Lý thuyết điều khiển hiện đại_ Chapter2
Một hệ điều khiển được thiết kế ở chế độ làm việc tốt nhất là hệ luôn ở trạng thái tối ưu theo một tiêu chuẩn chất lượng nào đó ( đạt được giá trị cực trị). Trạng thái tối ưu có đạt được hay không tùy thuộc vào yêu cầu chất lượng đặt ra, ....
Chương 2: ði u khi n t i ưu
Chương 2
ðI U KHI N T I ƯU
2.1 CH T LƯ NG T I ƯU
2.1.1 ð c ñi m c a bài toán t i ưu
1. Khái ni m
M t h ñi u khi n ñư c thi t k ch ñ làm vi c t t nh t là h luôn tr ng
thái t i ưu theo m t tiêu chu n ch t lư ng nào ñó ( ñ t ñư c giá tr c c tr ) .
Tr ng thái t i ưu có ñ t ñư c hay không tùy thu c vào yêu c u ch t lư ng
ñ t ra , vào s hi u bi t v ñ i tư ng và các tác ñ ng lên ñ i tư ng , vào
ñi u ki n làm vi c c a h ñi u khi n …
M t s ký hi u s d ng trong chương 2.
Hình 2.1: Sơ ñ h th ng ñi u khi n .
H th ng ñi u khi n như hình trên bao g m các ph n t ch y u : ñ i tư ng
ñi u khi n ( ðTðK ) , cơ c u ñi u khi n ( CCðK ) và vòng h i ti p ( K ) .
V i các ký hi u :
r : tín hi u ñ u vào, m c tiêu ñi u khi n, ñáp ng mong mu n c a h th ng.
u : tín hi u ñi u khi n, lu t ñi u khi n.
x : tín hi u ñ u ra, ñáp ng ra c a h th ng.
ε = r – x : sai l ch c a h th ng.
f : tín hi u nhi u
Ch tiêu ch t lư ng J c a m t h th ng có th ñư c ñánh giá theo sai l ch
c a ñ i lư ng ñư c ñi u khi n x so v i tr ñáp ng mong mu n r , lư ng quá
ñi u khi n ( tr s c c ñ i xmax so v i tr s xác l p x ( ∞ ) tính theo ph n
trăm ) , th i gian quá ñ … hay theo m t ch tiêu h n h p trong ñi u ki n
làm vi c nh t ñ nh như h n ch v công su t , t c ñ , gia t c … Do ñó vi c
ch n m t lu t ñi u khi n và cơ c u ñi u khi n ñ ñ t ñư c ch ñ làm vi c
t i ưu J ñ t c c tr còn tùy thu c vào lư ng thông tin ban ñ u mà ta có ñư c.
ñây chúng ta có th th y ñư c s khác bi t v k t qu nh n ñư c ch t
lư ng t i ưu khi lư ng thông tin ban ñ u thay ñ i ( Hình 2.2 ) .
Trang 125
Chương 2: ði u khi n t i ưu
Hình 2.2 : T i ưu c c b và t i ưu toàn c c .
Khi tín hi u ñi u khi n u gi i h n trong mi n [u1,u2] , ta có ñư c giá tr t i
ưu c c ñ i J1∗ c a ch tiêu ch t lư ng J ng v i tín hi u ñi u khi n u1 .
∗
Khi tín hi u ñi u khi n u không b ràng bu c b i ñi u ki n u1 ≤ u ≤ u2 , ta
có ñư c giá tr t i ưu J 2 > J1∗ ng v i u2 . Như v y giá tr t i ưu th c s
∗ ∗
bây gi là J 2 .
∗
T ng quát hơn , khi ta xét bài toán trong m t mi n [um , un ] nào ñó và tìm
ñư c giá tr t i ưu J i∗ thì ñó là giá tr t i ưu c c b . Nhưng khi bài toán
không có ñi u ki n ràng bu c ñ i v i u thì giá tr t i ưu là
J ∗ = extremum( J i∗ ) v i J i∗ là các giá tr t i ưu c c b , giá tr J ∗ chính là
giá tr t i ưu toàn c c .
ði u ki n t n t i c c tr :
• ð o hàm b c m t c a J theo u ph i b ng 0 :
∂J
=0
∂u
• Xét giá tr ñ o hàm b c hai c a J theo u t i ñi m c c tr :
∂2J
> 0 : ñi m c c tr là c c ti u
∂u 2
∂2J
< 0 : ñi m c c tr là c c ñ i
∂u 2
2. ði u ki n thành l p bài toán t i ưu
Trang 126
Chương 2: ði u khi n t i ưu
ð thành l p bài toán t i ưu thì yêu c u ñ u tiên là h th ng ph i có ñ c tính
phi tuy n có c c tr .
Bư c quan tr ng trong vi c thành l p m t h t i ưu là xác ñ nh ch tiêu ch t
lư ng J . Nhi m v cơ b n ñây là b o ñ m c c tr c a ch tiêu ch t lư ng
J . Ví d như khi xây d ng h t i ưu tác ñ ng nhanh thì yêu c u ñ i v i h
là nhanh chóng chuy n t tr ng thái này sang tr ng thái khác v i th i gian
quá ñ nh nh t , nghĩa là c c ti u hóa th i gian quá ñ . Hay khi tính toán
ñ ng cơ tên l a thì ch tiêu ch t lư ng là vư t ñư c kho ng cách l n nh t
v i lư ng nhiên li u ñã cho .
