Đề thi và đáp án Toán khối D năm 2009
Mời các bạn thí sinh xem đáp án và gợi ý giải đề thi môn Toán trong kỳ thi tuyển sinh ĐH khối D năm 2009 (những gợi ý này chỉ có tính chất tham khảo).
ÐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2009
Môn thi: Toán (khối D)
(Thời gian làm bài: 180 phút)
PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH
Câu I (2,0 điểm).
Cho hàm số y = x4 – (3m + 2)x2 + 3m có đồ thị là (Cm), m là tham số.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m = 0.
2. Tìm m để đường thẳng y = -1 cắt đồ thị (Cm) tại 4 điểm phân biệt đều có hoành độ nhỏ hơn
2.
Câu II (2,0 điểm)
1. Giải phương trình 3 cos5x 2sin 3x cos 2x sin x 0
x(x y 1) 3 0
2. Giải hệ phương trình 5 (x, y R)
(x y)2 2 1 0
x
3
dx
Câu III (1,0 điểm). Tính tích phân I x
1
e 1
Câu IV (1,0 điểm). Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B,
AB = a, AA’ = 2a, A’C = 3a. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng A’C’, I là giao điểm của
AM và A’C. Tính theo a thể tích khối tứ diện IABC và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng
(IBC).
Câu V (1,0 điểm).Cho các số thực không âm x, y thay đổi và thỏa mãn x + y = 1. Tìm giá trị lớn
nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = (4x2 + 3y)(4y2 + 3x) + 25xy.
PHẦN RIÊNG (3,0 điểm)
Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B)
A. Theo chương trình Chuẩn
Câu VI.a (2,0 điểm)
1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có M (2; 0) là trung điểm của
cạnh AB. Đường trung tuyến và đường cao qua đỉnh A lần lượt có phương trình là 7x – 2y
– 3 = 0 và 6x – y – 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng AC.
2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A (2; 1; 0), B(1;2;2), C(1;1;0) và mặt
phẳng (P): x + y + z – 20 = 0. Xác định tọa độ điểm D thuộc đường thẳng AB sao cho
đường thẳng CD song song với mặt phẳng (P).
Câu VII.a (1,0 điểm). Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z
thỏa mãn điều kiện z – (3 – 4i)= 2.
B. Theo chương trình Nâng cao
Câu VI.b (2,0 điểm)
1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) : (x – 1)2 + y2 = 1. Gọi I là tâm của
(C). Xác định tọa độ điểm M thuộc (C) sao cho IMO = 300.
x2 y2 z
2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng : và mặt phẳng
1 1 1
(P): x + 2y – 3z + 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (P) sao cho d cắt và
vuông góc với đường thẳng .
Câu VII.b (1,0 điểm)
x2 x 1
Tìm các giá trị của tham số m để đường thẳng y = -2x + m cắt đồ thị hàm số y tại
x
hai điểm phân biệt A, B sao cho trung điểm của đoạn thẳng AB thuộc trục tung.
-----------------------------
BÀI GIẢI GỢI Ý
Câu I. 1. m = 0, y = x4 – 2x2 . TXĐ : D = R
3
y’ = 4x – 4x; y’ = 0 x = 0 x = 1; lim
x
x 1 0 1 +
y' 0 + 0 0 +
y + 0 + y
1 CĐ 1
CT CT
y đồng biến trên (-1; 0); (1; +)
y nghịch biến trên (-; -1); (0; 1)
y đạt cực đại bằng 0 tại x = 0 1 0 1
y đạt cực tiểu bằng -1 tại x = 1 x
Giao điểm của đồ thị với trục tung là (0; 0) 1
Giao điểm của đồ thị với trục hoành là (0; 0); ( 2 ;0)
2. Phương trình hoành độ giao điểm của (Cm) và đường thẳng y = -1 là
x4 – (3m + 2)x2 + 3m = -1
x4 – (3m + 2)x2 + 3m + 1 = 0 x = 1 hay x2 = 3m + 1 (*)
Đường thẳng y = -1 cắt (Cm) tại 4 điểm phân biệt có hoành độ nhỏ hơn 2 khi và chỉ khi
phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác 1 và < 2
1
0 3m 1 4 m 1
3
3m 1 1 m 0
Câu II. 1) Phương trình tương đương :
3 cos5x (sin 5x sin x) sin x 0 3 cos5x sin 5x 2 sin x
3 1
cos5x sin 5x sin x sin 5x sin x
2 2 3
5x x k2 hay 5x x k2
3 3
2
6x k2 hay 4x k2 k2
3 3 3
x k hay x k (k Z).
