Giáo trình toán cao cấp B2
Mục tiêu cụ thể
- Kiến thức: Nắm vững và sử dụng được các kiến thức cơ bản về Đại số tuyến tính, phép tính Vi tích phân của hàm hai biến và Phương trình vi phân.
- Hiểu biết: Vận dụng các kiến thức được học khai thác được các phần mềm tính toán như Maple, Mathematica
- Ứng dụng: Giải quyết được các bài toán thực tế sau khi đã được mô hình hóa bằng các công thức toán học...
´.
Chu.o.ng 1. MA TRAN - DINH THU C (8+4)
ˆ -.
.
I. Ma trˆna
.
* Cho m, n nguyˆn du.o.ng. Ta goi ma trˆn c˜. m × n l` mˆt bang sˆ gˆm m × n
o`
´o
ao’
a o
e . .
.
.c d u.o.c viˆt th`nh m h`ng, n cˆt c´ dang nhu. sau:
´ ´
sˆ thu ¯ .
o. e a a oo.
.
a1,1 a1,2 ... a1,n
a a2,n
a2,2 ...
= 2,1
(ai,j )m×n
... ... ... ...
am,1 am,2 ... am,n
trong d ´ c´c sˆ thu.c
´
¯o a o .
ai,j , i = 1, m, j = 1, n
d u.o.c goi l` c´c phˆn tu. cu a ma trˆn, chı sˆ i chı h`ng v` chı sˆ j chı cˆt cua
` ’’ ´ ´
’o ’a a ’o ’o ’
.aa a a
¯. .
.
phˆn tu. ma trˆn.
`
a’ a
.
* Ma trˆn c˜. 1 × n d u.o.c goi l` ma trˆn h`ng, ma trˆn c˜. m × 1 d .o.c goi l` ma
a a
ao ¯. .a ao ¯u . .a
. .
.
. n × n d u.o.c goi l` ma trˆn vuˆng cˆ p n.
´
trˆn cˆt, ma trˆn c˜
a o a o a
ao ¯. .a
.
. . .
* Trˆn ma trˆn vuˆng cˆ p n, d .`.ng ch´o gˆm c´c phˆn tu.
´ e` `
a’
e a o a ¯u o o a
.
ai,i , i = 1, n
d u.o.c goi l` d u.`.ng ch´o ch´ , d .`.ng ch´o gˆm c´c phˆn tu.
e` `
a’
. a¯ o e ınh ¯u o
¯. o a
ai,n+1−i , i = 1, n
d u.o.c goi l` d u.`.ng ch´o phu cua ma trˆn.
.’
. a¯ o e
¯. a.
´p n c´ c´c phˆn tu. n˘ m ngo`i d u.`.ng ch´o ch´ d` u b˘ ng 0,
` ınh ¯ˆ `
` ’a
* Ma trˆn vuˆng cˆ
a o a oa a a¯o e e a
.
ngh˜ l`:
ıa a
ai,j = 0, ∀i = j
d u.o.c goi l` ma trˆn ch´o.
a e
¯. .a .
* Ma trˆn ch´o c´
a eo
.
ai,i = 1, i = 1, n
d u.o.c goi l` ma trˆn d o.n vi cˆ p n, k´ hiˆu In .
´
a¯ .a
¯. .a ye .
.
. m × n c´
* Ma trˆn c˜
ao o
.
ai,j = 0, ∀i, j : i > j
d u.o.c goi l` ma trˆn bˆc thang.
a a
¯. .a . .
. m × n c´ c´c phˆn tu. d` u b˘ ng 0 d u.o.c goi l` ma trˆn khˆng, k´
a ’ ¯ˆ `
` a o
* Ma trˆn c˜
ao oa e a ¯. .a y
. .
hiˆu 0m,n .
e
.
’
* Ta goi ma trˆn chuyˆ n vi
a e
. . .
a1,1 a2,1 ... am,1
a am,2
a2,2 ...
= 1,2
AT = (aj,i )n×m
... ... ... ...
a1,n a2,n ... am,n
Typeset by AMS-TEX
2
’
cua ma trˆn
a
.
a1,1 a1,2 ... a1,n
a2,1 a2,n
a2,2 ...
A = (ai,j )m×n =
... ... ... ...
am,1 am,2 ... am,n
l` ma trˆn c´ d u.o.c t`. A b˘ ng c´ch chuyˆn h`ng th`nh cˆt, cˆt th`nh h`ng.
’
`
a a o¯ . u a a ea a oo a a
. . .
. (a ) .o.c goi l` b˘ ng nhau nˆu c´c phˆn
` ´ `
.aa
* Hai ma trˆn c` ng c˜ i,j m×n v` (bi,j )m×n d u .
au o a ¯ ea a
.
tu. o. t`.ng vi tr´ d` u b˘ ng nhau:
e`
’’ u ı ¯ˆ a
.
ai,j = bi,j , ∀i = 1, m, ∀j = 1, n.
+ Tˆ ng (hiˆu) cua hai ma trˆn c` ng c˜. m × n l` mˆt ma trˆn c˜. m × n, trong d ´
’ ’
o e au o ao ao ¯o
. . . .
phˆn tu. cua ma trˆn tˆ ng (hiˆu) l` tˆ ng (hiˆu) c´c phˆn tu. o. vi tr´ tu.o.ng u.ng:
’ ’
` `
a’’ a ’’ . ı
ao e ao e a ´
. . .
(ci,j )m×n = (ai,j )m×n ± (bi,j )m×n
v´.i
o
ci,j = ai,j ± bi,j , ∀i = 1, m, ∀j = 1, n.
+ T´ vˆ hu.´.ng cua sˆ thu.c α v´.i ma trˆn c˜. m × n l` ma trˆn c˜. m × n, trong d ´
´
’o.
ıch o o o ao a ao ¯o
. .
mˆi phˆn tu. l` t´ cua α v´.i phˆn tu. o. vi tr´ tu.o.ng u.ng cua ma trˆn ban d` u:
˜ ` `
a ’ a ıch ’ a ’’ . ı ’
o o ´ a ¯ˆ
a
.
(ci,j )m×n = α.(ai,j )m×n
v´.i
o
ci,j = α.bi,j , ∀i = 1, m, ∀j = 1, n.
+ T´ vˆ hu.´.ng c´ t´ phˆn bˆ v´.i ph´p cˆng c´c ma trˆn: α.(A + B ) = α.A + α.B ,
´
ıch o o o ınh a o o eo a a
. .
.i ph´p cˆng c´c hˆ sˆ: (α + β ).A = α.A + β.B , c´ t´ kˆt ho.p:
´ ´
v´
o eo a eo o ınh e .
. .
α.(β · A) = (α.β ) · A.
ıch ’
+ T´ cua hai ma trˆn A = (ai,j )m×n v` B = (bj,k )n×q l` ma trˆn
a a a a
. .
C = A × B = (ci,k )m×q ,
v´.i
o
n
ci,k = ai,j bj,k , ∀i = 1, m, ∀k = 1, q.
j =1
V´ du.
ı.
13 2 13 1.1 + 3.1 + 2.3 1.3 − 3.1 + 2.2 10 4
2 4 × 1 −1 = 2.1 + 4.1 + 7.3 2.3 − 4.1 + 7.2 = 27 16
7
35 6 32 3.1 + 5.1 + 6.3 3.3 − 5.1 + 6.2 26 16
3
+ Ph´p nhˆn hai ma trˆn c´ t´ kˆt ho.p: A × (B × C ) = (A × B ) × C , t´ phˆn
´.
e a a o ınh e ınh a
.
.i ph´p cˆng:
´´
phˆi d oi v´
o ¯ˆ o eo .
A × (B + C ) = A × B + A × C ; (A + B ) × C = A × C + B × C.