Ch tiêu ch t lư ng J ph thu c vào tín hi u ra x(t) , tín hi u ñi u khi n u(t)
và th i gian t . Bài toán ñi u khi n t i ưu là xác ñ nh tín hi u ñi u khi n u(t)
làm cho ch tiêu ch t lư ng J ñ t c c tr v i nh ng ñi u ki n h n ch nh t
ñ nh c a u và x .
Ch tiêu ch t lư ng J thư ng có d ng sau :
T
J = ∫ L[ x(t ), u (t ), t ]dt
0
Trong ñó L là m t phi m hàm ñ i v i tín hi u x , tín hi u ñi u khi n u và
th i gian t .
L y ví d v bài toán ñi u khi n ñ ng cơ ñi n m t chi u kích t ñ c l p
Φ kt = const v i tín hi u ñi u khi n u là dòng ñi n ph n ng iu và tín hi u ra
x là góc quay ϕ c a tr c ñ ng cơ .
Hình 2.3 : ð ng cơ ñi n m t chi u kích t ñ c l p .
Ta có phương trình cân b ng moment c a ñ ng cơ :
dω
(1)
k M iu − M c = M q
dt
dϕ
(2)
ω=
dt
Trang 127
Chương 2: ði u khi n t i ưu
trong ñó k M = CM Φ = const ; Mq là moment quán tính ; ω là t c ñ góc ;ϕ là
góc quay . Gi s b qua ph t i trên tr c ñ ng cơ ( M c = 0 ) thì :
d 2ϕ
(3)
kM iu = M q
dt 2
N u xét theo th i gian tương ñ i b ng cách ñ t :
τ = t kM / M q
thì (3) có d ng :
d 2ϕ
(4)
= iu
dτ 2
T ñó ta có :
d 2x
(5)
=u
dτ 2
V y phương trình tr ng thái c a ñ ng cơ ñi n là m t phương trình vi phân
c p hai v i tín hi u ñi u khi n u là dòng ñi n ph n ng iư, tín hi u ra là góc
quay ϕ .
• Bài toán t i ưu tác ñ ng nhanh ( th i gian t i thi u ) :
Tìm lu t ñi u khi n u(t) v i ñi u ki n h n ch u ≤ 1 ñ ñ ng cơ quay t v
trí ban ñ u có góc quay và t c ñ ñ u b ng 0 ñ n v trí cu i cùng có góc
quay b ng ϕ0 và t c ñ b ng 0 v i m t kho ng th i gian ng n nh t .
Vì c n th i gian ng n nh t nên ch tiêu ch t lư ng J s là :
T
J = ∫ L[ x(t ), u (t ), t ]dt = T
0
Rõ ràng t phương trình trên ta ph i có L[ x(t ), u (t ), t ] = 1 .
Như v y , ñ i v i bài toán t i ưu tác ñ ng nhanh thì ch tiêu ch t lư ng J có
d ng :
T
J = ∫ 1dt = T
0
• Bài toán năng su t t i ưu :
Năng su t ñây ñư c xác ñ nh b i góc quay l n nh t c a ñ ng cơ trong th i
gian T nh t ñ nh . Khi ñó ch tiêu ch t lư ng J có d ng :
T T
J = ∫ L[ x(t ), u (t ), t ]dt = ϕT − ϕ0 = ∫ ϕ (t )dt
&
0 0
Do ñó L[ x(t ), u (t ), t ] = ϕ (t ) = x(t ) và ta s có ch tiêu ch t lư ng J ñ i v i
& &
bài toán năng su t t i ưu như sau : T
J = ∫ x ( t )dt
&
0
Trang 128
Chương 2: ði u khi n t i ưu
• Bài toán năng lư ng t i thi u :
T n hao năng lư ng trong h th ng :
T
Q = ∫ U u iu dt
0
D a vào phương trình cân b ng ñi n áp :
U u = iu Ru + keω
dω
và phương trình cân b ng moment : k M iu − M c = M q
dt
Ta tính ñư c :
T T
ke M c
Q = ∫ U u iu dt = (ϕT − ϕ0 ) + ∫ Ru iu2 dt
kM
0 0
ð có ñư c tiêu hao năng lư ng t i thi u , ta ch c n tìm c c ti u c a J :
T T
J = ∫ L[ x(t ), u (t ), t ]dt = ∫ iu2 dt
0 0
Mà dòng ñi n ph n ng iu ñây chính là tín hi u ñi u khi n u . Vì v y ch
tiêu ch t lư ng J ñ i v i bài toán năng lư ng t i thi u có d ng :
T
J = ∫ u 2 (t )dt
0
3. T i ưu hoá tĩnh và ñ ng
Chúng ta c n phân bi t hai d ng bài toán t i ưu hoá tĩnh và t i ưu hóa ñ ng .
T i ưu hóa tĩnh là bài toán không ph thu c vào th i gian . Còn ñ i v i t i
ưu hóa ñ ng thì th i gian cũng là m t bi n mà chúng ta c n ph i xem xét
ñ n.
2.1.2 Xây d ng bài toán t i ưu
1. T i ưu hóa không có ñi u ki n ràng bu c
M t hàm ch tiêu ch t lư ng vô hư ng L ( u ) ñư c cho trư c là m t hàm
c a m t vector ñi u khi n hay m t vector quy t ñ nh u ∈ R m . Chúng ta c n
ch n giá tr c a u sao cho L(u) ñ t giá tr nh nh t .
