Giải bài tập định thức
Đại số tuyến tính - Giải bài tập định thức
Đ IS TUY N TÍNH
Tài li u ôn thi cao h c năm 2005
Phiên b n đã ch nh s a
PGS. TS M Vinh Quang
Ngày 10 tháng 11 năm 2004
Bài 3 : Gi i Bài T p Đ nh Th c
1. Tính
αβγ
trong đó α, β , γ là các nghi m c a phương trình :x3 + px + q = 0
βγα
γαβ
Gi i :
Theo đ nh lí Viet ta có α + β + γ = 0
C ng c t (1), c t (2) vào c t (3) ta có:
αβγ α β α+β+γ αβ0
βγα β γ α+β+γ βγ0
= = =0
γαβ γ α α+β+γ γα0
2. Gi i phương trình
x x2 x 3
1
1 248
1 3 9 27
1 4 16 64
Gi i :
1
Khai tri n đ nh th c v trái theo dòng đ u, ta s có v trái là m t đa th c
b c 3 c a x, kí hi u là f (x). Ta có f (2) = 0 vì khi đó đ nh th c v trái có
2 dòng đ u b ng nhau. Tương t f (3) = 0, f (4) = 0. Vì f (x) là đa th c b c
3, có 3 nghi m là 2, 3, 4 nên phương trình trên có nghi m là 2, 3, 4.
3. Ch ng minh
a1 + b 1 b 1 + c 1 c 1 + a1
a2 + b 2 b 2 + c 2 c 2 + a2 =0
a3 + b 3 b 3 + c 3 c 3 + a3
Gi i :
Nhân c t (2) v i (-1), c t (3) v i 1 r i c ng vào c t (1), ta có:
2a1 b1 + c1 c1 + a1 a1 b 1 + c 1 c 1 + a1
2a2 b2 + c2 c2 + a2 = 2 a2 b 2 + c 2 c 2 + a2
VT =
2a3 b3 + c3 c3 + a3 a3 b 3 + c 3 c 3 + a3
a1 b 1 + c 1 c 1 a1 b 1 c1
(1) (2)
= =
2 a2 b 2 + c 2 c 2 2 a2 b 2 c2
a3 b 3 + c 3 c 3 a3 b 3 c3
Gi i thích:
(1) : nhân c t (1) v i (-1) c ng vào c t (3)
(2) : nhân c t (3) v i (-1) c ng vào c t (2)
4. Ch ng minh
a2 (a + 1)2 (a + 2)2 (a + 3)2
b2 (b + 1)2 (b + 2)2 (b + 3)2
=0
c2 (c + 1)2 (c + 2)2 (c + 3)2
d2 (d + 1)2 (d + 2)2 (d + 3)2
Gi i :
a2 (a + 1)2 2a + 3 6a + 9
b2 (b + 1)2 2b + 3 6b + 9 (2)
(1)
VT = =0
c2 (c + 1)2 2c + 3 6c + 9
d2 (d + 1)2 2d + 3 6d + 9
Gi i thích:
(1) : Nhân c t (1) v i (-1) c ng vào c t (4), nhân c t (2) v i (-1) c ng vào c t (3)
(2) : Đ nh th c có 2 c t t l
2
5. Tính đ nh th c
1 + a1 a2 a3 ... an
a1 1 + a2 a3 ... an
a1 a2 1 + a3 ... an
. . . .
..
. . . .
.
. . . .
a1 a2 a3 . . . 1 + an
Gi i :
1 + a1 + . . . + an a2 a3 ... an
1 + a1 + . . . + an 1 + a2 a3 ... an
(1)
1 + a1 + . . . + an a2 1 + a3 ... an
VT =
. . . .
..
. . . .
.
. . . .
1 + a1 + . . . an a2 a3 . . . 1 + an
1 + a1 + . . . + an a2 a3 . . . an
0 1 0 ... 0
(2)
0 0 1 . . . 0 = 1 + a1 + . . . + an
=
. . . .. .
. .. ..
. .. .
0 0 0 ... 1
Gi i thích:
(1): C ng các c t (2), (3),. . . , (n) vào c t (1)
(2): Nhân dòng (1) v i (-1) r i c ng vào các dòng (2), (3), . . . , (n)
6. Tính đ nh th c
0 1 1 ... 1
1 0 x ... x
1 x 0 ... x
. . . .
..
. . . .
.
. . . .
