Hàm số thực theo một biến số thực
Tài liệu ôn thi cao học năm 2005 - Môn giải tích cơ bản - Hàm số thực theo một biến số thực
Tài li u ôn thi cao h c năm 2005
Môn: Gi i tích cơ b n
GV: PGS.TS. Lê Hoàn Hóa
Đánh máy: NTV
Phiên b n: 2.0 đã ch nh s a ngày 19 tháng 10 năm 2004
HÀM S TH C THEO M T BI N S TH C
1 Gi i h n liên t c
Đ nh nghĩa 1.1 Cho I ⊂ R, đi m x0 ∈ R đư c g i là đi m gi i h n (hay đi m t ) c a I n u
v i m i δ > 0, I ∩ (x0 − δ, x0 + δ )\{x0 } = 0. Cho f : I → R và x0 là đi m gi i h n c a I . Ta
nói:
lim f (x) = a ∈ R ⇐⇒ ∀ε, ∃δ > 0 : ∀x ∈ I, 0 < |x − x0 | < δ =⇒ |f (x) − a| < ε
x→x0
lim f (x) = +∞ (−∞) ⇐⇒ ∀A ∈ R, ∃δ > 0 : ∀x ∈ I, 0 < |x−x0 | < δ =⇒ f (x) > A (f (x) < A)
x→x0
Đ nh nghĩa 1.2 Cho f : I → R và x0 ∈ I . Ta nói:
f liên t c t i x0 ⇐⇒ ∀ε > 0, ∃δ > 0 : ∀x ∈ I, |x − x0 | < δ =⇒ |f (x) − f (x0 )| < ε
N u x0 là đi m gi i h n c a I thì:
f liên t c t i x0 ⇐⇒ lim f (x) = f (x0 )
x→x0
N u f liên t c t i m i x ∈ I , ta nói f liên t c trên I .
f liên t c trên I ⇐⇒ ∀x ∈ I, ∀ε > 0, ∃δ > 0 : ∀x ∈ I, |x − x | < δ =⇒ |f (x) − f (x )| <
Ta nói:
f liên t c đ u trên I ⇐⇒ ∀ε > 0, ∃δ > 0 : ∀x, x ∈ I, |x − x | < δ =⇒ |f (x) − f (x )| <
Hàm s liên t c trên m t đo n:
Cho f : [a, b] → R liên t c. Khi đó:
i) f liên t c đ u trên [a, b].
ii) f đ t c c đ i, c c ti u trên [a, b].
Đ t m = min{f (x), x ∈ [a, b]}, M = max{f (x), x ∈ [a, b]}. Khi đó f ([a, b]) = [m, M ] (nghĩa là
f đ t m i giá tr trung gian gi a m, M).
1
2 S kh vi
f (x0 + t) − f (x0 )
Đ nh nghĩa 2.1 Cho f : I → R và x0 ∈ I . Ta nói f kh vi t i x0 n u lim
t
t→0
t n t i h u h n. Khi đó đ t
f (x0 + t) − f (x0 )
f (x0 ) = lim g i là đ o hàm c a f t i x0
t
t→0
N u f kh vi t i m i x ∈ I , ta nói f kh vi trên I .
Đ nh lí 2.1 (Cauchy) Cho f, g : [a, b] → R liên t c trên [a, b], kh vi trên (a, b). Gi s
f (x) = 0 trên (a, b). Khi đó, t n t i c ∈ (a, b) sao cho:
f (c)[g (b) − g (a)] = g (c)[f (b) − f (a)]
Trư ng h p g (x) = x, ta có công th c Lagrange
f (b) − f (a) = f (c)(b − a)
Quy t c Lôpitan: Cho x0 ∈ R ho c x0 = ±∞, f, g kh vi trong lân c n c a x0 . Gi s g và
g khác không và lim f (x) = lim g (x) = 0 ho c lim f (x) = lim g (x) = +∞ ho c −∞.
x→x0 x→x0 x→x0 x→x0
f (x) f (x)
Khi đó: N u lim = A thì lim = A (A có th là h u h n ho c vô h n).
g (x) x→x0 g (x)
x→x0
Công th c đ o hàm dư i d u tích phân:
Cho f liên t c, u, v kh vi. Đ t
v ( x)
F (x) = f (t) dt
u ( x)
Khi đó: F kh vi và F (x) = v (x)f (v (x)) − u (x)f (u(x)).
