GIẢI PHÁP THƯƠNG LƯỢNG NASH trong kinh tế vi mô
Một giải pháp thương lượng có thể được diễn giải như một công thức xác định một
kết quả duy nhất cho từng tình huống thương lượng của một lớp các tình huống
thương lượng nào đó. Trong chương này, tôi sẽ nghiên cứu giải pháp thương lượng do
Nash đề xuất.2 Giải pháp thương lượng Nash được định nghĩa bằng một công thức
tương đối đơn giản, và có thể được áp dụng cho một lớp tình huống thương lượng
rộng lớn – và những đặc điểm này tạo nên tính hấp dẫn cho giải pháp Nash trong các
ứng dụng. Tuy nhiên, lý do......
Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright
KINH TẾ VI MÔ
Bài đọc
GIẢI PHÁP THƯƠNG LƯỢNG NASH1
(Bài đọc thêm tự chọn của Bài giảng 20, thứ 4, 14/11/2006)
Niên khóa 2007-2008
1
Nguồn: Chương 2, “The Nash Bargaining Solution”, trong cuốn Bargaining Theory with Applications
(Abhinay Muthoo, 1999), Cambridge University Press.
Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright Kinh tế vi mô Giải pháp thương lượng Nash
Niên khoá 2007-2008 Bài đọc
GIẢI PHÁP THƯƠNG LƯỢNG NASH
2.1 Dẫn nhập
Một giải pháp thương lượng có thể được diễn giải như một công thức xác định một
kết quả duy nhất cho từng tình huống thương lượng của một lớp các tình huống
thương lượng nào đó. Trong chương này, tôi sẽ nghiên cứu giải pháp thương lượng do
Nash đề xuất.2 Giải pháp thương lượng Nash được định nghĩa bằng một công thức
tương đối đơn giản, và có thể được áp dụng cho một lớp tình huống thương lượng
rộng lớn – và những đặc điểm này tạo nên tính hấp dẫn cho giải pháp Nash trong các
ứng dụng. Tuy nhiên, lý do quan trọng nhất khiến chúng ta nghiên cứu và áp dụng
giải pháp thương lượng Nash là bởi nó có những nền tảng chiến lược vững chắc; một
số mô hình thương lượng trong lý thuyết trò chơi đã nghiêng về việc sử dụng giải
pháp này. Các mô hình thương lượng chiến lược này sẽ được nghiên cứu trong những
chương sau, trong đó tôi sẽ đề cập đến những lý do tại sao, khi nào, và làm thế nào sử
dụng giải pháp thương lượng Nash.
Mặt khác, mục đích chính của chương này là tìm hiểu thấu đáo về định nghĩa
giải pháp thương lượng Nash, mà trong bối cảnh cụ thể, sẽ giúp chúng ta có thể dễ
dàng mô tả đặc điểm và sử dụng giải pháp này trong các ứng dụng khác.
Trong phần kế tiếp, tôi sẽ định nghĩa và mô tả giải pháp thương lượng Nash
của một tình huống thương lượng cụ thể, trong đó có hai người tham gia thương
lượng về việc phân chia một ổ bánh (hay “thặng dư”) có độ lớn cố định. Mặc dù trong
thực tế loại tình huống thương lượng này không hiếm nhưng mục đích chính của phần
này là giới thiệu một vài khái niệm chính có liên quan trong việc định nghĩa giải pháp
thương lượng Nash trong một bối cảnh cụ thể và tương đối đơn giản. Phần 2.3 bao
gồm hai ứng dụng của giải pháp thương lượng Nash. Ứng dụng thứ nhất là hối lộ và
kiểm soát tội phạm, và ứng dụng thứ hai là sự sở hữu tài sản tối ưu (phần này không
dịch – ND).
Sau khi đã hiểu các khái niệm và kết quả trong phần 2.2, chúng ta sẽ có thể
hiểu phần 2.4 một cách tương đối dễ dàng; trong phần này, tôi định nghĩa và mô tả
giải pháp thương lượng Nash dưới dạng tổng quát hơn và tương đối trừu tượng. Phần
2.5 bao gồm ba ứng dụng sâu hơn của giải pháp thương lượng Nash - một là thương
lượng giữa công ty và công đoàn, hai là sản xuất tập thể trong tâm lý ỷ lại, và ba là
mở rộng ứng dụng về tình huống hối lộ và kiểm soát tội phạm đã nghiên cứu trong
phần 2.3.1.
Phần 2.6 chứng minh rằng giải pháp thương lượng Nash là giải pháp thương
lượng duy nhất khả dĩ thỏa mãn bốn thuộc tính. Cho dù những thuộc tính này thường
được gọi là các tiên đề, nhưng người ta vẫn có thể tranh luận liệu một thuộc tính nào
đó trong những thuộc tính này có thật sự có tính chất tiên đề hay không. Bất luận
trong trường hợp nào, các nền tảng “tiên đề” đều thú vị và mang lại những ý nghĩa
nhất định cho giải pháp thương lượng Nash. Một ý nghĩa then chốt là: giải pháp
2
Giải pháp thương lượng Nash và khái niệm về trạng thái cân bằng Nash là những khái niệm không
liên quan gì với nhau, ngoại trừ sự kiện là cả hai khái niệm này đều là thành quả sáng tạo của cùng một
người.
