Đại số tổ hợp
Tài liệu toán học: Đại số tổ hợp, hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp
Ñaïi soá toå hôïp - Trang 1 - Ngöôøi soaïn: Phaïm Vaên Luaät Ñaïi soá toå hôïp - Trang 2 - Ngöôøi soaïn: Phaïm Vaên Luaät
ÑAÏI SOÁ TOÅ HÔÏP C. Hoaùn vò troøn :
I. HOAÙN VÒ − CHÆNH HÔÏP − TOÅ HÔÏP: a) Ñònh nghóa: Coù n vaät, saép vaøo n vò trí chung quanh moät ñöôøng troøn.
1.Qui taéc coäng vaø qui taéc nhaân: b) Ñònh lyù: Soá hoaùn vò troøn cuûa n vaät treân laø: Pn−1= (n−1)!
a) Qui taéc coäng : 3.Chænh hôïp:
Neáu coù m1 caùch choïn ñoái töôïng x1, m2 caùch choïn ñoái töôïng x2,… , mn caùch choïn ñoái a) Ñònh nghóa: Cho taäp hôïp A goàm n phaàn töû. Moãi boä goàm k (1 ≤ k ≤ n) phaàn töû saép
töôïng xn, vaø neáu caùch choïn ñoái töôïng xi khoâng truøng baát kyø caùch choïn ñoái töôïng xj thöù töï cuûa taäp hôïp A ñöôïc goïi laø 1 chænh hôïp chaäp k cuûa cuûa n phaàn töû .
naøo (i≠j; i,j=1,2,…,n) thì coù m1+m2+…+mn caùch choïn moät trong caùc ñoái töôïng ñaõ cho. b) Soá chænh hôïp chaäp k cuûa n phaàn töû laø:
Caùch khaùc: Moät coâng vieäc ñöôïc thöïc hieän qua nhieàu tröôøng hôïp ñoäc laäp nhau. n!
A n = n(n − 1)(n − 2)...(n − k + 1) =
k
Tröôøng hôïp 1 coù m1 caùch thöïc hieän, tröôøng hôïp 2 coù m2 caùch thöïc hieän, …tröôøng hôïp (n − k )!
n coù mn caùch thöïc hieän thì soá caùch thöïc hieän caû coâng vieäc laø m1+m2+…+mn. Ñaëc bieät: Khi k = n ⇒ An = Pn
n
b) Qui taéc nhaân :
4.Toå hôïp:
Neáu 1 pheùp choïn ñöôïc thöïc hieän qua n böôùc lieân tieáp nhau, böôùc 1 coù m1 caùch, böôùc
a) Ñònh nghóa: Cho taäp hôïp A goàm n phaàn töû. Moãi taäp con goàm k (0 ≤ k ≤ n) phaàn
2 coù m2 caùch, . . ., böôùc n coù mn caùch, thì pheùp choïn ñoù ñöôïc thöïc hieän theo m1 . m2 .
… .mn caùch khaùc nhau. töû cuûa A ñöôïc goïi laø 1 toå hôïp chaäp k cuûa n phaàn töû ñaõ cho.
n!
Caùch khaùc: Moät coâng vieäc ñöôïc thöïc hieän qua nhieàu giai ñoaïn:Giai ñoaïn 1 coù m1 b) Soá toå hôïp chaäp k cuûa n phaàn töû laø: C n =
k
k! (n − k )!
caùch thöïc hieän, giai ñoaïn 2 coù m2 caùch thöïc hieän, …giai ñoaïn n coù mn caùch thöïc hieän
thì soá caùch thöïc hieän caû coâng vieäc laø m1 . m2 . … .mn c) Tính chaát:
n− k
1) C n = C n
k
2.Hoaùn vò:
A. Hoaùn vò thaúng: k−1
2) C n − 1 + C n − 1 = C n
k k
a) Ñònh nghóa: Cho taäp hôïp A goàm n phaàn töû . Moãi caùch saép thöù töï n phaàn töû (n≥1) k k
3) A n = k! C n
cuûa taäp hôïp A ñöôïc goïi laø 1 hoaùn vò cuûa n phaàn töû ñoù.
