Giáo trình trí tuệ nhân tạo- chương 6- Logic vị từ cấp một
Logic mệnh đề cho phép ta biểu diễn các sự kiện, mỗi kí hiệu trong logic mệnh đề được minh họa như là một sự kiện trong thế giới hiện thực, sử dụng các kết nối logic ta có thể tạo ra các câu phức hợp biểu diễn các sự kiện mang ý nghĩa phức tạp hơn. Như vậy khả năng biểu diễn của logic mệnh đề chỉ giới hạn trong phạm vi thế giới các sự kiện.
CH ¦¥NG 6. LOGIC VÞ Tõ CÊP MéT
Logic mÖnh ®Ò cho phÐp ta biÓu diÔn c¸c sù kiÖn, mçi kÝ hiÖu trong logic
mÖnh ®Ò ®îc minh häa nh lµ mét sù kiÖn trong thÕ giíi hiÖn thùc, sö dông c¸c kÕt
nèi logic ta cã thÓ t¹o ra c¸c c©u phøc hîp biÓu diÔn c¸c sù kiÖn mang ý nghÜa phøc
t¹p h¬n. Nh vËy kh¶ n¨ng biÓu diÔn cña logic mÖnh ®Ò chØ giíi h¹n trong ph¹m vi
thÕ giíi c¸c sù kiÖn.
ThÕ giíi hiÖn thùc bao gåm c¸c ®èi tîng, mçi ®èi t îng cã nh÷ng tÝnh chÊt
riªng ®Ó ph©n biÖt nã víi c¸c ®èi t îng kh¸c. C¸c ®èi t îng l¹i cã quan hÖ víi nhau.
C¸c mèi quan hÖ rÊt ®a d¹ng vµ phong phó. Chóng ta cã thÓ liÖt kª ra rÊt nhiÒu
vÝ dô vÒ ®èi t îng, tÝnh chÊt, quan hÖ.
• §èi t îng : mét c¸i bµn, mét c¸i nhµ, mét c¸i c©y, mét con ngêi, mét con sè.
...
• TÝnh chÊt : C¸i bµn cã thÓ cã tÝnh chÊt : cã bèn ch©n, lµm b»ng gç,
kh«ng cã ng¨n kÐo. Con sè cã thÓ cã tÝnh chÊt lµ sè nguyªn, sè h÷u tØ, lµ sè chÝnh
ph¬ng. ..
• Quan hÖ : cha con, anh em, bÌ b¹n (gi÷a con ngêi ); lín h¬n nhá h¬n,
b»ng nhau (gi÷a c¸c con sè ) ; bªn trong, bªn ngoµi n»m trªn n»m díi (gi÷a c¸c ®å
vËt )...
• Hµm : Mét tr êng hîp riªng cña quan hÖ lµ quan hÖ hµm. Ch¼ng h¹n,
v× mçi ngêi cã mét mÑ, do ®ã ta cã quan hÖ hµm øng mçi ngêi víi mÑ cña nã.
Logic vÞ tõ cÊp mét lµ më réng cña logic mÖnh ®Ò. Nã cho phÐp ta m« t¶
thÕ giíi víi c¸c ®èi t îng, c¸c thuéc tÝnh cña ®èi t îng vµ c¸c mèi quan hÖ gi÷a c¸c ®èi
t îng. Nã sö dông c¸c biÕn ( biÕn ®èi t îng ) ®Ó chØ mét ®èi t îng trong mét miÒn ®èi
t îng nµo ®ã. §Ó m« t¶ c¸c thuéc tÝnh cña ®èi t îng, c¸c quan hÖ gi÷a c¸c ®èi t îng,
trong logic vÞ tõ, ngêi ta dùa vµo c¸c vÞ tõ ( predicate). Ngoµi c¸c kÕt nèi logic nh
trong logic mÖnh ®Ò, logic vÞ tõ cÊp mét cßn sö dông c¸c l îng tö. Ch¼ng h¹n, lîng tö
∀ (víi mäi) cho phÐp ta t¹o ra c¸c c©u nãi tíi mäi ®èi t îng trong mét miÒn ®èi t îng
nµo ®ã.
