Định luật nhiệt động I _chương 2, 3
Định luật nhiệt động I là định luật bảo toàn và biến hóa năng lượng viết cho các quá trình nhiệt động. Theo định luật bảo toàn và biến hóa năng lượng thì năng lượng toàn phần của một vật hay một hệ ở cuối quá trình luôn luôn bằng tổng đại số năng lượng toàn phần.
Ch−¬ng 2. ®Þnh luËt nhiÖt ®éng I
2.1. ph¸t biÓu ®Þnh luËt nhiÖt ®éng I
§Þnh luËt nhiÖt ®éng I lµ ®Þnh luËt b¶o toµn vµ biÕn ho¸ n¨ng l−îng viÕt cho
c¸c qu¸ tr×nh nhiÖt ®éng. Theo ®Þnh luËt b¶o toµn vµ biÕn ho¸ n¨ng l−îng th× n¨ng
l−îng toµn phÇn cña mét vËt hay mét hÖ ë cuèi qu¸ tr×nh lu«n lu«n b»ng tæng ®¹i
sè n¨ng l−îng toµn phÇn ë ®Çu qu¸ tr×nh vµ toµn bé n¨ng l−îng nhËn vµo hay nh¶
ra trong qu¸ tr×nh ®ã.
Nh− ®· xÐt ë môc 1.1.3.2. trong c¸c qu¸ tr×nh nhiÖt ®éng, khi kh«ng xÈy ra
c¸c ph¶n øng ho¸ häc vµ ph¶n øng h¹t nh©n, nghÜa lµ n¨ng l−îng ho¸ häc vµ n¨ng
l−îng h¹t nh©n kh«ng thay ®æi, khi ®ã n¨ng l−îng toµn phÇn cña vËt chÊt thay ®æi
chÝnh lµ do thay ®æi néi n¨ng U, trao ®æi nhiÖt vµ c«ng víi m«i tr−êng.
XÐt 1kg m«i chÊt, khi cÊp vµo mét l−îng nhiÖt dq th× nhiÖt ®é thay ®æi mét
l−îng dT vµ thÓ tÝch riªng thay ®æi mét l−îng dv. Khi nhiÖt ®é T thay ®æi chøng tá
néi ®éng n¨ng thay ®æi; khi thÕ tÝch v thay ®æi chøng tá néi thÕ n¨ng thay ®æi vµ
m«i chÊt thùc hiÖn mét c«ng thay ®æi thÓ tÝch, Nh− vËy khi cÊp vµo mét l−îng
nhiÖt dq th× néi n¨ng thay ®æi mét l−îng lµ du vµ trao ®æi mét c«ng lµ dl.
- §Þnh luËt nhiÖt ®éng I ph¸t biÓu: NhiÖt l−îng cÊp vµo cho hÖ mét phÇn
dïng ®Ó thay ®æi néi n¨ng, mét phÇn dïng ®Ó sinh c«ng:
dq = du + dl (2-1)
- ý nghÜa cña ®Þnh luËt nhiÖt ®éng: §Þnh luËt nhiÖt ®éng I cho phÐp ta viÕt
ph−¬ng tr×nh c©n b»ng n¨ng l−îng cho mét qu¸ tr×nh nhiÖt ®éng.
2.2. C¸c d¹ng biÓu thøc cña ®Þnh luËt nhiÖt ®éng i
§Þnh luËt nhiÖt ®éng I cã thÓ ®−îc viÕt d−íi nhiÒu d¹ng kh¸c nhau nh− sau:
Trong tr−êng hîp tæng qu¸t:
dq = du + dl (2-1)
§èi víi 1 kg m«i chÊt:
∆q = ∆u + l (2-2)
§èi víi G kg m«i chÊt:
∆Q = ∆U + L (2-3)
MÆt kh¸c theo ®Þnh nghÜa entanpi, ta cã: i = u + pv,
LÊy ®¹o hµm ta ®−îc: di = du + d(pv) hay du = di - pdv - vdp, thay vµo (2-1) vµ
chó ý dl = pdv ta cã d¹ng kh¸c cña biÓu thøc ®Þnh luËt nhiÖt ®éng I nh− sau:
dq = di - pdv - vdp + pdv
dq = di - vdp (2-4)
Hay: dq = di + dlkt (2-5)
§èi víi khÝ lý t−ëng ta lu«n cã:
du = CvdT
di = CpdT
thay gi¸ trÞ cña du vµ di vµo (2-1) vµ (2-4) ta cã d¹ng kh¸c cña biÓu thøc ®Þnh luËt
nhiÖt ®éng I :
24
dq = CvdT + pdv (2-6)
dq = CpdT - vdp (2-7)
®èi víi hÖ hë:
ω2
dlkt = dldn + d + gdh (2-8).
2
25
Ch−¬ng 3. c¸c qu¸ tr×nh nhiÖt ®éng c¬ b¶n
Cña khÝ lý t−ëng
3.1. Kh¸i niÖm
Khi hÖ c©n b»ng ë mét tr¹ng th¸i nµo ®ã th× c¸c th«ng sè tr¹ng th¸i sÏ cã
gi¸ trÞ x¸c ®Þnh. Khi m«i chÊt hoÆc hÖ trao ®æi nhiÖt hoÆc c«ng víi m«i tr−êng th×
sÏ xÈy ra sù thay ®æi tr¹ng th¸i vµ sÏ cã Ýt nhÊt mét th«ng sè tr¹ng th¸i thay ®æi,
khi ®ã ta nãi hÖ thùc hiÖn mét qu¸ tr×nh nhiÖt ®éng.
