Lý thuyết ước lượng
Lý thuyết ước lượng. Tổng thễ được đặc trưng bởi dấu hiệu nghiên cứu X, là đại lượng ngẫu nhiên. Tổng thể có 3 đặc trưng số quan trọng như sau:
ThS. Phạm Trí Cao * Chương 6
Toång theå ñöôïc ñaëc tröng bôûi daáu hieäu nghieân cöùu X, laø
ñaïi löôïng ngaãu nhieân. Toång theå coù ba ñaëc tröng soá quan
troïng laø:
E(X)=: trung bình toång theå
CHÖÔNG 6: var(X)=2: phöông sai toång theå
LYÙ THUYEÁT ÖÔÙC LÖÔÏNG p: tyû leä toång theå (tyû leä soá phaàn töû coù tính chaát A quan
taâm trong toång theå, p= P(A)= M/N, trong ñoù M laø soá
phaàn töû coù tính chaát A, N laø soá phaàn töû cuûa toång theå).
Ta goïi chung caùc ñaëc tröng soá cuûa toång theå laø . laø
moät giaù trò soá coá ñònh nhöng chöa bieát cuûa toång theå, ta
phaûi döï ñoaùn (öôùc löôïng) noù. Coù hai daïng öôùc löôïng cô
baûn laø öôùc löôïng ñieåm vaø öôùc löôïng khoaûng.
1 2
1) Öôùc löôïng ñieåm 2) Öôùc löôïng khoaûng
Töø keát quaû khaû o saùt cuûa maãu, ta coù theå ñöa ra moät
Töø keát quaû khaûo saùt maãu, ta ñöa ra khoaûng ( ˆ ,ˆ ), vôùi
ñaïi löôï ng ˆ ñeå öôùc löôï ng cho . ˆ khi ñoù ñöôïc goïi laø 12
öôùc löôï ng ñieåm (coù theå coù caùc tính chaát: khoâng mong muoán laø tham soá toång theå seõ thuoäc vaøo khoaûng
cheäch, hieäu quaû , vöõng, hôï p lyù toái ña …) cuû a . Löu yù naøy vôùi moät xaùc suaát nhaát ñònh naøo ñoù, nghóa laø:
raè ng ˆ laø moä t bieán ngaã u nhieân öù ng vôùi maãu ngaãu
P(ˆ ThS. Phạm Trí Cao * Chương 6
Löu yù raèng ˆ , ˆ laø nhöõng bieán ngaãu nhieân öùng vôùi
1 2
maãu ngaãu nhieân, vaø coù giaù trò cuï theå öùng vôù i maãu cuï Ta coù caùc daïng öôùc löôïng cô baûn sau:
theå. -Öôùc löôïng giaù trò trung bình
-öôùc löôïng tyû leä
Khi ñöa ra öôùc löôïng khoaûng (ˆ , ˆ ) töø maãu thì coù hai
1 2 -öôùc löôïng phöông sai
tröôøng hôïp xaûy ra:
Khoaûng öôùc löôïng naøy thöïc söï chöùa , töùc laø ta öôùc
Trong thöïc haønh, ngöôøi ta caên cöù vaøo côõ maãu n vaø
löôïng ñuùng.
phöông sai varX=2 ñeå ñöa ra phöông phaùp öôùc
Khoaûng öôùc löôïng naøy khoâng chöùa , töùc laø ta öôùc löôïng töông öùng.
löôïng sai.
Xaùc suaát öôùc löôïng sai laø = P[(ˆ ,ˆ )], goïi laø xaùc
1 2
5 suaát maéc sai laàm khi öôùc löôïng. 6
A. ÖÔÙC LÖÔÏNG GIAÙ TRÒ TRUNG BÌNH
1. n 30 , bieá t 2
x t hay x t x t
n n n Baøi 2: Ñieåm trung bình moân toaùn cuûa 100 thí
tra baû ng G hoaë c F
Neá u khoâ ng bieá t : thay baè ng s sinh döï thi vaøo ÑHKT laø 5 vôùi ñoä leäch chuaån
x t s
n maãu (ñaõ hieäu chænh) s = 2,5.
2. n < 30, bieá t 2 (X coù phaâ n phoá i chuaå n) 1) Öôùc löôïng ñieåm trung bình moân toaùn cuûa
x t
n
toaøn theå thí sinh vôùi ñoä tin caäy laø 95%.
