Đẳng thức, so sánh và bất đẳng thức
Câu lạc bộ Toán học: Chương trình bồi dưỡng chuyên đề Toán
Đ NG TH C, SO SÁNH
VÀ B T Đ NG TH C
Câu l c b Toán h c:
Chương trình b i dư ng chuyên đ Toán
H I TOÁN H C HÀ N I VÀ S GIÁO D C VÀ ĐÀO T O HÀ N I
Hà N i, Ngày 11.12.2009
Vào 13h30 th Sáu, Ngày 11.12.2009, H i Toán h c Hà
N i và S Giáo d c và Đào t o Hà N i ph i h p t ch c
chương trình b i dư ng ki n th c chuyên đ Toán cho các
cán b ch đ o chuyên môn, các th y giáo, cô giáo đang tr c
ti p b i dư ng h c sinh gi i trên đ a bàn Th đô.
Chuyên đ sinh ho t l n này v
Đ ng th c và b t đ ng th c
.
Chuyên đ do GS.TSKH Nguy n Văn M u,
Ch t ch H i Toán h c Hà N i, tr c ti p gi ng d y.
Kính m i các th y giáo, cô giáo đang tr c ti p b i dư ng
h c sinh gi i c a các qu n huy n trên đ a bàn Th đô quan
tâm đ n d .
Đ a đi m: Phòng Giáo D c Huy n Th ch Th t.
1
M cl c
1 Tam th c b c hai và các v n đ liên quan 3
2 M t s đ ng nh t th c quan tr ng 12
3 B t đ ng th c Cauchy (d ng th c và ph c) 14
3.1 B t đ ng th c Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.2 D ng ph c c a b t đ ng th c Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
4 Tam th c b c (α) và tam th c b c (α, β) 17
5 M t s b t đ ng th c c đi n liên quan 20
6 Phương pháp b t đ ng th c Cauchy 25
6.1 Đ g n đ u và s p th t dãy c p đi m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
6.2 K thu t tách và ghép b s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
6.3 Th t và s p l i th t c a b s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
6.4 Đi u ch nh và l a ch n tham s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
7 Các giá tr trung bình 42
8 Bài t p áp d ng 47
2
Chương 1
Tam th c b c hai và các v n đ liên
quan
B t đ ng th c cơ b n và cũng là quan tr ng nh t trong chương trình đ i s b c trung h c ph
thông chính là b t đ ng th c d ng sau đây
x2 0, ∀x ∈ R. (1.1)
D u đ ng th c x y ra khi và ch khi x = 0.
G n v i b t đ ng th c (1.1) là b t đ ng th c d ng sau
(x1 − x2 )2 0, ∀x1 , x2 ∈ R,
hay
x2 + x2
1 2 2x1 x2 , ∀x1 , x2 ∈ R.
D u đ ng th c x y ra khi và ch khi x1 = x2 .
B t đ ng th c (1.1) là d ng b c hai đơn gi n nh t c a b t đ ng th c b c hai mà h c sinh đã
làm quen ngay t chương trình l p 9. Đ nh lí Viete đóng vai trò r t quan tr ng trong vi c tính toán
và ư c lư ng giá tr c a m t s bi u th c d ng đ i x ng theo các nghi m c a phương trình b c hai
tương ng. Đ c bi t, trong chương trình Đ i s l p 10, m ng bài t p v ng d ng đ nh lí (thu n và
đ o) v d u c a tam th c b c hai là công c h u hi u c a nhi u d ng toán b c trung h c ph
thông.
Xét tam th c b c hai f (x) = ax2 + bx + c, a = 0. Khi đó
b 2 ∆
af (x) = ax + − ,
2 4
v i ∆ = b2 − 4ac. T đ ng th c này, ta có k t qu quen thu c sau.
Đ nh lý 1. Xét tam th c b c hai f (x) = ax2 + bx + c, a = 0.
i) N u ∆ < 0 thì af (x) > 0, ∀x ∈ R.
b
ii) N u ∆ = 0 thì af (x) 0 ∀x ∈ R. D u đ ng th c x y ra khi và ch khi x = − .
2a
iii) N u ∆ > 0 thì af (x) = a2 (x − x1 )(x − x2 ) v i
√
b ∆
x1,2 =− . (1.2)
2a 2|a|
Trong trư ng h p này, af (x) < 0 khi x ∈ (x1 , x2 ) và af (x) > 0 khi x < x1 ho c x > x2 .