Trong thùc tÕ xÈy ra rÊt nhiÒu qu¸ tr×nh nhiÖt ®éng kh¸c nhau. Tæng qu¸t
nhÊt lµ qu¸ tr×nh ®a biÕn, cßn c¸c qu¸ tr×nh ®¼ng ¸p, ®¼ng tÝch, ®¼ng nhiÖt vµ ®o¹n
nhiÖt lµ c¸c tr−êng hîp ®Æc biÖt cña qu¸ tr×nh ®a biÕn, ®−îc gäi lµ c¸c qu¸ tr×nh
nhiÖt ®éng cã mét th«ng sè bÊt biÕn. Sau ®©y ta kh¶o s¸t c¸c qu¸ tr×nh nhiÖt ®éng
cña khÝ lý t−ëng.
3.1.1. C¬ së lÝ thuyÕt ®Ó kh¶o s¸t mét qu¸ tr×nh nhiÖt ®éng
Kh¶o s¸t mét qu¸ tr×nh nhiÖt ®éng lµ nghiªn cøu nh÷ng ®Æc tÝnh cña qu¸
tr×nh, quan hÖ gi÷a c¸c th«ng sè c¬ b¶n khi tr¹ng th¸i thay ®æi, tÝnh to¸n ®é biÕn
thiªn c¸c th«ng sè u, i, s, c«ng vµ nhiÖt trao ®æi trong qu¸ trinh, biÓu diÔn c¸c qu¸
tr×nh trªn ®å thÞ p-v vµ T-s.
§Ó kh¶o s¸t mét qu¸ tr×nh nhiÖt ®éng cña khÝ lý t−ëng ta dùa trªn nh÷ng qui
luËt c¬ b¶n sau ®©y:
- §Æc ®iÓm qu¸ tr×nh,
- Ph−¬ng tr×nh tr¹ng th¸i,
- Ph−¬ng tr×nh ®Þnh luËt nhiÖt ®éng I,
Tõ ®Æc ®iÓm qu¸ tr×nh , ta x¸c lËp ®−îc ph−¬ng tr×nh cña qu¸ tr×nh. Ph−¬ng
tr×nh tr¹ng th¸i cho phÐp x¸c ®Þnh quan hÖ gi÷a c¸c th«ng sè tr¹ng th¸i trong qu¸
tr×nh, cßn ph−¬ng tr×nh ®Þnh luËt nhiÖt ®éng I cho phÐp ta tÝnh to¸n c«ng vµ nhiÖt
l−îng trao ®æi gi÷a khÝ lý t−ëng víi m«i tr−êng vµ ®é biÕn thiªn ∆u, ∆i vµ ∆s
trong qu¸ tr×nh.
3.1.2. Néi dung kh¶o s¸t
1. §Þnh nghÜa qu¸ tr×nh vµ lËp ph−¬ng tr×nh biÓu diÔn qu¸ tr×nh f(p,v) = 0,
2. Dùa vµo ph−¬ng tr×nh tr¹ng th¸i pv = RT vµ ph−¬ng tr×nh cña qu¸ tr×nh
®Ó x¸c ®Þnh quan hÖ gi÷a c¸c th«ng sè tr¹ng th¸i c¬ b¶në tr¹ng th¸i ®Çu vµ cuèi
qu¸ tr×nh.
3. TÝnh l−îng thay ®æi néi n¨ng ∆u, entanpi ∆i vµ entropi ∆s trong qu¸
tr×nh. §èi víi khÝ lý t−ëng, trong mäi tr−êng hîp néi n¨ng vµ entanpi ®Òu ®−îc
tÝnh theo c¸c c«ng thøc:
∆u = Cv(T2 -T1) (3-1)
∆i = Cp(T2 -T1) (3-2)
26
4. TÝnh c«ng thay ®æi thÓ tÝch l, nhiÖt l−îng q trao ®æi trong qu¸ tr×nh vµ hÖ
∆u
sè biÕn ho¸ n¨ng l−îng: α = ,
q
5. BiÓu diÕn qu¸ tr×nh trªn ®å thÞ p-v , T-s vµ nhËn xÐt.
3.2. c¸c qu¸ tr×nh cã mét th«ng sè bÊt biÕn
3.2.1. Qu¸ tr×nh ®¼ng tÝch
* §Þnh nghÜa:
Qu¸ tr×nh ®¼ng tÝch lµ qu¸ tr×nh nhiÖt ®éng ®−îc tiÕn hµnh trong ®iÒu kiÖn
thÓ tÝch kh«ng ®æi.
v = const, dv = 0.
VÝ dô: lµm l¹nh hoÆc ®èt nãng khÝ trong b×nh kÝn cã thÓ tÝch kh«ng thay ®æi.
