Dẫn nhiệt ổn định_chương 9
Dựa vào thuyết động học phân tử, Fouier đã chứng minh định luật cơ bản của dẫn nhiệt như sau:
+ Vector dòng nhiệt tỷ lệ thuận với vector gradient nhiệt độ. Biểu thức của định luật có dạng vector là:
.Ch−¬ng 9. dÉn nhiÖt æn ®Þnh
9.1. ®Þnh luËt fourier vµ hÖ sè dÉn nhiÖt
9.1.1 §Þnh luËt fourier vµ hÖ sè dÉn nhiÖt
Dùa vµo thuyÕt ®éng häc ph©n tö, Fourier ®· chøng minh ®Þnh luËt c¬ b¶n
cña dÉn nhiÖt nh− sau:
Vec t¬ dßng nhiÖt tû lÖ thuËn víi vect¬ gradient nhiÖt ®é.
BiÓu thøc cña ®Þnh luËt cã d¹ng vect¬ lµ: q = −λgr adt , d¹ng v« h−íng lµ:
dt
q = −λgradt = −λ .
tn
Theo ®Þnh luËt nµy, nhiÖt l−¬ng Q ®−îc dÉn qua diÖn tÝch F cña mÆt ®¼ng
nhiÖt trong 1 gi©y ®−îc tÝnh theo c«ng thøc:
∂t
Q = −∫ λ .dF
F
∂n
Khi gradt kh«ng ®æi trªn bÒ mÆt F, c«ng thøc cã d¹ng:
∂t
Q = −λ .dF
∂n
§Þnh luËt Fourier lµ ®Þnh luËtc¬ b¶n ®Ó tÝnh l−îng nhiÖt trao ®æi b»ng
ph−¬ng thøc dÉn nhiÖt.
9.1.2 HÖ sè dÉn nhiÖt λ
q
HÖ sè cña ®Þnh luËt Fourier λ = , W/mK ®−îc gäi lµ hÖ sè dÉn nhiÖt.
gradt
HÖ sè dÉn nhiÖt λ ®Æc tr−ng cho kh¶ n¨ng dÉn nhiÖt cña vËt. Gi¸ trÞ cña λ
phô thuéc vµo b¶n chÊt vµ kÕt cÊu cña vËt liÖu, vµo ®é Èm vµ nhiÖt ®é, ®−îc x¸c
®Þnh b»ng thùc nghiÖm víi tõng vËt liÖu vµ cho s½n theo quan hÖ víi nhiÖt ®é t¹i
b¶ng c¸c th«ng sè vËt lý cña vËt liÖu.
9.2. Ph−¬ng tr×nh vi ph©n dÉn nhiÖt
9.2.1. Néi dung cña ph−¬ng tr×nh vi ph©n dÉn nhiÖt
Ph−¬ng tr×nh vi ph©n dÉn nhiÖt lµ ph−¬ng tr×nh c©n b»ng nhiÖt cho mét
ph©n tè bÊt kú n»m hoµn toµn bªn trong vËt dÉn nhiÖt.
9.2.2. ThiÕt lËp ph−¬ng tr×nh
XÐt c©n b»ng nhiÖt cho ph©n tè dV bªn trong vËt dÉn, cã khèi l−îng riªng
ρ, nhiÖt dung riªng Cv, hÖ sè dÉn nhiÖt λ, dßng nhiÖt ph©n tè lµ q , c«ng suÊt ph¸t
nhiÖt qv.