Ngo`i ra, nˆu A c´ c˜. m × n, th`
´
a e oo ı
A × In = Im × A = A.
II. Dinh th´.c
-. u
.’ a
* Cho E = {1, 2, 3, . . . , n}. Ta goi ho´n vi cu a tˆp E l` mˆt song ´nh f : E → E ,
a ao a
. .
.
k´ hiˆu
ye .
1 2 ... n
f:
f (1) f (2) . . . f (n)
hay
(f (1), f (2), . . . , f (n))
´
oa ’
(c´ tˆ t ca n! ho´n vi kh´c nhau).
a.a
V´ du. Cho E = {1, 2, 3}. Anh xa f : E → E x´c d .nh bo.i: f (1) = 1, f (2) = 3, f (3) = 2
´ ’
ı. a ¯i
.
a .’
l` mˆt ho´n vi cua E , k´ hiˆu l`
ao yea
. .
12 3
13 2
ho˘c
a
.
(1, 3, 2).
* Cho mˆt ho´n vi
o a.
.
1 2 ... n
f:
f (1) f (2) ... f ( n)
ta th`nh lˆp c´c c˘p th´. tu.
a aaa u.
. .
(f (i), f (j )), ∀i = j,
s˜ c´ Cn c˘p th´. tu. nhu. thˆ; mˆt c˘p (f (i), f (j )) d .o.c goi l` nghich thˆ nˆu
eo 2a ´´
´.. ee
u. eoa ¯u . .a
. .
(i − j )(f (i) − f (j )) < 0.
Goi N (f ) l` sˆ c´c nghich thˆ cua ho´n vi f (c´ trong Cn c˘p th´. tu. trˆn).
2
´ ´
e’
aoa a. o a u. e
. . .
´ nghich thˆ cua ho´n vi
´’
V´ du. T` sˆ
ı. ım o e a.
.
12 3 45
f: .
32 1 54
4
T`. ho´n vi n`y, ta c´ c´c c˘p th´. tu.
u a .a oa a u.
.
(3, 2), (3, 1), (3, 5), (3, 4), (2, 1), (2, 5), (2, 4), (1, 5), (1, 4), (5, 4),
´
trong d o ta c´ c´c nghich thˆ:
¯´ oa e
.
(3, 2), (3, 1), (2, 1), (5, 4),
suy ra N (f ) = 4
* Cho ma trˆn (A)n,n . Dinh th´.c cu a A l` mˆt sˆ thu.c, k´ hiˆu v` x´c d inh nhu.
-. ’ .´
u
a aoo . y e a a ¯.
. .
sau:
(−1)N (f ) a1,f (1) a2,f (2) . . . an,f (n)
det(A) =
f ∈Sn
trong d ´ Sn l` tˆp tˆ t ca n! ho`n vi cua n phˆn tu. {1, 2, . . . , n}. Nhu. vˆy, d inh
´ `
aa a ’ a .’ a’
¯o a ¯.
. .
.c cua ma trˆn A l` mˆt sˆ: ´
’
th´
u a aoo
. .
+ b˘ ng tˆ ng d . i sˆ cua n! hang tu. dang
’ ¯a o ’
` ´ ’.
a o .
a1,f (1) a2,f (2) . . . an,f (n)
+ mˆi hang tu. l` t´ cua n phˆn tu. ai,j m` mˆi h`ng, mˆi cˆt phai c´ mˆt
˜ ˜ ˜.
`
’ a ıch ’ a’ ’oo
o. aoa oo .
. tham gia v`o t´ d ´.
`
a’o a’
v` chı mˆt phˆn tu a ıch ¯o
.
+ dˆ u cua mˆi hang tu. phu thuˆc v`o sˆ nghich thˆ cua ho´n vi tu.o.ng u.ng.
˜
´’ ´ ´
’ e’
a o. oao a. ´
. . .
* Ta goi d inh th´.c cˆ p 2 l` gi´ tri t´ d u.o.c t`. bang 2 h`ng, 2 cˆt nhu. sau:
´ a a . ınh ¯ . u ’
¯. u a a o
. .
a1,1 a1,2
= a1,1 a2,2 − a2,1 a1,2
a2,1 a2,2
* Ta goi d inh th´.c cˆ p 3 l` gi´ tri t´ d u.o.c t`. bang 3 h`ng, 3 cˆt nhu. sau:
´ a a . ınh ¯ . u ’
. ¯. u a a o
.
a1,1 a1,2 a1,3
a2,1 a2,2 a2,3 = a1,1 a2,2 a3,3 + a2,1 a3,2 a1,3 + a3,1 a1,2 a2,3
a3,1 a3,2 a3,3
− a3,1 a2,2 a1,3 − a2,1 a1,2 a3,3 − a1,1 a3,2 a2,3
+ Dˆ t´ nhanh d .nh th´.c cˆ p 3, ta viˆt cˆt th´. nhˆ t v` th´. hai tiˆp theo v`o bˆn
- e ınh
’ ´ ´. ´ ´
¯i ua eo u aau e ae
’’
phai bang n´i trˆn:
oe
a1,1 a1,2 a1,3 a1,1 a1,2
a2,1 a2,2 a2,3 a2,1 a2,2
a3,1 a3,2 a3,3 a3,1 a3,2
. lˆ y dˆ u cˆng l` t´ c´c phˆn tu. n˘ m trˆn c´c d .`.ng ch´o song song
`
`a ’´ ´ . `a ’a
th` 3 phˆn tu a a o
ı a ıch a e a ¯u o e
.i d .`.ng ch´o ch´ . lˆ y dˆ u tr`. l` t´ c´c phˆn tu. n˘ m trˆn c´c
`
`
a ’´ ´ `
a ’a
v´ ¯u o
o e ınh, ba phˆn tu a a u a ıch a ea
.`.ng ch´o song song v´.i d .`.ng ch´o phu (quy t˘c Serrhus)
´
du o
¯ e o ¯u o e a
.
5
* Ta goi d inh th´.c cˆ p n l` gi´ tri t´ d u.o.c t`. bang:
´ a a . ınh ¯ . u ’
. ¯. u a
a1,1 a1,2 ... a1,n
a2,1 a2,2 ... a2,n
= a1,1 D1 − a2,1 D2 + · · · + (−1)n+1 an,1 Dn
... ... ... ...
an,1 an,2 ... an,n
trong d ´ Dk l` d .nh th´.c cˆ p n − 1 thu d .o.c t`. bang d a cho b˘ ng c´ch bo cˆt
`
´ ¯u . u ’ ’o
¯o a ¯i ua ¯˜ a a .
th´. nhˆ t v` h`ng th´. k, k = 1, n.
´
u a aa u
V´ du.
ı.
1 4 5 2
33 1 45 2 4 52 4 52
0 3 3 1
= 1. 0 4 0 − 0. 0 4 0 + 2. 3 3 1 − 0. 3 3 1 = 14
2 0 4 0
02 1 02 1 0 21 0 40
0 0 2 1
Dinh th´.c khˆng thay d o i nˆu ta d ˆ i h`ng th`nh cˆt
-. ’´ ’
+ u o ¯ˆ e ¯o a a o
.
- inh th´.c d ˆ i dˆ u nˆu ta d ˆ i chˆ hai h`ng (ho˘c hai cˆt) v´.i nhau
’a e ’ ˜
u ¯o ´ ´
+ D. ¯o o a a o o
. .
Dinh th´.c c´ hai h`ng (ho˘c hai cˆt) ty lˆ v´.i nhau nhau th` b˘ ng 0
-. ı`
’eo
+ uo a a o a
. . .
.a sˆ chung cua mˆt h`ng hay cˆt c´ thˆ d u.a ra ngo`i dˆ u cua d nh th´.c
’
u´ ´ ’ ¯i
’
+ Th` o oa o o e¯ aa u
. . .
