Lý thuyết điều khiển hiện đại_ Chapter4
Hệ thống điều khiển bền vững làm cho chất lượng của sản phẩm luôn ổn định, không phụ thuộc vào sự thay đổi của đối tượng cũng như của nhiễu tác động lên hệ thống. Mục đích của điều khiển bền vững là thiết kế các bộ điều khiển K duy trì ổn định bền vững không chỉ với mô hình danh định của đối tượng (Po)mà còn thỏa với một tập mô hình có sai số ...
Chương 4 : ði u khi n b n v ng
Chương 4
ðI U KHI N B N V NG
4.1 Gi i thi u
4.1.1 Khái ni m ñi u khi n b n v ng
H th ng ñi u khi n b n v ng làm cho ch t lư ng c a s n ph m luôn n
ñ nh, không ph thu c vào s thay ñ i c a ñ i tư ng cũng như c a nhi u tác
ñ ng lên h th ng. M c ñích c a ñi u khi n b n v ng là thi t k các b ñi u
khi n K duy trì n ñ nh b n v ng không ch v i mô hình danh ñ nh c a ñ i
tư ng (P0) mà còn th a v i m t t p mô hình có sai s ∆ so v i mô hình
chu n ( P∆ ).
P0 :Mô hình chu n (mô hình danh
ñ nh)
P∆ :Mô hình th c t v i sai l ch
∆ so v i mô hình chu n
Hình 4.1 : Mô hình ñi u khi n b n v ng
Cho t p mô hình có sai s P∆ và m t t p các ch tiêu ch t lư ng, gi s
P0 ∈ P∆ là mô hình danh ñ nh dùng ñ thi t k b ñi u khi n K.H th ng
h i ti p vòng kín ñư c g i là có tính :
- n ñ nh danh ñ nh: n u K n ñ nh n i v i mô hình danh ñ nh P0
- n ñ nh b n v ng: n u K n ñ nh n i v i m i mô hình thu c P∆
- Ch t lư ng danh ñ nh: n u các m c tiêu ch t lư ng ñư c th a ñ i v i mô
hình danh ñ nh P0
Trang 411
Chương 4 : ði u khi n b n v ng
- Ch t lư ng b n v ng: n u các m c tiêu ch t lư ng ñư c th a ñ i v i m i
mô hình thu c P∆
M c tiêu bài toán n ñ nh b n v ng là tìm b ñi u khi n không ch n ñ nh
mô hình danh ñ nh P0 mà còn n ñ nh m t t p các mô hình có sai s P∆
4.1.2 Chu n c a tín hi u
4.1.2.1 Khái ni m chu n
Trong ñi u khi n nói riêng cũng như trong các công vi c có liên quan ñ n
tín hi u nói chung,thông thư ng ta không làm vi c ch riêng v i m t tín hi u
ho c m t vài tín hi u ñi n hình mà ngư c l i ph i làm vi c v i m t t p g m
r t nhi u các tín hi u khác nhau. Khi ph i làm vi c v i nhi u tín hi u khác
nhau như v y ch c ch n ta s g p bài toán so sánh các tín hi u ñ ch n l c
ra ñư c nh ng tín hi u phù h p cho công vi c.
Các khái ni m như tín hi u x1(t) t t hơn tín hi u x2(t) ch th c s có nghĩa
n u như chúng cùng ñư c chi u theo m t tiêu chu n so sánh nào ñó. Cũng
như v y n u ta kh ng ñ nh r ng x1(t) l n hơn x2(t) thì ph i ch rõ phép so
sánh l n hơn ñó ñư c hi u theo nghĩa nào, x1(t) có giá tr c c ñ i l n hơn ,
có năng lư ng l n hơn hay x1(t) ch a nhi u thông tin hơn x2(t)…..Nói m t
cách khác ,trư c khi so sánh x1(t) v i x2(t) chúng ta ph i g n cho m i m t
tín hi u m t giá tr ñánh giá tín hi u theo tiêu chu n so sánh ñư c l a ch n .
