HẠNG CỦA MA TRẬN &
HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
Tác giả: Phạm Gia Hưng
Bộ môn Toán - Khoa KHCB
I. Mục đích.
Việc giải bài toán hệ phương trình tuyến tính có một ý nghĩa rất to lớn
trong nghiên cứu khoa học cũng như trong thực tế. Lý thuyết hạng của ma
trận nhằm để giải quyết bài toán: Khi nào thì hệ phương trình tuyến tính
có nghiệm?
Trong các tài liệu giảng dạy môn Toán Cao Cấp ở các trường Đại Học,
thông thường, người ta dùng các phép biến đổi sơ cấp trên các hàng hoặc
các cột của ma trận đưa ma trận về dạng hình thang để xác định được
hạng của ma trận. Điều này sẽ tăng khối lượng tính toán. Hơn nữa điều
chủ yếu đáng nói ở đây là vấn đề logic trình bày. Khi giải hệ phương trình
tuyến tính bằng phương pháp Gauss khi ta chỉ dùng các phép biến đổi sơ
cấp trên các hàng của ma trận đưa ma trận về dạng bậc thang và khi nhìn
vào ma trận bậc thang này sinh viên sẽ dễ lúng túng khi xác định hạng
của ma trận hệ số cũng như ma trận mở rộng và từ đó khó lòng biện luận
được số nghiệm của hệ phương trình.
Đề tài đưa ra là nhằm để khắc phục vấn đề nói trên. Xin cám ơn sự
đóng góp ý kiến của anh em đồng nghiệp.
II. Tài liệu tham khảo.
[1] Nguyễn Đình Trí (Chủ Biên): Toán Cao Cấp, Tập II. NXB Giáo Dục
2000.
[2] Phạm Gia Hưng: Bài Giảng Toán Cao Cấp C2. Nha Trang 2004.
III. Nội dung.
1. Hạng của ma trận.
Định nghĩa 1. Cho A∈Mat(m×n). Ta gọi
(i) Định thức con cấp k của A là định thức được suy từ A bằng cách bỏ đi
m - k hàng và n − k cột.
(ii) Hạng của A là cấp cao nhất trong các định thức con khác 0 của A,
ký hiệu
r(A) = rank(A)
và quy ước coi hạng của ma trận không là bằng 0.
1
Nhận xét. Nếu mọi định thức con cấp k của A đều bằng không, thì mọi
định thức con có cấp cao hơn k của A cũng đều bằng không. Từ định nghĩa
suy ra
• r(A) = r ⇔ A tồn tại có ít nhất một định thức con cấp r khác 0 và mọi
định thức con cấp r+1 đều bằng 0.
• Nếu A∈Mat(m×n), A ≠ O, thì 0 < r ( A ) ≤ min{m, n}.
• Nếu A∈Mat(n×n), thì r(A) = n ⇔ detA ≠ 0 hay r(A) < n ⇔ detA =0.
Định lý 1. Hạng của ma trận không thay đổi qua các phép biến đổi sơ
cấp. Nói cách khác, nếu với ma trận A ta thực hiện một số phép biến đổi
sơ cấp để tới ma trận T thì r ( A ) = r (T ) .
Chứng minh. Dựa vào định nghĩa hạng của ma trận và các tính chất của
định thức.
Định nghĩa 2. Ma trận bậc thang là ma trận có hai tính chất như sau
(i) Các hàng khác 0 luôn ở trên các hàng bằng 0.
(ii) Trên hai hàng khác 0 thì phần tử khác 0 đầu tiên ở hàng dưới bao
giờ cũng ở bên phải cột chứa phần tử khác 0 đầu tiên ở hàng trên.
Ví dụ. Các ma trận sau đây là ma trận bậc thang
⎛1 1 1 1 ⎞ ⎛1 3 2 0 5⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎛ 1 2 −1 3⎞
⎜0 1 − 2 − 2⎟ ⎜ 0 1 6 4 15 ⎟ ⎜ ⎟
; ; ⎜ 0 2 − 2 4 ⎟.
⎜0 0 0 1 ⎟ ⎜0 0 0 0 0⎟ ⎜
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 0 0 − 1 0 ⎟⎠
⎜0
⎝ 0 0 0 ⎟⎠ ⎜⎝ 0 0 0 0 0 ⎟⎠
Nhận xét.
(n1) Hạng của ma trận bậc thang bằng số hàng khác 0 của nó.
(n2) Dựa vào định lý trên, ta có thể dùng các phép biến đổi sơ cấp trên
các hàng của ma trận để đưa ma trận A về ma trận bậc thang.
Ví dụ. Tìm hạng của ma trận A bằng các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận
⎛ 1 1 1 1 ⎞ H →H −H ⎛1 1 1 1 ⎞
⎜ ⎟ H2 →H 2 −H1 ⎜ ⎟
⎜ 1 2 − 1 − 1⎟ H 34 → H34 − 2H1 1 ⎜ 0 1 − 2 − 2 ⎟
(v1) A = ⎜ ⎯⎯ ⎯ ⎯⎯→⎜
1 0 3 4⎟ 0 −1 2 3 ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜2 1 4 4 ⎟
⎝ ⎠
⎜ 0 −1 2
⎝ 2 ⎟⎠
⎛1 1 1 1 ⎞
⎜ ⎟
H3 →H3 + H2
⎜ 0 1 − 2 − 2 ⎟
⎯H⎯
4 →H4 + H2
⎯⎯ ⎯→⎜ =T .
0 0 0 1 ⎟
⎜ ⎟
⎜0 0 0
⎝ 0 ⎟⎠
Vậy r(A) = r(T) = 3.
⎛ 1 3 2 0 5⎞ ⎛1 3 2 0 5 ⎞
⎜ ⎟ HH 2 → → H 2 − 2 H1 ⎜ ⎟
⎜ 2 6 9 7 12 ⎟ H 34 → H34 − H1 1 ⎜ 0 0 5 7 2 ⎟
H + 2 H
(v2) A = ⎜ ⎯⎯ ⎯ ⎯⎯→⎜
−2 −5 2 4 5 ⎟ 0 1 6 4 15 ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ 1 4 8 4 20 ⎟⎠ ⎜ 0 1 6 4 15 ⎟
⎝ ⎝ ⎠
2
⎛1 3 2 0 5⎞
⎜ ⎟
⎜0 1 6 4 15 ⎟
H2 ↔H3
H4 →H4 −H2
⎯⎯ ⎯ ⎯
⎯→⎜ =T.