Ch¬ng nµy dµnh cho nghiªn cøu logic vÞ tõ cÊp mét víi t c¸ch lµ mét ng«n ng÷
biÓu diÔn tri thøc. Logic vÞ tõ cÊp mét ®ãng vai trß cùc k× quan träng trong biÓu
diÔn tri thøc, v× kh¶ n¨ng biÓu diÔn cña nã ( nã cho phÐp ta biÓu diÔn tri thøc vÒ
1
thÕ giíi víi c¸c ®èi t îng, c¸c thuéc tÝnh cña ®èi t îng vµ c¸c quan hÖ cña ®èi t îng), vµ
h¬n n÷a, nã lµ c¬ së cho nhiÒu ng«n ng÷ logic kh¸c.
6.1 Có ph¸p vµ ng÷ nghÜa cña logic vÞ tõ cÊp mét.
6.1.1 Có ph¸p.
C¸c ký hiÖu.
Logic vÞ tõ cÊp mét sö dông c¸c lo¹i ký hiÖu sau ®©y.
• C¸c ký hiÖu h»ng: a, b, c, An, Ba, John,...
• C¸c ký hiÖu biÕn: x, y, z, u, v, w,...
• C¸c ký hiÖu vÞ tõ: P, Q, R, S, Like, Havecolor, Prime,...
Mçi vÞ tõ lµ vÞ tõ cña n biÕn ( n ≥ 0). Ch¼ng h¹n Like lµ vÞ tõ cña hai biÕn,
Prime lµ vÞ tõ mét biÕn. C¸c ký hiÖu vÞ tõ kh«ng biÕn lµ c¸c ký hiÖu mÖnh ®Ò.
• C¸c ký hiÖu hµm: f, g, cos, sin, mother, husband, distance,...
Mçi hµm lµ hµm cña n biÕn ( n ≥ 1). Ch¼ng h¹n, cos, sin lµ hµm mét biÕn,
distance lµ hµm cña ba biÕn.
• C¸c ký hiÖu kÕt nèi logic: ∧( héi), ∨(tuyÓn), ( phñ ®Þnh), ⇒(kÐo theo), ⇔ (kÐo
theo nhau).
• C¸c ký hiÖu lîng tö: ∀ ( víi mäi), ∃ ( tån t¹i).
• C¸c ký hiÖu ng¨n c¸ch: dÊu phÈy, dÊu më ngoÆc vµ dÊu ®ãng ngoÆc.
C¸c h¹ng thøc
C¸c h¹ng thøc ( term) lµ c¸c biÓu thøc m« t¶ c¸c ®èi t îng. C¸c h¹ng thøc ®îc x¸c
®Þnh ®Ö quy nh sau.
• C¸c ký hiÖu h»ng vµ c¸c ký hiÖu biÕn lµ h¹ng thøc.
• NÕu t 1, t 2, t 3, ..., t n lµ n h¹ng thøc vµ f lµ mét ký hiÖu hµm n biÕn th× f( t 1, t 2, ...,
t n) lµ h¹ng thøc. Mét h¹ng thøc kh«ng chøa biÕn ®îc gäi lµ mét h¹ng thøc cô thÓ
( ground term).
Ch¼ng h¹n, A n lµ ký hiÖu h»ng, mother lµ ký hiÖu hµm mét biÕn, th× mother
(A n) lµ mét h¹ng thøc cô thÓ.
C¸c c«ng thøc ph©n tö
Chóng ta sÏ biÓu diÔn c¸c tÝnh chÊt cña ®èi t îng, hoÆc c¸c quan hÖ cña ®èi
t îng bëi c¸c c«ng thøc ph©n tö ( c©u ®¬n).
C¸c c«ng thøc ph©n tö ( c©u ®¬n) ®îc x¸c ®Þnh ®Ö quy nh sau.
• C¸c ký hiÖu vÞ tõ kh«ng biÕn ( c¸c ký hiÖu mÖnh ®Ò ) lµ c©u ®¬n.
• NÕu t 1, t 2,...,t n lµ n h¹ng thøc vµ p lµ vÞ tõ cña n biÕn th× p( t 1,t 2,...,t n) lµ c©u
®¬n.
2
Ch¼ng h¹n, Hoa lµ mét ký hiÖu h»ng, Love lµ mét vÞ tõ cña hai biÕn, husband lµ
hµm cña mét biÕn, th× Love ( Hoa, husband( Hoa)) lµ mét c©u ®¬n.
C¸c c«ng thøc
Tõ c«ng thøc phÇn tö, sö dông c¸c kÕt nèi logic vµ c¸c l îng tö, ta x©y dùng nªn
c¸c c«ng thøc (c¸c c©u).
