Đề thi tuyển sinh sau đại học năm 1998
Ngân hàng đề thi cao học đại học Huế từ năm 1999 - Đề thi tuyển sinh sau đại học năm 1998
§Ò Thi TuyÓn Sinh Sau ®¹i häc n¨m 19981
M«n §¹i Sè
Thêi gian 180'
C©u 1. Cho (G, ·) lµ mét nhãm h÷u h¹n. §Þnh nghÜa quan hÖ ∼ trªn G
bëi:
x ∼ y ⇐⇒ (∃g ∈ G, g −1 xg = y ).
Víi mçi x ∈ G, ®Æt Hx = {g ∈ G | g −1 xg = x} vµ Ox = {g −1 xg | g ∈
G}.
a) Chøng tá ∼ lµ mét quan hÖ t-¬ng ®-¬ng trªn G.
b) Víi mçi tËp con A cña G, ký hiÖu |A| lµ sè phÇn tö cña A. Chøng
tá r»ng O1G = {1G }, Hx lµ mét nhãm con cña G vµ |G| = |Hx | . |Ox | ,
víi mäi x ∈ G.
c) Chøng tá nÕu |G| = pn , víi p lµ mét sè nguyªn tè vµ n lµ sè tù
nhiªn kh¸c 0, th× tån t¹i mét phÇn tö g ∈ G sao cho gx = xg, ∀x ∈ G.
C©u 2. Gi¶ sö Mn(R) lµ vµnh c¸c ma trËn vu«ng thùc cÊp n.
a) Chøng minh r»ng, ma trËn A lµ -íc bªn ph¶i cña 0 trong Mn (R)
khi vµ chØ khi det(A) = 0.
b) Cho tËp hîp N gåm tÊt c¶ c¸c ma trËn cña Mn(R) mµ mäi phÇn
tö tõ dßng thø hai trë ®i ®Òu b»ng 0. Chøng minh r»ng, N lµ mét vµnh
con cña Mn (R) vµ mäi phÇn tö kh¸c 0 cña N ®Òu lµ -íc bªn ph¶i cña
kh«ng trong N .
c) Chøng minh r»ng, trong N tån t¹i v« sè ®¬n vÞ tr¸i.
C©u 3. Cho A lµ mét ma trËn m hµng vµ n cét víi c¸c phÇn tö thuéc
tr-êng K. H¹ng cña A ký hiÖu lµ rA , ®-îc ®Þnh nghÜa lµ cÊp cao nhÊt
cña c¸c ®Þnh thøc con kh¸c 0 cña A.
a) Chøng minh r»ng, rA b»ng sè cùc ®¹i c¸c vector cét ®éc lËp tuyÕn
tÝnh cña A.
b) Cho hÖ ph-¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh
x1 b1
. = . , b ∈ K
A . . (∗).
. . i
xn bn
1
Send from ROBINHOOD - Typeset By PCTEXv.5
1
Cho B lµ ma trËn m hµng n + 1 cét nhËn ®-îc tõ A b»ng c¸ch ghÐp thªm
b1
cét . vµo thµnh cét cuèi. Chøng minh r»ng, (∗) cã nghiÖm khi vµ
.
.
bn
chØ khi rA = rB .
Bµi 4. Gi¶ sö V lµ mét kh«ng gian vector phøc gåm tÊt c¶ c¸c ®a thøc
cña x víi hÖ sè phøc, f (x) lµ mét ®a thøc ®· cho cã bËc r h÷u h¹n, Vn+1
lµ kh«ng gian con cña V gåm c¸c ®a thøc cã bËc kh«ng v-ît qu¸ n. XÐt
¸nh x¹:
ϕ : V −→ V
g −→ f g − gf
trong ®ã f , g lµ c¸c ®¹o hµm cña f, g t-¬ng øng.
a) Chøng minh r»ng, ϕ lµ phÐp biÕn ®æi tuyÕn tÝnh cña V. T×m ker ϕ
vµ chøng tá r»ng
ϕ(Vr+1 ) = ϕ(Vr ).
b) T×m dim(ϕ(Vr+1 )).
2
§Ò Thi TuyÓn Sinh Sau ®¹i häc n¨m 1998
M«n Gi¶i TÝch
Thêi gian 180'
C©u 1.
a) Kh¶o s¸t sù héi tô ®Òu cña chuçi hµm
∞
1
(xn + x−n )
2 2n
n
n=1
1
trªn miÒn héi tô ®· ®-îc chØ ra lµ ≤ |x| ≤ 2.