ð gi i bài toán t i ưu , ta vi t chu i Taylor m r ng cho ñ bi n thiên c a
L(u) như sau :
1
dL = LT du + du T Luu du + O(3) (2.1)
u
2
V i O(3) là s h ng th 3. Grad c a L theo u là m t vector m c t :
Trang 129
Chương 2: ði u khi n t i ưu
∂L / ∂u1
∂L ∂L / ∂u 2
∆
(2.2)
=
Lu
∂u
M
∂L / ∂u m
và ñ o hàm c p 2 c a L theo u là m t ma tr n m x m ( còn g i là ma tr n
Hessian ) :
∂2L
2
∆∂ L
= (2.3)
Luu
∂u 2 ∂u i ∂ u j
Luu ñư c g i là ma tr n u n .
M t ñi m c c tr ho c ñi m d ng xu t hi n khi s bi n thiên dL v i thành
ph n th nh t ti n v 0 v i m i bi n thiên du trong quá trình ñi u khi n . Vì
v y , ñ có ñi m c c tr thì :
Lu = 0 (2.4)
Gi s ñang t i ñi m c c tr , có Lu = 0 như (2.4) . ð ñi m c c tr tr
thành ñi m c c ti u , chúng ta c n có :
1
dL = du T Luu du + O(3) (2.5)
2
là xác ñ nh dương v i m i s bi n thiên du . ði u này ñư c ñ m b o n u ma
tr n u n Luu là xác ñ nh dương :
Luu > 0 (2.6)
N u Luu là xác ñ nh âm thì ñi m c c tr chính là ñi m c c ñ i ; còn n u Luu
là không xác ñ nh thì ñi m c c tr chính là ñi m yên ng a . N u Luu là bán
xác ñ nh thì chúng ta s xét ñ n thành ph n b c cao hơn trong (2.1) ñ xác
ñ nh ñư c lo i c a ñi m c c tr .
Nh c l i : Luu là xác ñ nh dương ( ho c âm ) n u như các giá tr riêng c a nó
là dương ( ho c âm ) , không xác ñ nh n u các giá tr riêng c a nó v a có
dương v a có âm nhưng khác 0 , và s là bán xác ñ nh n u t n t i giá tr
riêng b ng 0 . Vì th n u Luu = 0 , thì thành ph n th hai s không hoàn
toàn ch ra ñư c lo i c a ñi m c c tr .
2. T i ưu hóa v i các ñi u ki n ràng bu c
Cho hàm ch tiêu ch t lư ng vô hư ng L( x, u ) , v i vector ñi u khi n
u ∈ R m và vector tr ng thái x ∈ R n . Bài toán ñưa ra là ch n u sao cho hàm
Trang 130
Chương 2: ði u khi n t i ưu
ch tiêu ch t lư ng L(x,u) ñ t giá tr nh nh t và th a mãn ñ ng th i các
phương trình ñi u ki n ràng bu c .
f ( x, u ) = 0 (2.7)
Vector tr ng thái x ñư c xác ñ nh t m t giá tr u cho trư c b ng m i quan
h (2.7) , vì th f là m t h g m n phương trình vô hư ng , f ∈ R n .
ð tìm ñi u ki n c n và ñ c a giá tr c c ti u , ñ ng th i th a mãn
f ( x, u ) = 0 , ta c n làm chính xác như trong ph n trư c . ð u tiên ta khai
tri n dL dư i d ng chu i Taylor , sau ñó xác ñ nh s h ng th nh t và th
hai là Lu & Luu.
Th a s Lagrange và hàm Hamilton .
T i ñi m c c tr , dL v i giá tr th nh t b ng 0 v i m i s bi n thiên c a
du khi df b ng 0 . Như v y chúng ta c n có:
(2.8)
dL = LT du + LT dx = 0
u x
df = f u du + f x dx = 0 (2.9)
T (2.7) ta xác ñ nh ñư c x t giá tr u ñã có, ñ bi n thiên dx ñư c xác ñ nh
b i (2.9) t giá tr bi n thiên du v i ñi u ki n ma tr n Jacobi là không kỳ d
f x ≠ 0 . Như v y , ma tr n Jacobi fx không kỳ d và :
dx = − f x−1 f u du (2.10)
Thay dx vào (2.8) ta ñư c :
dL = ( LT − LT f x−1 f u )du (2.11)
u x
ð o hàm riêng c a L theo u ch a h ng s f ñư c cho b i phương trình :
∂L
( )
T
= LT − LT f x−1 f u = Lu − f uT f x−T L x (2.12)
u x
∂u df =0
v i f x−T = ( f x−1 ) . Lưu ý r ng :
T
∂L
(2.13)
= Lu
∂u dx =0
ð thành ph n th nh t c a dL b ng không v i giá tr du tùy ý khi df = 0 ,
ta c n có :
(2.14)
Lu − f uT f x−T L x = 0
ðây là ñi u ki n c n ñ có giá tr c c ti u . Trư c khi ñi tìm ñi u ki n ñ ,
chúng ta hãy xem xét thêm m t vài phương pháp ñ có ñư c (2.14) .