II.COÂNG THÖÙC NHÒ THÖÙC NEWTON:
b) Ñònh lyù: Neáu kyù hieäu soá hoaùn vò cuûa n phaàn töû laø Pn, thì:
Pn = n(n − 1)(n − 2)...3.2.1 = n ! 1.Coâng thöùc nhò thöùc Newton: Vôùi hai soá thöïc a vaø b vaø n∈N ta coù coâng thöùc:
(a + b) n = C 0 a n + C1 a n − 1 b + ... + C n a n − k b k + ... + C n b n
k
Qui öôùc: 0!=1 n n n
B. Hoaùn vò coù laëp laïi: 2.Caùc tính chaát:
a) Ñònh nghóa: Coù n vaät, saép vaøo n vò trí. Trong ñoù: a) Veá phaûi coù n+1 soá haïng.
n1 vaät gioáng nhau b) Trong moãi soá haïng toång soá muõ cuûa a vaø b laø n.
n2 vaät gioáng nhau c) Soá haïng thöù k+1 cuûa coâng thöùc khai trieån coù daïng :
(k = 0,1,2,3,..., n)
….
Tk +1 = C k a n − k b k
n
nk vaät gioáng nhau d) Caùc heä soá caùch ñeàu soá haïng ñaàu vaø cuoái laø baèng nhau.
( Haún nhieân laø n= n1+n2+…+nk) e) C 0 + C 1 + C 2 + ... + C n = 2 n .
n n n n
b) Ñònh lyù: Soá hoaùn vò coù laëp laïi cuûa n vaät treân laø: f ) C 0 − C 1 + C 2 + ... + (− 1) n C n = 0 .
n n n n
n!
n 1 ! n 2 !...n k !
Ñaïi soá toå hôïp - Trang 3 - Ngöôøi soaïn: Phaïm Vaên Luaät Ñaïi soá toå hôïp - Trang 4 - Ngöôøi soaïn: Phaïm Vaên Luaät
BAØI TAÄP: 5) Xeùt caùc soá töï nhieân goàm 4 chöõ soá khaùc nhau laäp neân töø caùc chöõ soá 1, 2, 3 vaø 4,
I. VEÀ ÑAÏI SOÁ TOÅ HÔÏP Hoûi coù bao nhieâu soá :
1) Cho 7 chöõ soá :1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. a) Ñöôïc taïo thaønh Keát quaû: 4!=24
a) Töø 7 chöõ soá treân, coù theå thaønh laäp ñöôïc bao nhieâu soá töï nhieân, moãi soá goàm 5 b) Baét ñaàu bôûi chöõ soá 1? Keát quaû: 1.3!=6
chöõ soá khaùc nhau? Keát quaû: A 7 = 2520
5
c) Khoâng baét ñaàu baèng chöõ soá 2? Keát quaû: P4− 1.P3 =18.
b) Trong caùc soá noùi ôû a), coù bao nhieâu soá chaün? Keát quaû:6.5.4.3.3=1080 6) Coù bao nhieâu soá töï nhieân goàm 6 chöõ soá khaùc nhau laäp neân töø caùc chöõ soá 1,2, 3, 4,
c) Trong caùc soá noùi ôû a), coù bao nhieâu soá trong ñoù nhaát thieát phaûi coù maët 5 vaø 6 vaø lôùn hôn 300.000 Keát quaû: 4.5!=480
7) Coù bao nhieâu soátöï nhieân coù 3 chöõ soá khaùc nhau vaø khaùc 0 bieát raèng toång cuûa 3
chöõ soá 7? Keát quaû: 5.
chöõ soá naøy baèng 9. Keát quaû: Coù 3 taäp X1={1;2;6} , X2={1;3;5}
A 6 = 1800
4
vaø X3={2;3;4} coù toång caùc phaàn töû baèng 9. Vaäy coù 3.3!=18 soá.
2) Cho 6 chöõ soá: 1, 2, 3, 4, 5, 6.
8) Vôùi caùc chöõ soá 0, 1, 2, 3, 4, 5 coù theå laäp ñöôïc bao nhieâu soá goàm 8 chöõ soá trong ñoù
a) Töø caùc chöõ soá treân, coù theå thaønh laäp ñöôïc bao nhieâu soá töï nhieân goàm 5 chöõ soá
chöõ soá 1 coù maët 3 laàn, moãi chöõ soá khaùc coù maët moät laàn?
Keát quaû: A 6 = 720
5
khaùc nhau? Höôùng daãn vaø keát quaû:
Keát quaû: A 5 .3 = 360
4
b) Trong caùc soá noùi treân coù bao nhieâu soá leû? Caùch 1: Xeáp chöõ soá 0 tröôùc: 7 caùch (boû oâ ñaàu).Xeáp chöõ soá 2: coøn 7. Xeáp
c) Trong caùc soá noùi treân coù bao nhieâu soá trong ñoù coù maët 2 chöõ soá 1 vaø 2? chöõ soá 3: coøn 6. Xeáp chöõ soá 4: coøn 5. Xeáp chöõ soá 5: coøn 4. Xeáp chöõ soá 1
Höôùng daãn vaø keát quaû: Lieät keâ 4 taäp con coù chöùa 1 vaø 2, coù theå taïo 4.5!= 480 soá. vaøo 3 oâ coøn laïi: 1 caùch (Khoâng thöù töï). Vaäy coù: 7.7.6.5.4.1=5880 soá.