0 0 5 7 2⎟
⎜ ⎟
⎜0
⎝ 0 0 0 0 ⎟⎠
Vậy r(A) = r(T) = 3.
2. Phương pháp Gauss giải hệ phương trình tuyến tính.
Xét hệ phương trình tuyến tính
⎧a11 x 1 + a12 x 2 + ... + a1n x n = b1
⎪
⎪a 21 x 1 + a 22 x 2 + ... + a 2 n x n = b2
⎨ (*)
⎪..........................................
⎪⎩a m1 x1 + a m 2 x 2 + ... + a mn x n = bm
trong đó a ij , bi (i = 1, m; j = 1, n) là các hằng số cho trước thuộc K (K=R,C). Ký
hiệu
⎛ a11 a12
L a1n ⎞ ⎛ a11 a12 L a1n b1 ⎞ ⎛ x1 ⎞ ⎛ b1 ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜a a 22
L a2n ⎟ ⎜ a 21 a 22 L a 2 n b2 ⎟ ⎜ x2 ⎟ ⎜b ⎟
A = ⎜ 21 ⎟, A =⎜ ⎟, X = ⎜ ⎟, B = ⎜ 2 ⎟ .
M M L M M M L M M M M
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜a ⎟
a m 2 L a mn ⎠ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ m1 ⎝ a m1 a m 2 L a mn bm ⎠ ⎝ xn ⎠ ⎝ bm ⎠
Ta gọi A là ma trận hệ số, A là ma trận mở rộng của hệ (*). Khi đó
hệ (*) có thể viết dưới dạng ma trận
AX = B.
Định nghĩa 3. Phép biến đổi sơ cấp trên một hệ phương trình tuyến tính
là một trong các phép biến đổi sau
(p1) Đổi chỗ hai phương trình của hệ cho nhau.
(p2) Nhân một phương trình của hệ với một số khác không.
(p3) Cộng vào một phương trình với một phương trình khác của hệ.
Dễ thấy rằng, việc thực hiện các phép biến đổi sơ cấp trên một hệ
phương trình, ta đi tới một hệ phương trình tương đương với hệ đã cho.
Định lý 2.
(i) Hệ (*) có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi r ( A ) = r (A ) = soá aån.
(ii) Hệ (*) có vô số nghiệm khi và chỉ khi r ( A ) = r (A ) < soá aån .
(iii) Hệ (*) vô nghiệm khi và chỉ khi r ( A ) < r (A ).
Nhận xét. Thực hiện các phép biến đổi sơ cấp trên hệ phương trình tuyến
tính thực chất là thực hiện các phép biến đổi sơ cấp trên các hàng của ma
trận mở rộng A của hệ. Việc thực hiện đó sẽ đưa A về một ma trận bậc
thang và tương ứng với ma trận này là hệ phương trình tương đương với
hệ ban đầu nhưng dễ giải hơn.
Ví dụ. Giải hệ phương trình (trong trường hợp có tham số m, hãy giải và
biện luận)
3
⎧ x − 2 y + 3z − 4t = 2 ⎧ x + 2 y + 3z − 2t = 1
⎪3 x + 3y − 5z + t = −3 ⎪2 x − y − 2 z − 3t = 2
⎪ ⎪
(v1) ⎨ (v2) ⎨
⎪− 2 x + y + 2 z − 3t = 5 ⎪3 x + 2 y − z + 2t = −5
⎪⎩3 x + 3z − 10t = 8 ⎪⎩2 x − 3y + 2 z + t = 11
⎧ x + 2 y − 3z + 5t = 1
⎪ x + 3y − 13z + 22t = −1 ⎧mx + y + z = 1
⎪ ⎪
(v3) ⎨ (v4) ⎨ x + my + z = 1
⎪3 x + 5y + z − 2t = 5 ⎪ x + y + mz = 1
⎪⎩2 x + 3y + 4 z − 7t = 4 ⎩
Lời giải.
(v1) Ta có
⎛ 1 −2 3 −4 2 ⎞ ⎛1 − 2 3 −4 2 ⎞
⎜ ⎟ H 2 → H 2 − 3 H1 ⎜ ⎟
⎜ 3 3 − 5 1 − 3 ⎟ HH 34 → H 3 + 2 H1
H 4 − 3 H1 ⎜ 0 9 − 14 13 − 9 ⎟
A =⎜ ⎟ ⎯⎯→⎯ ⎯⎯→⎜
⎜− 2 1 2 −3 5 ⎟ ⎜0 −3 8 − 11 9 ⎟⎟
⎜ 3 0 3 − 10 8 ⎟⎠ ⎜0 6 −6 2 2 ⎟⎠
⎝ ⎝
⎛1 − 2 3 −4 2 ⎞ ⎛1 − 2 3 −4 2 ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
H 3 →3 H 3 + H 2
H 4 →3 H 4 − 2 H 2 ⎜ 0 9 − 14 13 − 9 ⎟ H 4 → H 4 − H 3 ⎜ 0 9 − 14 13 − 9 ⎟
⎯⎯ ⎯ ⎯ ⎯→⎜
0 0 10 − 20 18 ⎟ ⎯⎯ ⎯ ⎯ ⎯→⎜
0 0 10 − 20 18 ⎟=T .
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜0 0 10 − 20 24 ⎟ ⎜0 0 0 0 6 ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Ma trận T ứng với một hệ phương trình tương đương với hệ phương
trình ban đầu; hệ phương trình này vô nghiệm vì
r ( A ) = 3 < 4 = r (A ) .