* Quan hÖ gi÷a c¸c th«ng sè:
p R
Tõ ph−¬ng tr×nh tr¹ng th¸i cña khÝ lý t−ëng pv = RT, ta cã: = ,
T v
mµ R = const vµ v = const, do ®ã suy ra:
p R
= = const (3-3)
T v
p1 p 2
hay: = (3-4)
T1 T2
C«ng thøc (3-4) chøng tá trong qu¸ tr×nh ®¼ng tÝch, ¸p suÊt thay ®æi tØ lÖ
thuËn víi nhiÖt ®é hoÆc cã thÓ viÕt:
p1 T1
= (3-5)
p 2 T2
* C«ng thay ®æi thÓ tich:
V× qu¸ tr×nh ®¼ng tÝch cã v = const, nghÜa lµ dv = 0, do ®ã c«ng thay ®æi thÓ
tÝch cña qu¸ tr×nh:
2
L = ∫ pdv = 0 (3-6)
1
* NhiÖt l−îng trao ®æi víi m«i tr−êng:
Theo ®Þnh luËt nhiÖt ®éng I ta cã: q = l + ∆u, mµ l = 0 nªn:
q = ∆u = Cv (T2 - T1) (3-7)
* BiÕn thiªn entropi:
§é biÕn thiªn entr«pi cña qu¸ tr×nh ®−îc x¸c ®Þnh b»ng biÓu thøc:
dq
ds =
T
mµ theo (3-7) ta cã q = ∆u hay dq = du, do ®ã cã thÓ viÕt:
dq C v dT
ds = = (3-8)
T T
lÊy tÝch ph©n ta cã:
27
2
C v dT
∆s = s 2 − s 1 = ∫ (3-9a)
1 T
hay:
T2 p
∆s = C v ln = C v ln 2 (3-9b)
T1 p1
* HÖ sè biÕn ®æi n¨ng l−îng cña qu¸ tr×nh:
∆u
α= =l (3-10)
q
Nh− vËy trong qu¸ tr×nh ®¼ng tÝch, nhiÖt l−îng tham gia vµo qu¸ tr×nh chØ
®Ó lµm thay ®æi néi n¨ng cña chÊt khÝ.
* BiÓu diÔn trªn ®å thÞ:
Tr¹ng th¸i nhiÖt ®éng cña m«i chÊt hoµn toµn x¸c ®Þnh khi biÕt hai th«ng sè
®éc lËp bÊt kú cña nã. Bëi vËy ta cã thÓ chän hai th«ng sè ®éc lËp nµo ®ã ®Ó lËp ra
®å thÞ biÓu diÔn tr¹ng th¸i cña m«i chÊt, ®å thÞ ®ã ®−îc gäi lµ ®å thÞ tr¹ng th¸i.
Qu¸ tr×nh ®¼ng tÝch ®−îc biÓu thÞ b»ng ®o¹n th¼ng ®øng 1-2 trªn ®å thÞ p-v (h×nh
3.1a) vµ ®−êng cong l«garit trªn ®å thÞ T-s (h×nh 3.1b). DiÖn tÝch 12p2p1 trªn ®å thÞ
p-v biÓu diÔn c«ng kü thuËt, cßn diÖn tÝch 12s2s1 trªn ®å thÞ T-s biÓu diÔn nhiÖt
l−îng trao ®æi trong qu¸ tr×nh ®¼ng tich.
3.2.2. Qu¸ tr×nh ®¼ng ¸p
* §Þnh nghÜa:
Qu¸ tr×nh ®¼ng ¸p lµ qu¸ tr×nh nhiÖt ®éng ®−îc tiÕn hµnh trong ®iÒu kiÖn ¸p
suÊt kh«ng ®æi.
p = const, dp = 0. (3-11)
* Quan hÖ gi÷a c¸c th«ng sè:
v R
Tõ ph−¬ng tr×nh tr¹ng th¸i cña khÝ lý t−ëng pv = RT, ta cã: = ,
T p
mµ R = const vµ p = const, do ®ã suy ra:
28
v R
= = const (3-12)
T p
nghÜa lµ trong qu¸ tr×nh ®¼ng ¸p, thÓ tÝch thay ®æi tØ lÖ thuËn víi nhiÖt ®é hoÆc:
v1 v 2 v T
= hay 1 = 1 (3-13)
T1 T2 v 2 T2
* C«ng thay ®æi thÓ tich cña qu¸ tr×nh:
V× qu¸ tr×nh ®¼ng ¸p cã p = const, nªn c«ng thay ®æi thÓ tÝch:
2
l = ∫ pdv = p(v2 - v1) = R(T2 - T1) (3-14)
1
* C«ng kü thuËt cña qu¸ tr×nh:
2
lkt = ∫ − vdp = 0 v× dp = 0, (3-15)
1
* NhiÖt l−îng trao ®æi víi m«i tr−êng:
Theo ®Þnh luËt nhiÖt ®éng I ta cã: q = ∆i + lkt , mµ lkt = 0 nªn:
q = ∆i = Cp (T2 - T1) (3-16)
* BiÕn thiªn entropi:
§é biÕn thiªn entr«pi cña qu¸ tr×nh ®−îc x¸c ®Þnh b»ng biÓu thøc:
dq di
dq = di - vdp = di (v× dp = 0), do ®ã ta cã ds = =
T T
lÊy tÝch ph©n ta cã:
2
dq 2 C p dT T v
∆s = ∫ =∫ = C p ln 2 = C p ln 2 (3-17)
1 T 1 T T1 v1
* HÖ sè biÕn ®æi n¨ng l−îng cña qu¸ tr×nh:
∆u C v (T2 − T1 ) 1
α= = = (3-18)
q C p (T2 − T1 ) k
* BiÓu diÔnqu¸ tr×nh trªn ®å thÞ:
29
Qu¸ tr×nh ®¼ng ¸p ®−îc biÓu thÞ b»ng ®o¹n th¼ng n»m ngang 1-2 trªn ®å thÞ
p-v (h×nh 3.2a) vµ ®−êng cong l«garit 1-2 trªn ®å thÞ T-s (h×nh 3.2b). DiÖn tÝch
12v2v1 trªn ®å thÞ p-v biÓu diÔn c«ng thay ®æi thÓ tÝch, cßn diÖn tÝch 12s2s1 trªn ®å
thÞ T-s biÓu diÔn nhiÖt l−îng trao ®æi trong qu¸ tr×nh ®¼ng ¸p.