3
Ta nh c l i k t qu sau.
Đ nh lý 2 (Đ nh lí đ o). Đi u ki n c n và đ đ t n t i s α sao cho af (α) < 0 là ∆ > 0 và
x1 < α < x2 , trong đó x1,2 là các nghi m c a f (x) xác đ nh theo (1.2).
Nh n xét r ng, các đ nh lí trên đ u đư c mô t thông qua b t đ ng th c (k t qu so sánh bi t
th c ∆ v i 0). Các đ nh lí sau đây cho ta tiêu chu n nh n bi t, thông qua bi u di n h s , khi nào
thì tam th c b c hai f (x) = ax2 + bx + c, a = 0, có nghi m.
Đ nh lý 3. V i m i tam th c b c hai f (x) có nghi m th c đ u t n t i m t nguyên hàm F (x), là
đa th c b c ba, có ba nghi m đ u th c.
Ch ng minh. Khi f (x) có nghi m kép, t c f (x) = a(x − x0 )2 , thì ta ch c n ch n nguyên hàm dư i
d ng
a
F (x) = (x − x0 )3 .
3
Khi f (x) có hai nghi m phân bi t, t c
f (x) = a(x − x1 )(x − x2 ), x1 < x2 , a = 0,
ta ch n nguyên hàm F (x) tho mãn đi u ki n
x1 + x2
F = 0.
2
Khi đó, rõ ràng hàm F (x) có c c đ i và c c ti u l n lư t t i x1 và x2 và đi m u n c a đ th tương
ng là M x1 +x2 , 0 . T đây suy ra đi u c n ch ng minh.
2
Đ nh lý 4. Tam th c b c hai f (x) = 3x2 + 2bx + c có nghi m (th c) khi và ch khi các h s b, c
có d ng
b=α+β+γ
(1.3)
c = αβ + βγ + γα
Ch ng minh. Đi u ki n đ là hi n nhiên vì theo b t đ ng th c Cauchy, ta có
∆ =b2 − 3c = (α + β + γ)2 − 3(αβ + βγ + γα)
=α2 + β 2 + γ 2 − (αβ + βγ + γα)
1 1 1
= (α − β)2 + (β − γ)2 + (γ − α)2 0.
2 2 2
Đi u ki n c n. Gi s phương trình b c hai có nghi m th c x1 , x2 . Khi đó, t n t i đa th c b c ba
có ba nghi m th c, là nguyên hàm c a f (x), t c là:
F (x) = (x + α)(x + β)(x + γ).
T đây ta suy ra đi u c n ch ng minh.
Ti p theo, trong chương này, ta xét các d ng toán cơ b n v b t đ ng th c và c c tr có s d ng
tính ch t c a tam th c b c hai.
Xét đa th c thu n nh t b c hai hai bi n (xem như tam th c b c hai đ i v i x)
F (x, y) = ax2 + bxy + cy 2 , a = 0,
∆ : = (b2 − 4ac)y 2 .
4
Khi đó, n u ∆ 0 thì aF (x, y) 0, ∀x, y ∈ R.
V y khi b2 4ac và a < 0 thì hi n nhiên
ax2 + cy 2 |bxy|, ∀x, y ∈ R.
Trư ng h p riêng, khi a = c = 1, b = ±2 thì ta nh n l i đư c k t qu
x2 + y 2 2|xy|
hay
u+v √
uv, u, v 0.
2
V sau, ta s d ng các tính ch t c a d ng phân th c b c hai
a1 x2 + b1 x + c1
y=
a2 x2 + b2 x + c2
v i đi u ki n
a2 > 0, f2 (x) = a2 x2 + b2 x + c2 > 0, ∀x ∈ R,
đ tìm c c tr c a m t s d ng toán b c hai.
