Giáo trình toán cao cấp 1
Tài liệu “Giáo trình toán cao cấp” được biên soạn với mục đích nhằm cung cấp cho sinh viên 1 số kiến thức cơ bản của toán học cao cấp làm cơ sở cho việc tiếp thu các môn học cơ sở và chuyên môn thuộc các chuyên ngành sinh viên được đào tạo.
CHƯƠNG 1
KHÁI NI M V T P H P VÀ ÁNH X
§1. T P H P
1.1 CÁC KHÁI NI M CƠ B N
Trong ngôn ng hàng ngày, ta thư ng dùng ñ n khái ni m t p h p: t p h p
các sinh viên có m t trong m t l p h c, t p h p các câu h i ôn thi… ñây ta
không ñ nh nghĩa t p h p mà ch mô t nó b ng m t d u hi u hay m t tính ch t
nào ñó cho phép ta nh n bi t ñư c t p h p ñó và phân bi t nó v i các t p h p
khác. Ta coi t p h p là m t khái ni m nguyên thu cũng gi ng như khái ni m
ñi m, ñư ng th ng, m t ph ng trong hình h c.
Các ñ i tư ng l p nên t p h p ñư c g i là các ph n t c a t p h p.
N u a là m t ph n t c a t p h p A thì ta ký hi u:
a ∈ A (ñ c: a thu c A )
N u a không ph i là m t ph n t c a t p h p A thì ta ký hi u:
a ∉ A (ñ c: a không thu c A )
Ví d : N u A là t p h p các s nguyên ch n thì 2 ∈ A, 10 ∈ A nhưng
15 ∉ A .
M t t p h p ñư c g i là h u h n n u nó g m m t s nh t ñ nh ph n t .
Ví d : T p h p các sinh viên c a m t l p h c là h u h n, s ph n t ñây
là s sinh viên c a l p ñó.
T p h p các nghi m c a phương trình x 2 − 3x + 2 = 0 là h u h n, nó g m
hai ph n t là 1 và 2.
Có nh ng t p h p ch có ñúng m t ph n t , ch ng h n t p h p các nghi m
dương nh hơn 2 c a phương trình sin x = 1 ch có m t ph n t là π .
2 6
ð ñư c thu n ti n, ngư i ta cũng ñưa vào lo i t p h p không ch a m t
ph n t nào và g i nó là t p h p r ng, ký hi u là ∅.
Ví d : T p h p các nghi m th c c a phương trình x 2 + 1 = 0 là r ng, vì
không t n t i s th c nào mà bình phương l i b ng −1 .
T p h p g m vô s ph n t g i là t p h p vô h n. Ngư i ta phân bi t:
----------------------------------------------------------------------------------------------------
B môn KHCB Giáo trình toán cao c p 1
1
T p h p vô h n ñ m ñư c là t p h p tuy s lư ng ph n t là vô h n song ta
có th ñánh s th t các ph n t c a nó (t c là có th bi t ñư c ph n t ñ ng
li n trư c và ñ ng li n sau c a m t ph n t b t kỳ).
Ví d : T p h p các nghi m c a phương trình sin x = 1 là vô h n ñ m
c a nó có d ng x k = π + 2k π ; v i
ñư c, vì các ph n t
2
k = 0, ± 1, ± 2, ± 3, ... chúng ñư c ñánh s theo s nguyên k .
T p h p vô h n không ñ m ñư c là t p h p có vô s ph n t và không có
cách nào ñánh s th t các ph n t c a nó.
Ví d : T p h p các ñi m trên ño n th ng [0,1] .
T p h p con:
Cho hai t p h p A và B . N u b t kỳ ph n B
t nào c a t p h p A cũng là ph n t c a t p h p A
B thì ta nói A là t p h p con c a B và ký hi u
E
A ⊂ B (ñ c: A bao hàm trong B ).
Như v y ta có: A ⊂ B ⇔ x ∈ A ⇒ x ∈ B Hình 1. A ⊂ B
(ký hi u ⇔ ñ c là “khi và ch khi”, nó có nghĩa c a ñi u ki n c n và ñ , ký
hi u ⇒ ñ c là “suy ra” hay “kéo theo”).
Ví d : G i A là t p h p các nghi m c a phương trình x 2 − 3x + 2 = 0 ,
B là t p h p các s nguyên dương thì A ⊂ B vì 1 và 2 cũng là các s nguyên
dương.
Quan h bao hàm gi a các t p h p có tính ch t b c c u nghĩa là:
n u A ⊂ B và B ⊂ C thì A ⊂ C .
T p h p b ng nhau:
N u A ⊂ B ñ ng th i B ⊂ A thì ta nói hai t p h p A , B là b ng nhau.
Ta cũng ký hi u A = B .
A = B ⇔ A ⊂ B và B ⊂ A
Như v y:
Ngư i ta quy ư c r ng : T p h p r ng ∅ là t p h p con c a b t kỳ t p h p
nào. Th t v y, n u A ⊂ B thì b t kỳ ph n t nào không thu c B cũng không
thu c A và như v y ∅ ⊂ B vì không có ph n t nào thu c t p h p r ng.
ð ti n l i cho vi c xét các t p h p, ta thư ng coi t p các t p h p ñư c
kh o sát là các t p h p con c a m t t p h p E “ñ l n” nào ñó, ch ng h n
----------------------------------------------------------------------------------------------------
B môn KHCB Giáo trình toán cao c p 1
2
trong chương trình toán h c Trung h c khi xét t p h p các nghi m c a
phương trình, ta ñ u coi chúng là t p h p con c a t p h p s th c.