ð nh nghĩa: Cho m t tín hi u x(t) và m t ánh x x(t) →||x(t)|| ∈ R+ chuy n
x(t) thành m t s th c dương ||x(t)||.S th c dương này s ñư c g i là chu n
c a x(t) n u nó th a mãn:
a. ||x(t)|| ≥ 0 và ||x(t)|| = 0 khi và ch khi x(t) =0 (4.1)
b. ||x(t)+y(t)|| ≤ ||x(t)|| + ||y(t)|| ∀ x(t), y(t) (4.2)
c. ||ax(t)|| = |a|.||x(t)|| ∀ x(t) và ∀a ∈ R . (4.3)
4.1.2.2 M t s chu n thư ng dùng trong ñi u khi n cho m t tín hi u x(t):
∞
|| x(t ) ||1 = ∫ | x(t ) |dt
- Chu n b c 1: (4.4)
−∞
∞
∫ | x(t ) |
2
- Chu n b c 2: || x(t ) || 2 = dt . (4.5)
−∞
Trang 412
Chương 4 : ði u khi n b n v ng
Bình phương chu n b c hai chính là giá tr ño năng lư ng c a tín hi u x(t).
∞
∫ | x(t ) |
-Chu n b c p: || x(t ) || p = v ip∈ N (4.6)
p
dt
p
−∞
- Chu n vô cùng: || x(t ) || ∞ = sup | x(t ) | (4.7)
t
ñây là biên ñ hay ñ nh c a tín hi u
Khái ni m chu n trong ñ nh nghĩa trên không b gi i h n là ch cho m t tín
hi u x(t) mà còn ñư c áp d ng ñư c cho c vector tín hi u g m nhi u ph n
t và m i ph n t l i là m t tín hi u.
Xét m t vector tín hi u:
x1 (t )
x(t) = M
x (t )
n
- Chu n 1 c a vector x:
n
x 1 = ∑ xi (4.8)
i =1
- Chu n 2 c a vector x:
n
∑x
2
(4.9)
=
x i
2
i =1
- Chu n vô cùng c a vector x:
= max xi (4.10)
x ∞
i =1, 2 ,...,n
4.1.2.3 Quan h c a chu n v i nh Fourier và nh Laplace:
ð ph c v m c ñích s d ng khái ni m chu n vào ñi u khi n ,ta c n quan
tâm t i m i liên quan gi a chu n tín hi u x(t) là ||x(t)|| v i nh Fourier
X(j ω ) cũng như nh Laplace X(s) c a nó.
Trang 413
Chương 4 : ði u khi n b n v ng
ð nh lí 4.1: (Parseval) Chu n b c hai c a m t tín hi u x(t) và nh Fourier
X(j ω ) c a nó có quan h :
∞ ∞
1
|| x(t ) || 2 = ∫ | x(t ) |2 dt = ∫ | X ( jω ) |
2
(4.11)
dω
2π
2
−∞ −∞
Cho tín hi u nhân qu causal x(t). G i X(s) là nh Laplace c a nó .Gi s
r ng X(s) có d ng th c -h u t v i b c c a ña th c t s không l n hơn b c
ña th c m u s ,t c là:
B( s ) b0 + b1 s + ..... + bm s m
X (s) = v imChương 4 : ði u khi n b n v ng
1 0 L 0
0 1 L 0
- Ma tr n ñư ng chéo I = diag(1) = g i là ma tr n ñơn v .
M M M M
0 0 L 1
- Ma tr n vuông A=(aij) có aij = 0 khi i > j (ho c i < j) ñư c g i là ma tr n
tam giác
+ Ma tr n tam giác dư i
0 L 0
a11
a a 22 L 0
A= 21 (4.15)
M M
M M
an 2 L a nn
an1
+ Ma tr n tam giác trên
a11 a12 L a1n
0 a 22 L a2 n
A= (4.16)
M M
M M
0 0 L ann
4.1.3.2 Các phép tính v ma tr n:
- Phép c ng / tr : Cho hai ma tr n A=(aij) và B=(bij) cùng có m hàng và n
c t .T ng hay hi u A ± B = C =(cij) c a chúng ñư c ñ nh nghĩa là m t ma
tr n cũng có m hàng và n c t v i các ph n t
cij = aij + bij i=1,2,…..,m và j=1,2,…..,n.
- Phép nhân v i s th c: Cho ma tr n A=(aij) có m hàng và n c t và m t s
vô hư ng th c(ph c) x tùy ý .Tích B = xA = Ax = (bij) ñư c hi u là ma tr n
cũng có m hàng và n c t v i các ph n t
Bij = x.aij i=1,2,….m và j=1,2,…..,n
- Phép chuy n v : Ma tr n chuy n v c a ma tr n A=(aij) v i m hàng và n c t
là ma tr n AT = (aji) có n hàng và m c t ñư c t o t ma tr n A qua vi c hoán
chuy n hàng thành c t và ngư c l i c t thành hàng.
