Đáp án Toán Khối A năm 2008
Đề thi và đáp án môn Toán 2008
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2008
ĐỀ CHÍNH THỨC Môn thi: TOÁN, khối A
(Đáp án - thang điểm gồm 05 trang)
Câu Nội dung Điểm
I 2,00
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1,00 điểm)
x2 + x − 2 4
Khi m = 1 hàm số trở thành: y = = x−2+ .
x+3 x +3
• TXĐ: D = \ {−3} .
4 x 2 + 6x + 5 ⎡ x = −1 0,25
• Sự biến thiên: y ' = 1 − = , y' = 0 ⇔ ⎢
⎣ x = −5
2 2
(x + 3) (x + 3)
• yCĐ = y ( −5 ) = −9 , yCT = y ( −1) = −1.
• TCĐ: x = −3 , TCX: y = x − 2. 0,25
• Bảng biến thiên:
x −∞ −5 −3 −1 +∞
y’ + 0 − − 0 +
−9 +∞ +∞ 0,25
y
−∞ −∞ −1
• Đồ thị: y
-5 -1 O
-3 2 x
-1
-2
0,25
-9
2 Tìm các giá trị của tham số m ... (1,00 điểm)
mx 2 + (3m 2 − 2)x − 2 6m − 2
y= = mx − 2 + .
x + 3m x + 3m
0,25
1
• Khi m = đồ thị hàm số không tồn tại hai tiệm cận.
3
1
• Khi m ≠ đồ thị hàm số có hai tiệm cận :
3 0,25
d1: x = −3m ⇔ x + 3m = 0, d2: y = mx − 2 ⇔ mx − y − 2 = 0.
Vectơ pháp tuyến của d1, d2 lần lượt là n1 = (1;0) , n 2 = (m; − 1).
Góc giữa d1 và d2 bằng 45o khi và chỉ khi
0,50
n1.n 2 m m 2
cos450 = = ⇔ = ⇔ m = ± 1.
n1 . n 2 m2 + 1 m2 + 1 2
Trang 1/5
II 2,00
1 Giải phương trình lượng giác (1,00 điểm)
3π
Điều kiện sin x ≠ 0 và sin(x − ) ≠ 0.
2
1 1
Phương trình đã cho tương đương với: + = −2 2(s inx + cosx) 0,50
s inx cosx
⎛ 1 ⎞
⇔ (s inx + cosx) ⎜ + 2 2 ⎟ = 0.
⎝ s inxcosx ⎠
π
• s inx + cosx = 0 ⇔ x = − + kπ.
4
1 2 π 5π
• + 2 2 = 0 ⇔ sin 2x = − ⇔ x = − + kπ hoặc x = + kπ. 0,50
s inxcosx 2 8 8
Đối chiếu với điều kiện ta được nghiệm của phương trình là :
π π 5π
x = − + kπ ; x = − + kπ ; x = + kπ (k ∈ ).
4 8 8
2 Giải hệ... (1,00 điểm)
⎧ 2 5 ⎧ 2 5
⎪ x + y + xy + xy ( x + y ) = − 4
3 2 2
⎪ x + y + x y + xy + xy = − 4
⎪ ⎪
⎨ ⇔⎨ (∗)
⎪ x 4 + y 2 + xy(1 + 2x) = − 5 ⎪(x 2 + y) 2 + xy = − 5
⎪
⎩ 4 ⎪
⎩ 4
⎧ 5
⎧u = x 2 + y ⎪ u + v + uv = − 4
⎪
Đặt ⎨ . Hệ phương trình (∗) trở thành ⎨ 0,50
⎩ v = xy ⎪u 2 + v = − 5
⎪
⎩ 4
⎧ 5 2 ⎡ 5
⎪v = − 4 − u
⎪ ⎢ u = 0, v = − 4
⇔⎨ ⇔ ⎢
⎪u 3 + u 2 + u = 0 ⎢u = − 1 , v = − 3 .
⎪
⎩ 4 ⎢
⎣ 2 2
⎧x + y = 0
2
5 ⎪ 5 25
• Với u = 0, v = − ta có hệ pt ⎨ 5 ⇔ x = 3 và y = − 3 .
