Đạo hàm
Công thức đạo hàm và tích phân
ĐẠO HÀM
(u ± v )/ = u / ± v /
1.
(u.v )/ = u / .v + u.v /
2.
(C.v )/ = C.v /
3.
/
u / .v − v / .u
⎛u⎞
⎜ ⎟= ( v ≠ 0)
4.
v2
⎝v⎠
/
− C.v /
⎛C ⎞
=
⎜⎟
5.
v2
⎝v⎠
6.(C ) = 0
/
7.( x ) = 1
/
(u )
α/
= α ..x α −1 .u /
()α/ α −1
= α ..x
8. x /
− v/
⎛1⎞
⎜⎟= 2
/
−1
⎛1⎞
9.⎜ ⎟ = 2 ⎝v⎠ v
⎝ x⎠ x
() u/
/
() u=
1
/
10. x = 2. u
2. x
(a ) = a . ln a.u
u/
( ) =a
/
u
x/
11. a . ln a
x
(e ) = e .u
u/
12.(e ) = e
/
u
x/ x
u/
(log a u )/
1 =
13.(log a x ) =
/
u. ln a
x. ln a
u/
(ln u ) =
1 /
14.(ln x ) =
/
u
x
(sin u ) = u / . cos u
/
15.(sin x ) = cos x
/
(cos u )/ = −u / . sin u
16.(cos x ) = − sin x
/
u/
(tan u )/
1
17.(tan x ) = =
/
cos 2 u
cos 2 x
− u/
−1
(cot u )/
18.(cot x ) = =
/
sin 2 u
sin 2 x
ax + b ad − bc
y= ta có y / =
19.
cx + d (cx + d ) 2
a1 x 2 + b1 x + c1
y=
20. ta có
a 2 x 2 + b2 x + c 2
a1 b1 2 a c1 b c1
x +2 1 x+ 1
a2 b2 a2 c2 b2 c2
y/ =
(a x )
2
+ b2 x + c 2
2
2
• Tìm m để hàm số tăng (giảm)
1.Hàm số bậc 3 ( hàm số hữu tỷ )
Tập xác định
Đạo hàm y/
Hàm số tăng trên R ( trong từng khoảng xác
định): y/ ≥ 0 ∀x ∈ R
⎧a > 0
Giải tìm m
⎨
⎩Δ ≤ 0
Chú ý:Nếu hệ số a của y/ có chứa tham số thì phải
xét khi a = 0
Tương tự cho hàm số giảm:
⎧a < 0
y/ ≤ 0 ∀x∈ R ⇔ ⎨
⎩Δ ≤ 0
ax + b
2.Hàm số nhất biến : y =
cx + d
Tập xác định
Đạo hàm y/
Hàm số tăng (giảm) trong từng khoảng xác
định : y/ > 0 ( y/ < 0 ) . Giải tìm m
Chú ý : Nếu hệ số c có chứa tham số ta xét thêm c
=0
• Tìm m để hàm số có cực đại , cực tiểu
Tập xác định
Đạo hàm y/
Hàm số có cực đại,cực tiểu khi y/ = 0 có hai
⎧a ≠ 0
nghiệm phân biệt ⎨
⎩Δ > 0
Giải tìm m
• Dùng dấu hiệu 2 tìm cực trị
Tập xác định
Đạo hàm y/
Giải ph ương trình y/ = 0 tìm nghiệm x0
Đạo hàm y//.Tính y//(x0)
* Nếu y//(x0) > 0 : hàm số đạt cực tiểu tại x0
* Nếu y//(x0) < 0 : hàm số đạt cực đại tại x0
• Tìm m để hàm số đạt cực trị tại x0
Cách 1: Tập xác định
Đạo hàm y/
Hàm số đạt cực trị tại x0 :
y/(x0) = 0
y/ đổi dấu khi x qua x0
Chú ý:
Hàm số đạt cực tiểu tại x0 :
y/ (x0) = 0
y/ đổi dấu từ “ – “ sang “ +”
Hàm số đạt cực đại tại x0 :
/
y (x0) = 0
y/ đổi dấu từ “ + “ sang “–”
Cách 2: Tập xác định
Đạo hàm y/
Đạo hàm y//
Hàm số đạt cực trị tại x0 :
⎧ y / ( x0 ) = 0
⎨ //
⎩ y ( x0 ) ≠ 0
Cực đại: { y/ (x0) = 0 và y// (x0) < 0 }
Cực tiểu : { y/ (x0) = 0 và y// (x0) > 0 }
• Hàm số đạt cực trị bằng y0 tại x0
Tập xác định
Đạo hàm y/ = f/ (x)
Hàm số đạt cực trị bằng y0 tại x0 khi
⎧ f / ( x0 ) = 0
⎪
⎨ f ( x0 ) = y 0
⎪ f // ( x ) ≠ 0
⎩ 0
• Tìm GTLN,GTNN trên đoạn [a,b]
Tìm xi ∈[a,b]: f/(xi) = 0 hoặc f/(xi) không xác định
Tính f(a), f(xi) , f(b)
Kết luận max y = max{ f (a); f ( xi ); f (b)}
min y = min{ f (a ); f ( xi ); f (b)}
• Tiếp tuyến của đường cong ( C)
1.Tiếp tuyến tại M(x0,y0): y = f/ (x0).(x – x0 ) + y0
2.Tiếp tuyến đi qua A(xA ,yA):
(d): y = k.(x – xA) + yA = g(x)
⎧ f ( x) = g ( x)
Điều kiện tiếp xúc: ⎨ /
⎩ f ( x) = g ( x)
/