Vi t (2.8) và (2.9) dư i d ng:
dL LT LT dx
= 0 (2.15)
x u
df =
f x f u du
Trang 131
Chương 2: ði u khi n t i ưu
H phương trình tuy n tính này xác ñ nh m t ñi m d ng , và ph i có m t
[ ]T
k t qu dx T du T . ði u này ch x y ra n u ma tr n h s (n + 1) × (n + m )
có h ng nh hơn n+1 . Có nghĩa là các hàng c a ma tr n tuy n tính v i nhau
ñ t n t i m t vector λ có n s h ng như sau:
T L LT
T
[ ]
1 λ . x =0 (2.16)
u
f x fu
Hay:
(2.17)
LT + λT f x = 0
x
(2.18)
LT + λT f u = 0
u
Gi i (2.17) ta ñư c λ :
λT = − LT f x−1 (2.19)
x
và thay vào (2.18) ñ có ñư c (2.14) .
Vector λ ∈ R n ñư c g i là th a s Lagrange , và nó s là công c h u ích
cho chúng ta sau này . ð hi u thêm ý nghĩa c a th a s Lagrange ta xét du
= 0 , t (2.8) và (2.9) ta kh dx ñ ñư c :
dL = LT f x−1df (2.20)
x
Vì v y:
∂L
= (LT f x−1 ) = −λ
T
(2.21)
x
∂f du =0
Do ñó -λ là ñ o hàm riêng c a L v i bi n ñi u khi n u là h ng s . ði u này
nói lên tác d ng c a hàm ch tiêu ch t lư ng v i bi n ñi u khi n không ñ i
khi ñi u ki n ràng bu c thay ñ i .
Như là m t cách th ba ñ tìm ñư c (2.14), ta phát tri n thêm ñ s d ng
cho các phân tích trong nh ng ph n sau. K t h p ñi u ki n ràng bu c và
hàm ch tiêu ch t lư ng ñ thành l p hàm Hamilton .
H ( x, u, λ ) = L( x, u ) + λT f ( x, u ) (2.22)
V i λ ∈ R là th a s Lagrange chưa xác ñ nh . Mu n ch n x , u , λ ñ có
n
ñư c ñi m d ng , ta ti n hành các bư c sau .
ð bi n thiên c a H theo các ñ bi n thiên c a x , u , λ ñư c vi t như sau :
(2.23)
T T T
dH = H x dx + H u du + H λ dλ
∂H
Lưu ý r ng : = f ( x, u ) (2.24)
Hλ =
∂λ
Gi s chúng ta ch n các giá tr c a u th a mãn:
Hλ = 0 (2.25)
Trang 132
Chương 2: ði u khi n t i ưu
Sau ñó ta xác ñ nh x v i giá tr c a u ñã có b ng phương trình ñi u ki n ràng
bu c f ( x, u ) = 0 . Trong trư ng h p này hàm Hamilton tương ñương v i
hàm ch tiêu ch t lư ng:
(2.26)
H f =0 = L
Nh c l i : n u f = 0 , ta s tìm ñư c dx theo du t (2.10) . Ta không nên xét
m i quan h gi a du và dx ñ thu n ti n trong vi c ch n λ sao cho :
Hx = 0 (2.27)
ð o hàm (2.22) theo x:
∂H
= L x + f xT λ = 0 (2.28)
∂x
hay λT = − LT f x−1 .
x
N u gi nguyên (2.25) và (2.27) t (2.23):
(2.29)
T
dL = dH = H u du
Vì H = L, ñ có ñư c ñi m d ng ta ph i áp ñ t ñi u ki n:
Hu = 0 (2.30)
Tóm l i , ñi u ki n c n ñ có ñư c ñi m c c ti u c a L(x,u) th a mãn ñi u
ki n ràng bu c f(x,u) = 0 g m có :
∂H
= f =0 (2.31a)
∂λ
∂H
= L x + f xT λ = 0 (2.31b)
∂x
∂H
= Lu + f uT λ = 0 (2.31c)
∂u
V i H ( x, u, λ ) xác ñ nh b i (2.22) . Cách thư ng dùng là t 3 phương trình
ñã cho xác ñ nh x , λ , và u theo th t tương ng . So sánh 2 phương trình
(2.31b) và (2.31c) ta th y chúng tương ng v i 2 phương trình (2.17) và
(2.18) .
Trong nhi u ng d ng , chúng ta không quan tâm ñ n giá tr c a λ , tuy
nhiên ta v n ph i ñi tìm giá tr c a nó vì ñó là m t bi n trung gian cho phép
chúng ta xác ñ nh các ñ i lư ng c n tìm là u , x và giá tr nh nh t c a L .
Ưu ñi m c a th a s Lagrange có th tóm t t như sau : trên th c t , hai ñ i
lư ng dx và du không ph i là hai ñ i lư ng bi n thiên ñ c l p v i nhau ,
theo (2.10) . B ng cách ñưa ra m t th a s b t ñ nh λ , chúng ta ch n λ sao
cho dx và du có th ñư c xem là hai ñ i lư ng bi n thiên ñ c l p v i nhau .
L y ñ o hàm riêng c a H l n lư t theo các bi n như trong (2.31) , như th ta
s có ñư c ñi m d ng .
Trang 133
Chương 2: ði u khi n t i ưu
Khi ñưa ra th a s Lagrange , chúng ta có th thay th bài toán tìm giá tr
nh nh t c a L(x,u) v i ñi u ki n ràng bu c f(x,u) = 0 , thành bài toán tìm
giá tr nh nh t c a hàm Hamilton H(x,u,λ) không có ñi u ki n ràng bu c .
