Đề thi và đáp án môn Toán thi vào lớp 10 trường Chuyên Bắc Giang năm 2006 - 2007
Tham khảo đáp án đề thi môn Toán thi vào lớp 10 trường Chuyên Bắc Giang năm 2006 - 2007, giúp học sinh tham khảo ôn tập hiệu quả, rèn luyện kỹ năng làm bài đạt điểm cao
së gi¸o dôc
®µo t¹o §Ò
thi tuyÓn sinh
líp 10
B¾c giang tr
êng H P T
T chuyªn
N¨ m häc 20062007
§Ò chÝnh thøc
M« n thi:To¸n Ò
(® chuyªn)
Thêi gian lµm bµi: 150
phót
Bài 1 (2,0 điểm)
Cho phương trình (m+1)x2 + (2m + 1)x + m −1 = 0 , m lµ tha m sè.
a) Tìm m để phương trình đã cho có nghiệm.
b) 2 2
Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1 và x2 thỏa mãn x1 + x2 = 2006 .
Bài 2 (2,0 điểm)
a) Rút gọn biểu thức A = 2007 + 2 2006 − 2007 − 2 2006 .
b) Tìm tất cả các cặp số nguyên a và b sao cho 2007 + 2 2006 nghiệm của
là
phương trình x + ax + b = 0.
2
Bài 3 (1,5 điểm)
1
m∙n: x + y = xy −
3 3
Tìm tất cả các số thực dương x và y tho¶ .
27
Bài 4 (3,5 điểm)
Cho tam giác vuông cân ABC (AB = AC). Điểm M nằm trên cạnh BC ( M kh¸c
B . Đường tròn ( I ) đi qua M và tiếp xúc với đường thẳng AB tại B, đường
vµ C )
tròn ( J ) đi qua M và tiếp xúc với đường thẳng AC tại C.
a) Nêu cách xác định tâm I của đường tròn ( I ) và tâm J của đường tròn ( J ).
b) Các đường tròn ( I ) và ( J ) cắt nhau tại điểm thứ hai N. Chứng minh tứ giác
BNCA nội tiếp đường tròn .
c) Chứng minh rằng khi M di động trên đoạn BC thì tổng các bán kính của hai
đường tròn ( I ) và ( J ) không đổi và đường thẳng MN luôn đi qua một
điểm cố định.
Bài 5 (1,0 điểm)
T× m
gi¸ trÞ
lín nhÊt cña biÓu thøc 3 3 biÕt + = 2 2
:P = a + b a b a + b –
ab .
Õt
H
Hä
vµ tªn thÝ sinh: … … … … … … … … … … … S è b¸o danh: … … … … …
Gi¸m thÞ 1
sè (hä tªn
vµ kÝ):… … … … … … … … … … … … … … … … … . .
Gi¸m thÞ 2
sè (hä tªn
vµ kÝ):… … … … … … … … … … … … … … … … … . .
së gi¸o dôc
®µo t¹o §¸p
¸n thang ®iÓ m
b ¾c giang ®Ò
thi tuyÓn sinh TH P T
líp 10 chuyªn
N¨ m häc 20062007
§Ò chÝnh thøc
M« n: To¸n Ò
(® chuyªn)
(§¸p –
¸n Thang ®iÓ m m
gå 03 trang)
§iÓ
Bµi ý Néi dung
m
1 2,00
a. +
Víi m = 1, ¬ng
ph tr×nh nghiÖ m = 2.
cã x 0,25
Víi m ≠ 1, ¬ng
+ ph tr×nh nghiÖ m
cã
∆ (2m + 1)2 – 4(m+1)(m – 1) 0 4 m + 5 0 m
= ≥ ≥ ≥
−5
4 0,5
−5 0,25
+ Õt
K ≥
luËn: m c¸c
lµ gi¸ trÞ cÇn t×m.
4
b. 2m + 1
x1 + x 2 = −
−5 m +1
+
Víi m ≥
, theo
hÖ thøc Ðt:
Vi
4 m −1
x1x 2 =
m +1 0,25
2
2m + 1 2(m − 1)
2
+ x1 2
Ta cã + x 2
1 + 2 ) 2x 1 x2
= (x x 2
– = − 0,25
m +1 m +1
+ Theo bµi x1 2 2 2
ra + x = 2006 ® îc
ta 2004 m 2
+ 4008 m
+ 2003
= 0
− 2004 − 2 501
m=
2004
− 2004 + 2 501
m=
2004 0,25
+ Õt
K luËn: hai
gi¸ trÞ cña
m t×m îc trªn Ò u
® ë ® tho¶ m∙n. 0,25
2 2,00
a. A
= ( 2006 + 1) 2 − ( 2006 − 1) 2 0,25
A
= 2006 + 1 − 2006 − 1 0,25
A = 2006 + 1 − 2006 + 1 = 2 0,25
K Õt luËn: VËy
A = 2. 0,25
+Giả sử a và b là 2 số nguyên sao cho x = 2007 + 2 2006 là nghiệm
b. phương trình x2 + ax + b = 0.