4 ⎪ xy = − 4 16
⎩ 4
1 3
• Với u = − , v = − ta có hệ phương trình
2 2
⎧ 2 3 1 0,50
⎪ x − 2x + 2 = 0 ⎧2x 3 + x − 3 = 0
⎪ ⎪ 3
⎨ ⇔⎨ 3 ⇔ x = 1 và y = − .
⎪y = − 3 ⎪y = − 2
⎪ ⎩ 2x
⎩ 2x
⎛ 5 25 ⎞ ⎛ 3⎞
Hệ phương trình có 2 nghiệm : ⎜ 3 ; − 3⎜ 4 ⎟ và ⎜1; − ⎟ .
⎟
⎝ 16 ⎠ ⎝ 2⎠
III 2,00
1 Tìm toạ độ hình chiếu vuông góc của A trên d (1,00 điểm)
Đường thẳng d có vectơ chỉ phương u ( 2;1; 2 ) . Gọi H là hình chiếu vuông góc
0,50
của A trên d, suy ra H(1 + 2t ; t ; 2 + 2t) và AH = (2t − 1; t − 5; 2t − 1).
Vì AH ⊥ d nên AH. u = 0 ⇔ 2(2t – 1 ) + t – 5 + 2(2t – 1) = 0 ⇔ t = 1.
0,50
Suy ra H ( 3;1; 4 ) .
Trang 2/5
2 Viết phương trình mặt phẳng (α) chứa d sao cho... (1,00 điểm)
Gọi K là hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng (α).
Ta có d(A, (α) ) = AK ≤ AH (tính chất đường vuông góc và đường xiên). Do đó 0,50
khoảng cách từ A đến (α) lớn nhất khi và chỉ khi AK = AH, hay K ≡ H.
Suy ra (α) qua H và nhận vectơ AH = (1 ; – 4 ; 1) làm vectơ pháp tuyến.
Phương trình của (α) là 0,50
1(x − 3) − 4(y − 1) + 1(z − 4) = 0 ⇔ x − 4y + z − 3 = 0.
IV 2,00
1 Tính tích phân... (1,00 điểm)
π π
4
6
tg x 6
tg 4 x
I= ∫ cos 2x
0
dx = ∫
0 (1 − tg x ) cos x
2 2
dx.
0,25
dx π 1
Đặt t = tgx ⇒ dt = 2
. Với x = 0 thì t = 0 ; với x = thì t = .
cos x 6 3
Suy ra
1 1 1
1
3
t4 3
1 3
⎛ 1 1 ⎞ ⎛ t3 1 t +1 ⎞ 0,50
I= ∫ 1− t 2 (
dt = − ∫ t 2 + 1 dt + ∫) ⎜ − ⎟ dt = ⎜ − − t + ln
⎝ t +1 t −1 ⎠
⎟ 3
2 t −1 ⎠
0 0
20 ⎝ 3 0
=
1
2
(
ln 2 + 3 −
10
9 3
. ) 0,25
2 Tìm các giá trị của m... (1,00 điểm)
Điều kiện: 0 ≤ x ≤ 6 .
Đặt vế trái của phương trình là f (x) , x ∈ [ 0; 6] .
1 1 1 1
Ta có f '(x) = + − −
2 4 (2x)3 2x 2 4 (6 − x)3 6−x
1⎛ 1 1 ⎞ ⎛ 1 1 ⎞
= ⎜ − ⎟+⎜ − ⎟, x ∈ (0;6). 0,50
2 ⎜ 4 (2x)
⎝
3 4
(6 − x)3 ⎟ ⎝ 2x
⎠ 6−x ⎠
⎛ 1 1 ⎞ ⎛ 1 1 ⎞
Đặt u(x) = ⎜ − ⎟ , v(x) = ⎜ − ⎟.
⎜ 4 (2x)3 4 (6 − x)3 ⎟ ⎝ 2x 6−x ⎠
⎝ ⎠
Ta thấy u ( 2 ) = v ( 2 ) = 0 ⇒ f '(2) = 0. Hơn nữa u(x), v(x) cùng dương trên
khoảng ( 0; 2 ) và cùng âm trên khoảng ( 2;6 ) .