Bài toán 1. Tìm giá tr l n nh t và giá tr nh nh t c a hàm s
a1 x2 + b1 x + c1
y=
a2 x2 + b2 x + c2
v i đi u ki n
a2 > 0, f2 (x) = a2 x2 + b2 x + c2 > 0, ∀x ∈ R.
c1 a1
Gi i. Nh n xét r ng khi x = 0 thì y(0) = và khi x → ∞ thì y → . Ti p theo, ta xét các giá
c2 a2
c1 a1
tr y = và y = .
c2 a2
c1 a1
Gi s y là m t giá tr c a bi u th c, y = và y = . Khi đó phương trình tương ng
c2 a2
a1 x2 + b1 x + c1
=y
a2 x2 + b2 x + c2
ph i có nghi m, hay phương trình
(a2 y − a1 )x2 + (b2 y − b1 )x + (c2 y − c1 ) = 0 (1.4)
ph i có nghi m.
Do (1.4) là phương trình b c hai nên đi u này tương đương v i
∆ = (b2 y − b1 )2 − 4(a2 y − a1 )(c2 y − c1 ) 0
hay
g(y) := (b2 − 4a2 c2 )y 2 + 2(b1 b2 + 2a2 c1 + 2a1 c2 )y + b2 − 4a1 c1
2 1 0
ph i có nghi m. Vì g(y) có b2 − 4a2 c2 < 0 nên theo Đ nh lí đ o c a tam th c b c hai, thì
2
∆ = (b1 b2 + 2a1 c2 + a2 c1 )2 − (4a1 c1 − b2 )(4a2 c2 − b2 )
1 2 0. (1.5)
và
y1 y y2 ,
5
v i √
b1 b2 + 2a2 c1 + 2a1 c2 ± ∆
y1,2 = ,
b2 − 4a2 c2
2
và ∆ đư c tính theo công th c (1.5).
Suy ra max y = y2 và min y = y1 , đ t đư c khi ng v i m i j (j = 1, 2), x y ra đ ng th i
∆ = (b2 yj − b1 )2 − 4(a2 yj − a1 )(c2 yj − c1 ) = 0,
1 b y − b1
xj = − 2 j .
2 a2 yj − a1
Xét m t vài ví d minh ho sau đây.
Ví d 1. Cho x, y là các s th c sao cho
2x2 + y 2 + xy 1.
Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c
M = x2 + y 2 .
Gi i. Đ t 2x2 + y 2 + xy = a, a 1. Khi đó
M x2 + y 2
= 2
a 2x + y 2 + xy
M 1
1) N u y = 0 thì = .
a 2
2) N u y = 0 suy ra
M t2 + 1 x
= 2 , t=
a 2t + t + 1 y
M 1
Ta ch c n xác đ nh các giá tr < , sao cho phương trình
a 2
M t2 + 1
= 2
a 2t + t + 1
có nghi m.
Nghĩa là phương trình
M M M
2 − 1 t2 + t+ −1=0
a a a
có nghi m. Th thì bi t th c ∆ ph i không âm. Ta có
M 2 M M
∆= −4 2 −1 −1 0
a a a
hay
M 2 M
−7 + 12 −4 0.
a a
Gi i b t phương trình b c hai này ta đư c
√ √
6−2 2 M 6+2 2
.
7 a 7
Suy ra √ √
6−2 2 6−2 2
M a = M0 .
7 7
6
√
6−2 2
V y min M = , đ t đư c khi và ch khi
7
x = M1 y
x = M1 y √
⇔ 2(1 − 2M0 )
2x2 + y 2 + xy = 1 y = ±
2
,
2 − 7M0 + 7M0
−M0
v i M1 = .
2(2M0 − 1)
Ví d 2. Cho
x2 + y 2 + xy = 1.
Tìm giá tr l n nh t và nh nh t c a bi u th c
A = x2 − xy + 2y 2 .
Gi i. Ta có th vi t A dư i d ng
x2 − xy + 2y 2
A= .
x2 + xy + y 2
1) N u y = 0 thì A = 1.
2) N u y = 0 thì
t2 − t + 2 x
A= 2+t+1
, t=
t y
C n xác đ nh A đ phương trình
t2 − t + 2
A=
t2 + t + 1
có nghi m. Đi u đó tương đương v i vi c phương trình
(A − 1)t2 + (A + 1)t + A − 2 = 0
có nghi m, t c là
∆ = (A + 1)2 − 4(A − 1)(A − 2) 0.