§Ó so s¸nh ®é dèc cña ®−êng ®¼ng tÝch vµ ®−êng ®¼ng ¸p trªn ®« thÞ p-v, ta
C dT C p dT
dùa vµo quan hÖ: ds v = v vµ ds p = , tõ ®ã suy ra:
T T
⎛ dT ⎞ T ⎛ dT ⎞ T
⎜ ⎟ = >⎜ ⎟ = v× Cp > Cv
⎝ ds ⎠ v C v ⎝ ds ⎠ p C p
tõ ®ã ta thÊy: trªn ®å thÞ T-s, ®−êng cong ®¼ng tÝch dèc h¬n ®−êng cong ®¼ng ¸p.
3.2.3. Qu¸ tr×nh ®¼ng nhiÖt
* §Þnh nghÜa:
Qu¸ tr×nh ®¼ng nhiÖt lµ qu¸ tr×nh nhiÖt ®éng ®−îc tiÕn hµnh trong ®iÒu kiÖn
nhiÖt ®é kh«ng ®æi.
T = const, dt = 0. (3-19)
* Quan hÖ gi÷a c¸c th«ng sè:
Tõ ph−¬ng tr×nh tr¹ng th¸i cña khÝ lý t−ëng pv = RT, mµ R = const vµ
T = const, do ®ã suy ra:
pv = RT = const (3-20)
hay: p1v1 = p2v2 (3-21)
nghÜa lµ trong qu¸ tr×nh ®¼ng nhiÖt, thÓ tÝch thay ®æi tØ lÖ nghÞch víi ¸p suÊt, suy
p1 v 2
ra: = (3-22)
p 2 v1
* C«ng thay ®æi thÓ tich cña qu¸ tr×nh:
V× qu¸ tr×nh ®¼ng nhiÖt cã T = const, nªn c«ng thay ®æi thÓ tÝch:
2 V
2
dv v
l = ∫ pdv = ∫ RT = RT ln 2 (3-23)
1 1 V v v1
v v v
l = RT ln 2 = p1v1 ln 2 =p2v2 ln 2 (3-24)
v1 v1 v1
hay:
p p p
l = RT ln 1 = p1v1 ln 1 =p2v2 ln 1 (3-25)
p2 p2 p2
* C«ng kü thuËt cña qu¸ tr×nh:
2 P
2
dp p v
lkt = ∫ − vdp = - ∫ RT = RT ln 1 = RT ln 2 = l , (2-26)
1 1 P p p2 v1
Trong qu¸ tr×nh ®¼ng nhiÖt c«ng thay ®æi thÓ tÝch b»ng c«ng kü thuËt.
* NhiÖt l−îng trao ®æi víi m«i tr−êng:
30
L−îng nhiÖt tham gia vµo qu¸ tr×nh ®−îc x¸c ®Þnh theo ®Þnh luËt nhiÖt ®éng
I lµ: dq = du + dl = di + dlkt , mµ trong qu¸ tr×nh ®¼ng nhiÖt dT = 0 nªn du = 0 vµ
di = 0, do ®ã cã thÓ viÕt:
dq = dl = dlkt hoÆc q = l = l kt. (3-27)
Hay:
p v
q= RT ln 1 = RT ln 2 (3-28)
p2 v1
hoÆc cã thÓ tÝnh: dq = Tds
hay: q= T(s2 - s1) (3-29)
* BiÕn thiªn entropi cña qu¸ tr×nh:
§é biÕn thiªn entr«pi cña qu¸ tr×nh ®−îc x¸c ®Þnh b»ng biÓu thøc:
dq du + dl dl pdv
ds = = = = (3-30)
T T T T
p R
mµ theo ph−¬ng tr×nh tr¹ng th¸i ta cã: = , thay vµo (3-30) ta ®−îc:
T v
dv
ds = R (3-31)
v
lÊy tÝch ph©n (3-31) ta ®−îc ®é biÕn thiªn entropi trong qu¸ tr×nh ®¼ng nhiÖt:
2
dq 2 dv v p
∆s = ∫ = ∫R = R ln 2 = R ln 1 (3-32)
1 T 1 v v1 p2
* HÖ sè biÕn ®æi n¨ng l−îng cña qu¸ tr×nh:
V× T1 = T2 nªn ∆u = 0, do ®ã:
∆u
α= =0 (3-33)
q
* BiÓu diÔn qu¸ tr×nh trªn ®å thÞ:
Qu¸ tr×nh ®¼ng nhiÖt ®−îc biÓu thÞ b»ng ®−êng cong hypecb«n c©n 1-2
trªn ®å thÞ p-v (h×nh 3.3a) vµ ®−êng th¼ng n¨m ngang 1-2 trªn ®å thÞ T-s (h×nh
3.3b). Trªn ®å thÞ p-v, diÖn tÝch 12p2p1 biÓu diÔn c«ng kü thuËt, cßn diÖn tÝch
31
12v2v1 biÓu diÔn c«ng thay ®æi thÓ tÝch. Trªn ®å thÞ T-s diÖn tÝch 12s2s1 biÓu diÔn
nhiÖt l−îng trao ®æi trong qu¸ tr×nh ®¼ng nhiÖt.