- inh th´.c khˆng thay d ˆ i nˆu ta d` ng th`.i cˆng v`o c´c phˆn tu. cua mˆt h`ng
’e ´ ` ’’
+ D. u o ¯o ¯ˆo oo aa a oa
. .
(hay mˆt cˆt) n`o d ´ c´c phˆn tu. cua mˆt h`ng (hay mˆt cˆt) kh´c nhˆn v´.i c` ng
`
a’’
oo a ¯o a oa oo a aou
.. . ..
.´
mˆt sˆ.
oo
V´ du. Giai phu.o.ng tr`
’
ı. ınh:
1 1 1 ... 1
1 1−x 1 ... 1
1 1 2−x ... 1 = 0.
... ... ... ... ...
1 1 1 ... n−x
Dinh th´.c o. vˆ tr´i cua phu.o.ng tr` l` d th´.c bˆc n nˆn c´ khˆng qu´ n nghiˆm
-. ´
u’ea’ ınh a ¯a u a eoo a e
. .
kh´c nhau. Thay x = 0, x = 1, x = 2, . . . , x = n − 1 v`o d .nh th´.c, ta luˆn c´ hai
a a ¯i u oo
h`ng v´.i c´c phˆn tu. b˘ ng 1, nˆn d inh th´.c b˘ ng 0. Vˆy phu.o.ng tr` c´ n nghiˆm
` `
`
a ’a
a oa e ¯. ua a ınh o e
. .
x = 0, x = 1, x = 2, . . . , x = n − 1.
* Dinh th´.c cua ma trˆn vuˆng A = (ai,j )n×n , k´ hiˆu det(A) l` d .nh th´.c cˆ p n
-. ´
’
u a o ye a ¯i ua
. .
’ ’
cua bang
a1,1 a1,2 . . . a1,n
a2,1 a2,2 . . . a2,n
... ... ... ...
an,1 an,2 . . . an,n
´
v` c´ t´ chˆ t:
a o ınh a
+ det(αA) = αn . det(A)
+ det(A × B ) = det(A). det(B )
III. Ma trˆn nghich d ’ o
a ¯a
. .
6
* Ma trˆn A = (ai,j )n×n d u.o.c goi l` ma trˆn kha nghich nˆu tˆn tai ma trˆn A−1
’ e`.
´o
a
a ¯. .a a
. .
. .
sao cho:
A × A−1 = A−1 × A = In .
Khi d o, ma trˆn A−1 d u.o.c goi l` ma trˆn nghich d a o cua A.
¯’ ’
a
¯´ a ¯. .a
. . .
’ a’
+ Ma trˆn A kha nghich khi v` chı khi
a
. .
det A = 0.
* Cho A = (ai,j )m×n . Mˆt d inh th´.c con cˆ p k (1 ≤ k ≤ n) cua A l` mˆt d inh
´ ’
o ¯. u a a o ¯.
. .
.c tao th`nh t`. ma trˆn A b˘ ng c´ch bo d i m − k h`ng v` n − k cˆt.
` ’¯
th´ .
u a u a a a a a o
. .
´ ’
* Cho ma trˆn vuˆng cˆ p n kha nghich
a o a
. .
a1,1 a1,2 ... a1,n
a a2,n
a2,2 ...
A = 2,1
... ... ... ...
an,1 an,2 ... an,n
Phˆn b` d ai sˆ cua phˆn tu. ai,j , l` sˆ Ai,j = (−1)i+j Di,j trong d ´ Di,j l` d inh
` ´ ` ´
u ¯. o ’ a’
a ao ¯o a ¯.
.c cˆ p n − 1 cua bang thu d u.o.c t`. ma trˆn A b˘ ng c´ch gach bo h`ng th´. i v`
`
u´ ’ ’ ’a
th´ a ¯. u a a a u a
. .
cˆt th´. j .
o u
.
´
’
+ Cho A l` ma trˆn vuˆng kha nghich cˆ p n v` ∆ = det A = 0. Khi d o ma trˆn
a a o a a ¯´ a
. . .
’ o cua A d u.o.c x´c d .nh mˆt c´ch duy nhˆ t bo.i:
´’
’
nghich d a
.¯ ¯ . a ¯i oa a
.
1 T
A−1 = Ai,j
∆
A1,1 A2,1 Dn,1
...
1 A1,2 A2,2 Dn,2
...
=
∆ ... ...
... ...
A1,n A2,n ... Dn,n
. ¯’ ’
V´ du. Ma trˆn nghich d ao cua
ı. a
.
1 −1 1
A = 2 1 1
1 12
l`:
a
1 3 −2
1
1
A−1 = −3 1
5
1 −2 3
v`
ı:
∆ = det A = (1)(1)(2)+(2)(1)(1)+(1)(−1)(1)−(1)(1)(1)−(2)(−1)(2)−(1)(1)(1) = 5 = 0
7
v`:
a
11 21 21
A1,1 = (−1)1+1 = 1; A1,2 = (−1)1+2 = −3; A1,3 = (−1)1+3 = 1;
12 12 11
−1 1 1 1 1 −1
A2,1 = (−1)2+1 = 3; A2,2 = (−1)2+2 = 1; A2,3 = (−1)2+3 = −2
1 2 1 2 1 1
−1 1 1 1 1 −1
A3,1 = (−1)3+1 = −2; A3,2 = (−1)3+2 = 1; A3,3 = (−1)3+3 =3
1 1 2 1 2 1
´
+ T´ chˆ t:
ınh a
1 −1
− Cho A kha d ao v` k = 0, th` (kA)−1 =
’ ¯’ a ı: A
k
− Cho A, B c` ng cˆ p v` kha d ao, th` (A × B )−1 = B −1 × A−1
´ ’ ¯’
u aa ı:
−1
− Cho A kha d ao th` A c˜ ng kha d ao v` A−1
−1
’ ¯’ ’ ¯’ a
ı u =A
’
`
Phˆn I.4: Hang cua ma trˆn a
a . .
’ ´ ´
a’a
* Ta goi hang cu a ma trˆn A = (ai,j )m×n , k´ hiˆu r(A) l` cˆ p cao nhˆ t cua c´c
a ye aa
.. .
.
.c con kh´c 0 cua A. ’
d inh th´
¯. u a
’ a ma trˆn 0m×n l` 0, hang cua ma trˆn A = (a) v´.i a = 0 l` 1.
’
+ Hang cu a a a o a
. . . .
+ Hang cua ma trˆn khˆng thay d ˆ i qua c´c ph´p biˆn d ˆ i so. cˆ p sau d ˆy: ’
’ ´ ´
’ a e e ¯o a
a o ¯o ¯a
. .
- ˆ i chˆ hai h`ng ho˘c hai cˆt cho nhau;
’ ˜
a. Do o a a o
. .
b. Nhˆn mˆt h`ng (hay mˆt cˆt) v´.i mˆt sˆ kh´c 0; .´
a oa oo o ooa
. ..
c. Cˆng v`o mˆt h`ng (hay mˆt cˆt) v´.i mˆt h`ng (hay mˆt cˆt) kh´c nhˆn
o a oa oo o oa oo a a
. . .. . ..
v´.i mˆt sˆ. ´
o oo
.
Dˆ t` hang cua ma trˆn Amtimesn , c´ thˆ d` ng c´c phu.o.ng ph´p sau:
- e ım .
’ ’
’ a o eu a a
.
.o.ng ph´p theo d inh ngh˜ t´ c´c d inh th´.c con t`. cˆ p 2 tro. lˆn. Gia ´ ’e ’
+ Phu a ¯. ıa: ınh a ¯. u ua
. ma trˆn c´ 1 d nh th´.c con cˆ p r kh´c 0, t´ tiˆp c´c d inh th´.c cˆ p r + 1, nˆu
´ ´ ´ ´
’
su a o ¯i u a a ınh e a ¯. ua e
. .
tˆ t ca d` u b˘ ng 0 th` kˆt luˆn hang ma trˆn l` r, nˆu c´ d inh th´.c cˆ p r + 1 kh´c
e`
´ ´a ´ ´
a ’ ¯ˆ a ıe aa e o ¯. ua a
. . .