T đó, ta đư c √ √
7−2 7 7+2 7
A
3 3
√
7+2 7
V y max A = , đ t đư c khi
3
A2 + 1
x = A2 + 1 y
x =
y
2(1 − A2 )
2(1 − A2 ) hay 2(A2 − 1)
2 y = ±
x + y 2 + xy = 1
7 − 6A2 + 3A2
2
√
7−2 7
và min A = , đ t đư c khi
3
A1 + 1
x = A1 + 1 y
x =
y
2(1 − A1 )
2(1 − A1 ) hay 2(A1 − 1)
2 y = ±
x + y 2 + xy = 1
7 − 6A1 + 3A2
1
trong đó A1 , A2 l n lư t là giá tr nh nh t và giá tr l n nh t.
7
Ví d 3. Cho x2 + y 2 − xy = 1. Tìm giá tr l n nh t, nh nh t c a bi u th c
M = x4 + y 4 − x2 y 2 .
Gi i. T gi thi t suy ra
1 = x2 + y 2 − xy 2xy − xy = xy
2
1 = (x + y) − 3xy −3xy
1
T đó ta có − 3 xy 1. M t khác, t gi thi t ta có x2 + y 2 = 1 + xy nên
x4 + y 4 = −x2 y 2 + 2xy + 1
x4 + y 4 − x2 y 2 = −2t2 + 2t + 1, t = xy
V y c n tìm giá tr l n nh t, nh nh t c a tam th c b c hai
1
f (t) = −2t2 + 2t + 1; − t 1.
3
Ta có
1 3
max M = f = ,
2 2
đ t đư c khi và ch khi
1
xy = , và x2 + y 2 − xy = 1
2
hay là
√ √ √ √
5 1 5±1 5 1 5±1
(x, y) ∈ √ , √ , − √ ,− √
2 2 2 2 2 2 2 2
V y nên
1 1
min M = f − = ,
3 9
đ t đư c khi và ch khi √
3
xy = − 1 3 x=± 3
hay √
3
x2 + y 2 − xy = 1 y= 3 .
Bài toán 2 (Thi HSG Toán Vi t Nam 2003). Cho hàm s f xác đ nh trên t p s th c R, l y giá
tr trên R và tho mãn đi u ki n
f (cot x) = sin 2x + cos 2x, x ∈ (0, π).
Hãy tìm giá tr l n nh t và giá tr nh nh t c a hàm s
g(x) = f (sin2 x)f (cos2 x).
Gi i. Ta có
f (cot x) = sin 2x + cos 2x
2 cot x cot2 x − 1
= +
cot2 x + 1 cot2 x + 1
cot2 x + 2 cot x − 1
= , ∀x ∈ (0; π)
cot2 x + 1
8
V i m i t ∈ R đ u t n t i x ∈ (0, π) sao cho cot x = t, ta đư c
t2 + 2t − 1
f (t) = , ∀t ∈ R.
t2 + 1
Do đó
sin4 2x + 32 sin2 2x − 32
g(x) = f (sin2 x)f (cos2 x) = , ∀x ∈ R.
sin4 2x − 8 sin2 2x + 32
1 1
Đ t u = sin2 2x. D th y, x ∈ R khi và ch khi u ∈ 0, . Vì v y
4 4
min g(x) = min h(u) và max g(x) = max h(u),
x∈R 0 u 1/4 x∈R 0 u 1/4
trong đó
u2 + 8u − 2
h(u) = .
u2 − 2u + 2
Ta tính d o hàm c a hàm h(u)
2(−5u2 + 4u + 6)
h (u) = .
(u2 − 2u + 2)2
1 1
Ta d dàng ch ng minh đư c h (u) > 0 ∀u ∈ 0, . Suy ra hàm h(u) đ ng bi n trên 0, . Vì v y,
4 4
1
trên 0, , ta có
4
min h(u) = h(0) = −1
và
1 1
max h(u) = h = .
4 25
1
Do đó min g(x) = −1, đ t đư c ch ng h n khi x = 0 và max g(x) = , đ t đư c ch ng h n khi
25
π
x= .
4
Bài toán 3 (Thi HSG Toán Vi t Nam 2003). Cho hàm s f xác đ nh trên t p h p s th c R, l y
giá tr trên R và tho mãn đi u ki n
f (cot x) = sin 2x + cos 2x, ∀x ∈ (0, π).
Hãy tìm giá tr nh nh t và giá tr l n nh t c a hàm s g(x) = f (x)f (1 − x) trên đo n [−1; 1].