3.2.4. Qu¸ tr×nh ®o¹n nhiÖt
* §Þnh nghÜa:
Qu¸ tr×nh ®o¹n nhiÖt lµ qu¸ tr×nh nhiÖt ®éng ®−îc tiÕn hµnh trong ®iÒu kiÖn
kh«ng trao ®æi nhiÖt víi m«i tr−êng.
q = 0 hay dq = 0. (3-34)
* Ph−¬ng tr×nh cña qu¸ tr×nh:
Tõ c¸c d¹ng cña ph−¬ng tr×nh ®Þnh luËt nhiÖt ®éng I ta cã:
dq = CpdT - vdp = 0
dq = CvdT + pdv = 0
suy ra:
CpdT = vdp (3-35)
CvdT = -pdv (3-36)
Chia (3-35) cho (3-36) ta ®−îc:
Cp vdp
=− =k (3-37)
Cv pdv
dp dv
hay: +k =0 (3-38)
p v
LÊy tÝch ph©n hai vÕ (3-38) ta ®−îc:
lnp + k.lnv = const
Hay: pvk = const (3-39)
BiÓu thøc (3-39) lµ ph−¬ng tr×nh cña qu¸ tr×nh ®o¹n nhiÖt, k lµ sè mò ®o¹n
nhiÖt.
* Quan hÖ gi÷a c¸c th«ng sè:
Tõ (3-39) ta cã:
p1 v1 = p 2 v k
k
2
hay:
k
p1 ⎛ v 2 ⎞
=⎜ ⎟ (3-40)
p 2 ⎜ v1 ⎟
⎝ ⎠
RT
Tõ ph−¬ng tr×nh tr¹ng th¸i ta cã: p = , thay vµo (3-40) ta ®−îc:
v
k k −1
RT1 v 2 ⎛v ⎞ T ⎛v ⎞
. =⎜ 2⎟ ⇒ 1 =⎜ 2⎟ (3-41)
v 1 RT2 ⎜ v 1 ⎟
⎝ ⎠ T2 ⎜ v 1 ⎟
⎝ ⎠
Tõ (3-40) vµ (3-41) ta suy ra:
k −1
T1 ⎛ p 1 ⎞ k
=⎜ ⎟ (3-42)
T2 ⎜ p 2 ⎟
⎝ ⎠
32
* C«ng thay ®æi thÓ tich cña qu¸ tr×nh:
Cã thÓ tÝnh c«ng thay ®æi thÓ tÝch theo ®Þnh luËt nhiÖt ®éng I:
q = ∆u + l = 0
suy ra:
l = ∆u = Cv (T1 - T2) (3-43)
hoÆc còng cã thÓ tÝnh c«ng thay ®æi thÓ tÝch theo ®Þnh nghÜa: dl = pdv,
2
l = ∫ pdv (3-44)
1
k
p1 v1
Tõ (3-39) ta cã: p 1 v 1 = pv k , suy ra: p =
k
, thay gi¸ trÞ cña p vµo biÓu
vk
thøc (3-44) ta ®−îc c«ng thay ®æi thÓ tich:
2
dv
l = p1 v1 ∫ k
k
(3-45)
1 v
LÊy tÝch ph©n (3-45) vµ l−u ý r»ng: p 1 v 1 = p 2 v k , ta x¸c ®Þnh ®−îc c«ng thay ®æi
k
2
thÓ tÝch cña qu¸ tr×nh ®o¹n nhiÖt theo c¸c d¹ng kh¸c nhau lµ:
l = p1 v1
k 1
[v11−k − v12−k ] (3-46a)
k −1
l=
1
[p1 v1 − p 2 v 2 ] (3-46b)
k −1
l=
R
[T1 − T2 ] (3-46c)
k −1
RT1 ⎡ T2 ⎤
l= ⎢1 − ⎥ (3-46d)
k − 1 ⎣ T1 ⎦
RT1 ⎡ ⎛ v 1 ⎤ k −1
⎞
l= ⎢1 − ⎜ ⎟ ⎥ (3-46e)
k −1 ⎢ ⎜ v2
⎣ ⎝
⎟
⎠ ⎥
⎦
⎡ k −1
⎤
RT1 ⎢ ⎛ p 2 ⎞ k ⎥
l= 1− ⎜ ⎟ (3-46g)
k − 1 ⎢ ⎜ p1 ⎟ ⎥
⎝ ⎠ ⎥
⎢
⎣ ⎦
Tï c«ng thøc (3-37) ta cã:
vdp dl kt
k=− = (3-47)
pdv dl
Tõ ®ã suy ra quan hÖ gi÷a c«ng thay ®æi thÓ tÝch vµ c«ng kü thu©t trong qu¸
tr×nh ®o¹n nhiÖt lµ:
lkt = k.l (3-48)
* BiÕn thiªn entropi cña qu¸ tr×nh:
§é biÕn thiªn entr«pi cña qu¸ tr×nh ®o¹n nhiÖt:
33
dq
ds = = 0 hay s1 = s2, (3-49)
T
nghÜa lµ trong qu¸ tr×nh ®o¹n nhiÖt entropi kh«ng thay ®æi.