0 th` t´ tiˆp c´c d inh th´.c cˆ p r + 2, c´. nhu. thˆ dˆn d .nh th´.c cˆ p l´.n nhˆ t
´ ´ ´´ ´ ´
ı ınh e a ¯. ua u e ¯e ¯i uao a
’
V´ du. T` hang cua ma trˆn
ı. ım . a
.
1235
A = 3 2 4 9
1014
12
Ta c´ d .nh th´.c con cˆ p 2: = −4 = 0, v` c´c d .nh th´.c cˆ p 3:
´ ´
o ¯i u a a a ¯i ua
32
12 3 1 2 5 1 35 2 3 5
32 4 = 0; 3 2 9 = 0; 3 4 9 = 0; 2 4 9 =0
10 1 1 0 4 1 14 0 1 4
suy ra r(A) = 2
8
+ Phu.o.ng ph´p d`ng ph´p biˆn d ˆ i so. cˆ p: biˆn d ˆ i ma trˆn vˆ dang bˆc
’ ’
´ ´ ´ a`.
a u e e ¯o a e ¯o e a
. .
thang
b1,1 b1,2 . . . b1,r . . . b1,n
0 b2,2 . . . b2,r . . . b2,n
... ... ... ... ... ...
B =
0 0 . . . br,r . . . br,n
0 0 ... 0 ... 0
0 0 ... 0 ... 0
v´.i bi,j = 0, ∀i > j hay i > r v` bii = 0, i = 1, r th` r(A) = r(B ) = r.
o a ı
V´ du. T` hang ma trˆn
ı. ım . a
.
1 3 2 0 5
2 12
6 9 7
A=
−2 −5 2 4 5
1 4 8 4 20
1 3 2 0 5 13 2 0 5
0 2 h4−h3;h2↔h3 0 1 15
0 5 7 6 4
h2−2h1;h3+2h1;h4−h1
A −→ −→
0 1 6 4 15 00 5 7 2
0 1 6 4 15 00 0 0 0
suy ra r(A) = 3
+ Ngo`i ra, c´ thˆ t` ma trˆn nghich d a o qua c´c ph´p biˆn d ˆ i so. cˆ p: ’
’ ¯’ ´ ´
o e ım a a e e ¯o a
a . .
. v´.i A, thu.c hiˆn c´c ph´p biˆn d o i so. cˆ p CHI ’
’
´ ´ ´
lˆp ma trˆn khˆi A|E (E c` ng c˜ o
a a o u o ea e e ¯ˆ a
. . . .
TREN HANG, nˆu d .a d .o.c vˆ dang E |B th` B l` nghich d ao cua A.
ˆ ` e ¯u ¯u . ` .
´ . ¯’ ’
e ı a
1 −1 1 | 1 0 0 1 −1 1 | 1 0 0
h2−2h1,h3−h1
V´ du. A|E = 2 1 1 | 0 1 0 0 3 −1 | −2 1 0
ı. −→
1 1 2|001 02 1 | −1 0 1
1 −3 0 | 2 0 −1 h2( 1 ) 1 −3 0 | 2 0 −1
h1−h3,h2+h3
0 5 0 | −3 1 1 −→ 0 1 0 | −3/5 1/5 1/5
5
−→
0 1 | −1 0 1
2 0 2 1 | −1 0 1
1 0 0 | 1/5 3/5 −2/5
h1+3h2,h3−2h2
1/5 thu d u.o.c kˆt qua nhu. c˜ .
0 1 0 | −3/5 1/5 ´ ’
−→ ¯. e u
0 1 1 | 1/5 −2/5 3/5
` ˆ
BAI TAP .
ınh, ch´.ng minh c´c d inh th´.c sau chia hˆt cho 17:
´
1.1. Khˆng t´
o u a ¯. u e
2 0 4 3 2 3
5 2 7; 20 9 1
2 5 5 55 2 5
1.2. Ch´.ng minh c´c d ang th´.c sau d ˆy (khˆng t´ d .nh th´.c b˘ ng d .nh ngh˜
’ u`
u a ¯˘ u ¯a o ınh ¯i a ¯i ıa):
9
0xyz 01 1 1
1 0 z2 y2
x0zy
v´.i xyz = 0
a. = o
1 z 2 0 x2
yz0x
1 y 2 x2 0
xyz0
1 x yz
b. 1 y zx = (x − y )(y − z )(z − x)
1 z xy
1 11
c. xy z = (x + y + z )(x − y )(y − z )(z − x)
x3 y 3 z 3
1.3. T` x sao cho:
ım
3 3 − x −x x x+1 x+2
a. 2 7 3 =0 b. x + 3 x + 4 x+5 =0
x + 1 3x − 7 x x+6 x+7 x+8
2
1xx x 12
c. 3 1 x 0
451 x + 1 2 −4
x 1 1 1 1
0 1 1 0 1 x x x
1 x 1 1 1
0 0 1 1 1 a 0 0
1.4. T´ c´c d .nh th´.c sau:
ınh a ¯i u ; ; 1 1 x 1 1;
1 0 0 1 1 0 b 0
1 1 1 x 1
1 1 0 0 1 0 0 c
1 1 1 1 x
x2 x3
1 x
x2 + 1
a+x x x xy xz
x3 x2 x 1
y2 + 1
a b+x x; xy yz ; ;
2x 3x2 4x3
1
2
x x c+x xz yz z +1
4x3 3x2 2x 1
a x x −x −x
0 x y z 2 x 1 x x 0 y 0
x 2a a 0 0
x 0 z y 1 x 2 x 0 z 0 t
; ; ; x a 2a 0 0;
y z 0 x 2 1 x x y 0 z 0
−x 0 0 2a a
x y z 0 x x 2 1 0 t 0 x
−x 0 0 a 2a
1 2 3 ... n x a a ... a
2 1 2 ... n−1 a x a ... a
3 2 1 ... n−2 ; a a x ... a;
... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
n n−1 n−2 ... 1 a a a a x
0 1 1 ... 1 1
cos(x1 − y1 ) cos(x1 − y2 ) ... cos(x1 − yn ) 1 0 x ... x x
cos(x2 − y1 ) cos(x2 − y2 ) ... cos(x2 − yn ) 1 x 0 ... x x
; ;
... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
cos(xn − y1 ) cos(xn − y2 ) ... cos(xn − yn ) 1 x x ... 0 x
1 x x ... x 0
10
a1 −a2 0 ... 0 0
1 + x1 y1 1 + x1 y2 ... 1 + x1 yn 0 a2 −a3 ... 0 0
1 + x2 y1 1 + x2 y2 ... 1 + x2 yn 0 0 a3 ... 0 0
;
... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
1 + xn y1 1 + xn y2 ... 1 + xn yn 0 0 0 ... an−1 −an
1 1 1 ... 1 1 + an
2 1 2 1 −2
3 v` B = 4 6 . T` A2 , AB, A−1 .
1.5. Cho A = 0 1 a ım
0 1 2 5 −3
n n n
2 −1 a 1 cos x − sin x
1.6. T` c´c ma trˆn
ım a a ; ;
. 3 −2 0 a sin x cos x
1 2
. T` f (A) v´.i f (x) = x2 − 4x + 3, f (x) = x2 − 2x + 1.
1.7. Cho A = ım o
2 1
1.8.
