B GIÁO D C VÀ ðÀO T O
TRƯ NG ð I H C NÔNG NGHI P I
**********************
Ths.LÊ ð C VĨNH
GIÁO TRÌNH
XÁC SU T TH NG KÊ
HÀ N I - 2006
Chương 1 : Phép th . S ki n
Nh ng ki n th c v gi i tích t h p sinh viên ñã ñư c h c trong chương trình ph
thông. Tuy nhiên ñ giúp ngư i h c d dàng ti p thu ki n th c c a nh ng chương k ti p
chúng tôi gi i thi u l i m t cách có h th ng nh ng ki n th c này. Phép th ng u nhiên
và s ki n ng u nhiên là bư c kh i ñ u ñ ngư i h c làm quen v i môn h c Xác su t.
Trong chương này chúng tôi trình bày nh ng ki n th c t i thi u v s ki n ng u nhiên,
các phép toán v các s ki n ng u nhiên, h ñ y ñ các s ki n ñ ng th i ch ra cách
phân chia m t s ki n ng u nhiên theo m t h ñ y ñ . Nh ng ki n th c này là c n thi t
ñ ngư i h c có th ti p thu t t nh ng chương ti p theo.
I. Gi i tích t h p
1.Qui t c nhân: Trong th c t nhi u khi ñ hoàn thành m t công vi c, ngư i ta ph i th c
hi n m t dãy liên ti p k hành ñ ng.
Hành ñ ng th nh t: có 1 trong n1 cách th c hi n
Hành ñ ng th hai: có 1 trong n2 cách th c hi n
. . .. . . . . .. .. . . . . . . .. . . . . . . . . .. .. .. . . .
Hành ñ ng th k: có 1 trong nk cách th c hi n
G i n là s cách hoàn thành công vi c nói trên, ta có:
n = n1n2..nk
Qui t c trên g i là qui t c nhân.
Ví d : ð ñi t thành ph A t i thành ph C ph i qua thành ph B. Có m t trong b n
phương ti n ñ ñi t A t i B là: ñư ng b , ñư ng s t, ñư ng không và ñư ng thu . Có
m t trong hai phương ti n ñ ñi t B t i C là ñư ng b và ñư ng thu . H i có bao nhiêu
cách ñi t A t i C?
ð th c hi n vi c ñi t A t i C ta ph i th c hi n m t dãy liên ti p hai hành ñ ng.
Hành ñ ng th nh t: ch n phương ti n ñi t A t i C có n1= 4 cách
Hành ñ ng th hai: ch n phương ti n ñi t B t i C có n2 = 2 cách
V y theo qui t c nhân, s cách ñi t A t i C là n= 4.2 = 8 cách
2.Qui t c c ng:
ð hoàn thành công vi c ngư i ta có th ch n m t trong k phương án.
Phương án th nh t: có 1 trong n1 cách th c hi n
Phương án th hai: có 1 trong n2 cách th c hi n
.................................
Phương án th k: có 1 trong nk cách th c hi n
G i n là s cách hoàn thành công vi c nói trên, ta có:
n = n1 + n2 +. . . ..+ nk
Trư ng ð i h c Nông nghi p Hà N i – Giáo trình Giáo trình Xác su t th ng kê……………………..1
Qui t c trên g i là qui t c c ng
Ví d : M t t sinh viên g m hai sinh viên Hà N i, ba sinh viên Nam ð nh và ba sinh
viên Thanh Hoá. C n ch n hai sinh viên cùng t nh tham gia ñ i thanh niên xung kích.
H i có bao nhiêu cách ch n.
Phương án th nh t: Ch n hai sinh viên Hà N i có n1= 1 cách
Phương án th hai: Ch n hai sinh viên Nam ð nh có n2= 3 cách
Phương án th ba: Ch n hai sinh viên Thanh Hoá có n3= 3 cách
Theo qui t c c ng ta có s cách ch n hai sinh viên theo yêu c u:
n = 1 + 3 + 3 = 7 cách
3.Hoán v
Trư c khi ñưa ra khái ni m m t hoán v c a n ph n t ta xét ví d sau:.
Ví d : Có ba h c sinh A,B,C ñư c s p x p ng i cùng m t bàn h c. H i có bao nhiêu
cách s p x p?
Có m t trong các cách s p x p sau:
ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA.
Nh n th y r ng: ð i ch b t kỳ hai h c sinh nào cho nhau ta ñư c m t cách s p x p
khác. T m t cách s p x p ban ñ u, b ng cách ñ i ch liên ti p hai h c sinh cho nhau ta
có th ñưa v các cách s p x p còn l i. M i m t cách s p x p như trên còn ñư c g i là
m t hoán v c a ba ph n t A, B, C. T ng quát v i t p h p g m n ph n t ta có ñ nh
nghĩa sau:
3.1 ð nh nghĩa: M t hoán v c a n ph n t là m t cách s p x p có th t n ph n t ñó.
3.2 S hoán v c a n ph n t : V i m t t p g m n ph n t ñã cho. S t t c các hoán v
c a n ph n t ký hi u là Pn.Ta c n xây d ng công th c tính Pn.
ð t o ra m t hoán v c a n ph n t ta ph i th c hi n m t dãy liên ti p n hành ñ ng.
Hành ñ ng th nh t: Ch n 1 ph n t x p ñ u có n cách ch n
Hành ñ ng th hai: Ch n 1 ph n t x p th 2 có n-1 cách ch n
...........................................
Hành ñ ng cu i: Ch n ph n t còn l i x p cu i có 1 cách ch n
Theo qui t c nhân, s cách t o ra 1 hoán v c a n ph n t là
Pn = n.(n-1) ....2.1= n!
4. Ch nh h p không l p
4.1 ð nh nghĩa: M t ch nh h p không l p ch p k c a n ph n t là m t cách s p x p có
th t g m k ph n t khác nhau l y t n ph n t ñã cho.
Ví d : Có 5 ch s 1, 2, 3, 4, 5. Hãy l p t t c các s g m 2 ch s khác nhau
Các s ñó là: 12, 13, 14, 15, 21, 23, 24, 25, 31, 32, 34, 35, 41, 42, 43, 45, 51, 52, 53, 54.
M i m t s trên chính là m t cách s p x p có th t g m hai ph n t khác nhau l y t
năm ph n t là năm ch s ñã cho. V y m i s là ch nh h p không l p ch p hai c a năm
ph n t .
Trư ng ð i h c Nông nghi p Hà N i – Giáo trình Giáo trình Xác su t th ng kê……………………..2
4.2 S các ch nh h p không l p: S các ch nh h p không l p ch p k c a n ph n t kí hi u
là A k . Ta xây d ng công th c tính A k .
n n
ð t o ra m t ch nh h p không l p ch p k c a n ph n t ta ph i th c hi n m t dãy liên
ti p k hành ñ ng.
Hành ñ ng th nh t: ch n 1 trong n ph n t ñ x p ñ u: có n cách
Hành ñ ng th hai: ch n 1 trong n-1 ph n t ñ x p th 2: có n -1 cách
. . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .
Hành ñ ng th k: ch n 1 trong n-k+1 ph n t ñ x p cu i: có n-k+1 cách
Theo qui t c nhân: S cách t o ra m t ch nh h p không l p ch p k c a n ph n t là :
A k = n(n-1).. ....(n-k+1)
n
ð d nh ta s d ng công th c sau:
(n − k ).......2.1 n!
A k = n.(n − 1)....(n − k + 1) = n.(n − 1)...(n − k + 1).
n =
(n − k )......2.1 (n − k )!
5. Ch nh h p l p: ð hi u th nào là m t ch nh h p l p ta xét ví d sau:
Ví d : Hãy l p các s g m 2 ch s t 4 ch s : 1, 2, 3, 4.
Các s ñó là: 11, 12, 13, 14, 21, 22, 23, 24, 31, 32, 33, 34, 41, 42, 43, 44.
M i s trong các s nói trên là m t cách s p x p có th t g m hai ch s , m i ch s
có th có m t ñ n hai l n l y t b n ch s ñã cho. M i cách s p x p như v y còn g i là
m t ch nh h p l p ch p hai c a b n ph n t . T ng quát hoá ta có ñ nh nghĩa sau:
5.1 ð nh nghĩa: M t ch nh h p l p ch p k c a n ph n t là m t cách s p x p có th t
g m k ph n t mà m i ph n t l y t n ph n t ñã cho có th có m t nhi u l n.
5.2 S các ch nh h p l p ch p k:
ˆ
S các ch nh h p l p ch p k c a n ph n t ñư c ký hi u là A k . Ta s ñưa ra công th c
n
ˆ
tính A k .
n
ð t o ra m t ch nh h p l p ch p k c a n ph n t ta ph i th c hi n m t dãy liên ti p k
hành ñ ng.
Hành ñ ng th nh t: ch n 1 trong n ph n t x p ñ u có n cách
Hành ñ ng th hai: ch n 1 trong n ph n t x p th 2 có n cách
. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Hành ñ ng th k: ch n 1 trong n ph n t x p th k có n cách
Theo qui t c nhân ta có: A k = nkˆ
n
6.T h p: Các khái ni m trên luôn ñ ý ñ n tr t t c a t p h p ta ñang quan sát. Tuy
nhiên trong th c t có nhi u khi ta ch c n quan tâm t i các ph n t c a t p con c a m t
t p h p mà không c n ñ ý ñ n cách s p x p t p con ñó theo m t tr t t nào. T ñây ta
có khái ni m v t h p như sau
6.1 ð nh nghĩa: M t t h p ch p k c a n ph n t là m t t p con g m k ph n t l y t n
ph n t ñã cho.
Trư ng ð i h c Nông nghi p Hà N i – Giáo trình Giáo trình Xác su t th ng kê……………………..3
Ví d : Cho t p h p g m b n ph n t {a,b,c,d}. H i có bao nhiêu t p con g m hai
ph n t ?
Các t p con ñó là {a,b},{a,c},{a,d},{b,c},{b,d},{c,d}
V y t p h p g m b n ph n t {a,b,c,d} có sáu t p con v a nêu.
6.2: S t h p ch p k c a n ph n t có ký hi u là C k
n
B ng cách ñ i ch các ph n t cho nhau, m t t h p ch p k c a n ph n t có th t o ra
k! ch nh h p không l p ch p k c a n ph n t .
Có C k t h p ch p k c a n ph n t t o ra A k ch nh h p không l p ch p k c a n ph n t .
n n
Ak n!
V y ta có : C k =
n
n
=
k! k!(n − k )!
7.T h p l p:
7.1 ð nh nghĩa: M t t h p l p ch p k c a n ph n t là m t nhóm không phân bi t th t
g m k ph n t , m i ph n t có th có m t ñ n k l n l y t n ph n t ñã cho.
Ví d : Cho t p {a,b,c} g m 3 ph n t
Các t h p l p c a t p h p trên là {a,a},{a,b},{a,c},{b,b},{b,c},{c,c}
7.2 S các t h p l p ch p k c a n ph n t ký hi u là:. C kˆ
n
Vi c t o ra m t t h p l p ch p k c a n ph n t tương ñương v i vi c x p k qu c u
gi ng nhau vào n ngăn kéo ñ t li n nhau, hai ngăn liên ti p cùng chung m t vách ngăn.
Các vách ngăn tr vách ngăn ñ u và cu i có th xê d ch và ñ i ch cho nhau. M i cách
s p x p k qu c u gi ng nhau vào n ngăn là m t cách b trí n+k-1 ph n t ( g m k qu
c u và n-1 vách ngăn) theo th t t ph i sang trái. Cách b trí không ñ i khi các qu c u
ñ i ch cho nhau ho c các vách ngăn ñ i ch cho nhau. Cách b trí thay ñ i khi các qu
c u và các vách ngăn ñ i ch cho nhau. Ta có (n+k-1)! cách b trí n+k-1 ph n t (g m k
qu c u và n-1 vách ngăn). S cách ñ i ch k qu c u là k! , s cách ñ i ch n-1 vách
ngăn là (n-1)! . V y ta có s các t h p l p ch p k c a n ph n t là:
ˆ k (n + k − 1)! = C k
Cn = n + k −1
k!(n − 1)!
Ví d : T i m t tr i gi ng gà có ba lo i gà gi ng A, B, C. M t khách hàng vào ñ nh
mua 10 con. H i có bao nhiêu cách mua ( gi s r ng s lư ng các gi ng gà A, B, C m i
lo i c a tr i ñ u l n hơn 10).
Ta th y m i m t cách mua 10 con gà chính là m t t h p l p ch p 10 c a 3 ph n t . V y
ˆ 10
s cách mua là: C10 = C = 66
3 12
8. Nh th c Newton
Ta có: (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 = C 0 a 2 b 0 + C1 a 1b1 + C1 a 0 b 2
2 2 2
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 = C 0 a 3 b 0 + C1 a 2 b1 + C 3 a 1b 2 + C 3a 0 b 3
3 3
2
3
M r ng ra:
(a + b) n = C 0 a n b 0 + C1 a n −1b1 + ........ + C k a n −k b k + ................ + C n a 0 b n
n n n n
Công th c trên g i là công th c nh th c Newton.
Ta ch ng minh công th c nh th c Newton theo qui n p..
Trư ng ð i h c Nông nghi p Hà N i – Giáo trình Giáo trình Xác su t th ng kê……………………..4
V i n = 2 ta có công th c ñúng.
