Đề thi và đáp án Toán khối B năm 2009
Mời các bạn thí sinh xem đáp án và gợi ý giải đề thi môn Toán trong kỳ thi tuyển sinh ĐH khối B năm 2009 (những gợi ý này chỉ có tính chất tham khảo).
ÐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2009
Môn thi: Toán (khối B)
(Thời gian làm bài: 180 phút)
PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu I (2 điểm)
Cho hàm số y = 2x4 – 4x2 (1)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1).
2. Với các giá trị nào của m, phương trình x 2 x 2 2 m có đúng 6 nghiệm thực phân
biệt?
Câu II (2 điểm)
1. Giải phương trình sin x cos x sin 2x 3 cos 3x 2(cos 4x sin 3 x)
xy x 1 7y
2. Giải hệ phương trình 2 2 2
(x, y )
x y xy 1 13y
Câu III (1 điểm)
3
3 ln x
Tính tích phân I 2
dx
1 (x 1)
Câu IV (1 điểm)
Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có BB’ = a, góc giữa đường thẳng BB’ và mặt
phẳng (ABC) bằng 600 ; tam giác ABC vuông tại C và BAC = 600. Hình chiếu vuông góc
của điểm B’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm của tam giác ABC. Tính thể tích
khối tứ diện A’ABC theo a.
Câu V (1 điểm)
Cho các số thực x, y thay đổi và thoả mãn (x + y)3 + 4xy ≥ 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức
A = 3(x4 + y4 + x2 y2) – 2(x2 + y2) + 1
PHẦN RIÊNG (3 điểm)
Thí sinh chỉ được làm 1 trong 2 phần (phần A hoặc B)
A. Theo chương trình chuẩn
Câu VI.a. (2 điểm)
4
1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C) : (x 2)2 y 2 và hai đường
5
thẳng 1 : x – y = 0, 2 : x – 7y = 0. Xác định toạ độ tâm K và tính bán kính của đường tròn
(C1); biết đường tròn (C1) tiếp xúc với các đường thẳng 1, 2 và tâm K thuộc đường tròn
(C)
2. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tứ diện ABCD có các đỉnh A(1;2;1), B(-
2;1;3), C(2;-1;1) và D(0;3;1). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, B sao cho khoảng
cách từ C đến (P) bằng khoảng cách từ D đến (P)
Câu VII.a (1 điểm)
Tìm số phức z thoả mãn : z (2 i) 10 và z.z 25
B. Theo chương trình Nâng cao
Câu VI.b (2 điểm)
1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A có đỉnh A(-1;4) và
các đỉnh B, C thuộc đường thẳng : x – y – 4 = 0. Xác định toạ độ các điểm B và C ,
biết diện tích tam giác ABC bằng 18.
2. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x – 2y + 2z – 5 = 0 và hai
điểm A(-3;0;1), B(1;-1;3). Trong các đường thẳng đi qua A và song song với (P), hãy
viết phương trình đường thẳng mà khoảng cách từ B đến đường thẳng đó là nhỏ nhất.
Câu VII.b (1 điểm)
x 2 1
Tìm các giá trị của tham số m để đường thẳng y = - x + m cắt đồ thị hàm số y tại
x
2 điểm phân biệt A, B sao cho AB = 4.
BÀI GIẢI GỢI Ý
Câu I.