2
b) T×m miÒn héi tô cña chuçi hµm
∞
n n2 n
( ) x.
n+1
n=1
C©u 2. Cho C[a,b] lµ tËp c¸c hµm liªn tôc trªn ®o¹n [a, b].
a) §Æt
d(x, y ) = max |x(t) − y (t)| , x, y ∈ C[a,b].
a≤t≤b
Chøng minh r»ng, d lµ mét metric trªn C[a,b] vµ víi metric d, C[a,b] lµ mét
kh«ng gian ®Çy ®ñ.
b) §Æt
b
ρ(x, y ) = |x(t) − y (t)| dt, x, y ∈ C[a,b].
a
Chøng minh r»ng, ρ lµ mét metric trªn C[a,b] vµ víi metric ®ã C[a,b] lµ
mét kh«ng gian kh«ng ®Çy ®ñ.
C©u 3.
a) §Æt
C0[0, 1] = {x ∈ C[0,1] : x(0) = 0},
trong ®ã C[0,1] lµ kh«ng gian ®Þnh chuÈn c¸c hµm liªn tôc trªn [0, 1] víi
chuÈn "max". Chøng minh r»ng, C0[0, 1] lµ kh«ng gian con ®ãng cña
C[0,1] vµ
A : C0[0, 1] −→ C0 [0, 1]
x −→ Ax
3
cho bëi
1
(Ax)(t) = [x(t2 ) + tx(1)], t ∈ [0, 1]
2
lµ mét ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh liªn tôc. TÝnh A .
b) Gi¶ sö X, Y lµ hai kh«ng gian Banach vµ A : X −→ Y lµ mét to¸n
tö tuyÕn tÝnh. BiÕt r»ng víi mäi y ∗ ∈ Y ∗ , ta cã y ∗ ◦ A ∈ X ∗. Chøng minh
r»ng, A ∈ L(X, Y ).
C©u 4. Cho H lµ mét kh«ng gian Hilbert.
a) Gi¶ sö A ∈ L(H ) lµ mét to¸n tö tù liªn hîp. Chøng minh r»ng,
A2 = A 2 , víi A = A ◦ A.
b) Cho (An)n∈N ⊂ L(H ) tháa m·n ®iÒu kiÖn
sup | An x, y | < +∞
n∈N
víi mäi x, y ∈ H. Chøng minh r»ng, sup A < +∞.
n∈N
4
§Ò Thi TuyÓn Sinh Sau ®¹i häc n¨m 1999
M«n §¹i Sè
Thêi gian 180'
C©u 1. Cho n lµ mét sè nguyªn d-¬ng víi
n = pr1 ...prh
1 h
trong ®ã pi lµ c¸c sè nguyªn tè vµ ri > 1. Cho G lµ mét nhãm giao ho¸n
(víi phÇn tö ®¬n vÞ e) cã n phÇn tö. Gi¶ sö tÝnh chÊt (∗) sau ®©y ®-îc
tháa m·n:
"Víi mçi -íc sè d cña n, tËp hîp {x ∈ G | xd = e} cã nhiÒu nhÊt d
phÇn tö." r
pi i
Chøng tá r»ng, víi mçi 1 ≤ i ≤ h, tån t¹i ai ∈ G tháa m·n ai = e
ri −1
p
= e. Suy ra ai cã bËc lµ pri .
vµ ai i i
C©u 2. Cho A lµ vµnh giao ho¸n, cã ®¬n vÞ. §Æt
R = {I | I lµ idean cùc ®¹i cña A},
N= I.
I ∈R
Chøng tá:
a) Víi mçi idean I cña A, I ∈ R khi vµ chØ khi A/I lµ mét tr-êng.
b) N = {x ∈ A | ∀y ∈ A, ∃z ∈ A, (1 − xy )z = 1}.
c) Gi¶ sö A cã tÝnh chÊt: ∀x ∈ A, ∃n > 1 thuéc N sao cho xn = x.
Chøng tá r»ng idean nguyªn tè cña A còng cùc ®¹i.