Gi s công th c ñúng v i n = m t c là:
(a + b) m = C 0 a m b 0 + C1 a m−1b1 + ....... + C m a 0 b m
m m m
Ta s ch ng minh:
(a + b) m+1 = C 0 +1a m +1b 0 + C1 +1a m b1 + ......... + C m+1a 0 b m+1
m m m +1
Th t v y:
(a + b) m +1 = (a + b) m (a + b) = (C 0 a n b 0 + ... + C k a m −k b k + ... + C m a 0 b m )(a + b)
m m m =>
(a + b) m+1 = (C m + C m )a m +1b 0 + ... + (C m−1 + C m )a m +1−k b k + ... + (C m −1 + C m )a 0 b m +1
0 1 k k m m
M t khác: C k −1 + C k = C k +1 suy ra:
m m m
(a + b) m +1 = C 0 +1a m +1b 0 + C1 +1a m b1 + ......... + C m+1a 0 b m+1 .
m m m +1
Theo nguyên lý qui n p công th c nh th c Newton ñư c ch ng minh.
1
Ví d : Tìm h s c a x12 trong khai tri n: ( x + 2 ) 20
x
1 1
Ta có: ( x + ) 20 = C 0 x 20 + ........ + C k x 20−2 k + ....... + C 20 20 .
20 20 20
x x
Xét 20 - 2 k = 12
=> k = 4 V y h s c a x12 là: C20 = 4745
4
II. Phép th , s ki n
1.Phép th ng u nhiên và không ng u nhiên
M t phép th có th coi là m t thí nghi m, m t quan sát các hi n tư ng t nhiên, các
hi n tư ng xã h i và các v n ñ kĩ thu t v i cùng m t h ñi u ki n nào ñó.
Trong các lo i phép th có nh ng phép th mà khi b t ñ u ti n hành th c hi n ta ñã bi t
ñư c k t qu s x y ra sau khi th như ñun nư c ñi u ki n bình thư ng (dư i áp su t 1
atmotphe) thì ñ n 100oC nư c s sôi, ho c cho dung d ch NaOH không dư vào dung d ch
HCl cũng không dư ta thu ñư c mu i ăn NaCl và nư c H2O.
Nh ng phép th mà khi b t ñ u ti n hành th ta bi t ñư c nh ng k t qu nào s x y ra
sau khi th ñư c g i là các phép th không ng u nhiên.
Tuy nhiên có r t nhi u lo i phép th mà ngay khi b t ñ u ti n hành phép th ta không
th bi t ñư c nh ng k t qu nào s x y ra sau khi th ch ng h n như khi gieo 100 h t
ñ u gi ng, s h t n y m m sau m t th i gian gieo có th là t 0 ñ n 100 ho c khi cho p
10 qu tr ng thì s tr ng gà có th n ra gà con là t 0 ñ n 10 con. Nh ng phép th lo i
này g i là nh ng phép th ng u nhiên.
Trong giáo trình này chúng ta ch quan tâm t i nh ng phép th ng u nhiên, ñó là nh ng
phép th mà khi b t ñ u ti n hành th ta chưa th bi t nh ng k t qu nào s x y ra. ð
ñơn gi n t ñây tr ñi khi nói t i phép th ta ph i hi u ñ y là phép th ng u nhiên
Trư ng ð i h c Nông nghi p Hà N i – Giáo trình Giáo trình Xác su t th ng kê……………………..5
2. S ki n:
Các k t qu có th có c a m t phép th ng v i m t b các ñi u ki n xác ñ nh nào ñó g i
là các s ki n ng u nhiên ho c ñơn gi n g i là các s ki n ho c các bi n c .
Ta thư ng l y các ch cái A, B, C, D. . .. . . ho c Ai, Bj, Ck, Dn.. . . ñ ch các s ki n.
Ví d 1: Tung m t con xúc x c cân ñ i và ñ ng ch t có th có các s ki n sau:
A: S ki n xu t hi n m t ch n
B: S ki n xu t hi n m t l
Ai: S ki n xu t hi n m t có i ch m.
Ví d 2: Trong m t gi ñ ng hoa qu có ch a 1 qu cam, 1 qu quýt, 1 qu ñào và 1
qu lê. Ch n ng u nhiên ra 2 qu có th có các s ki n sau:
A: Hai qu ñư c ch n g m 1 cam 1 quýt
B: Hai qu ñư c ch n g m 1 cam 1 ñào
C: Hai qu ñư c ch n g m 1 cam 1 lê
D: Hai qu ñư c ch n g m 1 quýt 1 lê
E: Hai qu ñư c ch n g m 1 quýt 1 ñào
G: Hai qu ñư c ch n g m 1 ñào 1 lê
3. S ki n t t y u và s ki n không th có
S ki n t t y u ho c s ki n ch c ch n là s ki n nh t thi t ph i x y ra sau khi phép th
ñư c th c hi n. Ta kí hi u s ki n này là Ω ..
S ki n không th có ho c s ki n b t kh ho c s ki n r ng là s ki n không bao gi
x y ra sau khi th . Ta kí hi u s ki n này là φ .
Ví d : ð ng t i Hà N i ném m t hòn ñá
S ki n ñá rơi xu ng ñ a gi i Vi t Nam là s ki n t t y u
S ki n ñá rơi xu ng ð i Tây Dương là s ki n b t kh .
4. Quan h gi a các s ki n, hai s ki n b ng nhau
S ki n A ñư c g i là kéo theo s ki n B n u A x y ra thì B cũng x y ra và kí hi u
A ⊂ B ( ho c A ⇒ B).
N u A kéo theo B và B kéo theo A thì ta nói A b ng B và vi t A = B. Trong xác su t hai
s ki n b ng nhau ñư c coi là m t
Ví d : M t h c sinh thi h t m t môn h c
A là s ki n h c sinh ñó ñ (ñ t ñi m t 5 t i 10)
B là s ki n h c sinh ñó ñ trung bình ho c khá (ñ t ñi m t 5 t i 8)
C là s ki n h c sinh ñó ñ khá ho c gi i
G là s ki n h c sinh ñó ñ gi i (ñ t ñi m 9, 10)
K là s ki n h c sinh d ñ khá (ñ t ñi m 7, 8)
TB là s ki n h c sinh ñó ñ trung bình (ñ t ñi m 5, 6)
Ai là s ki n h c sinh ñó ñ t i ñi m (i = 0, 1, . . . .,9, 10).
Ta có: G ⇒ A ; B ⇒ A ; C ⇒ A ; A 6 ⇒ A ; A 9 ⇒ G ; A 7 ⇒ B ; A 7 ⇒ K ; A 5 ⇒ TB...
Trư ng ð i h c Nông nghi p Hà N i – Giáo trình Giáo trình Xác su t th ng kê……………………..6
5.Các phép tính v s ki n
5.1 Phép h p: H p c a 2 s ki n A và B là s ki n C, s ki n C x y ra khi A x y ra ho c
B x y ra.
Kí hi u: A Υ B = C và ñ c là A h p B b ng C
Ta có th mô t h p c a 2 s ki n A và B b ng hình v sau:
Hình 1
D a vào hình v trên có th th y C x y ra khi:
• A x y ra và B không x y ra.
• B x y ra và A không x y ra.
• C A và B cùng x y ra.
Vì v y có th nói h p c a hai s ki n A và B là m t s ki n C x y ra khi ít nh t 1 trong 2
s ki n A, B x y ra.