+Ta có (2007 + 2 2006 ) 2 + a ( 2007 + 2 2006 ) + b = 0 0,25
+BiÕn æi rót gän ® îc:
® vµ ta
(4.2007 + 2a ) 2006 + (2007 2 + 4.2006 + a.2007 + b) = 0 (*) 0,25
*Nh Ë n xÐt 2006 là số vô tỷ. Vì a và b là các số nguyên nên
4.2007 + 2a và 20072 + 4.2006 +a.2007 + b là các số nguyên. 0,25
2007 2 + 4.2006 + a.2007 + b
*Nếu 4.2007 + 2a ≠ 0 thì 2006 = − là số hữu
4.2007 + 2a
tỷ.
Điều này vô lý nên 4.2007 + 2a = 0 hay a = −2.2007 = − 4014
Thay vào hệ thức (*) ta có b = 2005 = 4 020 025.
2
Dễ thấy a = −4014 và b = 4 020 025 thỏa mãn điều kiện đề bài. 0,25
3 1,50
1 3 3 1
Đặt z = . Ta có: x + y = xy − ⇔ x 3 + y 3 + z 3 − 3xyz = 0
3 27 0,25
⇔ ( x + y + z )( x 2 + y 2 + z 2 − xy − yz − zx ) = 0 0,25
Vì x, y, z đều lớn hơn 0 nên:
x 2 + y 2 + z 2 − xy − yz − zx = 0 ⇔ 2( x 2 + y 2 + z 2 − xy − yz − zx ) = 0
⇔ ( x − y) 2 + ( y − z) 2 + (z − x ) 2 = 0 0,50
+Vì (x − y)2 ≥ 0, (y − z)2 ≥ 0, (z − x)2 ≥ 0 nªn
1
( x − y ) 2 + ( y − z ) 2 + ( z − x) 2 = 0 ⇔ x = y = z =
3 0,25
1
+K Õt luËn: vËy = =
x y
3 0,25
4 3,50
A
B M O
C
I
J
N
K
d2
d1
a. VÏ êng
® d ⊥ AB t¹iB,
th¼ng 1 ® êng trung trùc cña M
B c¾t 1
d t¹iI. 0,50
VÏ êng
® d ⊥ A t¹iC,
th¼ng 2 C ® êng trung trùc cña M
C c¾t 2
d t¹iJ. 0,50
b. X Ðt trong êng
® = gãc N M 0
trßn I ) gãc B M
( cã A B = 45 0,25
T tù cã C = gãc C M 0
¬ng ta gãc N M A = 45 0,25
Tõ ®ã suy gãc N C
ra B + gãc N M 0
= gãc N M
B C = 90 0,25
Suy gãc C
ra BA B = 180 0 gi¸c B N C
+ gãc N C => tø A néi tiÕp 0,25
c. äi giao
G K lµ ®iÓ m cña vµ
BI CJ. Häc sinh Ø tø
ch ra gi¸c B K C
A
lµ h×nh vu«ng. 0,25
Ch Ø ra MJ //
BK, // K råi
MI C suy ra tø gi¸c MIKJ lµ h×nh b×nh
hµnh. 0,25
Suy MI MJ MI J K B
ra = KJ vµ = CJ => + M = C = A kh«ng æi
® 0,25
Gäi A 1 lµ giao ®iÓ m thø hai cña ® êng th¼ng M N víi êng trßn
®
(O) ngo¹i tiÕp gi¸c N C,
tø AB theo chøng minh trªn cã
ta gãc N A 1
B =
0
gãc N A 1 , suy A 1 ®iÓ m
C = 45 ra lµ chÝnh gi÷a cña cung C.
B 0,50
Ø A
Ch ra còng ®iÓ m
lµ chÝnh gi÷a cña cung C
B cña êng
® trßn
(O) suy A 1
ra trïng kÕt
víiA vµ luËn. 0,25
5 1,00
Ta cã: 3 3 + ( 2 2
a + b = (a b) a + b – ab) a 2 .
= ( + b) 0,25
Tõ a = 2 2 ab
gt + b a + b – + = + 2 3ab
a b (a b) –
(a + b ) 2 3
ab ≤
V× ∀a , b nªn a + b ≥ (a + b)2 - (a + b) 2
4 4 0,25
+ 2 4ab
(a b) – ≤ 0 0 ≤ a + b ≤ 4 0,25
ra = ( + b) ≤
Suy P a 2 16. D Ê u x¶y = = tho¶
“=” ra a b 2 m∙n gt
VËy
gi¸ trÞ
lín nhÊt cña
P b»ng
16 khi chØ
vµ khi = =
a b 2. 0,25
Chó
ý: *Trªn © y híng
® lµ dÉn
c¬ b¶n, bµi lµm cña häc sinh ph¶i tr×nh
bµy chi tiÕt. Häc
sinh gi¶i b»ng
nhiÒu c¸ch kh¸c nhau ón g
® vÉn cho ®iÓ m
tèi ®a. Häc sinh lµm ® óng ® Õ n ® © u cho ®iÓ m ® Õ n ®ã. (N Õ u qu¸ tr×nh
lËp luËn
vµ biÕn æi
® bíc íc
tr sai th× bíc sau óng
® còng kh«ng cho ®iÓ m).
* Õ u
N häc sinh dïng bÊt ¼ n g
® thøc C«si cho sè
3 kh«ng m
©
mµ kh«ng chøng minh th× trõ 0,25
®iÓ m bµi .
ë ®ã
A1