Ta có
f (cot x) = sin 2x + cos 2x
2 cot x cot2 x − 1
= +
cot2 x + 1 cot2 x + 1
cot2 x + 2 cot x − 1
= , ∀x ∈ (0; π)
cot2 x + 1
T đó, v i lưu ý r ng v i m i t ∈ R đ u t n t i x ∈ (0, π) sao cho cot x = t, ta đư c
t2 + 2t − 1
f (t) = , ∀t ∈ R.
t2 + 1
9
D n t i,
x2 (1 − x)2 + 8x(1 − x) − 2
g(x) = f (x)f (1 − x) = , ∀x ∈ R.
x2 (1 − x)2 − 2x(1 − x) + 2
1
Đ t u = x(1 − x). D th y, khi x ch y qua [−1, 1] thì u ch y qua − 2, .
4
Vì v y,
min g(x) = min h(u) và max g(x) = max h(u),
−1 x 1 −2 u 1 −1 x 1 −2 u 1
4 4
trong đó
u2 + 8u − 2
h(u) = .
u2 − 2u + 2
Ta có
2(−5u2 + 4u + 6)
h (u) =
(u2 − 2u + 2)2
T vi c kh o sát d u c a h (u) trên [−2; 1/4], ta thu đư c
√
2− 34 √
min h(u) = h =4− 34
−2 u 1
4
5
và
1
max h(u) = max{h(−2); h(1/4)} = .
−2 u 1
4
25
√ 1
V y, trên [−1; 1], ta có min g(x) = 4 − 34 và max g(x) = .
25
Bài toán 4 (MO Nga 1999). Cho hàm s
f (x) = x2 + ax + b cos x.
Tìm t t c các giá tr c a a, b sao cho phương trình f (x) = 0 và f (f (x)) = 0 có cùng m t t p h p
nghi m th c (khác r ng).
Gi i. Gi s r là m t nghi m c a f (x). Khi đó b = f (0) = f (f (x)) = 0. Do đó f (x) = x(x + a),
suy ra ho c r = 0 ho c r = −a.
Vì v y
f (f (x)) = f (x)(f (x) + a) = x(x + a)(x2 + ax + a).
Ta ch n a sao cho x2 + ax + a không có nghi m th c n m gi a 0 và −a.
Th t v y n u 0 ho c −a là nghi m c a phương trình x2 + ax + a = 0, thì ph i có a = 0 và khi
đó f (f (x)) không có nghi m nào khác.
Nói cách khác, ∆ = a2 − 4a < 0 hay 0 < a < 4.
V y v i 0 a < 4 thì hai phương trình đã cho có cùng t p h p nghi m x = 0, x = −a.
Bài toán 5. Cho tam th c b c hai f (x) = ax2 + bx + c tho mãn đi u ki n
|f (−1)| 1, |f (0)| 1, |f (1)| 1.
Tìm giá tr l n nh t c a |f (x)| v i x ∈ [−1; 1].
10
Gi i. Ta có
f (1) + f (−1) f (1) − f (−1)
f (x) = − f (0) x2 + x + f (0)
2 2
f (1) 2 f (−1) 2
= (x + x) + (x − x) + f (0)(1 − x2 )
2 2
Suy ra
1 2 1
f (x) |x + x| + |x2 − x| + |1 − x2 |
2 2
1 2
= (|x + x| + |x2 − x|) + |1 − x2 |
2
Vì x ∈ [−1; 1] nên (x2 + x)(x2 − x) = x2 (x2 − 1) 0. Do đó
1 2 1
(|x + x| + |x2 − x|) + |1 − x2 | = |x2 + x − x2 + x| + 1 − x2
2 2
= |x| + 1 − x2
5 5
= −(|x| − 1 )2 +
2 .
4 4
5 5
Suy ra |f (x)| . V y max |f (x)| = .
4 −1 x 1 4
11
Chương 2
M t s đ ng nh t th c quan tr ng
Trư c h t, ta có nh n xét r ng t m t đ ng th c đã cho đ i v i b s th c ta đ u có th m r ng
(theo nhi u cách th c khác nhau) thành m t đ ng th c m i cho b s ph c. Ch ng h n, ta có th
coi m i s th c a đã cho như là ph n th c c a m t s ph c z = a + ib (b ∈ R).