k tt = f / ( x 0 ) = k d
3.Tiếp tuyến sg sg (d)
k tt . k d = − 1
4.Ttuyến vuông góc (d) :
• Biện luận số giao điểm của ( C) và d
(d): y = k(x – xA) + yA = g(x)
Ptrình hoành độ giao điểm: f(x) = g(x) (*)
• Nếu (*) là phương trình bậc 2:
1) Xét a= 0:kết luận số giao điểm của (C) và(d)
2) Xét a ≠ 0 : + Lập Δ = b2 – 4ac
+ Xét dấu Δ và kết luận
(Chú ý: (d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt
⎧a ≠ 0
⇔⎨
⎩Δ > 0
• Nếu (*) là phương trình bậc 3:
1) Đưa về dạng (x – x0)(Ax2 + Bx + C) = 0
x = x0
⎡
⎢ Ax 2 + Bx + C = 0 = g ( x) (2)
⎣
2) Xét trường hợp (2) có nghiệm x = x0
3) Tính Δ của (2), xét dấu Δ và kết luận
(Chú ý: (d) cắt (C) tại 3 điểm phân biệt khi
phương trình (2) có 2 no pb x1 , x2 khác x0)
⎧ A≠0
⎪
⇔ ⎨ Δ ( 2) > 0
⎪g ( x ) ≠ 0
⎩ 0
• Dùng đồ thị (C) biện luận số
nghiệm phương trình f (x) – g(m) = 0
Đưa phương trình về dạng : f(x) = g(m) (*)
Ptrình (*) là ptrình hoành độ giao điểm của
(C) :y = f(x) và (d): y = g(m) ( (d) // Ox )
Dựa vào đồ thị biện luận số nghiệm của phương
trình.
LŨY THỪA
• a n = a.a...a • (a.b) n = a n .b n
( n thừa số) n
⎛a⎞ an
• a =1
0
•⎜ ⎟ = n
⎝b⎠ b
1
• a −n = • (a m ) n = (a n ) m = a m.n
an m
• a m+ n = a m .a n • a = n am
n
am 1
m− n
•a =n • a =n a
n
a
PHƯƠNG TRÌNH MŨ
a =1
⎧ 0 < a ≠1 ⎧
= a g ( x) ⇔ ⎨ ∨⎨
a f ( x)
⎩ f ( x) = g ( x) ⎩ D f ( x ) ∩ D g ( x )
a>0
⎧
> a g ( x) ⇔ ⎨
a f ( x)
⎩(a − 1).[ f ( x) − g ( x)] > 0
• a >1 thì a f ( x ) > a g ( x ) ⇔ f ( x) > g ( x)
• 0 < a < 1 thì a f ( x ) > a g ( x ) ⇔ f ( x) < g ( x)
LOGARIT
• log a 1 = 0
• log a N = M ⇔ a M = N
• log a a = 1
( a, N > 0 , a ≠ 1 )
• log a a N = N • a log a N = N
• log a N1 .N 2 = log a N1 + log a N 2
N1
• log a = log a N1 − log a N 2
N2
log b N
• log a N = • log b a. log a N = log b N
log b a
1
• log a N =
log N a
1
• log a k N = • log a N k = k . log a N
log a N
k
• a >1 thì log a f ( x) > log a g ( x) ⇔ f ( x) > g ( x) > 0
• 0 < a < 1 thì log a f ( x) > log a g ( x) ⇔ 0 < f ( x) < g ( x)
0 < a ≠1
⎧
⎪
log a f ( x) = log a g ( x) ⇔ ⎨ f ( x) > 0 ( g(x) > 0 )
⎪ f(x) = g(x)
⎩
⎧ 0 < a ≠1
⎪ f ( x) > 0
⎪
log a f ( x) > log a g ( x) ⇔ ⎨
g(x) > 0
⎪
⎪(a - 1)[f(x) - g(x)] > 0
⎩
SỐ PHỨC
⎧a = c
* i 2 = −1
a + b.i = c + d .i ⇔ ⎨
⎩b = d
1 z
=2
*
c + d .i (c + d .i )(a − b.i )
zz
=
*
a + b.i (a + b.i )(a − b.i )
*
* z 1 + z 2 = z1 + z 2
z = a + b.i = a 2 + b 2
* z1 − z 2 = z1 − z 2
*
z = a + b.i ⇒ z = a − b.i ⎞ z1
⎛z
⎟=
* z 1 . z 2 = z1 . z 2 ; ⎜ 1 ⎟z
⎜z
* z = z = a +b 2 2
⎠
⎝2 2
1. α = a + b.i .Gọi β là căn bậc 2 của α , ta cĩ:
⎞
⎛ a + a2 + b2 − a + a2 + b2 ⎟
⎜
b≥ 0: β =± + i. ⎟
⎜ 2 2
⎠
⎝
⎞
⎛ a + a2 + b2 − a + a2 + b2 ⎟
⎜
b< 0: β =± − i. ⎟
⎜ 2 2
⎠
⎝
⎧
⎪r = a 2 + b 2
⎪
⎪ a
2. z = r (cos ϕ + i. sin ϕ ) ⎨ cos ϕ =
r
⎪
b
⎪ sin ϕ =
⎪
⎩ r
3. z1 .z 2 = r1 r2 [cos(ϕ1 + ϕ 2 ) + i. sin(ϕ1 + ϕ 2 )]
z r
4. 1 = 1 [cos(ϕ1 − ϕ 2 ) + i. sin(ϕ1 − ϕ 2 )]
z 2 r2
11
= [cos(−ϕ ) + i. sin( −ϕ )]
5.