(C)
4 2 y
1. y = 2x – 4x . TXĐ : D = R
3
y’ = 8x – 8x; y’ = 0 x = 0 x = 1; lim
x
x 1 0 1 +
y' 0 + 0 0 + 2 1 0 1 2
y + 0 +
2 CĐ 2 x
CT CT
2
y đồng biến trên (-1; 0); (1; +)
y nghịch biến trên (-; -1); (0; 1)
y đạt cực đại bằng 0 tại x = 0
y đạt cực tiểu bằng -2 tại x = 1
Giao điểm của đồ thị với trục tung là (0; 0)
y
Giao điểm của đồ thị với trục hoành là (0; 0); ( 2 ;0) (C’)
2. x2x2 – 2 = m 2x2x2 – 2 = 2m (*)
2
(*) là phương trình hoành độ giao điểm của (C’) :
y = 2x2x2 – 2 và (d): y = 2m
Ta có (C’) (C); nếu x - 2 hay x 2 2 1 1 2
(C’) đối xứng với (C) qua trục hoành nếu - 2 < x < 2 0 x
Theo đồ thị ta thấy ycbt 0 < 2m < 2 0Câu II.
1. sinx+cosxsin2x+ 3 cos 3x 2(cos 4x s i n 3 x)
3 1 3sin x sin 3x
sin x sin 3x 3 cos3x 2 cos 4x
2 2 2
sin 3x 3 cos 3x 2cos 4x
1 3
sin 3x cos3x cos 4x
2 2
sin sin 3x cos cos 3x cos 4x
6 6
cos 4x cos 3x
6
4x 6 3x k2 x 6 k2
4x 3x k2 x k 2
6
42 7
2. xyy x xy1 17y 13y
x2 2
2
y = 0 hệ vô nghiệm
x 1
x 7
y y
y 0 hệ
2 x 1
x 2 13
y y
1 x 1 x 1
Đặt a = x ; b = a 2 x 2 2 2 x 2 2 a 2 2b
y y y y y
Ta có hệ là
ab7
a 2 b 13
ab7
2
a a 20 0
1 1
x y 4 x y 5
a 4 hay a 5 . Vậy
b3 b 12
x
3
hay
x
12
y
y
x 1
x 3y x 12y
x 2 4x 3 0 hay x 2 5x 12 0 (VN)
3
x3
y 1 hay y 1
Câu III :
3 3 3
3 ln x dx ln x
I 2
dx 3 2
2
dx
1 (x 1) 1 (x 1) 1 (x 1)
3 3
dx 3 3
I1 3 2
1
(x 1) (x 1) 1
4
3
ln x
I2 dx
1
(x 1)2
dx
Đặt u = lnx du
x
dx 1
dv 2
. Chọn v
(x 1) x 1
3 3 3 3
ln x dx ln 3 dx dx ln 3 3
I2 ln
x 1 1 1 x(x 1) 4 1
x 1 x 1 4 2
3
Vậy : I (1 ln 3) ln 2
4
Câu IV.
a BH 2 1 a 3a a 3 C N A
BH= , BN 3 ; B ' H
2 BN 3 2 2 4 2
goïi CA= x, BA=2x, BC x 3
CA2 H
BA2 BC 2 2 BN 2
2
2 M
3a x
2
9a 2
3x 2 4 x 2 2 x2
4 2 52
3 a 3
Ta có: B ' H BB ' B
2 2
2 3
11 2 a 3 1 9a a 3 9 a
V= x 3
3 2
2 12 52 2 208
Câu V :
(x y)3 4xy 2
2
(x y)3 (x y)2 2 0 x y 1
(x y) 4xy 0
2 2 (x y)2 1 1
x y dấu “=” xảy ra khi : x y
2 2 2
2 2 2
(x y )
Ta có : x 2 y 2
4
A 3 x y x y 2(x 2 y 2 ) 1 3 (x 2 y 2 ) 2 x 2 y 2 2(x 2 y 2 ) 1
4 4 2 2
(x 2 y 2 ) 2
3 (x 2 y 2 )2 2 2
2(x y ) 1
4
9
(x 2 y 2 ) 2 2(x 2 y 2 ) 1
4
1
Đặt t = x2 + y2 , đk t ≥
2
9 1
f (t) t 2 2t 1, t
4 2
9 1
f '(t) t 2 0 t
2 2
1 9
f (t) f ( )
2 16
9 1
Vậy : A min khi x y
16 2
Câu VIa.