95
Theo ®Þnh luËt b¶o toµn n¨ng l−îng, ta cã:
[§é biÕn thiªn néi n¨ng cña dV] = [HiÖu sè nhiÖt l−îng (vµo-ra) dV] +
[l−îng nhiÖt sinh ra trong dV], tøc lµ:
∂t
ρ.dV.C v = −divq.dV.dτ + q v .dV.dτ ,
∂τ
hay:
∂t 1 q
= divq + v
∂τ ρ.C v ρ.C v
Theo ®Þnh luËt fourier q = −λgr adt,
khi λ = const ta cã:
divq = div(−λgr adt ) = −λdiv(gr adt )
Trong ®ã:
∂ ⎛ ∂t ⎞ ∂ ⎛ ∂t ⎞ ∂ ⎛ ∂t ⎞
⎜ ⎟+ ⎜ ⎟+ ⎜ ⎟=∇ t,
2
Div(gr a dt) =
∂x ⎝ ∂x ⎠ ∂y ⎜ ∂y ⎟ ∂z ⎝ ∂z ⎠
⎝ ⎠
Víi:
⎧ ∂2t ∂2t ∂2t
⎪ 2 + 2 + 2 , (trong to¹ dé vu«ng gãc víi x, y, z)
⎪ ∂x ∂y ∂z
∇ t=⎨ 2
2
⎪ ∂ t 1 ∂t 1 ∂ 2 t ∂ 2 t
+ . + + , (trong to¹ dé trô r, ϕ, z)
⎪ ∂r 2 r ∂r r 2 ∂ϕ 2 ∂z 2
⎩
Ph−¬ng tr×nh vi ph©n dÉn nhiÖt lµ ph−¬ng tr×nh kÕt hîp hai ®Þnh luËt nãi
trªn, cã d¹ng:
∂t λ q ⎛ q ⎞
= ∇ 2 t + v = a⎜ ∇ 2 t + v ⎟
∂τ ρ.C v ρ.C v ⎝ λ ⎠
λ
víi a = , m2/s., ®−îc gäi lµ hÖ sè khuyÕch t¸n nhiÖt, ®Æc tr−ng cho møc ®é
ρ.C v
tiªu t¸n nhiÖt trong vËt.
9.2.3. C¸c d¹ng ®Æc biÖt cña ph−¬ng tr×nh vi ph©n dÉn nhiÖt víi qv = 0
∂t
Khi vËt æn ®Þnh nhiÖt, = 0 , ph−¬ng tr×nh cã d¹ng ∇ 2 t = 0 . Trong v¸ch
∂τ
ph¼ng réng v« h¹n vµ æn ®Þnh nhiÖt cã λ = const, tr−êng nhiÖt ®é t(x) ®−îc x¸c
d2t
®Þnh theo ph−¬ng tr×nh = 0 . Trong ®iÒu kiÖn λ = const vµ æn ®Þnh nhiÖt,
dx 2
tr−êng nhiÖt ®é t(r) trong v¸ch trô trßn dµI v« h¹n ®−îc x¸c ®Þnh theo ph−¬ng
tr×nh vi ph©n dÉn nhiÖt trong to¹ ®é trô:
d 2 t 1 dt
+ = 0.
dx 2 r dr
9.3. C¸c ®iÒu kiÖn ®¬n trÞ
96
Ph−¬ng tr×nh vi ph©n dÉn nhiÖt nãi chung lµ ph−¬ng tr×nh ®¹o hµm riªng
cÊp 2, chøa Èn lµ hµm ph©n bè nhiÖt ®é t(x, y, z, τ). NghiÖm tæng quat cña nã chøa
nhiÒu h»ng sè tuú ý chän.
®Ó x¸c ®Þnh duy nhÊt nghiÖm riªng cña ph−¬ng tr×nh vi ph©n dÉn nhiÖt, cÇn
ph¶i cho tr−íc mét sè ®iÒu kiÖn, gäi lµ c¸c ®iÒu kiÖn ®¬n trÞ.
9.3.1. Ph©n lo¹i c¸c ®iÒu kiÖn ®¬n trÞ
Tuú theo néi dung, c¸c ®iÒu kiÖn ®¬n trÞ bao gåm 4 lo¹i sau:
- §iÒu kiÖn h×nh häc cho biÕt mäi th«ng sè h×nh häc ®ñ ®Ó x¸c ®Þnh kÝch
th−íc, h×nh d¹ng, vÞ trÝ cña hÖ vËt V.
- §iÒu kiÖn vËt lý cho biÕt luËt ph©n bè c¸c th«ng sè vËt lý theo nhiÖt ®é t¹i
mäi ®iÓm M ∈ V, tøc cho biÕt (ρ, Cv, λ, a . . . ) = f(t, M ∈ V).
- §iÒu kiÖn ban ®Çu cho biÕt luËt ph©n bè nhiÖt ®é t¹i thêi ®iÓm τ = 0 t¹i
mäi ®iÓm M∈ V, tøc cho biÕt t(M ∈ V, τ = 0) = t(x, y, z).