(v2) Ta có
⎛1 2 3 −2 1 ⎞ ⎛1 2 3 −2 1 ⎞
⎜ ⎟ H2 →H2 −2H1 ⎜ ⎟
⎜2 −1 − 2 − 3 2 ⎟ HH34 → H3 −3H1
→H 4 −2 H1 ⎜0 − 5 − 8 1 0⎟
A =⎜ ⎟ ⎯⎯ ⎯ ⎯⎯→⎜
⎜3 2 −1 2 − 5⎟ ⎜ 0 − 4 − 10 8 − 8⎟⎟
⎜2 − 3 2 ⎟
1 11 ⎠ ⎜0 − 7 − 4 5 9 ⎟⎠
⎝ ⎝
⎛1 2 3 −2 1 ⎞ ⎛1 2 3 −2 1 ⎞
⎜ ⎟ H →− 1 H ⎜ ⎟
H →5H −4H
⎜0 − 5 − 8 1 0 ⎟ H →H2 −4H ⎜ 0 −5 −8 1 0 ⎟
3 3
3 3 2
H →5H −7H
⎯⎯⎯⎯⎯→⎜
4 4 2
⎯⎯⎯⎯⎯→⎜
4 4 3
.
⎜0 0 − 18 36 − 40⎟⎟ ⎜0 0 9 − 18 20 ⎟⎟
⎜0
⎝ 0 36 18 45 ⎟⎠ ⎜0
⎝ 0 0 90 − 35⎟⎠
Hệ phương trình đã cho tương đương với
⎧ x + 2 y + 3z − 2t = 1 ⎧ x = 12 / 18
⎪− 5 y − 8z + t = 0 ⎪ y = − 43 / 18
⎪ ⎪
⎨ ⇔ ⎨ .
⎪ 9 z − 18 t = 20 ⎪ z = 26 / 18
⎪⎩ 90 t = − 35 ⎪⎩ t = − 7 / 18
Ta thấy hệ phương trình có duy nhất nghiệm vì
r ( A ) = r (A ) = 4 = số ẩn.
(v3) Ta có
4
⎛1 2 −3 5 1 ⎞ H 2 → H 2 − H1 ⎛1 2 −3 5 1 ⎞
⎜ ⎟ H → H −3H ⎜ ⎟
⎜1 3 − 13 22 − 1⎟ H 4 → H 4 −2 H1 ⎜ 0
3 3 1
1 − 10 17 − 2 ⎟
A =⎜ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯⎯ → ⎜
3 5 1 −2 5 ⎟ 0− 1 10 − 17 2 ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜2 3 4 −7 ⎟
4 ⎠ ⎜ − 17 2 ⎟⎠
⎝ ⎝0 − 1 10
⎛1 2 − 3 5 1 ⎞
H3 →H3 + H2 ⎜ ⎟
H4 →H 4 + H2 ⎜ 0 1 − 10 17 − 2 ⎟ .
⎯⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯→⎜
0 0 0 0 0 ⎟
⎜ ⎟
⎜0 0 0 0 0 ⎟
⎝ ⎠
Hệ phương trình đã cho tương đương với
⎧ x = −17z + 29t + 5
⎧ x + 2 y − 3z + 5t = 1 ⎪
⎨ ⇔ ⎨ y = 10 z − 17t − 2 .
⎩ y − 10 z + 17t = −2 ⎪z, t − tuyø yù
⎩
Hệ phương trình có vô số nghiệm vì
r ( A ) = r (A ) = 2 < số ẩn.
(v4) Ta có
⎛ m 1 1 1⎞ ⎛ 1 1 m 1⎞
⎜ ⎟ H ↔H ⎜ ⎟
A = ⎜ 1 m 1 1⎟ ⎯⎯1 ⎯⎯3 →⎜ 1 m 1 1⎟
⎜ 1 1 m 1⎟ ⎜ m 1 1 1⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
H 2 → H 2 − H1 ⎛1 1 m 1 ⎞
H 3 → H 3 − mH1 ⎜ ⎟
⎯⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯→⎜ 0 m − 1 1 − m 0 ⎟ = A1 .
⎜ 0 1 − m 1 − m2 1 − m ⎟
⎝ ⎠
• Th1: Nếu m = 1 thì ma trận A1 tương ứng với hệ phương trình có vô
số nghiệm
⎧x = 1 − y − z
x + y + z =1⇔ ⎨
⎩ y, z − tuøy yù
và
r ( A ) = r (A ) = 1 < số ẩn.
• Th2: Nếu m ≠ 1thì
⎛1 1 m 1 ⎞
H3 →H3 + H2 ⎜ ⎟
A1 ⎯⎯ ⎯ ⎯ ⎯→⎜ 0 m − 1 1− m 0 ⎟ = A2
⎜0 0 (1 − m )(2 + m ) 1 − m ⎟⎠
⎝
* Th2a: Nếu m = -2 thì hệ đã cho vô nghiệm vì ứng với hàng thứ 3
của A2 là phương trình vô nghiệm 0 x + 0 y + 0 z = 3 hay nói cách khác do
r ( A ) = 2 < 3 = r (A ) .
* Th2b: Nếu m ≠ -2 thì hệ đã cho tương đương với hệ phương trình có
duy nhất nghiệm sau đây
⎧ x + y + mz = 1
⎪ 1
⎨(m − 1)y + (1 − m )z = 0 ⇔ x = y = z = .
⎪(2 + m )z = 1 2+m
⎩
và r ( A ) = r (A ) = 3 = số ẩn.
5
Chương 3. Hệ phương trình tuyến tính
Chương 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
Bài 1: Các khái niệm cơ bản về hệ phương trình tuyến tính
1. Định nghĩa:
a11 x1 a12 x2 ... a1n xn b1
a x a x ... a2 n xn b2
Hệ phương trình dạng 21 1 22 2 (1)
...
am1 x1 am 2 x2 ... amn xn bm
Trong đó x1 , x2 ,..., xn là các ẩn và aij , b j là các hằng số, được gọi là hệ phương trình
tuyến tính m phương trình, n ẩn.
a11 a12 ...a1n
a a22 ... a2 n
Ma trận A 21 được gọi là ma trận các hệ số của hệ (1).
am1 am 2 ... amn
a11 a12 ... a1n b1
a a22 ... a2 n b2
Ma trận A 21 là ma trận các hệ số mở rộng của hệ (1).
am1 am 2 ... amn bm
2. Nhận xét: Một hệ phương trình hoàn toàn xác định nếu ta biết được ma trận hệ số mở
rộng của nó.
b1
b
Cột 2 được gọi là cột tự do của hệ (1).
bm
x1 b1
x b
Hệ (1) có thể được viết lại dưới dạng A 2 2 với A là ma trận các hệ số của hệ (1).
xn bm
Khi ta thực hiện các phép biến đổi sơ cấp trên các dòng của hệ phương trình tuyến tính thì
ta được một hệ mới tương đương với hệ đã cho.