C¸c c«ng thøc ®îc x¸c ®Þnh ®Ö quy nh sau:
• C¸c c«ng thøc ph©n tö lµ c«ng thøc.
• NÕu G vµ H lµ c¸c c«ng thøc, th× c¸c biÓu thøc (G ∧ H), (G ∨ H), ( G), (G⇒H),
(G⇔H) lµ c«ng thøc.
• NÕu G lµ mét c«ng thøc vµ x lµ biÕn th× c¸c biÓu thøc ( ∀ x G), (∃ x G) lµ c«ng
thøc.
C¸c c«ng thøc kh«ng ph¶i lµ c«ng thøc ph©n tö sÏ ®îc gäi lµ c¸c c©u phøc hîp.
C¸c c«ng thøc kh«ng chøa biÕn sÏ ®îc gäi lµ c«ng thøc cô thÓ. Khi viÕt c¸c c«ng thøc
ta sÏ bá ®i c¸c dÊu ngoÆc kh«ng cÇn thiÕt, ch¼ng h¹n c¸c dÊu ngoÆc ngoµi cïng.
L îng tö phæ dông cho phÐp m« t¶ tÝnh chÊt cña c¶ mét líp c¸c ®èi t îng, chø
kh«ng ph¶i cña mét ®èi t îng, mµ kh«ng cÇn ph¶i liÖt kª ra tÊt c¶ c¸c ®èi t îng trong
líp. Ch¼ng h¹n sö dông vÞ tõ Elephant(x) (®èi t îng x lµ con voi ) vµ vÞ tõ Color(x,
Gray) (®èi t îng x cã mÇu x¸m) th× c©u “ tÊt c¶ c¸c con voi ®Òu cã mÇu x¸m” cã thÓ
biÓu diÔn bëi c«ng thøc ∀x (Elephant(x) ⇒ Color(x, Gray)).
L îng tö tån t¹i cho phÐp ta t¹o ra c¸c c©u nãi ®Õn mét ®èi t îng nµo ®ã trong
mét líp ®èi t îng mµ nã cã mét tÝnh chÊt hoÆc tho¶ m·n mét quan hÖ nµo ®ã.
Ch¼ng h¹n b»ng c¸ch sö dông c¸c c©u ®¬n Student(x) (x lµ sinh viªn) vµ Inside(x,
P301), (x ë trong phßng 301), ta cã thÓ biÓu diÔn c©u “ Cã mét sinh viªn ë phßng
301” bëi biÓu thøc ∃ x (Student(x) ∧ Inside(x,P301).
Mét c«ng thøc lµ c«ng thøc ph©n tö hoÆc phñ ®Þnh cña c«ng thøc ph©n tö ®îc
gäi lµ literal . Ch¼ng h¹n, Play(x, Football), Like( Lan, Rose) lµ c¸c literal. Mét
c«ng thøc lµ tuyÓn cña c¸c literal sÏ ®îc gäi lµ c©u tuyÓn. Ch¼ng h¹n, Male(x) ∨
Like(x, Foodball) lµ c©u tuyÓn.
Trong c«ng thøc ( ∀x G), hoÆc ∃ x G trong ®ã G lµ mét c«ng thøc nµo ®ã, th×
mçi xuÊt hiÖn cña biÕn x trong c«ng thøc G ®îc gäi lµ xuÊt hiÖn buéc. Mét c«ng
thøc mµ tÊt c¶ c¸c biÕn ®Òu lµ xuÊt hiÖn buéc th× ®îc gäi lµ c«ng thøc ®ãng.
VÝ dô: C«ng thøc ∀xP( x, f(a, x)) ∧∃ y Q(y) lµ c«ng thøc ®ãng, cßn c«ng thøc ∀x
P( x, f(y, x)) kh«ng ph¶i lµ c«ng thøc ®ãng, v× sù xuÊt hiÖn cña biÕn y trong c«ng
thøc nµy kh«ng chÞu rµng buéc bëi mét lîng tö nµo c¶ (Sù xuÊt hiÖn cña y gäi lµ sù
xuÊt hiÖn tù do).
Sau nµy chóng ta chØ quan t©m tíi c¸c c«ng thøc ®ãng.