1.2 CÁC PHÉP TOÁN TRÊN T P H P
Gi s A, B,C ,... là các t p h p con c a m t t p h p E nào ñó. Ta có th
xây d ng các t p h p m i d a trên các t p h p ñó b ng các phép toán sau:
a) Phép h p: H p c a hai t p h p A và B
B
là m t t p h p ch a các ph n t thu c ít nh t A
m t trong hai t p h p A ho c B . Ta cũng nói
h p c a A, B , là t p h p ch a các ph n t ho c
Hình 2. A ∪ B
thu c A ho c thu c B . Ta ký hi u h p c a hai
t p h p A và B là: A ∪ B .
x ∈ A ∪ B ⇔ x ∈ A ho c x ∈ B
Như v y:
Ví d : N u A là t p h p các s th c nh hơn 1 , B là t p h p các s th c
l n hơn 2 thì t p h p các nghi m th c c a b t phương trình x 2 − 3x + 2 > 0 là
A∪B.
b) Phép giao: Giao c a hai t p h p A và B
A
B là m t t p h p ch a các ph n t thu c c A
l n c B . Ta ký hi u giao c a hai t p h p A và
B là A ∩ B . Hình 3. A ∩ B
x ∈ A ∩ B ⇔ x ∈ A và x ∈ B
Như v y:
Ví d : A là t p h p các s th c nh hơn 2 , B là t p h p các s th c l n
hơn 1 thì t p h p các nghi m c a phương trình x 2 − 3x + 2 < 0 là A ∩ B .
N u A ∩ B = ∅ thì ta nói các t p h p A và B không giao nhau hay r i nhau.
Ví d : A là t p h p các ñi m trên ñư ng th ng y = x + 1 , B là t p h p
các ñi m trên Parabol y = −x 2 thì A ∩ B = ∅ (hai ñư ng không giao nhau.)
c) Phép tr : Hi u c a hai t p h p A và B là
B
m t t p h p ch a các ph n t thu c A mà không
A
thu c B.
Ta ký hi u hi u c a hai t p h p A và B là
Hình 4. A \ B
A\B .
x ∈ A \ B ⇔ x ∈ A và x ∉ B
Như v y:
----------------------------------------------------------------------------------------------------
B môn KHCB Giáo trình toán cao c p 1
3
Ví d : R là t p h p s th c, B là t p h p g m hai s th c 1 và 2 thì t p
h p xác ñ nh c a phân th c 2 1 + x là R \ B .
x − 3x + 2
ð c bi t, hi u E \ A ñư c g i là ph n bù (hay b xung ) c a A trong E ,
ký hi u là C E A , hay n u t p E ñã bi t thì có th ký hi u ñơn gi n là A .
Các tính ch t c a các phép toán trên:
Gi s A, B,C là các t p con c a m t t p h p E . Các phép toán h p, giao,
b xung có các tính ch t sau:
1. A = A
2. A ∪ A = A A∩A=A
3. A ∪ A = E A∩A=∅
4. A ∪ E = E A∩E =A
5. A ∪ ∅ = A A∩∅=∅
6. A ∪ B = B ∪ A A∩B =B ∩A
7. (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C ) (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C )
8. A ∪ (B ∩C ) = (A ∪ B) ∩ (A ∪C ) ; A ∩ (B ∪C ) = (A ∩ B) ∪ (A ∩C )
9. A ∪ B = A ∩ B A∩B =A∪B
Tính ch t cu i cùng còn ñư c g i là quy t c ð mooc-găng: Khi l y ph n
bù c a h p hay giao hai t p h p, thì m i t p h p ñư c thay b ng ph n bù c a
nó, phép h p ñư c thay b ng phép giao, phép giao thay b ng phép h p.
Vi c ch ng minh các tính ch t trên d a vào vi c ch ng minh s b ng nhau
c a hai t p h p. Ta nh c l i: T = P khi và ch khi T ⊂ P và P ⊂ T .
Ta ch ng minh tính ch t 9.1 : ð t T = A ∪ B và P = A ∩ B .
ð u tiên ch ng minh T ⊂ P :
L y x ∈ T t c là x ∈ A ∪ B . Theo hình v 2, x thu c ph n bù c a A ∪ B
t c là x ph i không thu c A và không thu c B : x ∉ A, x ∉ B. Nhưng x ∉ A
t c là x ∈ A . Cũng như v y, t c là x ∈ B . V y x ∈ A và x ∈ B hay
x ∈A∩B.
Ta ñã ch ng minh n u x ∈ A ∪ B thì x ∈ A ∩ B . T ñó ta có:
----------------------------------------------------------------------------------------------------
B môn KHCB Giáo trình toán cao c p 1
4
A∪B ⊂A∩B. (1)
Bây gi ta ch ng minh P ⊂ T .
L y y ∈ P t c là y ∈ A ∩ B . Theo ñ nh nghĩa phép giao ta có y ∈ A và
y ∈ B t c là y ∉ A và y ∉ B . Khi ñó y ph i thu c ph n bù c a A ∪ B t c là
ta có y ∈ A ∪ B . Như v y:
A∩B ⊂A∪B (2)
A∪B =A∩B
T (1) và (2) ta suy ra:
Phương pháp ch ng minh các tính ch t khác cũng tương t .
1.3 CÁCH CHO M T T P H P
Ngư i ta thư ng cho t p h p b ng cách:
a) Li t kê các ph n t c a nó
Ví d : B ng danh sách các thí sinh trúng tuy n vào m t trư ng ñ i h c.
N u s các ph n t c a t p h p ít, ta có th vi t tên các ph n t c a t p h p
gi a hai d u {} , ch ng h n A = {1,2,3,4} ; thì A là t p có 4 ph n t là 1,2,3,4
b) Cho quy t c ñ nh n bi t các ph n t c a nó
Ta vi t: A = {x : P(x )} và hi u: A là t p h p g m các ph n t x sao cho
tính ch t P ñúng v i x .
Ví d : A = {x ∈ R : x 2 − 3x + 2 = 0} hi u: A là t p h p các s th c x là
nghi m c a phương trình x 2 − 3x + 2 = 0 t c là A = {1,2}
§2.