211 1 2 −2
a. Cho A = 3 1 2 v` B = 2 3 1 .
a
1 −1 0 12 2
1. T` A−1 , B −1 .
ım
2. T` f (A), f (B ) v´.i f (x) = x2 − x − 1
ım o
2 1 00 1 3 −5 7
3 2 0 0 0 1 2 −3
. ¯’ ’
b. T` ma trˆn nghich d ao cua A = ; B= .
ım a
. 1 1 34 00 1 2
2 −1 2 3 00 0 1
1.9.
a. T` ma trˆn vuˆng cˆ p hai c´ b` phu.o.ng b˘ ng ma trˆn khˆng.
`
´
ım a o a o ınh a a o
. .
.o.ng b˘ ng ma trˆn d .n vi.
`
´
b. T` ma trˆn vuˆng cˆ p hai c´ b` phu
ım a o a o ınh a a ¯o .
. .
1.10. T` ma trˆn X sao cho:
ım a.
12 35 3 −2 −1 2
×X = ; X× = ;
34 5 9 5 −4 5 6
1 2 −3 1 −3 0 1 1 −1 1 −1 3
3 2 −4 ×X = 10 2 7 ; X × 2 1 0 = 4 3 2 ;
2 −1 0 10 7 8 1 −1 1 1 −2 5
21 −3 2 −2 4
×X × = ;
32 5 −3 3 −1
41 21 50
×X × = ;
3 −1 53 61
111
0 1 1 − 2 2 1 −1 = 1 05
X× ;
30 6 −1 −2 1
001
122 35 15
2 5 4 × X + 7 6 = 3 −1 2 ;
245 21 −2 0
11
1 1 1 ... 1 1 2 3 ... n
0 1 0 2 ... n − 1
1 1 ... 1
0 1 ×X = 0 1 . . . n − 2 .
0 1 ... 0
... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
0 0 0 ... 1 0 0 0 ... 1
’
1.11. T` hang cua ma trˆn sau:
ım . a
.
2111
2 1 11 2 1 3 205
1 3 1 1
1 4 −1 2 6 9 7 12
0
1 1 4 1 ;
; ;
11 4 56 −5 −2 −5 2 4 5
1115
2 −1 5 −6 1 4 8 4 20
1111
1 2 3 14 3 1 −3 1 1
3 2 1 11 13 5 7 91
2 −1 7 −3 2
1 −2 3 −4 5 2 ;
6 ;
11 1
1 3 −2 5 3
2 3 −1 5 2 11 12 25 22 4
3 −2 7 −5 3
11 0 3
´
1.12. Biˆn luˆn theo a sˆ hang ’ a c´c ma trˆn sau:
e a o . cu a a
. . .
−1 2 1 1 a −1 2 a114
2 ; 2 −1 a 5 ; 1 a 1 3 ;
a −2
3 −6 (a + 3)(a + 7) 1 10 −6 1 1 2a 1 4
3114 1436 1 2 −1 3 2
2 −1 a2 0 4
a 4 10 1 −1 0 1 1
; ;
1 7 17 3 2 1 −1 0 31 2 27
2243 02a4 12 a 11
’
a.’
1.13. T` c´c gi´ tri cua m dˆ:
ım a ¯e
34 5 71
2 6 −3 4 2
a. r(A) = 2 v´.i A =
o
4 2 13 10 0
5 0 21 13 m
1 2 3 −1 1
3 2 1 −1 1
b. r(A) = 3 v´.i A =
o
231 1 1
5 5 2 0 2m + 1
1436
−1 0 1 1
c. r(A) = 3 v´.i A =
o
2 1 −1 0
02m4
3114
m 4 10 1
d. r(A) = 2 v´.i A =
o
1 7 17 3
2243
m111
1 1 m 1
e. r(A) = 2 v´.i A =
o
111m
1m11
12
-ooOoo-
13
..
Chu.o.ng 2. HE PHU O NG TR` ´
ˆ INH TUYEN T´ ˆ INH (2+2)
.
I. C´c d .nh ngh˜
a ¯i ıa
* Ta goi hˆ phu.o.ng tr` e ınh m phu.o.ng tr` ’
´
.e ınh tuyˆn t´ ınh n ˆ n l` hˆ c´ dang
a aeo . .
.
a1,1 x1 + a1,2 x2 + · · · + a1,n xn = b1
...
(1)
a2,1 x1 + a2,2 x2 + · · · + a2,n xn = b2
am,1 x1 + am,2 x2 + · · · + am,n xn = bm
trong d o ai,j , bi (i = 1, m, j = 1, n) l` c´c hˆ sˆ (thu.c ho˘c ph´.c), x1 , x2 , . . . , xn l` c´c
.´
¯´ aa eo a u aa
. .
’n sˆ. Hˆ phu.o.ng tr` tuyˆn t´ d u.o.c goi l` c´ nghiˆm (hay tu.o.ng th´ ) nˆu
´ ´ ´
.ao e ıch e
a
ˆo e ınh e ınh ¯ .
. .
˜
’oao
tˆp nghiˆm cua n´ kh´c rˆng.
a e
. .
+ Hˆ (1) c´ thˆ d u.o.c viˆt du.´.i dang ma trˆn AX = B trong d ´:
’ ´
e o e¯ . e o. a ¯o
. .
a1,1 a1,2 . . . a1,n x1 b1
a a2,2 . . . a + 2, n
X = x2 ; B = b2 hay
A = 2,1 ;
... ... ... ... . .
.x .b
.n .m
am,1 am,2 . . . am,n
a1,1 a1,2 . . . a1,n b1
a a2,2 . . . a + 2, n b2
du.´.i dang ma trˆn mo. rˆng: A = 2,1
’o , khi d o hang
o. a ¯´ .
. . ... ... ... ... ...
am,1 am,2 . . . am,n bm
r(A) cua A d u.o.c goi l` hang cu a hˆ phu.o.ng tr`
’
’ e ınh (1)
¯. a.
. .
II. Hˆ Cramer
e
.
* Hˆ (1) c´ sˆ phu.o.ng tr` b˘ ng sˆ nghiˆm (m = n) v` d .nh th´.c det(A) = 0 d u.o.c
`
´ ´
e oo ınh a o e a ¯i u ¯.
. .
goi l` hˆ Cramer.
.ae .
Di
+ Hˆ Cramer c´ nghiˆm duy nhˆ t d u.o.c x´c d .nh nhu. sau: ∀i = 1, n, xi =
´
e o e a ¯ . a ¯i , trong
. . D
d ´ D = det(A), c`n Di l` d inh th´.c thu d .o.c t`. D b˘ ng c´ch thay cˆt th´. i b˘ ng
` `
¯o o a ¯. u ¯u . u a a o u a
.
. do.
. .´
cˆt hˆ sˆ tu
o eo.
x1 + 2x2 + 3x3 = 6
’e
V´ du. Giai hˆ:
ı. . 2x1 − x2 + x3 = 2
3x1 + x2 − 2x3 = 2
12 3
´
Do D = 2 −1 1 = 30 = 0, hˆ c´ nghiˆm duy nhˆ t (1, 1, 1):
eo e a
. .
3 1 −2
62 3 16 3 126
1 1 1
x= 2 −1 1 = 1; y = 2 2 1 = 1; z = 2 −1 2 = 1
30 30 30
2 1 −2 3 2 −2 312
y` ’
III. C´c d .nh l´ vˆ nghiˆm cua hˆ (Kronecker-Kapeli)
a ¯i e e e
. .
.o.ng th´ a’
+ (1) c´ nghiˆm (tu
o e ıch) khi v` chı khi r(A) = r(A).
.
´ a’
+ (1) c´ nghiˆm duy nhˆ t (x´c d inh) khi v` chı khi r(A) = r(A ) = n.
o e a a ¯.
.
´u r(A) = r(A ) = r < n th` (1) c´ vˆ sˆ nghiˆm v` c´c th`nh phˆn nhiˆm phu
´ `
+ nˆ e ı ooo e aa a a e
. . .