3
6.1.2 Ng÷ nghÜa.
Còng nh trong logic mÖnh ®Ò, nãi ®Õn ng÷ nghÜa lµ chóng ta nãi ®Õn ý
nghÜa cña c¸c c«ng thøc trong mét thÕ giíi hiÖn thùc nµo ®ã mµ chóng ta sÏ gäi lµ
mét minh häa.
§Ó x¸c ®Þnh mét minh ho¹, tr íc hÕt ta cÇn x¸c ®Þnh mét miÒn ®èi t îng ( nã
bao gåm tÊt c¶ c¸c ®èi t îng trong thÕ giíi hiÖn thùc mµ ta quan t©m).
Trong mét minh ho¹, c¸c ký hiÖu h»ng sÏ ®îc g¾n víi c¸c ®èi t îng cô thÓ trong
miÒn ®èi t îng c¸c ký hiÖu hµm sÏ ®îc g¾n víi mét hµm cô thÓ nµo ®ã. Khi ®ã, mçi
h¹ng thøc cô thÓ sÏ chØ ®Þnh mét ®èi t îng cô thÓ trong miÒn ®èi t îng. Ch¼ng h¹n,
nÕu An lµ mét ký hiÖu h»ng, Father lµ mét ký hiÖu hµm, nÕu trong minh ho¹ An
øng víi mét ngêi cô thÓ nµo ®ã, cßn Father(x) g¾n víi hµm; øng víi mçi x lµ cha cña
nã, th× h¹ng thøc Father(An) sÏ chØ ngêi cha cña An .
Ng÷ nghÜa cña c¸c c©u ®¬n .
Trong mét minh ho¹, c¸c ký hiÖu vÞ tõ sÏ ®îc g¾n víi mét thuéc tÝnh, hoÆc
mét quan hÖ cô thÓ nµo ®ã. Khi ®ã mçi c«ng thøc ph©n tö (kh«ng chøa biÕn) sÏ chØ
®Þnh mét sù kiÖn cô thÓ. §¬ng nhiªn sù kiÖn nµy cã thÓ lµ ®óng (True) hoÆc sai
(False). Ch¼ng h¹n, nÕu trong minh ho¹, ký hiÖu h»ng Lan øng víi mét c« g¸i cô thÓ
nµo ®ã, cßn Student(x) øng víi thuéc tÝnh “x lµ sinh viªn” th× c©u Student (Lan) cã
gi¸ trÞ ch©n lý lµ True hoÆc False tuú thuéc trong thùc tÕ Lan cã ph¶i lµ sinh viªn
hay kh«ng.
Ng÷ nghÜa cña c¸c c©u phøc hîp .
Khi ®· x¸c ®Þnh ®îc ng÷ nghÜa cña c¸c c©u ®¬n, ta cã thÓ thùc hiÖn ®îc ng÷
nghÜa cña c¸c c©u phøc hîp (®îc t¹o thµnh tõ c¸c c©u ®¬n b»ng c¸ch liªn kÕt c¸c c©u
®¬n bëi c¸c kÕt nèi logic) nh trong logic mÖnh ®Ò.
VÝ dô: C©u Student(Lan) ∧ Student(An) nhËn gi¸ trÞ True nÕu c¶ hai c©u
Student(Lan) vµ Student(An) ®Òu cã gi¸ trÞ True, tøc lµ c¶ Lan vµ An ®Òu lµ sinh
viªn.
C©u Like(Lan, Rose) ∨ Like(An, Tulip) lµ ®óng nÕu c©u Like(Lan,
Rose) lµ ®óng hoÆc c©u Like(An, Tulip) lµ ®óng.
Ng÷ nghÜa cña c¸c c©u chøa c¸c l îng tö.
Ng÷ nghÜa cña c¸c c©u ∀x G, trong ®ã G lµ mét c«ng thøc nµo ®ã, ®îc x¸c
®Þnh nh lµ ng÷ nghÜa cña c«ng thøc lµ héi cña tÊt c¶ c¸c c«ng thøc nhËn ®îc tõ
c«ng thøc G b»ng c¸ch thay x bëi mét ®èi t îng trong miÒn ®èi t îng. Ch¼ng h¹n, nÕu
miÒn ®èi t îng gåm ba ngêi {Lan, An, Hoa} th× ng÷ nghÜa cña c©u ∀x Student(x) ®-
îc x¸c ®Þnh lµ ng÷ nghÜa cña c©u Student(Lan) ∧Student(An) ∧Student(Hoa). C©u
4
nµy ®óng khi vµ chØ khi c¶ ba c©u thµnh phÇn ®Òu ®óng, tøc lµ c¶ Lan, An, Hoa
®Òu lµ sinh viªn.