- §iÒu kiÖn biªn cho biÕt luËt ph©n bè nhiÖt ®é hoÆc c©n b»ng nhiÖt t¹i mäi
®iÓm M trªn biªn W cña hÖ V t¹i mäi thêi ®iÓm τ. NÕu ký hiÖu dßng nhiÖt qλ dÉn
∂t
trong vËt V ®Õn M ∈ W lµ q λ = −λ = −λ.t n , th× ®iÒu kiÖn biªn cã thÓ cho ë
∂n
d¹ng:
t w = t (M, τ) hoÆc ⎫
⎬∀M ∈¦ W, ∀τ ∈ (0, ∞) .
q λ = −λt n (M, τ) = q (M, τ)⎭
§iÒu kiÖn h×nh häc, vËt lý vµ ®iÒu kiÖn biªn cÇn ph¶i cho tr−íc trong mäi
bµi to¸n. Riªng ®iÒu kiÖn ban ®Çu chØ cÇn cho trong bµi to¸n kh«ng æn ®Þnh.
9.3.2. C¸c lo¹i ®iÒu kiÖn biªn
T¹i mçi mÆt biªn Wi ∈ W = ∑Wi cña vËt V, tuú theo c¸ch ph©n bè nhiÖt ®é
hoÆc c¸ch trao ®æi nhiÖt víi m«i tr−êng kh¸c nhau, ®iÒu kiÖn biªn cã thÓ ®−îc cho
theo c¸c lo¹i sau ®©y:
- §KB lo¹i 1: cho biÕt luËt ph©n bè nhiÖt ®é t¹i mäi ®iÓm M1 ∈ W1 ë d¹ng:
tw1 = t(M1, τ).
- §KB lo¹i 2: cho biÕt dßng nhiÖt qua ®iÓm M2 ∈ W2 lµ:
q(M2, τ) = -λ.tn.(M2, τ).
§Æc biÖt khi W2 ®−îc c¸ch nhiÖt tuyÖt ®èi hoÆc lµ mÆt ®èi xøng cña bµi
to¸n, th× tn(M2, τ) = 0 vµ hµm t sÏ ®¹t cùc trÞ t¹i M2 ∈ W2.
- §KB lo¹i 3: cho biÕt biªn W3 tiÕp xóc chÊt láng cã nhiÖt ®é tf víi hÖ sè
to¶ nhiÖt α vµ luËt c©n b»ng nhiÖt t¹i W3 ∈ W3 cã d¹ng:
qλ = qα hay -λ.tn.(M3, τ) = α[t(M3, τ) – tf ].
- §KB lo¹i 4: cho biÕt biªn W4 tiÕp xóc víi m«i tr−êng r¾n cã ph©n bè
nhiÖt ®é t4 vµ luËt c©n b»ng nhiÖt t¹i W4 ∈ W4 lµ qλ = qλ4 hay -λ.tn.(M4, τ) =
-λ4.tn.(M4, τ).
97
- §KB lo¹i 5: cho biÕt trªn biªn W5 cã sù trao ®æi chÊt do sù khuyÕch t¸n
hay chuyÓn pha (ch¼ng h¹n do ho¸ láng, ho¸ r¾n hoÆc th¨ng hoa, kÕt tinh). Khi ®ã
chÝnh biªn W5 sÏ di chuyÓn vµ khèi l−îng vËt V sÏ thay ®æi vµ ph−¬ng tr×nh c©n
b»ng nhiÖt t¹i ®iÓm M5 trªn biªn W5 di ®éng sÏ cã d¹ng:
dx 5
qλ = qλ’ + qr hay -λtn(M5, τ) = -λ’t’n(M5, τ) + r ρ. .
dτ
trong ®ã:
dx 5
lµ tèc ®é di chuyÓn cña ®iÓm M5 ∈ W5,
dτ
r lµ nhiÖt chuyÓn pha j/kg.
- §KB lo¹i 6: cho biÕt biªn W6 tiÕp gi¸p víi m«i tr−êng ch©n kh«ng, ë ®ã
chØ xÈy ra sù trao ®æi nhiÖt b»ng bøc x¹ vµ ph−¬ng tr×nh c©n b»ng nhiÖt t¹i W6 ∈
W6 cã d¹ng:
qλ = qε hay -λtn(M6, τ) =εσ0T4(M6, τ).