Ta nêu m t s đ ng nh t th c v sau c n s d ng.
Đ nh lý 5. V i m i b s (aj , bj , uj , vj ), ta luôn có đ ng th c sau:
n n n n
aj uj bj vj − aj bj uj vj
j=1 j=1 j=1 j=1
= (aj bk − bj ak )(uj vk − uk vj ). (2.1)
1 jhay
a2 + αβb2
k k (α + β)ak bk , k = 1, 2, . . . , n.
T đây suy ra
n n n
a2
k + αβ b2
k (α + β) ak bk .
k=1 k=1 k=1
Theo b t đ ng th c Cauchy, thì
n 1 n 1 n n
2 2 1
a2
k αβ b2
k a2 + αβ
k b2 .
k
2
k=1 k=1 k=1 k=1
V y nên
n 1 n 1 n
2 2 1
a2
k αβ b2
k (α + β) ak bk .
2
k=1 k=1 k=1
T đây, ta thu đư c b t đ ng th c đ o Cauchy.
Đ nh lý 7. Gi s ta có b các c p s dương (ak , bk ) sao cho
ak
∈ [α, β], α > 0, k = 1, 2, . . . , n.
bk
Khi đó
n 1 n 1 n
2 2 A
a2
k b2
k ak bk ,
G
k=1 k=1 k=1
trong đó
α+β
A= , G= αβ.
2
Nhìn chung, r t nhi u b t đ ng th c nh n đư c t các đ ng nh t th c. Vì v y, vi c thi t l p
đư c các đ ng nh t th c đư c coi như m t phương pháp h u hi u đ sáng tác và ch ng minh b t
đ ng th c.
Bài toán 6. Ch ng minh r ng v i m i b ba s (x, y, z), ta luôn có đ ng th c sau
(2x + 2y − z)2 + (2y + 2z − x)2 + (2z + 2x − y)2 = 9(x2 + y 2 + z 2 ).
Hãy t ng quát hoá?
Bài toán 7. Ch ng minh r ng v i m i b b n s (x, y, z, t), ta luôn có đ ng th c sau
(x + y + z − t)2 + (y + z + t − x)2 + (z + t + x − y)2 + (t + x + y − z)2 = 4(x2 + y 2 + z 2 + t2 ).
Hãy t ng quát hoá?
Bài toán 8. Ch ng minh r ng v i m i b s (uk , vk , pk ), ta luôn có đ ng th c sau
n n n
(uk vj + uj vk )pj pk = 2 uk pk vk pk .
j,k=1 k=1 k=1
Bài toán 9. Ch ng minh r ng v i m i b s (uk , vk , pk ), ta luôn có đ ng th c sau
n n
(uj vj + uk vk )pj pk = 2 uk vk pk .
j,k=1 k=1
13
Chương 3
B t đ ng th c Cauchy (d ng th c và
ph c)
3.1 B t đ ng th c Cauchy
Ti p theo, th c hi n theo ý tư ng c a Cauchy1 đ i v i t ng
n n n n
(xi t − yi )2 = t2 x2 − 2t
i x i yi + 2
yi ,
i=1 i=1 i=1 i=1
ta nh n đư c tam th c b c hai d ng
n n n
f (t) = t2 x2 − 2t
i x i yi + 2
yi 0, ∀t ∈ R,
i=1 i=1 i=1
nên ∆ 0.
Đ nh lý 8. V i m i b s (xi ), (yi ), ta luôn có b t đ ng th c sau
n n n
2
x i yi x2
i
2
yi . (3.1)
i=1 i=1 i=1
D u đ ng th c trong (3.1) x y ra khi và ch khi hai b s (xi ) và (yi ) t l v i nhau, t c t n t i c p
s th c α, β, không đ ng th i b ng 0, sao cho
αxi + βyi = 0, ∀i = 1, 2, . . . , n.
B t đ ng th c (3.1) thư ng đư c g i là b t đ ng th c Cauchy2 (đôi khi còn g i là b t đ ng
th c Bunhiacovski, Cauchy - Schwarz ho c Cauchy-Bunhiacovski).