* HÖ sè biÕn ®æi n¨ng l−îng cña qu¸ tr×nh:
V× q = 0 nªn:
∆u
α= =∝ (3-50)
q
* BiÓu diÔn qu¸ tr×nh trªn ®å thÞ:
Qu¸ tr×nh ®o¹n nhiÖt ®−îc biÓu thÞ b»ng ®−êng cong hypecb«n 1-2 trªn ®å
thÞ p-v (h×nh 3.4a) vµ ®−êng th¼ng ®øng 1-2 trªn ®å thÞ T-s (h×nh 3.4b). Trªn ®å thÞ
p-v, diÖn tÝch 12p2p1 biÓu diÔn c«ng kü thuËt, cßn diÖn tÝch 12v2v1 biÓu diÔn c«ng
thay ®æi thÓ tÝch, ®−êng biÓu diÔn qu¸ tr×nh ®o¹n nhiÖt dèc h¬n ®−êng ®¼ng nhiÖt
v× lkt = kl mµ k > 1.
3.3. Qu¸ tr×nh ®a biÕn
* §Þnh nghÜa:
Qu¸ tr×nh ®a biÕn lµ qu¸ tr×nh nhiÖt ®éng xÈy ra trong ®iÒu kiÖn nhiÖt dung
riªng cña qu¸ tr×nh kh«ng ®æi.
Cn = const (3-51)
Trong qu¸ tr×nh ®a biÕn, mäi th«ng sè tr¹ng th¸i ®Òu cã thÓ thay ®æi vµ hÖ
cã thÓ trao ®æi nhiÖt vµ c«ng víi m«i tr−êng.
* Ph−¬ng tr×nh cña qu¸ tr×nh:
§Ó x©y dùng ph−¬ng tr×nh cña qu¸ tr×nh ®a biÕn ta sö dông c¸c d¹ng c«ng
thøc cña ®Þnh luËt nhiÖt ®éng I vµ chó ý r»ng nhiÖt l−îng trao ®æi trong qu¸ tr×nh
®a biÕn cã thÓ tÝnh theo nhiÖt dung riªng ®a biÕ lµ dq = Cn dT, ta cã:
dq = CpdT - vdp = Cn dT, (a)
dq = CvdT + pdv = Cn dT, (b)
34
Tõ ®ã suy ra:
(Cn - Cp)dT = -vdp (c)
(Cn - Cv)dT = pdv (d)
Chia vÕ theo vÕ ph−¬ng tr×nh (c) cho (d) ta ®−îc:
Cn − Cp vdp
=− (3-52)
Cn − Cv pdv
ký hiÖu:
Cn − Cp
n= (3-53)
Cn − Cv
Ta thÊy n lµ mét h»ng sè v× Cn, Cp vµ Cv ®Òu lµ h»ng sè. Tõ (3-52) vµ (3-53) ta cã:
− vdp
n= (3-54)
pdv
hay npdv + vdp = 0, chia hai vÕ cña ph−¬ng tr×nh cho pv ta ®−îc:
dp dv
+n =0
p v
LÊy tÝch ph©n hai vÕ (3-55) ta ®−îc:
n.lnv + lnp = const
TiÕp tôc biÕn ®æi ta ®−îc ph−¬ng tr×nh cña qu¸ tr×nh ®a biÕn:
pvn = const (3-55)
trong ®ã n lµ sè mò ®a biÖn.
So s¸nh biÓu thøc (3-39) víi (3-55) ta thÊy: ph−¬ng tr×nh cña qu¸ tr×nh ®a
biÕn gièng hÖt nh− d¹ng ph−¬ng tr×nh cña qu¸ tr×nh ®o¹n nhiÖt. Tõ ®ã b»ng c¸c
biÕn ®æi t−¬ng tù nh− khi kh¶o sat qu¸ tr×nh ®o¹n nhiÖt vµ chó y thay sè mò ®o¹n
nhiÖt k b»ng sè mò ®a biÕn n, ta ®−îc c¸c biÓu thøc cña qu¸ tr×nh ®a biÕn nh− sau:.