zr
6. [r (cos ϕ + i. sin ϕ )] = r n (cos nϕ + i. sin nϕ )
n
[(cos ϕ + i. sin ϕ )]n = (cos nϕ + i. sin nϕ )
1)∫ dx = x + C ∫ kdx = kx + C
1 (ax + b)α +1
xα +1
2)∫ x dx = + C ∫ (ax + b) dx =
α α
+C
α +1 a α +1
1 1
dx
3)∫ dx = ln x + C ∫ = ln ax + b + C
ax + b a
x
−1 −1 1
1 dx
4)∫ 2 dx = +C ∫ = +C
a (ax + b)
(ax + b) 2
x
x
1
5)∫ e x dx = e x + C ∫e
( ax+b )
dx = e (ax+b) + C
a
1 a (cx+d )
x
a
6)∫ a x dx = + C ∫ a (cx+d ) dx = +C
ln a c ln a
−1
7)∫ sin xdx = − cos x ∫ sin(ax + b)dx = cos(ax + b)
a
1
8)∫ cos xdx = sin x ∫ cos(ax + b)dx = sin(ax + b)
a
1
dx dx
9)∫ ∫ cos2 (ax + b) = a tan(ax + b)
= tan x
2
cos x
−1
dx dx
10)∫ 2 = − cot x ∫ 2 = cot(ax + b)
sin (ax + b) a
sin x
TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN SỐ
1. ∫ f (e t = u ( x)
u ( x) /
Đặt
).u ( x ) dx
1
∫ f (ln x). x dx t = ln( x )
2. Đặt
3. ∫ f ( ax + b ).dx t = n ax + b
Đặt
n
4. ∫ f (sin x, cos x ) dx
• Nếu f là hàm lẻ đối với cosx : đặt t = sinx
• Nếu f là hàm lẻ đối với sinx : đặt t = cosx
• Nếu f là hàm chẵn đối với sinx, cosx dùng công
1 + cos 2 x 1 − cos 2 x
thức hạ bậc: cos 2 x = , sin 2 x =
2 2
x
• Nếu f chỉ chứa sinx hoặc cosx đặt t = tan
2
∫ f( x = a sin t
a 2 − x 2 ).dx
5. Đặt
6. ∫ f ( a 2 + x 2 ).dx x = a tan t
Đặt
a
7. ∫ f ( x 2 − a 2 ).dx x=
Đặt
cos t
1
∫ f( t = x + x2 ± a2
).dx
8. Đặt
x ±a
2 2
TÍCH PHN TỪNG PHẦN
b b
b
∫ u.v dx = u.v − ∫ u / vdx
/
a
a a
∫ P( x).e dx .
ax + b
u = P( x) ta có u / = P / ( x)
Đặt 1
v / = e ax +b chon v = e ax +b
a
∫ P( x). cos(ax + b)dx .
u = P( x) ta có u / = P / ( x)
Đặt: 1
v / = cos(ax + b) chon v = sin(ax + b)
a
∫ P( x).sin(ax + b)dx .
u = P( x) ta có u / = P / ( x)
Đặt: −1
v / = sin(ax + b) chon v = cos(ax + b)
a
∫ P( x). ln u ( x)dx .
1
u = ln x ta có u / =
Đặt: x
v / = P ( x) chon v = ∫ P( x)dx
Ch ý : Đặt u là hàm mà đạo hàm của nó đơn giản hơn
cịn v/ l phần cịn lại của biểu thức dưới dấu tích phân
mà nguyên hàm của phần này đ biết
DIỆN TÍCH , THỂ TÍCH
⎧ (C1 ) và (C 2 ) ⎧ (C1 ) và (C 2 )
( H )⎨ ( H )⎨
⎩ x = a, x = b (a < b) ⎩ y = c, y = d (c < d )
b d
S = ∫ y C1 − y C 2 dx S = ∫ x C1 − xC 2 dy
a c
b d
VOx = π ∫ y C1 − yC 2 dx VOy = π ∫ xC1 − xC 2 dy
2 2 2 2
a c