- Phép nhân ma tr n: Cho ma tr n A=(aik) có m hàng và p c t và ma tr n
B=(bkj) có p hàng và n c t ,t c là :
Trang 415
Chương 4 : ði u khi n b n v ng
+ A=(aik) i=1,2,....,m và k=1,2,….,p
+ B=(bkj) k=1,2,….,p và j=1,2,…..,n
Tích AB = C =(cij) c a chúng là m t ma tr n có m hàng và n c t v i các
ph n t
p
∑a
Cij = bkj
ik
k =1
M t ma tr n vuông A ∈ R n×n ñư c g i là ma tr n tr c giao n u ATA=AAT=I
4.1.3.3 H ng c a ma tr n:
Cho n vector vi i=1,2,…,n Chúng s ñư c g i là ñ c l p tuy n tính n u ñ ng
th c a1v1+a2v2+…….+anvn=0 trong ñó ai là nh ng s th c (ho c ph c) s
ñúng khi và ch khi a1 = a2 = …..=an = 0
Xét m t ma tr n A=(aij) b t kì có m hàng và n c t .N u trong s m vector
hàng có nhi u nh t p ≤ m vector ñ c l p tuy n tính và trong s n vector c t
có nhi u nh t q ≤ n vector ñ c l p tuy n tính thì h ng ma tr n ñươc hi u là:
Rank(A) = min{p,q}
M t ma tr n vuông A ki u (n × n) s ñư c g i là không suy bi n n u
Rank(A)=n .Ngư c l i n u Rank(A) Chương 4 : ði u khi n b n v ng
Do ph i t n t i c hai phép nhân AA-1 và A-1A cho ra k t qu có cùng ki u
nên ma tr n A ph i là m t ma tr n vuông,t c là ph i có m = n.Hơn n a do
det(I) = 1 ≠ 0 nên:
det(A)det(A-1) ≠ 0 => det(A) ≠ 0 và det(A-1) ≠ 0. (4.22)
V y A ph i là ma tr n không suy bi n.
Ma tr n ngh ch ñ o A-1 c a A có tính ch t sau:
- Ma tr n ngh ch ñ o A-1 c a A là duy nh t (4.23)
- T p h p t t c các ma tr n vuông cùng ki u và không suy bi n cùng v i
phép nhân ma tr n t o thành m t nhóm (không giao hoán). (4.24)
a b 1 d − b
- Ngh ch ñ o ma tr n ki u (2 × 2): A −1 = = det( A) − c a (4.25)
c d
- (AB)-1 = B-1A-1 (4.26)
- (A-1)T = (AT)-1 (4.27)
1
- N u A = diag(ai) và không suy bi n thì A-1 = diag (4.28)
ai
Aadj
- A-1 = (4.29)
det( A)
trong ñó Aadj là ma tr n có các ph n t a ij = (-1)i+jdet(Aij) v i Aij là ma tr n
thu ñư c t A b ng cách b ñi hàng th j và như c t th i.
- Cho ma tr n A ∈ Rn × n không suy bi n . N u U ∈ Rn × m và V ∈ Rn × m là
hai ma tr n làm cho (I+VTA-1U) cũng không suy bi n thì
(A+UVT)-1 = A-1 – A-1U(I+VTA-1U)-1VTA-1 (4.30)
A1 A2
- Cho ma tr n vuông A = không suy bi n,trong ñó A1,A2,A3,A4
A4
A3
cũng là các ma tr n.