C©u 3. Cho A, B lµ c¸c ma trËn vu«ng cÊp n cã c¸c phÇn tö thuéc vµo
tr-êng K. Chøng tá:
rank(A) + rank(B ) − n ≤ rank(AB ) ≤ min{rank(A), rank(B )}.
C©u 4. Cho E lµ mét kh«ng gian vector h÷u h¹n chiÒu trªn tr-êng K cã
®Æc sè kh¸c 2 vµ f lµ mét d¹ng song tuyÕn tÝnh ®èi xøng trªn E. Víi
mçi kh«ng gian con U cña E, ®Æt U ⊥ = {x ∈ E | f (x, y ) = 0, ∀y ∈ U };
U ®-îc gäi lµ hoµn toµn ®¼ng h-íng nÕu f (x, x) = 0, ∀x ∈ U. Kh«ng
5
gian con hoµn toµn ®¼ng h-íng ®-îc gäi lµ cùc ®¹i nÕu nã kh«ng chøa
trong mét kh«ng gian hoµn toµn ®¼ng h-íng kh¸c.
a) Chøng tá r»ng U lµ mét kh«ng gian con hoµn toµn ®¼ng h-íng khi
vµ chØ khi U ⊂ U ⊥ .
b) Cho U, V lµ c¸c kh«ng gian hoµn toµn ®¼ng h-íng. Chøng tá r»ng
víi mäi x ∈ U ∩ V , kh«ng gian con V + Kx lµ hoµn toµn ®¼ng h-íng.
c) Chøng tá r»ng mçi kh«ng gian con hoµn toµn ®¼ng h-íng ®-îc
chøa trong mét kh«ng gian con hoµn toµn ®¼ng h-íng cùc ®¹i. Suy ra
c¸c kh«ng gian con hoµn toµn ®¼ng h-íng cùc ®¹i cã cïng mét sè chiÒu.
6
§Ò Thi TuyÓn Sinh Sau ®¹i häc n¨m 2000
M«n §¹i Sè
Thêi gian 180'
C©u 1. Ký hiÖu GL(n, Rn ) lµ nhãm nh©n c¸c ma trËn thùc kh«ng suy
biÕn cÊp n. Chøng tá:
a) TËp hîp SL(n, Rn ) c¸c ma trËn thùc cÊp n cã ®Þnh thøc b»ng 1 lµ
mét nhãm con chuÈn t¾c cña GL(n, Rn ).
b) ¸nh x¹
f : GL(n, Rn ) −→ R∗
A −→ det(A)
tõ nhãm GL(n, Rn ) vµo nhãm nh©n c¸c sè thùc kh¸c 0 lµ mét toµn cÊu.
Suy ra nhãm th-¬ng GL(n, Rn )/SL(n, Rn ) ®¼ng cÊu víi nhãm R∗ .
C©u 2. Cho R = Zp [x] lµ tËp hîp mäi ®a thøc mét biÕn x cã hÖ sè
trong tr-êng Zp c¸c sè nguyªn modulo p, víi p lµ mét sè nguyªn tè. XÐt
f ∈ R víi:
f = 1 + [xp−1 + (x + 1)p−1 + · · · + (x + p − 1)p−1 ].
a) Chøng tá r»ng mäi phÇn tö cña Zp lµ nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh
f (x) = 0. Do ®ã f = 0.
b) Suy ra c«ng thøc sau:
0 mod(p) nÕu k ≡ 0 mod(p − 1),
1k + · · · + (p − 2)k + (p − 1)k ≡
−1 mod(p) nÕu k ≡ 0 mod(p − 1).
C©u 3. Cho A, B lµ c¸c ma trËn vu«ng cÊp n cã sè h¹ng trong tr-êng
K. Chøng tá:
|rank(A) − rank(B )| ≤ rank(A + B ) ≤ rank(A) + rank(B ).
C©u 4. Cho V lµ mét kh«ng gian vector thùc. TËp D ®-îc gäi lµ mét
®a t¹p tuyÕn tÝnh cña V nÕu D = W + x0 , víi W lµ mét kh«ng gian
vector con cña V vµ x0 ∈ V, sè chiÒu cña W ®-îc gäi lµ sè chiÒu cña
D. Chøng tá r»ng
7
a) Víi x0 , x1 , . . . , xn lµ mét hÖ vector cho tr-íc trong V th× tËp hîp
D = {x = a0x0 + a1x1 + · · · + an xn | a0 + a1 + · · · + an = 1}
lµ mét ®a t¹p tuyÕn tÝnh cña V chøa c¸c vector x0 , x1 , . . . , xn .
b) TËp hîp c¸c nghiÖm cña mét hÖ ph-¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh t-¬ng thÝch
n Èn h¹ng r víi hÖ tö thuéc tr-êng sè thùc R lËp thµnh mét ®a t¹p tuyÕn
tÝnh cã sè chiÒu lµ n − r trong kh«ng gian vector Rn .