2 Biên dịch: Kim Chi
Hiệu đính: Tự Anh
Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright Kinh tế vi mô Giải pháp thương lượng Nash
Niên khoá 2007-2008 Bài đọc
thương lượng Nash có thể bị tác động bởi thái độ đối với rủi ro của những người tham
gia.
Trong phần 2.7, tôi chỉ ra rằng định nghĩa về giải pháp thương lượng Nash
trình bày trong phần 2.2 và phần 2.4 không thể mang lại một cách diễn giải tự nhiên
cho giải pháp này. Một định nghĩa khác (tương đương) sẽ được trình bày trong phần
2.7, cho thấy rằng giải pháp thương lượng Nash có thể được diễn giải như một thông
lệ thương lượng ổn định.
Phần 2.8 định nghĩa và mô tả các giải pháp thương lượng Nash bất cân xứng.
Các dạng khái quát hoá của giải pháp thương lượng Nash này tạo điều kiện thuận lợi
để chúng ta xem xét đến những yếu tố bổ sung của một tình huống thương lượng, có
thể được xem là phù hợp với kết quả thương lượng. (Các phần 2.6, 2.7, và 2.8 không
dịch – ND).
2.2 Thương lượng chia bánh
Hai người A và B thương lượng về việc phân chia một ổ bánh có độ lớn π, trong đó π
> 0. Tập hợp các thỏa thuận có thể có là x = {(xA, xB) : 0 ≤ xA ≤ π và xB = π - xA},
trong đó xi là phần bánh dành cho người tham gia i (i = A, B). Đối với mỗi i ∈ [0, π],
Ui (xi) là độ thoả dụng của người tham gia i khi thu được phần bánh xi trong ổ bánh,
trong đó hàm thỏa dụng của người tham gia i là Ui : [0, π] → ℜ. Hàm này có tính
tăng dần nghiêm ngặt và có dạng lồi. Nếu những người tham gia không đạt được thỏa
thuận, thì người tham gia i sẽ đạt được độ thoả dụng di trong đó di ≥ Ui (0). Có một
thỏa thuận x ∈ X sao cho UA(x) > dA và UB(x) > dB, điều này đảm bảo rằng có một
thỏa thuận giúp đôi bên cùng có lợi.
Cặp độ thỏa dụng d = (dA, dB) được gọi là điểm bất đồng (disagreement point).
Để định nghĩa giải pháp thương lượng Nash của tình huống thương lượng này, trước
tiên ta cần định nghĩa tập hợp Ω bao gồm những cặp độ thỏa dụng có thể có (possible
utility pairs) mà đôi bên có thể đạt được thông qua thỏa thuận. Ứng với tình huống
thương lượng vừa mô tả trên đây, Ω = {(uA, uB) : có một x ∈ X sao cho UA(xA) = uA và
UB(xB) = uB}.
Chọn một độ thỏa dụng uA tuỳ ý cho người tham gia A, trong đó uA ∈ [UA(0,
UA(π)]. Từ tính đơn điệu nghiêm ngặt của Ui, có một phần bánh xA ∈ [0, π] sao cho
− −
UA(xA) = uA; nghĩa là, xA = U A1 (uA), trong đó U A1 là ký hiệu hàm nghịch đảo của
3
UA. Vì vậy:
g (u A ) ≡ U B (π − U A1 (u A ))
−
Trong đó, g(uA) là độ thỏa dụng mà người tham gia B sẽ đạt được khi người tham gia
A đạt được độ thỏa dụng uA. Ngay lập tức, ta suy ra rằng Ω = {(uA, uB) : UA(0) ≤ uA ≤
UA(π) và uB = g(uA)}; nghĩa là, Ω là đồ thị của hàm số g : [UA(0), UA(π)] → ℜ.
−1
3
Ta nên lưu ý rằng hàm nghịch đảo U A là một hàm số có tính tăng dần nghiêm ngặt và có dạng lõm,
miền xác định của hàm số này là đoạn [UA(0), UA(π)] và miền giá trị của hàm số này là đoạn [0, π].
3 Biên dịch: Kim Chi
Hiệu đính: Tự Anh
Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright Kinh tế vi mô Giải pháp thương lượng Nash
Niên khoá 2007-2008 Bài đọc
Giải pháp thương lượng Nash (NBS – Nash bargaining solution) của tình
huống thương lượng mô tả trên đây là một cặp độ thỏa dụng duy nhất, ký hiệu
N N
( u A , u B ), là nghiệm của bài toán tối đa hoá sau đây:
max (uA – dA)(uB – dB)
(uA, uB) ∈ Θ
trong đó, Θ ≡ {(uA, uB) ∈ Ω : uA ≥ dA và uB ≥ dB} ≡ {(uA, uB) : UA(0) ≤ uA ≤ UA(π), uB
= g(uA), uA ≥ dA và uB ≥ dB}.