3 Vô cùng bé - Vô cùng l n
Hàm f đư c g i là lư ng vô cùng bé khi x → x0 n u lim f (x) = 0.
x→x0
f (x)
Cho f, g là hai lư ng vô cùng bé khi x → x0 . Gi s lim =k
g (x)
x→x0
- N u k = 1, ta nói f, g là hai lư ng vô cùng bé tương đương.
- N u k = 0, k h u h n, ta nói f, g là hai lư ng vô cùng bé cùng b c.
- N u k = +∞ ho c −∞, ta nói g là lư ng vô cùng bé b c l n hơn f .
- N u k = 0, ta nói f là lư ng vô cùng bé b c l n hơn g .
2
B c c a vô cùng bé: Cho f là lư ng vô cùng bé khi x → x0 . Gi s t n t i k > 0 sao cho
lim (xf (x0 )k t n t i h u h n và khác 0, s k > 0, n u có s duy nh t, đư c g i là b c c a vô
x)
−
x→x0
cùng bé f khi x → x0 .
Hàm f đư c g i là vô cùng l n khi x → x0 n u lim f (x) = +∞ ho c −∞. N u f là vô
x→x0
1
cùng l n khi x → x0 thì là vô cùng bé khi x → x0 .
f
Cho f, g là vô cùng l n khi x → x0 . Gi s lim f (x) = k .
( x)
g x→x0
- N u k = 1, ta nói f, g là hai lư ng vô cùng l n tương đương.
- N u k = 0 và h u h n, ta nói f, g là hai lư ng vô cùng l n cùng b c.
- N u k = 0, ta nói g là lư ng vô cùng l n b c l n hơn f .
- N u k = +∞ ho c −∞, ta nói f là lư ng vô cùng l n b c l n hơn g .
Cho f là vô cùng l n khi x → x0 . B c c a vô cùng l n f là s k > 0 (n u có s duy nh t) sao
cho lim (x − x0 )k f (x) t n t i h u h n và khác không.
x→x0
4 Công th c Taylor
Cho f : (a, b) → R có đ o hàm b c (n + 1). V i x0 , x ∈ (a, b), t n t i θ ∈ (0, 1) sao cho:
n
f (k) (x0 ) 1
(x − x0 )k + f (n+1) (x0 + θ(x − x0 ))
f (x) =
k! (n + 1)!
k=0
1
f (n+1) (x0 + θ(x − x0 )) là dư s Lagrange.
Rn (x) = (n+1)!
Ho c:
n
f (k) (x0 )
(x − x0 )k + o (|x − x0 |n )
f (x) =
k!
k=0
Rn (x) = o (|x − x0 |n ) là lư ng vô cùng bé b c l n hơn n, đư c g i là dư s Peano. N u x0 = 0
ta đư c công th c Maclaurin:
n
f (k) (0) k
f (x) = x + Rn (x)
k!
k=0
. Công th c Maclaurin c a hàm sơ c p
x2 xn eθx
a) ex = 1 + x + xn+1 ho c Rn (x) = o(xn ).
+ ··· + + Rn (x), Rn (x) =
2! n! (n + 1)!
x2n−1
x3 x5 x2n+1
+ · · · + (−1)n + R2n , R2n = (−1)n cos θx.
b) sin x = x − + ho c
(2n − 1)!
3! 5! (2n + 1)!
= o(x2n ).