8
§Ò Thi TuyÓn Sinh Sau ®¹i häc n¨m 2000
M«n Gi¶i TÝch
Thêi gian 180'
C©u 1. Cho (X, d) lµ mét kh«ng gian metric. Ta ®Æt
d(x, y )
ρ(x, y ) = , x, y ∈ X.
1 + d(x.y )
H·y chøng minh:
a) (X, ρ) lµ mét kh«ng gian metric.
b) Kh«ng gian (X, ρ) ®Çy ®ñ khi vµ chØ khi (X, d) ®Çy ®ñ.
c) Cho A lµ mét tËp compact trong (X, d). Chøng minh r»ng, A còng
lµ mét tËp compact trong (X, ρ).
C©u 2. Cho f ≥ 0 lµ hµm ®o ®-îc trªn tËp A. Víi mçi n ∈ N ta ®Æt
f (x) nÕu f (x) < n
fn (x) =
n nÕu f (x) ≥ n.
Chøng minh lim fndµ = A f dµ.
n→∞ A
C©u 3. Ký hiÖu X = C[0,1] lµ kh«ng gian ®Þnh chuÈn víi chuÈn ” max ”.
a) Gi¶ sö x ∈ X, víi mçi n ∈ N ta ®Æt
1
xn (t) = x(t1+ n ), ∀t ∈ [0, 1].
Chøng minh r»ng, d·y (xn )n héi tô vÒ hµm x trong X.
b) §Æt A : X −→ X cho bëi c«ng thøc x −→ Ax, (Ax)(t) = x(0) −
tx(t), víi mäi t ∈ [0, 1]. Chøng minh A tuyÕn tÝnh liªn tôc vµ tÝnh A .
C©u 4. Cho X lµ mét kh«ng gian ®Þnh chuÈn vµ f ∈ X ∗, f = 0. Ký
1
hiÖu α = inf { x : x ∈ X, f (x) = 1}. Chøng minh r»ng, f = .
α
C©u 5. Cho H lµ mét kh«ng gian Hilbert víi {en , n ∈ N} lµ mét c¬ së
trùc chuÈn cña H.
§Æt A : H −→ H x¸c ®Þnh bëi
∞
∀x ∈ H, Ax = x, en+1 en .
n=1
Chøng minh r»ng, A tuyÕn tÝnh, liªn tôc. T×m A vµ x¸c ®Þnh to¸n tö
liªn hîp A∗ .
9
§Ò Thi TuyÓn Sinh Sau ®¹i häc n¨m 2001
M«n Gi¶i TÝch
Thêi gian 180'
∞
ln(1+n)
C©u 1 1) Kh¶o s¸t sù héi tô cña chuçi sè sau ®©y: , α > 1.
nα
n=1
2) Cho f : R −→ R lµ hµm sè x¸c ®Þnh bëi:
0, nÕu x ∈ (0, 1],
/
f= √ 1 1
n, , ], víi n ∈ N.
nÕu x ∈ (
n+1 n
TÝnh R f dµ vµ suy ra f kh¶ tÝch trªn R, trong ®ã µ lµ ®é ®o Lebesgue
trªn R.
C©u 2. Cho X lµ mét kh«ng gian metric compact vµ f : X −→ X lµ
mét ¸nh x¹ liªn tôc. Gi¶ sö (Kn ) lµ mét d·y gi¶m c¸c tËp ®ãng kh«ng
rçng cña X.
∞ ∞
Chøng minh r»ng, f ( Kn ) = f (Kn).
n=1 n=1
C©u 3. Ký hiÖu C[0,1] lµ kh«ng gian ®Þnh chuÈn c¸c hµm sè liªn tôc trªn
[0, 1] víi chuÈn ” max ”. §Æt
M = {x ∈ C[0,1] : x(0) = 0, 0 ≤ x(t) ≤ 1, ∀t ∈ [0, 1]}.