3) Cho 5 chöõ soá 0,1, 3, 6, 9. Hoaëc: 1 0 1 2 3 1 5 4
a) Töø 5 chöõ soá aáy, coù theå laäp ñöôïc bao nhieâu soá töï nhieân goàm 4 chöõ soá khaùc nhau? Muoán coù moät soá caàn tìm ta xeáp caùc chöõ soá 0, 2, 3, 4 vaø 5 vaøo 5 trong 8 oâ
vuoâng, sau ñoù xeáp chöõ soá 1 vaøo 3 oâ coøn laïi (khoâng thöù töï ). Vaäy coù
Keát quaû: 4.A 4 = 96
3
A 8 .1 = 6720 soá, keå caû caùc soá coù chöõ soá 0 ñöùng ñaàu ( coù 1.A 4 = 840 soá).
5
b) Trong caùc soá noùi treân coù bao nhieâu soá chaün? 7
Vaäy coù 6720−840=5880 soá.
Keát quaû: A 4 .1 + 3.A 3 .1 = 42
3 2
9) Vôùi caùc chöõ soá 1, 2, 3, 4, 5 coù theå laäp ñöôïc bao nhieâu soá goàm 6 chöõ soá trong ñoù
c) Trong caùc soá noùi treân coù bao nhieâu soá chia heát cho 3? chöõ soá 1 coù maët 2 laàn, moãi chöõ soá khaùc coù maët ñuùng moät laàn?
Höôùng daãn vaø keát quaû: Choïn trong taäp chöùa caùc phaàn töû chia heát cho 3 laø A={ 6!
0,3,6,9} Vaäy coù 3 .A 3 = 3.3! = 18 soá chia heát cho 3.
3 Keát quaû: = 360 soá.
2!
4) Cho 6 chöõ soá 0,1, 2, 3, 4, 5. Hoaëc: 1 5 1 2 4 3
a) Tö ø caùc chöõ soá treân coù theå thaønh laäp ñöôïc bao nhieâu soá töï nhieân goàm 5 chöõ soá Muoán coù moät soá caàn tìm ta xeáp caùc chöõ soá 2, 3, 4 vaø 5 vaøo 4 trong 6 oâ
Keát quaû: 5. A 5 = 600 vuoâng, sau ñoù xeáp chöõ soá 1 vaøo 2 oâ coøn laïi (khoâng coù thöù töï ). Vaäy coù
4
khaùc nhau?
b) Trong caùc chöõ soá treân coù bao nhieâu soá chaün ? A 6 .1 = 360 soá
4
Keát quaû: 600−4. A 4 .3 (leû)=312
3
10) Coù bao nhieâu soá töï nhieân coù 3 chöõ soá khaùc nhau. Bieát raèng toång cuûa 3 chöõ soá
c) Trong caùc chöõ soá treân coù bao nhieâu soá coù maët chöõ soá 0? naøy baèng 12?
Höôùng daãn vaø keát quaû: Hoaùn vò caùc phaàn töû trong taäp A={1,2,3,4,5} ta coù Keát quaû: Coù 7 taäp hôïp chöùa 3 phaàn töû khaùc 0 coù toång 12 vaø coù 3 taäp hôïp chöùa
5!=120 soá khoâng coù maët chöõ soá 0. Phaàn buø: 600−120=480 soá coù maët chöõ soá 0. 3 phaàn töû coù phaàn töû 0 coù toång 12.Vaäy coù 7.3!+3.(2.2.1)=54 soá.
Ñaïi soá toå hôïp - Trang 5 - Ngöôøi soaïn: Phaïm Vaên Luaät Ñaïi soá toå hôïp - Trang 6 - Ngöôøi soaïn: Phaïm Vaên Luaät
11) Vôùi 6 chöõ soá 2, 3, 5, 6, 7, 8 coù bao nhieâu caùch laäp nhöõng soá goàm 4 chöõ soá khaùc a) 2 chöõ soá 1vaø 2 ñöùng caïnh nhau?
nhau, bieát: b) 2 chöõ soá 1vaø 2 khoâng ñöùng caïnh nhau?
a) Caùc soá naøy < 5000? Keát quaû: 2. A 5 Ï =120 soá.