Ví d : M t sinh viên thi h t m t môn h c
G i : A là s ki n sinh viên ñó không ph i thi l i (ñi m thi t 5 ñ n 10)
B là s ki n sinh viên ñó ñ t ñi m trung bình khá (ñi m thi t 5 ñ n 8)
C là s ki n sinh viên ñó ñ t ñi m khá gi i ( ñi m thi t 7 ñ n 10)
Ta có: A = B Υ C .
5.2 Phép giao: Giao c a 2 s ki n A và B là s ki n D, s ki n D x y ra khi c A và B
cùng x y ra.
Kí hi u: A Ι B = D ho c AB = D và ñ c là A giao B b ng D ho c A nhân B b ng D
Hình v sau mô t giao c a 2 s ki n A và B
Hình 2
Ví d : Quay l i ví d m c 5.1
G i K là s ki n sinh viên ñó ñ t ñi m khá (ñi m thi t 7 ñ n 8)
Ta có: K = B Ι C
N u A Ι B = φ ta nói A và B là 2 s ki n xung kh c v i nhau. Khi A xung kh c v i B thì
h p c a 2 s ki n A và B ñư c kí hi u là A + B và ñ c là A c ng B.
Trư ng ð i h c Nông nghi p Hà N i – Giáo trình Giáo trình Xác su t th ng kê……………………..7
5.3 Phép tr . S ki n ñ i l p: Hi u c a s ki n A tr s ki n B là s ki n E, s ki n E
x y ra khi A x y ra và B không x y ra.
Kí hi u: A\B= E và ñ c là A tr B b ng E
Ta cũng có th mô t hi u c a s ki n A tr s ki n B b ng hình v sau:
Hình 3
D nh n th y r ng: N u A Ι B = φ thì A \ B = A
__
S ki n : Ω \ A G i là s ki n ñ i l p c a s ki n A và kí hi u là A .
T ñ nh nghĩa s ki n ñ i l p c a s ki n A ta th y:
__
* A và A . xung kh c v i nhau
__
* N u A không x y ra thì A x y ra và ngư c l i
Hai s ki n ñ i l p nhau xung kh c v i nhau “m nh m ” theo ki u có anh thì không có
tôi nhưng không có anh thì ph i có tôi.
Ví d : M t t h c sinh g m 3 h c sinh nam 3 h c sinh n . Ch n ng u nhiên 2 ngư i.
G i : A là s ki n 2 h c sinh ñư c ch n là cùng gi i
B là s ki n 2 h c sinh ñư c ch n ñ u là nam
C là s ki n 2 h c sinh ñư c ch n ñ u là n
D là s ki n 2 h c sinh ñư c ch n có m t nam m t n
Ta có A \ B = C, D = A .
Hình sau mô t s ki n ñ i l p c a s ki n A
Hình 4
5.4 Tính ch t
1/ φ ⇒ A ; A ⇒ Ω ∀A
2/ A Υ φ = A ; Aφ = φ ; A Υ Ω = Ω ; AΩ = A
3/ N u A ⇒ B ; B ⇒ C thì A ⇒ C
4/ A Υ B = B Υ A ; AB = BA
Trư ng ð i h c Nông nghi p Hà N i – Giáo trình Giáo trình Xác su t th ng kê……………………..8
5/ A Υ (B Υ C) = (A Υ B) Υ C ; A (BC) = (AB)C
6/ A (B Υ C) = AB Υ AC ; A Υ (BC) = (A Υ B)(A Υ C)
__
7/ A \ B= A B
________ __ __ ____ __ __
8/ A Υ B = A B ; AB = AΥ B
Vi c ch ng minh các tính ch t trên khá d dàng xin dành cho b n ñ c. Chúng tôi ch
ch ng minh tính ch t 8 ph n 1 như là m t ví d minh ho cho vi c ch ng minh các s
ki n b ng nhau:
_______ __ __
Ta ch ng minh: A Υ B = A B
_______
Gi s A Υ B x y ra theo ñ nh nghĩa c a s ki n ñ i l p => A Υ B không x y ra, theo
ñ nh nghĩa c a h p hai s ki n => A không x y ra và B không x y ra, l i theo ñ nh nghĩa
__
c a s ki n ñ i l p => A x y ra và B x y ra, theo ñ nh nghĩa c a phép giao hai s ki n
__ __
=> A B . x y ra.
_______ __ __
V y ta có: A Υ B ⇒ A B (1)
__ __ __ __
Ngư c l i gi s A B x y ra, theo ñ nh nghĩa c a phép giao, => A x y ra và B x y ra,
l i theo ñ nh nghĩa c a s ki n ñ i l p => A không x y ra và B không x y ra, theo ñ nh
nghĩa c a h p hai s ki n => A Υ B . không x y ra, theo ñ nh nghĩa c a s ki n ñ i l p
_______ __ __ ________
=> A Υ B x y ra. V y ta cũng có: A B ⇒ A Υ B (2)
_______ __ __
T (1) và (2) => A Υ B = A B
6. S ki n có th phân chia ñư c, s ki n sơ c p cơ b n
6.1 S ki n có th phân chia ñư c
S ki n A ñư c g i là có th phân chia ñư c n u t n t i hai s ki n B ≠ φ , C ≠ φ ,
BC = φ và A = B + C. Khi ñó ta nói A phân chia ñư c thành hai s ki n B và C.
Ví d : Trong m t con xúc x c cân ñ i và ñ ng ch t.
G i A là s ki n xu t hi n m t có s ch m chia h t cho 3.
G i Ai là s ki n xu t hi n m t i ch m
S ki n A có th phân chia ñư c vì t n t i A3; A6 ≠ φ ; A 3 A 6 = φ và A = A3 + A6.
6.2 S ki n sơ c p cơ b n: S ki n khác r ng và không th phân chia ñư c g i là s ki n
sơ c p cơ b n.
Ví d : Quay l i ví d m c 6.1. Các s ki n A1, A2, A3, A4, A5, A6 là các s ki n sơ
c p cơ b n.
Ta nh n th y r ng các s ki n sơ c p cơ b n là các s ki n mà sau m t phép th ch có
m t trong các s ki n này x y ra.
Trư ng ð i h c Nông nghi p Hà N i – Giáo trình Giáo trình Xác su t th ng kê……………………..9
7. H ñ y ñ các s ki n
7.1 H ñ y ñ các s ki n: H các s ki n A1, A2,. ... An g i là m t h ñ y ñ các s ki n
n u:
1/ Ai ≠ φ v i m i i = 1, 2 . . . . n
2/ A i A j = φ v i m i i khác j
3/ A1+ A2+.. . . . . .+ An = Ω
Ví d : ðem hai cá th th h F1 mang gen Aa, Aa lai v i nhau. Các cá th con th
h F2 có th có 1 trong 4 ki u gien AA, Aa, aA và aa. Ch n 1 cá th con trong các cá th
nói trên.