§2. ÁNH X
2.1 KHÁI NI M V ÁNH X
f y
Cho hai t p h p A và B . Ta nói r ng
có m t ánh x f t A vào B n u v i m i x
ph n t x ∈ A có tương ng theo m t quy
t c nào ñó m t ph n t duy nh t y ∈ B
Ta ký hi u: f : A → B (ñ c: f là ánh B
A
x t A vào B ) A là t p ngu n, B là t p Hình 5
ñích.
----------------------------------------------------------------------------------------------------
B môn KHCB Giáo trình toán cao c p 1
5
Ph n t y ∈ B tương ng v i ph n t x ∈ A b i ánh x f , ñư c g i là nh
c a x qua f và ñư c ký hi u là f (x ) .
N u v i b t kỳ ph n t x nào c a A , nh f (x ) c a nó ñư c xác ñ nh thì A
còn ñư c g i là t p xác ñ nh c a ánh x f .
N u A là t p xác ñ nh c a ánh x f thì nh c a t p h p A b i ánh x
f ñư c ñ nh nghĩa b i: f (A) = {y ∈ B : ∃x ∈ A,y = f (x )}
Ví d : Xét ánh x f t t p h p s th c R vào chính nó xác ñ nh b i
f (x ) = 12 thì t p xác ñ nh c a nó là R \ {0} còn t p h p nh c a nó là t p h p
x
m i s th c dương R + .
Ánh x b ng nhau:
Cho ánh x f : A → B và g : A′ → B ′ . N u A = A′ và v i m i x ∈ A ta
có f (x ) = g(x ) thì ta nói hai ánh x f và g là b ng nhau, ta vi t f = g .
Ví d : Cho t p h p A = {−1,0,1} và các ánh x :
f : A → R xác ñ nh b i f (x ) = x + 1 ;
g : A → R xác ñ nh b i g(x ) = −x 3 + 2x + 1 .
Ta có: f = g (N u xét các ánh x f và g t R vào R thì ta l i có f ≠ g ).
2.2 CÁC LO I ÁNH X
Cho ánh x f t A vào B .
Ánh x f ñư c g i là ñơn ánh n u nh c a các ph n t khác nhau là khác
a)
nhau. Nói cách khác, v i m i x 1, x 2 ∈ A , n u x 1 ≠ x 2 thì f (x 1) ≠ f (x 2) .
Ánh x f ñư c g i là toàn ánh n u f (A) = B . Nói cách khác, v i b t kỳ y
b)
thu c B , t n t i ít nh t ph n t x thu c A sao cho: f (x ) = y .
Ánh x f ñư c g i là song ánh n u nó v a là toàn ánh v a là ñơn ánh.
c)
Ta chú ý r ng n u f là song ánh t A
f
lên B thì do tính ch t toàn ánh nên v i m i
y ∈ B có tương ng m t x ∈ A ñ f (x ) = y ,
y
x
và do tính ch t ñơn ánh nên ph n t x ñó
ph i duy nh t (n u trái l i, gi s ph n t
f-1
y ∈ B tương ng v i hai ph n t khác nhau B
A
Hình 6
----------------------------------------------------------------------------------------------------
B môn KHCB Giáo trình toán cao c p 1
6
x 1 ≠ x 2 mà f (x 1) = f (x 2) = y , trái tính ch t
ñơn ánh).
Như v y, n u f là song ánh t A lên B thì ta l i có m t ánh x t B lên
A , ánh x này ñư c g i là ánh x ngư c c a ánh x f , nó cũng là song ánh.
Ánh x ngư c c a ánh x f ký hi u là f −1 .
V i song ánh f : A → B xác ñ nh b i y = f (x ) thì ánh x ngư c c a nó là
f −1 : B → A xác ñ nh b i x = f −1(y) .
Các ví d :
Ánh x f : R → R xác ñ nh b i f (x ) = a x là ñơn ánh, vì v i x 1 ≠ x 2 ta có
a x1 ≠ a x 2
Ánh x g : R → [ − 1,1] xác ñ nh b i g(x ) = sin x là toàn ánh vì v i s th c
p b t kỳ thu c kho ng [ −1,1] ta luôn luôn tìm ñư c s th c x sao cho
sin x = p .
Ánh x h : R → R xác ñ nh b i h(x ) = x 3 là song ánh, vì nó v a là ñơn ánh
v a là toàn ánh.
2.3 ÁNH X H P
Gi s f và g là hai ánh x sao cho t p h p xác ñ nh c a g trùng v i t p
nh c a f . Khi ñó ta có th
hp vi t dãy liên ti p các ánh x
f : A → B;g : B → C . Như v y ta có th xác ñ nh m t ánh x m i h : A → C b i
h(x ) = g[ f (x )] , trong ñó f (x ) ∈ B là nh c a x ∈ A b i ánh x f ; g[ f (x )] ∈C là
nh c a f (x ) ∈ B b i ánh x g .
Ánh x h xác ñ nh như trên ñư c g i là ánh x h p c a ánh x f và ánh x
g , ñư c ký hi u là g f . Như v y h(x ) = (g f )(x ) = g[ f (x )] .
Ví d : Cho f : R → R xác ñ nh b i f (x ) = 2x + 1 ;
g : R → R xác ñ nh b i g(x ) = x 2 ;
Ta có: (g f )(x ) = g[ f (x )] = [ f (x )]2 = [2x + 1]2 = 4x 2 + 4x + 1 .
Chú ý: Khi ánh x h p g f ñư c xác ñ nh thì chưa ch c ánh x f g ñã
trong trư ng h p f g xác ñ nh thì nói chung ta có
xác ñ nh. Ngay c
----------------------------------------------------------------------------------------------------
B môn KHCB Giáo trình toán cao c p 1
7
g f ≠f g. Ch ng hn trong Ví d trên ta có
(f g)(x ) = f [g(x )] = 2g(x ) + 1 = 2x 2 + 1.