Ta nói (c1; c2 ;...; cn ) là một nghiệm của hệ (1) nếu khi thay x j c j thì tất cả các phương trình
trong hệ (1) đều thỏa mãn.
T T
Nếu X x1 x2 ... xn và B b1 b2 ... bm thì hệ phương trình có thể viết được dưới
dạng: AX = B.
3. Ví dụ:
2 x1 x2 x3 1;
Hệ phương trình x1 x2 x3 4; là một hệ phương trình tuyến tính 3 ẩn trên .
x x 2 x 3,
1 2 3
Đại số tuyến tính 1 63
Chương 3. Hệ phương trình tuyến tính
2 1 1 x1 1
Hệ phương trình này còn có thể được viết dưới dạng 1 1 1 x2 4 hoặc
1 1 2 x3 3
2 1 1 1
1 1 1 4
1 1 2 3
3
Trong đó (1, 2,1) là một nghiệm của hệ phương trình trên.
4. Một vài hệ phương trình đặc biệt:
4.1 Hệ Cramer:
Hệ phương trình tuyến tính (1) được gọi là hệ Cramer nếu m = n (tức là số phương trình
bằng số ẩn) và ma trận các hệ số A không suy biến (hay det A 0) .
Ví dụ:
x1 x3 1
Hệ phương trình 2 x1 x2 3 x3 2 là hệ Cramer.
4 x x 8 x 3
1 2 3
4.2 Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất:
Nếu cột tự do của hệ bằng 0 (tức là b1 b2 ... 0 ) thì hệ phương trình tuyến tính (1) được
gọi là hệ phương trình tuyến tính thuần nhất.
Hệ này được gọi là hệ liên kết với hệ phương trình (1).
4.3 Nhận xét: Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất luôn có ít nhất 1 nghiệm là
( x1 , x2 ,..., xn ) (0, 0,..., 0) và nghiệm này được gọi là nghiệm tầm thường của hệ.
5. Định lý: Đối với một hệ phương trình tuyến tính thì chỉ có một trong ba trường hợp
nghiệm xảy ra là:
- Có một nghiệm duy nhất;
- Vô nghiệm;
- Có vô số nghiệm.
6. Hệ quả: Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất hoặc chỉ có nghiệm tầm thường hoặc có
vô số nghiệm.
7. Định nghĩa: Hai hệ phương trình có cùng số ẩn được gọi là tương đương nhau nếu chúng
có cùng tập hợp nghiệm.
8. Định lý: Nếu hai hệ phương trình có hai ma trận hệ số mở rộng tương ứng tương đương
dòng với nhau thì chúng tương đương nhau. Hoặc có thể phát biểu lại như sau:
Cho hai hệ gồm m phương trình tuyến tính n ẩn trên K có dạng ma trận hóa lần lượt là
A A B và C (C | D ) . Khi đó nếu A C thì hai hệ phương trình tương đương nhau.
9. Nhận xét:
Ta có thể sử dụng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng một cách tùy ý đối với ma trận hóa
của một hệ phương trình tuyến tính để đưa nó về dạng một hệ phương trình tuyến tính đơn giản
hơn.
Đại số tuyến tính 1 64
Chương 3. Hệ phương trình tuyến tính
2 x1 x2 x3 1;
10. Ví dụ: Để giải hệ phương trình x1 x2 x3 4; ta tiến hành ma trận hóa và sử dụng
x x 2 x 3,
1 2 3
các phép biến đổi sơ cấp trên dòng để đưa ma trận hóa về dạng đơn giản.
2 1 1 1 0 3 1 7 0 0 7 7 1
0 0 1 1
d1 2 d2 d3 d1 7
d1
1 1 1 4 d3 d 2
1 1 1 4 d 2 d3
1 0 3 4
d2 3 d1
1 0 0 1
1 1 2 3 0 2 3 7 d1 3 d3 0 1 2 0 d3 2 d1 0 1 0 2
0 x1 0 x2 x3 1; x1 1
Vậy hệ đã cho tương đương với x1 0 x2 0 x3 1; x2 2
0 x x 0 x 2
1 2 3 x3 1
■
7. Định lý: Giả sử u0 là một nghiệm cho trước của hệ phương trình (1). Khi đó u K n là
một nghiệm của hệ (1) khi và chỉ khi u u0 v , với v là nghiệm của hệ phương trình tuyến tính
thuần nhất liên kết với hệ (1).
Nói cách khác nếu v1 , v2 ,..., vr là các nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất liên
kết thì ta có thể viết nghiệm của hệ phương trình tuyến tính (1) là u u0 t1v1 t2 v2 ... tr vr ,
trong đó t1 , t2 ,..., tr K .
8. Định nghĩa: Một nghiệm cố định u0 của hệ phương trình tuyến tính (1) được gọi là
nghiệm riêng, còn nghiệm u u0 t1v1 t2 v2 ... tr vr được gọi là nghiệm tổng quát của hệ.
Ví dụ:
Xét hệ phương trình sau:
2 x1 5 x2 3x3 2 x4 4
3 x1 7 x2 2 x3 4 x4 7 (1)
5 x 10 x 5 x 10 x 15
1 2 3 4
Nhận xét hệ 1 có 1 nghiệm là u0 (1, 0, 0,1)
Xét hệ phương trình thuần nhất liên kết với hệ (1).
2 x1 5 x2 3 x3 2 x4 0
3 x1 7 x2 2 x3 4 x4 0
5 x 10 x 5 x 10 x 0
1 2 3 4
Hệ thuần nhất này có các nghiệm là v1 (11,5,1, 0); v2 (6, 2, 0,1) .