3
Höôùng daãn vaø keát quaû:
a) Giai ñoaïn 1: Cho 2 chöõ soá 1 vaø 2 vaøo 2 oâ lieàn nhau, 3 chöõ soá 3, 4, 5 vaøo 3 oâ coøn laïi: Coù 4!=24 caùch
b) Caùc soá naøy chaün < 7000? Keát quaû: x= abcd : d=8 coù 4.4.3.1= 48 soá xeáp.
; d≠8 coù 3.4.3.2=72 soá. Vaäy coù 48+72=120 soá Giai ñoaïn 2: Vì 1 vaø 2 naèm trong 2 oâ lieàn nhau neân coù 2!=2 caùch xeáp.
12) Töø taäp hôïp A={0; 1; 2; 3; 4; 5; 6} coù theå laäp ñöôïc bao nhieâu soá maø moãi soá coù Theo quy taéc nhaân, coù 24.2=48 soá.
5 chöõ soá khaùc nhau vaø trong ñoù nhaát thieát phaûi coù maët chöõ soá 5? b) Coù 5!=120 soá töï nhieân coù 5 chöõ soá khaùc nhau ñöôïc laäp neân töø 5 chöõ soá ñaõ cho trong ñoù coù
Keát quaû: x= abcde : a=5 coù 1.6.5.4.3= 360 soá ; a≠5 coù 4(5.5.4.3)=1200 soá. theå coù 1 vaø 2 ñöùng caïnh nhau; hoaëc 1 vaø 2 khoâng ñöùng caïnh nhau. Vaäy coù 120−48=72 soá
trong ñoù 1 vaø 2 khoâng ñöùng caïnh nhau.
Vaäy coù 360+1200=1560 soá Hoaëc: 6. A 6 − 5.A 5 (khoâng coù chöõ soá 5)=1560
4 4
19) Töø 4 chöõ soá 0,1,2,3 coù theå laäp ñöôïc bao nhieâu soá töï nhieân coù 7 chöõ soá , trong ñoù
13) Töø caùc chöõ soá 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ta laäp thaønh bao nhieâu soá coù 4 chöõ soá khaùc chöõ soá 3 xuaát hieän 4 laàn, caùc chöõ soá 0, 1, 2 chæ xuaát hieän 1 laàn.
nhau? Höôùng daãn vaø keát quaû: Töông töï baøi 8b): Coù A 7 .1 − A 6 = 180 soá. Ta coù theå giaûi baèng caùch
3 2
Keát quaû: A 9 = 3024
4
khaùc: Vôùi 7 oâ :
14) Töø 5 chöõ soá 0, 1, 3, 5, 7 coù theå laäp ñöôïc bao nhieâu soá goàm 4 chöõ soá khaùc nhau vaø Giai ñoaïn 1: Ta laép chöõ soá 0 vaøo tröôùc: Coù 6 caùch (boû oâ ñaàu tieân).
khoâng chia heát cho 5. Keát quaû: 54 soá. Giai ñoaïn 2: Ta laép chöõ soá 1 vaøo 6 oâ coøn laïi: Coù 6 caùch.
15) Coù theå laäp ñöôïc bao nhieâu soá töï nhieân coù 7 chöõ soá khaùc nhau ñöôïc laäp neân töø Giai ñoaïn 3: Ta laép chöõ soá 2 vaøo 5 oâ coøn laïi: Coù 5 caùch.
caùc chöõ soá 1,2,3,4,5,6,7? Chöùng minh raèng toång cuûa taát caû caùc soá naøy chia heát cho 9. Giai ñoaïn 4: Ta laép chöõ soá 3 vaøo 4 oâ coøn laïi: Coù 1 caùch (khoâng thöù töï).
Keát quaû: 7!=5040 soá. S=2520.8888888 M 9 Theo quy taéc nhaân coù : 6.6.5.1=180 soá.
16) Coù bao nhieâu soá coù caùc chöõ soá khaùc nhau coù theå laäp thaønh töø caùc chöõ soá 2, 4, 6 20) Coù bao nhieâu soá töï nhieân coù 5 chöõ soá, sao cho 2 chöõ soá keà nhau phaûi khaùc nhau?
vaø 8. Keát quaû: A 4 + A 4 + A 4 + A 4 = 64 soá
1 2 3 4 Keát quaû: 9.9.9.9.9=59049.
17) Töø 10 chöõ soá 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 coù theå laäp ñöôïc bao nhieâu soá töï nhieân coù 9 chöõ 21) Töø 7 chöõ soá 1,2,3,4,5,6,7 coù theå laäp ñöôïc bao nhieâu soá töï nhieân coù 4 chöõ soá khaùc
soá khaùc nhau, trong ñoù phaûi coù maët caû 2 chöõ soá 0 vaø 1? nhau sao cho luoân coù maët chöõ soá 7 vaø chöõ soá haøng ngaøn laø chöõ soá 1?