G i: A là s ki n cá th con là ñ ng h p t (mang gen AA ho c aa)
B là s ki n cá th con là d h p t (mang gen Aa ho c aA)
C là s ki n cá th con có mang gen tr i (AA, Aa, aA)
A1 là s ki n cá th con ch mang gen tr i (AA)
A2 là s ki n cá th con ch mang gen l n (aa)
Ta có: A, B là m t h ñ y ñ các s ki n
C, A2 cũng là m t h ñ y ñ các s ki n
B, A1, A2 cũng là m t h ñ y ñ các s ki n
Như v y: v i m t phép th ñã cho có th có nhi u h ñ y ñ các s ki n khác nhau.
7.2 Phân chia m t s ki n theo h ñ y ñ .
Gi s A1, A2, . ...An là m t h ñ y ñ các s ki n. A là m t s ki n khác r ng nào ñó. Ta
có:
A= AΩ = A(A1 + A 2 + .......... + A n ) = AA1 + ....AA i + .....AA n
Khi ñó ta nói A ñư c phân chia gián ti p nh h ñ y ñ các s ki n: A1, A2 , A3 ,..., An.
Như ñã bi t v i m i phép th có th l p ra nhi u h ñ y ñ các s ki n vì v y m i s
ki n khác r ng A cũng có th phân chia theo nhi u cách khác nhau. M c ñích c a vi c
phân chia s ki n A ra m t s s ki n ñơn gi n hơn nh m ñánh giá kh năng x y ra c a
s ki n A nh các s ki n ñơn gi n này.
8. ð i s và σ - ñ i s các s ki n
Xét Ω là m t t p h p khác r ng mà ta g i là s ki n ch c ch n. C là m t h các t p con
nào ñó c a Ω .M i t p con A c a Ω , A∈ C g i là m t s ki n. H C ñư c g i là
σ − ñ i s các s ki n n u:
1/ φ ∈ C .
__
2/ N u A ∈ C thì A ∈ C
∞
3/ N u A1, A2. . . . . . An. . .là các s ki n thu c C thì Υ A n ∈ C
n =1
Trư ng ð i h c Nông nghi p Hà N i – Giáo trình Giáo trình Xác su t th ng kê……………………..10
H C ñư c g i là ñ i s các s ki n n u yêu c u 1, 2 nêu trên tho mãn và h p c a m t
s h u h n các s ki n thu c C cũng là m t s ki n thu c C. Ta nh n th y r ng n u C là
σ − ñ i s các s ki n thì C cũng là m t ñ i s các s ki n.
Ví d : Tung ñ ng th i 2 ñ ng ti n, các s ki n sơ c p cơ b n là:
SS, SN, NS, NN. Xét Ω = SS + SN +NS +NN.
T p t t c các t p h p con c a Ω là m t ñ i s các s ki n.và cũng là m t σ − ñ i s các
s ki n
Bài t p chương 1
1. M t ño n gen g m 2 gen X, 2 gen Y, 2 gen Z, 2 gen T liên k t v i nhau theo m t hàng
d c.
Trư ng ð i h c Nông nghi p Hà N i – Giáo trình Giáo trình Xác su t th ng kê……………………..11
a. H i có bao nhiêu cách liên k t 8 gen nói trên?
b. H i có bao nhiêu cách liên k t ñ 2 gen X ñ ng li n nhau?
c. H i có bao nhiêu cách liên k t ñ có 3 gen XYZ ñ ng li n nhau theo th t trên.
2. Có 10 ngư i x p theo m t hàng d c
a. Có bao nhiêu cách s p x p ñ 2 ngư i A và B ñ ng li n nhau?
b. Có bao nhiêu cách s p x p ñ 2 ngư i A và B ñ ng cách nhau ñúng 3 ngư i?
3. Có th l p ñư c bao nhiêu s g m 10 ch s khác nhau sao cho:
a.Không có 2 ch s ch n nào ñ ng li n nhau
b. Không có 2 ch s l nào ñ ng li n nhau
c. Các ch s ch n ñ ng li n nhau
d. Các ch s l ñ ng li n nhau
4. Cho 6 ch s : 1, 2, 3, 4, 5, 6
a. Có th l p ñư c bao nhiêu s g m 8 ch s sao cho ch s 1 và ch s 2 m i ch s
có m t ñúng 2 l n, các ch s còn l i có m t ñúng 1 l n.
b. Có th l p ñư c bao nhiêu s ch n g m 8 ch s trong ñó ch s 2 có m t ñúng 3 l n,
các ch s còn l i có m t ñúng m t l n.
c. Có th l p ñư c bao nhiêu s l g m 8 ch s trong ñó ch s 1 có m t ñúng 3 l n,
các ch s còn l i có m t ñúng 1 l n.
5*. Trong m t kì thi tin h c qu c t t i m t khu v c g m 6 phòng thi ñánh s t 1 ñ n
6 dành cho ba ñoàn Vi t nam , Mĩ và Nga m i ñoàn g m 4 thí sinh. M i phòng thi có 2
máy tính (không ñánh s ) dành cho 2 thí sinh. Vi c x p 2 thí sinh vào m i phòng thi theo
nguyên t c hai thí sinh cùng m t qu c t ch không ñư c x p cùng m t phòng. H i có bao
nhiêu cách s p x p các thí sinh c a ba ñoàn vào 6 phòng?
6*.D c theo hai bên ñư ng vào m t trư ng trong h c ngư i ta d ñ nh tr ng m i bên 3
cây bàng, 3 cây phư ng và 3 cây b ng lăng.
a. H i có bao nhiêu cách tr ng ñ các cây cùng lo i tr ng ñ i di n nhau?
b. H i có bao nhiêu cách tr ng ñ không có hai cây cùng lo i nào tr ng ñ i di n nhau?
7*. Vòng chung k t gi i vô ñ ch bóng ñá châu Âu g m 16 ñ i trong ñó có ñ i ch nhà và
ñ i vô ñ ch b n năm trư c.
a. Có bao nhiêu cách chia 16 ñ i vào b n b ng A, B, C, D.
b, Có bao nhiêu cách chia 16 ñ i vào b n b ng A, B, C, D sao cho ñ i ch nhà và ñ i
vô ñ ch b n năm trư c không cùng b ng.
c. Gi i bài toán trên trong trư ng h p không ñ ý t i vai trò c a các b ng.
Trư ng ð i h c Nông nghi p Hà N i – Giáo trình Giáo trình Xác su t th ng kê……………………..12
8. M t ñàn gà g m 4 con gà mái và 6 con gà tr ng. Trong 4 con gà mái có 2 con màu
vàng, 2 con màu ñen. Trong 6 con gà tr ng có 3 con màu vàng và 3 con màu ñen. Ch n
ng u nhiên 2 con gà
a. Có bao nhiêu cách ch n ñ ñư c 1 con tr ng 1 con mái
b. Có bao nhiêu cách ch n ñ ñư c 2 con màu vàng
c. Có bao nhiêu cách ch n ñ ñư c1 con tr ng 1 con mái cùng màu
9. M t t sinh viên g m 6 nam 4 n . Trong 6 nam có 2 sinh viên Hà N i và 4 sinh viên
t nh Hà Tây. Trong 4 n có 2 n sinh Hà N i và 2 n sinh Thái Bình. Ch n ng u nhiên ra
3 ngư i
a. Có bao nhiêu cách ch n ra 3 sinh viên nam?
b. Có bao nhiêu cách ch n ra 2 sinh viên nam 1 sinh viên n ?
c. Có bao nhiêu cách ch n ra 3 sinh viên g m ñ 3 t nh?