Nh vËy, c«ng thøc ∀x G lµ ®óng nÕu vµ chØ nÕu mäi c«ng thøc nhËn ®îc tõ
G b»ng c¸ch thay x bëi mét ®èi t îng trong miÒn ®èi t îng ®Òu ®óng, tøc lµ G ®óng
cho tÊt c¶ c¸c ®èi t îng x trong miÒn ®èi t îng.
Ng÷ nghÜa cña c«ng thøc ∃ x G ®îc x¸c ®Þnh nh lµ ng÷ nghÜa cña c«ng thøc
lµ tuyÓn cña tÊt c¶ c¸c c«ng thøc nhËn ®îc tõ G b»ng c¸ch thay x bëi mét ®èi t îng
trong miÒn ®èi t îng. Ch¼ng h¹n, nÕu ng÷ nghÜa cña c©u Younger(x,20) lµ “ x trÎ
h¬n 30 tuæi ” vµ miÒn ®èi t îng gåm ba ngêi {Lan, An, Hoa} th× ng÷ nghÜa cña c©u
∃ x Yourger(x,20) lµ ng÷ nghÜa cña c©u Yourger(Lan,20) ∨ Yourger(An,20) ∨
Yourger(Hoa,20). C©u nµy nhËn gi¸ trÞ True nÕu vµ chØ nÕu Ýt nhÊt mét trong
ba ngêi Lan, An, Hoa trÎ h¬n 20.
Nh vËy c«ng thøc ∃ x G lµ ®óng nÕu vµ chØ nÕu mét trong c¸c c«ng thøc
nhËn ®îc tõ G b»ng c¸ch thay x b»ng mét ®èi t îng trong miÒn ®èi t îng lµ ®óng.
B»ng c¸c ph¬ng ph¸p ®· tr×nh bµy ë trªn, ta cã thÓ x¸c ®Þnh ®îc gi¸ trÞ ch©n
lý ( True, False ) cña mét c«ng thøc bÊt kú trong mét minh ho¹. (Lu ý r»ng, ta chØ
quan t©m tíi c¸c c«ng thøc ®óng ).
Sau khi ®· x¸c ®Þnh kh¸i niÖm minh ho¹ vµ gi¸ trÞ ch©n lý cña mét c«ng thøc
trong mét minh ho¹, cã thÓ ®a ra c¸c kh¸i niÖm c«ng thøc v÷ng ch¾c ( tho¶ ®îc,
kh«ng tho¶ ®îc ), m« h×nh cña c«ng thøc gièng nh trong logic mÖnh ®Ò.
C¸c c«ng thøc t ¬ng ®¬ng
Còng nh trong logic mÖnh ®Ò, ta nãi hai c«ng thøc G vµ H t ¬ng ®¬ng ( viÕt
lµ G ≡ H ) nÕu chóng cïng ®óng hoÆc cïng sai trong mét minh ho¹. Ngoµi c¸c t ¬ng
®¬ng ®· biÕt trong logic mÖnh ®Ò, trong logic vÞ tõ cÊp mét cßn cã c¸c t ¬ng ®¬ng
kh¸c liªn quan tíi c¸c l îng tö. Gi¶ sö G lµ mét c«ng thøc, c¸ch viÕt G(x) nãi r»ng c«ng
thøc G cã chøa c¸c xuÊt hiÖn cña biÕn x. Khi ®ã c«ng thøc G(y) lµ c«ng thøc nhËn ®-
îc tõ G(x) b»ng c¸ch thay tÊt c¶ c¸c xuÊt hiÖn cña x bëi y. Ta nãi G(y) lµ c«ng thøc
nhËn ®îc tõ G(x) b»ngc¸ch ®Æt tªn l¹i ( biÕn x ®îc ®æi tªn l¹i lµ y ).
Chóng ta cã c¸c t ¬ng ®¬ng sau ®©y:
1. ∀x G(x) ≡ ∀y G(y)
∃ x G(x) ≡ ∃ y G(y)
§Æt tªn l¹i biÕn ®i sau lîng tö phæ dông ( tån t¹i ), ta nhËn ®îc c«ng thøc t ¬ng
®¬ng .