N u A1 không suy bi n và B = A4 – A3A1-1A2 cũng không suy bi n thì
−1
A1 −1 + A −11 A2 B −1 A3 A1 −1 − A1 A2 B −1
−1
A A2
A = 1
−1
(4.31)
=
A4 −1
− B −1 A3 A1 B −1
A3
Trang 417
Chương 4 : ði u khi n b n v ng
N u A4 không suy bi n và C = A1 – A2A4-1A3 cũng không suy bi n thì
−1
−1
C −1 − C −1 A2 A4
A A2
A = 1
−1
(4.32)
= −1
A4 −1 −1 −1
−1
A4 + A4 A3 C −1 A2 A3
A3 − A4 A3 AC
4.1.3.5 V t c a ma tr n:
Cho ma tr n vuông A=(aij) ,i,j=1,2,……,n ki u (nxn).V t c a A ñư c hi u
là t ng giá tr các ph n t trên ñư ng chéo chính c a A và ñư c ký hi u
b ng trace(A):
m
trace= ∑ aii (4.33)
i =1
V t c a ma tr n có các tính ch t:
a. trace(AB) = trace(BA) (4.34)
-1
b. trace(S AS) = trace(A) v i S là ma tr n không suy bi n b t kì (4.35)
4.1.3.6 Giá tr riêng và vector riêng:
S th c λ ñư c g i là giá tr riêng và vector x ñư c g i là vector riêng bên
ph i ng v i giá tr riêng λ c a A th a mãn:
Ax = λ x ∀ x (4.36)
(A - λ I)x = 0 ∀ x (4.37)
⇔
Giá tr riêng và vector riêng c a ma tr n A có nh ng tính ch t sau:
a. Hai ma tr n tương ñương A và S-1AS luôn cùng giá tr riêng, nói cách
khác giá tr riêng c a ma tr n b t bi n v i phép bi n ñ i tương ñương:
det(A- λ I)=det(S-1AS- λ I) (4.38)
b. Các giá tr riêng c a ma tr n b t bi n v i phép chuy n v , t c là:
det(A- λ I)=det(AT- λ I) (4.39)
c. N u A không suy bi n thì AB và BA có cùng các giá tr riêng ,t c là:
det(AB- λ I)=det(BA- λ I) (4.40)
T
d. N u A là ma tr n ñ i x ng (A =A) thì các vector riêng ng v i nh ng giá
tr riêng khác nhau s tr c giao v i nhau
Trong Matlab ,s d ng hàm eig(A) ñ tìm ma tr n riêng và vector riêng.
Trang 418
Chương 4 : ði u khi n b n v ng
4.1.3.7 Tính toán ma tr n:
Cho ma tr n X = (xij) ∈ Cm × n là m t ma tr n th c (ho c ph c) và F(X) ∈ C
là m t vô hư ng th c ho c ph c c a X .ð o hàm c a F(X) ñ i v i X ñư c
ñ nh nghĩa
∂
∂
(4.41)
F(X )= F ( X )
∂X ∂xij
Cho A và B là nh ng ma tr n ph c v i không gian tương thích .M t s công
th c ñ o hàm :
∂
Trace ( AXB ) (4.42)
AT B T
=
∂X
∂
Trace ( X ) k −1 T
k(X ) (4.43)
k
=
∂X
∂
Trace ( XBX T ) = 2 XB (B = BT ) (4.44)
∂X
∂
( X T AX ) = AX + A T X (4.45)
∂X
∂
Trace ( AX T B ) = BA (4.46)
∂X
4.1.3.8 Chu n c a ma tr n:
Ngư i ta c n ñ n chu n c a ma tr n là nh m ph c v vi c kh o sát tính gi i
tích c a nó.Có nhi u chu n khác nhau cho m t ma tr n A=(aij)
,i=1,2,…,m;j=1,2,…,n.
Nh ng chu n thông thư ng ñư c s d ng:
- Chu n 1 c a ma tr n A
m
A 1 = max ∑ aij (4.47)
1≤ j ≤ n
i =1
- Chu n 2 c a ma tr n A
A 2 = max λi ( A* A) (4.48)
1≤i ≤ n
- Chu n vô cùng c a ma tr n A
Trang 419
Chương 4 : ði u khi n b n v ng
n
A ∞ = max ∑ aij (4.49)
1≤i ≤ m
j =1
- Chu n Euclide c a ma tr n A (chu n Frobenius)
2
∑∑ a = trace( AT A) (4.50)
=
A ij
F
i j
v i A* là ma tr n chuy n v và l y liên hi p. λi ( A* A) là tr riêng c a ma
tr n A* A là m t s th c không âm.
4.1.4 Tr suy bi n c a ma tr n – ñ l i chính(Principal gain)
Tr suy bi n c a ma tr n A(m x l) ñư c ký hi u là σ i ( A) ñư c ñ nh nghĩa
như sau:
σ i ( A) = λi ( A* A) i = 1,2,...k (4.51)
v i k = min{m, l} .
