KHẢO SÁT HÀM SỐ và bài toán liên quan
Trong toán học, khái niệm hàm số (函數) (hay hàm) được hiểu tương tự như khái niệm ánh xạ. Nếu như ánh xạ được định nghĩa là một qui tắc tương ứng áp dụng lên hai tập hợp bất kỳ (còn được gọi là tập nguồn và tập đích), mà trong đó mỗi phần tử của tập hợp này (tập hợp nguồn) tương ứng với một và chỉ một phần tử thuộc tập hợp kia (tập hợp đích), thì ta hoàn toàn có thể coi hàm số là một trường hợp đặc biệt của ánh xạ, khi tập nguồn và...
x2 − x +1
Bài 1. Cho hàm số y = (C)
x −1
a) Khảo sát hàm số.
b) Tìm những điểm M trên đồ thị sao cho tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm
cận là nhỏ nhất.
x 2 + 4x + 5
Bài 14. Cho hàm số : y = (C)
x+2
a) Khảo sát hàm số.
b) Tìm các điểm trên đồ thị (C) sao cho khoảng cách từ điểm đó đến đường thẳng
∆ : y + 3x + 6 = 0 là nhỏ nhất.
(x − 2) 2
Bài 18. Cho hàm số y = (C)
x −1
a) Khảo sát hàm số trên.
b) Gọi d là đường thẳng đi qua I(–1 ; 0) có hệ số góc k. Biện luận theo k số nghiệm của
đường thẳng d và đồ thị (C).
c) Gọi M0(x0 ; y0) là một điểm bất kỳ thuộc (C). Chứng minh rằng tích khoảng cách từ
M đến hai tiệm cận của (C) luôn bằng hằng số.
x2
Bài . Cho hàm số y =
x −1
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.
b) Viết phương trình parabol đi qua hai điểm cực đại, cực tiểu và tiếp xúc với đường
1
thẳng y = −
2
c) Tìm hai điểm A, B thuộc hai nhánh khác nhau của đồ thị để khoảng cách giữa chúng
là nhỏ nhất.
x 2 + 3x + 3
Bài 4. Cho hàm số y = (C)
x +1
a) Khảo sát hàm số.
b) Tìm hai điểm A, B thuộc hai nhánh khác nhau của (C) sao cho độ dài của đoạn
AB ngắn nhất.
Cho hàm số : y = x 3 − 3x 2 + 2 (C) .
1.
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm uốn .
c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) vuông góc với (d) : y = x / 3
d) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua A(0;3) ,B(1;0) ; C(-1;2)
e) Tìm a để Phương trình x 3 − 3x 2 − a = 0 có 3 nghiệm phân biệt trong đó có 2 nghiệm lớn
hơn 1
Cho hàm số : y = x 3 − 3mx 2 + 3(2m − 1)x + 1 (C m ) .
2.
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) khi m = 1 . ( y = x 3 − 3x 2 + 3x + 1 )
b) Tìm m để hàm số đồng biến trên tập xác định .
c) Tìm m để hàm số có cực trị. Tính toạ độ của điểm cực tiểu .
2’ Cho hàm số : y = x 3 − 4 x 2 + 4 x (C) .
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
b) Phương trình tiếp tuyến của (C) tại gốc toạ độ cắt (C) tại A.
Tính toạ độ điểm A.
c) Biện luận theo k vị trí tương đối của (C) và (d) : y = kx
Cho hàm số : y = x(3 − x)2 (C) .
3.
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C),0x và x = 2 x = 4
c) Đường thẳng (d) đi qua gốc toạ độ 0 có hệ số góc k.Tìm k để (d) cắt (C) tại 3 điểm
phân biệt .Gọi 3 điểm phân biệt lần lượt là O,A,B. Tìm tập hợp trung điểm I của đoạn
AB khi m thay đổi.
Cho hàm số : y = x 3 − 3x 2 + 3mx + 3m + 4 (C m ) .
4.
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 0 .
b) Tìm m để hàm số có cực trị .
c) Tìm m để hàm số nhận I(1;2) làm điểm uốn.
d) Tìm m để hàm số đạt cực đại tại x = 1 .
e) Tìm m để (C m ) tiếp xúc với trục hoành.
f) Tìm điểm cố đinh của (C m ) khi m thay đổi.
. Cho hàm số : y = x 3 + 3x 2 + mx + m − 2 (C m )
5.
Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 3 .
a)
Gọi A là giao điểm của (C) và trục tung. Viết phương trình tiếp tuyến của (C)
b)
tại A.
Tìm m để (C m ) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt.
c)
Tìm điểm cố đinh của (C m ) khi m thay đổi.
d)
ho hàm số : y = x 3 + (m − 1)x 2 − (2m + 1)x − 2 (C m ) .
6.