ði u ki n ñã (2.31) xác ñ nh m t ñi m d ng . Ta s ti p t c ch ng minh ñây
là ñi m c c ti u như ñã th c hi n trong ph n trư c .
Vi t chu i Taylor m r ng cho ñ bi n thiên c a L và f như sau :
L L xu dx
dx 1
[ ] [ ]
dL = LT LT + dx T du T xx + O(3) (2.32)
x u
du 2 Lux Luu du
f f xu dx
dx 1
[ ]
df = [ f x f u ] + dx T du T xx + O(3) (2.33)
f uu du
du 2 f ux
V i:
∂2 f ∆
f xu =
∂u∂x
ð ñưa ra hàm Hamilton , ta s d ng các phương trình sau :
H
H xu dx
dL T dx 1
[1 λT ] [ ] [ ]
du T xx + O(3)
T
H u + dx T
= Hx H uu du
du 2 H ux
df
(2.34)
Bây gi , ñ có ñư c ñi m d ng ta c n có f = 0 , và ñ ng th i thành ph n
th nh t c a dL b ng 0 v i m i s bi n thiên c a dx và du . Vì f = 0
nên df = 0 , và ñi u này ñòi h i H x = 0 và H u = 0 như trong (2.31) .
ð tìm ñi u ki n ñ cho ñi m c c ti u , chúng ta xét ñ n thành ph n th hai .
ð u tiên , ta c n xem m i quan h gi a dx và du trong (2.34) . Gi s r ng
chúng ta ñang ñi m c c tr nên H x = 0 , H u = 0 và df = 0 . T (2.10)
suy ra:
dx = − f x−1 f u du + O(2) (2.35)
Thay vào (2.34) ta ñư c :
H xu − f x−1 f u
H
1
[ ]
dL = du T − f uT f x−T I xx du + O(3) (2.36)
2 H ux H uu I
ð ñ m b o ñây là ñi m c c ti u , dL trong (2.36) ph i dương v i m i s
bi n thiên c a du . ði u này ñư c ñ m b o n u như ma tr n u n v i f luôn
b ng 0 là xác ñ nh dương .
H xu − f x−1 f u
H
∆
[ ]
Luu = Luu f = − f uT f x−T I xx
f
(2.37)
H ux H uu I
= H uu − f uT f x−T H xu − H ux f x−1 f u + f uT f x−T H xx f x−1 f u
Trang 134
Chương 2: ði u khi n t i ưu
Lưu ý r ng n u ñi u ki n ràng bu c f ( x, u ) = 0 v i m i x và u thì (2.37)
ñư c rút l i thành Luu phương trình (2.3) .
N u (2.37) là xác ñ nh âm ( ho c không xác ñ nh ) thì ñi m d ng s là ñi m
c c ñ i ( ho c ñi m yên ng a ) .
2.1.3 Ví d
T i ưu hóa không có ñi u ki n ràng bu c
Ví d 2.1 : Không gian toàn phương .
Cho u ∈ R 2 và :
1 q q12
u + [s1 s 2 ]u
L(u ) = u T 11 (1)
2 q12 q 22
∆1
(2)
= u T Qu + S T u
2
ði m c c tr ñư c xác ñ nh b i :
Lu = Qu + S = 0 (3)
u ∗ = −Q −1 S (4)
v i u* dùng ñ ch bi n ñi u khi n t i ưu.
Lo i c a ñi m c c tr ñư c xác ñ nh b ng cách xét ma tr n hessian
(5)
Luu = Q
2
ði m u* là c c ti u n u Luu > 0 ( q11 > 0 và q11 q 22 − q12 > 0 ) . Là ñi m c c
2
ñ i n u Luu < 0 ( q11 < 0 và q11 q 22 − q12 > 0 ) . N u Q < 0 , thì u* là ñi m
yên ng a . N u Q = 0 , thì u* là ñi m kỳ d , chúng ta không th xác ñ nh
ñư c ñó là c c ti u hay c c ñ i t Luu .
B ng cách thay (4) vào (2) ta s tìm ñư c giá tr c a hàm ch tiêu ch t lư ng
như sau :
1 1
∆
L* = L(u * ) = S T Q −1QQ −1 S − S T Q −1 S = − S T Q −1 S (6)
2 2
Gi s cho L như sau:
1 T 1 1
u + [0 1]u (7)
L= u
2 1 2
Khi ñó giá tr u t i ưu s là:
2 − 1 0 1
u * = − (8)
=
1 1 1 − 1
Trang 135
Chương 2: ði u khi n t i ưu
là m t c c ti u , vì Luu > 0 . T (6) giá tr nh nh t c a L là L* = -1/2 .
Các ñư ng ñ ng m c c a L(u) trong (7) ñư c v trong Hình 2.4 , v i u = [u1
u2]T . Các mũi tên là gradient .
u + u2
Lu = Qu + S = 1 (9)
u1 + 2u 2 + 1
Lưu ý r ng gradient luôn luôn vuông góc v i các ñư ng ñ ng m c và có
hư ng là hư ng tăng L(u) .
Chúng ta dùng d u “*” ñ ch giá tr t i ưu c a u và L c n tìm . Tuy nhiên ta
thư ng b qua d u “*” .
Hình 2.4 : Các ñư ng ñ ng m c và vector gradient .
Ví d 2.2 : T i ưu hóa b ng tính toán vô hư ng .