Nh n xét r ng, b t đ ng th c Cauchy cũng có th đư c suy tr c ti p t đ ng nh t th c Lagrange
sau đây
1
Augustin-Louis Cauchy 1789-1857
2
T i Vi t Nam và m t s nư c Đông Âu, b t đ ng th c này đư c mang tên là "B t đ ng th c Bunhiacovski","B t
đ ng th c Cauchy-Bunhiacovski" ho c "B t đ ng th c Cauchy - Schwarz". Còn b t đ ng th c gi a các giá tr trung
bình c ng và nhân thì đư c g i là b t đ ng th c Cauchy. Th c ra, theo cách g i c a các chuyên gia đ u ngành v
b t đ ng th c (Hardy G.H., Littlewood J.E., Polya G., Bellman R.,...), thì b t đ ng th c tích phân d ng (2.1) m i
mang tên là b t đ ng th c Bunhiacovski.
14
Đ nh lý 9 (Lagrange). V i m i b s (xi ), (yi ), ta luôn có đ ng nh t th c:
n n n n
2
x2
i
2
yi − x i yi = (xi yj − xj yi )2 .
i=1 i=1 i=1 i,j=1, iCh ng minh. B ng cách th c hi n đ ng th i phép quay quanh g c to đ đ i v i các zk cùng m t
góc, ta thu đư c
n
a k zk 0.
k=1
Rõ ràng phép quay này không nh hư ng đ n giá tr c a modul các s .
n n
2
ak z k , zk , |zk | (k = 1, . . . , n).
k=1 k=1
V y, ch c n ch ng minh cho trư ng h p
n
a k zk 0.
k=1
N u ta đ t zk = xk + iyk (k = 1, . . . , n), thì
n n n n
2 2
ak zk = ak xk a2
k x2 .
k
k=1 k=1 k=1 k=1
Vì
2x2 = |zk |2 + Re zk ,
k
2
ta nh n đư c
n n n n
2 1
ak zk a2
k |zk |2 + 2
Re zk .
2
k=1 k=1 k=1 k=1
T b t đ ng th c này và
n n n
2 2 2
zk = zk zk
k=1 k=1 k=1
ta thu đư c đi u c n ch ng minh.
16
Chương 4
Tam th c b c (α) và tam th c b c
(α, β)
Ta có nh n xét r ng b t đ ng th c Cauchy dư i d ng sơ đ ng
x2 + 1 2x, ∀x ∈ R (4.1)
có th xem như b t đ ng th c tam th c b c hai trong trư ng h p d u đ ng th c x y ra khi và ch
khi x = 1.
Khi đó, ta d dàng m r ng cho tam th c b c α (α > 1) đ có b t đ ng th c tương t như (4.1)
b ng cách thay s 2 b i s α. Th t v y, ta c n thi t l p b t đ ng th c d ng
xα + (?) αx, ∀x ∈ R+ (4.2)
sao cho d u đ ng th c v n x y ra khi và ch khi x = 1.
Thay x = 1 vào (4.2), ta nh n đư c (?) = α − 1, t c là (4.2) có d ng
xα + α − 1 αx, ∀x ∈ R+ . (4.3)
Đây chính là b t đ ng th c Bernoulli quen bi t.
S d ng đ o hàm, ta d dàng ch ng minh (4.3).
Th t v y, xét hàm s
f (x) = xα + α − 1 − αx, x > 0.
Ta có f (1) = 0 và f (x) = αxα−1 − α = α(xα−1 − 1). Suy ra f (x) = 0 khi và ch khi x = 1 và x = 1
là c c ti u duy nh t c a f (x) trên R+ nên f (x) f (1) = 0.
Nh n xét 1. Trong áp d ng, đ c bi t trong các d ng toán xác đ nh giá tr l n nh t ho c nh nh t,
b t đ ng th c Bernoulli d ng (4.3) ch đư c s d ng trong các trư ng h p đ m b o ch c ch n r ng
d u đ ng th c x y ra khi và ch khi x = 1.
Trong nh ng trư ng h p, n u d u đ ng th c x y ra khi và ch khi x = x0 > 0 cho trư c, ta c n
thay (4.3) b i b t đ ng th c sau đây
x α x
+α−1 α , ∀x ∈ R+ . (4.4)
x0 x0
Ti p theo, ta l i có nh n xét r ng b t đ ng th c Cauchy dư i d ng sơ đ ng
x2 + 1 2x, ∀x ∈ R (4.5)
có th xem như b t đ ng th c tam th c b c (2,1) ( ng v i lu th a 2 và lu th a 1 c a x), trong
trư ng h p d u đ ng th c x y ra khi và ch khi x = 1.