´
thuˆc n − r tham sˆ tu` y.
o o y´
.
14
ax1 + x2 + x3 = 1
´ nghiˆm cua hˆ: ’e
V´ du. Biˆn luˆn theo a sˆ
ı. e a o e . x1 + ax2 + x3 = 1
. . .
x1 + x2 + ax3 = 1
. cˆ p d e x´c d inh hang cua A v` A
’ ’
´ ´ ’
D` ng c´c ph´p biˆn d o i so a ¯ˆ a ¯. .
u a e ¯ˆ
e a
a11|1 11a|1
h1↔h3
A = 1 a 1 | 1 −→ 1 a 1 | 1
1 1 a | 1 a 1 1 | 1
1 1 a | 1 1 1 a | 1
h2−h1 h3+h2
−→ 0 a − 1 1 − a | 0 −→ 0 a − 1 0
1−a |
h3−ah1 2 2
0 1−a 1−a | 1−a 0 0 2−a−a | 1−a
´u 2 − a − a2 = 0, c´ 2 .`.ng ho.p:
+ Nˆ e o tru o .
111|1
a = 1 th` A −→ 0 0 0 | 0 ⇒ r(A) = r(A ) = 1 < 3, hˆ c´ vˆ sˆ ´
ı: eooo
.
000|0
´
nghiˆm phu thuˆc 2
e o tham sˆ tu` y.
o y´
. . .
1 1 −2 | 1
a = −2 th` A −→ 0 −3 3 | 0 ⇒ r(A) = 2 < r(A = 3, hˆ vˆ
ı: eo
.
00 0 |3
nghiˆm. e.
´u 2 − a − a2 = 0 ⇔ a = 1, a = −2, th` r(A) = r(A ) = 3, hˆ c´ nghiˆm duy nhˆ t. ´
+ Nˆ e ı eo e a
. .
IV. Phu.o.ng ph´p giai hˆ ’e
a .
´n d o i so. cˆ p cho hˆ tu.o.ng d .o.ng (tu.o.ng u.ng v´.i c´c ph´p biˆn d o i
’ ’
´ ´
+ C´c ph´p biˆ ¯ˆ
a e e a e ¯u ´ oa e e ¯ˆ
.
. rˆng):
’ ’.
theo h`ng cua ma trˆn mo o
a a.
- ˆ i chˆ hai phu.o.ng tr` cho nhau (d ˆ i chˆ hai h`ng cua ma trˆn)
’ ’
˜ ˜ ’
− Do o ınh ¯o o a a.
.o.ng tr` n`o d ´ v´.i mˆt sˆ kh´c 0 (nhˆn c´c phˆn tu.
´ ´ `
e’ a’
− Nhˆn hai vˆ cua phu
a ınh a ¯o o ooa aa
.
.i mˆt sˆ kh´c 0)
.´
’
trˆn mˆt h`ng cua ma trˆn v´
e oa ao ooa
. .
− Cˆng t`.ng vˆ cua mˆt phu.o.ng tr` v´.i mˆt phu.o.ng tr` kh´c nhˆn v´.i
´
e’
o u o ınh o o ınh a ao
. . .
.i bˆi sˆ mˆt h`ng kh´c)
.´. o.´.
mˆt sˆ (cˆng mˆt h`ng v´ o o o a
ooo oa a
.
´
1. Ap dung d inh l´ Carmer
¯. y
.
Nˆu hˆ phu.o.ng tr` tuyˆn t´ l` hˆ Cramer, c´ thˆ ´p dung d .nh l´ Carmer ’
´e ´
e ınh e ınh a e o ea ¯i y
. . .
−1 −1
ho˘c t` ma trˆn A , suy ra X = A B .
a ım a
. .
2x + 3y + 2z = 9
V´ du. Giai b˘ ng phu.o.ng ph´p ma trˆn nghich d ao:
`
’a ¯’
ı. a a x + 2y − 3z = 14
. .
3x + 4y − z = 16
23 2
` ea
Do det(A) = 1 2 −3 = −6 = 0 nˆ hˆ l` Cramer. e.
34 1
A1,1 A2,1 A3,1 14 5 −13
1 1
V´.i A−1 = A1,2 A2,2 A3,2 = 8
o −10 −4
det(A) −6
−2 1 1
A1,3 A2,3 A3,3
x=2
14 5 −13 9 2
1 14 = 3 , suy ra
−1
nˆn X = A B = −
e −10 −4 8 y=3
6
−2 1 1 16 −2 z = −2.
15
2. Phu.o.ng ph´p Gauss (khu. dˆn ˆ n sˆ) a’
’`a ´
a o
. cˆ p theo c´c h`ng, biˆn d o i ma trˆn mo. rˆng A th`nh
’ ’
´ ´ ´ ’o
D` ng c´c ph´p biˆn d o i so a
u a e e ¯ˆ aa e ¯ˆ a a
. .
. 0 (nhu. ma trˆn bˆc thang), khi d ´ r(A ) = r(A ) v`
` ` ’
ma trˆn A1 c´ nhiˆu phˆn tu
a o e a a a ¯o a
. . . 1
r(A) = r(A1 ).
´
+ nˆu r(A1 ) < r(A1 ), th` hˆ vˆ nghiˆm
e ıeo e
. .
+ nˆu r(A1 ) = r(A1 ) = r th` lˆp hˆ phu.o.ng tr` m´.i (tu.o.ng d .o.ng hˆ d ˜ cho) sau
´
e ıa e ınh o ¯u e ¯a
. . .
kho bo c´c h`ng m` moi phˆn tu. d` u b˘ ng 0. Giai hˆ n`y (r phu.o.ng tr` ’
e`
`
’a a a ’ ¯ˆ a ’ ea
a. ınh, n ˆ n
a
.
. ban v` n − r ˆ n khˆng co. ban (thay b˘ ng tham sˆ tu`
’ ’
o` `
´a ´
sˆ) b˘ ng c´ch chon r ˆ n co ’ a ’
a a a o a oy
.
´u r = n th` hˆ c´ nghiˆm duy nhˆ t. ´
y), nˆ
´ e ıeo e a
. .
V´ du. Giai c´c hˆ phu.o.ng tr` sau:
’ae
ı. ınh
.
x1 − 3x2 + 2x3 = −1
x1 + 9x2 + 6x3 = 3
x1 + 3x2 + 5x3 = 1
1 −3 2 −1 1 −3 2 1 1 −3 2 −1
h2 ×1/2
h2 −h
A = 1 9 6 3 −→1 0 12 4 4 −→ 0 3 1 1 ,
h3 −h1 h3 −h2
1351 0 6 32 0010
x1 = 0
x1 − 3x2 + 2x3 = −1 x1 = −1 + 3x2 − 2x3
1
suy ra 3x2 + x3 = 1 ⇒ 3x2 = 1 − x3 ⇒ x2 =
3
x3 = 0 x3 =0 x3 = 0
x1 − 3x2 + 2x3 − x4 = 2
2x1 + 7x2 − x3 = −1
4x1 + x2 + 3x3 − 2x4 = 1
1 −3 2 −1 2 1 −3 2 −1 2
h −2h1 h3 −h
B = 2 7 −1 0 −1 2 −→ 0 13 −5 2 −5 −→2
h3 −4h1
4 1 3 −2 1 0 13 −5 2 −7
1 −3 2 −1 2
0 13 −5 2 −5 = B1 . Do r(B ) = r(B1 ) = 2 < 3 = r(B1 ) = r(B ), hˆ e
.