R 2n
x2 x4 x 2n x2n+2
+ · · · + (−1)n + R2n+1 , R2n+1 = (−1)n+1 cos θx.
c) cos x = 1 − + ho c
2! 4! (2n)! (2n + 2)!
= o(x2n+1 ).
R2n+1
3
αx α(α − 1) 2 α(α − 1) . . . (α − n + 1) n
d) (1 + x)α = 1 + x + ··· + x + Rn , (x > −1).
+
1! 2! n!
α(α − 1) . . . (α − n + 1)
(1 + θx)α−n+1 .xn+1 ho c Rn = o(xn ).
Rn =
n!
x2 x3 xn
+ · · · + (−1)n+1 + o(xn ), x > −1
e) ln(1 + x) = x − +
2 3 n
x2n−1
x3 x5
+ · · · + (−1)n+1 + o(x2n )
f) arctgx = x − +
2n − 1
3 5
5 Các gi i h n cơ b n
et − 1
sin t tgt arctgt arcsint ln (1 + t)
1. lim = lim = lim = lim = lim = lim
t→0 t t→0 t t t t t
t→0 t→0 t→0 t→0
(1 + t)a − 1
2. lim = a.
t
t→0
1 − cos t 1
3. lim =.
2
t 2
t→0
tp
= 0 ∀p.
4. lim
t→∞ et
lnp t
= 0, α > 0, ∀p.
5. lim
t→∞ tα
Thí d :
Tính các gi i h n sau:
√
(1 + t)1/m − 1
x−1 n
m
1. lim √ = lim =.
1/n − 1
x−1 t→0 (1 + t) m
n
x→1
√ √ √
1 − (1 + t)1/2 . 1 − (1 + t)1/3 . . . 1 − (1 + t)1/n
(1 − x)(1 − 3 x) . . . (1 − n x)
lim = lim
(1 − x)n−1 (−t)n−1
2. x→1 t→0
11 1 1
= . ... =
23 n n!
x2
3. I = lim √
n
1 + 5x − (1 + x)
x→0
5−
Đ t t = 1 + 5x hay x = t 5 1
5
x2 (t5 − 1)2 (t5 − 1)2
Suy ra : √ =− 5 =−
5(t − 1)2 (t3 + 2t2 + 3t − 4)
5(t − t + 4)
5
1 + 5x − (1 + x)
5
V y I = −2
ex − 1
1 1
ln(ex − 1) − ln x = 1
4. lim ln = lim
x→+∞ x x x→+∞ x
ln[1 + (cos x − 1)] cos x − 1
ln(cos x) 1
=−
5. lim = lim = lim
2 2 2
x x x 2
x→0 x→0 x→0
x2
1 − cos x
1
− cotg x
6. lim = lim = lim =0
sin x sin x x→0 2x
x→0 x→0
4
1 1
x2 x2
3 2
x2 x2
√ √ 1− − 1− − +
cos x − cos x 4=1
3
2 2 6
7. lim = lim = lim
x2 2 2
x x 12
x→0 x→0 x→0
2 α
(1 + t) − 1
x
(dùng 1 − cos x ∼ , lim =α)
2 t
t→0
√ √
√ √
√ √ x+1− x x+1+ x
8. lim sin x + 1 − sin x = lim 2 sin . cos =0
2 2
x→∞ x→∞
Tính lim u(x)v(x)
x→x0
Đ t y = uv ⇒ ln y = v ln u.