Ph n trên chúng ta ñã ñ c p phương pháp gi i bài toán t i ưu b ng cách s
d ng các vector và gradient . Sau ñây ta s ti p c n bài toán v i m t cách
nhìn khác , xem chúng như là nh ng ñ i lư ng vô hư ng .
ð ch ng minh , ta xét (7) d ng:
1
L(u1 , u 2 ) = u12 + u1u 2 + u 2 + u 2
2
(1)
2
V i u1 , u 2 là các ñ i lư ng vô hư ng . ði m c c tr xu t hi n khi ñ o hàm
riêng c a L theo t t c các ñ i s ph i b ng 0 :
∂L
= u1 + u 2 = 0 (2a)
∂u1
Trang 136
Chương 2: ði u khi n t i ưu
∂L
= u1 + 2u 2 + 1 = 0 (2b)
∂u 2
Gi i h phương trình trên ta ñư c : u1 = 1, u 2 = −1 (3)
V y , ñi m c c tr là (1 ,-1) .
Bi u th c (1) là m t d ng m r ng c a bi u th c (7) trong ví d 2.1 , như
v y chúng ta v a tìm ñư c m t k t qu tương t b ng m t cách khác .
T i ưu hóa có ñi u ki n ràng bu c
Ví d 2.3 : Không gian toàn phương v i ñi u ki n ràng bu c tuy n tính .
Gi s hàm ch tiêu ch t lư ng ñư c cho b i ví d 2.1 v i các ñ i lư ng vô
hư ng u1 , u 2 ñư c thay th b ng x, u :
1 1 x x
1
L( x, u ) = [x u ] u + [0 1]u (1)
1 2
2
V i ñi u ki n ràng bu c :
f ( x, u ) = x − 3 = 0 (2)
Hàm Hamilton s là :
1
H = L + λT f = x 2 + xu + u 2 + u + λ ( x − 3) (3)
2
v i λ là m t ñ i lư ng vô hư ng . ði u ki n ñ có ñi m d ng theo (2.31) là :
Hλ = x − 3 = 0 (4)
Hx = x +u + λ = 0 (5)
H u = x + 2u + 1 = 0 (6)
Gi i (4) , (5) , (6) ta ñư c : x = 3 , u = -2 , λ = -1 . ði m d ng là :
(x, u )∗ = (3,−2) (7)
ð xác ñ nh (7) là ñi m c c ti u , tìm ma tr n u n theo (2.3) :
Luu = 2 (8)
f
Luu >= 0 , vì th ( x, u ) = (3,−2 ) là ñi m c c ti u .
∗
f
Các ñư ng ñ ng m c c a L(x,u) và ñi u ki n ràng bu c (2) ñư c v trong
Hình 2.5 .
Grad c a f(x,u) trong h t a ñ (x,u) ñư c vi t như sau:
f x 1
(9)
f = 0
u
ñư c v trong Hình 2.5 . Và grad c a L(x,u) :
Trang 137
Chương 2: ði u khi n t i ưu
Lx x + u
(10)
L = x + 2u + 1
u
T i ñi m c c ti u (3,-2) , grad L(x,u) s có giá tr :
L x 1
(11)
L = 0
u
C n lưu ý r ng gradf và gradL tương ñương v i nhau t i ñi m d ng . Có
nghĩa là ñi m c c ti u xu t hi n khi ñi u ki n ràng bu c (2) là ñư ng ti p
tuy n c a các ñư ng ñ ng m c c a L. Di chuy n hư ng d c theo ñư ng
th ng f = 0 s làm tăng giá tr c a L .
Ta tìm ñư c giá tr c a L t i ñi m c c ti u b ng cách thay x = 3, u = -2 vào
(1) , ta ñư c L*=0,5 .
Vì λ = -1 , gi nguyên giá tr u = -2 , thay ñ i ñi u ki n ràng bu c df ( d ch
chuy n ñư ng th ng trong Hình 2.5 v phía ph i ) s làm tăng L(x,u) v i dL
= -λdf = df .
Ví d 2.4 : Hàm ch tiêu ch t lư ng d ng toàn phương v i ñi u ki n ràng
bu c tuy n tính - Trư ng h p vô hư ng .
Xét hàm ch tiêu ch t lư ng d ng toàn phương :
1 x2 y 2
L ( x, u ) = 2 + 2 (1)
2a b
V i ñi u ki n ràng bu c tuy n tính :
f ( x, u ) = x + mu − c (2)
2
Các ñư ng ñ ng m c c a L(x,u) là nh ng ellip; n u L(x,u) = l /2, thì bán
kính tr c chính và bán kính tr c ph là al và bl . ði u ki n ràng bu c f(x,u)
là m t h các ñư ng th ng ch a thông s c . Xem Hình 2.6 ( lưu ý r ng u là
bi n ñ c l p , v i x ñư c xác ñ nh b i f(x,u) = 0 ) .
Hàm Hamilton là :
1 x2 u2
H = 2 + 2 + λ ( x + mu − c) (3)
2a b
Và ñi u ki n ñ có ñi m d ng :
H λ = x + mu − c = 0 (4)
x
Hx = 2 + λ = 0 (5)
a
u
H u = 2 + λm = 0 (6)
b
Trang 138
Chương 2: ði u khi n t i ưu
Hình2.5 : Các ñư ng ñ ng m c c a L(x,u) và ñi u ki n ràng bu c f(x,u) .
Hình 2.6 : Các ñư ng ñ ng m c c a L(x,u) và ñi u ki n ràng bu c f(x,u).