§3 T P H P S TH C
§3
3.1 ð NH NGHĨA TRƯ NG
Cho m t t p h p E . Ta coi ñã xác ñ nh ñư c m t phép toán hai ngôi trong
E hay m t lu t h p thành trong E n u v i m i c p ph n t (a,b) c a E ta cho
tương ng v i m t ph n t c cũng c a E . Ta ký hi u phép toán ñó b i d u * và
ta vi t a * b = c v i a,b,c ∈ E . (N u phép toán là phép c ng ta dùng d u + như
thư ng l , n u là phép nhân ta dùng d u × hay d u i ).
Phép toán * ñư c g i là có tính ch t k t h p n u v i a,b,c ∈ E ta có:
(a * b)* c = a *(b * c)
Phép toán * ñư c g i là có tính ch t giao hoán n u v i a, b ∈ E ta có:
a *b = b *a
Ph n t e ∈ E ñư c g i là ph n t trung hoà ñ i v i phép toán * n u v i
m i a ∈ E ta có: a *e = e * a = a . (V i phép c ng ph n t trung hoà là s 0 , v i
phép nhân ñó là s 1 ).
i a ∈ E ta có a * a ′ = a ′ * a = e v i e là ph n t
Ph n t a ′ ∈ E sao cho v
c g i là ph n t ngư c c a a ñ i v i phép toán
trung hoà c a phép toán *, ñư
c a ph n t a là a −1 (v i phép c ng, ph n t
*. Ta ký hi u ph n t ngư c
−a , v i phép nhân ñó chính là s ngh ch ñ o
ngư c c a a chính là s ñ i
1
a ,a ≠ 0 ).
T p h p E ñư c g i là có c u trúc trư ng, hay nói g n hơn, là m t
trư ng n u trong E có xác ñ nh hai phép toán:
+ Phép toán th nh t ñư c g i là phép c ng, nó th a mãn các tính ch t sau:
A1 – Phép c ng có tính ch t giao hoán: ∀a,b ∈ E,a + b = b + a
A2 – Phép c ng có tính ch t k t h p: ∀a,b,c ∈ E,(a +b) + c = a + (b + c)
A3 – Phép c ng có ph n t trung hoà trong E , ký hi u là 0 : ∀a ∈ E,a + 0 = a
A4 - M i ph n t trong E ñ u có ph n t ngư c ký hi u là −a : a +−a = 0
+ Phép toán th hai ñư c g i là phép nhân, nó tho mãn các tính ch t sau:
----------------------------------------------------------------------------------------------------
B môn KHCB Giáo trình toán cao c p 1
8
B1 – Phép nhân có tính ch t giao hoán: ∀a,b ∈ E,a.b = ba
.
B2 – Phép nhân có tính ch t k t h p: ∀a,b,c ∈ E,(a.b).c = a.(bc)
.
B3- Phép nhân có ph n t trung hòa, ký hi u là 1: ∀a ∈ E; a.1 = 1.a = a
B4 - M i ph n t a ∈ E,a ≠ 0 ñ u có ph n t ngư c ñ i v i phép nhân là ph n
1
t ngh ch ñ o a cũng thu c E .
+ Gi a phép c ng và phép nhân có tính ch t:
C – phép nhân có tính ch t phân ph i ñ i v i phép c ng:
∀a,b,c ∈ E :a.(b + c) = ab + a.c
.
p
Ví d : T p h p các s h u t , t c là t p các s có d ng q ,(p,q ) = 1 , có c u
trúc trư ng: c ng hai s h u t , nhân hai s h u t ta ñư c m t s h u t , c hai
phép toán ñó ñ u tho mãn 8 tính ch t trên.
T p h p các s nguyên không có c u trúc trư ng vì ngh ch ñ o c a m t s
nguyên khác không không ph i là m t s nguyên.
Chú ý: Trong trư ng ta có th ñ nh nghĩa phép chia cho m t s khác không:
n u b ≠ 0 thì a : b = a.(1) .
b
3.2 CÁC TÍNH CH T CƠ B N C A TRƯ NG S TH C
T p h p s th c R v i hai phép toán c ng và nhân có c u trúc trư ng,
nghĩa là c ng hai s th c ta ñư c m t s th c, nhân hai s th c ta ñư c m t s
th c. Phép c ng và phép nhân có các tính ch t giao hoán, k t h p; phép nhân có
tính ch t phân ph i ñ i v i phép c ng; ph n t trung hoà c a phép c ng là s 0 ,
c a phép nhân là s 1 ; ph n t ngư c ñ i v i phép c ng c a s a là s ñ i −a ,
1
ñ i v i phép nhân c a s a ≠ 0 là s ngh ch ñ o a .
Trong t p h p s th c R ta xét m t t p h p con ký hi u là R + và ta ñ nh
nghĩa R − là t p h p nh ng s ñ i c a x n u x ∈ R + (t c là −x ∈ R− ) sao cho:
1)R + ∩ R− = ∅;
2)R + ∪ R− ∪ {0} = R;
3) ∀a,b ∈ R + : a +b ∈ R +,ab ∈ R +
.
----------------------------------------------------------------------------------------------------
B môn KHCB Giáo trình toán cao c p 1
9
Khi ñó ta nói r ng trư ng s th c R là m t trư ng có th t . Các s th c
thu c R + ñư c g i là các s th c dương, các s th c thu c R − ñư c g i là các
s th c âm.
Ta xác ñ nh trên R m t quan h th t ký hi u < (ñ c là bé hơn) như sau:
V i hai s th c a,b ta có a < b khi và ch khi b −a là s th c dương (t c là
b + (−a) ∈ R + ). Quan h < có tính ch t b c c u, nghĩa là: n u a < b và b < c thì
a a (ñ c b l n hơn a ). N u
a là s th c âm thì ta vi t a < 0 , n u a là s th c dương thì ta vi t a > 0 .
Trư ng s th c còn là trư ng có th t Acsimet: V i hai s th c tuỳ ý
a,b;a > 0 bao gi cũng tìm ñư c m t s t nhiên n sao cho na > b . Nói cách
khác, dù s th c dương a có nh ñi bao nhiêu chăng n a và dù s th c b có l n
ñi bao nhiêu chăng n a thì t ng c a m t s ñ l n a s vư t quá b .