Sau đó tính lim v ln u
x→x0
N u lim v ln u = a thì lim uv = ea
x→x0 x→x0
3x+4
x+2
9. lim
x−3
x→+∞
3x+4
x+2 x+2
⇒ ln y = (3x + 4) ln
Đ t y = lim
x−3 x−3
x→+∞
5
⇒ ln y = (3x + 4) ln 1 +
x−3
5
V y lim ln y = lim (3x + 4). = 15
x−3
x→∞ x→∞
Suy ra lim y = e15
x→∞
1
1 + tg x sin x
10. lim
1 + sin x
x→0
1
1 + tg x sin x
Đ ty=
1 + sin x
tg x − sin x
1 1 + tg x 1
⇒ ln y = ln = ln 1 +
sin x 1 + sin x sin x 1 + sin x
(dùng ln(1 + t) ∼ t)
1
−1
tg x − sin x
= lim cos x
⇒ lim ln y = lim =0
x→0 sin x(1 + sin x) x→0 1 + sin x
x→0
V y lim y = 1
x→0
Ch ng minh các lư ng vô cùng bé sau tương đương khi x → 0:
1. f (x) = x sin2 x, g (x) = x2 sin x
x sin2 x
f (x)
lim = lim 2 =1
x→0 g (x) x→0 x sin x
5
2. f (x) = e2x − ex , g (x) = sin 2x − x
e2x − ex 2e2x − ex
f (x)
lim = lim = lim =1
x→0 sin 2x − x x→0 2 cos 2x − 1
x→0 g (x)
So sánh các vô cùng bé khi x → 0
1. f (x) = 1 − cos3 x, g (x) = x sin x
1 − cos3 x (1 − cos x)(1 + cos x + cos2 x)
f (x) 3
lim = lim = lim =
2
x→0 g (x) x sin x x 2
x→0 x→0
(thay sin t ∼ t)
V y f , g là vô cùng bé cùng b c.
3
2. f (x) = cos x − cos 2x, g (x) = x 2
cos x − cos 2x (cos x − 1) + (1 − cos 2x)
f (x)
lim = lim = lim =0
3 3
x→0 g (x) x→0 x→0
x2 x2
V y f là vô cùng bé b c l n hơn g .
Tìm b c c a các vô cùng bé sau khi x → 0
√ √
1. f (x) = cos x − 3 cos x
1 1
x2 x2
2 3
√ √ 1− − 1−
cos x − 3 cos x
f (x) 1
2 2
=−
lim = lim = lim n uk=2
x→0 xk xk k
x 12
x→0 x→0
V y f là vô cùng bé b c 2.
2. f (x) = x sin x − sin2 x
x3 x4
Ta có: f (x) = sin x(x − sin x) ∼ x = (dùng khai tri n Taylor)
3! 3!
V y f là vô cùng bé b c 4.
√
3. Tìm b c c a vô cùng l n f (x) = 1 + x khi x → +∞
√ −1 −1
1 1
f (x) = 1 + x = x 2 (1 + x 2 ) = x 4 1 + x 2
1
V y f là vô cùng l n b c
4
f (x)
Lưu ý. Đ tìm b c c a vô cùng l n khi x → +∞, ta tìm s k > 0 sao cho lim tn
xk
x→∞
t i h u h n và khác không.
√
√
x2 + x4 + 1 − x 2]
4. Tìm lư ng tương đương c a f (x) = x[
khi x → +∞
Dùng (1 + t)α ) − 1 ∼ αt khi t → 0, ta có
1
1 1
√ √
2
12 1 2
f (x) = x2 1 + 1 + 4 − 2 ∼ x2 −
2+ 4 2
x 2x
6
√
1
√ x2 2
1 2
2
∼x −1 ∼
2 1+ 4
8x4
4x
√
2
khi x → +∞
V y f là vô cùng bé tương đương v i g (x) =
8x2
5. Cho n là s t nhiên, f0 , f1 , . . . , fn là các đa th c sao cho
fn (x)enx + fn−1 (x)e(n−1)x + · · · + f0 (x) = 0
v i m i x l n b t kỳ.
Ch ng minh f0 , f1 , . . . , fn đ ng nh t b ng 0.