00 0 0 −2
vˆ nghiˆm.
o e.
x1 + 5x2 + 4x3 + 3x4 = 1
2x − x + 2x − x = 0
1 2 3 4
5x1 + 3x2 + 8x3 + x4 = 1
4x1 + 9x2 + 10x3 + 5x4 = 2
15 4 31 15431
2 −1 2 −1 0 h3 −h1 −2h2 2 −1 2 −1 0
C=
−→
53 8 1 1 h4 −2h1 −h2 0 0 0 0 0
4 9 10 5 2 00000
1 5 4 3 1
h2 −2h1
, t´.c l`:
−→ ua
0 −11 −6 −7 −2
’
bo h3 ,h4
16
x1 + 5x2 + 4x3 + 3x4 =1
−11x2 − 6x3 − 7x4 = −2.
14 2 1
x1 = − α + β +
11 11 11
6 7 2
x2 = − α − β +
Chon x3 = α, x4 = β , ta suy ra:
. 11 11 11
x3 = α
x4 = β
ax + y + z = 1
’ae
V´ du 2. Giai v` biˆn luˆn theo a:
ı. a x + ay + z = a
. .
x + y + az = a2
1 1 a a2 a2
a111 1 1 a
h3 ↔h h2 −h
A = 1 a 1 a −→ 1 1 a 1 a −→1 0 a − 1 1 − a a − a2
h3 −ah1
1 a a2 2 3
1 a111 0 1−a 1−a 1−a
a2
1 1 a
h3 +h2
−→ 0 a − 1 , suy ra:
a − a2
1−a
2 2 3
0 0 2−a−a 1+a−a −a
´u 2 − a − a2 = 0 ⇔ (a = 1) ∨ (a = −2)
* Nˆ
e
+ Nˆu a = 1, th` A → (1 1 1 1), tu.o.ng d u.o.ng v´.i x + y + z = 1 nˆn c´ vˆ sˆ nghiˆm
´ ´
e ı ¯ o e ooo e
.
.i α, β tu` y.
dang (1 − α − β ; 1; 1) v´ o y´
.
1 1 −2 4
+ Nˆu a = −2, th` A → 0 −3 3 −6 suy ra r(A) = 2 < 3 = r(A ) nˆn hˆ vˆ
´
e ı e eo .
00 0 3,
nghiˆm.e.
´u 2 − a − a2 = 0 ⇔ (a = 1) ∧ (a = −2)
* Nˆ
e
a2
11 a
h :a−1 0 1 −1 −a , nˆn hˆ d ˜ cho tu.o.ng u.ng v´.i:
A2 −→ e e ¯a ´ o
(a + 1)2 .
2
h3 :2−a−a
00 1
a+2 a+1
x1 = −
2
x + y + az = a a−2
1
y − z = −a x2 =
⇔
a+2
(a + 1)2
z= 2
x = (a + 1)
a−2 3
a+2
ax + y + z = 1
’ae
V´ du 3. Giai v` biˆn luˆn theo a, b:
ı. a x + by + z = 3
. .
x + 2by + z = 4
a11 411
D = det(A) = 1 b 1 = (1 − a)b; Dx = 3 b 1 = −2b + 1;
1 2b 1 4 2b 1
a41 a14
Dy = 1 3 1 = 1 − a; Dz = 1 b 3 = 4b − 2ab − 1
141 1 2b 4
17
a=1
´ ´
+ Nˆu D = (1 − a)b = 0 ⇔
e , hˆ l` Cramer, c´ nghiˆm duy nhˆ t:
ea o e a
. .
b=0
x = −2b + 1
1
(1 − a)b
1
x=
2 b
4b − 2ab − 1
x =
3
(1 − a)b
x+ y+z =1 x+ y +z = 4
+ Nˆu a = 1, hˆ tro. th`nh:
´ e’a
e x + by + z = 3 ⇔ (b − 1)y = −1 , th`
ı::
.
x + 2by + z = 4 (2b − 1)y =0
x =2−α
x+y+z =0
1
´
− Nˆu 2b − 1 = 0 ⇔ b = :
e ⇔ y =2 , α tu` y.
y´
2 y =2
z =α
x+ y+z =4
1
´
− Nˆu 2b − 1 = 0 ⇔ b = :
e (b − 1)y = −1 vˆ nghiˆm v` (b − 1)0 = −1
o e ı
.
2
y =0
ax − y + z = 4
. th`nh:
´u b = 0, hˆ tro a
’
+ Nˆ e e x + z = 3 vˆ nghiˆm
o e
. .
x +z =4
.o.ng tr` ´ ınh thuˆn nhˆ t
` ´
V. Hˆ phu
e ınh tuyˆn t´
e a a
.
* Hˆ phu.o.ng tr` ´ ` ´
e ınh tuyˆn t´
e ınh thuˆn nhˆ t l` hˆ c´ dang
a a aeo. .
.
AX = 0 (II)
´
(B l` ma trˆn to`n sˆ 0), khi d ´ r(A) = r(A ), hˆ luˆn luˆn c´ nghiˆm:
a a ao ¯o eo oo e
. . .
.`.ng x = x = · · · =
`
´ ´
+ nˆu r(A) = n, hˆ c´ nghiˆm duy nhˆ t nghiˆm tˆm thu o
e a
e eo e a
. . . 1 2
xn = 0;
´ ´ `
a’
+ nˆu r(A) < n, hˆ c´ vˆ sˆ nghiˆm, c´c th`nh phˆn cua nghiˆm phu thuˆc n − r(A)
e eooo e a a e o
. . . . .
tham sˆ, nˆn c´ nghiˆm kh´c nghiˆm khˆng (nghiˆm khˆng tˆm thu.`.ng). `
´ e o a o
oeo e a e o
. . .
+ V´.i hˆ c´ n phu.o.ng tr`ınh, n ˆ n sˆ, hˆ c´ nghiˆm khˆng tˆm thu.o.ng khi v` chı khi
’´. ` a’
o eo a o eo e o a
. .
.o.ng khi v` chı khi det(A) = 0.
a`
´a a’
det(A) = 0 v` c´ nghiˆm duy nhˆ t tˆm thu
ao e
.
ax1 + x2 + · · · + xn−1 + xn = 0
x1 + ax2 + · · · + xn−1 + xn = 0
’. `
V´ du. T` a dˆ hˆ
ı. ım ¯e e ... = 0 c´ nghiˆm khˆng tˆm
o e o a
.
x1 + x2 + · · · + axn−1 + xn = 0
x1 + x2 + · · · + xn−1 + axn = 0.
thu.o.ng
18
a 1 ... 1 1
1 a ... 1 1
det(A) = . . . . . .
1 1 ... a 1
1 1 ... 1 a
a + n − 1 a + n −1 ... a + n −1 a +n − 1
1 a ... 1 1
h1 + hi
= ... ...
i=1
1 1 ... a 1
1 1 ... 1 a
1 1 ... 1 1
1 a ... 1 1
= (a + n − 1) . . . . . .
1 1 ... a 1
1 1 ... 1 a
1 1 ... 1 1
0 a − 1 ... 0 0
hi −h1
= (a + n − 1)(a − 1)n−1
= (a + n − 1) . . . ...
i=1
0 0 ... a − 1 0
0 0 ... 0 a−1
a = 1−n
Hˆ c´ nghiˆm khˆng tˆm thu.`.ng khi det(A) = 0 ⇔
`
eo e o a o
. . a = 1.
´
+ nˆu
e
(α1 ; α2 ; . . . ; αn−1 ; αn ) v` (β1 ; β2 ; . . . ; βn−1 ; βn )
a
’e
l` nghiˆm cua hˆ (II) th`
a e ı
. .
∀h, k ∈ R : (hα1 + kβ1 ; hα2 + kβ2 ; . . . ; hαn−1 + kβn−1; hαn + kβn )
c˜ ng l` nghiˆm hˆ (II).
u a e e
. .
+ Tru.`.ng ho.p r(A) < n (sˆ ˆ n cua hˆ) th` r(A) ˆ n co. ban d u.o.c biˆu diˆn qua
´’ ’ ’ ˜
’ ’ ¯.
o oa e ı a e e
. .