1) Chøng minh r»ng M lµ mét tËp ®ãng vµ bÞ chÆn trong C[0,1].
2) XÐt hµm sè f : C[0,1] −→ R x¸c ®Þnh bëi c«ng thøc f (x) =
12
0 x (t)dt. Chøng minh r»ng, f liªn tôc trªn tËp M nh-ng f kh«ng ®¹t
®-îc gi¸ trÞ bÐ nhÊt trªn M.
C©u 4. Gi¶ sö X lµ kh«ng gian ®Þnh chuÈn thùc vµ f : X −→ R lµ
mét phiÕm hµm tuyÕn tÝnh. Chøng minh r»ng, f ∈ X ∗ khi vµ chØ khi tËp
M = {x ∈ X : f (x) ≥ 1} lµ mét tËp ®ãng trong X.
C©u 5. Cho H lµ mét kh«ng gian Hilbert víi c¬ së trùc chuÈn {en , : n ∈ N}
∞
2
vµ X lµ mét kh«ng gian Banach. Gi¶ sö A ∈ L(H, X ) sao cho Aen <
n=1
10
+∞. Víi mçi n ∈ N, ta ®Æt An : H −→ X x¸c ®Þnh bëi An x =
n
x, ek Aek , ∀x ∈ H. Chøng tá r»ng
k=1
a) Víi mäi n ∈ N, An lµ mét to¸n tö tuyÕn tÝnh liªn tôc.
b) An −→ A trong kh«ng gian L(H, X ) vµ tõ ®©y suy ra A lµ mét
to¸n tö compact.
11
§Ò Thi TuyÓn Sinh Sau ®¹i häc n¨m 2001
M«n §¹i Sè
Thêi gian 180'
C©u 1. Cho G lµ tËp tÊt c¶ c¸c bé sè nguyªn d¹ng (k1 , k2 , k3 ). Chøng
minh r»ng,
a) G lµ mét nhãm víi phÐp to¸n
(k1 , k2 , k3 ).(l1 , l2 , l3 ) = (k1 +(−1)k3 l1 , k2 +l2 , k3 +l3), ∀k1 , k2 , k3 , l1 , l2 , l3 ∈ Z.
b) Nhãm con cyclic H sinh bëi phÇn tö (1, 0, 0) lµ -íc chuÈn t¾c trong
G.
c) Nhãm th-¬ng G/H ®¼ng cÊu víi nhãm céng c¸c sè nguyªn Gauss
Z[i] = a + bi | a, b ∈ Z, i2 = −1 .
C©u 2. Cho R lµ vµnh h÷u h¹n phÇn tö. X¸c ®Þnh c¸c ®ång cÊu vµnh tõ
R vµo vµnh c¸c sè nguyªn Z.
C©u 3. Cho n ∈ N (n ≥ 2) vµ K lµ mét tr-êng. Gäi Mn(K) lµ kh«ng
gian vector c¸c ma trËn vu«ng cÊp n trªn K. Ta ®Þnh nghÜa vÕt cña ma
trËn vu«ng A ∈ Mn (K) (ký hiÖu Tr(A)) lµ tæng c¸c phÇn tö n»m trªn
®-êng chÐo chÝnh cña A. Chøng minh r»ng,
a) Víi mäi A ∈ Mn(K), ¸nh x¹ θA : Mn (K) −→ K x¸c ®Þnh bëi
θA (X ) = Tr(AX ), ∀X ∈ Mn (K)
lµ mét phÇn tö cña kh«ng gian ®èi ngÉu (Mn(K))∗ .
b) ¸nh x¹
θ : Mn (K) −→ (Mn (K))∗
A −→ θA
lµ mét ®¼ng cÊu gi÷a c¸c kh«ng gian vector.
C©u 4. Cho ϕ : V −→ W lµ mét ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh tõ kh«ng gian vector
n-chiÒu V vµo kh«ng gian vector m-chiÒu W. Chøng minh r»ng,
a) NÕu U lµ mét kh«ng gian vector con k -chiÒu cña V sao cho U ∩ker ϕ
lµ kh«ng gian con p-chiÒu th× dim ϕ(U ) = k − p.
b) NÕu T lµ mét kh«ng gian vector con cña W sao cho T ∩ Im(ϕ) lµ
kh«ng gian con r -chiÒu th× dim ϕ−1 (T ) = n + r − rank(A).