Gi s fn không đ ng nh t tri t tiêu
fn (x) = ak xk + ak−1 xk−1 + · · · + a0 , ak = 0
xp
Chia hai v cho xk enx , cho x → ∞, áp d ng lim = 0 v i a > 0, ∀p, ta đư c ak = 0.
x→∞ eax
Mâu thu n.
V y fn ≡ 0. Tương t cho fn−1 , . . . , f1 đ ng nh t tri t tiêu.
Khi đó, f0 (x) = 0 v i m i x l n b t kỳ. V y f0 ≡ 0.
6. Cho n là s t nhiên, f0 , f1 , . . . , fn là các đa th c sao cho
fn (x)(ln x)n + fn−1 (x)(ln x)n−1 + · · · + f0 (x) = 0
v i m i x > 0.
Ch ng minh f0 , f1 , . . . , fn đ ng nh t tri t tiêu.
Đ t x = ey và vi t bi u th c v trái dư i d ng
gk (y )eky + gn−1 (y )e(k−1)y + · · · + g0 (y ) = 0
v i m i y , trong đó k là s t nhiên.
Làm tương t như bài (5), ta có gk , . . . , g0 đ ng nh t tri t tiêu. V y f0 , f1 , . . . , fn đ ng
nh t tri t tiêu.
6 Bài t p
1. Tính các gi i h n sau
tg3 x − 3 tg x
(a) lim π
π
x→ 3
cos x +
6
(b) lim x[ln(x + a) − ln x]
x→∞
x2 − 1
(c) lim
x→1 x ln x
√ √
3
x3 + 3x2 − x2 − 2x
(d) lim
x→+∞
1
(e) lim (cos x) x2
x→0
1
(f) lim (sin x + cos x) x
x→0
7
2. Tính các gi i h n sau b ng thay các vô cùng bé tương đương.
Các lư ng vô cùng bé sau tương đương khi t → 0:
t ∼ sin t ∼ tg t ∼ arctg t ∼ arcsin t ∼ ln(1 + t) ∼ (et − 1)
t2
(1 − cos t) ∼
2
α
(1 + t) ∼ 1 + αt
ln(1 + 2x sin x)
(a) lim
tg2 x
x→0
sin2 3x
(b) lim 2
x→0 ln (1 − 2x)
√
1 + cos 2x
√
(c) lim± √
π − 2x
π
x→ 2
ln(cos x)
(d) lim
x→0 ln(1 + x2 )
3. Dùng công th c Taylor tính các gi i h n sau:
1
(a) lim x − x2 ln 1 +
x
x→∞
1 − (cos x)sin x
(b) lim
x3
x→0
Hư ng d n:
sin x. ln(cos x) = sin x. ln[1 + (cos x − 1)] ∼ sin x.(cos x − 1)
x3 x2 x3
∼ x− − − ... ∼ −
+ ...
3! 2 2
x3
x3
1 − (cos x)sin x = 1 − esin x. ln(cos x) ∼ 1 − e− 2 ∼
2
1 − (cos x)sin x 1
V y lim =
x3 2
x→0
x
(1 + x) − 1
(c) lim
sin2 x
x→0
1
e − (1 + x) 2
(d) lim
x
x→0
4. Dùng quy t c L’Hopital tính các gi i h n sau
ex − e−x − 2x
(a) lim
x − sin x
x→0
x
xe 2
(b) lim
x→∞ x + ex
ln x
(c) lim + 1 + 2 ln(sin x)
x→0
π − 2 arctg x
(d) lim
1
x→∞
ln 1 +
x
8
5. Dùng quy t c L’Hopital kh các d ng vô đ nh
(a) lim ln x. ln(x − 1)
+
x→1
1 1
−x
(b) lim
x e −1
x→0
(c) lim (1 + x)ln x
+
x→0
1
tg x x2
(d) lim
x
x→0
(e) lim (x)sin x
+
x→0
(f) lim− (π − 2x)cos x
π
x→ 2
π
Hư ng d n: Đ t x = +t
2
9