Tính ch t trên cho phép ngư i ta có th x p x tuỳ ý m t s th c b i m t s
th p phân (g n ñúng thi u ho c g n ñúng th a), và như v y trong th c hành
ngư i ta có th th c hi n ñư c các phép tính trên các s th c.
3.3 GIÁ TR TUY T ð I C A M T S TH C
V i m i s th c x ta ñ nh nghĩa giá tr tuy t ñ i c a x , ký hi u x như sau:
x khi x > 0
x = 0 khi x = 0
−x khi x < 0
Ta có các tính ch t sau:
a) x = 0 ⇔ x = 0;
b) x = −x ;
c) x.y = x y ;
d) x + y ≤ x + y ;
e) x − y ≥ x − y .
Ta ch ng minh m t trong các tính ch t, tính ch t d ) ch ng h n:
----------------------------------------------------------------------------------------------------
B môn KHCB Giáo trình toán cao c p 1
10
T ñ nh nghĩa ta có:
−x ≤x ≤ x
−y ≤y ≤ y ;
T ñó: −(x + y ) ≤ x + y ≤ x + y ;
Hay: x + y ≤ x + y .
3.4 T P S TH C SUY R NG
Ta thêm vào t p s th c R hai ph n t khác nhau, ký hi u là +∞ và −∞
(ñ c là dương vô cùng và âm vô cùng), không thu c R , và v i m i s th c x ta
ñ t:
−∞ < x < +∞;
x + (+∞) = (+∞) + x = +∞;
x + (−∞) = (−∞) + x = −∞;
V i x >0:
x.(+∞) = (+∞).x = +∞; x.(−∞) = (−∞).x = −∞;
(+∞) + (+∞) = +∞; (−∞) + (−∞) = −∞;
(+∞).(+∞) = +∞; (−∞).(−∞) = +∞;
T p h p s th c R cùng v i hai ph n t +∞; − ∞ có các tính ch t trên
g i là t p h p s th c suy r ng.
Có th bi u di n hình h c t p h p s th c nh tr c s : ðó là ñư ng th ng
x ′Ox , ñi m g c O ng v i s không, các s th c dương thu c n a ñư ng th ng
Ox , các s th c âm thu c n a ñư ng th ng Ox ′ , m i s th c a ng v i m t
ñi m A trên ñư ng th ng sao cho ñ dài OA = a .
§4 T P H P S PH C
Ta đã bi t r ng n u ch h n ch trong trư ng s th c thì có nh ng
phương trình vô nghi m, ch ng h n phương trình b c hai x 2 + 1 = 0 .
Trong ph n này ta s tìm cách m r ng trư ng s th c sang m t t p h p s
m i sao cho t p h p s th c là t p con c a t p s m i này và trong t p s m i
ñó m i phương trình b c hai ñ u có nghi m.
----------------------------------------------------------------------------------------------------
B môn KHCB Giáo trình toán cao c p 1
11
4.1 ð NH NGHĨA S PH C VÀ CÁC PHÉP TÍNH TRÊN S PH C
Xét t p h p C mà các ph n t z ∈C là các c p s th c (a,b) :
C = {z = (a, b), a ∈ R, b ∈ R}
Ph n t z ∈C ñư c g i là s ph c.
Hai sè phøc z = (a,b);z ′ = (a ′,b ′) ®−îc coi l b»ng nhau khi v chØ khi:
a = a ′;b = b′
Trong t p h p s ph c C ta xác ñ nh hai phép tính:
Phép c ng hai s ph c: v i hai s ph c z = (a,b) và z ′ = (a ′,b ′) thì t ng c a
chúng ñư c xác ñ nh b ng: z + z ′ = (a + a ′,b + b ′) .
Phép nhân hai s ph c: v i hai s ph c z = (a,b) và z ′ = (a ′,b ′) thì tích c a
chúng ñư c xác ñ nh b ng: z.z ′ = (a.a ′ −bb ′,a.b ′ + b.a ′)
.
Có th ki m ch ng r ng các phép toán c ng và nhân trên có các tính ch t
giao hoán, k t h p, phép nhân có tính ch t phân ph i ñ i v i phép c ng, ph n t
trung hoà c a phép c ng là s ph c (0,0) , c a phép nhân là s ph c (1,0) ; ph n
t ngư c c a s ph c z = (a,b) ñ i v i phép c ng là (−a,−b) , ñ i v i phép nhân
(v i ñi u ki n a ≠ 0,b ≠ 0 ) là s ph c z = ( 2 a 2 , 2 −b 2 )
1
a +b a +b
Như v y, t p h p s ph c có c u trúc m t trư ng, ta g i nó là trư ng s
ph c.
4.2 CÁC CHÚ Ý
1) Có th ñ ng nh t s ph c (a,0) v i s th c a vì ta có:
(a,0) + (a ′,0) = (a + a ′,0) l sè thùc a + a ′;
(a,0).(a ′,0) = (a.a ′,0) l sè thùc a.a ′;
Như v y có th coi t p h p s th c là t p con c a t p s ph c R ⊂C .
Sau này ta s vi t a thay cho (a,0)
2) Có th vi t s ph c (a,b) dư i d ng t ng: (a,b) = (a,0) + (b,0).(0,1)
S (a,0) ñư c vi t b ng a , s (b,0) ñư c vi t b ng b .
Ta ñ t i = (0,1) thì ta có i 2 = (0,1).(0,1) = (−1,0) = −1 .
----------------------------------------------------------------------------------------------------
B môn KHCB Giáo trình toán cao c p 1
12
Như v y, s ph c (a,b) ñư c vi t dư i d ng: z = (a,b) = a +bi víi i 2 = −1 .
a ñư c g i là ph n th c, b ñư c g i là ph n o c a s ph c z , s ph c
i = (0,1) m i 2 = −1 ñư c g i là ñơn v o.