Keát quaû: 1.3. A5 =60 soá (1 caùch xeáp chöõ soá 1, 3 caùch xeáp chöõ soá 7 vaø A5 caùch xeáp 2,3,4,5,6
2 2
Höôùng daãn vaø keát quaû:
Caùch 1: Tö ø A={2,3,4,5,6,7,8,9} coù theå laáy ra C8 = 8 taäp con coù 7 phaàn töû khoâng coù 0 vaø 1. Hôïp moãi
7
vaøo 2 vò trí coøn laïi).
taäp con naøy vôùi {0,1} ta coù 8 taäp con coù 9 phaàn töû trong ñoù coù 0 vaø 1. Töø moãi taäp hôïp naøy coù theå taïo 22) a) Coù bao nhieâu soá töï nhieân (ñöôïc vieát trong heä ñeám thaäp phaân) goàm 5 chöõ soá
8.8!=322560. Vaäy coù 8.322560=2580480 soá. maø caùc chöõ soá ñeàu lôùn hôn 4 vaø ñoâi moät khaùc nhau?
Caùch 2: Cho 0 xuaát hieän tröôùc: Coù 8 caùch ( vì 0 khoâng ñöôïc ñöùng ñaàu). Cho 1 xuaát hieän keá tieáp: Coù 8 b) Haõy tính toång taát caû caùc soá töï nhieân noùi treân?
caùch. Tieáp theo ta xeáp 8 chöõ soá coøn laïi vaøo 7 vò trí coøn laïi: Coù A 8 = 40320 caùch. Vaäy coù:
7
Keát quaû: a) A 5 =120 b)60X155554 = 9333240
4
8.8.40320=2580480 soá.
23) Cho 5 chöõ soá:1, 2, 3, 4, 5. Coù theå laäp ñöôïc bao nhieâu soá töï nhieân leû coù 4 chöõ soá
Caùch 3: Coù 3 loaïi soá trong 9.A 9 = 3265920 soá taïo ñöôïc coù 9 chöõ soá khaùc nhau: Coù soá chæ xuaát hieän 0
8
khaùc nhau töø 5 chöõ soá treân? Keát quaû: 4.3.2.3=72
(khoâng coù 1), chæ xuaát hieän 1 (khoâng coù 0), coù soá xuaát hieän caû 0 vaø 1
Coù 9!=362880 soá chæ xuaát hieän 1 (khoâng coù 0) vaø coù 9!−8!=322560 soá chæ xuaát hieän 0 (khoâng coù 1).
24) Coù bao nhieâu soá töï nhieân khaùc nhau, nhoû hôn 10000 ñöôïc taïo thaønh töø 5 chöõ soá:
Vaäy coù:3265920−(362880+322560)=2580480 soá coù caû 0 vaø 1. 0, 1, 2, 3, 4? Keát quaû: 5+4.5+4.25+4.125= 625
18) Töø 5 chöõ soá 1,2,3,4,5 coù theå laäp ñöôïc bao nhieâu soá töï nhieân coù 5 chöõ soá khaùc 25) Vôùi 10 chöõ soá töø 0 ñeán 9, coù theå laäp ñöôïc bao nhieâu soá töï nhieân chaün coù 4 chöõ
nhau, trong ñoù: soá, maø caùc chöõ soá ñoù ñeàu khaùc nhau? Keát quaû: 9.8.7.1+8.8.7.4=2296
Ñaïi soá toå hôïp - Trang 7 - Ngöôøi soaïn: Phaïm Vaên Luaät Ñaïi soá toå hôïp - Trang 8 - Ngöôøi soaïn: Phaïm Vaên Luaät
26) Coù bao nhieâu soá töï nhieân goàm 3 chöõ soá khaùc nhau vaø khaùc 0 bieát toång ba chöõ soá 34) Coù 5 con ñöôøng noái 2 thaønh phoá X vaø Y, coù 4 con ñöôøng noái 2 thaønh phoá Y vaø Z.
naøy baèng 8. Keát quaû: Coù 2 taäp coù toång 3 phaàn tö ûbaèng 8. Vaäy coù 2.3!=12 soá Muoán ñi töø X ñeán Z phaûi qua Y .