Bài toán tối ưu vừa phát biểu trên đây có một nghiệm duy nhất, vì (uA – dA)(uB
– dB), thường được gọi là tích số Nash (Nash product), thì liên tục và gần như có dạng
lồi nghiêm ngặt (lồi về phía gốc tọa độ - ND), hàm số g giảm dần nghiêm ngặt và có
dạng lồi (như được phát biểu dưới đây trong Bổ đề 2.1), và tập hợp Θ là một tập hợp
không rỗng.4 Hình 2.1 minh họa giải pháp thương lượng Nash. Vì u A > dA và u B >
N N
dB, cho nên trong giải pháp thương lượng Nash, những người tham gia đạt được thỏa
− −
thuận về phần bánh được chia cho mỗi bên là: ( x A , x B ) = U A1 (u A ),U B 1 (u B )) .
N N N N
Bổ đề 2.1. Hàm số g có tính giảm dần nghiêm ngặt và có dạng lồi.
Chứng minh: Xem phần Phụ lục.
Hằng số
4
Thật ra, có một thể liên tục của các cặp độ thỏa dụng (uA, uB) ∈ Θ sao cho uA > dA và uB > dB.
4 Biên dịch: Kim Chi
Hiệu đính: Tự Anh
Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright Kinh tế vi mô Giải pháp thương lượng Nash
Niên khoá 2007-2008 Bài đọc
Hình 2.1: uN là giải pháp thương lượng Nash của tình huống thương lượng mà trong
đó tập hợp Ω của các cặp độ thỏa dụng khả dĩ có thể đạt được thông qua thỏa thuận là
đồ thị của hàm số g, và d là điểm bất đồng.
2.2.1 Mô tả đặc điểm
Định đề 2.1. Trong tình huống thương lượng mô tả trên đây, nếu đạo hàm của hàm số
g tồn tại (differentiable), thì giải pháp thương lượng Nash là nghiệm duy nhất của hệ
phương trình sau:
uB − d B
− g ' (u A ) = và uB = g(uA),
uA − dA
trong đó, g’ là ký hiệu đạo hàm của g.
N N
Chứng minh: Vì giải pháp thương lượng Nash là giải pháp sao cho u A > dA và u B >
dB, giải pháp này có thể được mô tả bằng cách tìm giá trị của uA mà làm cho (uA –
dA)(g(uA) – dB) đạt giá trị tối đa. Định đề được suy ra ngay lập tức bằng đạo hàm bậc
nhất.
Hình 2.2: Khi đạo hàm của hàm số g tồn tại, giải pháp thương lượng Nash là điểm
duy nhất trên đồ thị g có độ dốc của đường thẳng LN bằng với giá trị tuyệt đối của độ
dốc của tiếp tuyến duy nhất TN.
Điều cần lưu ý trong một số ứng dụng là đặc điểm hình học sau đây của giải
pháp thương lượng Nash – đặc điểm này có giá trị khi hàm số g có thể lấy đạo hàm và
5 Biên dịch: Kim Chi
Hiệu đính: Tự Anh
Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright Kinh tế vi mô Giải pháp thương lượng Nash
Niên khoá 2007-2008 Bài đọc
được suy ra từ Định đề 2.1. Giải pháp thương lượng Nash là điểm uN duy nhất trên đồ
thị có đặc điểm là độ dốc của đường thẳng nối giữa điểm uN và d bằng với giá trị tuyệt
đối của độ dốc tiếp tuyến với đồ thị g tại uN. Điều này được minh hoạ trong hình 2.2.
Ta hãy xem một điểm u bất kỳ về phía bên trái của uN. Độ dốc của đường L nối các
điểm d và u tăng lên so với độ dốc của đường LN, trong khi giá trị tuyệt đối của độ
dốc tiếp tuyến T với đồ thị g tại u giảm xuống so với giá trị tuyệt đối của độ dốc tiếp
tuyến TN. Do đó, độ dốc của đường L lớn hơn so với giá trị tuyệt đối của độ dốc tiếp
tuyến T. Bằng lập luận đối xứng, ta suy ra rằng độ dốc của đường nối điểm d với một
điểm trên đồ thị g về phía bên phải giải pháp thương lượng Nash sẽ nhỏ hơn giá trị
tuyệt đối của độ dốc tiếp tuyến với đồ thị g tại điểm đó.
Kết quả trong hệ quả sau đây của Định đề 2.1 có thể hữu ích trong việc ứng
dụng.
Hệ quả 2.1. Trong tình huống thương lượng mô tả trên đây, nếu hàm số g có thể lấy
N
đạo hàm, thì phần bánh x A mà người tham gia A được hưởng trong ổ bánh theo giải
pháp thương lượng Nash là nghiệm duy nhất của phương trình:
U A ( x A ) − d A U B (π − x A ) − d B
= ,
U 'A (xA ) U ' B (π − x A )
và phần bánh của người tham gia B trong giải pháp thương lượng Nash là
xB = π − x A .
N N
Chứng minh. Kết quả được suy ra ngay lập tức từ Định đề 2.1 sau khi lấy đạo hàm
của hàm số g (theo uA) và lưu ý rằng Ui (xi) = ui và xi = U i−1 (ui).