N u chúng ta bi u di n ma tr n A dư i d ng A(s) và ñ t s = jω
(0 ≤ ω < ∞) , thì tr suy bi n c a A( jω ) là m t hàm c a ω và ñư c g i là
ñ l i chính c a A(s). ñây chúng ta gi s r ng σ i ñư c s p x p theo th
t sao cho σ i ≥ σ i +1 . Như v y, σ 1 là tr suy bi n l n nh t và σ k là tr suy
bi n nh nh t. Ký hi u σ là tr suy bi n l n nh t và σ là tr suy bi n nh
nh t.
Ta có:
σ ( A) = max σ i ( A) = max λi ( A* A)
(4.52)
= A2
Ax 2
v i A 2 = sup .
x 2
ð l i c a h ña bi n n m gi a ñ l i chính l n nh t và nh nh t.
Trong Matlab tìm tr suy bi n c a ma tr n A dùng l nh svd(A)
Ví d : Cho ma tr n A:
Trang 420
Chương 4 : ði u khi n b n v ng
9 4
>> A = 6 8 ;
2 7
>> S =svd(A)
S=
[14.9359
5.1883]
S: vector c a các giá tr suy bi n c a ma tr n A
121 98
A* A =
98 129
λ2 − 250λ + 6005 = 0
λ1, 2 = +125 ± 98.082
σ ( A) = max 223.082 = 14.9359
σ ( A) = 26.918 = 5.1883
Ý nghĩa v t lý c a σ , σ : v i m i giá tr t n s ω giá tr suy bi n nh nh t
ph i th a ñi u ki n c a tiêu chu n t i ưu LQ: σ [ I + KG ( jω )] ≥ 1
Im
Re
1
ω=∞ ω =0
0
σ [1 + KG ( jω )]
Bi u ñ phân b c c cho tiêu chu n t i ưu LQ
Trang 421
Chương 4 : ði u khi n b n v ng
Im
Re
1
0 ω =0
ω =∞
PM
σ [1 + KG ( jω )]
Xác ñ nh ñ d tr pha c a h ña bi n
Im
Re
1 1 1
0 60
σ [1 + KG ( jω )]
ð d tr pha ñ m b o c a LQR
Trang 422
Chương 4 : ði u khi n b n v ng
4.1.5 n ñ nh n i
n ñ nh n i là yêu c u cơ b n ñ i v i m t h th ng h i ti p th c. Ý nghĩa
c a n ñ nh n i là khi ñ u vào h th ng b ng không thì t t c các tr ng thái
h th ng ñ u ph i v không t m i giá tr ban ñ u. M i h th ng t ñ ng
ñ u ph i b o ñ m n ñ nh n i m i ho t ñ ng ñư c.
e1
+
w1 G
+
+
+ w2
K e2
Hình 4.2 : Sơ ñ h th ng dùng ñ phân tích n ñ nh n i
ð nh nghĩa :
H h i ti p hình 4.2 ñư c g i là n ñ nh n i n u t t c các hàm truy n ñ t t
w1, w2 ñ n e1, e2 ñ u n ñ nh.
ði u ki n n ñ nh n i ch t hơn ñi u ki n n ñ nh d a trên hàm truy n vào-
ra thông thư ng, vì nó tránh vi c kh các c c và zero không n ñ nh gi a
các khâu liên ti p nhau. Khi thành l p hàm truy n vào-ra, có th x y ra hi n
tư ng kh c c và zero không n ñ nh c a các khâu liên ti p nhau. Như v y,
ñi u ki n n ñ nh n i b o ñ m các tín hi u bên trong h th ng ñ u h u h n
khi tín hi u vào là h u h n.
Ví d , ta kh o sát ñi u ki n n ñ nh n i c a h th ng hình 4.2:
e1 = w1 + Ke2 = w1 + Kw2 + KGe1
⇒ e1 = ( I − KG ) −1 w1 + ( I − KG ) −1 Kw2
e2 = w2 + Ge1 = w2 + Gw1 + GKe2
⇒ e2 = ( I − GK ) −1 Gw1 + ( I − GK ) −1 w2
Trang 423
Chương 4 : ði u khi n b n v ng
e ( I − KG ) −1 ( I − KG ) −1 K w1
Suy ra: 1 = −1
−1
e2 ( I − GK ) G ( I − GK ) w2
ði u ki n n ñ nh n i c a h là các hàm truy n ( I − KG )−1 , ( I − KG )−1 K ,
( I − GK ) −1 G , ( I − GK )−1 ñ u n ñ nh.