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = −1 .
b) Tìm m để hàm số có cực trị .
c) Tìm m để (C m ) tiếp xúc với trục hoành .
d) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua A(8/5;-2).
ho hàm số : y = x 3 + 3mx 2 + 3(m 2 − 1)x + m (C m ) .
6.
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1 .
b) Tìm m để hàm số có cực tiểu tại x = 2 .
c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua A(0;6).Tìm toạ độ tiếp điểm.
ho hàm số : y = x 3 − (2m + 1)x 2 + (6m − 5)x − 3 (C m ) .
7.
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 2.
b) Tìm m để (C m ) tiếp xúc với trục hoành.
c) Tìm điểm cố đinh của (C m ) khi m thay đổi.
8. Cho hàm số : y = x 3 − 3x 2 − 9 x + m (C m ) .
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 0.
b) Chứng minh rằng hàm số luôn luôn có cực trị .Viết phương trình đường thẳng đi qua
2 điểm cực trị.
c) Tìm m để (C m ) cắt trục hoành tại 3 điểm cách đều nhau.
9. . Cho hàm số : y = ax 3 + bx 2 + 2
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C) khi a = 1 ; b = −3 .
b) Tìm a và b để đồ thị hàm số nhận I(1;0) là điểm uốn.
c) Lập phương trình tiếp tuyến của (C) song song với (d) : 9 x − y − 1 = 0 .Tìm toạ độ
tiếpđiểm.
10. Cho hàm số : y = x 3 − mx 2 + mx − 1 (C m ) .
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = −1 .
b) Tìm m để hàm số có cực trị .
c) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) , trục tung và tiếp tuyến tại điểm
A(1;0).
d) Chứng tỏ tiếp tuyến (C m ) tại điểm uốn có hệ số góc k ≤ 3 / 4 .
11. Cho hàm số : y = x 3 − (m + 3)x 2 + 3x + 4 (C m ) .
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C ) của hàm số khi m = −3 .
b) Tìm m để hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu. Khi đó viết phương trình
đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị .
C
.
Bài 12
a) Khảo sát hàm số y = –x3 + 3x + 1
b) Dựa vào đồ thị (C) của hàm số, biện luận theo m số nghiệm của ph ương
trình
x3 – 3x + m – 2 = 0.
c) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến đó song song với
đường thẳng y = –9x + 4.
mx− 1
Bài 13. Cho hàm số y = 2x + m , m là tham số.
a) Khảo sát hàm số khi m = 2
b) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, hàm số luôn đồng biến trên m ỗi
khoảng xác định của nó.
c) Xác định m để đường tiệm cận đứng của đồ thị đi qua A(-1; 2 ).
2x2 + (6 − m)x + 4
Bài 14. Cho hàm số y = có đồ thị là (Cm), m là tham số.
mx+ 2
a) Khảo sát hàm số khi m = 1
b) Với gi trị no của m thì (Cm) đi qua điểm (-1; 1)?
Bài 15
a) Khảo sát hàm số y = x3 + 3x2 + 1. Gọi (C) là đồ thị hàm số đ cho.
b) Dựa vào (C), biện luận theo m số nghiệm của phương trình x3 + 3x2 + m = 0.
c) Từ gốc tọa độ có thể vẽ được bao nhiêu tiếp tuy ến với đồ th ị (C). Viết
phương trình cc tiếp tuyến đó.
Bài 16
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số y = x3 – 3x2 + 2.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ bằng 1.
c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đó đi qua điểm A(0; 3).
Bài 17. Cho hàm số y = x3 – 3(m + 1)x2 + 3 (2m + 1)x + 1, m là tham số.
a) Khảo sát hàm số khi m = 0.
b) Xác định m để hàm số luôn luôn đồng biến.
c) Xác định m để hàm số có một cực đại và một cực tiểu. Tìm t ọa độ đi ểm c ực
tiểu.
Bài 18
14 3
x − 3x2 + .
a) Khảo sát hàm số y =
2 2
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại các điểm uốn.
c) Tìm phương trình ti ếp tuy ến c ủa đ ồ th ị hàm s ố bi ết ti ếp tuy ến đó đi qua
3
điểm A(0; ).
2
Bài 19. Cho hàm số y = – x 4 – 2mx2 + 2m + 1 có đồ th ị là (C m), m là tham số.
a) Biện luận theo m s ố cực trị hàm s ố.
b) Khảo sát hàm số khi m = –5.
c) Xác định m sao cho (C m) cắt trục hoành tại b ốn đi ểm phân bi ệt.
Bài 20
3x + 2
a) Khảo sát hàm số y = có đồ thị là (C).
x+ 2
b) Tìm cc điểm trên đ ồ th ị (C) có t ọa đ ộ là nh ững s ố nguyên.