- §KB lo¹i 7: cho biÕt biªn W7 tiÕp xóc víi chÊt khÝ cã nhiÖt ®é Tk, ë ®ã cã
sù trao ®æi nhiÖt b»ng c¶ ®èi l−u vµ bøc x¹. Ph−¬ng tr×nh c©n b»ng nhiÖt t¹i W7 ∈
W7 cã d¹ng:
qλ = qλ + qr hay -λtn(M7, τ) = α[T(M7, τ) - Tk] + εσ0[T4(M7, τ) – T4k].
§KB lo¹i 7 cã thÓ qui vÒ lo¹i 3 nÕu viªt ph−¬ng tr×nh trªn ë d¹ng:
qλ = α(Tw − Tk ) víi α = α + εσ 0 (Tw − Tk4 ) /(Tw − Tk ) , ®−îc gäi lµ hÖ
4
sè to¶ nhiÖ phøc hîp. §KB lo¹i 6 vµ lo¹i 7 lµ nh÷ng §KB kh«ng tuyÕn tÝnh.
9.3.3. M« h×nh bµi to¸n dÉn nhiÖt
Bµi to¸n dÉn nhiÖt cã thÓ ®−îc m« t¶ b»ng mét hÖ ph−¬ng tr×nh vi ph©n (t)
gåm ph−¬ng tr×nh vi ph©n dÉn nhiÖt vµ c¸c ph−¬ng tr×nh m« t¶ c¸c ®IÒu kiÖn ®¬n
trÞ nh− ®· nªu ë môc (9.3):
⎧ ∂t
⎪ = a∇ 2 t
( t )⎨ ∂τ
⎪C¸c ph−ong trinh m« t¶ c¸c dkdt
⎩
Gi¶i bµi to¸n dÉn nhiÖt lµ t×m hµm ph©n bè nhiÖt ®é t(x, y, z, τ) tho¶ m·n
mäi ph−¬ng tr×nh cña hÖ (t) nãi trªn.
9.4. DÉn nhiÖt æn ®Þnh trong v¸ch ph¼ng
9.4.1. V¸ch 1 líp, biªn lo¹i 1
9.4.1.1. Bµi to¸n
Cho 1 v¸ch ph¼ng réng v« h¹n, dµy δ, (0 ≤ x ≤ δ), lµm b»ng vËt liÖu ®ång
chÊt cã hÖ sè dÉn nhiÖt λ = const, nhiÖt ®é t¹i hai mÆt v¸ch ph©n bè ®Òu b»ng t1, t2
vµ kh«ng ®æi.
T×m ph©n bè nhiÖt ®é t(x) bªn trong v¸ch. Bµi to¸n dÉn nhiÖt æn ®Þnh nµy
®−îc m« t¶ bëi hÖ ph−¬ng tr×nh (t) cã d¹ng:
98
⎧ d2t
⎪ 2 =0 (1)
⎪ dx
( t ) ⎨ t ( 0) = t 1 (2)
⎪ t ( δ) = t (3)
⎪ 2
⎩
9.4.1.2. T×m ph©n bè nhiÖt ®é t(x)
NghiÖm tæng qu¸t cña ph−¬ng tr×nh vi ph©n dÉn nhiÖt (1) cã d¹ng
t(x) = C1x + C2. C¸c h»ng sè C1, C2 ®−îc x¸c ®Þnh theo c¸c §KB (2) vµ (3):
⎧ t (0) = C 2 = t 1
⎪
( t )⎨ 1
⎪ t ( δ) = C 1 δ + C 2 = t 2 → C 1 = ( t 2 − t 1 )
⎩ δ
1
VËy ph©n bè nhiÖt ®é trong v¸ch lµ t(x) = t 1 − ( t 1 − t 2 ) x , cã d¹ng ®−êng
δ
th¼ng qua 2 ®iÓm (0. t1) vµ (δ, t2).
9.4.1.3. TÝnh dßng nhiÖt dÉn qua v¸ch
Theo ®Þnh luËt Fourier ta cã:
dt t 1 − t 2 ∆t
q = −λ = = , (W/m2),
dx ρ R
λ
δ
víi R = , (m2K/W) gäi lµ nhiÖt trë cña v¸ch ph¼ng.