4.1.6 ð nh lý ñ l i nh (Small Gain Theorem)
Cho h th ng ñư c bi u di n như hình 4.3: G i λi là tr riêng c a G
u
r y
G
-
Hình 4.3 : H th ng h i ti p vòng kín
ð nh lý ñ l i nh ñư c phát bi u như sau:
Gi thi t r ng G(s) n ñ nh, ρ(G(jω)) là bán kính ph c a G(jω). H th ng
vòng kín n ñ nh n u ρ (G ( jω )) = max( λi ) < 1 , ho c G( jω ) ∞ < 1, ∀ω
ð i v i h SISO thì
ρ (G ( jω )) = G ( jω ) < 1 (4.53)
ð nh lý ñ l i nh ch là ñi u ki n ñ ñ xét n ñ nh c a h th ng. ði m
m nh c a ñ nh lí này là nó không yêu c u nh ng thông tin chi ti t v h
th ng.Vì v y nó không ch ng d ng ñư c cho h th ng tuy n tính b t bi n
theo th i gian mà còn ng d ng ñư c cho h th ng phi tuy n, thay ñ i theo
th i gian.
4.1.7 n ñ nh b n v ng
4.1.7.1 ð nh lý n ñ nh b n v ng
ðây là mô hình cơ b n dùng ñ phân tích tính n ñ nh b n v ng c a m t h
th ng. N u h danh ñ nh n ñ nh thì M n ñ nh và ∆ là sai s có th làm
cho h th ng m t n ñ nh. ð nh lý sau thi t l p ñi u ki n c a M ñ cho h
th ng v n n ñ nh dư i nh hư ng c a ∆
Trang 424
Chương 4 : ði u khi n b n v ng
v w
∆
M
Hình 4.4 : Sơ ñ c u trúc phân tích n ñ nh b n v ng
ð nh lý n ñ nh b n v ng:
Gi s M và ∆ n ñ nh, h th ng vòng kín hình 4.4 s n ñ nh khi và ch khi
bi u ñ c c c a ñư ng cong Nyquist det(I-M∆) không bao ñi m g c. Khi ñó
h th ng vòng kín s n ñ nh b n v ng v i m i ∆ (σ (∆) ≤ 1) n u và ch n u
khi m t trong các ñi u ki n sau th a mãn:
a. Det ( I − M∆( jω )) ≠ 0 (4.54)
∀ω , ∀∆ (σ ≤ 1)
b. ρ ( M∆( jω )) < 1 (4.55)
∀ω , ∀∆ (σ ≤ 1)
c. M = σ ( M ( jω )) < 1 (4.56)
∀ω
∞
4.1.7.2 ði u ki n n ñ nh b n v ng ñ i v i sai s c ng:
Vi σ (∆( jω )) ≤ 1 ∀ω , (4.57)
∆ A ( s ) = δ A ( s )∆( s ),
v w
∆
M
δA
+
G
K
-
Hình 4.5 : Sai s c ng
Ta có: v( s ) = − K ( s )[δ A ( s ) w( s ) + G ( s )v( s )] (4.58)
Trang 425
Chương 4 : ði u khi n b n v ng
hay
v( s ) = −[ I + K ( s )G ( s )]−1 K ( s )δ A ( s ) w( s ) (4.59)
vy
K ( s )δ A ( s )
M ( s) = − (4.60)
[ I + K ( s )G ( s )]
K t lu n: H th ng vòng kín hình 4.5 n ñ nh b n v ng khi và ch khi:
K ( s )δ A ( s )
σ ( jω ) =||M(s)||∞= Chương 4 : ði u khi n b n v ng
vy
G ( s ) K ( s )δ O ( s )
(4.65)
M =−
I + G( s) K ( s)
K t lu n: H th ng vòng kín hình 4.6 n ñ nh b n v ng khi và ch khi:
G ( s ) K ( s )δ O ( s )
Chương 4 : ði u khi n b n v ng
ðây là v n ñ ñi u khi n tuy n tính nhi u lo n. Kho ng th i gian [0 T] là
xác ñ nh nhưng th t s chúng ta xem xét trư ng h p T → ∞ . T i b t kỳ th i
gian t toàn b tín hi u ño ñư c quá kh ñư c gi s có giá tr cho h i
ti p. Hình (4.7) làm rõ trư ng h p này :
w
z
u
SYSTEM
+
+ y
v
CONTROLLER
Hình 4.7 : H i ti p LQG
4.2.2 B quan sát
Xem xét h th ng quan sát :
x(t ) = Ax(t ) + Bu(t )
&
y(t ) = Cx(t ) (4.70)
n
x (t ) ∈ R
ðây là h th ng (4.67) nhưng không có nhi u h th ng w và nhi u ño v.