3. n < 30, khoâ ng bieá t 2 (X coù phaâ n phoá i chuaå n)
x t ( n 1) s
n
2) Vôùi sai soá 0,25 ñieå m. Haõy xaùc ñònh ñoä tin
hay x t ( n 1) s x t ( n 1) s
n n
caäy.
7 tra baû ng H, baä c töï do n–1 8
2
ThS. Phạm Trí Cao * Chương 6
Giaûi Baøi 3: Tuoåi thoï cuûa moät loaï i boùng ñeøn ñöôïc bieá t
1) n = 100 ; x = 5 ; s = 2,5 theo quy luaät chuaå n vôùi ñoä leäch chuaå n 100 giôø .
AÙ p duï ng tröôøng hôï p n 30 , chöa bieát : 1) Choïn ngaãu nhieân 100 boùng ñeå thöû nghieäm, thaáy
= 95% t = 1,96 moãi boùng tuoåi thoï trung bình laø 1000 giôø. Haõy
t s
= x = 5 1,96 * 2,5 = 5 0,5 öôùc löôïng tuoåi thoï trung bình cuûa boùng ñeø n xí
n 100
Vaä y vôù i ñoä tin caä y 95% khoaû ng öôùc löôï n g nghieä p A saûn xuaát vôùi ñoä tin caäy 95%
ñieåm trung bình moâ n toaù n cuû a toaø n theå thí sinh 2) Vôùi ñoä chính xaùc laø 15 giôø. Haõ y xaùc ñònh ñoä tin
döï thi vaø o ÑHKT laø (4,5 ; 5,5) ñieå m. caäy.
2) = 0,25 t = s n = 0,25*10/2,5 = 1
3) Vôùi ñoä chính xaùc laø 25 giôø vaø ñoä tin caä y laø 95%
(t)= (1,00)= 0,3413 (tra baû ng F)
thì caàn thöû nghieäm bao nhieâu boùng.
9
= 2(t) = 0,6826 = 68,26% 10
AÙ p duï ng tröôø ng hôï p n 30, ñaõ bieá t Nhaän xeùt:
1) n = 100 ; x 1000 ; = 95% ; = 100
= 95% t = 1,96 Daïng toaùn:
= x t 1000 19,6 Coù 3 tham soá : n, , =1– (bieát bieát t )
n
Vaä y vôù i ñoä tin caä y 95% tuoå i thoï trung bình cuû a boù ng ñeø n Caùc tham soá maãu: x , s
thuoä c xí nghieä p A vaø o khoaû ng (980,4 ; 1019,6) giôø
2) = 15 , n = 100 1) Bieát n, = ?
t n 1,5 (1,50) = 0,4332 (tra baûng F) 2) Bieát n, = ?
= 2(t) = 0,8662 = 86,62% 3) Bieát , n = ?
3) = 25 , = 95% , = 100
= 95% t = 1,96
2
t2 2 1,96 100 2
Duøng coâng thöùc t hay t s
n 61,466 62 (laøm troø n leâ n) n n
11 12
2 25 2
3
ThS. Phạm Trí Cao * Chương 6
Baøi 4 : Troïng löôïng caùc bao boät mì taïi moät cöûa haøng 1) n = 20 ; x 48 ; s = 0,5 ; = 95%
AÙp duïng tröôø ng hôïp X coù phaâ n phoá i chuaå n, n < 30
löông thöïc theo quy luaät chuaån. Kieåm tra 20 bao, = 95% t(n – 1) = 2,0930 (tra baû ng H)
thaáy troïng löôïng trung bình cuûa moãi bao boät mì laø
t (19).s
x 0,05 48 0,234
n
48kg, vaø phöông sai maãu hieäu chænh laø s 2 = (0,5kg)2. Vaäy vôùi ñoä tin caä y 95%, troïng löôïng trung bình cuûa moä t bao
boät mì thuoä c cöû a haøng vaøo khoaû ng (47,766 ; 48,234) kg
1) Vôùi ñoä tin caäy 95% haõy öôùc löôïng troïng löôïng 2) t(n–1) = t(19) = (0,26) 20 2,325 2,3457
trung bình cuûa moät bao boät mì thuoäc cöûa haøng.
0,5
(2,3457 laø giaù trò gaàn 2,325 nhaát trong baû ng tra).