Khi đó nghiệm tổng quát của hệ phương trình ban đầu là u u0 t1v1 t2 v2
Đại số tuyến tính 1 65
Chương 3. Hệ phương trình tuyến tính
Bài 2: Các phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính
_______________________________________________________
1. Phương pháp Cramer:
Nội dung của phương pháp này cũng chính là định lý sau:
1.1 Định lý: Cho hệ Cramer
a11 x1 a12 x2 ... a1n xn b1
a21 x1 a22 x2 ... a2 n xn b2
(2) trong đó
...
an1 x1 an 2 x2 ... ann xn bn
a11 a12 ... a1n
a a22 ... a2 n
A 21 là ma trận các hệ số. Khi đó,
an1 an 2 ... ann
- Nếu det A 0 thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất xác định bởi công thức sau:
det Ai
xi , trong đó Ai chính là ma trận thu được ma trận A bằng cách thay cột i bởi cột hệ
det A
b1
b
số tự do 2
bn
- Nếu detA = 0 và tồn tại j {1, 2,...., n} sao cho | Aj | 0 thì hệ phương trình vô nghiệm
- Nếu detA = 0 và | Aj | 0, j 1, n thì hệ phương trình không có nghiệm duy nhất (nghĩa là
vô nghiệm hoặc vô số nghiệm). Nếu xảy ra trường hợp này thì ta sẽ dùng phương pháp Gauss
(được nêu trong phần tiếp theo) để giải hệ phương trình này.
1.2 Hệ quả: Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất n phương trình n ẩn có nghiệm không
tầm thường khi và chỉ khi định thức của ma trận các hệ số bằng 0.
Nhận xét: Phương pháp này dùng để giải hệ phương trình có số phương trình bằng số ẩn.
1.3 Các ví dụ:
ax1 bx2 c
Ví dụ 1: Giải hệ phương trình sau: cx2 ax3 b (1) với a, b, c là các số khác 0.
cx bx a
1 3
Giải:
a b 0
Ta có det A 0 c a 2abc 0 nên đây là hệ Cramer. Hơn nữa
c 0 b
c b 0
det A1 b c a (a 2 b 2 c 2 )b
a 0 b
Đại số tuyến tính 1 66
Chương 3. Hệ phương trình tuyến tính
a c 0
det A2 0 b a ( a 2 b2 c 2 )a
c a b
a b c
det A3 0 c b (a 2 b 2 c 2 )c
c 0 a
Do đó, hệ có nghiệm duy nhất
det A1 a 2 b 2 c 2 det A2 a 2 b 2 c 2 det A3 a 2 b 2 c 2
x1 ; x2 ; x3
det A 2ac det A 2bc det A 2ab ■
Ví dụ 2:
Giải hệ phương trình sau:
x1 2 x2 2 x3 0
2 x1 x2 4 x3 2
x x 2 x 2
1 2 3
Giải:
Ta có |A|=0 và | A1 | 8 nên hệ phương trình vô nghiệm. ■
Ví dụ 3:
Giải hệ phương trình sau:
x1 x2 x3 1
2 x1 x2 x3 2
x 2x 2x 1
1 2 3
Ta có
det A 0; det A1 det A2 det A3 0
Hệ phương trình không có nghiệm duy nhất tức là hệ có vô số nghiệm hoặc hệ vô nghiệm.
Đối với trường hợp này thì phải dùng phương pháp Gauss để giải lại hệ phương trình trên.
2. Phương pháp Gauss:
2.1 Định lý Cronecker Capelly: Cho hệ phương trình tuyến tính tổng quát
a11 x1 a12 x2 ... a1n xn b1
a21 x1 a22 x2 ... a2 n xn b2
(1)
...
am1 x1 am 2 x2 ... amn xn bm
A và A lần lượt là các ma trận hệ số và ma trận hệ số mở rộng. Khi đó:
i) Nếu rankA rank A thì hệ (1) vô nghiệm;
ii) Nếu rankA rank A r thì hệ (1) có nghiệm. Hơn nữa:
Nếu r = n thì hệ (1) có nghiệm duy nhất.
Nếu r < n thì hệ (1) có vô số nghiệm phụ thuộc n – r tham số.
2.2 Thuật toán sau để giải hệ phương trình tuyến tính (gọi là thuật toán Gauss):
Lập ma trận các hệ số mở rộng A . Bằng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng đưa ma trận A
về dạng bậc thang. Giả sử ma trận bậc thang cuối cùng có dạng:
Đại số tuyến tính 1 67
Chương 3. Hệ phương trình tuyến tính
0 ... c1*i1 ... .... .... .... ... c1n d1
0 ... 0 c2*i2 ... ... ... ... c2 n d 2
... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
A C 0 ... 0 ... ... cri* r ... ... crn d r
0 ... 0 ... 0 ... 0 ... 0 d r 1
... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
0 ... 0 ... 0 ... 0 ... 0 d m
Hệ phương trình tương ứng với ma trận C tương đương với hệ ban đầu. Do đó:
1) Nếu tồn tại ít nhất di với r 1 i m khác 0 thì hệ vô nghiệm.
2) Nếu d r 1 d r 2 ... d m 0 thì hệ có nghiệm. Khi đó các cột i1 , i2 ,..., ir (là các cột được
đánh dấu * ) được giữ lại bên trái và các xi , xi ,..., xi là các ẩn, còn các cột còn lại thì được
1 2 r
chuyển sang bên phải, các ẩn xk tương ứng với các cột này sẽ trở thành tham số. Vậy ta sẽ có
n – r tham số và hệ đã cho tương ứng với hệ
c1i1 c1i2
... c1ir d ( x )
1 k
0 c2i2 ... ... d 2 ( xk )
... (3)
... ... ... ...
0
0 ... crir d r ( xk )
Trong đó di ( xk ) là các hàm tuyến tính của xk với k i1 , i2 ,..., ir . Hệ phương trình (3) là hệ
phương trình dạng tam giác ta có thể dễ dàng giải được bằng cách thế dần từ dưới lên, tức là
tính lần lượt xi , xi ,..., xi .
r r 1 1
Chú ý: Nếu trong quá trình biến đổi xuất hiện 1 dòng mà bên trái bằng 0 còn bên phải là số
khác 0 thì ta có thể kết luận hệ phương trình vô nghiệm và không cần làm gì tiếp.
Nhận xét: Nếu ma trận thu được cuối cùng trong thuật toán Gauss có dạng A’|B’ thì A’
được gọi là ma trận rút gọn theo dòng từng bậc hay đơn giản là ma trận rút gọn, ký hiệu RA .
Khi đó hạng của ma trận A bằng hạng của RA .