Bây giờ tôi sẽ mô tả đặc điểm của giải pháp thương lượng Nash khi không giả
định rằng hàm số g có thể lấy đạo hàm. Tuy nhiên, vì g có dạng lồi, cho nên nó có thể
lấy đạo hàm “gần như tại mọi điểm”. Nhưng cũng có thể giải pháp thương lượng
Nash nằm chính xác tại điểm mà g không thể lấy đạo hàm.5 Vì g có dạng lồi, cho nên
đạo hàm về phía bên trái và bên phải của điểm đó đều tồn tại. Gọi g’(uA-) và g’(uA+)
lần lượt là đạo hàm bên trái và bên phải của hàm số g tại uA. Vì g có dạng lồi, nên
g’(uA-) ≥ g’(uA+). Kết quả sau đây có thể dễ dàng được chứng minh, và được minh
họa trong hình 2.3.
Định đề 2.2. Trong tình huống thương lượng mô tả trên đây, nếu hàm số g không thể
lấy đạo hàm tại giải pháp thương lượng Nash, thì sẽ tồn tại một số k, trong đó,
g’( u A -) ≥ k ≥ g’( u A +), sao cho giải pháp thương lượng Nash là nghiệm duy nhất
N N
của hệ phương trình sau đây:
uB − d B
−k = và uB = g(uA),
uA − d A
Như minh họa trong hình 2.3, giải pháp thương lượng Nash là điểm uN duy
nhất trên đồ thị g có đặc điểm là độ dốc của đường LN nối điểm uN và d bằng với giá
trị tuyệt đối (tức là -k) của độ dốc tiếp tuyến TN nào đó với đồ thị g tại uN.
5
Trong chương 8, chúng tả sẽ nghiên cứu một mô hình thương lượng ứng với trường hợp này.
6 Biên dịch: Kim Chi
Hiệu đính: Tự Anh
Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright Kinh tế vi mô Giải pháp thương lượng Nash
Niên khoá 2007-2008 Bài đọc
Hình 2.3. Khi hàm số g không thể lấy đạo hàm, giải pháp thương lượng Nash
là điểm duy nhất trên đồ thị g có độ dốc đường LN bằng với giá trị tuyệt đối của độ
dốc tiếp tuyến TN nào đó.
Nhận xét 2.1 (So sánh tĩnh – comparative-statics). Ta có thể chứng minh được
những kết quả sau đây bằng cách sử dụng các đặc điểm hình học của giải pháp thương
lượng Nash, như minh họa trong hình 2.2 và 2.3. Vì giải pháp thương lượng Nash của
tình huống thương lượng mô tả trên đây phụ thuộc vào điểm bất đồng, tôi nhấn mạnh
N N
điều này bằng cách viết giải pháp thương lượng Nash là u A (d), u B (d)). Gọi d và d’ là
hai điểm bất đồng khác nhau sao cho d’i > di và d’j = dj (j ≠ i). Nếu hàm số g có thể lấy
N
vi phân tại u A (d), thì u iN (d’) > u iN (d) và u N (d’) < u N (d). Mặt khác, nếu hàm số g
j j
không thể lấy vi phân tại u A (d), thì u iN (d’) ≥ u iN (d) và u N (d’) ≤ u N (d).
N
j j
2.2.2 Các ví dụ
7 Biên dịch: Kim Chi
Hiệu đính: Tự Anh
Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright Kinh tế vi mô Giải pháp thương lượng Nash
Niên khoá 2007-2008 Bài đọc
Ví dụ 2.1. (Qui tắc chia phần còn lại). Giả sử UA(xA) = xA đối với mọi xA ∈ [0, π] và
UB(xB) = xB đối với mọi xB ∈ [0, π]. Điều này có nghĩa là đối với mỗi uA ∈ [0, π],
g(uA) = π - uA và di ≥ 0 (i = A, B). Áp dụng Định đề 2.1, ta suy ra:
1 1
uA =
N
(π − d B + d A ) và uB =
N
(π − d A + d B )
2 2
Như vậy,
1 1
x A = d A + (π − d A − d B )
N
và x B = d B + (π − d A − d B ) ,
N
2 2
vốn có thể được gán cho cách diễn giải sau đây. Trước tiên những người tham gia
đồng ý cho mỗi người tham gia i (i = A, B) được hưởng một phần bánh di trong ổ
bánh (phần bánh này mang lại cho người tham gia đó một độ thỏa dụng bằng với độ
thỏa dụng mà người này đạt được nếu không có thỏa thuận), rồi sau đó họ chia đều
phần bánh còn lại π – dA – dB . Lưu ý rằng phần bánh xiN của người tham gia i tăng
dần một cách nghiêm ngặt theo di và giảm dần nghiêm ngặt theo dj (j ≠ i).
Ví dụ 2.2 (Ghét rủi ro). Giả sử UA(xA) = x γ đối với mọi xA ∈ [0, π] , trong đó 0 < γ
A
< 1, UB(xB) = xB đối với mọi xB ∈ [0, π] và dA = dB = 0. Điều này có nghĩa là đối với
mỗi uA ∈ [0, π], g(uA) = π - u 1 / γ . Áp dụng Hệ quả 2.1, ta suy ra:
A
γπ π
xA =
N
và xB =
N
.
1+ γ 1+ γ
Khi γ tăng dần, x A giảm dần và x B tăng dần. Ở mức giới hạn, khi γ → 0, x A → 0 và
N N N
x B → 1. Người tham gia B có thể được xem là một người trung tính với rủi ro (vì
N
hàm thỏa dụng của B là hàm tuyến tính), trong khi người tham gia A là người ghét rủi
ro (vì hàm thỏa dụng của A có dạng lồi nghiêm ngặt), trong đó mức độ ghét rủi ro của
A giảm dần trong γ. Ứng với cách diễn giải theo hàm thỏa dụng này, ta thấy phần
bánh của người tham gia A giảm dần khi A trở nên ghét rủi ro hơn.