* Quan hÖ gi÷a c¸c th«ng sè:
Tõ (3-55) ta cã:
p1 v1 = p 2 v n
n
2
hay:
n
p1 ⎛ v 2 ⎞
=⎜ ⎟ (3-56)
p 2 ⎜ v1 ⎟
⎝ ⎠
RT
Tõ ph−¬ng tr×nh tr¹ng th¸i ta cã: p = , thay vµo (3-40) ta ®−îc:
v
n n −1
RT1 v 2 ⎛v ⎞ T ⎛v ⎞
. =⎜ 2⎟ ⇒ 1 =⎜ 2⎟ (3-57
v 1 RT2 ⎜ v 1 ⎟
⎝ ⎠ T2 ⎜ v 1 ⎟
⎝ ⎠
n −1
T1 ⎛ p 1 ⎞ n
=⎜ ⎟ (3-58)
T2 ⎜ p 2 ⎟
⎝ ⎠
* C«ng thay ®æi thÓ tich cña qu¸ tr×nh:
Cã thÓ tÝnh c«ng thay ®æi thÓ tÝch theo ®Þnh luËt nhiÖt ®éng I, hoÆc còng cã
thÓ tÝnh theo ®Þnh nghÜa dl = pdv, t−¬ng tô nh− ë qu¸ tr×nh ®o¹n nhiÖt:
35
2
l = ∫ pdv (3-59
1
l=
1
[p1 v1 − p 2 v 2 ] (3-60)
n −1
RT1 ⎡ ⎛ v 1 ⎞ ⎤
n −1
l= ⎢1 − ⎜ ⎟ ⎥ (3-61
n −1 ⎢ ⎜ v2 ⎟ ⎥
⎣ ⎝ ⎠ ⎦
⎡ n −1
⎤
RT1 ⎢ ⎛ p 2 ⎞ n ⎥
l= 1− ⎜ ⎟ (-62)
n − 1 ⎢ ⎜ p1 ⎟ ⎥
⎝ ⎠ ⎥
⎢
⎣ ⎦
RT1 ⎡ T2 ⎤
l= ⎢1 − ⎥ (3-63)
n − 1 ⎣ T1 ⎦
* C«ng kü thuËt cña qu¸ tr×nh:
Tõ biÓu thøc:
vdp dl kt
n=− =
pdv dl
ta suy ra quan hÖ gi÷a c«ng kü thuËt vµ c«ng thay ®æi thÓ tÝch trong qu¸ tr×nh ®a
biÕn lµ:
lkt = n.l (3-64)
* NhiÖt l−îng trao ®æi víi m«i tr−êng:
L−îng nhiÖt trao ®æi víi m«i tr−êng cña qu¸ tr×nh ®−îc x¸c ®Þnh theo nhiÖt
dung riªng ®a biÕn:
dq = CndT
hoÆc:
q = Cn(T2 - T1) (3-65)
Tõ (3-53) ta cã:
(Cn - Cp) = n(Cn - Cv)
hay: Cn(n - 1) = Cv(n - k), tõ ®ã suy ra nhiÖt dung riªng ®a biÕn b»ng:
n−k
Cn = Cv (3-66)
n −1
Thay vµo (3-55) ta ®−îc nhiÖt l−îng trao ®æi trong qu¸ tr×nh ®a biÕn b»ng:
n−k
q = Cv (T2 - T1) (3-67)
n −1
TÝnh cho khèi G kg khÝ:
Q = GCn(T2 - T1) (3-68)
* BiÕn thiªn entropi cña qu¸ tr×nh:
§é biÕn thiªn entr«pi cña qu¸ tr×nh ®o¹n nhiÖt:
dq C dT
Tõ biÓu thøc: ds = , thay gi¸ trÞ dq = CndT vµo ta cã: ds = n
T T
vµ lÊy tÝch ph©n ta ®−îc:
36
T2
∆s = C n ln (3-69)
T1
hoÆc thay gi¸ trÞ dq = CvdT + pdv vµo ta ®−îc:
dT pdv dT dv
ds = C v + = Cv +R (3-70)
T T T v
T v
∆s = C v ln 2 + R ln 2 (3-71)
T1 v1
HoÆc thay gi¸ trÞ (dq = CpdT - vdp) vµo ta ®−îc:
dT dp dT dp
ds = C p −v = Cp +R (3-72)
T T T p
T p
∆s = C p ln 2 − R ln 2 (3-73)
T1 p1
HoÆc cã thÓ tÝnh c¸ch kh¸c:
Tõ ph−¬ng tr×nh tr¹ng th¸i pv = RT, lÊy vi ph©n ta ®−îc:
pdv + vdp = RdT (3-74)
chia vÕ theo vÕ cho ph−¬ng tr×nh tr¹ng th¸i ta ®−îc:
dv dp dT
+ = vµ thay vµo (3-72) ta ®−îc:
v p T
⎛ dv dp ⎞ dp dv dp
ds = C p ⎜ + ⎟ − R
⎜ v ⎟ = Cp + Cv (3-75)
⎝ p ⎠ p v p
v p
∆s = C p ln 2 − C v ln 2 (3-76)
v1 p1
* TÝnh sè mò ®a biÕn:
dp
vdp p
n= − suy ra: n = −
pdv dv
v
lÊy tÝch ph©n ta ®−îc:
p
ln 2
p1
n=− (3-77)
v2
ln
v1
HoÆc cã thÓ c¸ch kh¸c theo q, l, k. Tõ quan hÖ (3-63) vµ (3-67) ta cã:
l=
R