ð gi i h phương trình này , trư c h t ta s d ng phương trình (6) ñ ñưa
ra bi n ñi u khi n t i ưu theo th a s Lagrange .
u = −b 2 mλ (7)
Bây gi thay phương trình (7) vào (4) ñ kh u , k t h p v i (5) và ñư c
vi t l i :
1 − b 2 m 2 x c
1 (8)
=
1 λ 0
2
a
Gi i ra ta ñư c giá tr c a ñi m d ng :
a 2c
(9)
x= 2
a + b2m2
Trang 139
Chương 2: ði u khi n t i ưu
c
(10)
λ=−
a + b2m2
2
Thay (9) , (10) vào (7) , ta có ñư c giá tr u t i ưu :
b 2 mc
(11)
u= 2
a + b2m2
ð xác ñ nh ñi m d ng là c c ti u , dùng (2.37) ñ tìm ra ma tr n u n :
1 m2
(12)
f
Luu = 2 + 2
b a
Luu > 0 vì v y ta tìm ñư c m t ñi m c c ti u .
f
Thay (9) và (11) vào (1) ta ñư c giá tr t i ưu c a hàm ch tiêu ch t lư ng :
c2
1
L* = (13)
2 a2 + b2m2
ð ki m ch ng (2.21) , lưu ý r ng:
∂L* ∂L*
(14)
= −λ
=
∂f du =0 ∂c
Gradf trong mi n (u,x) là :
f u m
(15)
f = 1
x
ñư c bi u di n trong Hình 2.6 . GradL là :
u
Lu b 2
(16)
L = x
x
a2
và t i ñi m d ng (11) , (9) s có giá tr :
*
Lu m c
(17)
L = 1 2 2 2
a +b m
x
ði u này tương ng v i (15) , vì v y ñi m d ng xu t hi n khi f(x,u) = 0 là
ñư ng ti p tuy n v i m t ñư ng ñ ng m c c a L(x,u) .
Ví d 2.5 : Hàm ch tiêu ch t lư ng d ng toàn phương v i ñi u ki n ràng
bu c tuy n tính .
Bây gi ta t ng quát hóa ví d 2.4 v i vector x ∈ R n , u ∈ R m , f ∈ R n ,
λ ∈ Rn .
Xét hàm ch tiêu ch t lư ng d ng toàn phương:
Trang 140
Chương 2: ði u khi n t i ưu
1T 1
(1)
x Qx + u T Ru
L=
2 2
v i ñi u ki n ràng bu c tuy n tính :
(2)
f = x + Bu + c = 0
v i Q , R và B là các ma tr n , c là vector n hàng . Gi s Q ≥ 0 và R > 0
( v i Q , R là ma tr n ñ i x ng ) . Các ñư ng ñ ng m c c a L(x,u) là các
ñư ng ellip trong không gian , và f(x,u)=0 là m t ph ng c t ngang qua
chúng . ði m d ng xu t hi n khi gradf và gradL song song v i nhau .
Hàm Hamilton là :
1 1
H = x T Qx + u T Ru + λT ( x + Bu + c) (3)
2 2
và các ñi u ki n ñ có ñi m d ng là :
H λ = x + Bu + c = 0 (4)
H x = Qx + λ = 0 (5)
H u = Ru + B λ = 0 (6)
T
ð gi i các phương trình trên , ñ u tiên ta dùng ñi u ki n (6) ñ tìm u theo
λ:
u = − R −1 B T λ (7)
T (5) ta có :
(8)
λ = −Qx
K t h p v i (4) ta ñư c :
(9)
λ = QBu + Qc
dùng k t qu này thay vào (7) cho ta :
u = − R −1 B T (QBu + Qc) (10)
( )
hay : −1 T −1 T
I + R B QB u = − R B Qc
(R + B QB )u = − B (11)
T T
Qc
T T
Vì R > 0 và B QB ≥ 0 , chúng ta có th tìm ngh ch ñ o c a (R + B QB) và vì
th giá tr u t i ưu là :
u = −( R + B T QB) −1 B T Qc (12)
So sánh k t qu này v i (11) trong ví d 2.4 .
Thay (12) vào (4) và (9) cho ta giá tr tr ng thái t i ưu và th a s Lagrange
t i ưu :
)
( −1
( ) (13)
x = − I − B R + BT QB BT Q c
B Q) c
( −1
λ = Q − QB ( R + BT QB ) (14)
T
B ng b ñ c a ngh ch ñ o ma tr n :
Trang 141
Chương 2: ði u khi n t i ưu
λ = (Q −1 + BR −1 B T ) c
−1
(15)
n u Q ≠ 0 . Các k t qu trên s rút l i thành k t qu c a ví d 2.4 trong
trư ng h p vô hư ng .
ð xác ñ nh bi n ñi u khi n (12) là m t c c ti u , ta s d ng (2.37) ñ xác
ñ nh ma tr n u n là xác ñ nh dương v i giá tr c a R và Q ñư c gi i h n .
(16)
Luu = R + B T QB
f
S d ng (12) và (13) th vào (1) ta có ñư c giá tr t i ưu :
[ ]
1
( )
−1
L* = c T Q − QB R + B T QB B T Q c (17)
2
1
L* = c T λ (18)
2
∂L *
(19)
=λ
Vì th :
∂c
Ví d 2.6 : Bài toán v i nhi u ñi u ki n ràng bu c .