Ta có bảng biến thiên:
x 0 2 6
f’(x) + 0 −
3 2 +6 0,50
f(x) 2 6 + 2 4 6
4
12 + 2 3
Suy ra các giá trị cần tìm của m là: 2 6 + 2 4 6 ≤ m < 3 2 + 6.
Trang 3/5
V.a 2,00
1 Viết phương trình chính tắc của elíp... (1,00 điểm)
x 2 y2
Gọi phương trình chính tắc của elíp (E) là: 2 + 2 = 1 , a > b > 0.
a b
⎧c 5
⎪ =
⎪a
⎪
3 0,50
Từ giả thiết ta có hệ phương trình: ⎨2 ( 2a + 2b ) = 20
⎪ 2 2 2
⎪c = a − b .
⎪
⎩
Giải hệ phương trình trên tìm được a = 3 và b = 2.
x 2 y2 0,50
Phương trình chính tắc của (E) là + = 1.
9 4
2 Tìm số lớn nhất trong các số a 0 , a1 ,..., a n ... (1,00 điểm)
a1 a ⎛1⎞
Đặt f ( x ) = (1 + 2x ) = a 0 + a1x + ... + a n x n ⇒ a 0 +
n
+ ... + n = f ⎜ ⎟ = 2n.
n
2 2 ⎝2⎠ 0,50
Từ giả thiết suy ra 2n = 4096 = 212 ⇔ n = 12.
Với mọi k ∈ {0,1, 2,...,11} ta có a k = 2k C12 , a k +1 = 2k +1 C12+1
k k
ak 2k C12
k
k +1 23
< 1 ⇔ k +1 k +1 < 1 ⇔ 1 ⇔ k > 7. Do đó a 8 > a 9 > ... > a12 .
a k +1
Số lớn nhất trong các số a 0 , a1 ,..., a12 là a 8 = 28 C12 = 126720.
8
V.b 2,00
1 Giải phương trình logarit... (1,00 điểm))
1
Điều kiện: x > và x ≠ 1.
2
Phương trình đã cho tương đương với
log 2x −1 (2x − 1)(x + 1) + log x +1 (2x − 1) 2 = 4 0,50
⇔ 1 + log 2x −1 (x + 1) + 2 log x +1 (2x − 1) = 4.
2 ⎡t = 1
Đặt t = log 2x −1 (x + 1), ta có t + = 3 ⇔ t 2 − 3t + 2 = 0 ⇔ ⎢
t ⎣ t = 2.
• Với t = 1 ⇔ log 2x −1 (x + 1) = 1 ⇔ 2x − 1 = x + 1 ⇔ x = 2.
⎡ x = 0 (lo¹i)
• Với t = 2 ⇔ log2x −1 (x + 1) = 2 ⇔ (2x − 1)2 = x + 1 ⇔ ⎢
⎢ x = 5 (tháa m·n) 0,50
⎣ 4
5
Nghiệm của phương trình là: x = 2 và x = .
4
Trang 4/5
2 Tính thể tích và tính góc... (1,00 điểm)
A' C'
B'
A
C
H
B
Gọi H là trung điểm của BC.
0,50
1 1 2
Suy ra A ' H ⊥ (ABC) và AH = BC = a + 3a 2 = a.
2 2
Do đó A 'H 2 = A 'A 2 − AH 2 = 3a 2 ⇒ A 'H = a 3.
1 a3
Vậy VA '.ABC = A'H.SΔABC = (đvtt).
3 2
Trong tam giác vuông A 'B' H có: HB' = A 'B'2 + A 'H 2 = 2a nên tam giác
B' BH cân tại B'.
Đặt ϕ là góc giữa hai đường thẳng AA ' và B'C ' thì ϕ = B ' BH 0,50
a 1
Vậy cosϕ = = .
2.2a 4
Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án mà vẫn đúng thì được đủ điểm từng phần
như đáp án quy định.
-------------Hết-------------
Trang 5/5