2.3 Các ví dụ:
a) Giải hệ phương trình sau:
x1 2 x2 2 x3 0
2 x1 x2 2 x3 2 (*)
3 x x 4 x 2
1 2 3
Giải:
Vì | A || A1 || A2 || A3 | 0 nên ta không thể dùng phương pháp Cramer để giải hệ phương
trình này.
Ta sẽ áp dụng phương pháp Gauss để giải hệ phương trình trên.
Ta viết hệ dưới dạng ma trận hóa như sau:
Đại số tuyến tính 1 68
Chương 3. Hệ phương trình tuyến tính
1 2 2 0 1 2 2 0 1 2 2 0
d 2 d2 2 d1 d3 d3 d2
2 1 2 2
d3 d3 3 d1 0 5 2 2 0 5 2 2
3 1 4 2 0 5 2 2 0 0 0 0
1 2
1
2 0
d2 d2
5
0 1 2 / 5 2 / 5
0 0 0 0
Vậy hệ phương trình (*) có vô số nghiệm phụ thuộc vào tham số x3 .
4 4 4 6
x1 2 x2 2 x3 5 5 x3 2 x3 5 5 x3
2 2
x2 x3
5 5
x3
■
Chú ý:
- Khi hệ phương trình có vô số nghiệm thì dù giải bằng phương pháp nào ta cũng có thể có
nhều cách chọn biến tự do.
- Khi giải hệ phương trình tuyến tính thuần nhất, ta có nhiều cách chọn hệ nghiệm cơ bản.
x1 2 x2 5 x3 9
b) Giải hệ phương trình x1 x2 3 x3 2
3 x 6 x x 25
1 2 3
Giải:
Ta tiến hành giải bằng thuật toán Gauss như sau:
1 2 5 9 d d d 1 2 5 9 1 2 5 9
d32 d32 3d1 1 d3 d3 4 d 2
1 1 3 2 0 3 2 11 0 3 2 11
3 6 1 25 0 12 16 52 0 0 8 8
Vậy hệ phương trình đầu tương đương với hệ:
x1 2 x2 5 x3 9
3x2 2 x3 11
- 8 x3 8
Do đó nghiệm của hệ là ( x1 , x2 , x3 ) (2, 3, 1) .
Sinh viên có thể tham khảo them thuật toán Gauss Jordan trong các tài liệu viết về đại số
tuyến tính.
Thực chất của thuật toán Gauss Jordan thì ta sẽ thực hiện các phép biến đổi trên dòng đối
với ma trận hệ số mở rộng trở thành ma trận có các tính chất sau:
- Các dòng khác 0 thì nằm trên các dòng 0;
- Hệ số khác 0 đầu tiên ở các dòng khác 0 đều bằng 1.
- Các phần tử còn lại của cột chứa số 1 chuẩn (gọi là cột chuẩn) đều bằng 0.
Ví dụ: Ta có thể dùng thuật toán Gauss Jordan để giải lại hệ phương trình trên:
Đại số tuyến tính 1 69
Chương 3. Hệ phương trình tuyến tính
1 2 5 9 d d d 1 2 5 9 1 2 5 9
d32 d32 3d1 1 d3 d3 4 d 2
1 1 3 2 0 3 2 11 0 3 2 11
3 6 1 25 0 12 16 52 0 0 8 8
1
1 2 5 9 d d 2 d 1 2 0 4 1
1 2 0 4
d3
8
d3 d12d125 d33 d2 3 d2
0 3 2 11 0 3 0 9 0 1 0 3
0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1
1 0 0 2
d1 d1 2 d 2
0 1 0 3
0 0 1 1
Vậy nghiệm của hệ là ( x1 , x2 , x3 ) (2, 3, 1) .■
Ví dụ: Giải hệ phương trình với ma trận hệ số mở rộng là
1 1 0 0 7
0 1 1 1 5
A
1 1 1 1 6
0 1 0 1 10
Giải
Thực hiện các phép biến đổi sơ cấp trên dòng đưa ma trận A về dạng bậc thang.
1 1 0 0 7 1 1 0 0 7 1 1 0 0 7
d3 d3 2 d2
0 1 1 1 5 d3 d3 d1 0 1 1 1 5 d 4 d4 d 2 0 1 1 1 5
A
1 1 1 1 6 0 2 1 1 1 0 0 1 3 9
0 1 0 110 0 1 0 1 10 0 0 1 2 5
1 1 0 0 7
0 1 1 1 5
d 4 d 4 d3
0 0 1 3 9
0 0 0 1 14
Các phần tử trên đường chéo 1; 1; -1; 1 được gọi là phần tử đánh dấu. Ta sẽ khử các phần tử
còn lại của các phần tử ở các cột chứa phần tử đánh dấu ngược từ dòng 4 lên dòng 1 để được
ma trận bên vế trái là ma trận đơn vị.
1 1 0 0 7 1 1 0 0 7 1 1 0 0 7
d3 d3 3 d4
0 1 1 1 5 d2 d 2 d 4 0
1 1 0 9 d3 d3 0
1 1 0 9
0 0 1 3 9 0 0 1 0 43 0 0 1 0 43
0 0 0 1 14 0 0 0 1 14 0 0 0 1 14
1 1 0 0 7 1 0 0 0 27
0 1 0 0 34 d1 d1 d 2 0 1 0 0 34
d 2 d 2 d3
0 0 1 0 43 0 0 1 0 43
0 0 0 1 14 0 0 0 1 14
Khi đó nghiệm của hệ phương trình là x (27,34, 43,14)
Đại số tuyến tính 1 70
Chương 3. Hệ phương trình tuyến tính
3. Giải và biện luận một hệ phương trình tuyến tính tổng quát:
Các ví dụ:
a) Giải hệ phương trình sau:
x1 2 x2 2 x4 x5 1
2 x 4 x x 3x 3
1 2 3 4
3 x1 6 x2 2 x3 3x4 x5 m
x1 2 x2 x3 x5 2m 8
Giải:
Ma trận hệ số mở rộng của hệ phương trình trên là
1 2 0 2 1 1 1 2 0 2 1 1
dd32
d 2 2 d1
d3 3 d1
2 4 1 3 0 3 0 0 1 1 2 1
B
3 6 2 3 1 m d 4 d4 d1 0 0 2 3 2 m 3
1 2 1 0 1 2m 8 0 0 1 2 0 2m 9
1 2 0 2 1 1 1 2 0 2 1 1
d3 d3 2 d2
0 0 1 1 2 1
0 0 1 1 2 1
d 4 d 4 d2 d 4 d 4 d3
0 0 0 1 2 m 5 0 0 0 1 2 m 5
0 0 0 1 2 2m 10 0 0 0 0 0 m 5
Nếu m 5 thì hệ phương trình vô nghiệm.
