Đáp án Toán khối B năm 2007
Đề thi và đáp án các môn khối B năm 2007
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐÁP ÁN - THANG ĐIỂM
ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2007
ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: TOÁN, khối B
(Đáp án - Thang điểm gồm 04 trang)
Câu Ý Nội dung Điểm
I 2,00
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1,00 điểm)
Khi m =1 ta có y = − x 3 + 3x 2 − 4 .
• Tập xác định: D = .
0,25
• Sự biến thiên:
y ' = −3x 2 + 6x, y ' = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 2.
Bảng biến thiên:
x −∞ 0 2 +∞
y' − 0 + 0 −
0,50
+∞ 0
y −4 −∞
yCĐ = y(2) = 0, yCT = y(0) = − 4.
• Đồ thị: y
−1 2
O x
0,25
−4
2 Tìm m để hàm số (1) có cực đại, cực tiểu … (1,00 điểm)
Ta có: y ' = −3x 2 + 6x + 3(m 2 − 1) , y' = 0 ⇔ x 2 − 2x − m 2 + 1 = 0 (2).
0,50
Hàm số (1) có cực trị ⇔ (2) có 2 nghiệm phân biệt ⇔ ∆' = m2 > 0 ⇔ m ≠ 0.
Gọi A, B là 2 điểm cực trị ⇒ A(1 − m; −2 − 2m3), B(1 + m; − 2 + 2m3).
1 0,50
O cách đều A và B ⇔ OA = OB ⇔ 8m3 = 2m ⇔ m = ± (vì m ≠ 0).
2
II 2,00
1 Giải phương trình lượng giác (1,00 điểm)
Phương trình đã cho tương đương với:
sin 7x − sin x + 2sin 2 2x − 1 = 0 ⇔ cos 4x ( 2sin 3x − 1) = 0. 0,50
π π
• cos 4x = 0 ⇔ x = + k (k ∈ Z).
8 4
1 π 2π 5π 2π 0,50
• sin 3x = ⇔ x = + k hoặc x = +k ( k ∈ Z).
2 18 3 18 3
1/4
2 Chứng minh phương trình có hai nghiệm (1,00 điểm)
Điều kiện: x ≥ 2. Phương trình đã cho tương đương với
⎡x = 2
( )
( x − 2 ) x 3 + 6x 2 − 32 − m = 0 ⇔ ⎢ 3 2
⎣ x + 6x − 32 − m = 0. 0,50
Ta chứng minh phương trình: x 3 + 6x 2 − 32 = m (1) có một nghiệm trong
khoảng ( 2; +∞ ) .
Xét hàm f ( x ) = x 3 + 6x 2 − 32 với x > 2. Ta có:
f ' ( x ) = 3x 2 + 12x > 0, ∀x > 2.
Bảng biến thiên:
x 2 +∞
f '(x) + 0,50
+∞
f(x)
0
Từ bảng biến thiên ta thấy với mọi m > 0 , phương trình (1) luôn có một
nghiệm trong khoảng ( 2; +∞ ) .
Vậy với mọi m > 0 phương trình đã cho luôn có hai nghiệm thực phân biệt.
III 2,00
1 Viết phương trình mặt phẳng (Q) (1,00 điểm)
(S) : ( x − 1)2 + ( y + 2 )2 + ( z + 1)2 = 9 có tâm I (1; −2; −1) và bán kính R = 3. 0,25
Mặt phẳng (Q) cắt (S) theo đường tròn có bán kính R = 3 nên (Q) chứa I. 0,25
(Q) có cặp vectơ chỉ phương là: OI = (1; −2; −1) , i = (1;0;0 ) .
0,25
⇒ Vectơ pháp tuyến của (Q) là: n = ( 0; −1; 2 ) .
Phương trình của (Q) là: 0. ( x − 0 ) − 1. ( y − 0 ) + 2 ( z − 0 ) = 0 ⇔ y − 2z = 0. 0,25
2 Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt cầu sao cho khoảng cách lớn nhất (1,00 điểm)
Gọi d là đường thẳng đi qua I và vuông góc với (P). Đường thẳng d cắt (S) tại
hai điểm A, B . Nhận xét: nếu d ( A; ( P ) ) ≥ d ( B; ( P ) ) thì d ( M; ( P ) ) lớn nhất
0,25
khi M ≡ A.
x −1 y + 2 z + 1
Phương trình đường thẳng d: = = . 0,25
2 −1 2
Tọa độ giao điểm của d và (S) là nghiệm của hệ
⎧( x − 1)2 + ( y + 2 )2 + ( z + 1)2 = 9
⎪
⎨ x −1 y + 2 z + 1 0,25
⎪ = = .
⎩ 2 −1 2
Giải hệ ta tìm được hai giao điểm A ( −1; −1; −3) , B ( 3; −3;1) .
Ta có: d ( A; ( P ) ) = 7 ≥ d ( B; ( P ) ) = 1.