2.3 Các ứng dụng
2.3.1 Hối lộ và kiểm soát tội phạm
Một cá nhân C quyết định xem có nên đánh cắp một số tiền nhất định π hay không,
trong đó π > 0. Nếu C đánh cắp số tiền, thì xác suất xảy ra tình huống C bị viên cảnh
sát P bắt được là ζ. Viên cảnh sát này có thể bị mua chuộc, và thương lượng với tội
phạm về số tiền hối lộ b mà C sẽ trao cho P để đổi lấy việc P không báo cáo vụ đánh
cắp của C với chính quyền.
Tập hợp những thỏa thuận có thể có giữa hai người là tập hợp những cách
phân chia số tiền đánh cắp có thể đạt được giữa hai người (giả định rằng số tiền đánh
cắp có thể được phân chia một cách hoàn hảo); tập hợp những cách phân chia này là :
{(π - b, b) : 0 ≤ b ≤ π}. Viên cảnh sát sẽ báo cáo vụ đánh cắp với chính quyền khi và
chỉ khi họ không thể đạt được thỏa thuận. Trong trường hợp đó, kẻ phạm tội sẽ phải
8 Biên dịch: Kim Chi
Hiệu đính: Tự Anh
Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright Kinh tế vi mô Giải pháp thương lượng Nash
Niên khoá 2007-2008 Bài đọc
nợp một khoản tiền phạt. Điểm bất đồng (dC, dP) = (π(1 – v), 0), trong đó v ∈ (0, 1] là
tỷ lệ nộp phạt. Độ thỏa dụng đối với mỗi người tham gia nhờ thu được x đơn vị tiền tệ
là x.
Tình huống thương lượng mô tả trên đây là một trường hợp đặc biệt của ví dụ
2.1, và như vậy, ngay lập tức ta suy ra rằng giải pháp thương lượng Nash là u C = π[1
N
– (v/2)], và u P = πv/2. Số tiền hối lộ gắn liền với giải pháp thương lượng Nash là bN
N
= πv/2. Lưu ý rằng, cho dù tiền phạt không bao giờ được nộp cho chính quyền, tỷ lệ
nộp phạt vẫn ảnh hưởng đến số tiền mua chuộc mà kẻ phạm tội trao cho viên cảnh sát
ăn hối lộ.
Ứng với kết quả này của tình huống thương lượng trên đây, bây giờ tôi sẽ đề
cập đến vấn đề liệu kẻ phạm tội có nên thực hiện hành vi phạm tội hay không. Độ
thỏa dụng kỳ vọng đối với kẻ phạm tội khi đánh cắp được số tiền trên là ζπ[1 – (v/2)]
+ (1 – ζ)π, vì với xác suất ζ, kẻ phạm tội sẽ bị cảnh sát bắt (trong trường hợp đó, độ
thỏa dụng của kẻ phạm tội là u C , và với xác suất 1 - ζ, kẻ phạm tội sẽ không bị cảnh
N
sát bắt (trong trường hợp đó, hắn sẽ giữ toàn bộ số tiền đánh cắp được). Vì độ thỏa
dụng của kẻ phạm tội khi không đánh cắp số tiền là bằng không (0), vụ đánh cắp sẽ
không xảy ra nếu và chỉ nếu π[1 – (ζv/2)] ≤ 0. Nghĩa là, vì π > 0, hành vi phạm tội sẽ
không xảy ra nếu và chỉ nếu ζv ≥ 2. Vì ζ < 1 và 0 < v < 1 có nghĩa là ζv < 1, ứng với
tỷ lệ nộp phạt bất kỳ v ∈ (0, 1], và xác suất bị bắt bất kỳ ζ < 1, hành vi phạm tội sẽ
xảy ra. Vì vậy, phân tích này khẳng định nhận thức thông thường rằng nếu người ta
trốn được khoản tiền phạt thông qua hành vi hối lộ, thì tiền phạt không có vai trò
gì trong việc ngăn ngừa tội phạm.6
2.3.2 Sở hữu tài sản tối ưu (không dịch)
2.4 Định nghĩa tổng quát
Một vấn đề thương lượng là một cặp (Ω, d), trong đó Ω ⊂ ℜ2 và d ∈ ℜ2. Tôi diễn
giải Ω là một tập hợp những cặp độ thỏa dụng khả dĩ mà hai bên có thể đạt được
thông qua thỏa thuận, và điểm bất đồng d = (dA, dB) là cặp độ thỏa dụng có thể đạt
được nếu những người tham gia không thể đi đến thỏa thuận.7 Chúng ta chỉ giới hạn
sự chú ý trong phạm vi những vấn đề thương lượng thỏa những điều kiện được trình
bày dưới đây trong các giả định 2.1 và 2.2.