λ
9.4.2. V¸ch n líp, biªn lo¹i 1
9.4.2.1. Bµi to¸n
99
Cho v¸ch ph¼ng n líp, mçi líp thø i dµy δ, cã hÖ sè dÉn nhiÖt λ, 2 mÆt biªn
cã nhiÖt ®é kh«ng ®æi, ph©n bè ®Òu vµ b»ng t0, tn cho tr−íc. TÝnh dßng nhiÖt q qua
v¸ch vµ nhiÖt ®é c¸c mÆt tiÕp xóc ti, ∀i = 1 ÷ (n-1).
9.4.2.2. Lêi gi¶i
Khi æn ®Þnh, dßnh nhiÖt q qua mäi
líp lµ kh«ng ®æi:
t 0 − t 1 t i − t i +1 t n −1 − t n
q= = =
δ1 δi δn
λ1 λi λn
§©y lµ hÖ n ph−¬ng tr×nh ®¹i sè
tuyÕn tÝnh cña Èn sè ti vµ q. b»ng c¸ch khö
c¸c Èn sè ti, ∀ i = 1 ÷ (n-1), sÏ t×m ®−îc:
t0 − tn ∆t
q= = , (W/m2).
∑λ
n
δi ∑ Ri
i =1 i
Thay q vµo lÇn l−ît mçi ph−¬ng tr×nh ta t×m ®−îc nhiÖt ®é c¸c mÆt tiÕp xóc:
1
ti = ti-1 - ( t i −1 − t i ) x , ∀ i = 1 ÷ n.
δi
Ph©n bè nhiÖt ®é trong mçi líp thø I lµ ®o¹n th¼ng cã d¹ng:
1
ti(x) = ti-1 - ( t i −1 − t i ) x , ∀ i = 1 ÷ n.
δi
9.4.3. V¸ch mét líp, biªn lo¹i 3
9.4.3.1. Bµi to¸n
Cho v¸ch ph¼ng réng v«
h¹n, dµy δ, hÖ sè dÉn nhiÖt λ =
const, mÆt x = 0 tiÕp xóc víi
chÊt láng 1 cã nhiÖt ®é tf1 víi
hÖ sè to¶ nhiÖt α1, mÆt x = δ
tiÕp xóc víi chÊt láng 2 cã
nhiÖt ®é tf2 víi hÖ sè to¶ nhiÖt
α2, t×m ph©n bè nhiÖt ®é t(x)
trong v¸ch.
M« h×nh bµi to¸n cã d¹ng:
100
⎧ d2t
⎪ 2 =0 (1)
⎪ dx
⎪
( t )⎨α 1 [t f 1 − t (0)] = −λ
dt (0)
(2)
⎪ dx
⎪α [t (δ) − t ] = −λ dt (δ)
(3)
⎪ 2
⎩
f2
dx
9.4.3.2. T×m ph©n bè t(x)
NghiÖm tæng qu¸t cña (1) lµ: t(x) = C1x + C2. C¸c h»ng sè C1, C2 ®−îc x¸c
®Þnh theo (2) vµ (3):
⎧ α 1 ( t f 1 − C 2 ) = − λC 1
⎨
⎩α 2 (C1δ + C 2 − t f 2 ) = −λC1
Gi¶i hÖ nµy ta ®−îc:
⎧ t f1 − t f 2
⎪C1 = λ λ
⎪ +δ+
⎨ α1 α2
⎪ λ
⎪ C 2 = t f1 + C1
⎩ α2
Do ®ã ph©n bè t(x) cã d¹ng:
⎛
t f1 − t f 2 λ ⎞
t (x ) = t f 1 − ⎜x +
⎜ ⎟
λ λ ⎝ α1 ⎟
⎠
+δ+
α1 α2
§å thÞ t(x) lµ ®o¹n th¼ng ®i qua 2 ®iÓm
⎛ λ ⎞ ⎛ λ ⎞
R1⎜ −
⎜ α , t f 1 ⎟ vµ R 2 ⎜ δ + α , t f 2 ⎟
⎟ ⎜ ⎟
⎝ 1 ⎠ ⎝ 2 ⎠
®−îc gäi lµ c¸c ®iÓm ®Þnh h−íng cña §KB lo¹i 3.