1 x x ... 0
Gi i :
V ix=0
n−1
01 1 ... 1 1 1 ... 1
x
1 −x 0 ... 0 −x 0
0 ... 0
(1) (2)
V T = 1 0 −x ... 0 = 0 −x
0 ... 0
.. . .
..
.. . . . . . .
..
.
.. . . . . . .
.
. . . .
. . . −x
10 0 . . . −x
0 0 0
3
n−1
(−x)n−1 = (−1)n−1 (n − 1)xn−2 (n ≥ 2)
=
x
Gi i thích:
(1): Nhân dòng (1) v i (-x) c ng vào dòng (2), (3), . . . , (n)
1
(2): Nhân c t (2), (3), . . . , (n) v i r i c ng t t c vào c t (1)
x
D th y khi x = 0, đáp s trên v n đúng do tính liên t c c a đ nh th c.
7. Tính đ nh th c
5 3 0 0 ... 0 0
2 5 3 0 ... 0 0
0 2 5 3 ... 0 0
Dn = . . . . . .
...
. . . . . .
. . . . . .
0 0 0 0 ... 5 3
0 0 0 0 ... 2 5
Gi i :
Khai tri n đ nh th c theo dòng đ u ta có :
2 3 0 ... 0 0
0 5 3 ... 0 0
0 2 5 ... 0 0
Dn = 5Dn−1 − 3 . . . . .
..
. . . . .
.
. . . . .
0 0 0 ... 5 3
0 0 0 ... 2 5
Ti p t c khai tri n đ nh th c theo c t (1) ta có công th c truy h i :
Dn = 5Dn−1 − 6Dn−2 (n ≥ 3)
(*)
T (*) ta có :
Dn − 2Dn−1 = 3(Dn−1 − 2Dn−2 )
Do công th c đúng v i m i n ≥ 3 nên ta có:
Dn − 2Dn−1 = 3(Dn−1 − 2Dn−2 ) = 32 (Dn−2 − 2Dn−3 ) = . . . = 3n−2 (D2 − 2D1 )
Tính toán tr c ti p ta có D2 = 19, D1 = 5 nên D2 − 2D1 = 9. B i v y ta có:
Dn − 2Dn−1 = 3n (1)
M t khác, cũng t công th c (*) ta có:
Dn − 3Dn−1 = 2(Dn−1 − 3Dn−2 )
4
Tương t như trên ta có:
Dn −3Dn−1 = 2(Dn−1 −3Dn−2 ) = 22 (Dn−2 −3Dn−3 ) = . . . = 2n−2 (D2 −3D1 ) = 2n
V y ta có:
Dn − 3Dn−1 = 2n (2)
Kh Dn−1 t trong (1) và (2) ta có:
Dn = 3n+1 − 2n+1
(B n đ c có th so sánh cách gi i bài này v i cách gi i ví d 4)
8. Tính đ nh th c
a1 x ... x
x a2 ... x
D= .. .
...
.. .
.. .
xx . . . an
Gi i :
Đ nh th c này có th tính b ng phương pháp bi u di n đ nh th c thành t ng
các đ nh th c. Trư c h t ta vi t đ nh th c dư i d ng:
a1 − x + x 0+x ... 0+x
a2 − x + x . . .
0+x 0+x
D= . . .
..
. . .
.
. . .
. . . an − x + x
0+x 0+x
(1) (2) (1) (2) (1) (2)
L n lư t tách các c t c a đ nh th c, sau n l n tách ta có đ nh th c D b ng
t ng c a 2n đ nh th c c p n. C t th i c a các đ nh th c này chính là c t
lo i (1) ho c lo i (2) c a c t th i c a đ nh th c ban đ u D. Chia 2n đ nh
th c này thành 3 d ng như sau:
D ng 1: Bao g m các đ nh th c có t 2 c t lo i (2) tr lên. Vì các c t
lo i (2) b ng nhau nên t t c các đ nh th c d ng này đ u b ng 0.
D ng 2: Bao g m các đ nh th c có đúng m t c t lo i (2), còn các c t
khác là lo i (1).
5
Gi s c t i là lo i (2). Ta có đ nh th c đó là:
a1 − x 0 ... x ... 0
a2 − x
0 ... x ... 0
Di = . . . .. .
..
. . . .
. .
. . . .
