Đáp Án Toán Khối D Năm 2006
Tham khảo tài liệu 'đáp án toán khối d năm 2006', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐÁP ÁN - THANG ĐIỂM
KỲ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2006
ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: TOÁN, khối D
(Đáp án - Thang điểm có 04 trang)
Câu Ý Nội dung Điểm
I 2,00
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1,00 điểm)
y = x 3 − 3x + 2.
• TXĐ: .
• Sự biến thiên: y ' = 3x 2 − 3, y ' = 0 ⇔ x = − 1, x = 1. 0,25
Bảng biến thiên:
x -∞ -1 1 +∞
y' + 0 _ 0 +
4 +∞
y
0
-∞
yCĐ = y ( −1) = 4, yCT = y (1) = 0. 0,50
• Đồ thị:
y
4
2
−2 0,25
−1 O 1 x
2 Tìm m để d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt (1,00 điểm)
Phương trình đường thẳng d là: y = m ( x − 3) + 20. 0,25
Phương trình hoành độ giao điểm của d và ( C ) là:
( )
x 3 − 3x + 2 = m ( x − 3) + 20 ⇔ ( x − 3) x 2 + 3x + 6 − m = 0. 0,25
Đường thẳng d cắt đồ thị ( C ) tại 3 điểm phân biệt khi và chỉ khi
0,25
f ( x ) = x 2 + 3x + 6 − m có 2 nghiệm phân biệt khác 3
⎧Δ = 9 − 4 ( 6 − m ) > 0 ⎧ 15
⎪ ⎪m >
⇔ ⎨ ⇔ ⎨ 4
⎪
⎩ f ( 3) = 24 − m ≠ 0 ⎪m ≠ 24. 0,25
⎩
1/4
II 2,00
1 Giải phương trình (1,00 điểm)
Phương trình đã cho tương đương với:
− 2sin 2x.sin x − 2sin 2 x = 0 ⇔ sin x ( sin 2x + sin x ) = 0
0,50
⇔ sin 2 x ( 2 cos x + 1) = 0.
• sin x = 0 ⇔ x = kπ ( k ∈ ). 0,25
1 2π
• cos x = − ⇔ x=± + k2π ( k ∈ ). 0,25
2 3
2 Giải phương trình (1,00 điểm)
t2 +1
Đặt t = 2x − 1 ( t ≥ 0 ) ⇒ x = . Phương trình đã cho trở thành:
2
0,25
t 4 − 4t 2 + 4t − 1 = 0
⇔ ( t − 1)
2
(t 2
)
+ 2t − 1 = 0 ⇔ t = 1, t = 2 − 1. 0,50
Với t = 1, ta có x = 1. Với t = 2 − 1, ta có x = 2 − 2. 0,25
III 2,00
1 Tìm tọa độ điểm A ' đối xứng với A qua d1 (1,00 điểm)
Mặt phẳng ( α ) đi qua A (1; 2;3) và vuông góc với d1 có phương trình là:
0,50
2 ( x − 1) − ( y − 2 ) + ( z − 3) = 0 ⇔ 2x − y + z − 3 = 0.
Tọa độ giao điểm H của d1 và ( α ) là nghiệm của hệ:
⎧x − 2 y + 2 z −3 ⎧x = 0
⎪ = = ⎪
⎨ 2 −1 1 ⇔ ⎨ y = −1 ⇒ H ( 0; −1; 2 ) . 0,25
⎪2x − y + z − 3 = 0
⎩ ⎪z = 2
⎩
Vì A ' đối xứng với A qua d1 nên H là trung điểm của AA ' ⇒ A ' ( −1; −4;1) . 0,25
2 Viết phương trình đường thẳng Δ (1,00 điểm)
Vì Δ đi qua A, vuông góc với d1 và cắt d 2 , nên Δ đi qua giao điểm B của
0,25
d 2 và ( α ) .
Tọa độ giao điểm B của d 2 và ( α ) là nghiệm của hệ:
⎧ x −1 y −1 z +1 ⎧x = 2
⎪ = = ⎪
⎨ −1 2 1 ⇔ ⎨ y = −1 ⇒ B ( 2; − 1; − 2 ) . 0,25
⎪2x − y + z − 3 = 0
⎩ ⎪z = − 2
⎩
Vectơ chỉ phương của Δ là: u = AB = (1; −3; −5 ) . 0,25
x −1 y − 2 z − 3
Phương trình của Δ là: = = . 0,25
1 −3 −5
IV 2,00
1 Tính tích phân (1,00 điểm)
1
⎧u = x − 2
⎪ 1
I = ∫ ( x − 2 ) e2x dx. Đặt ⎨ 2x
⇒ du = dx, v = e2x . 0,25
0 ⎪dv = e dx
⎩ 2
1 1
1 1
I = ( x − 2 ) e 2x − ∫ e2x dx 0,25
2 0 20
1
e2 1 5 − 3e 2
= − + 1 − e 2x = . 0,50
2 4 0 4
2/4
2 Chứng minh với mọi a > 0, hệ phương trình có nghiệm duy nhất (1,00 điểm)
Điều kiện: x, y > −1. Hệ đã cho tương đương với:
⎧e x + a − e x + ln (1 + x ) − ln (1 + a + x ) = 0
⎪ (1)
⎨
⎪y = x + a
⎩ ( 2)
Hệ đã cho có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi phương trình (1) có nghiệm duy 0,25
nhất trong khoảng ( − 1; + ∞ ) .