9.4.3.3. TÝnh doang nhiÖt q
Theo ®Þnh luËt Fourier ta cã:
dt t f1 − t f 2
q = −λ = −λ C1 = , (W/m2),
dx 1 δ 1
+ +
α1 λ α 2
Theo biÓu thøc t(x) cã thÓ tÝnh nhiÖt ®é t¹i 2 mÆt v¸ch theo:
⎧ t f1 − t f 2
⎪ t w1 = t (0) = t f 1 − αδ α
⎪ 1+ 1 + 1
⎪ λ α2
⎨
⎪ t w 2 = t (δ) = t f 1 − t f 1 − t f 2 ⎛ δ + λ ⎞
⎜ ⎟
⎪ λ λ ⎜⎝ α1 ⎟
⎠
⎪ +δ+
⎩ α1 α2
101
9.5. DÉn nhiÖt trong v¸ch trô
9.5.1. Trô mét líp, biªn lo¹i 1
Bµi to¸n: Cho v¸ch trô 1 líp ®ång chÊt, b¸n kÝnh trong r1, ngoµi r2, λ = const, hai
mÆt biªn cã nhiÖt ®é t1, t2. T×m ph©n bè nhiÖt ®é t(r) trong trô vµ nhiÖt l−îng
Q
ql = , (W/m), truyÒn qua 1m dµi mÆt trô. Trong to¹ ®é trô, m« h×nh bµi to¸n trªn
l
cã d¹ng:
⎧ d 2 t 1 dt
⎪ 2 + =0 (1)
⎪ dr r dr
( t )⎨ t (r1 ) = t 1 (2)
⎪ t (r ) = t (3)
⎪ 2 2
⎩
9.5.1.2. T×m ph©n bè t(r)
dt
§æi biÕn u = th× ph−¬ng tr×nh vi ph©n dÉn nhiÖt (1) cã d¹ng:
dr
du u du dr
+ = 0 hay =− .
dr r u r
LÊy tÝch ph©n lÇn 1 ta cã:
ln C1 dt C dt
Lnu = - ln r + ln C1 = hay = u = 1 → dt = C1 .
ln r dr r r
LÊy tÝch ph©n lÇn 2 ta cã nghiÖm tæng qu¸t cña (1) lµ:
t(r) = C1ln r + C2,
C¸c h»ng sè C1, C2 ®−îc tÝnh theo §KB (2) vµ (3):
⎧ t − t2
C =− 1
t (r1 ) = t 1 = C1 ln r1 + C 2 ⎫ ⎪ 1
⎪ r
⎬→⎨ ln 2
t (r2 ) = t 2 = C1 ln r2 + C 2 ⎭ ⎪ r1
⎪C 2 = t 1 − C1 ln r1
⎩
VËy ph©n bè nhiÖt ®é trong v¸ch trô cã d¹ng:
t1 − t 2 r
t (r ) = t 1 − ln
r r1
ln 2
r1
§−êng cong t(r) cã d¹ng logarit ®i qua 2 ®iÓm (r1, t1) vµ (r2, t2).
9.5.1.3. TÝnh nhiÖt l−îng
Dßng nhiÖt qua 1m2 mÆt trô b¸n kÝnh r bÊt kú lµ:
dt C λ( t 1 − t 2 ) , w/m2,
q = −λ = −λ 1 =
dr r r
r ln 2
r1
102
lu«n gi¶m khi r t¨ng. L−îng nhiÖt qua 1m dµi mÆt trô b¸n kÝnh r bÊt kú lµ:
Q q.2πrl (t − t ) ∆t , (w/m),
ql = = = −2πλC1 = 1 2 =
l l 1 r Rl
ln 2
2πλ r1
Víi R l = 1 ln r2 , (mK/W) lµ nhiÖt trë cña 1m trô. V× ql = const víi mäi
2πλ r1
mÆt trô, kh«ng phô thuéc vµo b¸n kÝnh r nªn ql ®−îc coi lµ 1 ®¹i l−îng ®Æc tr−ng
cho dÉn nhiÖt qua v¸ch trô.
9.5.2. Trô n líp biªn lo¹i 1
9.5.2.1. Bµi to¸n
Cho v¸ch trô n líp, b¸n kÝnh trong
r0, r1, . . . ri, . . . rn, cã hÖ sè dÉn nhiÖt λi,
cã nhiÖt ®é 2 mÆt biªn kh«ng ®æi t0, tn.