12
§Ò Thi TuyÓn Sinh Sau ®¹i häc n¨m 2002
M«n §¹i Sè
Thêi gian 180'
C©u 1.
a) Tån t¹i hay kh«ng mét thÓ (K, +, ×) cã ®Æt sè kh¸c 2 sao cho c¸c
nhãm con (K, +) vµ (K ∗ , ×), víi K ∗ = K \ {0} , ®¼ng cÊu víi nhau?
b) Cho A = Z[i] lµ vµnh c¸c sè phøc d¹ng a + bi, víi a, b lµ c¸c sè
nguyªn, vµ I lµ tËp con cña A gåm c¸c sè phøc c + di, víi c, d lµ béi
cña 3. Chøng minh r»ng, I lµ mét idean cña A vµ vµnh th-¬ng A/I lµ
mét tr-êng gåm 9 phÇn tö.
C©u 2. Cho G = R∗ × R vµ ◦ lµ phÐp to¸n trong G x¸c ®Þnh bëi
y
(x, y ) ◦ (x , y ) = (xx , xy + ),
x
víi R∗ = R \ {0} .
1. Chøng minh r»ng, (G, ◦) lµ mét nhãm. ChØ ra nhãm t©m cña G.
2. Chøng minh r»ng, víi bÊt kú k ∈ R, tËp hîp
1
(x, k (x − )) : x ∈ R∗
Hk =
x
lµ mét nhãm con giao ho¸n cña G.
C©u 3.
1. Cho A, B lµ c¸c ma trËn vu«ng cÊp n víi hÖ tö trong tr-êng K.
Chøng tá
rank(A) + rank(B ) − n ≤ rank(AB ) ≤ min {rank(A), rank(B )} .
2. Chøng minh r»ng, c«ng thøc trªn vÉn cßn ®óng khi A, B lµ c¸c ma
trËn ch÷ nhËt víi n lµ sè cét cña A vµ còng lµ sè hµng cña B.
C©u 4. Cho f lµ mét d¹ng song tuyÕn tÝnh trªn kh«ng gian vector
thùc n-chiÒu V vµ U = {a1 , a2, . . . , an } lµ mét c¬ së cña V. Gäi L lµ
kh«ng gian con cña V sinh bëi a1 , a2 , . . . , ak (víi 1 ≤ k < n) vµ ®Æt
L⊥ = {y ∈ V | f (x, y ) = 0, ∀x ∈ L} .
13
1. Cho B lµ ma trËn biÓu diÔn f theo c¬ së U . Chøng tá r»ng,
nÕu y = (y1, y2 , . . . , yn) ∈ V theo c¬ së U th× y ∈ L⊥ khi vµ chØ khi
y1, y2 , . . . , yn lµ nghiÖm cña hÖ ph-¬ng tr×nh
y1
y
2
A . = 0
..
yn
víi A ∈ Mk×n (R) lµ ma trËn nhËn ®-îc tõ B b»ng c¸ch bá n − k hµng
cuèi cïng cña B.
2. f ®-îc gäi lµ kh«ng suy biÕn nÕu ma trËn biÓu diÔn f, theo mét
c¬ së nµo ®ã cña V, lµ kh«ng suy biÕn. Chøng tá nÕu f kh«ng suy biÕn
th× dim L⊥ = n − k.
14
§Ò Thi TuyÓn Sinh Sau ®¹i häc n¨m 2002
M«n Gi¶i TÝch
Thêi gian 180'
C©u 1.
1. Cho (xn )n lµ mét d·y t¨ng, bÞ chÆn trªn vµ xn > 0 víi mäi n ∈ N∗ .
∞
xn
(1 − )
Chøng minh r»ng, chuçi sè héi tô.
xn+1
n=1
∞
x 2n
.
2. T×m miÒn héi tô vµ tÝnh tæng cña chuçi lòy thõa: 2n−1
n=1
C©u 2. Cho (X, dX ), (Y, dY ) lµ hai kh«ng gian metric, trong ®ã X
compact. Ký hiÖu C (X, Y ) lµ tËp hîp c¸c ¸nh x¹ liªn tôc tõ X vµo Y.
1. Gi¶ sö f, g ∈ C (X, Y ), ®Æt ϕ(x) = dY (f (x), g (x)). Chøng minh
r»ng, ϕ(x) lµ mét hµm liªn tôc trªn X.