. ban (lˆ y gi´ tri tu` y). Nˆu chon n − r(A) ˆ n khˆng co. ban
’ ’
´ ´
n − r(A) ˆ n khˆng co ’ ’
a o a a . y´ e a o
.
.o.ng u.ng theo n − r(A) th`nh phˆn cua n − r(A) bˆ sˆ:
` ´
’
tu ´ a a oo
.
(1; 0; 0; . . . ; 0); (0; 1; 0; . . . ; 0); (0; 0; 1; . . . ; 0); . . . ; (0; 0; 0; . . . ; 1)
th` n − r(A) nghiˆm cu thˆ cua hˆ (II) d u.o.c goi l` mˆt hˆ nghiˆm co. ba n cu a
’ ’ ’
. e’ e .ao e e
ı e ¯.
. . . . .
hˆ.
e.
x1 + 2x2 − 2x3 + x4 = 0
2x + 4x + 2x − x = 0
1 2 3 4
. ban cua
V´ du. T` hˆ nghiˆm co ’ ’
ı. ım e e
. . x1 + 2x2 + 4x3 − 2x4 = 0
4x1 + 8x2 − 2x3 + x4 = 0.
19
1 2 −2 1 1 2 −2 1
2 4 2 −1 h2 −2h1 0 0 6 −3 h3 −h2 1 2 −2 1
u.ng
A= −→ −→ ´
1 2 4 −2 0 0 6 −3 0 0 2 −1
h3 −h1 h2:2
0 0 6 −3 h4 −h2
h4 −4h1
4 8 −2 1
v´.i hˆ:
oe .
x1 + 2x2 − 2x3 + x4 = 0 x1 = −2x2
⇔
2x3 − x4 = 0 x4 = 2x3 .
+ Chon (x2 , x3 ) = (1, 0), ta c´: nghiˆm (−2; 1; 0; 0)
o e
. .
+ Chon (x2 , x3 ) = (0, 1), ta c´: nghiˆm (0; 0; 1; 2)
o e
. .
’ i th´ c´ch t` ma trˆnghich d a o o. phˆn IV, chu.o.ng 1
¯’ ’ `
* Gia ıch a ım a a
. .
a1,1 a1,2 a1,3 . . . a1,n
a a2,2 a2,3 . . . a2,n
Cho ma trˆn vuˆng A = 2,1 c´ det(A) = 0. X´t hˆ
a o o ee
. .
... ...
an,1 an,2 an,3 . . . an,n
n phu.o.ng tr` 2n ˆ n: ’
ınh a
a1,1 x1 + a1,2 x2 + a1,3 x3 + · · · + a1,n xn + xn+1 =0
a2,1 x1 + a2,2 x2 + a2,3 x3 + · · · + a2,n xn
+ xn+2 =0
a3,1 x1 + a3,2 x2 + a3,3 x3 + · · · + a3,n xn + xn+3 =0
..................
an,1 x1 + an,2 x2 + an,3 x3 + · · · + an,n xn + xn+1 =0
c´ dang ma trˆn
o. a
.
A × X + X = 0 ⇔ A × X = −X (1)
xn+1
x1
x2 xn+2
v´.i X = x3 v` X = xn+3
o a
. .
. .
. .
xn x2n
v` det(A) = 0, ∃A−1 nˆn: (1)⇔ X = −A−1 × X ⇔ X + A−1 × X = 0 (*)
ı e
a1,1 a1,2 a1,3 . . . a1,n | 1 0 0 . . . 0
a2,1 a2,2 a2,3 . . . a2,n | 0 1 0 . . . 0
. ´
Hˆ c´ ma trˆn hˆ sˆ: a3,1 a3,2 a3,3 . . . a3,n | 0 0 1 . . . 0 = (A|E )
eo a eo
. .
... ... ...
an,1 an,2 an,3 . . . an,n | 0 0 0 . . . 1
’ su. qua c´c ph´p biˆn d o i so. cˆ p trˆn c´c h`ng, ta d .a d u.o.c ma trˆn vˆ dang
’
´ ´ a`.
’
Gia a e e ¯ˆ a eaa ¯u ¯ . .e
1 0 0 ... 0 | b1,1 b1,2 b1,3 ... b1,n
0 b2,n
1 0 ... 0 | b2,1 b2,2 b2,3 ...
0 b3,n = (E |B )
0 1 ... 0 | b3,1 b3,2 b3,3 ...
... ... ...
0 0 0 ... 1 | bn,1 bn,2 bn,3 ... bn,n
20
u.ng v´.i hˆ:
´ oe .
x1 + b1,1 xn+1 + b1,2 xn+2 + b1,3 xn+3 + · · · + b1,n x2n =0
x2 + b2,1 xn+1 + b2,2 xn+2 + b2,3 xn+3 + · · · + b2,n x2n =0
x3 + b3,1 xn+1 + b3,2 xn+2 + b3,3 xn+3 + · · · + b3,n x2n =0
.........
xn + bn,1 xn+1 + bn,2 xn+2 + bn,3 xn+3 + · · · + bn,n x2n =0
c´ dang X + B × X = 0, suy ra B = A−1
o.
` ˆ
BAI TAP.
3x − 5y + 2z + 4t = 2 2x + y − z = 1
’ i c´c hˆ phu.o.ng tr` sau:
2.1. Gia a e ınh 7x − 4y + z + 3t = 5 x− y+z =2
.
5x + 7y − 4z − 6t = 3 4x + 3y + z = 3
x + y − 3z = −1 2x + 3y − z + 5t = 0 x − 2y + 3z − 4t = 4
3x − y + 2z − 7t = 0
2x + y − 2z = 1 y − z + t = −3
x + 2y − 3z = 1 4x + y − 3z + 6t = 0 x + 3y − 3t = 1
x+ y+ z =3 x − 2y + 4z − 7t = 0 −7y + 3z + 3t = −3
x − y + 2z − 3t = 1
x + 3y + 4z = 8
2x + y − 3z = 4
x + 4y − z − 2t = −2
x + 2y + z = 1 2x + y − z = 2
x − 4y + 3z − 2t = −2
2x + 6y − 5z = 4
3x − 3y + 2z = 11
x −y + 5z − 2t = −2
8
2x + 3y − z + t = 2 3x + 4y + 5z + 7t = 1 x + y + 5z = −7
2x + 3y + z = 4 2x + 6y − 3z + 4t = 2 x + 3y + z = 5
2x + 3y + 2z = 3 4x + 2y + 13z + 10t = 0 2x + y + z = 2
2x + 3y = 5 2x + 21z + 13t = 3 2x + 3y − 3z = 14
2x − 5y + 4z + 3t = 0 3x + y − 3z + t = 1 x + 2y + 3z − t = 1
3x − 4y + 7z + 5t = 0 2x − y + 7z − 3t = 2 3x + 2y + z − t = 1
4x − 9y + 8z + 5t = 0 x + 3y − 2z + 5t = 3 2x + 3y + z + t = 1
3x − 2y + 5z − 3t = 0 3x − 2y + 7z − 5t = 3 5x + 5y + 5z =2
8x + 6y + 5z + 2t = 21 x1 + x2 =1
3x + 3y + 2z + t = 10 x1 + x2 + x3
=4
4x + 2y + 3z + =8 x2 + x3 + x4 = −3
3x + 5y + z + t = 15
x3 + x4 + x5 = 2
7x + 4y + 5z + 2t = 18 x4 + x5 = −1
x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 = 0
7x + 14x + 20x + 27x = 0
1 2 3 4
5x1 + 10x2 + 16x3 + 19x4 = −2
3x1 + 5x2 + 6x3 + 13x4 = 5
’ae
2.2. Giai v` biˆn luˆn theo a c´c hˆ sau:
a ae
. . .