T×m l−îng nhiÖt ql , qua 1m dµi mÆt trô,
nhiÖt ®é ti, ∀ i = 1 ÷ (n-1) c¸c mÆt tiÕp
xóc vµ ph©n bè nhiÖt ®é ti(r) trong mçi
líp.
9.5.2.2. Lêi gi¶i
V× ql = const víi mäi líp nªn cã hÖ
ph−¬ng tr×nh:
( t i −1 − t i )
ql = n
, ∀i = 1 ÷ n,
1 ri
∑ 2πλ ln r
i =1 i i −1
B»ng c¸ch khö (n-1) Èn ti, ∀ i = 1 ÷ (n-1) se thu ®−îc:
(t 0 − t n )
ql = n
, , (W/m)
1 ri
∑ 2πλ ln r
i =1 i i −1
n
trong ®ã: R l = ∑ 1 ln ri , , (mK/W) lµ tæng nhiÖt trë cña 1m v¸ch trô n líp.
i =1 2 πλ i ri −1
TÝnh ti, ∀ i = 1 ÷ (n-1) lÇn l−ît theo ql ta ®−îc:
1 r
t l = t l −1 − ln i , ∀i = 1 ÷ (n − 1),
2πλ i ri −1
Ph©n bè nhiÖt ®é trong mçi líp thø i cã d¹ng:
t i − t i −1 r
t l (r ) = t l − ln , ∀i = 1 ÷ (n − 1),
ri ri −1
ln
ri −1
103
lµ ®−êng cong logarit ®I qua 2 ®iÓm (ri-1, ti-1) vµ (ri, ti).
9.5.3. V¸ch trô mét líp biªn lo¹i 3
9.5.3.1. Bµi to¸n
T×m ph©n bè nhiÖt ®é t(r) trong v¸ch trô
®ång chÊt cã r1, r2, λ cho tr−íc, mÆt trong tiÕp
xóc víi chÊt láng nãng cã tf1, α1, mÆt ngoµi
tiÕp xóc víi chÊt láng l¹nh cã tf2, α2. Trong to¹
®é trô, m« h×nh bµi to¸n cã d¹ng:
⎧ d 2 t 1 dt
⎪ + =0 (1)
⎪ dr r dr
( t )⎨ α 1 [t f 1 − t (r1 )] = −λt r (r1 ) (2)
⎪α [t (r ) − t ] = −λt (r ) (3)
⎪ 2 2 f2 r 2
⎩
9.5.3.2. T×m ph©n bè t(r)
NghiÖm tæng qu¸t cña (1) lµ: t(r) = C1x + C2. C¸c h»ng sè C1, C2 ®−îc x¸c
®Þnh theo c¸c §KB (2) vµ (3):
⎧ C1
⎪ α 1 ( t f 1 − C1 ln r1 − C 2 ) = −λ r
⎪
⎨
1
C1
⎪α 2 (C1 ln r2 + C 2 − t f 2 ) = −λ
⎪
⎩ r2
Gi¶i ra ta ®−îc:
t f 2 − t f1
C1 = ; vµ C2 = tf2 + C1;
λ λ r2
+ + ln
α 1 r1 α 2 r2 r1
VËy:
t f1 − t f 2 ⎛ r λ ⎞
t (r ) = t f 1 − ⎜ ln +
⎜ r α r ⎟. ⎟
λ λ r ⎝ 1 1 1 ⎠
+ + ln 2
α 1 r1 α 2 r2 r1
⎛ λ ⎞
§å thÞ t(r) cã d¹ng loarit tiÕp tuyÕn t¹i r1 qua ®iÓm R 1 ⎜ r1 − , t f 1 ⎟ vµ tiÕp
⎜ ⎟
α ⎝ 1 ⎠
⎛ λ ⎞
tuyÕn t¹i r1 qua ®iÓm R 2 ⎜ r2 +
⎜ ,tf2 ⎟ .