Giả định 2.1 Biên giới Pareto Ωe của tập hợp Ω là đồ thị của một hàm số có dạng
lồi, được ký hiệu là h, mà miền xác định của hàm số này là một đoạn IA ⊆ ℜ. Ngoài
ra, có một độ thỏa dụng uA ∈ IA sao cho uA > dA và h(uA) > dB.8
Giả định 2.2. Tập hợp Ωw của các cặp độ thỏa dụng có hiệu quả Pareto yếu là một
tập hợp đóng.9
6
Ứng dụng nghiên cứu ở đây sẽ được mở rộng trong phần 2.5.3.
7
Nếu (uA, uB) ∈ Ω, thì điều này có nghĩa là có một thỏa thuận giúp mang lại cho người tham gia i (i =
A, B) một độ thỏa dụng ui ∈ ℜ.
8
Một cặp độ thỏa dụng (uA , uB) ∈ Ωe nếu và chỉ nếu (uA , uB) ∈ Ω và không tồn tại một cặp độ thỏa
dụng khác (u’A , u’B) ∈ Ω sao cho u’A ≥ uA , u’B ≥ uB và đối với một i nào đó, u’i > ui.
9
Một cặp độ thỏa dụng (uA , uB) ∈ Ωw nếu và chỉ nếu (uA , uB) ∈ Ω và không tồn tại một cặp độ thỏa
dụng khác (u’A , u’B) ∈ Ω sao cho u’A > uA , u’B > uB . Lưu ý rằng Ωe ⊆ Ωw.
9 Biên dịch: Kim Chi
Hiệu đính: Tự Anh
Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright Kinh tế vi mô Giải pháp thương lượng Nash
Niên khoá 2007-2008 Bài đọc
Lưu ý rằng (theo định nghĩa biên giới hiệu quả Pareto), h có tính giảm dần
nghiêm ngặt. Tập hợp tất cả những vấn đề thương lượng thỏa Giả định 2.1 và Giả
định 2.2 được ký hiệu là ∑. Nghĩa là, ∑ ≡ {(Ω, d) : Ω ⊂ ℜ2, d ∈ ℜ2, và cặp (Ω, d)
thỏa Giả định 2.1 và Giả định 2.2}.
Định nghĩa 2.1. Giải pháp thương lượng Nash (NBS) là một hàm số fN : ∑ → ℜ2,
được định nghĩa như sau: Đối với mỗi vấn đề thương lượng (Ω, d) thỏa Giả định 2.1
và Giả định 2.2, giải pháp thương lượng Nash fN(Ω, d) ≡ f AN (Ω, d), f BN (Ω, d) là
nghiệm duy nhất của bài toán tối đa hoá sau đây:
max (uA – dA)(uB – dB)
(uA, uB) ∈ Θ
trong đó, Θ ≡ {(uA, uB) ∈ Ωe : uA ≥ dA và uB ≥ dB} ≡ {(uA, uB) : uA ∈ IA, uB = h(uA), uA
≥ dA và uB ≥ dB}.
Bài toán tối đa hoá trên đây có một nghiệm duy nhất, vì (uA – dA)(uB – dB),
thường được gọi là tích số Nash, thì liên tục và gần như có dạng lồi nghiêm ngặt (về
phía gốc tọa độ - ND), và vì Giả định 2.1 ngụ ý rằng hàm số h có tính giảm dần
nghiêm ngặt và có dạng lồi, và tập hợp Θ là một tập hợp không rỗng. Ta cũng nên lưu
ý rằng giải pháp thương lượng Nash có đặc điểm là f i N (Ω, d) > di (i = A, B).
Chọn một vấn đề thương lượng tuỳ ý (Ω, d) ∈ ∑. Giải pháp thương lượng
Nash của vấn đề thương lượng này sẽ nằm trên đồ thị h. Gọi IA ≡ [ u A , u A ], trong đó,
u A ≥ u A . Miền giá trị của hàm số h là h(IA) = {uB ∈ ℜ : có một uA ∈ IA sao cho uB =
h(uA)}. Từ Giả định 2.1, ta suy ra rằng h(IA) = [ u B , u B ], trong đó, h( u A ) = u B ≥ u B
= h( u A ). Ngoài ra, Giả định 2.1 ngụ ý rằng dA < u A , và dB < u B . Tuy nhiên, đối với
một i nào đó (i = A hoặc i = B hoặc i = A, B), Giả định 2.1. không loại trừ khả năng
xảy ra di ≤ u i .
Nếu dA ∈ IA và dB ∈ h(IA) – từ thảo luận trên đây, điều này có nghĩa là di ≥
u i (i = A, B) – thì giải pháp thương lượng Nash được minh họa trong hình 2.1 với g
được thay bằng h.10 Một cách cụ thể, giải pháp thương lượng Nash nằm bên trong của
đồ thị h; nghĩa là, f AN (Ω, d) ∈ ( u A , u A ) và f BN (Ω, d) ∈ ( u B , u B ). Tuy nhiên, nếu đối
với một i nào đó, (i = A, hoặc i = B, hoặc i = A, B), di ≤ u i , thì giải pháp thương
lượng Nash có thể (nhưng không nhất thiết) là một trong hai góc của đồ thị h; nghĩa
là, giải pháp thương lượng Nash f AN (Ω, d) có thể bằng ( u A , u B ) hoặc ( u A , u B ), như
được minh họa trong hình 2.5.