2. (∀x G(x)) ≡ ∃ x ( G(x))
( ∃ x G(x)) ≡ ∀x ( G(x))
5
3. ∀x (G(x) ∧H(x)) ≡ ∀x G(x) ∧∀x H(x)
∃ x (G(x) ∨H(x)) ≡ ∃ x G(x) ∨∃ x H(x)
vÝ dô : ∀x Love(x, Husband(x)) ≡ ∀y Love(y, Husband(y)).
6.2 Chuẩn hóa các công thức
Từ các câu phân tử, bằng cách sử dụng các kết nối logic và các lượng tử ta có thể tạo
ra các câu phức hợp có cấu trúc rất phức tạp. Để dễ dàng cho việc lưu trữ các câu trong bộ
nhớ, và thuận lợi cho việc xây dựng các thủ tục suy diễn, chúng ta cần chuẩn hoá các câu
bằng cách đưa chúng về chuẩn tắc hội (hội của các câu tuyển).
Trong mục này chúng ta sẽ trình bày thủ tục chuyển một câu phức hợp thành một câu
ở dạng chuẩn tắc hội tương đương.
Thủ tục chuẩn hoá các công thức gồm các bước sau:
1. Loại bỏ kéo theo
Để loại bỏ các kéo theo, ta chỉ cần thay thế công thức P⇒Q bởi công thức tương
đương PvQ thay P⇔Q bởi ( PvQ)∧ PvQ).
(
2. Chuyển các phủ định tới các phân tử
Điều này được thực hiện bằng cách thay công thức ở vế trái bởi công thức ở vế phải
trong các tương đương sau
( P)≡ P
(P∧ Q)≡ Pv Q
(PvQ)≡ P∧Q
(∀xQ)≡∃ x( P)
(∃ xQ)≡∀ x( P)
3. Loại bỏ các lượng tử tồn tại
Giả sử P(x,y) là các vị từ có nghĩa rằng “y lớn hơn x” trong miền các số. khi đó
công thức∀x (∃ y(P(x,y)) có nghĩa là “với mọi số x tồn tại y sao cho y lớn hơn “. Ta có
thể xem y trong công thức đó là hàm của đối số x, chẳng hạn f(x) và loại bỏ lượng tử
∃ y, công thức đang xét trở thành ∀x(P(x,f(x)).
Một cách tổng quát, giả sử ∃ y(G) là một công thức con của công thức đang xét
và nằm trong miền tác dụng của lượng tử ∀x1,......,∀xn. Khi đó ta có thể
xem y là hàm của n biến x1,......, xn, chẳng hạn f(x1,......, xn). Sau đó ta thay các xuất hiện
của y trong công thức G bởi hạng thức f(x1,......, xn) và loại bỏ các lượng tử tồn tại.
Các hàm f được đưa vào để loại bỏ các lượng tử tồn tại được gọi là hàm Skolem.
Ví dụ: Xét công thức sau:
∀x(∃ y(P(x,y)v∀u(∃ b(Q(a,b)∧∃y R(x,y))) (1)
Công thức con ∃ yP(x,y) nằm trong miền tác dụng của lượng tử ∀x, ta xem y là
hàm của x: F(x). Các công thức con ∃ b(Q(a,b) và ∃ y R(x,y) nằm trong miền tác dụng
của các lượng tử ∀x, ∀u nên ta xem a là hàm g(x,u) và y là hàm h(x,u) của 2 biến x,u.
Thay các xuất hiện của y và v bởi các hàm tương ứng, sau đó loại bỏ các lượng tử tồn
tại, từ công thức (1) ta nhận được công thức:
∀x(∃ y(P(x,f(x)) v ∀u (Q(a,g(x,u))∧R(x,h(x,u)))) (2)
4. Loại bỏ các lượng tử phổ dụng
.
6
5. Chuyển các tuyển tới các Literal
.
6. Loại bỏ các hội
.
7. Đặt tên lại các biến
.
6.3 Các luật suy diễn
• Luật thay thế phổ dụng
• Hợp nhất
• Luật Modus Ponens tổng quát.
Luật phân giải tổng quát
• Luật phân giải trên các câu tuyển
• Luật phân giải trên các câu Horn:
6.4 Thuật toán hợp nhất
6.5 Chứng minh bằng luật phân giải
7