0,25
Vậy khoảng cách từ M đến (P) lớn nhất khi M ( −1; −1; −3) .
IV 2,00
1 Tính thể tích vật thể tròn xoay (1, 00 điểm)
Phương trình hoành độ giao điểm của các đường y = x ln x và y = 0 là:
0,25
x ln x = 0 ⇔ x = 1.
2/4
Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình H quanh trục hoành là:
e e
V = π ∫ y dx = π∫ ( x ln x ) dx.
2 2 0,25
1 1
2 ln x x3
Đặt u = ln 2 x, dv = x 2dx ⇒ du = dx, v = . Ta có:
x 3
e e e e 0,25
x3 2 2 e3 2
∫ ( x ln x )
2
dx = ln x − ∫ x 2 ln xdx = − ∫ x 2 ln xdx.
1
3 1
31 3 31
2dx x3
Đặt u = ln x, dv = x dx ⇒ du = , v = . Ta có:
x 3
e e e e
x3 1 e3 x 3 2e3 + 1
∫ ln x − ∫ x 2 dx = −
2
x ln xdx = = . 0,25
1
3 1
31 3 9 1 9
Vậy V =
(
π 5e3 − 2
(đvtt).
)
27
2 Tìm giá trị nhỏ nhất của P (1,00 điểm)
x 2 y2 z 2 x 2 + y2 + z 2
Ta có: P = + + + .
2 2 2 xyz
x 2 + y2 y2 + z 2 z 2 + x 2 0,50
Do x 2 + y 2 + z 2 = + + ≥ xy + yz + zx
2 2 2
⎛ x 2 1 ⎞ ⎛ y2 1 ⎞ ⎛ z 2 1 ⎞
nên P ≥ ⎜ + ⎟ + ⎜ + ⎟ + ⎜ + ⎟ .
⎜ 2 x⎟ ⎜ 2 y⎟ ⎜ 2 z⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
t2 1
Xét hàm số f ( t ) = + với t > 0. Lập bảng biến thiên của f(t) ta suy ra
2 t
3 9
f ( t ) ≥ , ∀t > 0. Suy ra: P ≥ . Dấu bằng xảy ra ⇔ x = y = z = 1. 0,50
2 2
9
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là .
2
V.a 2,00
1 Tìm hệ số trong khai triển… (1,00 điểm)
Ta có: 3n C0 − 3n −1 C1 + 3n −2 C 2 − ... + ( −1) Cn = ( 3 − 1) = 2n .
n n
n n n n
0,50
Từ giả thiết suy ra n = 11 .
Hệ số của số hạng chứa x10 trong khai triển Niutơn của ( 2 + x )
11
là:
0,50
C10 .21 = 22.
11
2 Xác định tọa độ điểm B, C sao cho …(1,00 điểm)
Vì B ∈ d1 , C ∈ d 2 nên B ( b; 2 − b ) , C ( c;8 − c ) . Từ giả thiết ta có hệ:
⎧AB.AC = 0
⎪ ⎪bc − 4b − c + 2 = 0
⎧ ⎪( b − 1)( c − 4 ) = 2
⎧
⎨ ⇔⎨ 2 ⇔⎨
⎪( b − 1) − ( c − 4 ) = 3.
⎩AB = AC
⎪
2
⎩b − 2b = c − 8c + 18
⎪
2 2 0,50
⎩
⎧ xy = 2
⎪
Đặt x = b − 1, y = c − 4 ta có hệ ⎨ 2 2
⎪ x − y = 3.
⎩
Giải hệ trên ta được x = −2, y = −1 hoặc x = 2, y = 1 . 0,50
Suy ra: B ( −1;3) , C ( 3;5 ) hoặc B ( 3; −1) , C ( 5;3) .
3/4
V.b 2,00
1 Giải phương trình mũ (1,00 điểm)
( )
x
Đặt 2 −1 = t ( t > 0 ) , ta có phương trình
1 0,50
t + − 2 2 = 0 ⇔ t = 2 − 1, t = 2 + 1.
t
Với t = 2 − 1 ta có x = 1.
Với t = 2 + 1 ta có x = −1. 0,50
2 (1,00 điểm)
Gọi P là trung điểm của SA. Ta có MNCP là hình bình hành nên MN song
song với mặt phẳng (SAC). Mặt khác, BD ⊥ ( SAC ) nên BD ⊥ MN.
S
E
0,50
P
M
A
D
B
N C
Vì MN || ( SAC ) nên
1 1 a 2
d ( MN; AC ) = d ( N;(SAC ) = d ( B; ( SAC ) ) = BD = .
2 4 4 0,50
a 2
Vậy d ( MN; AC ) = .
4
NÕu thÝ sinh lµm bµi kh«ng theo c¸ch nªu trong ®¸p ¸n mµ vÉn ®óng th× ®−îc ®ñ ®iÓm tõng
phÇn nh− ®¸p ¸n quy ®Þnh.
----------------Hết----------------
4/4