2) Vôùi ñoä chính xaùc 0,26 kg, xaùc ñònh ñoä tin caäy. = 0,97 = 97% (tra baû ng H)
3) = 0,16 kg , = 95% t =1,96
3) Vôùi ñoä chính xaùc 160 g ; ñoä tin caäy 95%, tính côû t .s 2
n (1,96) 0,5 6,125 n = (6,125) = 37,51 38
maãu n.
0,16
13 14 Löu yù : Do n chöa bieát, ta xaáp xó : t (n 1) t
B. ÖÔÙC LÖÔÏNG TYÛ LEÄ p : vôùi n 30
Baøi 5 : Ñeå öôùc löôïng tyû leä saûn phaåm xaáu cuûa moät
p f t f (1n f )
kho ñoà hoäp, ngöôøi ta kieåm tra ngaãu nhieân 100 hoäp
hay f t f (1n f ) p f t f (1 f )
n thaáy coù 11 hoäp xaáu.
1) Öôùc löôïng tyû leä saûn phaåm xaáu cuûa kho ñoà hoäp .
n. f 10
Ñieà u kieän aù p duïng :
2) Öôùc löôïng tyû leä saûn phaåm xaáu cuûa kho ñoà hoäp
n.(1 f ) 10
Daï ng toaù n: vôùi ñoä tin caäy 94%.
Cuõng coù 3 daï ng toaù n gioáng öôù c löôï ng trung bình 3) Vôùi sai soá cho pheùp = 3%, haõy xaùc ñònh ñoä tin
Tham soá maã u: f
f (1 f )
caäy.
15 Duø ng coâng thöù c t n 16
4
ThS. Phạm Trí Cao * Chương 6
Giaûi Baøi 6: Loâ traùi caây cuûa moät chuû haøng ñöôïc ñoùng thaønh soït
1) n = 100 , f 11 0,11 moã i soït 100 traùi. Kieå m tra 50 soït thaáy coù 450 traùi khoâng
100
ñaït tieâ u chuaån.
Vaäy tyû leä hoäp xaáu cuûa kho laø 11%
1) Öôù c löôï ng tyû leä traùi caây khoâ ng ñaït tieâu chuaån cuûa loâ
2) = 94% = 0,94 t =1,8808 (tra baû ng G)
haøng vôùi ñoä tin caäy 95%.
f (1 f )
= 0,111,8808 0,11(1 0,11) = 0,11 0,059
t
p f 2) Muoá n öôù c löôïng tyû leä traùi caây khoâng ñaït tieâu chuaån vôùi
n 100
ñoä chính xaùc 0,5% thì ñoä tin caäy ñaït ñöôïc laø bao nhieâu?
Vaäy vôùi ñoä tin caäy 94%, tyû leä saûn phaåm xaáu c uûa kho ñoà hoäp
3) Muoá n öôù c löôïng tyû leä traùi caây khoâng ñaït tieâu chuaån vôùi
vaøo khoaûng (0,051 ; 0,169) 5,1% < p < 16,9%
ñoä tin caäy 99% vaø ñoä chính xaùc 1% thì caàn kieå m tra bao
3) = 3% = 0,03 nhieâu soï t?
t n 0,96
f (1 f ) 4) Muoá n öôùc löôïng tyû leä traùi caây khoâng ñaït tieâu chuaån vôùi
(0,96) = 0,3315 = 2(0,96)= 0,663 = 66,3% ñoä tin caäy 99,70% thì ñoä chính xaùc ñaït ñöôï c laø bao
17 18 nhieâu?
1) Goï i p laø tyû leä traù i caâ y khoâ ng ñaï t tieâ u chuaå n, ta caà n 3) Ta caàn xaùc ñònh kích thöôùc maãu n thoûa maõn ñoä
öôù c löôï ng p vôù i ñoä tin caä y 95%. chính xaùc 1% vaø ñoä tin caäy 99% khi öôùc löôïng p.
Ta coù = 95% t =1,96 Ta coù = 99% t = 2,58 (tra baûng G)
f 450 0,09 AÙp duïng coâng thöùc n t
2 f (1 f )
5000
2
1,96 0,09 (1 0,09 ) 0,008 Ta coù n 2,582 0,09 (1 0,09) 5452 (traù i)
5000
(0,01)2
khoaû ng öôù c löôï ng cuû a p laø : 0,082 < p < 0,098
2) Töø coâ ng thöù c Vì moãi soït coù 100 traùi neân ta caàn kieåm tra 55 soït.
tf (1 f ) 4) Ta caàn xaùc ñònh ñoä chính xaùc vôùi ñoä tin caäy
n 99,70% (öùng t = 2,9677) vôùi kích thöôùc maãu n = 5000.
