≤ 0
2 ( *)
x − 6 x + a (6 − a ) ≥ 0
Giải :
Hệ (*) cho có thể viết lại .
1≤ x ≤ 2 (1)
( *)
( x − a )( x + a − 6 ) ≥ 0 ( 2)
Xét hệ toạ độ trực chuẩn oxa.
Từ hình vẽ có thể thấy các điểm M(x;a) thỏa mãn (1) và (2) là miền gạch chéo nằm trên
và trong hình thang ABCD .Vậy hệ bất phương trình có nghiệm duy nhất khi :
11
a = 1 hoặc a = 5
Tìm m để hệ phương trình có 8 nghiệm.
x −1 + y −1 = 1
2 2 2
( x − 1) + ( y − 1) = m
Giải :
Ta đổi trục cho dễ về việc tính toán và biện luận.
Đổi trục oxy → 0XY
x = X + 1
y = Y + 1
Hệ đã cho có thể viết
lại .
X + Y =1 (1)
2 2
X + Y = m
2
( 2)
Các điểm M(x;y) thỏa (1) là những điểm nằm trên hình vuông ABCD , như hình vẽ .Các
điểm M(x;y) thỏa (2) là phương trình đường tròn tâm O(0;0) bán kímh R = m . Do số giao
điểm của đường thẳng và đường tròn chính là số nghiệm . Vậy để hệ phương trình có 8
nghiệm khi : OH < R < OB .
1
Mà : OH = ( áp dụng đktx) , OB = 1 .
2
2
< m 12 − 3x 2 = 2m − x ( *)
Giải :
Với điều kiện 12 – 3x ≥ 0 đặt y = 12 − 3x 2 . Phương trình có thể viết lại
2
y ≥ 0 (1)
2
x y2
(*) ⇔ + =1 ( 2)
4 12
x + y = 2m
( 3)
Có thể thấy các điểm M(x;y) thỏa (1) và (2) là phương trình của nửa ellip lấy phần
dương , như trên hình vẽ . Có thể thấy các điểm M(x;y) thỏa (3) là phương trình đường
thẳng luôn di động và có hệ số góc là -1 .
Xét các vị trí tới hạn của nó : qua A ứng với m = -1
4 + 12 = 4m 2
Vị trí tiếp xúc trên ⇔m=2
m > 0
Tại B ứng với m = 1
Vậy ta có : Nếu 1 ≤ m a ≤ − x 2 − 2x
(1)
x 2 − 4x ( *)
a≥ ( 2)
6
3
Các điểm M(x;a) thỏa mãn (1) và (2) nằm trong miền gạch chéo ta có, S1(2; − ) , S2(-1;1)
2
và
8
xA = - < -1
7
a) từ hình vẽ, hệ đã cho có nghiệm khi . 0 ≤ a ≤ 1
a = 1
b) hệ đã cho có nghiệm duy nhất khi .
a = 0
tìm m để hệ bất phương trình sau có nghiệm duy nhất .
x + y + 2 xy + m ≥ 1
( *)
x + y ≤ 1
Giải :
Hệ đã cho có thể viết thành .
2xy + m ≥ (1 − x − y )
2
2 xy + m ≥ 1 − x − y
⇔ ⇔
x + y ≤ 1
x + y ≤ 1
2 xy + m ≥ 1 + x 2 + y 2 − 2x + 2 xy − 2 y
⇔
x + y ≤ 1
( x − 1) 2 + ( y − 1) 2 ≤ m + 1 (1)
⇔
x + y ≤ 1 ( 2)
14
Xét hệ toạ độ trực chuẩn oxy
Nhận xét : những điểm M(x;y) thỏa mãn (1) là những điểm nằm trên và trong đường tròn
tâm I(1;1) bán kính R = m + 1 (như hình vẽ) , những điểm M(x;y) thỏa mãn (2) là miền
gạch chéo và đường thẳng x +y =1 .Vậy hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi R = OH ,
2 2 1
Mà OH = ( áp dụng đktx) vậy : m + 1 = ⇔ m = − là ycbt
2 2 2
tìm m để hệ bất phương trình sau có nghiệm.
x 2 − 2 x − 4 + m ≤ 0
4 ( *)
x − 6x 2 − 8x + 18 − m ≤ 0
Giải :
Hệ đã cho có thể viết thành .
m ≤ − x 2 + 2 x + 4
(1)
4 ( *)
x − 6 x 2 − 8 x + 18 ≤ m
( 2)
phương trình m = -x2 + 2x +4 là parabol có đỉnh S(1;5) như hình vẽ do đó các điểm
M(x;y)thoả (1 ) là những điểm nằm trong parabol chứa miền thỏa (0;0) .
Xét hàm số:
m = x4 -6x2 -8x+18
mxđ: D=R
Đạo hàm :
m/ = 4x3 -12x-8 = 4(x+1)2(x-2)
x = −1
m/ = 0 ⇔ x = 2
bảng biến thiên .
15
x ct = 2
Hàm số đạt cực tiểu tại .
y ct = −6
Điểm đặc biệt (1;5) ; (3;5)
các điểm M(x;y) thoả mãn (*) là miền gạch chéo như hình vẽ . từ đồ thị ta thấy hệ có
nghiệm khi đường thẳng y = m cắt miền gạch chéo, hay - 6 ≤ m ≤ 5
x 2 (5a + 2) x + 4a 2 + 2a ≤ 0
Cho hệ : ( *)
x2 + a2 ≤ 4
a) tìm a để hệ có nghiệm.
b) tìm a để hệ có nghiệm duy nhất.
Giải :
Hệ đã cho có thể viết lại .