Nếu m = 5 thì hệ phương trình trở thành
1 2 0 2
1 1
0 0 1 1 2 1
0 0 0 1 2 0
0 0 0 0 0 0
Vậy hệ phương trình có vô số nghiệm phụ thuộc tham số x5 , x2 với x2 , x5
x1 2 x4 1 2 x2 x5 x4 2 x5
x3 x4 1 2 x5 . Từ đó suy ra, x3 4 x5 1
x 2 x x 2 x 5 x 1
4 5 1 2 5
■
b) Giải hệ phương trình
x1 x2 x3 mx4 1
x x mx x 1
1 2 3 4
x1 mx2 x3 x4 1
mx1 x2 x3 x4 1
Giải:
Ta viết hệ trên dưới dạng ma trận hóa như sau:
Đại số tuyến tính 1 71
Chương 3. Hệ phương trình tuyến tính
1 1 1 m 1 1 1 1 m 1 1 1 1 m 1
1 1 m 1 1 d 2 d 2 d1 0 0 m 1 1 m 0 d2 d3 0 m 1
0 1 m 0
d3 d3 d1
1 m 1 1 1 d4 d 4 md1 0 m 1 0 1 m 0 0 0 m 1 1 m 0
2 2
m 1 1 1 1 0 1 m 1 m 1 m 0 0 1 m 1 m 1 m 0
1 1 1 m 1
d 4 d 4 d3 d2 0 m 1 0 1 m 0
0 0 m 1 1 m 0
2
0 0 0 3 2m m 0
Vì 3 2m m 2 (1 m)(m 3) nên:
Nếu m = 1 thì ma trận hệ số mở rộng trên có dạng
1 1 1 1 1
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
x1 1 x2 x3 x4
x
Khi đó hệ có vô số nghiệm phụ thuộc 3 tham số x2 , x3 , x4 . Tức là 2
x3
x4
x2 t2
Đặt x3 t3 thì x1 1 t2 t3 t4
x t
4 4
1 1 1 3 1
0 4 0 4 0
Khi m =-3 thì hệ trở thành . Hệ phương trình vô nghiệm.
0 0 4 0 0
0 0 0 0 4
Khi m 3, m 1 thì hệ pt có nghiệm duy nhất
1 m 1
x4 2
3 2m m m3
1
x3 x4
m3
1
x2 x4
m3
1
x1 1 x2 x3 mx4
m3
Kết luận:
- Nếu m = 1 thì hệ phương trình có vô số nghiệm.
- Nếu m = -3 thì hệ vô nghiệm.
1
- Nếu m 1, 3 thì hệ có một nghiệm duy nhất x1 x2 x3 x4 .■
m3
Đại số tuyến tính 1 72
Chương 3. Hệ phương trình tuyến tính
4. Giải hệ phương trình bằng phương pháp thích hợp:
Ví dụ 1:
Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp thích hợp:
x y z t a
x y z t b
x y z t c
x y z t d
Cộng theo vế 4 phương trình ta được:
abcd
x y z t (*)
2
Lấy (*) trừ cho phương trình thứ (1) của hệ được:
abcd a b c d
2x a x
2 4
Lấy (*) trừ cho phương trình thứ (2) của hệ được:
a b c d
y
4
Lấy (*) trừ cho phương trình thứ (3) của hệ được:
abcd
z
4
Thực hiện tương tự lấy (*) trừ cho phương trình thứ (4) của hệ được:
abcd
t
4
Ví dụ 2:
Giải hệ phương trình sau:
mx y z t 1
x my z t 1
x y mz t 1
x y z mt 1
Giải
Cách 1: SV tự giải bằng phương pháp Gauss (hoặc Gauss Jordan).
Cách 2: Cộng tất cả các phương trình ta được:
(m 3)( x y z t ) 4 (*)
Nhận xét:
Khi m = - 3 thì phương trình (*) vô nghiệm, hệ vô nghiệm
Khi m = 1 hệ có vô số nghiệm.
x t t1 t2 t3
y t1
với t1 , t2 , t3
z t2
t t3
Khi m 3, m 1 thì chia biểu thức (*) cho m + 3 ta có
Đại số tuyến tính 1 73
Chương 3. Hệ phương trình tuyến tính
4
x y zt
m3
Lấy kết quả trên trừ đi phương trình thứ 1 của hệ ta được:
1
x
m3
1
Thực hiện tương tự ta được y z t
m3
Tóm tắt chương
Ở chương này, thông qua việc vận dụng các kiến thức về định thức và ma trận ta nghiên cứu
thêm các phương pháp để giải một hệ phương trình tuyến tính tổng quát.
Sau khi học xong chương này, sinh viên cần trả lời được các câu hỏi sau:
1. Hệ phương trình tuyến tính có những yếu tố gì cần biết để giải? Nghiệm của hệ được xác
định ra sao? Khi nào thì hai hệ phương trình tương đương? Đặc điểm của hệ Cramer là gì? Thế
nào là hệ phương trình tuyến tính thuần nhất?
2. Phương pháp Gauss để giải hệ phương trình tuyến tính giống với nội dung nào đã học ở
chương trước? Trình bày phương pháp Gauss? Sinh viên có thể nghiên cứu thêm phương pháp
Gauss Jordan? Sự giống nhau và khác nhau của phương pháp Gauss và phương pháp Gauss
Jordan?
3. Điều kiện cần thiết để có thể giải được hệ phương trình bằng phương pháp Cramer? Trình
bày phương pháp Cramer?
BÀI TẬP
1) Giải các hệ phương trình sau bằng cách áp dụng thuật toán Cramer và phương pháp
Gauss:
x1 x2 2 x3 6; 7 x1 2 x2 3x3 15;
a) 2 x1 3 x2 7 x3 16; b) 5 x1 3 x2 2 x3 15;
5 x 2 x x 16. 10 x 11x 5 x 36.