Tìm kho ng cách nh nh t gi a parabol :
y = ax 2 + bx + d (1)
v i ñư ng th ng :
(2)
y = x+c
Xem Hình 2.7 .
Trong bài toán này s có hai ñi u ki n ràng bu c :
f1 ( x1 , y1 ) = y1 − ax12 − bx1 − d = 0 (3)
f 2 ( x2 , y 2 ) = y 2 − x2 − c = 0
Và : (4)
v i ( x1 , y1 ) là 1 ñi m trên parabol và ( x 2 , y 2 ) là 1 ñi m trên ñư ng th ng .
Chúng ta ch n hàm ch tiêu ch t lư ng là m t n a c a bình phương kho ng
cách gi a 2 ñi m này .
1 1
L( x1 , x 2 , y1 , y 2 ) = ( x1 − x 2 ) 2 + ( y1 − y 2 ) 2 (5)
2 2
ð gi i bài toán này , ta x lý b ng cách ñ t :
∆ f ∆ x ∆y
f = 1 , x = 1 , u = 1 (6)
f2 x2 y2
và s d ng cách ti p c n vector ; tuy nhiên , s k t h p gi a m t ñi u ki n
ràng bu c tuy n tính và m t ñi u ki n phi tuy n s làm ph c t p thêm bài
toán . Thay vào ñó ta s s d ng các ñ i lư ng vô hư ng .
Trang 142
Chương 2: ði u khi n t i ưu
Hình 2.7 : Bài toán v i nhi u ñi u ki n ràng bu c .
ðưa ra m t th a s Lagrange cho m i ñi u ki n ràng bu c , hàm Hamilton
là :
1 1
H = ( x1 − x 2 ) 2 + ( y1 − y 2 ) 2 + λ1 ( y1 − ax12 − bx1 − d ) + λ 2 ( y 2 − x 2 − c) (7)
2 2
Khi ñó , ñ có ñi m d ng ta c n có :
H x1 = x1 − x 2 − 2aλ1 x1 − bλ1 = 0 (8)
H x2 = − x1 + x2 − λ2 = 0 (9)
H y1 = y1 − y 2 + λ1 = 0 (10)
H y2 = − y1 + y 2 + λ2 = 0 (11)
H λ1 = y1 − ax12 − bx1 − d = 0 (12)
H λ2 = y 2 − x2 − c = 0 (13)
Gi i (12) ñ có ñư c y1 như sau :
y1 = ax12 + bx1 + d (14)
T (9) và (11) , ta có :
(15)
λ2 = x 2 − x1 = y1 − y 2
và s d ng (14) v i y 2 = x 2 + c t (13) có ñư c k t qu sau :
Trang 143
Chương 2: ði u khi n t i ưu
x 2 − x1 = ax12 + bx1 + d − x 2 − c (16)
Khi ñó :
1
( )
ax12 + (b + 1) x1 + d − c (17)
x2 =
2
Theo (10) và (11) , λ1 = -λ2 , v y t (15) và (17) ta có :
λ1 = x1 − x 2
1
( )
λ1 = − ax12 + (b − 1) x1 + d − c (18)
2
Cu i cùng , chú ý r ng (8) là :
(2ax1 + (b − 1))λ1 = 0 (19)
hay :
( )
(2ax1 + (b − 1)) ax12 + (b − 1) x1 + d − c = 0 (20)
*
Phương trình b c 3 (20) ñư c gi i ñ có giá tr t i ưu x1 t giá tr a, b, c, d
cho trư c . N u ñư ng th ng c t ngang qua parabol thì giao ñi m s là k t
qu t i ưu ( khi ñó λ1=λ2=0 ) ; ngư c l i , s có ch m t c p g n nhau nh t
(x1,x2) , (y1,y2) . M t khi tìm ñư c x1 thì ta s tìm ñư c x2 , y1 và y2 l n lư t
theo các phương trình (17) , (14) và (15) . Thay các giá tr t i ưu này vào (5)
s cho chúng ta kho ng cách ng n nh t là 2 L * .
Ví d 2.7 :
Moät con taøu ñang di chuyeån vôùi vaän toác 10 haûi lyù
moät giôø theo phöông hôïp vôùi phöông baéc moät goùc
30o (laáy theo chieàu kim ñoàng hoà) ñeå ñeán moät hoøn
ñaûo. Giaû söû raèng taïi thôøi ñieåm t = 0, con taøu ñang ôû vò
trí caùch hoøn ñaûo 30 haûi lyù veà phía Baéc vaø 20 haûi lyù
veà phía ñoâng (töùc laø con taøu leäch khoûi phöông di
chuyeån ban ñaàu). Baøi toaùn ñaët ra laø xaùc ñònh ñieåm
gaàn nhaát treân phöông di chuyeån ban ñaàu maø con taøu
caàn trôû veà ñeå ñi tôùi hoøn ñaûo. Tìm khoaûng caùch töø hoøn
ñaûo ñeán ñieåm gaàn nhaát vaø thôøi gian ñeán ñöôïc ñieåm ñoù.
G i i:
N
Caùch 1: giaûi baèng phöông phaùp hình hoïc:
My M
30
Trong ∆ MMxO:
MM x 30
= 1.5 ⇒ ∠MOM x = 56.30 300
tg∠MOM x = =
OM x 20
OM = MM x + OM x = 20 2 + 30 2 = 36.0555
2 2
Mx
O 20
Trang 144