[T1 − T2 ] (3-78a)
n −1
n−k
vµ q = Cv [T2 − T1 ] (3-78b)
n −1
37
MÆt kh¸c ta l¹i cã: R = Cp - Cv = Cv(k - 1), thay gi¸ trÞ cña R vµo c«ng thøc (3-78a)
vµ ®Ó ý (3-78b0 ta cã:
k −1
l = Cv [T1 − T2 ] = C v n − k . 1 − k [T2 − T1 ] = q. 1 − k
n −1 n −1 n − k n−k
q
hay: (1 − k ) = n − k
l
tõ ®ã suy ra:
q
n = (1 − k ) + k (3-79)
l
* HÖ sè biÕn ®æi n¨ng l−îng cña qu¸ tr×nh:
∆u C v (T2 − T1 ) n −1
α= = = (3-80)
n−k n−k
q
Cv (T2 − T1 )
n −1
* TÝnh tæng qu¸t cña qu¸ tr×nh:
Qu¸ tr×nh ®a biÕn lµ qu¸ tr×nh tæng qu¸t víi sè mò ®a biÕn n = -∞ ÷ +∞, c¸c
qu¸ tr×nh nhiÖt ®éng c¬ b¶n cßn l¹i chØ lµ c¸c tr−êng hîp riªng cña nã. ThËt vËy, tõ
ph−¬ng tr×nh pvn = const ta thÊy:
Khi n = 0, ph−¬ng tr×nh cña qu¸ tr×nh lµ pv0 = const, hay p = const víi nhiÖt
dung riªng Cn = Cp, qu¸ tr×nh lµ ®¼ng ¸p.
Khi n = 1, ph−¬ng tr×nh cña qu¸ tr×nh lµ pv1 = const, hay T = const víi nhiÖt
dung riªng CT = ±∞, qu¸ tr×nh lµ ®¼ng nhiÖt.
Khi n = k, ph−¬ng tr×nh cña qu¸ tr×nh lµ pvk = const, hay q = 0 víi nhiÖt
dung riªng Cn = 0, qu¸ tr×nh lµ ®o¹n nhiÖt.
Khi n = ±∞, ph−¬ng tr×nh cña qu¸ tr×nh lµ pv±∝ = const, hay v = const víi
nhiÖt dung riªng Cn = Cv, qu¸ tr×nh lµ ®¼ng tÝch.
Nh− vËy c¸c qu¸ tr×nh ®o¹n nhiÖt (C = 0), ®¼ng nhiÖt (C = ±∞), ®¼ng tÝch (C
= Cv), ®¼ng ¸p (C = Cp) lµ c¸c tr−êng hîp riªng cña qu¸ tr×nh ®a biÕn.
* BiÓu diÔn qu¸ tr×nh trªn ®å thÞ:
38
Qu¸ tr×nh ®a biÕn 1-2 bÊt kú víi n = -∞ ÷ +∞ ®−îc biÓu diÔn trªn ®å thÞ p-v
vµ T-s h×nh 3.6. Sè mò ®a biÕn thay ®æi tõ -∝ theo chiÒu kim ®ång hå t¨ng dÇn lªn
®Õn 0, 1 råi k (k > 0) vµ cuèi cïng b»ng +∞.
Trªn ®å thÞ p-v, ®−êng cong biÓu diÔn qu¸ tr×nh ®a biÕn dèc h¬n ®−êng
cong cña qu¸ tr×nh, v× qu¸ tr×nh ®¼ng nhiÖt cã n = 1, cßn qu¸ tr×nh ®o¹n nhiÖt cã n
= k, ( k > 1).
* Kh¶o s¸t dÊu cña ∆u, q theo sè mò n:
Dùa vµo ®å thÞ p-v vµ T-s cña qu¸ tr×nh ®a biÕn ta cã thÓ xÐt dÊu cña biÕn
thiªn néi n¨ng, c«ng thay ®æi thÓ tÝch vµ nhiÖt l−îng trao ®æi trong c¸c qu¸ tr×nh:
Khi nhiÖt ®é t¨ng, biÕn ®æi néi n¨ng sÏ mang dÊu d−¬ng. VËy ∆uAB > 0 khi
qu¸ tr×nh xÈy ra n»m phÝa trªn ®−êng ®¼ng nhiÖt vµ ng−îc l¹i.
Khi thÓ tÝch t¨ng, c«ng mang dÊu d−¬ng. VËy lAB > 0 khi qu¸ tr×nh xÈy ra
n»m phÝa bªn ph¶i ®−êng ®¼ng tÝch vµ ng−îc l¹i.
Khi entropi t¨ng, nhiÖt l−îng trao ®æi cña qu¸ tr×nh sÏ mang dÊu d−¬ng vµ
ng−îc l¹i. VËy qAB > 0 khi qu¸ tr×nh xÈy ra n»m phÝa trªn ®−êng ®o¹n nhiÖt vµ
ng−îc l¹i.
Vïng Sè mò n n−k v t¨ng v gi¶m
C= Cn
n −1 ∆u q ∆u Q
A 0