10
Ta nên lưu ý rằng trong tình huống thương lượng cụ thể được nghiên cứu trong phần 2.2, biên giới
Pareto Ωe = Ω, tập hợp các cặp độ thỏa dụng có thể đạt được thông qua thỏa thuận, và vì thế, Ωe là đồ
thị hàm số g. Ngược lại, trong một vấn đề thương lượng tuỳ ý (Ω, d) ∈ ∑ , biên giới Pareto Ωe ⊆ Ω,
nghĩa là, biên giới Pareto không nhất thiết phải bằng Ω.
10 Biên dịch: Kim Chi
Hiệu đính: Tự Anh
Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright Kinh tế vi mô Giải pháp thương lượng Nash
Niên khoá 2007-2008 Bài đọc
Hình 2.5. Nếu dB < u B , thì giải pháp thương lượng Nash có thể nằm ở góc
bên phải của đồ thị h, nghĩa là uN = ( u A , u B ).
Nhận xét 2.2. Vấn đề thương lượng (Ω, d), mà từ đó chúng ta định nghĩa giải pháp
thương lượng Nash, là một khái niệm trừu tượng. Dù vậy, vấn đề này có giá trị trong
một vài khía cạnh nhất định, nó giúp làm tăng khả năng ứng dụng của giải pháp
thương lượng Nash, và hữu ích trong việc diễn giải khái niệm về vấn đề thương
lượng theo những yếu tố cơ bản sau đây của một tình huống thương lượng: (i) Tập
hợp X của các thỏa thuận vật chất có thể có, (ii) Kết quả “bất đồng” D, là kết quả hay
biến cố xảy ra nếu những người tham gia không đạt được thỏa thuận, và (iii) Các hàm
thỏa dụng của những người tham gia i, UA : X ∪ {D} → ℜ và UB : X ∪ {D} → ℜ .
Khi đó, một vấn đề thương lượng (Ω, d) có thể được suy ra từ những yếu tố này như
sau: Ω = {(uA , uB) : có một x ∈ X sao cho UA(x) = uA và UB(x) = uB} và d = (UA(D),
UB(D)).
2.5. Các ứng dụng
2.5.1. Thương lượng giữa công ty và công đoàn
Một công ty và công đoàn thương lượng về mức lương w và mức lao động L. Tập hợp
các thỏa thuận có thể có là tập hợp các cặp tiền lương và mức lao động (w, L) sao cho
w ≥ wu, R(L) – wL ≥ 0 và L ≤ L0, trong đó, wu ≥ 0 là mức phúc lợi thất nghiệp, R(L) là
doanh thu công ty đạt được nếu tuyển dụng L người lao động, và L0 là qui mô của
công đoàn. R(0) = 0, hàm R có tính tăng dần nghiêm ngặt và có dạng lồi nghiêm ngặt.
Điều kiện w ≥ wu diễn tả sự việc là không một người lao động nào làm việc với mức
lương thấp hơn mức phúc lợi thất nghiệp, trong khi điều kiện R(L) – wL ≥ 0 diễn tả sự
việc là công ty thà đóng cửa doanh nghiệp hơn là nhận được lợi nhuận âm, trong đó
lợi nhuận của công ty ứng với một cặp (w, L) là R(L) – wL. Ta giả định rằng công ty
không thể tuyển dụng nhiều hơn L0 người lao động. Như vậy, tập hợp những thỏa
thuận có thể có là x = {(w, L) : w ≥ wu, L ≤ L0, và R(L) – wL ≥ 0}. Nếu những người
tham gia không đạt được thỏa thuận, thì công ty phải đóng cửa và L0 người lao động
sẽ trở nên thất nghiệp. Nếu những người tham gia đạt được thỏa thuận về (w, L) ∈ X,
thì lợi nhuận của công ty là ∏(w, L) = R(L) – wL, và độ thỏa dụng của công đoàn là
U(w, L) = wL + (L0 – L)wu, tạo thành tổng thu nhập mà các thành viên công đoàn sẽ
nhận được. Vì R(0) = 0, lợi nhuận của công ty nếu các bên không đạt được thỏa thuận
cũng bằng không. Độ thỏa dụng của công đoàn trong trường hợp này là wuL0, vì L0
thành viên công đoàn sẽ trở nên thất nghiệp. Vì vậy, điểm bất đồng d = (wuL0, 0).
11 Biên dịch: Kim Chi
Hiệu đính: Tự Anh
Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright Kinh tế vi mô Giải pháp thương lượng Nash
Niên khoá 2007-2008 Bài đọc
Ta có thể suy ra biên giới Pareto Ωe của tập hợp các cặp độ thỏa dụng khả dĩ
có thể đạt được thông qua thỏa thuận bằng cách giải bài toán tối đa hoá sau đây:
max(w, L)∈X ∏(w, L), phụ thuộc vào điều kiện U(w, L) ≥ u , trong đó u là một hằng số
nào đó lớn hơn hoặc bằng wuL0. Tại nghiệm số duy nhất của bài toán này, L = L*,
trong đó L* là mức lao động tốt nhất trước tiên, nghĩa là R’(L*) = wu.11 Như vậy, một
cặp độ thỏa dụng (u, π) ∈ Ωe chỉ khi mức lao động L = L*. Do đó, biên giới Pareto Ωe
là đồ thị của hàm số h được định nghĩa như sau: Đối với mỗi mức thỏa dụng của công
đoàn u ∈ [wuL0, s], h(u) = s – u, trong đó s ≡ R(L*) + (L0 – L*)wu.