1 2 3 1 2 3
x1 x2 2 x3 1; 3 x1 2 x2 x3 5;
c) 2 x1 x2 2 x3 4; d) 2 x1 3 x2 x3 1;
4 x x 4 x 2. 2 x x 3x 11.
1 2 3 1 2 3
x1 x2 x3 x4 2; 2 x1 x2 5 x3 x4 5;
x 2 x 3x 4 x 2; x x 3 x 4 x 1;
e) 1 2 3 4
f) 1 2 3 4
2
1 x 3 x 2 5 x 3 9 x 4 2; 3
1 x 6 x2 2 x3 x4 8;
x1 x2 2 x3 7 x4 2. 2 x1 2 x2 2 x3 3 x4 2.
x1 x2 x3 x4 5; 2 x1 2 x2 x3 x4 2;
x 2 x 3x 4 x 3; 4 x 3 x x 2 x 3;
g) 1 2 3 4
h) 1 2 3 4
4 x1 x2 2 x3 3 x4 7; 8 x1 5 x2 3 x3 4 x4 6;
3 x1 2 x2 3 x3 4 x4 2; 3 x1 3 x2 2 x3 2 x4 3;
Đại số tuyến tính 1 74
Chương 3. Hệ phương trình tuyến tính
3 x1 2 x2 5 x3 x4 3; x1 x2 x3 x4 a;
2 x 3 x x 5 x 3; x x x x b;
k) 1 2 3 4
l) 1 2 3 4 với a, b, c, d là các số thực khác 0.
x1 2 x2 4 x4 3; x1 x2 x3 x4 c;
x1 x2 4 x3 9 x4 22; x1 x2 x3 x4 d ;
ax1 bx2 cx3 dx4 p;
bx ax dx cx q;
m) 1 2 3 4
với a, b, c, d, p, q, r, s là các số thực khác 0.
1 cx dx2 ax3 bx4 r;
dx1 cx2 bx3 ax4 s.
2 x1 x2 1;
x 2 x x 1;
1 2 3
x2 2 x3 x4 1;
n)
x3 2 x4 x5 1;
x4 2 x5 x6 1;
x5 2 x6 1;
2. Giải các hệ phương trình tuyến tính thuần nhất tương ứng với các hệ đã cho ở bài tập 1
(tức là thay cột hệ số tự do bằng cột chứa các số 0) rồi giải lại các hệ phương trình đó.
3. Giải và biện luận các hệ phương trình sau:
mx1 x2 x3 x4 1;
mx1 x2 x3 1; x mx x x
1 2 3 4 m; ax1 x2 x3 4;
a) x1 mx2 x3 m; b) x1 x2 mx3 x4 m2 ; c) x1 bx2 x3 3;
2 x x x mx x 2 x x 4.
x1 x2 mx3 m . 1 2 3 4 m3 . 1 2 3
x1 x2 x3 x4 1;
x1 ax2 a 2 x3 a 3 ; x1 (m 1) x2 3 x3 1; x x x x
1 2 3 4 1;
d) x1 bx2 b 2 x3 b3 ; e) 2 x1 4 x2 (4m 2) x3 1; f) x1 x2 x3 x4 1;
2 3 3 x (m 1) x 9 x 0. x1 x2 x3 x4
x1 cx2 c x3 c . 1 2 3 1.
(m 3) x1 x2 2 x3 m; (3m 1) x1 2mx2 (3m 1) x3 1;
g) mx1 (m 1) x2 x3 2m; h) 2mx1 2mx2 (3m 1) x3 m;
3(m 1) x mx (m 3) x 3. 2
1 2 3 (m 1) x1 (m 1) x2 2(m 1) x3 m .
x1 mx2 m 2 x3 1; x1 x2 2 x3 2 x4 m;
k) x1 2 x2 4 x3 2; l) x1 x2 x3 x4 2m 1;
x 3 x 9 x 3. x 7 x 5 x x m.
1 2 3 1 2 3 4
x1 x2 2 x3 2 x4 0;
x1 2 x2 x3 x4 m; 2 x x x x 3;
1 2 3 4
m) 2 x1 5 x2 2 x3 2 x4 2m 1; n) 3 x1 x3 x4 3;
3 x 7 x 3x 3 x m. 5 x1 x2
1 2 3 4 m.
Đại số tuyến tính 1 75
Chương 3. Hệ phương trình tuyến tính
2 x1 x2 x3 x4 1; 2 x1 x2 x3 2 x4 4; 2 x1 x2 x3 2 x4 3 x5 3;
x 2 x x 4 x 2; x x x 2 x 3; x x x x x 1;
1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 5
o) x1 7 x2 4 x3 11x4 m; p) 2 x1 2 x2 2 x3 x4 3; q) 3 x1 x2 x3 3x4 4 x5 6;
4 x1 8 x2 4 x3 16 x4 m 1. x1 x2 2 x3 x4 m. 5 x1 2 x3 5 x4 7 x5 9 m.
4. Cho aij là các số nguyên. Giải hệ phương trình sau:
1
2 x1 a11 x1 a12 x2 ... a1n xn ;
1 x a x a x ... a x ;
2 21 1 22 2 2n 4
2
...
1 x a x a x ... a x
2 n n1 1 n2 2 nn n
5. Giải hệ phương trình
x1 x2 ... xn 1;
n 1
x1 2 x2 ... 2 xn 1;
n 1
x1 3x2 ... 3 xn 1;
...
x1 nx2 ... n n 1 xn 1.
6. Chứng minh rằng hệ phương trình sau
a11 x1 a12 x2 ... a1n xn 0;
a21 x1 a22 x2 ... a2 n xn 0;
trong đó aij a ji và n lẻ, có nghiệm khác 0.
...
an1 x1 an 2 x2 ... ann xn 0.
7. Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thích hợp:
x1 x2 x3 0;
x x x 0;
ax by cz dt p; 2 3 4
bx ay dz ct q; ...
a) b)
cx dy az bt r ; x98 x99 x100 0;
dx cy bz at s. x99 x100 x1 0;
x100 x1 x2 0.
Đại số tuyến tính 1 76
Copyright by webtailieu.net