10. Cho ña giác ñ u g m 2n c nh
a. H i có th l p ñư c bao nhiêu hình ch nh t có 4 ñ nh là 4 ñ nh c a ña giác ñ u này?
b. H i ña giác ñ u nói trên có bao nhiêu ñư ng chéo?
11. Cho t p A = {0,1, 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 ,10}
a. A có bao nhiêu t p con có ít nh t 2 ch s nh hơn 6
b. A có bao nhiêu t p con có ít nh t 2 ch s l n hơn 6
12. Có 4 viên bi gi ng nhau ñư c b vào 3 cái h p. H i có bao nhiêu cách b ?
13*. Có 4 hành khách ñ i tàu t i nhà ga A ñ ñi t i B. M t ñoàn tàu g m 4 toa chu n b
r i ga A ñ ñi t i B.
a. Có bao nhiêu cách lên tàu c a 4 hành khách trên.
b. Có bao nhiêu cách lên tàu c a 4 hành khách trên sao cho m i ngư i lên m t toa.
c. Có bao nhiêu cách ñ 4 hành khách trên lên hai toa m i toa 2 ngư i.
2
14. Trong khai tri n ( x − 2 ) 50 .
x
a. Tìm s h ng không ch a x
b. Tìm h s c a x20
c. Tìm h s c a x-40
15. Ch ng minh các ñ ng nh t th c:
a. C 0 + C1 + ............. + C k + ...... + C n = 2 n
n n n n
b. C1 + 2C 2 + ........ + kC k + ..... + nC n = n 2 n −1
n n n n
Trư ng ð i h c Nông nghi p Hà N i – Giáo trình Giáo trình Xác su t th ng kê……………………..13
1 1 1 1 2 n +1 − 1
c. C 0 +
n C n + ...... + C k + ..... +
n Cn =
n
2 k +1 n +1 n +1
d. C 0 n + C 2 n + ..... + C 2 k + .... + C 2 n = C1 n + C 3 n + .... + C 2 k +1 + ...... + C 2 n −1
2 2 2n 2n 2 2 2n 2n
16. Cho p, q > 0, p + q = 1. Tìm s h ng l n nh t trong dãy s sau:
C 0 p 0 q n ; C1 pq n −1 ;.................; C k p n −k q k ; ..........; C n p n q 0
n n n n
17. X p 3 ngư i theo m t hàng d c. Nêu các s ki n sơ c p cơ b n
18. T 4 ngư i A, B, C, D l y ng u nhiên 2 ngư i. Nêu t p các s ki n sơ c p cơ b n.
19. Hai cá th sinh v t có cùng ki u gen Aa Bb ñem lai v i nhau. Hãy nêu các ki u gen
có th có c a các cá th con.
20. T hai nhóm h c sinh, nhóm th nh t g m 4 h c sinh nam A, B, C, D nhóm th hai
g m 4 h c sinh n X, Y, Z, T. Ch n m i nhóm ra 2 h c sinh.
a. Ch ra t p các s ki n sơ c p cơ b n ng v i phép th trên
b. Ch ra hai h ñ y ñ các s ki n.
21. Tung m t l n 3 ñ ng ti n.
a.Hãy ch ra các s ki n sơ c p cơ b n.
b.Hãy ch ra m t h ñ y ñ các s ki n ch g m hai s ki n
22. Tung ñ ng th i hai con xúc x c.
a. Có bao nhiêu s ki n sơ c p cơ b n
b. Hãy ch ra m t h ñ y ñ các s ki n g m 11 s ki n
23. M t ña giác ñ u g m 2n c nh (n > 2). Ch n ng u nhiên b n ñ nh.
a. Có bao nhiêu s ki n sơ c p cơ b n?
b. Có bao nhiêu s ki n ñ b n ñ nh ñư c ch n lâp thành hình ch nh t?
Khi n = 3 Ch n ng u nhiên 3 ñ nh c a m t l c giác ñ u.
c. Có bao nhiêu s ki n sơ c p cơ b n?
d. Có bao nhiêu s ki n ba ñ nh ñư c ch n l p thành tam giác ñ u?
25. Ch ng minh các tính ch t v các phép toán c a các s ki n.
Trư ng ð i h c Nông nghi p Hà N i – Giáo trình Giáo trình Xác su t th ng kê……………………..14
Chương 2 : Xác su t
Vi c ñưa ra nh ng s ño thích h p ñánh giá kh năng khách quan x y ra c a m i s
ki n ñư c trình bày trong ph n ñ u c a chương này. Các d ng ñ nh nghĩa xác su t t các
ñ nh nghĩa c ñi n t i ñ nh nghĩa xác su t theo h tiên ñ giúp ngư i h c hình dung ñư c
s phát tri n và tính phong phú, ña d ng c a môn xác su t. Các tính ch t các ñ nh lý v
xác su t ñư c trình bày m c t i thi u ñ ngư i h c kh i c m th y n ng n khi ti p thu
chúng. Nh ng ví d ñưa ra giúp ngư i h c th y ñư c nh ng áp d ng th c th c t c a
môn xác su t và qua các ví d này ngư i h c có th hi u cách làm các bài toán xác su t.
I. Các ñ nh nghĩa c a xác su t
1. M ñ u: Khi ti n hành m t phép th , có th có m t trong nhi u s ki n s x y ra, m i
s ki n là m t ñ c tính ñ nh tính, vi c ch ra “s ño” kh năng x y ra c a m i m t s
ki n là ñi u c n thi t. Ta có th hi u xác su t c a m i s ki n là “s ño” kh năng x y ra
c a s ki n ñó. Vi c g n cho m i s ki n m t “s ño” kh năng x y ra c a nó ph i ñ m
b o tính khách quan, tính h p lý và tính phi mâu thu n. Trong m c này chúng ta s ñưa
ra các ñ nh nghĩa c a xác su t. M i d ng có nh ng ưu và như c ñi m nh t ñ nh. Tuy
v y, qua các d ng ñ nh nghĩa này có th hình dung ra s phát tri n c a môn xác su t, m t
môn h c có ngu n g c xu t phát t nh ng sòng b c nhưng nh s t hoàn thi n trong
quá trình phát tri n nên môn xác su t không nh ng có ñ y ñ các y u t cơ b n c a m t
ngành khoa h c chính xác mà còn là m t trong nh ng ngành c a Toán h c có th h tr
cho t t c các lĩnh v c khoa h c khác t khoa h c t nhiên ñ n khoa h c kĩ thu t và k c
nh ng ngành tư ng như xa l v i Toán h c ñó là các ngành khoa h c xã h i.