Áp dụng Hệ quả 2.2, ta suy ra rằng giải pháp thương lượng Nash là πN = (s -
wuL0)/2 và uN = wuL0 + (s - wuL0)/2. Bây giờ ta suy ra cặp tiền lương-lao động (wN,
LN) gắn liền với giải pháp thương lượng Nash. Trên đây, ta đã thấy rằng ứng với giải
pháp thương lượng Nash, mức lao động LN = L*. Tiền lương wN có thể được suy ra từ
πN = R(L*) – wNL*. Sau khi thay thế πN và s, ta suy ra rằng wN = [wu + (R(L*)/L*)]/2.
Do đó, tiền lương bằng với bình quân của mức trợ cấp thất nghiệp và doanh thu bình
quân. Tuy nhiên, vì R’(L*) = wu, cho nên tiền lương bằng với bình quân của doanh
thu biên và doanh thu bình quân.
2.5.2. Tâm lý ỷ lại trong tập thể (adverse selection in team) (không dịch)
2.5.3. Hối lộ và kiểm soát tội phạm: phần mở rộng
Một giả định ngầm ẩn của ứng dụng vừa được nghiên cứu trong phần 2.3.1 là: cá nhân
C (kẻ phạm tội) chỉ có một trách nhiệm hữu hạn theo ý nghĩa là số tiền hối lộ tối đa
mà viên cảnh sát có thể thu được chỉ bằng với số tiền π đánh cắp được (nghĩa là b ≤
π), đồng thời, mức phạt khả dĩ tối đa mà chính quyền có thể áp đặt cũng chỉ bằng với
số tiền π đánh cắp được (nghĩa là v ≤ 1). Như vậy, có lẽ ta không ngạc nhiên khi thấy
rằng đối với một mức phạt bất kỳ v ≤ 1, và xác suất bị cảnh sát bắt bất kỳ ζ < 1 cá
nhân C nhận thấy việc phạm tội là có lợi (như chúng ta đã thấy trong phần 2.3.1).
Bây giờ tôi bỏ đi giả định trách nhiệm hữu hạn này, bằng cách chỉ yêu cầu
rằng khoản tiền hối lộ b ≥ 0 và mức phạt v > 0 mà thôi. Vì vậy, bây giờ tôi chấp nhận
khả năng là khoản tiền hối lộ và tiền phạt có thể vượt quá số tiền π đánh cắp được.12
Nếu hai bên có thể đạt được thỏa thuận về số tiền hối lộ b, thì số tiền C được hưởng là
π - b và số tiền P nhận được là b. Như vậy, biên giới Pareto của tập hợp các cặp độ
thỏa dụng có thể có là đồ thị của một hàm số h được định nghĩa như sau: Đối với mỗi
uC ≤ π, uP = h(uC ) = π - uC. Điểm bất đồng (dC, dP) = (π(1 – v), 0).
Áp dụng Bổ đề 2.2, lưu ý rằng u C = –∞ và u P = 0, ta suy ra rằng giải pháp
thương lượng Nash là u C = π[1 – (v/2)] và u P = πv/2. Khoản tiền hối lộ là bN = πv/2.
N N
Cho dù đây cũng là giải pháp thương lượng Nash thu được trong phần 2.3.1, nhưng
bây giờ không có giới hạn đối với v, nghĩa là nếu v > 2, thì số tiền C được hưởng có
giá trị âm. Từ những lập luận sử dụng trong phần 2.3.1, ta suy ra rằng vụ phạm tội sẽ
11
Ta giả định rằng L* ≤ L0 và R(L*) – wuL* > 0.
12
Nếu khoản tiền hối lộ b > π, thì khoản chênh lệch π - b có thể được C lấy ra từ một vài nguồn, bao
gồm của cải hiện có của C, (và của cải tương lai khả dĩ) và bằng nguồn hiện vật. Nếu số tiền nộp phạt
πv > π, thì khoản chênh lệch π(v – 1) có thể được diễn giải là một khoản tiền tương đương của một án
tù.
12 Biên dịch: Kim Chi
Hiệu đính: Tự Anh
Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright Kinh tế vi mô Giải pháp thương lượng Nash
Niên khoá 2007-2008 Bài đọc
không xảy ra nếu và chỉ nếu ζv ≥ 2. Vì vậy, đối với ζ < 1 bất kỳ, nếu tỷ lệ phạt đủ
lớn, cụ thể là nếu v > 2/ζ, thì vụ phạm tội sẽ không xảy ra. Như vậy, ngược với kết
luận đạt được trong phần 2.3.1, phân tích này đã đặt ngược lại nhận định thông
thường là nếu người ta có thể trốn được các khoản tiền phạt thông qua hối lộ thì
những khoản tiền phạt không có vai trò gì trong việc ngăn chặn tội phạm.13
13
Phân tích ở đây xem ra tương đối có vẻ hợp lý hơn so với phân tích trong phần 2.3.1.
13 Biên dịch: Kim Chi
Hiệu đính: Tự Anh