2. Víi f, g ∈ C (X, Y ), ®Æt d(f, g ) = max ϕ(x). Chøng minh r»ng,
x∈X
C (X, Y ) lµ mét kh«ng gian metric. H¬n n÷a, C (X, Y ) lµ kh«ng gian ®Çy
®ñ khi vµ chØ khi Y ®Çy ®ñ.
Bµi 3. Cho X lµ mét kh«ng gian metric ®Çy ®ñ vµ ϕ lµ ¸nh x¹ liªn tôc
bÞ chÆn tõ X × R vµo R. Gi¶ sö tån t¹i λ ∈ (0, 1) sao cho
∀x ∈ X, ∀y1 , y2 ∈ R : |ϕ(x, y1 ) − ϕ(x, y2 )| ≤ λ |y1 − y2| .
Chøng minh r»ng, tån t¹i duy nhÊt mét ¸nh x¹ liªn tôc u tõ X vµo R sao
cho
u(x) = ϕ(x, u(x)), ∀x ∈ X.
C©u 4.
1. Cho X lµ mét kh«ng gian ®Þnh chuÈn vµ M lµ mét tËp con cña X.
Gi¶ sö víi mäi f ∈ X ∗ ta cã sup |f (x)| < +∞. Chøng minh r»ng, M lµ
x∈M
mét tËp bÞ chÆn trong X.
2. Cho X lµ kh«ng gian Banach, Y lµ kh«ng gian ®Þnh chuÈn, (An )n
lµ mét d·y to¸n tö tuyÕn tÝnh liªn tôc trong kh«ng gian L(X, Y ). Chøng
minh r»ng, nÕu víi mäi x ∈ X, (An x)n lµ mét d·y c¬ b¶n trong Y th×
sup An < +∞.
n∈N∗
C©u 5. Cho {en , n ∈ N} lµ mét hÖ trùc chuÈn trong kh«ng gian Hilbert
H vµ (λn)n lµ mét d·y sè bÞ chÆn.
15
∞
1. Chøng minh r»ng, víi mäi x ∈ H, chuçi λn x, en en héi tô
n=1
trong H.
∞
2. §Æt Ax = λn x, en en víi mäi x ∈ H. Chøng minh r»ng, A lµ
n=1
to¸n tö tuyÕn tÝnh liªn tôc trªn H. TÝnh A .
16
§Ò Thi TuyÓn Sinh Sau ®¹i häc n¨m 2003
M«n Gi¶i TÝch
Thêi gian 180'
C©u 1. Cho A lµ mét tËp ®o ®-îc vµ f, g : A −→ R lµ c¸c hµm kh¶
tÝch trªn A. Víi mçi n ∈ N ta ®Æt An = {x ∈ A | n ≤ |f (x)| < n + 1}
vµ Bn = {x ∈ A | |f (x)| ≥ n} . Chøng minh r»ng
a) lim An gdµ = 0,
n→∞
∞
nµAn < +∞,
b)
n=1
c) lim nµBn = 0.
n→∞
C©u 2.
a) Cho A lµ mét tËp con trong kh«ng gian metric X vµ x ∈ X lµ mét
®iÓm dÝnh cña A. Gi¶ sö x ∈ A. Chøng minh A lµ mét tËp v« h¹n. Suy
/
ra mäi tËp con cã h÷u h¹n ®iÓm trong X ®Òu lµ tËp ®ãng.
b) Gi¶ sö X, Y lµ hai kh«ng gian metric vµ f : X −→ Y lµ mét to¸n
¸nh liªn tôc tõ X lªn Y. Cho A ⊂ X sao cho A = X. Chøng minh r»ng
f (A) = Y.
C©u 3. Cho A lµ mét to¸n tö tuyÕn tÝnh liªn tôc, R(A) lµ tËp hîp c¸c
gi¸ trÞ cña A.
a) Gi¶ sö X lµ kh«ng gian Banach, Y lµ kh«ng gian tuyÕn tÝnh ®Þnh
chuÈn. Chøng minh r»ng, nÕu tån t¹i sè m > 0 sao cho Ax ≥ m x
víi mäi x ∈ X th× R(A) lµ mét kh«ng gian con ®ãng cña Y.
b) Gi¶ sö X, Y lµ c¸c kh«ng gian Banach vµ R(A) lµ tËp ®ãng trong
Y. Chøng minh r»ng, tån t¹i sè m > 0 sao cho víi mçi y ∈ R(A), tån
t¹i x ∈ X ®Ó y = Ax vµ y ≥ m x .