Suy ra t n 0,005 5000 1,24 f (1 f ) 0,09 (1 0,09)
f (1 f ) 0,09 (1 0,09 ) Ta coù : t 2,9677 0,012
n 5000
= 2 (t) = 2 0,3925 = 0,785. (tra baû ng F)
Vaäy ñoä chính xaù c ñaït ñöôï c 1,2%.
19 Vaä y ñoä tin caä y ñaï t ñöôï c 78,5%. 20
5
ThS. Phạm Trí Cao * Chương 6
Baøi 7 : Moät loâ haøng coù 5000 saûn phaåm. Choïn
Caâu hoûi:
ngaãu nhieân 400 saûn phaåm töø loâ haøng ñeå kieåm tra
Qua 2 thí duï treân baïn ruùt ra ñöôïc caùc ñieàu caàn löu yù
thì thaáy coù 360 saûn phaåm loaïi A.
chöa?
“Chuyeän nhoû nhöng neáu khoâng bieát laïi laø chuyeän lôùn” 1)Haõy öôùc löôïng soá saûn phaåm loaïi A coù trong loâ
(nhaïc Rap VN)! haøng vôùi ñoä tin caäy 96%?
2)Neáu muoán öôùc löôïng soá saûn phaåm loaïi A cuûa
loâ haøng ñaït ñöôïc ñoä chính xaùc 150 saûn phaåm
vaø ñoä tin caäy 99% thì phaûi kieåm tra bao nhieâu
21 22 saûn phaåm?
1) n = 400, f = 360 / 400 = 0,9, = 96% t = 2,0537
f (1 f ) = 0,9 2,0537 0,9.0,1
(Chöùng minh: goïi laø ñoä chính xaùc cuûa öôùc löôïng
p = f t n 400 khoaûng öùng vôùi 400 saûn phaåm, vaø ' laø ñoä chính
0,9 2,0537 0,9.0,1 p 0,9 2,0537 0,9.0,1
400 400 xaùc cuûa öôùc löôïng khoaûng öùng vôùi 5000 saûn
0,8692 < p < 0,9308 phaåm.
Goïi M laø soá saû n phaå m loaïi A coù trong loâ haø ng:
0,8692* 5000 < M < 0,9308 * 5000 Ta coù pf öùng vôùi öôùc löôïng tyû leä cuûa 400
2) Vôùi = 150 / 5000 = 0,03
= 99% t = 2,5758
saûn phaåm. NpNfN laø öôùc löôïng öùng vôùi N=
2
= t f (1 f ) n t f 1 f
5000 saûn phaåm, vaø ñoä chính xaùc laø '= N= 150.
n
Vaäy = '/N= 150/5000 = 0,03 )
23
n 2,582 0,9.0 ,
1 665,640 666 saû n phaåm 24
0,032
6
ThS. Phạm Trí Cao * Chương 6
Baøi 8 : Ñieàu tra naêng suaát luùa treân dieän tích 100
hecta troàng luùa cuûa moät vuøng, ta thu ñöôïc baûng soá
Caâu hoûi: lieäu sau:
Naêng suaát (taï/ha) 41 44 45 46 48 52 54
Baïn ñaõ ruùt ra ñöôïc ñieàu caàn löu yù töø thí duï naøy chöa?
Soá ha coù naêng suaát 10 20 30 15 10 10 5
Haõy ñeå chuyeän nhoû maõi maõi laø chuyeän nhoû!
töông öù ng
1) Haõy öôùc löôïng naêng suaát luùa trung bình cuûa
vuøng ñoù vôùi ñoä tin caäy 95%?
2) Nhöõ ng thöûa ruoäng coù naêng suaát töø 48taï/ha trôû
leân laø nhöõng thöûa coù naêng suaát cao. Haõy öôùc löôï ng
tyû leä dieän tích coù naê ng suaát cao trong vuø ng vôù i ñoä
25 26 tin caäy 97%.