xy x 7y
1. Phương trình 2 phân giác (1, 2) :
2 5 2
5(x y) (x 7y)
y 2x :d1
5(x y) x 7y
1
5(x y) x 7y y x : d2
2
4
Phương trình hoành độ giao điểm của d1 và (C) : (x – 2)2 + (– 2x)2 =
5
25x2 – 20x + 16 = 0 (vô nghiệm)
2
x 4
Phương trình hoành độ giao điểm của d2 và (C) : (x – 2)2 +
2 5
8 8 4
25x 2 80x 64 0 x = . Vậy K ;
5 5 5
2 2
R = d (K, 1) =
5
2. TH1 : (P) // CD. Ta có : AB (3; 1; 2), CD (2; 4; 0)
(P) có PVT n (8; 4; 14) hay n (4; 2;7)
(P) :4(x 1) 2(y 2) 7(z 1) 0
4x 2y 7z 15 0
TH2 : (P) qua I (1;1;1) là trung điểm CD
Ta có AB ( 3; 1; 2), AI (0; 1;0)
(P) có PVT n (2;0;3)
(P) :2(x 1) 3(z 1) 0 2x 3z 5 0
Câu VIb.
1.
1 4 4 9
AH
2 2
1 36 36
S AH.BC 18 BC 4 2
2 AH 9
2
Pt AH : 1(x + 1) + 1(y – 4) = 0
x y 4 7 1
H: H ;
x y 3 2 2
B(m;m – 4)
2 2
BC 2 7 1
HB2 8 m m 4
4 2 2
7 11
7
2
m 2 2 2
m 4
2 m 7 2 3
2 2
11 3 3 5 3 5 11 3
Vậy B1 ; C1 ; hay B2 ; C 2 ;
2 2 2 2 2 2 2 2
2. AB (4; 1; 2); n P (1; 2;2)
Pt mặt phẳng (Q) qua A và // (P) : 1(x + 3) – 2(y – 0) + 2(z – 1) = 0
x – 2y + 2z + 1 = 0. Gọi là đường thẳng bất kỳ qua A
Gọi H là hình chiếu của B xuống mặt phẳng (Q). Ta có :
d(B, ) BH; d (B, ) đạt min qua A và H.
x 1 t
Pt tham số BH: y 1 2t
z 3 2t
Tọa độ H = BH (Q) thỏa hệ phương trình :
x 1 t, y 1 2t, z 3 2t 10 1 11 7
t H ; ;
x 2y 2z 1 0 9 9 9 9
1
qua A (-3; 0;1) và có 1 VTCP a AH 26;11; 2
9
x 3 y 0 z 1
Pt () :
26 11 2
Câu VII.a. Đặt z = x + yi với x, y R thì z – 2 – i = x – 2 + (y – 1)i
z – (2 + i)= 10 và z.z 25
2 2
4x 2y 20
(x 2) (y 1) 10 2
2 2
x y 25 x y 2 25
2
y 10 2x
x 8x 15 0
x 3 hay x 5
y4 y0
Vậy z = 3 + 4i hay z = 5
Câu VII.b.
x2 1
Pt hoành độ giao điểm của đồ thị và đường thẳng là : x m
x
2x2 – mx – 1 = 0 (*) (vì x = 0 không là nghiệm của (*))
Vì a.c < 0 nên pt luôn có 2 nghiệm phân biệt 0
Do đó đồ thị và đường thẳng luôn có 2 giao điểm phân biệt A, B
AB = 4 (xB – xA)2 + [(-xB + m) – (-xA + m)]2 = 16 2(xB – xA)2 = 16
m2 8
(xB – xA)2 = 8 2
8 m 24 m = 2 6
4
-----------------------------
Người giải đề: TRẦN MINH THỊNH - TRẦN VĂN TOÀN
(Trung tâm Bồi dưỡng văn hóa và Luyện thi đại học Vĩnh Viễn, TP.HCM)