Trong th c t ngư i ta thư ng vi t s ph c dư i d ng a + bi
3) Khi vi t s ph c dư i d ng a + bi thì ta có th th c hi n các phép tính theo
các quy t c thông thư ng c a s th c (do có cùng c u trúc trư ng) và v i chú ý
r ng i 2 = −1
(a + bi) + (a ′ + b ′i) = (a + a ′) + (b +b ′)i;
(a + bi).(a ′ +b ′i) = a.a ′ + ab ′i +ba ′i + bb ′i 2 = (aa ′ −bb ′) + (ab ′ +ba ′)i
ð tìm s ph c ñ o c a s ph c z = a + bi ta làm như sau:
a − bi a − bi
1 1 a bi
z = a + bi = (a + bi)(a − bi) = a 2 + b 2 = a 2 + b 2 − a 2 + b 2
T ñó, phép chia s ph c z cho s ph c z ′ ≠ 0 ñư c th c hi n theo quy
t c z.( 1 ) .
z′
S ph c a −bi ñư c g i là s ph c liên h p c a s ph c a + bi .
4) Ta tìm nghi m c a phương trình x 2 + 1 = 0 trong trư ng s ph c.
Ta có th vi t x 2 = −1 = i 2 ; t ñó, x = ±i .
Trong trư ng s ph c m i phương trình b c hai v i h s th c ñ u có
nghi m.
Th t v y, ta có: ax 2 + bx + c = a(x + b )2 − (b − 4ac ) = 0
2
(*)
2a 4a 2
ð t ∆ = b 2 − 4ac thì:
+ N u ∆ ≥ 0 phương trình b c hai có nghi m th c x = −b ± ∆
2a
+ N u ∆ < 0 ñ t α = −b β 2 = 4ac − b thì (*) tr thành:
2
2a 4a 2
a.[(x − α)2 + β 2 ] = 0 ⇒ x = α ± i β
Ví d : Xét phương trình x 2 − 2x + 4 = 0
Ta có ∆ = −12 = 12i 2 t ñó phương trình có hai nghi m ph c:
x =1±i 3
4.3 D NG LƯ NG GIÁC C A S PH C
----------------------------------------------------------------------------------------------------
B môn KHCB Giáo trình toán cao c p 1
13
Cho s ph c z = x + yi . Có th bi u di n hình h c s ph c ñó trên m t
ph ng s ph c: ñó là m t ph ng trên ñó có hai tr c x ′Ox và y ′Oy vuông góc
v i nhau. Ta cho tương ng s ph c z = x + yi v i ñi m M có to ñ (x,y)
trên m t ph ng ñó (hay v i véc tơ OM ); Các ñi m trên tr c x ′Ox tương ng
v i các s (x,0) , ñó là các s th c x ; các ñi m trên tr c y ′Oy tương ng v i
các s (0,y) , ñó là các s ph c có d ng iy .
ð dài r c a véc tơ OM ñư c g i là mô ñun c a s ph c z , ta ký hi u là
r=z .
Góc ϕ gi a véc tơ OM và Ox ñư c g i là argumen c a s ph c z , ký
hi u là ϕ = Argz .
Góc ϕ ñư c xác ñ nh chính xác ñ n 2k π , ngư i ta thư ng ch n giá tr
chính c a nó trong kho ng [−π; π] .
y
Ta có: x = r cos ϕ; y = r sin ϕ (hay r = x 2 + y 2; tgϕ = x )
ph c z = x + yi dư i d ng lư ng giác:
Khi ñó ta có th vi t s
z = r.(cos ϕ + i sin ϕ)
Ví d : Vi t các s ph c (1,0),i,1 + i dư i d ng lư ng giác.
V i s (1,0) ta có x = 1 ; y = 0 nên r = 1 , tgϕ = 0 ⇒ ϕ = 0 .
V y (1,0) = cos 0 + i sin 0
V i s i ta có x = 0,y = 1 nªn r = 1 , tgϕ = ∞ ⇒ ϕ = π
2
V y i = cos π + i sin π
2 2
Tương t 1 + i = 2 (cos π + i sin π )
4 4
Khi vi t s ph c dư i d ng lư ng giác thì các phép tính nhân, chia, lu
th a các s ph c ñư c ti n hành thu n l i. Ta có các quy t c:
N u z1 = r1. (cos ϕ1 + i sin ϕ1) ; z 2 = r2. (cos ϕ2 + i sin ϕ2) thì
a) z 1.z 2 = r1.r2 [cos (ϕ1 + ϕ2) + i sin (ϕ1 + ϕ2)];
z r
b) z 1 = r1 [cos (ϕ1 − ϕ2) + i sin (ϕ1 − ϕ2)]; z2 ≠ 0
2 2
----------------------------------------------------------------------------------------------------
B môn KHCB Giáo trình toán cao c p 1
14
c) z 1n = r1n [cos (nϕ1) + i sin (nϕ1)]
Ta ch ng minh cho a):
z 1.z 2 = r1.r2 [cos ϕ1.cos ϕ2 + i 2 sin ϕ1.sin ϕ2 + i(cos ϕ1.sin ϕ2 + sin ϕ1.cos ϕ2)] =
= r1.r2 [cos (ϕ1 + ϕ2 ) + i sin (ϕ1 + ϕ2 )]; do i 2 = −1.
Ch ng minh tương t cho (b). Phép ch ng minh (c) ñư c suy ra t (a) b ng
quy n p.
Dùng k t qu trên có th ch ng t ñư c r ng: Trong trư ng s ph c căn
b c n c a ñơn v [sô ph c (1,0) ] có n giá tr khác nhau.
Th t v y, ta vi t (1,0) dư i d ng lư ng giác: (1, 0) = cos 0 + i sin 0.
G i căn b c n c a (1,0) là z , t c là z n = (1,0) .
Gi s s ph c z có d ng lư ng giác là z = r. (cos ϕ + i sin ϕ)
Khi ñó: z n = r n [cos (nϕ) + i sin (nϕ)] = cos 0 + i sin 0.