⎟
⎝ α2 ⎠
9.5.3.3. TÝnh nhiÖt l−îng q1
L−îng nhiÖt qua 1m dµi mÆt trô kh«ng ®æi vµ b»ng:
104
Q l λt r 2πrl (t f 1 − t f 2 )
ql = = = , (w/m),
l l 1 1 1 r2
+ + ln
2πr1 α 1 2πr2 α 2 2πλ r1
NhiÖt ®é c¸c mÆt biªn lµ:
λ
(t f 1 − t f 2 )
r1 α 1
t w1 = t (r1 ) = t f 1 −
λ λ r
+ + ln 2
r1 α 1 r2 α 2 r1
r λ
( t f 1 − t f 2 )(ln 2 + )
r1 r1α 1 .
t w2 = t (r2 ) = t f 1 −
λ λ r
+ + ln 2
r1 α 1 r2 α 2 r1
9.6. DÉn nhiÖt qua c¸nh
Khi muèn t¨ng c−êng truyÒn nhiÖt, ng−êi ta th−êng g¾n c¸c c¸nh trªn mÆt
to¶ nhiÖt, ch¼ng h¹n trªn xilanh hoÆc stato cña c¸c ®éng c¬. Theo kÕt c©u, ng−êi ta
cã thÓ g¾n c¸nh th¼ng, c¸nh trßn tiÕt diÖn kh«ng ®æi, h×nh thang hoÆc tam gi¸c.
§Æc ®IÓm cña c¸nh lµ chiÒu dµy δ cña c¸nh rÊt bÐ so víi c¸c kÝch th−íc kh¸c, do
®ã nhiÖt ®é t¹i mçi tiÕt diÖn f ®−îc coi lµ ph©n bè ®Òu vµ chØ thay ®æi theo chiÒu
cao x cña c¸nh.
9.6.1. Bµi to¸n truyÒn nhiÖt qua c¸nh ph¼ng cã tiÕt diÖn kh«ng ®æi
T×m ph©n bè nhiÖt ®é vµ l−îng nhiÖt truyÒn qua 1 c¸nh th¼ng cã diÖn tÝch f
= δL vµ chu vi tiÕt diÖn u = 2(L + δ) kh«ng ®æi, khi nã tiÕp xóc chÊt láng nãng
cã nhiÖt ®é tf1 víi hÖ sè to¶ nhiÖt α1 vµ t¹i ®Ønh c¸nh lµ αl, biÕt chiÒu cao l vµ nhiÖt
®é t¹i gèc lµ t0.
⎧ d 2 t 1 dt
⎪ + =0 (1)
⎪ dr r dr
( t )⎨ α 1 [t f 1 − t (r1 )] = −λt r (r1 ) (2)
⎪α [t (r ) − t ] = −λt (r ) (3)
⎪ 2 2 f2 r 2
⎩
9.6.2. T×m ph©n bè nhiÖt ®é
T¹i ®é cao x xÐt ph©n tè dV = f.dx cña c¸nh. Ph©n tè nµy cã biªn lo¹i 3 t¹i
mÆt udx nªn nã kh«ng ph¶i ph©n tè trong, kh«ng tu©n theo ph−¬ng tr×nh
∂t
= a∇ 2 t , Ph−¬ng tr×nh c©n b»ng nhiÖt cho dV lµ:
∂τ
δQα = Qx - Qx+dx .
105
NÕu gäi θ(x) = t(x) – tf th× ph−¬ng tr×nh trªn cã d¹ng:
dθ d ⎛ dθ ⎞ d 2θ
αθudx = −λ f + λ ⎜ θ + dx ⎟f = λf 2 dx , hay
dx dx ⎝ dx ⎠ dx
αu
θ"− θ = θ"− − m 2 θ = 0
λf
αu
víi m = , (m-1).
λf
NghiÖm tæng qu¸t cña ph−¬ng tr×nh trªn cã d¹ng: θ(x) = C1eml + C2e-ml.
C¸c h»ng sè C1 vµ C2 t×m theo §KB lo¹i 1 t¹i x = 0 vµ lo¹i 3 t¹i x = l:
θ(0) = t 0 − t f = θ 0 ⎫ ⎧ θ 0 = C1 + C 2
⎪
⎬ → ⎨mC e ml − mC e − ml = − α 1 (C e ml − C e − ml )
− λθ' (l) = α 2 θ(i) ⎭ ⎪ 1
⎩ λ
2 1 2
Gi¶i ra ta ®−îc:
α1
ch[m(l − x )] + sh[m(l − x )]
θ( x ) = θ 0 mλ
α
ch (ml) + 1 sh (ml)
mλ
Trong tÝnh to¸n kü thuËt, cã thÓ coi α1 = 0 (do f