. . . x . . . an − x
0 0
↑
c ti
n
(ak − x)
x
(1) k=1
= x(a1 − x) . . . (ai−1 − x)(ai+1 − x) . . . (an − x) =
ai − x
((1) khai tri n đ nh th c theo c t i)
Có t t c n đ nh th c d ng 2 ( ng v i i = 1, 2, . . . , n) và t ng c a t t c các
đ nh th c d ng 2 là:
1 1
x(a1 − x) . . . (an − x) + ... +
a1 − x an − x
D ng 3: Bao g m các đ nh th c không có c t lo i (2), nên t t c các c t
đ u là lo i (1). Và do đó có đúng 1 đ nh th c d ng (3) là:
a1 − x 0 ... 0
a2 − x
0 ... 0
= (a1 − x) . . . (an − x)
. . .
..
. . .
.
. . .
. . . an − x
0 0
V y D b ng t ng c a t t c các đ nh th c c a 3 d ng trên và b ng:
1 1 1
x(a1 − x) . . . (an − x) + + ... +
x a1 − x an − x
9. Tính
a1 + b 1 a1 + b 2 . . . a 1 + bn
a2 + b 1 a2 + b 2 . . . a 2 + bn
=0
. . .
...
. . .
. . .
an + b 1 an + b 3 . . . an + bn
Gi i :
6
Đ nh th c này có th đư c tính b ng phương pháp bi u di n đ nh th c thành
t ng các đ nh th c v i cách gi i tương t như bài 8. Chi ti t c a cách gi i
này xin dành cho b n đ c. đây chúng tôi đưa ra m t cách tính n a d a
vào phương pháp bi u di n đ nh th c thành tích các đ nh th c. V i n ≥ 2
ta có:
a1 1 0 . . . 0 1 1 ... 1
a1 + b1 a1 + b2 . . . a1 + bn
a2 + b1 a2 + b2 . . . a2 + bn a2 1 0 . . . 0 b1 b2 . . . bn
a3 1 0 . . . 0 0 0 . . . 0
A= =
. . .
..
. . .
. . . . .. . . . .. .
. . . ... . . . .
.. ..
. . . ..
an + b1 an + b3 . . . an + bn
an 1 0 . . . 0 0 0 ... 0
B C
B i v y, ta có:
0 n u n>2
D = detA = det(BC ) = detB.detC =
(a1 − a2 )(b2 − a1 ) n u n = 2
10. Tính
cos(α1 − β1 ) cos(α1 − β2 ) . . . cos(α1 − βn )
cos(α2 − β1 ) cos(α2 − β2 ) . . . cos(α2 − βn )
. . .
...
. . .
. . .
cos(αn − β1 ) cos(αn − β2 ) . . . cos(αn − βn )
Đ tính đ nh th c này ta dùng phương pháp bi u di n đ nh th c thành tích
các đ nh th c. V i n ≥ 2 ta có:
cos(α1 − β1 ) cos(α1 − β2 ) . . . cos(α1 − βn )
cos(α2 − β1 ) cos(α2 − β2 ) . . . cos(α2 − βn )
A=
. . .
..
. . .
.
. . .
cos(αn − β1 ) cos(αn − β2 ) . . . cos(αn − βn )
cos α1 sin α1 0 . . . 0 cos β1 cos β2 . . . cos βn
cos α2 sin α2 0 . . . 0 sin β1 sin β2 . . . sin βn
= cos α3 sin α3 0 . . . 0 0 0 ... 0
. . . .. . . . .
..
. . . . . . .
.. .
. . . . . .
cos αn sin αn 0 . . . 0 0 0 ... 0
B C
B i v y ta có:
0 n u n>2
D = detA = det(BC ) = detB.detC =
sin(α2 − α1 ). sin(β2 − α1 ) n u n = 2
7
11. Tính đ nh th c c p 2n
a 0 ... 0 0 0 0 ... 0 b (1)
0 a ... 0 0 0 0 ... b 0 (2)
. . .. . . . . .. . .
. . . . . . . .
. .
. . . . . . . .
(n − 1)
0 0 ... a 0 0 b ... 0 0
0 0 ... 0 a b 0 ... 0 0 (n)
D2n =
0 0 ... 0 b a 0 ... 0 0 (n + 1)
0 0 ... b 0 0 a ... 0 0 (n + 2)
. . .. . . . . .. . .
. . . . . . . .
. .
. . . . . . . .