T ñó suy ra:
r =1
rn = 1
cos nϕ = cos 0; sin nϕ = sin 0 ⇒
2k π
nϕ = 2k π;⇒ ϕ = n k = 0,1,2...n − 1
V y căn b c n c a s ph c ñơn v có n giá tr khác nhau, g i các căn b c n ñó là
εk , k = 0,1,...n − 1. Ta có: εk = cos 2nπ + i sin 2k π ; k = 0,1,..., n − 1.
k
n
----------------------------------------------------------------------------------------------------
B môn KHCB Giáo trình toán cao c p 1
15
BÀI T P
1.1 Ta ký hi u các kho ng ñóng, n a kho ng ñóng, n a ñóng (ho c n a m ),
m trên t p h p s th c R như sau:
a, b = {x ∈ R, a ≤ x ≤ b} ;
a, b) = {x ∈ R, a ≤ x < b} ;
(a,b = {x ∈ R, a < x ≤ b};
(a,b) = {x ∈ R,a < x < b}.
Tìm A ∪ B, A ∩ B, A \ B, B \ A trong các trư ng h p sau:
a, A = 3, 5 , B = 2, 4 ;
b, A = 3, 5), B = (2, 4);
c, A = (3, 5), B = 2, 4).
1.2 Cho A = {x ∈ R,| x |≥ 5} ; B = {x ∈ R, − 6 ≤ x < 0} . Xác ñ nh các t p
h p: A ∪ B, A ∩ B, A \ B, B \ A, A và bi u di n chúng trên tr c s .
1.3 Ch ng minh các ñ ng th c t p h p sau:
A ∪ (B ∩ C ) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C ) ; A ∩ (B ∪ C ) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C ) ;
A \ (B ∪ C ) = (A \ B ) ∩ (A \ C ); A \ (B ∩ C ) = (A \ B) ∪ (A \ C );
1.4 Trong 100 sinh viên có 28 ngư i h c ti ng Anh, 30 ngư i h c ti ng ð c,
42 ngư i h c ti ng Pháp, 8 ngư i h c c ti ng Anh và ti ng ð c, 10 ngư i
h c c ti ng Anh và ti ng Pháp, 5 ngư i h c c ti ng ð c và ti ng Pháp, 3
ngư i h c c 3 th ti ng. H i có bao nhiêu ngư i không h c ngo i ng nào?
Có bao nhiêu ngư i ch h c m t ngo i ng ?
1.5 Cho A, B là các t p h p, f là ánh x . Ch ng minh r ng:
a, f (A ∪ B) = f (A) ∪ f (B );
b, f (A ∩ B) ⊂ f (A) ∩ f (B );
c, N u f là ñơn ánh thì f (A ∩ B) = f (A) ∩ f (B ).
1.6 Ch ng minh r ng các ánh x sau là song ánh và xác ñ nh ánh x ngư c c a
chúng.
----------------------------------------------------------------------------------------------------
B môn KHCB Giáo trình toán cao c p 1
16
a, f : R → R xác ñ nh b i f (x ) = 2x − 1
b, g : [0,1] → [0,1] xác ñ nh b i g(x ) = 1 − x 2
1.7 Cho các ánh x f : A → R; f (x ) = 2x 2 − 1; g : A → R; g(x ) = 1 − 3x;
Tìm t p h p A ñ f = g .
1.8 Cho R là t p các s th c, R + là t p các s th c không âm. Xét hai ánh x :
f : R → R + x¸c ®Þnh bëi f (x ) = x 2
g : R → R + x¸c ®Þnh bëi g(x ) = x 2 + 1
a, f có là ñơn ánh không? Có là toàn ánh không ? T i sao ?
b, Cũng câu h i trên cho ánh x g
−5
1.9 Cho ánh x f : R \ {1} → R x¸c ®Þnh nh− sau: f (x ) = 4x − 1
x
a, f có ph i là ñơn ánh, toàn ánh không? t i sao?
b, Cho A = [0, 3] \ {1}; B = [2, 3] . Tìm f (A), f −1(B)
p
1.10 S h u t là s có d ng q trong ñó p và q là hai s nguyên t cùng nhau.
2 không ph i là s h u t (ch ng
Dùng ñ nh nghĩa ñó hãy ch ng minh s
minh b ng ph n ch ng).
1.11 Các s a,b,a ′,b ′ là h u t , c không ph i là h u t . Ch ng minh r ng n u
a + b c = a '+ b ' c thì a = a ′,b = b ′ . Dùng k t qu y hãy tìm các s x và
y sao cho x + y 2 = 17 + 12 2 .
Nguyên lý quy n p: Nhi u m nh ñ toán h c ñư c ch ng minh b ng nguyên lý
quy n p sau: N u P là m t tính ch t nào ñó ñư c xác ñ nh trên t p h p các s
t nhiên N sao cho:
a, Tính ch t P ñúng v i s t nhiên 1.
b, N u tính ch t P ñã ñúng cho s t nhiên n thì nó cũng ñúng cho s t
nhiên n+1. Khi ñó tính ch t P s ñúng cho m i s t nhiên n.
Sơ ñ ch ng minh theo quy n p như sau:
ð u tiên ta ch ng t tính ch t P ñúng cho n = 1 .
----------------------------------------------------------------------------------------------------
B môn KHCB Giáo trình toán cao c p 1
17
Sau ñó ta gi s tính ch t P ñúng cho n và tìm cách ch ng minh nó cũng
ñúng cho n + 1 .
Ta k t lu n tính ch t P ñúng cho m i n .
n (n + 1)
Ví d : Ch ng min t ng: Pn = 1 + 2 + ... + n = v i n là s t
2
nhiên b ng phương pháp quy n p.
1 (1 + 1)
V i n = 1 ta có P1 = = 1 công th c ñúng.