17
Khi đó, ta d dàng m r ng m t cách t nhiên cho tam th c b c (α, β) (α > β > 0) đ có b t
đ ng th c tương t như (1.14) b ng cách thay lu th a 2 b i s α và lu th a 1 b i β.
Th t v y, ta c n thi t l p b t đ ng th c d ng
xα + (?) (??)xβ , ∀x ∈ R+ (4.6)
sao cho d u đ ng th c v n x y ra khi và ch khi x = 1.
α
S d ng phép đ i bi n xβ = t và = γ, ta có th đưa (1.15) v d ng
β
tγ + (?) (??)t, ∀t ∈ R+ (4.7)
So sánh v i (4.3), ta th y ngay c n ch n (?) = γ − 1 và (??) = γ. V y nên
tγ + γ − 1 γt, ∀t ∈ R+ ,
hay
α α β
xα + −1 x , ∀x ∈ R+ , (4.8)
β β
d u đ ng th c x y ra khi và ch khi x = 1.
Ta nh n đư c b t đ ng th c Bernoulli đ i v i tam th c b c (α, β) ng v i trư ng h p d u đ ng
th c x y ra khi và ch khi x = 1.
Đ s d ng b t đ ng th c Bernoulli cho trư ng h p đ m b o ch c ch n r ng d u đ ng th c x y
ra khi và ch khi x = x0 (x0 > 0) cho trư c, ta ch c n thay (4.8) b i b t đ ng th c sau đây
Đ nh lý 11. Gi s cho trư c x0 > 0 và c p s (α, β) tho mãn đi u ki n α > β > 0. Khi đó
x α α α x β
+ −1 , ∀x ∈ R+ . (4.9)
x0 β β x0
D u đ ng th c x y ra khi và ch khi x = x0 .
Bài toán 11. Cho b các s dương a, b, c; α, β v i α > β. Ch ng minh r ng
a α b α c α a β b β c β
+ + + + .
b c a b c a
Gi i. Ta s d ng b t đ ng th c (4.8). Ta có
a α α α a β
+ −1 ,
b β β b
b α α α b β
+ −1 ,
c β β c (4.10)
c α α α c β
+ −1 ,
a β β a
α a β b β c β α
−1 + + 3 −1
β b c a β
C ng các v tương ng c a (4.10) ta thu đư c
a α b α c α a β b β c β
+ + + + .
b c a b c a
Ti p theo, ta xét d ng tam th c b c (α, β):
f (x) = axα + bxβ + c
v i đi u ki n α > 0 > β và aα + bβ = k > 0.
Trư ng h p riêng, khi k = 0, ta thu đư c d ng phân th c chính quy và s đư c xét chi ti t
chương ti p theo.
Ta có k t qu sau đây.
18
Đ nh lý 12. Tam th c b c (α, β) d ng
f (x) = axα + bxβ + c,
trong đó a, b > 0, α > 0 > β và aα + bβ = k 0 có tính ch t sau:
f (x) f (1), ∀x 1.
Ch ng minh. Đ ý r ng
f (x) = aαxα−1 + bβxβ−1
và trong kho ng (0, +∞), ta có f (x) = 0 khi và ch khi
k
x = x0 , trong đó x0 = 1− 1.
aα
Do v y, f (x) đ ng bi n trong [1, +∞), nên
f (x) f (1), ∀x 1.
H qu 4. Tam th c b c (α, β) d ng
f (x) = axα + bxβ + c,
trong đó a, b > 0, α > 0 > β và aα + bβ = 0 có tính ch t sau:
min f (x) = f (1).
x>0
19
Chương 5
M t s b t đ ng th c c đi n liên
quan
Ti p theo, ta xét b t đ ng th c d ng n i suy sau đây.
Đ nh lý 13. V i m i c p dãy s th c a = (a1 , . . . , an ) và b = (b1 , . . . , bn ) và 0 x 1, ta đ u có
n n n
2
ak bk + x ai bj a2
k + 2x ai aj b2 + 2x
k bi bj .
k=1 i=j k=1 i