Tr ng thái x c a h th ng (4.70) không th s d ng ñư c tr c ti p b i vì ch
ngõ ra y là ño ñư c. Xây d ng l i tr ng thái v i s chính xác tùy ý b i vi c
k t n i m t b quan sát :
&
ˆ ˆ ˆ (4.71)
x(t ) = Ax(t ) + Bu (t ) + L[ y (t ) − Cx(t )] t ∈ R
ˆ
Tín hi u x(t ) là m t ư c lư ng c a tr ng thái x(t). Nó th a mãn phương
trình vi phân tr ng thái c a h th ng (4.70) v i thành ph n thêm vào
ˆ
L [ y (t ) − Cx(t )] . L là ma tr n ñ l i quan sát c n ñư c l a ch n phù h p. Sai
ˆ
s quan sát y(t) − Cx(t ) là s khác nhau gi a ngõ ra ño ñư c th c t y(t) và
Trang 428
Chương 4 : ði u khi n b n v ng
ˆ ˆ ˆ
ngõ ra y (t ) = Cx(t ) .Thành ph n thêm vào L [ y (t ) − Cx(t )] cung c p m t s
ñi u ch nh ch ñ ng ngay khi sai s c a s quan sát là khác 0.
z
u
SYSTEM
y
+
L
-
ˆ
y
SYSTEM
ˆ
x
MODEL
Hình 4.8 : C u trúc c a m t b quan sát
Hình (4.8) cho th y c u trúc c a b quan sát .ð nh nghĩa :
~ (t ) = x(t ) − x(t )
ˆ (4.72)
x
là sai s ư c lư ng tr ng thái. Phương trình vi phân c a ~ nh n ñư c sau
x
khi tr (4.70) cho (4.71) :
x(t ) = ( A − LC ) x (t ) t ∈ R
& (4.73)
% %
N u h th ng (4.70) ñư c tìm th y thì t n t i ma tr n ñ l i L mà sai s h
th ng (4.73) là n ñ nh. N u sai s h th ng là n ñ nh thì
~ (t ) → 0 khi t → ∞ cho b t kỳ sai s ~ (0). Vì v y
x x
ˆ →∞
x(t ) t → x(t ) (4.74)
Tr ng thái ư c lư ng h i t v tr ng thái th c.
Trong Matlab dùng hai l nh acker và place ñ tính ma tr n L c a khâu
quan sát tr ng thái :
L= acker(AT,CT,p)
L= place(AT,CT,p)
AT : Chuy n v c a ma tr n A
CT : Chuy n v c a ma tr n C
p : Khai báo các ñi m c c mong mu n
Trang 429
Chương 4 : ði u khi n b n v ng
4.2.3 B l c Kalman
4.2.3.1 ð t v n ñ :
B l c Kalman là m t b quan sát ñư c s d ng cho các ng d ng yêu c u
xây d ng l i h phương trình tr ng thái khi tính ñ n nh hư ng c a nhi u ño
ñư c.
Phương trình tr ng thái c a ñ i tư ng :
x =Ax+Bu+ γ w (4.75)
&
y=Cx+v (4.76)
v i tr ng thái x(t) ∈ R n ,ngõ vào ñi u khi n u(t) ∈ R m , và ngõ ra ño lư ng
y(t) ∈ R p .Tín hi u w(t) là nhi u quá trình chưa bi t trư c tác ñ ng làm nhi u
h th ng.Tín hi u v(t) là m t nhi u ño không xác ñ nh ñư c , làm suy gi m
vi c ño lư ng ch ng h n như nhi u c m bi n.Giá tr ban ñ u x(0), nhi u
w(t) ho c v(t) không bi t ñư c chính xác.Gi s x(0), w(t) và v(t) ñ u tr c
giao qua l i v i nhau.
w(t) v(t)
γ
x y
&
u x
∫ C
B
H th ng
A
~
y
L
-
&
ˆ ˆ
ˆ
x y
x
∫ C
B
B l c Kalman
A
Hình 4.9 : B quan sát tr ng thái c a Kalman
Trang 430