2
n (n + 1)
Ta gi s công th c ñúng cho n, t c là: Pn = . T ñó ta s ch ng
2
(n + 1)(n + 2)
minh công th c ñúng cho n + 1 t c là ph i ch ng minh: Pn +1 = .
2
n (n + 1) (n + 1)(n + 2)
Ta có P n +1 = Pn + (n + 1) = +n +1= . V y công
2 2
th c ñúng cho m i s t nhiên n.
1.12 Dùng nguyên lý quy n p hãy ch ng minh:
a, (1 + a )n ≥ 1 + na, a > −1
b, (1 + 2 + ... + n )2 = 13 + 23 + ... + n 3.
c, N u m t t p h u h n có n ph n t thì s t t c các t p h p con c a nó là
2n
1.13 Tính: a) 1 ; b) 1 − i ; c) 2 ; d ) ( 3 − i) .
2
1+i 1 − 3i
i
1.14 Vi t các s ph c i,− 8,1 − i dư i d ng lư ng giác, t ñó hãy tính:
−8, 1 − i.
3
3
i,
1.15 Tìm mi n ch a ñi m ph c z n u: a, | z |> 5; b,| z + 2i |≥ 2
----------------------------------------------------------------------------------------------------
B môn KHCB Giáo trình toán cao c p 1
18
CHƯƠNG 2
KHÔNG GIAN VÉC TƠ
Trong chương trình toán h c ph thông Trung h c, ta ñã h c các véc tơ
trong m t ph ng và trong không gian. Ta ñã bi u di n các véc tơ ñó theo t a ñ
và ñã bi t cách c ng các véc tơ và nhân m t véc tơ v i m t s theo các t a ñ
c a chúng. Trong chương này ta s m r ng khái ni m véc tơ hình h c sang véc
tơ t ng quát, nó có liên quan ñ n nhi u v n ñ trong toán h c và trong th c t .
§1 KHÔNG GIAN VÉC TƠ
§1
1.1 ð NH NGHĨA
Không gian véc tơ V trên trư ng s th c R là m t t p không r ng các
ph n t ñư c g i là các véc tơ trong ñó có xác ñ nh hai phép tính:
Phép tính th nh t là phép c ng hai véc tơ: N u x và y là hai ph n t c a
V thì t ng x + y cũng là ph n t c a V .
Phép tính th hai là phép nhân m t véc tơ v i m t s th c: N u x là m t
ph n t c a V và α là m t s th c thì α.x cũng là m t véc tơ.
Các phép tính ñó ph i th a mãn 8 tiên ñ :
V1- Phép c ng có tính giao hoán: ∀x,y ∈V : x + y = y + x.
V2- Phép c ng có tính k t h p: ∀x,y, z ∈V :(x + y) + z = x + (y + z ).
V3- T n t i ph n t không: ∃ 0 ∈V : ∀x ∈V , x + 0 = x .
V4- T n t i ph n t ñ i: ∀ x ∈V , ∃− x ∈V :x + (−x ) = 0
V5- Phép nhân v i m t s có tính ch t k t h p:
∀ α, β ∈ R, ∀ x ∈V : α.(βx ) = (α.β)x .
V6- Tính ch t c a s th c 1 : ∀ x ∈V :1.x = x.
V7- Phép nhân v i m t s có tính ch t phân ph i ñ i v i phép c ng véc tơ:
∀x,y ∈V , ∀α ∈ R :α(x + y) = αx + αy.
V8- Phép nhân có tính ch t phân ph i ñ i v i phép c ng s th c:
∀x ∈V , ∀α, β ∈ R :(α + β)x = αx + βx.
T các tiên ñ trên suy ra:
----------------------------------------------------------------------------------------------------
B môn KHCB Giáo trình toán cao c p 1
19
a,Ph n t không c a V là duy nh t
Th t v y gi s trong V có hai ph n t không là 01 v 02 .
Theo V3, v i 01 là ph n t không: 01 + 02 = 02 ;
v i 02 là ph n t không: 01 + 02 = 01;
Dùng V1 ta suy ra 01 = 02 .
b,Ph n t ñ i c a x ∈V là duy nh t
Th t v y, gi s trong V có hai ph n t ñ i c a x là −x 1 v − x 2 .
T các tiên ñ V3, V4, V2 ta có:
−x 2 = −x 2 + 0 = −x 2 + x + (−x 1) = (−x 2 + x ) + (−x 1) = 0 + (−x 1) = −x 1.
1.2 CÁC VÍ D
1. T p các véc tơ hình h c l p thành m t không gian véc tơ
2. Không gian véc tơ Rn
Xét t p h p Rn mà m i ph n t c a nó ñư c xác ñ nh b ng m t b n s
th c s p th t : x = (x 1, x 2,..., x n )
Ta ñ nh nghĩa phép c ng như sau:
N Õu x = (x 1, x 2,..., x n ),y = (y1,y2,...,yn ) th× x + y = (x 1 + y1, x 2 + y2,..., x n + yn ).
Phép nhân m t s th c v i m t ph n t trong Rn ñư c xác ñ nh b ng:
N Õu x = (x 1, x 2,..., x n ), α ∈ R th× αx = (αx 1, αx 2,..., αx n ).
Dùng tính ch t c a t p h p s th c có th ch ng t r ng t p h p Rn tho
mãn c 8 tiên ñ c a m t không gian véc tơ. Ph n t không trong Rn là
(0,0,...,0) , ph n t ñ i c a ph n t x là ph n t −x = (−x 1,−x 2,...,−x n ) .
V y t p h p Rn l p thành m t không gian véc tơ trên trư ng s th c.
3. Không gian các ña th c
Xét t p h p các ña th c v i h s th c có b c không vư t quá n :
Pn(x ) = a 0x n + a1x n−1 + ... + an−1x + an
T ng hai ña th c có b c không vư t quá n cũng là m t ña th c có b c
không vư t quá n ; tích m t ña th c có b c không vư t quá n v i m t s th c
----------------------------------------------------------------------------------------------------
B môn KHCB Giáo trình toán cao c p 1
20
