Giới thiệu một số bài toán ôn thi Đại học về tam giác
Dùng cho các học sinh đang ôn thi Đại học
GIÔÙI THIEÄU MOÄT SOÁ BAØI TOAÙN OÂN THI ÑAÏI HOÏC VEÀ TAM GIAÙC 1 − cos 2A 1 − cos 2B
Giaûi: Ta coù sin A + sin B + sin C = + + 1 − cos 2 C
2 2 2
3 2 2
1) Chöùng minh raèng trong moïi tam giaùc ABC ta ñeàu coù cosA + cosB + cosC ≤
2 1
= 2− (cos 2A + cos 2B) − cos 2 C = 2 − cos(A + B) cos(A − B) − cos 2 [π − (A + B)]
Giaûi: Ñaët y= cosA+cosB+cosC ta coù: 2
A+ B A− B C π C A− B C 1 1
y = 2 cos cos + 1 − 2 sin 2 = 2 cos( − ) cos + 1 − 2 sin 2 = 2 − cos(A + B) cos(A − B) − cos 2 (A + B) = 2 + cos 2 (A − B) − [cos(A + B) + cos(A − B)] 2
2 2 2 2 2 2 2 4 2
C A− B C C A− B C 9
⇔ y = 2 sin cos + 1 − 2 sin 2 ⇔ 2 sin 2 − 2 cos sin + y − 1 = 0 ⇒ sin A + sin B + sin C ≤ .
2 2 2
2 2 2 2 2 2 4
C 9
Ñeå phöông trình naøy xaùc ñònh sin ta phaûi coù: Vaäy trong moïi tam giaùc ABC ta ñeàu coù sin A + sin B + sin C ≤
2 2 2
2 4
A− B 2 A− B 2 5) a) Chöùng minh baát ñaúng thöùc: Vôùi 6 soá thöïc a1, a2, a3, b1, b2, b3 ta luoân coù:
∆ ' = (cos ) − 2(y − 1) ≥ 0 ⇔ 2y ≤ 2 + (cos ) ≤ 3
2 2 a1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 ≤ a1 + a 2 + a 3 . b1 + b 2 + b 2
2 2 2
2 2 3
3 3
⇔ y≤ ⇔ cosA + cosB + cosC ≤ a1 a 2 a 3
2 2 = =
Ñaúng thöùc xaûy ra khi vaø chæ khi ( BÑT Bunhiacoâpxki)
3 b1 b 2 b 3
Vaäy trong moïi tam giaùc ABC ta ñeàu coù cosA + cosB + cosC ≤
2 b) Tam giaùc ABC coù 3 trung tuyeán ma, mb, mc vaø R laø baùn kính ñöôøng troøn ngoaïi tieáp tam giaùc
1 9R
2) Chöùng minh raèng trong moïi tam giaùc ABC ta ñeàu coù cosA.cosB.cosC ≤ ABC. Chöùng minh raèng: Neáu ma+mb+mc= thì ABC laø moät tam giaùc ñeàu.
8 2
Giaûi:* Giaû thieát A tuø ⇒ø B, C nhoïn. Khi ñoù cosA0, cosC>0 Giaûi: a) Xeùt trong heä toïa ñoä vuoâng goùc Oxyz xeùt 2 vectô khaùc 0 :
→
1
⇒ cosA.cosB.cosC < 0 ⇒ cosA.cosB.cosC ≤ a = (a 1 ; a 2 ; a 3 ) vaø b = ( b 1 ; b 2 ; b 3 ) . Theo coâng thöùc ñònh goùc cuûa 2 vectô ta coù
→ →
8
→ → → →
*Giaû thieát A, B, C nhoïn. Khi ñoù cosA>0 vaø cosB>0, cosC>0 → →
a.b → →
| a.b | → → → →
cos A + cos B + cos C 3 cos(a, b) = → → . Vì | cos(a, b) | ≤ 1 neân → →
≤ 1 ⇒ | a.b |≤ | a | . | b |
Theo baát ñaúng thöùc Coâsi daønh cho 3 soá ta coù: ≥ cos A. cos B. cos C |a|.| b| | a|.| b|
3
Theo phöông phaùp toïa ñoä: a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 ≤ a 12 + a 2 + a 3 . b 12 + b 2 + b 2
2
⇔27cosA.cosB.cosC≤(cosA+cosB+cosC)3 (1). 2 2 3
3 a1 a 2 a 3
Theo keát quaû baøi 1): cosA + cosB + cosC ≤
→ → → →
(2). Ñaúng thöùc xaûy ra khi vaø chæ khi | cos(a, b) | = 1 ⇔ a, b cuøng phöông ⇔ = = .
2 b1 b 2 b 3
3 1
Töø (1) vaø (2) ta coù: 27cosA.cosB.cosC≤( )3 ⇒ cosA.cosB.cosC ≤ b) Theo baát ñaúng thöùc Bunhiacoápxki: |1.ma+1.mb+1.mc| ≤ 12 + 12 + 12 . m 2 + m 2 + m 2
a b c
2 8
⇒ (ma+mb+mc)2 ≤ 3(m a + m b + m c ) (1).
2 2 2
1
Vaäy trong moïi tam giaùc ABC ta ñeàu coù: cosA.cosB.cosC ≤ Theo ñònh lyù ñöôøng trung tuyeán trong tam giaùc ABC ta coù:
8
1 2 b 2 + 2c 2 − a 2 2a 2 + 2 c 2 − b 2 2a 2 + 2 b 2 − c 2 3 2
m2 + m2 + m2 = + + = (a + b 2 + c 2 ) (2)
3) Chöùng minh raèng: Neáu cosA.cosB.cosC = thì ∆ABC ñeàu. a b c
4 4 4 4
8
1 1 Theo ñònh lyù sin trong tam giaùc ABC ta coù:
Giaûi: Ta coù cosA.cosB.cosC = ⇔ 8 cos A. [cos(B + C) + cos(B − C)] − 1 = 0 baøi 4
9
8 2 a 2 + b 2 + c 2 = 4R 2 sin 2 A + 4R 2 sin 2 B + 4R 2 sin 2 C = 4R 2 (sin 2 A + sin 2 B + sin 2 C) ≤ 4 R 2 .
4
⇔ 4 cos A.[cos(π − A ) + cos(B − C)] − 1 = 0 ⇔ 4 cos A.[− cos A + cos(B − C)] − 1 = 0
⇒ a 2 + b 2 + c 2 ≤ 9R 2 (3).
⇔ 4 cos A − 4 cos A. cos(B − C) + cos (B − C) + 1 − cos (B − C) = 0
2 2 2
27R 2
⇔ [2 cos A − cos(B − C)] + sin (B − C) = 0 Töø (2) vaø (3): m a + m b + m c ≤
2 2
(4)
2 2 2
4
1
2 cos A − cos(B − C) = 0 2 cos A − cos 0 = 0 cos A = A = 60 0 81R 2 9R
⇒ ⇒ ⇒ 2 ⇒ Töø (1) vaø (4): (ma+mb+mc)2 ≤ ⇔ ma+mb+mc≤ .
sin(B − C) = 0 B= C B= C B= C 4 2
9R ma mb mc
⇒A=B=C=600 ⇒ ∆ABC ñeàu. Theo baát ñaúng thöùc Bunhiacoápxki: ma+mb+mc= ⇔ = =
2 1 1 1
9
4) Chöùng minh raèng trong moïi tam giaùc ABC ta ñeàu coù sin A + sin B + sin C ≤ ⇒ Tam giaùc ABC laø tam giaùc ñeàu.
2 2 2
4