18 3 6 2
2) Hệ phương trình tương đương :
x(x y 1) 3
x(x y) x 3
2 5 2 2 2
ĐK : x ≠ 0
(x y) 1 2 x (x y) x 5
x
Đặt t=x(x + y). Hệ trở thành:
tx 3 tx3
t x 3 t 1 x 1
2 2
2
t x 5 (t x) 2tx 5
tx 2
x2 t2
3
x(x y) 1 x(x y) 2 y y 1
Vậy 2
x2 x 1 x2 x 1
3 3 3
1 ex ex ex 3
Câu III : I x
dx dx x dx 2 ln e x 1 1
1 e 1 1 1 e 1
2 ln(e3 1) ln(e 1) 2 ln(e 2 e 1)
Câu IV. C/
AC 2 9a 2 4a 2 5a 2 AC a 5
BC 2 5a 2 a 2 4a 2 BC 2a M
H laø hình chieáu cuûa I xuoáng maët ABC
Ta coù IH AC
IA/ A/ M 1 IH 2 4a A/
/
IH I
IC AC 2 AA 3 3
B
1 11 4a 4a 3
VIABC S ABC IH 2a a (đvtt) C
3 32 3 9
Tam giaùc A’BC vuoâng taïi B
1
Neân SA’BC= a 52a a 2 5 H
2
A
2 / 2 2
Xeùt 2 tam giaùc A’BC vaø IBC, Ñaùy IC A C S IBC S A/ BC a 2 5
3 3 3
3
3V 4a 3 2a 2a 5
Vaäy d(A,IBC) IABC 3 2
S IBC 9 2a 5 5 5
Câu V. S = (4x2 + 3y)(4y2 + 3x) + 25xy = 16x2 y2 + 12(x3 + y3) + 34xy
= 16x2 y2 + 12[(x + y)3 – 3xy(x + y)] + 34xy = 16x2 y2 + 12(1 – 3xy) + 34xy
= 16x2 y2 – 2xy + 12
Đặt t = x.y, vì x, y 0 và x + y = 1 nên 0 t ¼
Khi đó S = 16t2 – 2t + 12
1
S’ = 32t – 2 ; S’ = 0 t =
16
25 1 191
S(0) = 12; S(¼) = ;S( )= . Vì S liên tục [0; ¼ ] nên :
2 16 16
25 1
Max S = khi x = y =
2 2
2 3 2 3
191 x
x
Min S = khi 4 hay 4
16 y 2 3 y 2 3
4
4
PHẦN RIÊNG
Câu VI.a.
1) Gọi đường cao AH : 6x – y – 4 = 0 và đường trung tuyến AD : 7x – 2y – 3 = 0
A = AH AD A (1;2)
M là trung điểm AB B (3; -2)
BC qua B và vuông góc với AH BC : 1(x – 3) + 6(y + 2) = 0 x + 6y + 9 = 0
3
D = BC AD D (0 ; )
2
D là trung điểm BC C (- 3; - 1)
AC qua A (1; 2) có VTCP AC (4; 3)
nên AC: 3(x –1)– 4(y – 2) = 0 3x – 4y + 5 = 0
x 2 t
2) AB qua A có VTCP AB (1;1; 2) nên có phương trình : y 1 t (t )
z 2t
D AB D (2 – t; 1 + t; 2t)
CD (1 t; t ; 2t) . Vì C (P) nên : CD //(P) CD n (P )
1 5 1
1(1 t) 1.t 1.2t 0 t Vậy : D ; ; 1
2 2 2
Câu VI.b. 1. (x – 1)2 + y2 = 1. Tâm I (1; 0); R = 1
Ta có IMO = 300, OIM cân tại I MOI = 300
1
OM có hệ số góc k = tg300 =
3
1 x x2
+k= pt OM : y= thế vào pt (C) x 2 2x 0
3 3 3
3 3 3
x= 0 (loại) hay x . Vậy M ;
2 2 2
Cách khác:
Ta coù theå giaûi baèng hình hoïc phaúng
OI=1, IOM IMO 300 , do ñoái xöùng ta seõ coù M1
2 ñieåm ñaùp aùn ñoái xöùng vôùi Ox
H laø hình chieáu cuûa M xuoáng OX.
Tam giaùc OM 1 H laø nöûa tam giaùc ñeàu
I H
3 3 3 3 3 O
OI=1 => OH OM , HM
2 3 2 3 6
M2
3 3 3 3
Vaäy M 1 , , M2 ,
2 2 2 2
2. Gọi A = (P) A(-3;1;1)
a (1;1; 1) ; n ( P) (1;2; 3)
d đi qua A và có VTCP a d a , n ( P) ( 1;2;1) nên pt d là :
x 3 y 1 z 1
1 2 1
Câu VII.a. Gọi z = x + yi. Ta có z – (3 – 4i) = x – 3 + (y + 4)i
Vậy z – (3 – 4i) = 2 (x 3)2 (y 4)2 2 (x – 3)2 + (y + 4)2 = 4
Do đó tập hợp biểu diễn các số phức z trong mp Oxy là đường tròn tâm I (3; -4) và bán kính R
= 2.
x2 x 1
Câu VII.b. pt hoành độ giao điểm là : 2x m (1)
x
x2 + x – 1 = x(– 2x + m) (vì x = 0 không là nghiệm của (1))
3x2 + (1 – m)x – 1 = 0
phương trình này có a.c < 0 với mọi m nên có 2 nghiệm phân biệt với mọi m
b
Ycbt S = x1 + x2 = = 0 m – 1 = 0 m = 1.
a
-----------------------------
Người giải đề: PHẠM HỒNG DANH - TRẦN VĂN TOÀN
(Trung tâm Bồi dưỡng văn hóa và Luyện thi đại học Vĩnh Viễn, TP.HCM)