C©u 4. Ký hiÖu H lµ kh«ng gian Hilbert.
a) Gi¶ sö A lµ kh«ng gian con 1-chiÒu cña H vµ a lµ mét phÇn tö
kh¸c 0 cña A. Chøng minh r»ng, víi mäi x ∈ H ta cã
| x, a |
d(x, A⊥ ) = inf x − u , u ∈ A⊥ = .
a
b) Cho M ⊂ H sao cho kh«ng gian con sinh bëi M trï mËt trong H.
Chøng minh r»ng, nÕu x ∈ H vµ x⊥M th× x = 0.
17
C©u 5. Gi¶ sö {en } lµ mét hÖ thèng trùc chuÈn trong kh«ng gian Hilbert
H, {λn } lµ mét d·y sè héi tô ®Õn 0. Chøng minh r»ng, to¸n tö A x¸c
®Þnh bëi c«ng thøc
∞
Ax = λn x, en en , x ∈ H
n=1
lµ mét to¸n tö compact tõ H vµo H.
18
§Ò Thi TuyÓn Sinh Sau ®¹i häc n¨m 2003
M«n §¹i Sè
Thêi gian 180'
C©u 1. XÐt nhãm nh©n C∗ cña tr-êng C c¸c sè phøc. Ký hiÖu Gk lµ tËp
c¸c c¨n bËc pk cña phÇn tö ®¬n vÞ cña C (p lµ sè nguyªn tè vµ k lµ sè
∞
Gk .
nguyªn d-¬ng) vµ G =
k=1
a) Chøng tá r»ng G lµ mét nhãm con cÊp v« h¹n kh«ng cyclic cña C∗
vµ mäi nhãm con thùc sù cña G ®Òu lµ nhãm con cyclic h÷u h¹n.
b) Trªn G, xÐt hai phÐp to¸n ⊕, nh- sau:
∀x, y ∈ G, x ⊕ y = xy, x y = 0.
Chøng minh r»ng, (G, ⊕, ) lµ mét vµnh giao ho¸n, kh«ng chøa ®¬n vÞ
vµ kh«ng cã idean tèi ®¹i.
C©u 2. Cho D lµ mét miÒn nguyªn víi ®¬n vÞ e sao cho mçi nhãm con
cña nhãm céng cña D lµ mét idean cña D. Chøng minh r»ng, D ®¼ng cÊu
víi vµnh Z c¸c sè nguyªn hoÆc D ®¼ng cÊu víi vµnh Zp c¸c sè nguyªn
mod(p), víi p lµ mét sè nguyªn tè.
C©u 3. XÐt kh«ng gian vector thùc M(n, R) gåm c¸c ma trËn vu«ng
cÊp n víi hÖ tö trªn tr-êng R c¸c sè thùc. Ký hiÖu S (n) lµ tËp con c¸c
ma trËn ®èi xøng vµ A(n) lµ tËp con c¸c ma trËn ph¶n ®èi xøng cña
M(n, R).
a) Chøng minh r»ng, S (n) vµ A(n) lµ nh÷ng kh«ng gian con cña
M(n, R) vµ x¸c ®Þnh sè chiÒu cña chóng.
b) Chøng tá M(n, R) = S (n) ⊕ A(n).
C©u 4. XÐt kh«ng gian vector Kn gåm c¸c bé n phÇn tö cña tr-êng K
(n lµ sè nguyªn d-¬ng). Chøng minh r»ng,
a) TËp nghiÖm cña mét hÖ ph-¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh thuÇn nhÊt n Èn,
h¹ng r víi c¸c hÖ tö thuéc tr-êng K lËp thµnh mét kh«ng gian con cña
Kn cã sè chiÒu lµ d = n − r.
b) Víi mäi kh«ng gian con W cña Kn sao cho dim W = d, tån t¹i
mét hÖ ph-¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh thuÇn nhÊt n Èn, h¹ng r = n − d víi hÖ
tö thuéc K sao cho tËp nghiÖm trïng víi kh«ng gian con ®· cho./.
19