2. ð nh nghĩa xác su t theo quan ni m ñ ng kh năng.
2.1 Phép th ñ ng kh năng: M t phép th ñ ng kh năng là m t phép th mà các k t
qu tr c ti p (còn g i là s ki n sơ c p) ng v i phép th này có kh năng xu t hi n như
nhau sau khi th . Ch ng h n khi ta gieo m t con xúc x c cân ñ i và ñ ng ch t thì vi c
xu t hi n m t trong các m t có s ch m t 1 ñ n 6 là có kh năng như nhau ho c khi
ch n ng u nhiên hai trong năm ngư i A, B, C, D, E thì vi c ch n ñư c AB ho c CD . . .
DE là có kh năng xu t hi n như nhau.
2.2 ð nh nghĩa xác su t theo quan ni m ñ ng kh năng:
Xét m t phép th ñ ng kh năng. Gi s sau phép th này có m t trong n s ki n sơ c p
n
có th x y ra và có m t trong nA s ki n sơ c p x y ra kéo theo A x y ra. Ta th y l y A
n
làm s ño khách quan x y ra s ki n A là h p lý. Vì v y ta có ñ nh nghĩa sau:
n
ð nh nghĩa: Xác su t c a s ki n A là s P(A) = A
n
* n là s k t qu ñ ng kh năng sau phép th
* nA là s k t qu x y ra kéo theo A x y ra ho c s k t qu thu n l i cho s ki n A hay
s k t qu h p thành s ki n A
Trư ng ð i h c Nông nghi p Hà N i – Giáo trình Giáo trình Xác su t th ng kê……………………..15
Vi c tính xác su t d a trên ñ nh nghĩa trên ph i th c hi n theo trình t sau:
* Xét phép th ñang quan sát có ph i là phép th ñ ng kh năng không
* N u phép th là ñ ng kh năng thì ph i tìm s s ki n ñ ng kh năng n
* ð tính xác su t c a s ki n A ta ph i tìm s k t qu kéo theo A sau ñó s d ng ñ nh
nghĩa
n
P(A) = A
n
2.3 Các ví d
Ví d 2.1: Gieo hai ñ ng ti n cân ñ i và ñ ng ch t. Tính xác su t ñ c hai cùng xu t
hi n m t qu c huy.
G i A là s ki n c hai ñ ng ti n cùng xu t hi n m t qu c huy.
Ta có: S s ki n ñ ng kh năng: n = 4
1
S s ki n kéo theo A: nA = 1 .V y P (A) =
4
Ví d 2.2: M t ñàn gà có b n con gà ri g m hai mái hai tr ng và sáu con gà tam
hoàng g m hai tr ng b n mái. Ch n ng u nhiên hai con gà
G i A là s ki n hai con gà ñư c ch n ñ u là tr ng
B là s ki n hai con gà ñư c ch n g m m t tr ng m t mái
C là s ki n hai con gà ñư c ch n là gà mái ri
Hãy tính xác su t c a các s ki n A, B, C
Ta có: S s ki n ñ y kh năng là C10 = 45
2
S s ki n kéo theo A là C 2 = 6
4
S s ki n kéo theo B là C1 C1 = 24
4 6
S s ki n kéo theo C là C 2 = 1
2
6 2 24 8 1
V y: P(A)= = , P(B) = = , P(C) =
45 15 45 15 45
Ví d 2.3: Có ba gen X, Y, Z và ba gen x, y, z x p ng u nhiên theo m t dãy d c. Tính
xác su t ñ các gen x, y, z x p li n nhau.
G i A là s ki n c n tính xác su t
S s ki n ñ ng kh năng: n = 6! = 720
144 1
S s ki n kéo theo A: nA = 3!4! = 144. V y: P(A) = =
720 5
Ví d 2.4: Hai cá th b và m cùng có ki u gen AaBb. Tính xác su t ñ cá th con có
ki u gen gi ng ki u gen c a b m . Ta có b ng liên k t gen sau:
Trư ng ð i h c Nông nghi p Hà N i – Giáo trình Giáo trình Xác su t th ng kê……………………..16
M AB Ab aB ab
B
AB AABB AABb AaBB AaBb
Ab AABb AAbb AaBb Aabb
aB AaBB AaBb aaBB aaBb
ab AaBb Aabb aaBb aabb
D a vào b ng trên ta có: S s ki n ñ ng kh năng n = 16
4 1
S s ki n kéo theo A: nA = 4. V y P(A) = =
16 4
3- ð nh nghĩa xác su t theo t n su t
ð nh nghĩa xác su t theo quan ni m ñ ng kh năng có ưu ñi m là ch ra cách tính xác
su t c a m t s ki n rõ ràng và ñơn gi n. Tuy nhiên ñ nh nghĩa này ch áp d ng ñư c v i
lo i phép th ñ ng kh năng và s k t qu sau phép th là h u h n. Trong th c t thư ng
g p nh ng lo i phép th không có tính ch t trên, ñ kh c ph c h n ch này ta có th ñ nh
nghĩa xác su t theo quan ñi m th ng kê.
3.1 T n su t c a s ki n: Gi s ta ti n hành n phép th v i cùng m t h ñi u ki n th y
có nA l n xu t hi n s ki n A. S nA ñư c g i là t n s xu t hi n s ki n A và t s :
n
f n (A) = A g i là t n su t xu t hi n s ki n A.
n
Ta nh n th y r ng khi n thay ñ i nA thay ñ i vì th fn(A) cũng thay ñ i. Ngay c khi ti n
hành dãy n phép th khác v i cùng m t ñi u ki n thì t n s và t n su t c a n l n th này
cũng có th khác t n s và t n su t c a n l n th trư c. Tuy nhiên t n su t có tính n ñ nh
nghĩa là khi s phép th n khá l n t n su t bi n ñ i r t nh xung quanh m t giá tr xác
ñ nh. ð minh ch ng cho nh n xét trên ta xét m t ví d kinh ñi n v xác ñ nh t n s và
t n su t vi c xu t hi n m t s p (m t không có ch ) c a m t ñ ng ti n do Buffon và
Pearson th c hi n
Ngư i làm thí nghi m S l n tung 1 ñ ng ti n T ns m ts p T n su t m t s p
Buffon 4040 2040 0.5080
Pearson 12000 6010 0.5010
Pearson 24000 12012 0.5005
Ta nh n th y r ng khi s l n tung ti n n tăng lên, t n su t xu t hi n m t s p n ñ nh d n
v giá tr 0,5 ñư c l y làm xác xu t xu t hi n m t s p khi tung m t ñ ng ti n cân ñ i và
ñ ng ch t.
3.2 ð nh nghĩa: Xác su t c a m t s ki n là tr s n ñ nh c a t n su t khi s phép th
tăng lên vô h n.