27) Cho caùc chöõ soá 0, 1, 2, 3, 4, 5 . Töø caùc chöõ soá ñaõ cho laäp ñöôïc bao nhieâu soá töï a) Hoûi coù bao nhieâu caùch choïn ñöôøng ñi töø X ñeán Z?
nhieân : b) Hoûi coù bao nhieâu caùch choïn ñöôøng ñi vaø veà töø X ñeán Z roài veà laïi X baèng
a) Goàm 4 chöõ soá khaùc nhau vaø laø soá chaün Keát quaû: 5.4.3.1+4.4.3.2=156 nhöõng con ñöôøng khaùc nhau?
b) Goàm 4 chöõ soá khaùc nhau vaø nhoû hôn 3000 Keát quaû: 2.5.4.3=120 Keát quaû: a) 20 b) (5X4)X(3X4)=240
c) Goàm 4 chöõ soá khaùc nhau vaø chia heát cho 4 35) Coù bao nhieâu ñöôøng cheùo trong hình thaäp giaùc loài?
Keát quaû: a1a 2 a 3 a 4 M 4 ⇔ a 3 a 4 M 4 . Keát quaû: 35
Coù 72 soá 36) Veõ 5 ñöôøng thaúng song song treân moät tôø giaáy. Sau ñoù veõ tieáp 6 ñöôøng thaúng song
d) Goàm 4 chöõ soá khaùc nhau vaø chia heát cho 5 Keát quaû: 108 song khaùc caét caû 5 ñöôøng thaúng veõ luùc ñaàu. Coù bao nhieâu hình bình haønh taïo ñöôïc?
Keát quaû: C 5 .C 6 = 150
2 2
e) Goàm 5 chöõ soá khaùc nhau vaø chia heát cho 3 Keát quaû: 216
28) Cho 5 quaû caàu traéng baùn kính khaùc nhau vaø 5 quaû caàu xanh baùn kính khaùc nhau. 37) Cho taäp P goàm 10 ñieåm phaân bieät trong maët phaúng :
Hoûi coù bao nhieâu caùch saép xeáp 10 quaû caàu ñoù thaønh 1 daõy töø traùi sang phaûi, sao cho a) Coù bao nhieâu tam giaùc coù 3 ñænh laáy trong P neáu khoâng coù 3 ñieåm naøo laáy
khoâng coù 2 quaû caàu cuøng maøu ñöùng caïnh nhau? Keát quaû:28800 trong P thaúng haøng?
29) Hoäi ñoàng quaûn trò cuûa 1 xí nghieäp goàm 11 ngöôøi, trong ñoù coù 7 nam vaø 4 nöõ. Töø Keát quaû: C10 = 120
3
hoäi ñoàng quaûn trò ñoù ngöôøi ta muoán laäp ra1 ban thöôøng tröïc, trong ñoù ít nhaát 1 ngöôøi b) Cuõng caâu hoûi nhö caâu a) neáu trong P coù ñuùng 4 ñieåm thaúng haøng.
nam. Hoûi coù bao nhieâu caùch choïn ban thöông tröïc coù 3 ngöôøi?
Keát quaû: C10 − C4 = 116
3 3
Keát quaû: 161
38) Moät nhoùm goàm 10 hoïc sinh ( 7 nam vaø 3 nöõ ) . Coù bao nhieâu caùch xeáp 10 hoïc
30) Nhaân ngaøy sinh nhaät, caùc baïn taëng Hoàng Nhung 1 boù hoa goàm 10 boâng hoàng traéng
sinh treân thaønh moät haøng doïc sao cho 7 hoïc sinh nam ñöùng lieàn nhau
vaø 1 boù hoa goàm 10 boâng hoàng nhung. Hoàng Nhung muoán choïn ra 5 boâng ñeå caém
Keát quaû: 4!.7!=120960
bình. Hoûi Hoàng Nhung coù bao nhieâu caùch choïn neáu trong 5 boâng aáy phaûi coù ít nhaát :
39) Moät ñoàn caûnh saùt khu vöïc coù 9 ngöôøi. Trong ngaøy caàn cöû 3 ngöôøi laøm nhieäm vuï
a) 2 boâng traéng vaø 2 boâng nhung .
ôû ñòa ñieåm A; 2 ngöôøi ôû ñòa ñieåm B vaø 4 ngöôøi tröïc nhaät taïi ñoàn . Coù bao nhieâu caùch
b) 1 boâng traéng vaø 1 boâng nhung .
phaân coâng? Keát quaû: C9 .C6 .1 = 1260
3 2
Keát quaû: a)10800 b)15000
40) Coù 10 caâu hoûi ( 4 caâu lyù thuyeát vaø 6 caâu baøi taäp ) . Moät ñeà thi goàm coù 3 caâu coù
31) Luùc khai maïc 1 hoäi nghò coù 5 ñaïi bieåu. Caùc ñaïi bieåu ñeàu laàn löôït baét tay nhau.
caû lyù thuyeát vaø baøi taäp. Coù bao nhieâu caùch taïo ñeà thi? Keát quaû: 96(coù 2 t.h)
Hoûi coù taát caû bao nhieâu caùi baét tay?