(2n − 1)
0 b ... 0 0 0 0 ... a 0
(2n)
b 0 ... 0 0 0 0 ... 0 a 2n×2n
Gi i :
Xét khi a = 0
b
- Nhân dòng (1) v i − c ng vào dòng (2n)
a
b
- Nhân dòng (2) v i − c ng vào dòng (2n-1)
a
.....................................................................
b
- Nhân dòng (n) v i − c ng vào dòng (n+1)
a
Ta có :
a 0 ... 0 0 0 0 ... 0 b
0 a ... 0 0 0 0 ... b 0
. . .. . . . . . .
...
. . . . . . . .
.
. . . . . . . .
0 0 ... a0 0 b ... 0 0
0 0 ... 0a b 0 ... 0 0
a − b2
2
00 ... 0 0 0 ... 0 0
= (a2 −b2 )n
D2n = a 2 2
a −b
0 0 ... b 0 0 ... 0 0
a
. . .. . . . . . .
..
. . ... . . . .
.
. . .. . . . .
a − b2
2
0 0 ... 0 0 0 0 ... 0
a
a − b2
2
0 0 ... 0 0 0 0 ... 0
a
Khi a = 0, do tính liên t c c a đ nh th c công th c trên v n đúng. V y ta
có: D2n = (a2 − b2 )n
8
Chú ý : Khai tri n đ nh th c theo dòng (1), sau đó khai tri n các đ nh th c
c p (2n − 1) v a nh n đư c theo dòng (2n − 1). Ta s có công th c truy h i:
D2n = (a2 − b2 )D2(n−1)
Do công th c trên đúng v i m i n ≥ 2 nên :
D2n = (a2 − b2 )D2(n−1) = (a2 − b2 )2 D2(n−2) = . . . = (a2 − b2 )n−1 D2 = (a2 − b2 )n
(Chi ti t c a cách làm này xin dành cho b n đ c ).
12. Tính đ nh th c c p 2n
. (1)
.
a1 0 ... 0 b1 0 ... 0
.
(2)
.
.
0 a2 . . . 0 0 b2 ... 0
.
. . .. . . . . .
..
. . . . . . .
. .
. . . . . . .
. (n)
.
0 0 . . . an 00 . . . bn
.
... ... ... ... ... ... ... ... ...
D2n =
.
. d1 0
c1 0 . . . 0 ... 0
. (n + 1)
.
. (n + 2)
0 c2 . . . 0 0 d2 ... 0
.
. . .. . . . . .
..
. . .. . . . .
.
. . . . . . .
.
0 0 . . . cn . 00 . . . dn
. (2n)
Xét khi a1 , a2 , . . . , an đ u khác 0 :
c1
- Nhân dòng (1) v i − r i c ng vào dòng (n + 1)
a1
c2
- Nhân dòng (2) v i − r i c ng vào dòng (n + 2)
a2
.............................................................................
cn
- Nhân dòng (n) v i − r i c ng vào dòng (2n)
an
9
Ta có :
.
.
a1 0 ... 0 b1 0 ... 0
.
.
.
0 a2 . . . 0 0 b2 ... 0
.
. . .. . . . . .
..
. . . . . . .
. .
. . . . . . .
.
.
0 0 . . . an 0 0 ... bn
.
... ... ... ... ... ... ... ... ...
D2n = . a1 d1 − b1 c1
.
0 0 ... 0 0 ... 0
.
a1
a2 d2 − b2 c2
.
.
0 0 ... 0 0 ... 0
.
a2
. . . . . . .
.. ..
. . . . . . .
. .
. . . . . . .
an dn − bn cn
.
.
0 0 ... 0 0 0 ...
.
an
n
= (a1 d1 − b1 c1 ) . . . (an dn − bn cn ) = (ai di − bi ci )
i=1
Khi các a1 , a2 , . . . , an b ng 0, do tính liên t c c a đ nh th c công th c trên
v n đúng.
V y ta có :
n
(ai di − bi ci )
D2n =
i=1
Chú ý : Khai tri n đ nh th c theo dòng th n, sau đó khai tri n các đ nh
th c c p 2n − 1 v a nh n đư c theo dòng (2n − 1) ta s có công th c truy
h i:
D2n = (an dn − bn cn )D2(n−1) ∀n ≥ 2
Do đó, ta có:
D2n = (an dn − bn cn )D2(n−1) = (an dn − bn cn )(an−1 dn−1 − bn−1 cn−1 )D2(n−2)
= . . . = (an dn − bn cn ) . . . (a2 d2 − b2 c2 )D1
n
(ai di − bi ci )
=
i=1
(Chi ti t c a cách này xin dành cho b n đ c )
1
1
Ngư i đánh máy : Nguy n Ng c Quyên
10