Töø keát quaû tính ôû baûng treân ta coù
1) Ta laä p baûng nhö sau
Naê ng suaát trung bình x 4600 46 taï/ha
xi ni nixi ni x2i 100
Phöông sai cuûa naêng suaát
41 10 410 16.810
s2 1 212680100*462 10,910
44 20 880 38.720 1001
45 30 1350 60.750 s= 3,303
46 15 690 31.740 = 95% t = 1,96
t s
48 10 480 23.040 x 46 0,647
n
52 10 520 27.040
Vaä y vôùi ñoä tin caä y 95%, naê ng suaát luù a trung bình cuû a
54 5 270 14.580 vuø ng ñoù vaøo khoaû ng (45,353 ; 46,647) ñôn vò tính taï.
27
Toång n = 100 4600 212680 28
7
ThS. Phạm Trí Cao * Chương 6
2) f 25 0,25 C. ÖÔÙC LÖÔÏNG PHÖÔNG SAI 2 CUÛA ÑLNN
100
X COÙ PHAÂN PHOÁI CHUAÅN
= 0,97 t = 2,1701 (tra baûng G)
t f (1 f )
p f 0,25 0,094 1.Bieát kyø voïng toaùn EX =
n
ni(xi )2 2 ni(xi )2
Vaäy vôùi ñoä tin caäy 97%, tyû leä dieän tích tra baûng I , baäc töï
2 (n) 2 (n)
luùa coù naêng suaát cao trong vuøng vaøo 1 2 /2
do n
khoaûng (0,156 ; 0, 344).
29 30
Baøi 12: Möùc hao phí nguyeân lieäu cho moät ñôn vò saûn
phaåm laø ñaïi löôïng ngaãu nhieân X phaân phoái theo quy luaät
2.Khoâng bieát kyø voïng toaùn EX = chuaån. Quan saùt 28 saûn phaåm ta thu ñöôïc keát quaû sau :
(n1)s2 2 (n1)s2 Löôïng nguyeân lieäu hao phí (gr) 19 19,5 20,0 20,5
2 (n1) 2 (n1) Soá saûn phaåm 5 6 14 3
1 2 /2
Vôùi ñoä tin caäy 90% haõy öôùc löôïng phöông sai cuûa X trong
tra baûng I, baäc töï do (n–1) 2 tröôøng hôïp
1) Bieát E(X) = 20 gr
31 32
2) Chöa bieát E(X)
8
ThS. Phạm Trí Cao * Chương 6
Tra baû ng I vôù i baä c töï do n = 28 vaø /2 = 0,05)
2
1) Ta öôùc löôïng D(X) = trong tröôøng hôïp ñaõ bieát ta ñöôï c 2
/2
2
0 ,05
16 ,9279 ,
E(X). 2
1 / 2
2
0 ,95
41 ,3372
Ñeå tính ni(xi – )2 ta laä p baûng tính sau : Vôù i ñoä tin caä y 90%, khoaû ng tin caä y cuû a 2 laø
n i ( x i 20 ) 2 n i ( x i 20 ) 2
< 2 <
xi ni (xi – 20) ni(xi – 20)2 2
1 / 2
(n ) 2 (n )
/2
19,0 5 –1 5 7 , 25 2 7 , 25
41 ,3 16 ,9
19,5 6 –0,5 1,5 2) Tröôø ng hôï p naø y khoaû ng tin caä y cuû a 2 seõ laø
20,0 14 0 0 ( n 1) s 2 2 ( n 1) s
2
2 ( n 1) 2 ( n 1)
20,5 3 0,5 0,75 1 / 2 /2
2 ; 2 laø caù c phaâ n vò 2 vôù i n – 1 = 27 baä c
1 / 2 /2
Toång n = 28 7,25 töï do. 2 2 40 ,1 2 2 16 , 2
33 34 1 / 2 0 ,95 /2 0 ,05
Ñeå tính s2 ta laä p baû ng tính sau
Môøi gheù thaêm trang web:
xi ni nixi n x2
i i http://kinhteluong.ungdung.googlepages.com
19,0 5 95,0 1805,00
http://xacsuatthongke.googlepages.com
19,5 6 117,0 2281,50
20,0 14 280,0 5600,00 http://toiuuhoa.googlepages.com
20,5 3 61,5 1260,75 http://diemthi.caopt.googlepages.com
Toång n = 28 553,5 10947,25
2 http://phamtricao.googlepages.com
s 2 28 10947 ,25 553 ,5
0,2126
www37.websamba.com/phamtricao
27 28 28
www.phamtricao.web1000.com
KTC cuûa 2 laø: 27 (0,2126 ) 2 27 0,2126
40 ,1 16 ,2
2
35 hay 0,143 < < 0,354 36
9