Bài 21
x+ 3
a) Khảo sát hàm số y = có đồ thị là (C).
x +1
b) Chứng minh rằng đường th ẳng y = 2x + m luôn luôn c ắt (C) t ại hai đi ểm
phân biệt M và N.
c) Xác định m để độ dài đo ạn MN nh ỏ nh ất.
d) Tiếp tuyến tại một đi ểm I bất kỳ c ủa (C) c ắt hai đ ường ti ệm c ận c ủa đ ồ th ị
(C) tại hai điểm P và (Q). Ch ứng minh I là trung đi ểm c ủa PQ.
Bài 22
1
a) Khảo sát hàm số y = x – có đồ thị là (C).
x +1
b) Xác định tâm đối xứng c ủa đ ồ th ị (C).
x2 − mx− 2m− 1
Bài 23. Cho hàm số y = có đồ thị là (Cm), m là tham s ố.
− x+1
a) Khảo sát hàm số khi m = –1 .
b) Xác định m sao cho hàm s ố có c ực tr ị và ti ệm xiên c ủa (C m) đi qua gốc t ọa
độ.
13
x + mx2 − (2m + 1)x + m+ 2 có đồ thị là (C m), m là tham s ố.
Bài 24. Cho hàm số y =
3
a) Tìm cc điểm cố đ ịnh c ủa (C m) khi m thay đổi.
b) Xác định m để hàm số có hai đi ểm c ực tr ị v ới hoành đ ộ d ương.
c) Khảo sát hàm số khi m = –2.
44
d) Viết phươ ng trình cc ti ếp tuy ến c ủa (C -2) đi qua đi ểm A( ; ).
99
Bài 25.
a) Khảo sát hàm số y = x 4 – 4x3 + 4x2. Gọi (C) là đồ th ị c ủa nó.
b) Tìm giao điểm của (C) v ới đ ường th ẳng y = 1.
c) Xác định m để ph ương trình: x 4 – 4x3 + 4x2 = m2 – 2m có 4 nghi ệm phân bi ệt.
Bài 26.
x2 + x − 1
a) Khảo sát hàm số y = . Gọi đồ thị của nó là (C).
x −1
b) Tính diện tích của hình ph ẳng gi ới h ạn b ởi (C), đ ường ti ệm c ận xiên c ủa
(C) và hai đường th ẳng x = 2, x = 3.
x2 − 2 kx + k 2 + 1
Bài 27. Cho hàm số y = (với tham số k)
x− k
a) Khảo sát sự biến thiên và v ẽ đ ồ th ị (C) c ủa hàm s ố khi k = 1.
b) Viết phương trình tiếp tuy ến c ủa (C) v ừa v ẽ ở cu 1, bi ết r ằng ti ếp tuy ến đó
đi qua A(3;0).
c) Chứng minh rằng v ới k bất kỳ, đ ồ th ị hàm s ố luôn luôn có đi ểm c ực đ ại,
điểm cực tiểu và t ổng các tung đ ộ c ủa chúng b ằng 0.
x2 − (m − 3)x − m
Bài 28. Cho hàm số y = có đồ thị là (Cm), m là tham s ố.
x+1
1) Khảo sát sự bi ến thiên và v ẽ đ ồ th ị (C 2) của hàm s ố khi m = 2.
2) Chứng minh rằng (C m) nhận giao đi ểm các đ ường ti ệm c ận làm tâm đ ối
xứng.
3) Tìm phươ ng trình ti ếp tuy ến c ủa đ ồ th ị (C 2) vẽ từ gốc tọa độ.
Bài 29. Cho hàm số y = x 3 – 3x2 + 4.
1) Khảo sát và vẽ đồ th ị (C) c ủa hàm s ố.
2) Viết phương trình parabol ( cĩ tr ục đ ối x ứng cùng ph ương v ới Oy) đi qua
các điểm cực trị của (C) và ti ếp xúc v ới đ ường th ẳng y = –2x + 2.
13 2
x + mx2 − x − m+
Bài 30. Cho hàm số y = có đồ thị là (Cm), m là tham số.
3 3
1) Khảo sát hàm số ứng với m = 0.
2) Tìm điểm cố định c ủa đ ồ th ị (C m).
Bài 31
1) Khảo sát hàm số y = –x 3 + 3x 2 – 4.
2) Với mỗi gi trị c ủa tham s ố a, tìm t ọa đ ộ các đi ểm c ực tr ị c ủa đ ồ th ị (C a) của
hàm số y = –x3 + ax2 – 4.
Bài 32. Cho hàm số y = x 3 – 6mx2 + 9x có đồ th ị là (C m), m là tham s ố.
1) Tìm m để A(1, 4) là đi ểm c ực đ ại c ủa (C m). Khảo st hm số v ới m v ừa tìm
đượ c.
2) Lập phương trình cc tiếp tuy ến k ẻ từ gốc t ọa đ ộ đ ến đ ồ th ị v ừa v ẽ ở câu
1).