Xét hàm số f ( x ) = e x + a − e x + ln (1 + x ) − ln (1 + a + x ) , với x > −1.
Do f ( x ) liên tục trong khoảng ( − 1; + ∞ ) và
lim f ( x ) = − ∞, lim f ( x ) = + ∞
x →−1+ x→ + ∞
nên phương trình f ( x ) = 0 có nghiệm trong khoảng ( − 1; + ∞ ) . 0,25
Mặt khác:
1 1
f ' ( x ) = ex + a − ex + −
1+ x 1+ a + x
= ex ( )
ea − 1 +
a
(1 + x )(1 + a + x )
> 0, ∀x > −1.
0,25
⇒ f ( x ) đồng biến trong khoảng ( − 1; + ∞ ) .
Suy ra, phương trình f ( x ) = 0 có nghiệm duy nhất trong khoảng ( − 1; + ∞ ) . 0,25
Vậy, hệ đã cho có nghiệm duy nhất.
V.a
1 Tìm tọa độ điểm M để đường tròn tâm M tiếp xúc ... (1,00 điểm)
Đường tròn ( C ) có tâm I (1; 1) , bán kính R = 1.
Vì M ∈ d nên M ( x; x + 3) . 0,25
Yêu cầu của bài toán tương đương với:
2 2
MI = R + 2R ⇔ ( x − 1) + ( x + 2 ) = 9 ⇔ x = 1, x = − 2. 0,50
Vậy, có hai điểm M thỏa mãn yêu cầu bài toán là: M1 (1; 4 ) , M 2 ( − 2; 1) . 0,25
2 Số cách chọn 4 học sinh thuộc không quá 2 trong 3 lớp (1,00 điểm)
4
Số cách chọn 4 học sinh từ 12 học sinh đã cho là C12 = 495. 0,25
Số cách chọn 4 học sinh mà mỗi lớp có ít nhất một em được tính như sau:
- Lớp A có 2 học sinh, các lớp B, C mỗi lớp có 1 học sinh. Số cách chọn là:
C5 .C1 .C1 = 120.
2
4 3
- Lớp B có 2 học sinh, các lớp C, A mỗi lớp có 1 học sinh. Số cách chọn là:
C1 .C2 .C1 = 90.
5 4 3
0,50
- Lớp C có 2 học sinh, các lớp A, B mỗi lớp có 1 học sinh. Số cách chọn là:
C1 .C1 .C3 = 60.
5 4
2
Số cách chọn 4 học sinh mà mỗi lớp có ít nhất một học sinh là:
120 + 90 + 60 = 270.
Vậy, số cách chọn phải tìm là: 495 − 270 = 225. 0,25
3/4
V.b 2,00
1 Giải phương trình (1,00 điểm)
Phương trình đã cho tương đương với:
(
22x 2 x
2
−x
) (
− 1 − 4 2x
2
−x
) (
− 1 = 0 ⇔ 22x − 4 2 x )(
2
−x
)
− 1 = 0. 0,50
• 22x − 4 = 0 ⇔ 22x = 22 ⇔ x = 1.
2 2
• 2 x − x − 1 = 0 ⇔ 2 x − x = 1 ⇔ x 2 − x = 0 ⇔ x = 0, x = 1. 0,50
Vậy, phương trình đã cho có hai nghiệm x = 0, x = 1.
2 Tính thể tích của khối chóp A.BCNM (1,00 điểm)
S
N
H
M
A C
K
B
Gọi K là trung điểm của BC, H là hình chiếu vuông góc của A trên SK.
Do BC ⊥ AK, BC ⊥ SA nên BC ⊥ AH. 0,25
Do AH ⊥ SK, AH ⊥ BC nên AH ⊥ ( SBC ) .
1 1 1 2 3a
Xét tam giác vuông SAK: 2
= 2
+ 2
⇒ AH = . 0,25
AH SA AK 19
SM SA 2 4
Xét tam giác vuông SAB: SA 2 = SM.SB ⇒ = = .
SB SB2 5
SN SA 2 4 0,25
Xét tam giác vuông SAC: SA 2 = SN.SC ⇒ = = .
SC SC2 5
S 16 9 9 19a 2
Suy ra: SMN = ⇒ SBCNM = SSBC = .
SSBC 25 25 100
1 3 3a 3
Vậy, thể tích của khối chóp A.BCNM là: V = .AH.SBCNM = . 0,25
3 50
NÕu thÝ sinh lµm bµi kh«ng theo c¸ch nªu trong ®¸p ¸n mµ vÉn ®óng th× ®−îc ®ñ ®iÓm tõng
phÇn nh− ®¸p ¸n quy ®Þnh.
---------------- Hết ----------------
4/4