41) Lôùp hoïc coù 40 hoïc sinh ( 25 nam vaø 15 nöõ) . Caàn choïn moät nhoùm goàm 3 hoïc sinh
Keát quaû: 10
. Hoûi coù bao nhieâu caùch :
32) Coù bao nhieâu caùch xeáp ñaët 3 ngöôøi ñaøn oâng, 2 ngöôøi ñaøn baø ngoái treân 1 gheá daøi
a) Choïn 3 hoïc sinh baát kyø . Keát quaû: C 40 =9880
3
sao cho nhöõng ngöôøi cuøng phaùi ngoài caïnh nhau?
Keát quaû: 24 b) Choïn 3 hoïc sinh goàm 1 nam vaø hai nöõ . Keát quaû: 2625
33) Gieo 3 hoät xuùc xaéc vaøo trong 1 caùi cheùn, hoûi coù bao nhieâu keát quaû khaùc nhau caû c) Choïn 3 hoïc sinh trong ñoù coù ít nhaát 1 nam. Keát quaû: 9425
thaûy ? Keát quaû: 63=216 42) Coù 5 tem thö khaùc nhau vaø 6 bì thö khaùc nhau. Choïn töø ñoù ra 3 tem thö, 3 bì thö
vaø daùn 3 tem thö aáy leân 3 bì thö ñaõ choïn, moãi bì thö chæ daùn 1 tem thö. Hoûi coù bao
Keát quaû: C6 .C5 .3! = C6 .A 5
3 3 3 3
nhieâu caùch laøm nhö vaäy.
=1200
Ñaïi soá toå hôïp - Trang 9 - Ngöôøi soaïn: Phaïm Vaên Luaät Ñaïi soá toå hôïp - Trang 10 - Ngöôøi soaïn: Phaïm Vaên Luaät
43) Töø caùc chöõ soá 1, 2, 3, 4, 5, 6 coù theå laäp ñöôïc bao nhieâu soá töï nhieân coù 5 chöõ soá 51) Giaûi heä phöông trình:
khaùc nhau, trong ñoù phaûi coù maët ñoàng thôøi 2 chöõ soá 1 vaø 2?Keát quaû:720−240=480 soá. 5C y − 2 = 3C y − 1
x x
44) Tìm n sao cho: C y = Cy− 1
x x
n− 1
a) An .C n = 48.
2
Keát quaû: x = 7 vaø y = 4
A4 24 52) Tính heä soá cuûa soá haïng chöùa x 3 trong khai trieån cuûa:
b) A 3 − C n− 4 = 23 .
n
n+ 1 n P(x) = (2x + 1) 3 − (3x + 1) 4 + (x + 1) 7 .
1 1 1 Keát quaû:−65
c) C n − C n = C n . n
4 5 6 1
P 53) Khai trieån cuûa x − coù toång caùc heä soá cuûa 3 soá haïng ñaàu laø 28. Tìm soá haïng
x
d) P A n − 4 = 210 .
n+ 2
3 n− 1
Pn − Pn − 1 1 thöù 5 cuûa khai trieån ñoù.
e) = .
Pn + 1 6 Keát quaû:126x
10
Keát quaû: a) n = 4, b)n = 5, c)n = 2, d)n = 5, e) n = 2 V n = 3 1
54) Tìm soá haïng khoâng chöùa x trong khai trieån cuûa: 2x − .
45) Giaûi caùc phöông trình: x
a) P2 .x − P3 .x = 8 .
2
Keát quaû: −8064
4
b) 2A x + 50 = A 2 x , x ∈ N
2 2 55) Khai trieån: (x+2) Keát quaû: x4+8x3+24x2+32x+16
5 3 8
7 56) Tìm heä soá a b trong khai trieån (a + b) . Keát quaû:56.
c) C x + C x + C x = x.
1 2 3
2 57) Tìm hai soá haïng chính giöõa trong khai trieån:(x – xy)15.