Vi c kh ng ñ nh t n su t c a m t s ki n n ñ nh (hay ti n t i) m t giá tr xác ñ nh khi
s phép th tăng lên vô h n ñư c ñ m b o b i ñ nh lý Bernoulli s ñư c phát bi u và
Trư ng ð i h c Nông nghi p Hà N i – Giáo trình Giáo trình Xác su t th ng kê……………………..17
ch ng minh trong chương sau. Tuy ñ nh nghĩa xác su t b ng t n su t không ch ra giá tr
c th xác su t c a s ki n nhưng trong th c t khi s l n th n là l n ta thư ng l y t n
xu t fn(A) thay cho xác su t c a s ki n A. Vào cu i th k 19 nhà toán h c Laplace theo
dõi các b n th ng kê v dân s trong vòng 10 năm c a London, Peterbua, Berlin và nư c
22
Pháp ông ta tìm ra t n su t sinh con trai c a ba vùng trên và c nư c Pháp là . Khi
43
25 22
xem xét t l sinh con trai c a Paris ông tìm ñư c t n su t , t n su t này nh hơn .
49 43
Ng c nhiên v s khác nhau ñó, Laplace ñi u tra thêm và tìm ra hai ñi u thú v sau:
M t là: Vào th i b y gi các tr em ñ ra không ghi tên cha trong gi y khai sinh thì
dù sinh Marseille, Bordeaux hay b t c nơi nào trên ñ t Pháp ñ u có trong b n thông
kê tr sinh Paris.
Hai là: Ph n l n nh ng ñ a tr nói trên ñ u là con gái.
Sau khi lo i nh ng ñ a tr không sinh Paris ra kh i danh sách này thì t l tr trai
22
Paris tr v con s .
43
Qua ví d nêu trên chúng tôi mu n các nhà nông h c tương lai khi quan sát ho c thí
nghi m th y có m t s li u nào ñó khác v i s li u ñã bi t thì c n ph i tìm nguyên do s
khác bi t này xu t phát t ñâu, r t có th qua ñó ta có th phát hi n ñư c nh ng ñi u b
ích ph c v cho chuyên môn.
4. ð nh nghĩa xác su t b ng hình h c
V i nh ng phép th ñ ng kh năng mà s k t qu sau m t phép th là vô h n thì vi c s
d ng ñ nh nghĩa xác su t m c 2 ñ tính xác su t c a m t s ki n là không th c hi n
ñư c. ð kh c ph c h n ch này ngư i ta ñưa ra ñ nh nghĩa xác su t b ng hình h c.
4.1 ð ño c a m t mi n: Gi s D là m t mi n hình h c nào ñó ch ng h n D là m t ño n
th ng, m t hình ph ng hay m t kh i không gian. S ño ñ dài, di n tích, th tích tương
ng ñư c g i là ñ ño c a mi n D và kí hi u là m(D)
4.2. ð nh nghĩa :
Xét m t phép th v i vô h n k t qu ñ ng kh năng, gi s có th thi t l p s tương ng
m t - m t m i k t qu v i m t ñi m thu c mi n G có ñ ño là m(G) . M i k t qu kéo
theo s ki n A tương ng v i m i ñi m thu c mi n D ⊂ G có ñ ño m(D).
m ( D)
Xác su t c a s ki n A là s P(A) =
m(G )
Ví d 1: M t ñư ng dây cáp quang n i Hà N i v i thành ph H Chí Minh dài 1800
km g p s c kĩ thu t làm t c ngh n vi c thông tin liên l c. S c kĩ thu t có th x y ra
b t c m t v trí nào trên ñư ng cáp quang trên v i cùng m t kh năng. Tính xác su t ñ
s c kĩ thu t x y ra cách Hà N i không quá 300km.
Mi n G ñây là ñư ng cáp quang n i Hà N i- thành ph H Chí Minh có m(G) = 1800.
Mi n D tương ng v i s ki n c n tính xác su t là ño n cáp quang t Hà n i t i v trí
cách Hà N i 300 km, m(D) = 300.
Trư ng ð i h c Nông nghi p Hà N i – Giáo trình Giáo trình Xác su t th ng kê……………………..18
300 1
V y xác su t c n tính P = = .
1800 6
Ví d 2: Hai ngư i A, B h n g p nhau t i m t ñ a ñi m trong quãng th i gian t 12
gi ñ n 13 gi theo qui ư c, ngư i ñ n trư c ñ i ngư i ñ n sau không quá 15 phút. Tính
xác su t ñ hai ngư i g p ñư c nhau. Bi t r ng m i ngư i có th ñ n ñi m h n vào b t
c th i ñi m nào trong quãng th i gian nói trên.
G i x là th i ñi m A ñ n ch h n, y là th i ñi m B ñ n ch h n, 0 ≤ x , y ≤ 60
Vi c hai ngư i ñ n ch h n tương ng v i ñi m M(x, y) thu c hình vuông OABC có
c nh dài 60 ñơn v dài. Hai ngư i g p ñư c nhau
⇔ x − y ≤ 15 ⇔ x − 15 ≤ y ≤ x + 15 ⇔ M(x, y) thu c hình ODEBGH.
Hình 1
Ta có mi n G là hình vuông OABC, mi n D là hình ODEBGH.
m(G) = 602 , m(D)= 602- 452.
m(D) 60 2 − 45 2 9 7
V y xác su t c n tính P = = 2
= 1− =
m(G ) 60 16 16
M t s bài toán th c t như quá trình th ph n, quá trình th tinh .... có th áp d ng như
bài toán g p g nói trên.
5. H tiên ñ Kolmogorop
M c dù ra ñ i t th k 17 nhưng do ngu n g c xu t phát và nh ng khái ni m ñư c nêu
ra có tính mô t thi u nh ng lu n c khoa h c nên c m t quãng th i gian dài t th k 17
ñ n trư c nh ng năm 30 c a th k 20 xác su t không ñư c coi là m t ngành toán h c
chính th ng. Mãi t i năm 1933 khi nhà toán h c Nga A.N Kolmogorop xây d ng h tiên
ñ cho lý thuy t xác su t thì xác su t m i ñư c công nh n là m t ngành toán h c chính
th ng sánh ngang hàng v i nhi u ngành toán h c khác như s h c, hình h c, ñ i s , gi i
tích...
Tuy ñư c ch p nh n mu n màng nhưng xác su t ñã có m t trong h u h t các lĩnh v c
khoa h c t khoa h c t nhiên , khoa h c kĩ thu t d n khoa h c xã h i. Vì là m t giáo
trình dành cho các ngành không chuyên v toán chúng tôi ch có ý ñ nh trình bày sơ lư c
h tiên ñ v lý thuy t xác su t do A.N Kolmogorop ñưa ra
Xét C là m t σ - ñ i s các s ki n . Xác su t P là m t hàm xác ñ nh trên C tho mãn :
1/ P(A) ≥ 0 ∀A ∈ C
Trư ng ð i h c Nông nghi p Hà N i – Giáo trình Giáo trình Xác su t th ng kê……………………..19
Copyright by webtailieu.net