( x + a )( x + 4a + 2) ≤ 0 (1)
( *) ⇔ 2 2
( 2)
( *)
x + a ≤ 4
16
Xét hệ toạ độ trực chuẩn oxa .
2 2
Dễ nhận thấy A(-2;0) , B(- 2 ; 2 ) O1( ;− ) , F(- 2 - 2 )
3 3
M(x;a) thỏa mãn (1) và (2) là những điểm nằm trong miền gạch sọc như hình vẽ, như
vậy để hệ phương trình có nghiệm đường thẳng y =a phải cắt miền gạch sọc .
Vậy theo ycbt thì
a) hệ có nghiệm khi - 2 ≤ a ≤ 2
2
b) hệ có nghiệm duy nhất khi a = - 2 hoặc a = - hoăc
3
a= 2
2x 2 + 3x − 2 ≤ 0
Cho hệ : 2 3
( *)
x − m( m + 1) x + m ≤ 0
a) tìm m để hệ có nghiệm.
b) tìm m để hệ có nghiệm duy nhất.
Giải :
Hệ đã cho có thể viết lại như sau .
1
( *)
⇔
−2≤x≤ (1)
2
( x − m 2 )( x − m) ≤ 0
( 2)
Xét hệ toạ độ trực chuẩn oxm .
1
Các điểm M(x;m) thỏa mãn (1) nằm trong giới hạn của 2 đường thẳng x =-2 và.x = , các
2
1 2
điểm M(x;m) thỏa mãn (2) nằm trong miền gạch sọc như hình vẽ .Dễ thấy A( ; ) , vậy
2 2
để phương trình có nghiệm thì đường thẳng m = α phải cắt miền gạch sọc trong giới
hạn cho phép cũa (1) hay.
17
2
a) hệ có nghiệm khi m ≤
2
2
m =
b) hệ có nghiệm duy nhất khi . 2
m = 0
Tìm m để hệ phương trình có nghiệm.
x −1 + y −1 = 1
2 2 2
( *)
x +y =m
Giải :
Ta đổi trục cho dễ về việc tính toán và biện luận:
Đổi trục oxy → 0XY
x = X + 1
y = Y + 1
Hệ đã cho có thể viết lại .
X + Y =1 (1)
( *)
2 2
( X + 1) + ( Y + 1) = m
2
( 2)
Các điểm M(x;y) thỏa (1) là những điểm nằm trên hình vuông ABCD , như hình vẽ .Các
điểm M(x;y) thỏa (2) là phương trình đường tròn tâm O(-1;-1) bán kímh R = m . Do số
giao điểm của đường thẳng và đường tròn chính là số nghiệm . Vậy để hệ phương trình
có nghiệm khi : ON ≤ R ≤ OM .
1
Mà : ON = ( áp dụng đktx) , OB = 5 .
2
2
≤m≤ 5
1
Vậy ≤ m ≤ 5 ⇔ 2 đó là ycbt
2 2
− 5 ≤ m ≤ −
2
18
MỘT SỐ BÀI TẬP
Tìm m để phương trình có nghiệm
1 + sin x + 1 + cos x = m
Cho phương trình .
9 − x + x − (9 − x ) x = m
a) tìm gtln và gtnn ( 9 − x + x )
b) tìm m để phương trình có nghiệm .
x 2 + (5a + 2) x + 4a 2 + 2a < 0
Cho hệ ( *)
x2 + a2 = 0
tìm a để hệ có nghiệm.
Tìm m để bất phương trình sau đúng ∀x : − 4 ≤ x ≤ 6
( 4 + x )(6 − x ) ≤ x 2 − 2x + m
( m − x 2 )(m + x − 2) < 0
Cho hệ ( *)
x2 ≤1
tìm m để hệ vô nghiệm.
log x 2 + y 2 ( x + y) ≥ 1
Cho hệ ( *)
x + 2y = m
tìm m để hệ có nghiệm.
19
Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm.
loga+x(x(a-x)) < loga+x x
Cho hệ phưong trình.
ax + y − 5a − 2 = 0
2 2 (*)
x + y − y = 0
a) tìm tất cả các giá trị của a để hệ có 2 nghiệm phân biệt.
b) gọi A(x1 ; y1) , B(x2 ; y2 ) là 2 nghiệm của hệ .Tìm a để độ dài dây cung AB đạt giá trị
lớn nhất .
phần2 HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Xét đa thức với biến là x,y gọi F(x;y) .Nếu ta có F(x;y) = F(y;x) với moi x ,y ∈ R thì F(x;y)
là đa thức đối xứng:
Đối xứng loại 1 .(nếu thay x bởi y và thay y bởi x phương trình (1) vẩn là phương trình (1)
và phương trình (2) vẩn là phương trình (2) )
Đối xứng loại 2 .(nếu thay x bởi y và thay y bởi x phương trình (1 ) trở thành (2)và
phương trình (2) trở thành (1))
Bài tập đối xứng loai
Giải hệ phương trình .
x + y + xy = 5
2 2
( *)
x y + y x = 6
Giải :
Hệ đã cho có thể viết lại như sau .
x + y + xy = 5 S = x + y
( *) ⇔ đặt điều kiện S2 ≥ 4P
xy( x + y) = 6 P = xy
Hệ phương trình tương đương với .
S = 3 x = 2
( n)
S + P = 5 P = 2 x + y = 3 y = 1
( *) ⇔ ⇔ ⇔ ⇔
S = 2 x = 1
SP = 6 ( l) xy = 2
P = 3
y = 2
Giải hệ phương trình .
x + y + z = 1
( *)
2 x + 2 y − 2 xy + z 2 = 1
Giải :
(Ta cứ coi z như là tham số , ta được hệ đối xứng loại 1 )
Hệ đã cho có thể viết lại như sau .
20