3
Keát quaû: a)x = −1 V x = 4, b) x = 5, c)x = 4 Keát quaû: T8= − 6435.x31 y7 ; T9= 6435 x29 y8
12
46) Giaûi caùc phöông trình: 1
2 2
58) Tìm soá haïng khoâng chöùa x trong khai trieån: x +
Keát quaû:T9=495
a) C x − 1 − C x− 1 =
3 2
A x− 2 x
3
59) Tìm heä soá cuûa soá haïng chöùa x8 trong khai trieån:
1 1 7 n
b) C1 − C 2 = 6C1 1
x x+ 1 x+ 4 3 + x 5 bieát : C n + 1 − C n + 3 = 7(n + 3).
n+ 4 n Keát quaû: n = 12 vaø a9=495
x
Keát quaû: a) x=9, b) x = 3 V x = 8
60) Ña thöùc P(x) = ( 1+x) 9 + (1+x) 10 + … + (1+x) 14 coù daïng khai trieån laø
47) Giaûi phöông trình A n + C n =14n. Keát quaû:n=5.
3 n− 2
P(x) = a0 + a1x1 + a2x2 + … + a14x14 . Tính heä soá a9. Keát quaû:3003
48) Giaûi phöông trình A n − 2C n = 3 A n Keát quaû: n=6 V n=11
3 4 2
61) Xeùt khai trieån cuûa: (x + xy) . Tính heä soá cuûa haïng töû chöùa x y . Keát quaû: 455
3 15 21 12
Cy = 6
49) Giaûi heä phöông trình: y
x
Keát quaû:x=4 vaø y=2 1 n
A x = 12 62) Tìm n bieát trong khai trieån ( x + ) thaønh ña thöùc ñoái vôùi bieán x, heä soá cuûa
2
A 2 − C1 < 8
50) Tìm n bieát: n n
x6 baèng boán laàn heä soá cuûa x4 Keát quaû: n=10
Keát quaû: n = 2 V n = 3 1
63) Tìm soá haïng khoâng chöùa aån x trong khai trieån nhò thöùc ( + x )
12
x
Keát quaû: 495
Ñaïi soá toå hôïp - Trang 11 - Ngöôøi soaïn: Phaïm Vaên Luaät
1 10
64) Tìm soá haïng khoâng chöùa aån x trong khai trieån : (x2+ 3 )
x
Keát quaû: k=4 ⇒ C10 = 210
4
65) Tìm heä soá cuûa x101y99 trong khai trieån (2x−3y)200
Keát quaû: C200 .2 .3
99 101 99
66) Chöùng minh raèng:
a) C2 n + C2 n +…..+ C2 n = C2 n + C2 n +…+ C2 n
0 2 2n 1 3 2n− 1
Höôùng daãn: Khai trieån (a+b)2n vôùi a = 1 , b = −1
b) Cn +2 Cn +3 Cn +…+n Cn = n2n−1.
1 2 3 n
Höôùng daãn: Laáy ñaïo haøm y= (1+x)n roài thay x=1.
67) Chöùng minh raèng: C 2 n + C 2 n + C 2 n + C 2 n + .......... . + C 2 n = 4
0 1 2 3 2n n
68) Chöùng minh raèng:
a) 12 C1 + 2 2 C 2 + 3 2 C 3 + ... + n 2 C n = (n 2 + n)2 n − 2
n n n n
Höôùng daãn : Laáy f' ' (1) + f' ' ' (1) vôùi f(x) = (1 + x) n
1 1 1 2 1 2 n+ 1 − 1
b) C 0 + C n + C n + ... + Cn =
2 3 n+ 1 n+ 1
n n
69) Tính S= C6 + C6 + ... + C6
0 1 6
Höôùng daãn: Xeùt (x+1)6 vaø thay x=1.Keát quaû: 64
70) Tính T= C5 + 2C5 + 2 C5 + 2 C5 + 2 C5 + 2 C5
0 1 2 2 3 3 4 4 5 5
Höôùng daãn: xeùt vôùi (1+x)5 vôùi x=2 Keát quaû: 243
71) Vieát khai trieån cuûa bieåu thöùc ( 3x –1 ) 16 . Töø ñoù chöùng minh raèng
316 C16 − 315 C16 + 314 C16 − ... + C16 = 216 .
0 1 2 16
Höôùng daãn: Thay x=1
A 4 + 4 143
n
72) Tìm caùc soá aâm trong daõy soá: x n = − .
Pn + 2 4Pn
63 23
Keát quaû: x 1 = − , x2 = −
4 8
73) Tìm k∈N ñeå C 14 , C 14 , C 14 laäp thaønh moät caáp soá coäng.
k k+ 1 k+ 2
Keát quaû: k=4 V k=8
74) Tìm soá töï nhieân x sao cho: A + A = 9A
10 9 8
x x x Keát quaû: x=11
